FISICAMEDICIONES E INCERTIDUMBRESMsc:San Bartolom Montero Jaime.H.UNIVERSIDAD NACIONAL TECNOLOGICA DEL CONO SUR DE LIMAINGENIERIA ELECTRONICA Y TELECOMUNICACIONES

FISICA : Es una ciencia cuya finalidad es estudiar los componentes de la materia y sus interacciones mutuas, para poder explicar las propiedades generales de los cuerpos y de los fenmenos naturales que observamos a nuestro alrededor. Sus temas de estudio se han centrado en la interpretacin del espacio, el tiempo, y el movimiento, en el estudio de la materia (la masa y la energa) y de las interacciones entre los cuerpos. METODOLOGIA DE LA FISICALa metodologa que se usa tiene tres caractersticas:La primera forma es el anlisis de un sistema fsico que se realiza en base a las propiedades de sistemas ms sencillos.La segunda forma parte del principio de que la fsica se fundamenta necesariamente en la experimentacin.La tercera se refiere al uso frecuente de las matemticas .Las reglas que gobiernan todas estas relaciones son objeto de las matemticas. Por eso se dice que la matemtica es el lenguaje de la fsica.

ORIGEN DEL UNIVERSO

INTERACCIONES FUNDAMENTALES MODELO ESTNDAR :

GRAVITATORIA : Largo Alcance Atractiva ,masa gravitacional Peso , Movimiento de los Planetas , Evolucin del Universo.

ELECTROMAGNTICA :Largo Alcance , Atractiva/RepulsivaCarga Elctrica ,Fenmenos Electromagnticos , Cohesin de la materia.

FUERZA NUCLEAR FUERTE :corto alcance ( m) color quarks, gluones , Estabilidad de Ncleos Atmicos Fisin y Fusin Nuclear .

FUERZA NUCLEAR DEBIL : Corto alcance( m) , sabor (quarks) ,Desintegracin , Radiactividad .

INTENSIDADES,ALCANCE Y PARTICULAS

Cmo navegar en estos Apuntes?En la siguiente diapositiva se muestra un mapa conceptual.Un mapa conceptual es una forma esquemtica de presentar los conceptos fundamentales de la materia y su relacin entre s.Observa este mapa y, haciendo click en el tema de tu inters, puedes ir a este tema donde encontrars explicaciones en extenso y ejemplos ilustrativos.Haciendo click en los botones puedes avanzar, retroceder e ir a los ejemplos. Con el botn: i, puedes regresar al mapa de donde partiste.

SalidaSalidaSalida

Desviacin estndar media(objetivo)Promedio:

Error: Desv. est. media:

Mediciones Directas

S, entoncesasignamosMedicionesIndirectasparaparaCalculamosSalidaCalculamos

El nmero de medicioneses mayor o igual a 10?N10?MedicionesDirectas ReproduciblesPromedio:

Incertidumbre:

Ix = - Li Promedio:

Error: Dif. Total

No, entoncesasignamosparaparaparaCalculamosCalculamosCalculamosIncertidumbre absoluta o tolerancia(subjetivo)Mediciones Directas No ReproduciblesMedicionesIndirectas

MEDICIONESMAPA CONCEPTUALMtodoObjetivoMtodoSubjetivo

MedicionesMEDIR:es un proceso mediante el cual se busca asignar un nmero a una cantidad fsica determinada.

Ir a Ejemplo 1Ir a Ejemplo 2

Ejemplo 1: medicin directaMEDIR: la LONGITUD de un campo de ftbol.mnimo 90 m.maximo 120 m.

Ejemplo 2: medicin indirectaexperimento de CavendishMEDIR: la constante de la gravitacin GConociendo F, las masas: m y M; y la separacin: r, se despeja la constante G de la frmula de la fuerza de atraccin:

Nmero De MedicionesPara obtener una medicin con su incertidumbre absoluta: Es suficiente con tener menos de diez mediciones, inclusive una sola es suficiente, dado que se trabaja con la:Escala del aparato o con su tolerancia.

