TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS

Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuanta

desconocida entonces la misin mas importante del topgrafo es

mantener las mediciones dentro de ciertos lmites de precisin,

dependiendo de la finalidad del levantamiento.

Para ello es necesario que conozca bien las causas que ocasionaba

dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber

distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisin.

EXACTITUD:

Es el grado de aproximacin a la verdad o grado de perfeccin a la que hay que procurar llegar.

PRECISION:

Es el grado de perfeccin de los instrumentos y/o con que se realiza una

operacin o se toma la lectura de una observacin o tambin el nmero

de cifras con que se efecta un clculo.

ERROR Es la diferencia entre el valor verdadero y el valor determinado mediante las mediciones. No obstante, es preciso anotar que el valor verdadero no se conoce ni se conocer jams.

Una medicin puede ser precisa sin ser exacta y viceversa.

EJEMPLO

Una distancia puede medirse muy cuidadosamente con una cinta y

aproximarla hasta el milmetro, y tener como resultados una medida con

un error de varios centmetros, esto por ser incorrecta la longitud de la

cinta, luego la medida es precisa pero no exacta.

En conclusin se puede decir:

Ninguna medida es exacta

Todas las mediciones contienen errores.

El verdadero valor nunca se conoce.

FUENTES DE ERROR

A. INSTRUMENTALES:

Aquellos que provienen de la imperfeccin en la construccin o ajuste

de los instrumentos de media, por ejemplo la mala graduacin de una

wincha, un teodolito mal calibrado

B. PERSONALES:

Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista,

distracciones, equivocaciones etc. Ejemplo leer un N por otro.

C. NATURALES:

Son aquellos que tiene como origen la variacin de ciertos

fenmenos naturales, como el viento, la humedad, la temperatura, la

refraccin, etc. Ejemplo la dilatacin o contratacin de la wincha de

acero por cambios de temperatura.

CLASES DE ERRORES

1. ERRORES MATERIALES O EQUIVOCACIONES

Son errores que se comenten sin intencin, debido a una confusin del

operador o a la falta de atencin de este.

Son fciles de detectar, poniendo atencin a lo que se hace, teniendo

ms orden, se descubren y elimina comprobando parte o todo el

trabajo.

2. ERRORES SISTEMATICOS

Son aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en

la misma magnitud y con el mismo signo es decir son acumulativos

se puede calcular y eliminar por medio de la correccin Ejemplo una

wincha de acero de 30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de

0.06 m. entonces introduce un error de + 0.06 cada vez que se usa.

3. E. ACCIDENTALES

Son aquello errores que se cometen en forma casual y escapan del

control del operador y la capacidad del instrumento y obedece a la ley

de la probabilidad no se le puede aplicar ninguna correccin debido a

que no hay mtodo que nos permita calcularlos, tambin se los

denomina errores compensable, porque la magnitud y el signo son

variables por lo que tienden anularse parcialmente entre si en una

serie de medidas estos errores son los que hacen que nos puedan

encontrar el valor verdadero de una medidas.

DDDIIISSSCCCRRREEEPPPAAANNNCCCIIIAAA

Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud.

Siempre se debe comprobar una operaciones topogrficas realizando

como mnimo una segunda medicin.

Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequea indica que

no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeos,

por tanto se puede corregir.

Si la discrepancia es grande indica que se ha cometido una

equivocacin o error que hay que detectarlo y eliminarlo,

comprobando parte o todo el trabajo.

Uno de los mejores mtodos para localizar equivocaciones y errores es

de comparar varias medidas de la misma magnitud.

OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION

VALOR PROBABLE

Es valor probable de una cantidad es una expresin matemtica que

designa un valor calculado que de acuerdo a la teora de las

probabilidades es el que mas se aproxima al verdadero valor.

VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDAD

El V.P. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones

es la media aritmtica de todas las mediciones hechas.

Nota: Es la media aritmtica de todas las mediciones admitidas como

probables.

V.P. = X = N

X n

N = Nmero de observaciones

Ejemplo: Las mediciones de una longitud han dado como resultado:

854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m.

856.25 es una medida que se aleja mucho de la media

por lo tanto anulamos

V.P = 4

26.85422.85427.85425.854

V.P. = 854.24 m.

VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES

HOMOGENEAS

Para una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad de

condiciones y cuya suma exacta se conoce entonces los valores

probables son los observados con una correccin igual al error total

dividido entre el nmero de observaciones.

