TEORÍA DE LOS GRADOS

NOTACIÓN MATEMATICAPermite diferenciar constantes de variablesSe tiene:

EXPRESIÓN ALGEBRAICAEs aquel conjunto de números y letras relacionados por lasoperaciones aritméticas de adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación o una combinación de ellas en un número limitado de veces.

Ejemplos :P(x; y)= 1 + x3 + x2 + x5

E.A. Racional entera

R(x; y)=

5x3

y2 +

2x

y3 + x2y-2

E.A. Racional fraccionaria

Q(x; y)=3√ x y5 + x2/5y3 + 3x2y

E.A. Irracional

POLINOMIO

Es aquella expresión racional entera, es decir la variable esta afectada de exponentes enteros y positivos

Ejemplos: P(x)= 5x3 + 2x2 + 7x + 2Polinomio de 4 términos

Q(x)= 3 + x2 + x5

Polinomio de 3 términos

R(x, y)= 5x2 + x3y5

Binomio

T(x)= 3xMonomio

REPRESENTACIÓN GENERAL DE UN POLINOMIO DE UNA VARIABLE

P(x) a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ...... + an-1x + an , (a0 0)

Dónde:x = variableGrado de P(x): Gdo (P) = n; na0: Coeficiente principala0; a1; a2; .......; an : Coeficientesan: Termino independiente

Ejemplo:P(x) 3x + 5x3 + 7x2 + 11Gdo(P) = 3Coeficiente principal = 5Coeficiente del termino cuadratico = 7Coeficiente del termino lineal = 3Termino independiente = 11

DEFINICIÓNEn todo polinomio cuyo coeficiente principal es la unidad se denomina “polinomio monico”.

Ejemplos:

P(x) 5x + x4 + 3x2 + 7

Gdo(P) = 4; coeficiente principal = 1P(x) es MónicoQ(x) 3x2 - x5 + 2Gdo(Q) = 5; coeficiente principal = -1Q(x) no es Mónico

VALOR NUMERICOEs aquel valor que se obtiene al reemplazar las variables por constantes

Ejemplo:Si : P(x) = 5x + 3hallar : P(0); P(1)Resolución:x = 0 : P(0) = 5(0) + 3 = 3x = 1 : P(1) = 5(1) + 3 = 8

VALORES NUMERICOS NOTABLESSi P(x) es un polinomio, se cumple:P(0) = Termino independienteP(1) = Suma de coeficientes

GRADOS

GRADO: Es una característica de las expresiones algebraicas racionales enteras relacionadas con los exponentes de sus variables.

Hay 2 tipos de grados y son:Grado Absoluto (G.A)Grado Relativo (G.R)

GRADO DE MONOMIOSEl grado o grado absoluto de un monomio se halla sumando todos los exponentes de todas sus variables y el grado relativo de una variable está dado por el exponente de dicha variable.

Ejemplo:

M ( x , y ) = 12 x5 y9

COEFICIENTE VARIABLES

G.A(M) = 5 + 9 = 14GR.(x) = 5GR.(y) = 9Solo en monomios se cumple que el grado absoluto siempre es igual a la suma de todos sus grados relativos.GRADO DE POLINOMIOSEl grado o grado absoluto de un polinomio está dado por el mayor grado de todos sus términos o monomios y el grado relativo de una variable está dado por el mayor exponente de dicha variable en todo el polinomio.

Ejemplo:

P( x ; y )=8 x3 y7⏟T 1

+6 x5 y6⏟T2

+9x5 y8⏟T 3

G.A (T1) = 3 + 7 = 10G.A (T2) = 5 + 6 = 11G.A (T3) = 4 + 8 = 12Entonces: G.A (P) = 12

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Academia Preuniversitaria ADUNI Álgebra – Nivel: A–2

PRÁCTICA DE CLASE

1) Dado el monomio:P(x, y) = 4 mn x2m+3n y5m – n

Si G.A. (P) = 10 y G.R. (x) = 7Calcular su coeficiente:A) 2 B) 5 C) 8D) 16 E) 64

2) ¿Cuál es el grado del polinomio:P(x) = x + 4x4 + 10x10 + 19x19 + … si tiene 37 términos

A) 1000 B) 1998 C) 1999D) 2000 E) 2001

3) Si el grado de:

M ( x )=3x65√9x 4 3√xm √2xm es 8, el valor de “m” es:

A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 15

4) Si el grado de la expresión reducida equivalente a:

N ( x )=n√x3 √x8 es uno

Hallar el grado de:

P( x )= x2+x8+x18+x32+.. .⏟n términos

A) 50 B) 72 C) 98 D) 128 E) 162

5) ¿Cuál es el grado del polinomio que se obtiene al reducir:

P(x) = (a + b – 3)x + a+b−1√ xa+b+5?

A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) Hay 2 correctas

6) Hallar m . n ; si el grado de:P(x, y) = xm + n yn – 1 + xm + n + 1 yn - 3 es 20. Además el grado relativo

a “y” es 5.