Para obtener una medicin con su desviacin estndar:Es preciso contar con una muestra representativa de los posibles valores:Esto lo aseguramos midiendo la cantidad, al menos:Diez veces bajo las mismas circunstancias experimentales

Incertidumbre o ToleranciaDefiniciones Preliminares En todo proceso de medicin se cometen errores que los podemos clasificar como:

ERRORES SISTEMTICOS: son aquellos que se pueden evitar y suceden en una misma direccin, es decir, siempre se mide por exceso o por defecto.ERRORES ALEATORIOS: son aquellos que no se pueden evitar, pero s se pueden minimizar midiendo al menos diez veces la cantidad bajo las mismas circunstancias experimentales. Estos errores suceden en ambas direcciones: por exceso y por defecto indistintamente. Por ejemplo: una distraccin al tomar la lectura del aparato. Durante el desarrollo del proceso experimental se cometern ambos tipos de error indistintamente y se debe ser muy cuidadoso con su manejo. De tal manera que medir bien o efectuar una:MEDICIN BIEN HECHA: es aquel proceso en el que se han eliminado todos los errores sistemticos y se han minimizado al mximo todos los errores aleatorios.EXACTITUD: se dice que toda medicin bien hecha es exacta, pero puede diferir en precisin.PRECISIN: es el nmero de cifras significativas que se conocen de una cantidad cualquiera y usualmente nos las brinda el aparato de medicin.

Ir a Ejemplo Ir a Ejemplo Continuar: Incertidumbre o Tolerancia Ir a Ejemplo Ir a Ejemplo Ir a Ejemplo

Error Sistemtico, Ejemplo

ERROR SISTEMTICO: un ejemplo tpico es el error de calibracin, es decir, cuando el aparato no mide cero apropiadamente.

Por ejemplo, considere una bscula que no est calibrada, entonces siempre medir de ms o de menos, segn sea el monto de tal descalibracin.

Error Aleatorio, Ejemplo ERROR ALEATORIO: un ejemplo tpico es el que se comete al tomar la lectura con un cronmetro, es decir, el tiempo de respuesta al iniciar o detener el aparato: algunas veces se comenzar a medir antes y otras veces despus; de tal manera que algunas veces se medir de ms y otras veces de menos.

Exactitud y Precisin, Ejemplos Medicin bien hecha: se midi un espesor con:A) Flexmetro:e = 2.1 0.05 cm.B) vernier:e = 2.095 0.0025 cm. Ambas mediciones, A) y B), estn bien hechas porque se eliminaron todos los errores sistemticos y se minimizaron al mximo los errores aleatorios, es decir, ambas: Son EXACTAS porque se midieron cuidadosamente, pero difieren en: PRECISIN: la medicin A) tiene precisin de un milmetro, y la medicin B) tiene precisin de un veinteavo de milmetro. En otras palabras, la medicin A) tiene menos cifras significativas que B): A) tiene menor precisin que B).

Incertidumbre o ToleranciaINCERTIDUMBRE ABSOLUTA: se denota mediante una I latina mayscula a la cual se pone un subndice que denota el nombre de la cantidad a la que se le est asignando el error: IL, Im, It, para la incertidumbre de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica la precisin del aparato y el tamao del intervalo dentro del cual puede estar el valor real de la medicin, con cierta confianza. Usualmente se le asigna un valor igual a la mitad de la mnima escala..TOLERANCIA: es la cantidad que asigna el fabricante de un aparato para cuantificar el error asociado a las mediciones efectuadas con dicho aparato. Usualmente se muestra en el propio aparato o se especifica en el manual. Cuando aparece sustituye a la incertidumbre absoluta..INCERTIDUMBRE RELATIVA: se denota de mediante una I latina mayscula a la cual se pone un subndice que incluye una R mayscula y el nombre de la cantidad a la que se le est asignando el error: IRL, IRm, IRt, para la incertidumbre relativa de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica cunto error se tiene por cada unidad que se mide con un mtodo determinado; se calcula como: incertidumbre absoluta, dividida entre el valor medio de la cantidad. Matemticamente:.

INCERTIDUMBRE PORCENTUAL: se denota de mediante una I latina mayscula a la cual se pone un subndice que incluye un signo de % y el nombre de la cantidad a la que se le est asignando el error: I%L, I%m, I%t, para la incertidumbre porcentual de la longitud, de la masa y del tiempo respectivamente. Esta cantidad indica el porcentaje de error respecto de la media. Matemticamente:

EjemploEjemploEjemploEjemplo

Incertidumbre Absoluta, EjemploUna compaa fabricante de controles reporta las siguientes especificaciones para juntas de acero. Observa que se muestra el nombre de la cantidad con sus unidades, un valor promedio y un error o incertidumbre (+/-) que proporciona la confianza en la medicin. En este caso, la incertidumbre tiene un valor de: IJ = 0.5 mm. La medicin se reportar entonces de la siguiente manera: J =12.0 0.5 mm.

