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ELECTROSTÁTICA
Parte del capítulo de Electricidad, que estudia las
cargas eléctricas en equilibrio.
Naturaleza eléctrica de la materia Toda la materia está compuesta por átomos. Para
los fines de nuestro estudio, consideramos sólo dos
elementos del átomo: Protones, que están en el
núcleo, y electrones, en sus cercanías.
Átomo NEUTRO eléctricamente: Número de
electrones = Número de protones.
Átomo CARGADO eléctricamente: Número de
electrones ≠ Número de protones.
ION POSITIVO (CARGA POSITIVA): Átomo con
deficiencia de electrones. (+)
protones de N electrones de Nº
ION NEGATIVO (CARGA NEGATIVA): Átomo
con exceso de electrones. (–)
electrones de Nº protones de Nº
CARGA ELÉCTRICA (Q)
Valor cuantitativo del exceso o defecto de
electrones y su distribución.
IMPORTANTE: Toda carga eléctrica en el
universo es múltiplo de la carga del electrón.
entero Nº cuerpo un de Carga
ónadelelectrC arg
Ne
Q e = carga del electrón
N = número entero
LEY DE CONSERVACIÓN DE LA
CARGA ELÉCTRICA
Los electrones se GANAN o se PIERDEN, pero no
desaparecen. Esto quiere decir que si un cuerpo
pierde “x” electrones, otro u otros cuerpos han
ganado “x” electrones.
ELECTRIZACIÓN DE LOS CUERPOS
Fenómeno por el cual un cuerpo adquiere cierta
carga eléctrica debido a que sus átomos ganan o
pierden electrones.
A) Electrización por frotamiento.- Se
logra al frotar un cuerpo con otro de diferente
electronegatividad.
B) Electrización por contacto.- Se logra
cuando un cuerpo, eléctricamente neutro, es puesto
en contacto físico con otro que tiene cierta carga
eléctrica.
LEY CUALITATIVA DE LAS CARGAS
ELÉCTRICAS ( ACCIONES ENTRE
CARGAS)
”Cargas de signos iguales se repelen, y cargas de
signos diferentes se atraen”
C) Electrización por inducción.- Se logra
cuando un cuerpo, eléctricamente neutro (inducido),
es sometido al campo de acción eléctrica de un
cuerpo cargado (inductor). De esta manera el
cuerpo se polariza; es decir, el primero acomoda la
posición de sus electrones en sus átomos, de
acuerdo a la carga del segundo.
- - -
+ + + + + +
- + - + - + - + - - -
+ + + + + +
- + - + - + - +
- - - - - - - - - - - -
- - - - - -
A B A B A B
- - -
+ + +
+ + +
+ + + A B A B A B
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
- - -
- - -
- - -
- - -
+ + +
+ + +
A B A B A B
+ + + + + + + + +
- 2 -
- 2 -
Si se conecta a Tierra, cuando está bajo el efecto de
la inducción, luego se anula esta conexión, y
finalmente se aleja del inductor, el cuerpo queda
cargado.
LEY CUANTITATIVA DE LAS
CARGASELECTRICAS
(LEY DE COULOMB)
“Las fuerzas de atracción y repulsión entre dos
cargas eléctricas son directamente proporcionales al
producto de dichas cargas e I.P. proporcionales al
cuadrado de la distancia entre ellas”.
Si las cargas o cantidades de electricidad son Q1 y
Q2, la distancia es “d”, la fuerza electrostática F
entre dichas cargas es:
2
21.
d
QQKF e
Donde Ke, es un factor de proporcionalidad que
depende de las unidades y del medio.
Ke = o4
1 ; o =8,85x10
-12C
2.m
2/N
(C= coulomb, unidad de carga);
Sistema CGS: Ke = 12
2.
ueq
cmdina
(ueq = unidad electrostática de carga)
Sistema MKS:
Ke = 8,98742x109 Nm
2/C
2 = 9x10
92
22.
C
mN
UNIDADES DE CARGA ELECTRICA
Carga fundamental = carga del electrón
1º) En el sistema MKS, SISTEMA GIORGI O
INTERNACIONAL, la unidad de carga es el
coulomb o coulombio (C). (SI).1C = 6,24x1018
electrones.
El C, es la carga que colocada, en el vacío, a una
distancia de 1 m, de otra igual, la repele con una
fuerza de 9x109 N.
2º) En el sistema CGS, SISTEMA
ELECTROSTÁTICO (uee), es la unidad
electrostática de carga (ueq), franklin o
statcoulomb (STC).
El ueq es aquella carga que colocada en el vacío, a
un metro de otra igual, se repelen con una fuerza
de una dina. ueqC 91031 .
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
La fuerza resultante sobre una carga “Q1”, debido a
la acción de varias cargas
Q2, Q3, …, Qn; es la suma vectorial de dichas
fuerzas.