A) 45 B) 54 C) 64 D) 72 E) 80

7) Hallar “n”, si el grado de:

√ x √xn3√x es 5

A)

53 B) 56 C)

563 D)

565 E)

56

8) Dado el polinomio:R(x) = (2 x 4 – 3) m (m x5 – 1)5 (2 xm – x – m)3

Indique el coeficiente principal, si el término independiente es 72.A) 1024 B) 243 C) 624 D) 512 E) 64

9) Calcule “m”, si la suma de los grados de los términos del polinomio:

P( x )= x2+x12+x36+x80+⋯⏟m té minos es 6734

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 10

10) Dados:

P(x) = (3 xn

¿

−7 xn+3 )n¿

y

Q( x )= (3 xn¿

−7 x+1 )2 y

R( x )= 11 x+5Si: G.A. [P( x ) . Q( x ) . R( x )]=289 , calcular el grado de:

M ( x )=(11 xnn+1)2 (x2n−xn )A) 6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 16

III SUMATIVO (OCT. 98 – FEB. 99)11) Sabiendo que:

P( x , y )=7 xm+3+ p y p−2+9xm+ p+1 y p+4+xm+ p+1 y p+1

es polinomio de grado absoluto 18 y la diferencia de los grados relativos a “x” e “y” es 8, entonces el valor de (m + p)2 es:A) 81 B) 64 C) 121 D) 49 E) 100

III SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 1998)12) Si el polinomio

2 x2a+b−4 ya+b+2+4 x2a+b−3 ya+b+1−6 x2a+b−2 ya+bes de grado 10 y la diferencia entre los grados relativos de x e y es 4, la suma de a y b es:A) -3 B) -1 C) -2 D) 3 E) 2

III SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2000)

13) Si el monomio

x√ xm−2

3√xm+2 es, de quinto grado, entonces el valor de

m es: A) 26 B) 30 C) 34 D) 38 E) 43

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 1999)14) El grado del polinomio:

p( x , y )=b (axa+1 yb−1)+(5x )a−1 yb−a+0 ,04bx2 yb+1es 14, y el grado respecto a “x” es 6.El producto de todos sus coeficientes es: A) 10 B) 50 C) 100 D) 500 E) 600

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 1999)15) Dado el siguiente polinomio:

8q3 a p−16q2a p2+√3 q4 a p3−√8de grado 27; el valor de a2 – 3 es:A) 33 B) 28 C) 30 D) 41 E) 25

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2002)

16) Si: (2a+5b )Xa+5Y c+2Zb+4

y (c2+3a )X10−bY 10−aZ7−cson términos semejantes, entonces la suma de sus coeficientes esA) 30 B) 32 C) 34 D) 36 E) 40

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2002)17) Si P(x) es un polinomio cúbico donde

P(3x + 10) = x3 + 2x + 40, la suma de los coeficientes de P(x): es:A) 51 B) 43 C) 13 D) 10 E) 7

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2001)18) Si el grado absoluto de:

P( x , y )=x2m yn+2−3xm yn+1+xm ynEs igual a la mitad de la suma de los exponentes de todos sus variables. El grado relativo a “y” es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

II SUMATIVO (OCT. 2001 – FEB. 2002)19) El grado de:

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P( x ) =5√[ ( x18a+x13a+Mx7 a )2xa+3 . ]

1/a

Si a > 0 es:A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2000)20) Si los grados de los polinomios de P y Q, en ese orden, son

números consecutivos y además el grado de (P2Q + Q3)4 es 72, entonces el grado de: (PQ2 – P3)4 es:A) 56 B) 60 C) 64 D) 68 E) 72

II SUMATIVO (MAYO – SET. 1997)21) Si el término independiente del polinomio:

P(x) = (x + 2)2 (x – 3) (x – m) (x + 5) es 2940, entonces “m” es igual a: A) 25 B) 40 C) 49 D) 20 E) 15

II SUMATIVO (MAYO – SET. 1997)22) El valor que debe tomar “n” para que la expresión:

P( x , y )= y ( xy ) ( x2 y ) ( x2 y2 ) ( x3 y2 ) ( x3 y3) ( x4 y3 )( x4 y4 ). .. .. . .. . ( xn yn )

Tenga por grado absoluto igual a 300, es: A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

II SUMATIVO (OCT. 2000 – FEB. 1998)23) P y Q, son polinomios, tal que el grado de P es 4 y de Q es 3. El

grado de 3P2 + 2Q3 es:A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2003)24) El grado de la siguiente expresión es 105, entonces el valor de “n”

es:

( y2+2 )( y+1)( y4+4 )( y3+3 ). .. .( yn+n)A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

II SUMATIVO (OCT. 2003 – FEB. 2004)25) El grado del polinomio:

p( x )=( x2+1)( x6+1)( x12+1)( x20+1 ). . ..( xn(n+1)+1 )Es:

A) n2 (n+1 ) B)

n(n+1 )3 C)

n(n+2 )3

D)

n(n+1 )(n+2)3 E)

n(n+1 )2

3

II SUMATIVO (ABRIL – AGOSTO 2000)26) Si P(x) = (x-1) (x2–1) (x4–1) (x8–1)……. tiene 20 factores, entonces

el grado de P(x2n) es:A) 220 B) 2n20 C) 2n220

D) 2n(220-1) E) n(220-1)

UNT 1998 (ÁREA “C”)27) Si el monomio:

M = 26a√xb y b√xa yb2

Es de grado absoluto 4 y los grados relativos a “x” e “y” son iguales:El valor de 3b – a es:A) -1 B) 5 C) -2 D) 1 E) 2

UNT 2007 – I (ÁREA C Y D)28) Los grados de los polinomios:

P2 (x )Q( x ) yP3( x )Q( x ) son 27 y 23

Respectivamente, el grado de

Q2( x )P( x ) , es:

A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4

UNT 2006 – II (ÁREA C)29) Luego de reducir la expresión:

Q( x ) = [n2+1√xnn+1 x x(nn−1−1) ](1−n)Donde:

n∈N∗= N−{1}, x>0 y z≠1 :resulta una expresión algebraica que se clasifica como:A) Racional enteraB) Racional fraccionaria C) Irracional D) Expresión exponencial E) Trascendente

PRÁCTICA DOMICILIARIA

1) Hallar el valor de “n” si el grado del monomio:

M =

n√x n√ x n√ x n√xn√ n√ n√ n√ xn3−n es 36

A) 1/3 B) -1/2 C) ½ D) 3 E) 2

2) Hallar “a” sabiendo que la expresión es de décimo grado

3√ x15a√ xa+13√x2 √ xa+3A) 4 B) 3 C) 2 D) 5 E) 1

3) Si la expresión:

R(x, y, z) =

xa+3 .a−2√ y√(a−2 )3

y−5 . za−7

se clasifica como expresión algebraica racional entera. Calcular uno de los valores de: R(-2, -2, 2)A) 218 B) 218

C) Hay dos alternativas correctasD) 216 E) 221

4) Dados los polinomios:

P(x) = ( xa

aa

+xaa

+aaa

) (xa+x+a−a2)

F(x) = ( xaa−xa+aa )a

2

Determinar el grado de F(x), si el término independiente de {P(x) . F(x)} es 256A) 2 B) 4 C) 16 D) 64 E) 32

5) Indicar, cuanto vale la suma de todos los coeficientes del polinomio:P(x) = (5x4 – 3)n + (4x5 – 3)n-1 + (7x3 – 5)n-2 + 5(x7 + 1)n-2 (x – 2)A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 0

6) ¿Cuántas letras se deben tomar para que el grado absoluto del monomio?M = a6. b24. c60. d120 …… sea 6006A) 12 B) 13 C) 10 D) 18 E) 11

7) Hallar el grado absoluto del monomio

M =

a√x c√ yb√z2 ; si se cumple:

ab – ac – n2 = bc – ab – 2n = ac – bc – 1 = 0A) 1 B) 0 C) 2 D) 4 E) N.A.

3 R. Descartes Nº 198 – Urb. La Noria 044-509007

Academia Preuniversitaria ADUNI Álgebra – Nivel: A–2 8) Hallar el grado absoluto del monomio:

M = x2(1) y4 (4 ) z6(9) . .. . .w30 (225)

A) 14 400 B) 20 800 C) 38 080D) 28 080 E) 28 800

9) Calcular “m” y “p” si el polinomio:

P=7 xm+ p+3 y p−2+9 xm+ p+1 y p+ 4+11 xm+p−1 y p+1es de grado absoluto 18 y la diferencia de grados relativos a “x” e “y” es 8.A) 9,7 B) 13,9 C) 4,8 D) 2,9 E) 8,9

10) En el polinomio:

P=2 xm yn−1+3 xm+1 yn+7 xm−2 yn+2+6 xm+3 yn+1el grado relativo a “x” es 12 y el grado absoluto del polinomio es 18. Hallar el grado relativo a “y”.A) 9 B) 5 C) 7D) 6 E) 4

11) Dados los polinomios P y Q donde:

P( x , y )=3 xm2+3 yn−5+√2xm2+1 yn−3−xm2−4 yn+2

Q( x , y )=2 x2m yn2−12−√3 x2m+1 yn

2−20+x2m+6 yn2−15

Si el polinomio P es de grado 19 respecto a “x” y en el polinomio Q el grado respecto a x es 10 unidades menor que el grado respecto a “y”, luego el grado absoluto del polinomio P(x,y) más el grado respecto a “y” en el mismo es:A) 26 B) 27 C) 28D) 30 E) 29

12) Dado el polinomio: P(x) = x + 3x3 + 6x6 + 10x10 + …………Calcular el grado absoluto, si se sabe que tiene t treinta términos.A) 356 B) 365 C) 456D) 465 E) 565

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