Tolerancia, EjemploLa mayora de las veces el fabricante especifica el grado de error que se obtiene al medir con determinado aparato. En este caso, el micrmetro que se ilustra posee una tolerancia de 0.001 mm ; de tal manera que al medir, por ejemplo, un espesor de 21. 2345 mm, esta medida se reportar como a = 21. 234 0.001 mm.

Incertidumbre Relativa, EjemploTomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta donde: J =12.0 0.5 mm. La incertidumbre relativa se calcula como:

Nota que no tiene unidades porque se cancelan al efectuar la divisin. La cantidad se reporta como: J =12.0 mm 0.04. Este nmero indica que se tiene 0.04 de error por cada mm medido con este mtodo. En otras palabras, ste mtodo es bueno para medir milmetros, pero ya no es bueno para medir, por ejemplo: 1.5 m, porque el error crece hasta: 60 mm = (1500mm)(.04) por cada metro medido.

Incertidumbre Porcentual, EjemploTomemos el caso del ejemplo de la incertidumbre absoluta con: J =12.0 0.05 mm. La incertidumbre porcentual se calcula entonces como:

Este valor nos indica el error respecto del valor promedio, y se reporta como: J =12.0 mm 4 %.

Mediciones Directas ReproduciblesMEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrn de medida con el objeto a medir. MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales.

Ir a ejemplo

Mediciones Directas ReproduciblesEJEMPLOSe desea medir la temperatura corporal de una persona sana. Para ello se utiliza una termocmara realizndose varias lecturas durante una semana, siempre a la misma hora y en el mismo lugar. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura: Tc = 36.87 0.03 C. Es decir, se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales.

Mediciones Directas NO ReproduciblesMEDICIONES DIRECTAS: son aquellas que se realizan comparando directamente el patrn de medida con el objeto a medir.

MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLES: son aquellas mediciones directas que NO se pueden repetir tantas veces como sea necesario, bajo las mismas circunstancias experimentales.

Ir a ejemplo

Mediciones Directas NO Reproducibles EJEMPLOSe desea medir la temperatura corporal de una persona enferma. Para ello se utiliza una termocmara realizndose varias lecturas a lo largo del da para ver la evolucin de la enfermedad. El resultado del experimento arroja la siguiente lectura:Tc = 39 2 C. Es decir, NO se pueden tomar tantas lecturas como se quiera bajo las mismas circunstancias experimentales dado que la enfermedad evoluciona.

Mediciones Indirectas Son aquellas que presumen el conocimiento de una o ms mediciones directas y se obtienen efectuando un clculo matemtico utilizando dichas mediciones directas.

Ir a ejemplo

Mediciones Indirectas. Ejemplo. Se desea establecer el peso que deber soportar una estructura de 160 m2 de rea al ser techada con lmina acanalada. El fabricante proporciona la siguiente informacin: P = 5.21 0.005 kg/m2.De esta manera, la estructura debe soportar un peso de: We = 160*P*gWe = 8161 8 N.Ir a clculo Perfil de lmina acanalada

Mediciones Indirectas. Clculo. Al multiplicar cantidades con error: We = 160*P*g.160*P = 160*(5.21 0.005) =.160*P = 160* 5.21 160* 0.005 = 833.6 0.8 N.160*P*g = (833.6 0.8 )(9.79) =. 160*P*g = 833.6*9.79 0.8*9.79 = 8160.94 7.83 N. De esta manera, la estructura debe soportar un peso de:We = 8161 8 N.

Clculos Para Mediciones Directas ReproduciblesPara calcular el valor central o promedio:

; Donde xi son los valores de los diferentes datos, y n es el nmero de datos.Para asignar error reportando la incertidumbre absoluta, ix: Ix = mitad de la mnima escala del aparato que se est utilizando. PRECAUCIN: debe asegurarse que con este error se cubra la dispersin de los datos experimentales.

Para asignar error utilizando la tolerancia, ix: Ix = tolerancia, monto del error que asigna el fabricante a las mediciones hechas con determinado aparato. Ojo, la tolerancia sustituye a la incertidumbre absoluta. PRECAUCIN: debe asegurarse que con este error se cubra la dispersin de los datos experimentales.