1 2 3R F F F
EJEMPLO:
Dos cuerpos tienen cargas eléctricas de 1C cada
uno. Si están a una distancia de 2m, en el vacío,
calcular la fuerza electrostática con la que se
repelen.
Solución
Q1 = 1C Q2 = 1C d = 2m
Ke = 9x109 N.m
2/C
2 F =?
2
21.
d
QQKF e F =
22
29
)2(
1.1.
.10.9
m
CC
C
mN
92,25.10F N
- - - - - -
+ - + - + - + - +
+ + +
+ - + - + - + - +
- - -
- - - - - -
+ +
d
Q1 Q2 F
2 F
1
FFF 21
+
+ ─
+
Q1
Q2 Q3
Q4 1,3F
1,2F
1,4F
- 3 -
- 3 -
Electrones libres.- Electrones que no están ligados,
o muy débilmente ligados al átomo.
Clases de sustancias, por sus propiedades
eléctricas
Conductor: Sustancia con muchos electrones libres.
Ejemplos: Todos los metales.
Aislador: Sustancia con muy pocos electrones
libres. Ejemplos: Caucho, papel seco, azufre,
plástico, madera seca, vidrio, porcelana, etc.
CAMPO ELÉCTRICO
Es el espacio en las inmediaciones de una carga
eléctrica, en el cual se manifiestan las acciones
eléctricas de ésta. El campo eléctrico es
representado mediante líneas de fuerza.
Las líneas de fuerza son las trayectorias que
describen las cargas eléctricas positivas o cargas de
prueba, abandonadas en el campo.
El conjunto de líneas de fuerza forma el espectro
electrostático.
CARGAS INDIVIDUALES AISLADAS
+ -
PAREJAS DE CARGAS
+ -
+ +
INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO (E)
Es la fuerza que en un determinado punto, el campo
ejerce sobre la carga eléctrica unitaria y positiva. La
intensidad del campo es una magnitud vectorial.
q
FE x
x Ex = q
d
qQK
x
e 2
.
= Ke2
x
Q
d
Fx = 2
.
x
ed
qQK 2x e
x
QE K
d
INTENSIDAD DE CAMPO PARA UN
SISTEMA DE CARGAS
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN DE
CAMPOS
En P: EP = E1 + E2 + E3
22 yxP EEE )(
CAMPO CREADO POR UNA ESFERA
CONDUCTORA CARGADA
Las cargas de un cuerpo electrizado se ubican en su
superficie exterior, haciendo nulo el campo en su
interior; por lo que el campo existe solamente desde
su superficie hacia fuera. Si el cuerpo es una esfera,
su campo se determina como si la carga total
estuviera ubicada en el centro.
De lo anterior deducimos que el campo existe para:
Rd
(R = radio de la esfera; d = distancia de un punto
exterior al centro de la esfera).
UNIDADES DE CAMPO ELÉCTRICO:
Sistema CGS: ueq
dina
q
FE
Sistema MKS: C
N
q
FE
E1
E2
E3 x
+
+
x dx
Fx
Q q
P
Q1 +
Q3 +
+ Q2
E3
E2 E1
- 4 -
- 4 -
EJEMPLOS
1) Un cuerpo cargado eléctricamente con 20 ueq,
tiene un peso de 1 g. Cae con una aceleración de 6
m/s2. Calcular la intensidad del campo eléctrico en
el cual cae.
Solución
)1(
maFm
Fa
Pero:
∑F = W - Fe Fe = E.q
Por lo que; ∑F = W – E.q
En (1):
W – E.q = ma E = )2(
q
maW
En el sistema CGS:
W = 1x 880 dyn m = 1 g;
a = 600cm/s2 q = 20 ue; E = ?
En (2): 2980 1 .600 /
20
980 600
20
dyn g cm sE
ueq
dyn dyn
ueq
ueqdyn /19
2) Calcular la intensidad del campo en el centro del
cuadrado.
Q1 = 64 ueq Q2 = 128 ueq Q3 = 32 ueq
Q4 = 96 ueq
Solución
E0 = )1(22 yx EE
ueqdynd
QKE /2
32
64.1
)(
.2
1
11
ueqdynd
QKE /4
32
128.1
)(
.2
2
12
ueqdynd
QKE /1
32
32.1
)(
.2
3
33
ueqdynd
QKE /3
32
96.1
)(
.2
4
44
∑Ex = (E1)x + (E2)x + (E3)x + (E4)x
= 0 + 4 +0+3 = 7 dyn/ueq
∑Ey = (E1)y + (E2)y +(E3)y + (E4)y
= -2 +0 + 1 + 0 = -1 dyn/ueq
En (1): 2 2
0 7 1 50E
= ueqdyn /25
CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME Y
ESTACIONARIO
Un campo eléctrico es UNIFORME y
ESTACIONARIO si el valor de “E” es constante en
el espacio y el tiempo. Se representa por medio de
líneas de fuerza paralelas y a la misma distancia.