Nota: Generalmente la correccin se hace proporcional al nmero de

Observaciones y no a la magnitud de cada medicin

Entonces:

iii = N1

( G - iii )

iii = iii iii

G = Condicin geomtrica

iii = Valores angulares

iii = Correccin

N = nmero de medidas

Ejemplo: se han medido lo tres ngulos de un triangulo en las mismas

condiciones y los resultaos son:

A = 58 30 15

B = 79 46 50

C = 41 42 40

G = 180

iii = 179 59 45

iii = 31

( 180 - 179 59 45) = + 5

Como es por DEFECTO la correccin ser de + 5

A = 58 30 15 + 5 = 58 30 15

B = 79 46 50 + 5 = 79 46 55

C = 41 42 40 + 5 = 41 42 45

179 59 45 + 5 = 180 00 00

Para mediciones anlogas, hechas en igualdad de condiciones y cuya

suma sea igual a una sola medicin hechas en las mismas condiciones y

circunstancias los valores probables se obtiene repartiendo el error total

en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma.

Si la correccin se suma a cada medicin entonces se restara a la suma

total y viceversa.

Ejemplo:

Se han medido tres ngulos y el ngulo total, alrededor un mismo

vrtice 0

< AOB = 12 31 50 < BOC = 37 29 20

< COD = 27 37 00 < AOD = 97 37 00

Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones.

Calcular los valores probables de los mismos.

Solucin:

iii = < AOB + < BOC + < COD = 97 38 10

Condicin Geomtrica =

G = < AOD

G = 97 37 00

iii = 41

( 97 37 00 97 38 10 ) = - 4

"10'1 = -

4

"70

CCCooommmooo eeesss pppooorrr eeexxxccceeesssooo iii = - 17.5

< AOB = 12 31 50 17.5 = 12 31 32.5

< BOC = 37 29 20 17.5 = 37 29 02.5

< COD = 47 37 00 17.5 = 47 36 42.5

< AOB = 12 31 50 17.5 = 12 31 32.5

en los casos anteriores cuando se hablo de circunstancias iguales o en

iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho

empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de

condiciones atmosfricas.

EEERRRRRROOORRR PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE

Error probable es una cantidad positiva o negativa que establece los

lmites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error accidental,

es decir una medida tendr la misma oportunidad de quedar dentro de

estos lmites que quedar fuera de ellos.

ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDAD

Indica el grado de precisin que cabe esperar en una sola observacin,

hecha en las mismas condiciones que las dems.

E = 0.6745 1

)(2

n

n

i

ixx

0.6745 : Constante de proporcionalidad.

n

i 1

( x - xi )2 = V2 = Errores Residuales

N = # de observaciones

ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICA

De un cierto nmero de observaciones de la misma cantidad:

Eo = 0.6745 )1(

)(2

nn

n

i

ixx =

n

E

ERROR RELATIVO

Es la forma unitaria de expresar el error, dando as mejor significado de la

precisin de las mediciones.

Se expresa en forma de un quebrado siendo el numerador la unidad

Er = x

E =

E/X

1

El error probable de la media aritmtica sirve para expresar la fluctuacin

que puede tener el valor promedio entonces tenemos.

VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE::: VVV...MMM...PPP

V.M.P. = X EO

PROBLEMA

Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones usando un

nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de

condiciones obtenindose: 2.187, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186,

2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179.

Calcular

a) Error probable de una sola medicin.

b) Error relativo

c) Valor Ms Probable.

SOLUCION:

Xi x ( x - Xi ) ( x - Xi )2

2.187

2.182

2.179

2.181

2.184

2.176

2.186

1.183

2.178

2.181

2.188

2.179

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

2.182

- 0.005

0.000

0.003

0.001

- 0.002

+ 0.006

- 0.004

- 0.001

0.004

0.001

- 0.006

0.003

0.025

0.000

0.009

0.001

0.004

0.036

0.016

0.001

0.016

0.001

0.036

0.009

= 0.154

a) ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIN

E = 0.6745 1

)(2

n

n

i

ixx = 0.6745

11

154.0

E = 0.0798 m.

b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIN

Eo = 0.6745 )1(

)(2

nn

n

i

ixx =

n

E =

12

0798.0

Eo = 0.023 m

c) ERROR RELATIVO

Er = E/X

1 =

0798.0/182.2

1 =

34.27

1

d) VALOR MAS PROBABLE

V.M.P = 2.182 0.023 m.

OBSERVACIN DE DIFERENTE PRECISIN

En anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones

han sido tomadas en identificas condiciones y por lo tanto son de igual

precisin.

Pero en un trabajo topogrfico es difcil encontrar estas igualdades de

condiciones, entonces ser necesario tener en cuenta estas diferentes

precisiones para encontrar los resultados de las mediciones, estas

diferentes precisiones se llaman.

PPPEEESSSOOOSSS

As por ejemplo: se ha medido un ngulo en varias ocasiones y por

distintos operadores, todos han tenido el mismo esmero al observar

obteniendo el siguiente resultado.