Ir a ejemplo Ir a ejemlo p

CLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES:Ejemplo Con Incertidumbre Se medi la longitud de un perfil de aluminio con un flexmetro obtenindose los siguientes resultados: L1 = 10.05 cm; L2 = 10.1 cm; L3 = 10.15 cm. As pues, la longitud promedio ser:

La mnima escala del flexmetro es: 0.1 cm. Por lo tanto, la incertidumbre absoluta es: Ix = 0.1/2 = 0.05 cm. El valor reportado para la longitud: L = 10.1 0.05 cm.

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MEDICION CON VERNIER CALIBRADOR MECANICO CALIBRADOR DIGITAL2134561.- Mordazas para medidas externas.2.-Mordazas para medidas internas.3.-Nonio para la lectura de fracciones de pulgadas4.-Nonio para la lectura de fracciones de milmetros .5.-Botn de deslizamiento y freno .6.-Escala con divisiones en cm y mm ,en pulgadas y fracciones de pulgadas.Incertidumbre absoluta del vernier : Ix =0.05/2= 0,025mm

ExterioresPodemos decir que el dimetro de la esfera es con seguridad mayor que 16 mm y menor que 17 mm, pero NO ES POSIBLE DAR UNA LECTURA MS PRECISA. mejor estimacin de la longitud = 16.5 mmrango probable: 16 a 17 mm.valor medido de la longitud = 16.5 0.5 mm

Interiores

Lectura del vernierL.M = 0,05 mm.Lectura mnima =1/20

1 cm. = 10 mm

1.5 cm=15mm15mm+11( 0,05) mm15mm + 0,55mm =15,55mm.

Micrmetro

Escalas

4,50 mm

1,5 mm

9,00 + 23 (1/100)=9,23 mm.

Medicin Con Flexmetro

CLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS REPRODUCIBLES:Ejemplo Con ToleranciaSe medi el volumen de un lquido con una probeta, obtenindose los siguientes resultados: V1 = 40 ml; V2 = 40.5 ml; V3 = 40.5 ml ; V4 = 39.5 ml.El volumen promedio ser:

La probeta posee una tolerancia de: Ix = 0.6 ml.El valor reportado para el volumen: V = 40.1 0.6 ml.

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Medicin Con Probeta

Clculos Para Mediciones Directas No ReproduciblesEl valor promedio se calcula como:

; donde Li es el lmite inferior, es decir, el valor ms pequeo de la medicin, y Ls es el lmite superior, es decir, el valor ms alto de la medicin

El error se calcula como:

Ir a ejemplo

CLCULOS PARA MEDICIONES DIRECTAS NO REPRODUCIBLESEjemplo Se midi con un termmetro la temperatura ambiente a lo largo del da obtenindose los siguientes valores:

La temperatura promedio ser:

El error en la temperatura ser:

El valor reportado de la temperatura ser: T = 16 3 C

Cant./#12345T, 0.05, C12.514.316.218.715.4

Sea la funcin f = f( x, y, z ,...), que depende de las variables x, y, z,; medidas como: El valor promedio de la funcin ser: ; es decir, la funcin f evaluada en los promedios de las variables El error calculado de la funcin (f ) se obtiene utilizando el mtodo de la diferencial total:

Evalundola en los promedios y en las incertidumbres correspondientes.Clculos Para Mediciones Indirectas

Ir a ejemplo

Se tiene un resorte de constante, k = 217.35 0.07 N/m. Se desea conocer qu elongacin soportar ante una fuerza de: F = 32.7 0.1 N. Suponiendo obedece a la ley de Hooke: F = -kx. CLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTASEjemploCALCULAR

Despejando para la elongacin:

La elongacin promedio:

El error en la elongacin:

As pues, el valor reportado para la elongacin: x = 0.1505 0.0005 m.CLCULOS PARA MEDICIONES INDIRECTASEjemplo

Obteniendo la diferencial totalEvaluando la diferencial totalEvaluando en los promedios

Salida De Mediciones Directas Toda medicin se reporta con el FORMATO ESTNDAR:C = IC uNombre de la cantidadValor Central o promedioErrorUnidadesCifras significativas adecuadas

Nombre de la CantidadEl nombre de la cantidad se escoge procurando que:

Sea breve y Represente a la cantidad medida.