Para los puntos cualesquiera A, B y C, del campo,
se tiene:
EA = EB = EC
POTENCIAL ELÉCTRICO (V)
El potencial eléctrico (V), en un punto de un campo
eléctrico, está dado por el trabajo que tiene que
realizar un agente externo, sobre la carga eléctrica
de prueba, para trasladarla, en equilibrio, desde el
infinito hasta el punto considerado. También es
considerado como el trabajo que tiene que realizar
el campo, para trasladar dicha carga, desde sus
inmediaciones, hasta el punto considerado. El
potencial eléctrico es una magnitud escalar,
positivo o negativa, para el campo de una carga
positiva o negativa.
+
Fe
W
+
E
+ +
+ ─
8
8
8
8
Q1
Q2 Q3
Q4
E1
E3
E4 E2
+
E3
E4 E2
E1
- 5 -
- 5 -
q
xWVx
→ Definición
xx
d
qKV
. → Valor del potencial en el punto “x”
* El trabajo realizado por el campo, para colocar la
carga en un punto P, de él, depende del potencial
VP, tal que:
PCP VqW .
UNIDADES DE POTENCIAL
Sistema CGS:
V = statvoltiouevueq
ergioV
q
W ;
uev = unidad electrostática de potencial
Sistema MKS:
V = )(VvoltioC
joule ;
1V = uevC
erg
C
J
300
1101 7
voltios 3001 uev
DIFERENCIA DE POTENCIAL O TENSIÓN
ELÉCTRICA La diferencia de potencial entre dos puntos, en un
campo eléctrico, está dada por el trabajo que se
tiene que realizar sobre la carga eléctrica de prueba,
para trasladarla, en equilibrio, entre dichos puntos.
VA – VB = Vq
W
q
W xyBA
( )
( hecho por el campo)
C
A B A BW V V q
trabajo
( )
( hecho por el agente externo)
E
B A A BW V V q
trabajo
Por consiguiente: EBA
CBA WW
RELACIÓN ENTRE CAMPO Y POTENCIAL
Para dos puntos A y B de un campo eléctrico
uniforme, la diferencia de potencial entre los puntos
A y B es igual al valor del campo multiplicado por
la distancia entre las perpendiculares al campo, que
pasan por dichos puntos. Así:
VA – VB = E.d
POTENCIAL CREADO POR UNA ESFERA
CONDUCTORA CARGADA Ya vimos antes que para cálculos en el exterior de
una esfera cargada, consideramos que toda la carga
está ubicada en su centro. Para una esfera de radio
R, y un punto P colocado a una distancia “d” de su
centro, se tiene: d
QKV eP d ≥ R
+ + +
Q q q
B A
VA VB
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(-)
(-)
(-)
(-)
(-)
(-)
A
B
E d
2R
QKe
E 2
1
d
E = 0 O
R d
E
R
QKe
V d
1
O R
d
V
V constante
+ + +
+
+ + + +
+
+ + +
+ + + +
+
Q
E=0 o .P EP
.A .C
.B
d
R
VP
VA = VB = VC
+ + + Vx
Q q ∞
dx
q
MRU MRU
x
- 6 -
- 6 -
q
V
CV
Q
V
Q
V
Q
n
n ...2
2
1
1 C
SUPERPOSICIÓN DE POTENCIALES
El potencial electrostático en un punto P, sometido
a los campos de varias cargas eléctricas, es igual a
la suma escalar de los potenciales creados por cada
carga en ese lugar.
...321PPPP
total VVVVV
EJEMPLOS
1) Determinar el potencial eléctrico, en la
intersección de las diagonales, en el cuadrilátero
mostrado, si en sus vértices se han colocado las
cargas eléctricas que en él se indican.
Solución
d
QKVV
d
QKV
xx
..0
31 2 40
1 2 3 4
1.40 1.20 1.10 1.60
5 5 5 5
8 4 2 12 6
KQKQ KQ KQV
d d d d
volt. -1800voltio statueqV 660
2) Para el sistema mostrado, calcular la diferencia
de potencial entre los puntos C y D.
VC – VD = ¿? -------- (1)
VC = ∑V = BC
B
AC
A
d
QK
d
QK
d
QK ...
uequequeqVC 243066
180.1
10
60.1
. ..
1.60 1.18010 18 8
6 10
A B
AD BDD
K Q K QK QV
d d dV
ueq
En (1): VC – VD = 24 – 8 = 16ueq
3) Calcular el trabajo realizado para trasladar
una carga de 2C, entre los puntos “x” e “y”, en
el campo dado. (De “x” a “y”).
Solución
)1()( xyxyxy
VVWVq
W
99
10.369
36.10.9
yy
d
KQV
99
10.2712
36.10.9.
x
xd
QKV
210271036 99 ).(.xyW J919.18
CAPACIDAD ELECTRICA (C)
Es la característica constante de un determinado
cuerpo, se obtiene por el cociente de la carga
almacenada por el cuerpo entre su respectivo
potencial.