47 37 40 (1er Operador) ha realizado 1 observacin

47 37 22 (2do Operador ha realizado 4 observaciones

47 37 22 (3er Operador ha realizado 9 observaciones

Es lgico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisin del

primero y el tercer valor tiene nueve veces la precisin del primero por lo

que podemos deducir que los pesos son proporcionales al nmero de

observaciones as:

El primero tendr: Peso 1 o 2

El segundo tendr: Peso 4 o 8

El tercero tendr: Peso 9 o 18

Los pesos relativos

NOTA:

1. El peso se puede asignar de acuerdo al nmero de

observaciones.

2. El peso se puede asignar al criterio del observador.

3. El peso se puede asignar de acuerdo al error probable, en

este caso son inversamente proporcional a los cuadrados de

los respectivos errores probables.

OSEA:

21

22

2

1

E

E

P

P

donde:

P1, P2 = son los pesos que se asignan

E1, E2 = son los respectivos errores probables.

La formula general es :

P1 21

E = P2 22

E = P3 23

E =

VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE DDDEEE OOOBBBSSSEEERRRVVVAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN PPPEEESSSOOOSSS

DE UNA SOLA CANTIDAD

El V.P. de una cantidad medida varias veces con diferente precisiones:

a) MEDIA PONDERADA

X P =

P

Piix )(

b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA

Eop = 0.6745 x )1(

)(2

nP

Pin

i

P ixx

c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

Eo = 0.6745 x )1(

)(2

n

Pin

i

P ixx

d) VALOR MAS PROBABLE

VMP = X P Eop

Del ejemplo anterior que se ha medido un ngulo en varias ocasiones

47 37 40 ( 1 observacin)

47 37 22 ( 4 observaciones)

47 37 30 ( 9 observaciones)

ANGULO PESO Xi x Pi ( x P - xi ) ( x P - xi )

2 ( x P - xi )2 Pi

473740 1 473740 - 12 144 144

473722 4 88 +6 36 144

473730 9 270 - 2 4 36

a) MEDIA PONDERADA

X P =

P

Piix )( =

14

"398 = 28 X P = 473728

b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA

Eop = 0.6745 x )1(

)(2

nP

Pin

i

P ixx = = 06745 X

)13(14

"324

Eop = 2.3

c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA

Eo = 0.6745 x )1(

)(2

n

Pin

i

P ixx = 0.6745 X

13

"324

Eo = 8.58

d) VALOR MAS PROBABLE

VMP = X P Eop = 47 37 28 2.3

Ejemplo:

Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La cota con

sus correspondientes errores probables son:

ITINERARIO ALTURA OBSERVADA

A 221.05 0.006 m

B 221.37 0.012 m

C 220.62 0.018 m

D 221.67 0.024 m

a) Hallar el valor probable de la cota

b) El Error Probable de la Media Ponderada.

c) El Valor Mas Probables.

SOLUCIN

a) Calculo de los Pesos

P1 21

E = P2 22

E = P3 23

E = (1)

E1 = 0.006 simplificando E1 = 1

E2 = 0.012 simplificando E2 = 2

E3 = 0.018 simplificando E3 = 3

E4 = 0.024 simplificando E4 = 4

Reemplazando en (1)

P1 21

E = P2 22

E = P3 23

E = P4 24

E

P1 x 1 = P2 x 4 = P3 x 9 = P4 x 16

P1 = 1 P2 = P3 = 1/9 P4 = 1/16

Xi Pi Xi Pi

221.05 1 221.05

221.37 55.34

220.62 1/9 22.51

221.67 1/16 13.85

205/144 314.75

b) Media Ponderada

X P =

P

Piix )( =

144/205

75.314 = X P = 221.10 m

Xi ( x P - xi ) ( x P - xi )2 P ( x P - xi )

2 Pi

221.05

221.37

220.62

221.67

0.05

0.27

0.48

0.57

0.0025

0.0729

0.2304

0.2249

1

1/9

1/16

0.0025

0.182

0.0256

0.0203

144

205

0.0666

b) Error Probable de la Media Ponderada

EOP = 0.6745

)3(144

205

00666.0 EOP = 0.026 m.

c) Error Probable de una Medida

Ep = 0.6745 3

00666.0 Ep = 0.00317 m.

d) Valor Ms Probable

VMP = X P Eop = 221.10 0.026 m.

VARIAS CANTIDADES HOMOGENEAS

Cuando se tiene varios valores observados con diferentes pesos y la

suma de estos valores es igual a un valor conocido o medido.

Entonces los V.M.P. son los observados mas una correccin, esta

correccin es una parte del error total .

Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los

pesos

C1 P1 = C2 P2 = C3 P3

Donde:

C = Correccin que debe aplicarse al valor observada de una

cantidad para obtener el VMP.

EJERCICIO

Se midieron los tres ngulos y el ngulo total de estos, todos desde el

mismo vrtice O en igualdad de condiciones obtenindose los

siguientes resultados:

< AOB = 46 14 45 ( 6 observaciones)

< BOC = 74 32 29 ( 1 observaciones)

< COD = 85 54 38 ( 3 observaciones)

< AOD = 208 41 28 ( 5 observaciones)

Hallar los valores probables.

Solucin:

a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES PARCIALES RELATIVAS.

C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4

6 X C1 = 1 X C2 = 3 X C3 = 5 X C4

C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 C4 = 1/5

b) DISCREPANCIA

Ejercicios:

1. No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los puntos M, N, se

determinara en forma indirecta, midindose su pendiente y la diferencia

de nivel entre estos en tres operaciones de campo, registrando los

siguientes datos:

Pendiente AH

1ra medicin 02 43 15.23 m.

2da Medicin 02 44 15.22 m.

3ra Medicin 02 42 15.24 m.

a) Hallar el V.M.P de la pendiente, de la diferencia de nivel y la

distancia horizontal

b) Adems hallar sus respectivos Errores Relativos.

2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos obtenido los

siguientes datos:

Medicin del permetro:

5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m. 5188.10 m.

5365.80 m. 5186.70 m.

De igual manera se han medido sus ngulos internos:

< A = 68 34 15 (3 veces)

TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS EEENNN LLLAAASSS MMMEEEDDDIIICCCIIIOOONNNEEESSS

TTTOOOPPPOOOGGGRRRAAAFFFIIICCCAAASSS

Una operacin Topogrfica como:

La suma de tramos para dar una longitud total.

Hallar el lado o ngulo de una figura geomtrica.

El rea de triangulo, cuadrado o cualquier cuadriltero.

El volumen de una figura geomtrica etc.

Esta dado por la siguiente funcin:

= f ( x, y, z )

Entonces el Error Probable de dicha operacin esta dado por

e = 222

...

zyx eee

dz

du

dy

du

dx

du

1). EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD

TOTAL

x + ex y + ey z + ez

La Funcin ser:

S = x + y + z + .......

El Error Probable

es = 222

...

zyx eee

dz

ds

dy

ds

dx

ds

es = 222 zyx eee

V.M.P. = S es

Nota:

Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo

error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es

igual al error probable de una sola observacin o medida multiplicada por

la raz cuadrado del Nmero de medidas.

S = x + x + x + x .......

es = 222 xxx eee

es = 2. xen es = ex n

V.M.P. = S ex n

Ejemplo:

Se mide una alineacin en tres tramos con los siguientes errores

probables:

0.014 m. 0.0022 m. 0.016 m.

Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud total.

Solucin:

ex = 0.014 m. ey = 0.022 m. ez = 0.016 m.

es = 222 zyx eee = 222 016.0022.0014.0

es = 0.03059 m.

2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA

Ejemplo del rea de un rectngulo

l + el

a + ea

La Funcin ser: A = l x a

El Error Probable

eA = 22

..

al ee

da

dA

dl

dA

eA = 22 .. al elea

V.M.P. = A eA

Ejercicio:

Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se

miden con una cinta de 25.0m. que tiene en su longitud un error de

0.015mts. Hallar el Valor Ms Probable del rea de dicho terreno.

SOLUCION:

Calculo del Ep de cada lado

Como para cada cintada se produce un error de 0.015m. entonces este

error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho

Para 750 m.

Se habrn dado: 25

750 = 30 medidas

eL = e. N = 0.015 30 eL = 0.082 m.

Para 375 m.

Se habrn dado: 25

375 = 15 medidas

ea = 0.015 15 ea = 0.058 m.

l = 750 0.082 m a = 375 0.058 m

A = 750 x 375 = 281250 m2

eA = 22 .. al elea = 22 058.0750082.0375 xx

eA = 53.27

V.M.P. = 281250 53.27 m2

3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA

GEOMETRICA

EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS

L eL

e D eD

La funcin ser: D= L x cos

El error probable:

eD = 22

..

ee

d

dD

dL

dDL

eD = 22 ... aL eSenLeCos

V.M.P. = D eD

Nota: e radianes

Ejercicio:

Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B

con el siguiente resultado. 321.328 0.035 y 243 234

respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontal

entre estos.

Solucin:

321.328 0.035

243 234

D

D = L x Cos = 321.328 x Cos ( 2 43 ) = 320.967 m.

El error probable:

eD = 22 00702.0328.321035.0`432 xxCos = 0.1125

V.M.P. = 320.967 0.1125 m