Por ejemplo, si se desea medir una temperatura, una letra

representativa ser: T, es decir:

T = 27.5 0.5 C

Valor Central o PromedioEl valor central o promedio se establece de acuerdo con el tipo de medicin que se est manejando:

Mediciones directas reproducibles:

Mediciones directas no reproducibles:

EJEMPLO: t = 31.2 0.2 s

Error El error se asignar de acuerdo con el tipo de medicin que se est llevando a cabo:

Mediciones directas reproducibles:

Incertidumbre: mitad de la mnima escala.Tolerancia: segn reporte el fabricante. Mediciones directas NO reproducibles: IC = - Li

EJEMPLO: V = 12.7 0.3 ml

UnidadesLas unidades las establece el aparato con el que se midi dicha cantidad:

EJEMPLO: t = 31.2 0.2 s

EJEMPLO: T = 27.5 0.5 C

EJEMPLO: V = 12.7 0.3 ml

TermmetroCronmetroProbeta

Cifras Significativas Se establecern en base a la precisin de la medicin o al error. El redondeo se har desde la ltima cifra y subir a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedar ms claro.

Se midi con el flexmetro: = 16.1 cm ; IL = 0.05 cm.Entonces, la longitud se reportar con UNA cifra significativa despus del punto decimal: L = 16.1 0.05 cm.En total la cantidad tendr tres cifras significativas.

2. Se midi con el cronmetro: = 5.125 s ; It = 0.2s.El tiempo se reportar con UNA cifra significativa despus del punto decimal: t = 5.1 0.2 s.En total la cantidad tendr dos cifras significativas.

Salida De Mediciones Indirectas Toda medicin se reporta con el FORMATO ESTNDAR: f = If uNombre de la cantidadValor Central o promedioErrorUnidadesCifras significativas adecuadas

Nombre De La CantidadEl nombre de la cantidad se escoge procurando que:

Sea breve y Represente a la funcin medida.

Por ejemplo, si se desea medir una rea, la letra representativa ser: A, es decir:

A = 17.51 0.03 m2.

Valor Central O Promedio Se calcula evaluando la funcin en los valores promedio de las variables. Consideremos a la funcin f que depende de las variables x, y, z, etctera: f = f(x, y, z,); Donde las variables estn medidas como: El valor promedio ser:

Ir a ejemplo

Valor Central O PromedioEJEMPLO Se calcula evaluando la funcin en los valores promedio de las variables. Consideremos a la funcin densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V.r = r(M, V), M = 17.2 0.05 g; V = 19.5 0.6 ml. El valor promedio ser:

Ir a valor de la densidad

Error El error se asignar obteniendo la diferencial total: sea la funcin f = f(x, y, z,); Donde las variables estn medidas como: El error se calcula de la siguiente manera:

Es decir, se deriva respecto de la primera variable tomndose todas las otras variables como constantes, y luego se multiplica por su incertidumbre correspondiente. Se contina derivando hasta que se completan todas las variables; Evalundose, entonces, en los valores promedio y las incertidumbres.Ir a ejemploIr aClculos ms usuales

Error, EJEMPLO El error se asignar obteniendo la diferencial total: Consideremos a la funcin densidad, r, que depende de las variables masa, M; y volumen, V. , con: M = 17.2 0.05 g; V = 19.5 0.6 ml. El error ser:

Calculando la Diferencial totalEvaluando la Diferencial totalIr a valor de la densidad

El Valor Reportado Para La Densidad Ser: = 0.88 0.03 g/mlValor central o promedio(Ir a Clculo)Error(Ir a Clculo)

Clculos Ms UsualesSean las cantidades experimentales:SUMA:RESTA:MULTIPLICACIN:MULTIPLICACIN POR UN ESCALAR:DIVISIN:

Suma , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos variables: f = f(x, Y). La funcin explcita es f = X+Y. Con esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar

Suma , Ejemplo Se desea medir una longitud, L, mayor a 40 cm y se dispone de una regla de 30 cm. As, se debe utilizar ms de una vez el aparato. Es razonable pensar que el error en la medicin aumentar tantas veces como se utilice este aparato. Dado que se utiliza la regla dos veces, la primera vez ser nuestra x, y la segunda vez ser nuestra y, de la siguiente manera:x = 30 0.05 cm, y = 27.7 0.05 cm.

x + y = (30 + 27.7) (0.05 + 0.05) cm.L = x + y = 57.7 0.1 cm.ValoresEcuacinClculoValor reportado

Resta , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos variables: f = f(x, Y); Y la funcin explcita es f = X -Y. Con esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar

Resta, EjemploSe desea medir una masa de agua utilizando una bscula y una probeta.

1. Al medir la masa de la probeta seca se obtuvo:y = 238.7 0.05 g.2. Medir la masa de la probeta con agua se obtuvo:x = 278.3 0.05 g.x = 278.3 0.05 g, y = 238.7 0.05 g.

x - y = (278.3 - 238.7) (0.05 + 0.05) g.m = x - y = 39.6 0.1 g.