Luego: QCVV
QC
UNIDADES DE CAPACIDAD:
Sistema CGS
Q
CV
ueq
uecuev
uec = unidad electrostática de capacidad
o stat faradio
Sistema MKS(SI)
Q
CV
( )coulomb
faradio Fvoltio
–
9 m
12 m
y
x 30º
Q=36 ueq q=2 ueq
+ +
+
Q1=40ueq Q2=20ueq
Q3=10ueq Q4=60ueq
6 m 6 m
8 m
8 m
4
5 3
V0
10cm
cm
8 cm
6 cm 6 cm
8 cm –QA=60
ueq
+QB=120
ueq
A B
C D
- 7 -
- 7 -
EQUIVALENCIAS
uec
uev
ueq 119
x109
300
1
3x10
voltio
coulomb faradio 1
micro faradio = F pico faradio = F = F
1 μ F = 10-6 F 1 μμ F = 10
-12 F
CAPACIDAD DE UNA ESFERA (CE):
La capacidad de una esfera es directamente
proporcional a su radio. En el sistema CGS, en el
aire o en el vacío, la capacidad en “uec” es
equivalente al radio en metros.
(1)EE
E
QC
V (2)e E
E
K QV
R
(2) en (1):
EE
e e e
Q RC
K Q K
R
e
EK
RC
Para el aire o el vacío, y el sistema CGS:
Ke = 1; entonces CE = R
CONDENSADORES
Los CONDENSADORES son dispositivos que
tienen la propiedad de almacenar temporalmente
carga o energía eléctrica. Se encuentran
constituidos por DOS cuerpos colocados uno cerca
del otro, con cargas eléctricas de signo contrario.
CONDENSADORES DE PLACAS
PARAELLAS
Son aquellos que se encuentran constituidos por dos
placas paralelas. Colocadas una muy cerca de la
otra. La capacidad es directamente proporcional al
área de las placas e inversamente proporcional a la
distancia que las separa.
C =d
A0
Donde
eléctrica adpermitivid o dadpermeabili0
A = área; d = distancia
En el SI: m
F120 10858 .,
CONDENSADORES CON DIELÉCTRICO
Cuando introducimos una sustancia
(DIELÉCTRICO), entre las placas de un
condensador cargado, el dieléctrico se polariza, lo
que reduce la carga original en las placas; esto
permite agregar más carga al condensador.
Si la capacidad en el vacío es C0 y la capacidad con
dieléctrico es Cd, la razón entre las capacidades es
un número llamado CONSTANTE DEL
DIELÉCTRICO (κ):
0C
Cd Donde: κ ≥ 1
CONDENSADOR CONECTADO Y
DESCONECTADO A UNA FUENTE
Cuando el condensador está
conectado a una fuente o batería:
Capacidad : Cd = κ C0;
Voltaje : Vd = V0
Carga neta : Qd = κ Q0
Carga inducida ; Qi = (κ-1) Q0
Cuando el condensador está desconectado de la
fuente o batería:
Capacidad : Cd = κ C0
Voltaje : Vd = V0/κ
Carga neta : Qd = Q0
Carga inducida : Qi = 0
1Q
+
+
+
+
-
-
-
-
Símbolo: + -
- 8 -
- 8 -
ALGUNAS CONSTANTES DIELÉCTRICAS:
ENERGÍA ALMACENADA (WC)
El trabajo hecho para cargar un condensador, se
convierte en energía almacenada entre sus placas,
bajo la forma de campo eléctrico. Si C y V son la
capacidad y potencial del condensador, esta energía
es:
2
2
1CVWU C U:WC = joules
ASOCIACIÓN DE CONDENSADORES
1) Sistemas en SERIE:
2) Sistemas en PARALELO:
EJEMPLOS
1) Determinar la capacidad equivalente entre A y B.
Solución
(I)
(II)
Material κ
Vacío 1,0000
Aire seco 1,0006
Agua 80,0
Aceite
de silicio
2,5
Mica 7,0
Papel
parafinado
2,3
Cera 5,8
Vidrio 5-10
Polietileno 2,3
Kerosén 2,0
+ + +
Q2
Mica 7,0
Papel
parafinado
2,3
Cera 5,8
Vidrio 5-
10
Polietileno 2,3
Kerosén 2,0
Q3
V1 V2 V3
C1 C2 C3
Propiedades
1) Q1 = Q2 = Q3 = QE
2) V1 + V2 + V3 = VE
3) ECCCC
1111
321
O
+ +
V
2
V1
V3
Q1
Q2
Q3
C1
C2
C3
+
+
V2 +
+
Propiedades
1) Q1 + Q2 + Q3 = QE
2) V1 = V2 = V3 = VE
3) C1 + C2 + C3 = CE
C1
C2
C3
C4
C5
A
2 F
2 F
1 F 1 F
6 F
C3 C4
C5
C6
C5
C7
- 9 -
- 9 -
(III)
(I) C1 y C2 en serie (C6)
216
111
CCC
2
1
2
11
6
C
C6 = 1 F
(II) C6, C3, C4; en paralelo (C7)
C7 = C6 + C3 + C4 C7 = 1 + 1 + 1 = 3 F
C7 = 3 F
(III) C7, C5; en série (CE)
7 5
1 1 1
EC C C
1 1 1 1
3 6 2EC
FCE 2
2) Calcular la diferencia de potencial en cada
condensador.