ValoresEcuacinClculoValor reportado

Multiplicacin , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos variables: f = f(x, y). La funcin explcita es f = x *y. Con esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar

Multiplicacin, EjemploSe quiere medir el rea de un rectngulo: A =x*y.

x = 17.3 0.1 mm, y = 8.7 0.1 mm.

x * y = (17.3 * 8.7) (8.7*0.1 + 17.3*0.1).A = x * y = 151 3 mm2.

ValoresEcuacinClculoValor reportado

Multiplicacin Por Un Escalar , JustificacinEn este caso, la funcin depende de UNA variables: f = f(x); Y la funcin explcita es f = a *x. Con esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar

Multiplicacin Por Un Escalar, EjemploSe desea medir el permetro de un crculo conociendo su dimetro, x: P = *x.

x = 17.3 0.1 cm.

a* x = (3.1415* 17.3) (3.1415 *0.1).P = a * x = 54.4 0.3 cm.

ValoresEcuacinClculoValor reportado

Divisin , JustificacinEn este caso, la funcin depende de dos variables: f = f(x, y). La funcin explcita es f = x /y. Con esto calculamos:Valor central o promedioErrorIr a ejemplo Regresar

Divisin, EjemploSe desea estimar la rapidez constante de un mvil que parti del origen: v = x / y.

x = 1.33 0.005 m, y = 2.1 0.2 s.

ValoresEcuacinClculoValor reportado

UnidadesLas unidades las establece el aparato con el que se midi dicha cantidad:

EJEMPLO: = 0.88 0.03 g/ml

EJEMPLO: A = 17.51 0.03 m2

EJEMPLO: V = 2.7 0.1 m3

reaDensidadVolumen

Cifras Significativas3. Se midi el volumen: = 72.15796 mm3 ; IV = 0.074983 mm3.El volumen se reportar con DOS cifras significativas despus del punto decimal: V = 72.16 0.08 mm3.En total la cantidad tendr cuatro cifras significativas.

4. Se midi el rea: = 20433.97846 cm2 ; IA = 12.0570954 cm2.El rea se reportar con CERO cifras significativas despus del punto decimal: A = 20434 12 cm2.En total la cantidad tendr cinco cifras significativas.

Desviacin Estndar MediaEs una manera de asignar error a una cantidad medida experimentalmente.Es una mejor alternativa para la incertidumbre absoluta o para la Tolerancia cuando se cuenta con un nmero grande (N 10) de mediciones realizadas bajo las mismas condiciones experimentales.Proporciona la estimacin ms confiable para el valor de la cantidad medida.Calcula la probabilidad de encontrar el valor real para dicha cantidad dentro de un intervalo conocido.

Contina

Desviacin Estndar MediaEs un mtodo estadstico que utiliza nicamente los valores experimentales medidos para encontrar una cantidad determinada estimando el valor ms probable para su error.Se necesita conocer la distribucin de probabilidad que describe al experimento. En fsica, usualmente, una buena aproximacin para sta es la distribucin NORMAL O GAUSSIANA.

Ir a ejemplo

DESVIACIN ESTNDAR MEDIA, Ejemplo d = 37.07 0.03 cm

As pues, podemos decir que el valor real para esta cantidad se encuentra dentro del intervalo: 37.04 a 37.1 cm con un 68 % de probabilidad; dado que se reporta una desviacin estndar, y el experimento est descrito por una distribucin normal. Grficamente:Nombre = promedio desviacin estndar unidades

Mediciones Directas (Objetivo)Son aquellas que se realizan comparando directamente el patrn de medida con el objeto a medir. Se deben tomar, al menos, diez de estas mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales. Por ejemplo, se midi la masa de diez tapones de plstico con una bscula, obtenindose la siguiente tabla:

Ir a Clculo

No de Tapn12345678910m, 0.05, g7.27.27.157.257.257.27.157.27.27.15

Mediciones Directas, Clculo (Objetivo)Calculamos el valor central o promedio de la masa:

Calculamos la desviacin estndar media de la masa:

Smm = 0.011667 g

Ir a Formato estndar

Mediciones Directas, SALIDA(Objetivo)Toda medicin se reporta con el FORMATO ESTNDAR:Ejemplo: m = 7.20 0.01 g C = SC uNombre de la cantidadValor Central o promedioErrorUnidadesCifras significativas adecuadas

NombreEl nombre de la cantidad se escoge procurando que:

Sea breve y Represente a la cantidad medida.