Solución
V1 =1
1
C
Q ; V2 =
2
2
C
Q; )(1
3
33
C
QV
Pero: Q1 = Q2 = Q3 = QE
QE = CE.VBA→ (2)
1 2 3
1 1 1 1
EC C C C
1 1 1 1 13
2 3 4 12EC
12
13EC F
En (2):
CVFQE66 10121310
13
12 ...
Luego, en (1):
) voltios(V6102
10126
6
1
F
CV
.
.
(V) voltios4103
10126
6
2
F
CV
.
.
(V) voltios3 104
1012
6
6
3
F
CV
.
.
3) Se tienen 2 condensadores de 3 y 5μ F,
conectados en paralelo, y luego un condensador de
4μ F en serie. Encontrar la carga eléctrica en el
condensador de 3μ F, cuando la diferencia de
potencial entre los dos extremos de la combinación
es de 300 voltios (V).
Solución
)(. 13 xya VCQ
Pero: xyEdcE VCQQQ .
xyEd VCQ . CVQd66 1080030010
3
8 ...
CE
E = 13 voltios
C1 C2
C3 2μF
3μF
4μF +
+ +
B
C2
C1
D
B
A
B
+
C1
C3
x y z a
b
c
3μF
5μF
4μF
Vx = 300 V
x z
CE
F3
8 (II)
x y z Cd Cc
8μ F 4μ F (I)
- 10 -
- 10 -
VF
C
C
QV
d
dxy 100
108
108006
6
.
.
Entonces, en (1):6
3 3.10 .100Q F V
C 30010300 63 CQ .
4) En el circuito dado, determinar la carga y la
energía en cada condensador.
Solución
Cálculo de cargas:
Q3 = Q4 = QE Pero: QE = CE.VAC
Por lo que: QE = C962
3.
)(. 111 ABVCQ )(. 222 ABVCQ
Pero: V 3 3
9
44
4 C
Q
C
QV E
AB
En (1) y (2):
Q1 = 1.3 = 3C Q2 = 2.3 = 6 V
Nota:
V1 = V2 =VAB = 3 V V3 = VAC = VAB = 3 V
Cálculo de la energía:
JVCW 54312
1
2
1 22111 ,..
JVCW 9322
1
2
1 22222 ..
JVCW 513332
1
2
1 32333 ...
ELECTRODINÁMICA
Parte del capítulo de electricidad que estudia las
cargas eléctricas en movimiento.
CORRIEMTE ELÉCTRICA.- La corriente
eléctrica queda determinada por el MOVIMIENTO
DE CARGAS.
SENTIDO DE LA CORRIENTE: Siempre que
una carga negativa (electrones), se mueve en cierto
sentido, determina que otra carga positiva
equivalente se mueva en sentido contrario. Esto nos
permite indicar convencionalmente el sentido de la
corriente:
INTENSIDAD DE LA CORRIENTE (i)
Está dada por la cantidad de carga eléctrica que
atraviesa la sección de un conductor, en la unidad
de tiempo.
Si la carga es “q” y el tiempo “t”, tendremos:
t
Q i
tiempo
aci
arg
Unidad:
s
Camperio(A)
t
qi
FUERZA ELECTROMOTRIZ O ELEVACIÓN
DE TENSIÓN (fem o E)
Está dada por la energía que la carga eléctrica
unitaria recibe al pasar por una fuente.
fem E fem carga
recibida EnergíaE =
q
W
Unidad:
fem =coulomb(C)
joule(J) ) voltio(V
q
W
A B C
C4 C3
3 F 3 F
(I)
A C CE
F2
3
VAC = 6 voltios
(II)
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
–
+ −
+
+
+ + + + +
+ + + + + +
+ −
E
Sentido real
E
Sentido convencional (imaginario)
6 voltios
1 μF
2 μF
3 μF
C1
C2
C3
- 11 -
- 11 -
DIFERENCIA DE POTENCIAL O CAÍDA DE
TENSIÓN (V)
Está dada por la energía que la carga eléctrica
unitaria o de prueba entrega o pierde al pasar por un
conductor o resistencia.
q
WV
carga
entregada EnergíaV
Unidad: voltio (V).
RESISTENCIA ELÉCTRICA DE UN
CONDUCTOR (R)
Es la dificultad que ofrece el conductor al paso de
la corriente eléctrica. La resistencia de un conductor
es directamente proporcional a su longitud e
inversamente proporcional a su sección recta
(LEY DE POULLIETT).
A
LR
= Resistencia específica o resistividad
Unidad: ohmio (Ω)
R (ohmio:Ω) = (Ω.m).)(
)(2mA
mL
Representación gráfica:
Variación de la resistencia con la
temperatura.- Al aumentar la temperatura de un
conductor, aumenta su resistencia al paso de la
corriente eléctrica.
Si R1 y R2 son las resistencias a las temperaturas T1
y T2, respectivamente, tendremos:
12 1(1 . )TR R T
Donde:
1T : Coeficiente de temperatura de la resistencia
medida a la temperatura T1.
LEY DE 0HM
Establece que la diferencia de potencial entre los
extremos de un conductor dividida entre la
corriente que lo atraviesa es siempre una constante;
identificada como resistencia de dicho conductor.
Ri
V
i
V
i
V
n
n ...2
2
1
1 V Ri o i
VR
NOTA IMPORTANTE:
)(
)()(
Aamperio
Vvoltioohmio
EFECTO JOULE La corriente que circula por una resistencia,
convierte energía eléctrica en energía térmica.
ENERGÍA ELÉCTRICA (W):
tR
VRtiVitW
22
POTENCIA ELÉCTRICA (P):
R
VRiViP
22
FUENTES DE ENERGÍA ELÉCTRICA
Dispositivos que transforman algún tipo de energía,
en energía eléctrica. Esta transformación puede ser
por: frotamiento, presión, calor, luz, magnetismo y
acción química.
ASOCIACIÓN DE RESISTENCIAS
(I) RESISTENCIAS EN SERIE
PROPIEDADES:
1 2 3 n E1) i i i i i
2) V1 + V2 + V3 + … + Vn = VE
R1 R2 R3
A C B
D
Pila.
La línea larga y delgada es el positivo
+
+ Batería de tres pilas
G Generador
Lámpara incandescente
Interruptor
- 12 -
- 12 -
3) R1 + R2 + R3 + … + Rn = RE
(I) RESISTENCIAS EN PARALELO
PROPIEDADES
1) V1 = V2 = V3 =… = Vn = VE
2) i1 + i2 + i3 + …+ in = iE
3)En RRRRR
11111
321
...
.ENERGÍA, CALOR Y POTENCIA (W), (Q),
(P); EN UN CONDUCTOR
Electrodinámica Energía o
trabajo
W→joules (J)
qVWq
WV
W = qV
itQt
Qi
W = itV
R
Vi
R
tVW
2
V = iR W = i2Rt
Calor
Q→ cal
Potencia
P → watt (W)
Q = 0,24 qV
t
qVP
Q = 0,24 itV P = Vi
R
itVQ
240,
R
VP
2
Q = 0,24 i2Rt P = i
2R
RESISTENCIA INTERNA
DE UNA FUENTE (r)
Es la resistencia que la carga eléctrica tiene que
vencer al pasar por una fuente. La resistencia
interna siempre se considera en serie con la fuente.
GENERADORES (FUENTES): FUERZA
ELECTROMOTRIZ-DIFERENCIA DE
POTENCIAL EN LOS BORNES.
Fuerza electromotriz (E); Potencial en bornes (V);
Resistencia interna (r) V = E −ir
FUERZACONTRAELECTROMOTRIZ.
MOTORES
Hay sistemas que absorben potencial de los
electrones que circulan por ellos. A este potencial
que absorben o consumen dichos sistemas, se le
llama fuerza CONTRAELECTROMOTRIZ
(generadores y motores). Si los generadores están
con la polaridad opuesta o invertida con respecto a
la fuente o generador principal de fuerza
electromotriz (E), que alimenta el circuito, se les
considera como una fuerza contraelectromotriz. Los
motores siempre serán considerados como
oposición a E.
En los problemas, por medio de la idea de gasto,
toda fuerza contraelectromotriz, será un gasto más,
y por tanto, se sumará a los productos iR, que
representan las pérdidas de potencial a lo largo de
las resistencias del circuito.
CORRIENTE CONTINUA (CC)
Cuando el movimiento de cargas, que genera una
corriente, es siempre en el mismo sentido, se
denomina CORRIENTE CONTINUA (CC).
CIRCUITOS ELÉCTRICOS
Recorrido o conjunto de recorridos en una
trayectoria cerrada, por donde fluyen las cargas
eléctricas. Está constituido, generalmente, por
generadores o fuentes, resistencias o cargas,
condensadores, bobinas, etc.
Un circuito simple podría estar conformado por una
fuente, una resistencia y un conductor, así:
CIRCUITOS COMPLEJOS: Conjunto de
recorridos por donde fluye las cargas, en varias
corrientes.
Red: Conjunto de conductores con resistencia, en
los cuales pueden haber generadores, cargas, o
resistencias, conectadas arbitrariamente.
R
+ −
R3
R1
R2
RE
→i
i1
i2
→I
E
I3
C
A
B E
F
D
1i
3i
2i
- 13 -
- 13 -
Nudo: Punto del circuito donde concurren más de
dos conductores. En la figura: B y E.