Por ejemplo, si se desea medir una masa, una letra representativa ser: m, es decir:

m = 7.20 0.01 g.

Valor PromedioEl valor central o promedio se calcula mediante el promedio aritmtico:

Por ejemplo:

Error(Objetivo) El error se asignar calculando la desviacin estndar media:

Por ejemplo:

Unidades, EjemploLas unidades las establece el aparato con el que se midi dicha cantidad:

Bsculam = 7.20 0.01 g

Cifras Significativas (Objetivo) Se establecern en base a la precisin de la medicin o al error. El redondeo se har desde la ltima cifra y subir a partir del cinco. Con algunos ejemplos quedar ms claro.

Se midi con un flexmetro: = 1.15 cm ; SmL = 0.1358 cm.Entonces, la longitud se reportar con UNA cifra significativa despus del punto decimal: L = 1.2 0.1 cm.En total la cantidad tendr dos cifras significativas.

2. Se midi con el cronmetro: = 5.125 s ; St = 0.03526 s.El tiempo se reportar con DOS cifras significativa despus del punto decimal: t = 5.13 0.04 s.En total la cantidad tendr tres cifras significativas.

Mediciones Indirectas (Objetivo)Son aquellas que presumen el conocimiento de una o ms mediciones directas con sus respectivas desviaciones estndar, y se obtienen efectuando un clculo matemtico utilizando dichas mediciones directas. Por ejemplo: se desea medir la densidad de un cilindro de aluminio; para ello, se midieron las siguientes cantidades:La masa: m = 20.33 0.02 g.El volumen: V = 7591.1 0.9 mm3. Se utiliz la siguiente ecuacin:

Ir a clculo

Mediciones Indirectas (Objetivo) Clculo. Dado que una medicin indirecta se calcula, es preciso conocer entonces una funcin que defina este clculo. Sea f una funcin que depende de las variables x, y z, etctera: f = f(x, y, z, ...); donde: El valor central o promedio de la funcin se obtiene evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la diferencial total:

Ir a ejemplo

Mediciones Indirectas (Objetivo) Ejemplo. Aqu la funcin es: ; que depende de las variables: m y V; donde: m = 20.33 0.02 g; V = 7591.1 0.9 mm3. El valor central o promedio de la funcin se obtiene evaluando en los promedios: El error se calcula mediante la diferencial total:

Ir a Formato estndar

Mediciones Indirectas, SALIDA(Objetivo)Toda medicin se reporta con el FORMATO ESTNDAR:Ejemplo: = 0.0002678 0.0000003 g/mm3 f = Sf uNombre de laCantidad

Valor CentralErrorUnidadesCifrasSignificativas

Mediciones Indirectas NombreEl nombre de la cantidad se escoge procurando que:

Sea breve y Represente a la cantidad medida.

Por ejemplo, si se desea medir la densidad, una letra representativa ser: , es decir:

= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.

Mediciones IndirectasValor Central o PromedioEl valor central o promedio se calcula evaluando la funcin enlos valores promedio:

Por ejemplo:

= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.

Mediciones Indirectas Error (Objetivo)El error se asignar calculando la desviacin estndar media:

Por ejemplo:

= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.

Mediciones Indirectas Unidades, EjemploLas establecen las unidades de las cantidades con la que se calcul dicha funcin:

= 0.0002678 0.0000003 g/mm3.

Mediciones Indirectas Cifras SignificativasSe establecen a partir de la primera cifra que tiene error, por ejemplo:3. Se midi el volumen: = 72.15796 mm3 ; IV = 0.074983 mm3.El volumen se reportar con DOS cifras significativas despus del punto decimal: V = 72.16 0.08 mm3.En total la cantidad tendr cuatro cifras significativas.

4. Se midi el rea: = 20433.97846 cm2 cm2; IA = 12.0570954 cm2.El rea se reportar con CERO cifras significativas despus del punto decimal: A = 20434 12 cm2.En total la cantidad tendr cinco cifras significativas.

Tratamiento estadstico de datosTcnicas de ajuste de curvas :

a) Mtodo de regresin lineal

b) Mtodo de mnimos cuadrados

Objetivos :Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas y papeles grficos.

Aprender tcnicas de ajuste de curvas, principalmente el mtodo de regresin lineal y el mtodo de mnimos cuadrados.

Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenmeno fsico e interpretarlas.