Malla: Parte de un circuito complejo, que puede
ser tomado como simple, imaginariamente. En la
figura: Malla BCDE, malla BEFA y malla ACDF.
La red está formada por un conjunto de mallas,
siendo éstas, circuitos que se pueden recorrer,
volviendo al punto de partida, sin pasar dos veces
por el mismo punto.
LEYES DE KIRCHHOFF
PRIMERA LEY:
Establece que en un nudo de un circuito, la
sumatoria de las intensidades de corriente que
ingresan es igual a la sumatoria de las intensidades
de corriente que salen.
Se podrán obtener tantas ecuaciones como nudos
haya en el circuito.
∑ie = ∑is
i1 = i2 + i3
SEGUNDA LEY:
Cuando un circuito cerrado o malla, es recorrido
por una carga unitaria, se cumple que: La sumatoria
de las fuerzas electromagnéticas o elevaciones de
tensión es igual a la sumatoria de las diferencias de
potencial o caídas de tensión.
∑E = ∑ iR
REGLA PARA LOS SIGNOS
a) Se toma un sentido de giro, por ejemplo el de las
agujas del reloj como signo patrón positivo, para
compararlo con el sentido de las E y el de las i.
b) Buscamos las intensidades que hay que
determinar, adjudicándoles un sentido. Este sentido
dado es arbitrario, por consiguiente, si al resolver el
problema, alguna de las intensidades calculadas
sale negativa, esto indicará que el sentido que le
asignamos nosotros es contrario al que realmente
tiene, aunque el resultado obtenido, en valor
absoluto, sea totalmente válido.
c) Se comparan en cada malla, los sentidos de las E,
e intensidades, con el signo patrón. Si coinciden, se
le dará el valor considerado como positivo, en caso
contrario, le pondremos negativo. Luego se
sustituyen estos valores en la Segunda ley de
Kirchhoff
POTENCIA DADA POR UN GENERADOR
La potencia dada o recibida por un sistema
(potencia del generador) es iE. La potencia dada por
el generador al circuito es iV.
EJEMPLO:
En el circuito de la figura, calcular:
1) La potencia del generador.
2) La potencia dada por el generador al circuito.
Solución
Primero calculamos i:
100 = 15i + 35i
i = 2 A
1) La potencia del generador será:
P = i E = 2. 100 = 200 watt
2) La potencia dada por el generador a la línea, se
calcula así:
Primero calculamos la diferencia de potencial en
bornes:
V = E – ir = 100 – 2.15 = 70 V
1i
3i 2i
E = 100 V
R = 35Ω
R = 15Ω
A→B
B→A
E E
A B A B
← i i→
+ E + E
- E - E
Recorrido
R R
A B A B
A→B
B→A
i→ ← i
+ iR - iR
+ iR
Recorrido
- iR
- 14 -
- 14 -
Entonces:
P = iV = 2.70 = 140 V
DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS
PUNTOS
a) Entre puntos sin nudos intermedios:
Siempre se calcula en el sentido en que circula la
intensidad, por el tramo considerado, teniendo en
cuenta que se produce gasto en las resistencias y en
las fuerzas contraelectromotrices.
.
EJEMPLO
Hacer el cálculo de la diferencia de potencial entre
los puntos A y B.
Solución
Como la diferencia de potencial hay que calcularla
en el sentido de la corriente, calculamos VA −VB,
que coincide con la diferencia de potencial pedida.
En la resistencia de 10Ω hay una pérdida de
potencial de iR = 2.10 = 20 V.En la pila, por estar
en el mismo sentido de la corriente, no representa
pérdida de potencial, sino un incremento, por lo que
hay que restarlo del gasto.
En la resistencia de 15 Ω se perderán 2.15 = 30 V.
Por consiguiente:
VA− VB = 2.10 − 4 + 2.15 = 46 V
b) Entre puntos separados por nudos
Si la diferencia de potencial es entre dos puntos de
un circuito, que están separados por nudos, la
diferencia de potencial habrá que calcularla por
tramos, es decir, desde el primer punto al primer
nudo, de éste al nudo más próximo, y así
sucesivamente, hasta el último punto.
EJEMPLO
Calcular la diferencia de potencial VA – VB en el
esquema siguiente:
Solución
Según la parte teórica, calcularemos primero la
diferencia de potencial entre el punto A y el punto
M; a continuación entre dicho punto y el punto B.
Se calcula VA- VM, para respetar el sentido de la
corriente:
VA – VM = 2.15 – 10 = 20 V
A continuación calculamos la diferencia de
potencial de M a B. Conservando el sentido de la
corriente, calculamos BM – VB.
VM – VB = 5,8 + 20 = 60 V.
Eliminando el punto auxiliar: VA – VM = 20
Sumando miembro a miembro:
VM −VB = 60 VA −VB = 80 V
c) Entre puntos por los cuales no circula
corriente
Si no hay circulación de corriente, es razonable
pensar que no habrá pérdida de potencial, por ser la
intensidad nula. Esto es verdad en el caso de que
entre ambos puntos sólo haya resistencias; pero no
es así si entre ambos hay pilas o generadores, ya
que la pila levantará el potencial, aumentando el
potencial de un punto con respecto al otro.