FUNDAMENTO TERICOLos datos tericos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de valores as confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una magnitud y otra, una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones grficas en un sistema de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogartmicas, segn sea el caso, con el fin de encontrar grficas lineales (rectas) para facilitar la construccin de las frmulas experimentales que representan las leyes que gobiernan el fenmeno. Las representaciones grficas que aparecen con ms frecuencia son:Funcin Lineal : Funcin Potencial: Funcin Exponencial:Funcin Cuadrtica:

SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

* CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEALCASO 1. EXPONENCIALES t (s)V (volts)Descarga de un condensador

* CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEALCASO 1. Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos t (s) ln (V/V0)

Tipos de papel Papel milimetradoPapel logartmico Papel semilogartmico

A) Uso del papel milimetrado: Para el uso del papel milimetrado se debe tener en cuenta lo siguiente :Se debe tener cuidado de escribir los valores de las variables independiente en el eje de la abscisas(X) y las variables dependientes en el eje de las ordenadas(Y).La distribucin as obtenida se unen mediante una curva suave usando una regla curva o trazo a mano alzada.Funcin Lineal: La distribucin de puntos en el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces, se realiza el ajuste de la recta mediante el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados. Esto significa que la relacin que se busca tiene la forma de una recta, cuya ecuacin es: y = b+mx ; en donde las constantes a determinar son: la pendiente m y la ordenada en el origen (intercepto) b, siguiendo el procedimiento que se detalla a continuacin.Primero se construye la tabla n1.Se calcula la pendiente y el intercepto segn las ecuaciones (1) y (2).

y = b+mxCoeficiente de correlacinMNIMOS CUADRADOS

Tabla n 1

...........

B) Uso del papel logartmicoLos grficos de las relaciones de la forma potencial en el papel logartmico son rectas de pendiente M = n, que cortan en el eje vertical en: Se recomienda usar papel logartmico de 3x3; en donde cada ciclo est asociado a una potencia de 10, el origen de un eje logartmico puede empezar con 10-2, 10-1, 100, 101, 102, etc.Funcin Potencial: Al tomar logaritmo decimal a la ecuacin : obtenemos:Que tiene la forma lineal :

En donde:

De esto, podemos observar que el mtodo de regresin lineal puede seraplicado a una distribucin potencial de puntos.

Para el uso del papel logartmico se toma el logaritmo decimal a cada uno de los datos, construyendo as la tabla n 2 (construya esta tabla, cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro decimales de redondeo en cada columna). Tabla n2

..................

Para determinar los valores de M y B, se usan las ecuaciones (3) y (4).

Ahora para encontrar la ecuacin de la funcin potencial :

graficada en un papel milimetrado debemos determinar los valores de

M y k. Del prrafo anterior se tiene que: M = m y

DATOS EXPERIMENTALES DE APLICACIONSe analizan tres experimentos:A)La conduccin de corriente por un hilo conductor de micrn. B)La elevacin de agua en un depsito y C)La actividad radiactiva del radn, en los cuales se obtiene los datos mostrados en la tabla 3, 4 y 5.TABLA 3. Medida de la intensidad de corriente elctrica conducida por un hilo conductor de micrn a una determinada diferencia de potencial aplicada entre sus extremos. TABLA N3 TABLA N 4

TABLA n4:Tiempo de vaciado de un depsito con agua y las alturas del nivel para cuatro llaves de distintos dimetros.

INTENSIDAD(A)VOLTAJE(V)0,52,18 14,3628,72317,44434,88

Altura h(cm)30201041Dimetro d(cm) Tiempo de vaciado t(s)1,57359,9432714241,233,724157,8318,414,9116,83,756,85,33,92,63,773,22,721,51,3

TABLA 5:Porcentaje de la actividad radiactiva del Radn

TABLA N5

CLCULOS Y RESULTADOS :A) De la tabla 3, grafique en una hoja de papel milimetrado V vs tB) De la tabla 4:En una hoja de papel milimetrado grafique t vs D para cada una de las alturas.En la hoja de papel milimetrado grafique t vs h para cada dimetroEn una de papel logartmico grafique t vs D para cada una de las alturas.En un papel logartmico grafique t vs h para cada dimetro.Realice el siguiente cambio de variable: y grafique t = t (Z) en el papel milimetrado.C) De la tabla 5:En una hoja de papel milimetrado grafique A vs t.En una hoja de papel semilogartmico grafique A vs t.

Tiempo t (das)012345678910Porcentaje de Actividad A(%)10084705949413427242017