EJEMPLO
Calcular la diferencia de potencial entre los puntos
A y B, de la figura, si a través del tramo AB no
pasa corriente.
Solución
Al no circular corriente, la intensidad será i = 0. El
cálculo se hace siguiendo las normas de a),
suponiendo que circula corriente de A a B, de
intensidad i = 0. Con lo cual el cálculo se hará así:
VA − VB = 0.5 + 20 + 0.8 = 20 V
Ponemos el signo + a la fuerza electromotriz de la
pila, ya que en el sentido AB, dicha pila representa
una oposición. El resultado anterior indica que A
tiene 20 V más que el punto B.
Potencial ABSOLUTO de un punto Para calcular el potencial que tiene un punto de un
circuito, es necesario conocer el potencial absoluto
en un punto de éste, y calcular seguidamente la
5 A 10 Ω 4 V 15 Ω
A B
20 V
8 Ω
5 A
M
10 V
15 Ω
2 A
A
B
A
10 Ω
20 V
25 Ω
B
- 15 -
- 15 -
diferencia de potencial entre el punto buscado y el
punto conocido.
El hecho de que un punto tenga potencial negativo
solamente indica que su potencial es menor que el
de Tierra, al cual se considera, de forma arbitraria,
como de potencial cero.
EJEMPLO
En el sistema de la figura, el punto C está
conectado a Tierra.
Determinar:
1) El potencial absoluto en A.
2) El potencial absoluto en B.
Solución
250 = 2i + 12i + 50 + 3i +15i + 8i
i = 5 A
1) Para calcular el potencial absoluto en un punto,
hay que calcular la diferencia de potencial entre el
punto C (Tierra), conocido, y el punto A.
El potencial en el punto C de dicha figura será:
VC− VA = 5.15 + 5.8 = 115V; como VC = 0
0 − VA = 115V; entonces: VA = −115 V
2) Igual se calcula VB − VC:
VB − VC = 5.15 + 50 + 5.3 = 125
Como VC = 0; VB = 125 V
TRAMSFORMACIÓN DE CIRCUITOS DE
RESISTENCIAS
A) Transformación de Delta a Estrella: ( )
321
21
RRR
RRx
.
321
32
RRR
RRy
.
321
31
RRR
RRz
.
B) Transformación de Estrella a Delta ( )
y
yzxzxyR
1
z
yzxzxyR
2
x
yzxzxyR
3
PUENTE DE WHEATSTONE
Permite calcular una resistencia desconocida Rx,
conociendo otras tres resistencias: R1, R2, R3.
De las cuales dos de ellas, R1 y R2, se hacen variar
hasta que el galvanómetro sensible (instrumento
para medir corrientes muy pequeñas), marque cero.
En este momento no pasará corriente por él, de
G
R3 Rx
R1 R2
i3
i1 - - -
ix - - - i2
- - -
A
2 Ω
250 V B
12Ω
50 V 3 Ω
C
15Ω 8 Ω
R1 R2
R3
x
z y
x
z y
R1 R2
R3
R1 R2
R3
x
z y
- 16 -
- 16 -
manera que la resistencia interna del galvanómetro
se puede despreciar, y:
xRRRR .. 231 Luego: 2
31
R
RRRx
EJEMPLOS
1) Calcular la resistencia equivalente entre A
y B.
Solución
Podemos ir simplificando los sistemas, así:
2) Determinar la intensidad en el siguiente circuito.
Solución
La pila mayor de E = 200 V, es la que se considera
como fuerza electromotriz, con lo cual E’ = 50 V es
una fuerza contraelectromotriz, por estar en
oposición con la principal. Por tanto, y con la idea
de gasto:
200 = 2i + 30i + 50 + 8i + 60i
Es decir: i = 1,5 A
3) En el esquema siguiente, Calcular:
I.- La intensidad que circula por la línea.
II.- La diferencia de potencial en los bornes del
motor.
Solución
I.- Con la idea de gasto, y sumando E’ en dicho
gasto:
210 = 8i + 32i + 60 + 10i i = 3 A
II.- La diferencia de potencial en bornes del motor,
es decir, la diferencia que tiene al entrar y salir el
electrón, será el gasto total en el motor, por dicho
electrón. Este gasto es la suma de la fuerza
contraelectromotriz y el potencial perdido en la
resistencia interna:
VB −VA = E’ + ir’ = 60 + 3.10 = 90 V
4) En el esquema, determinar la intensidad de la
corriente que circula por el circuito principal.
Solución
Primero reducimos las pilas en paralelo entre A y B,
poniendo en su lugar una única que tendrá:
EAB = 100V de fuerza electromotriz y de resistencia:
4
1
4
11
ABR
10 Ω
6 Ω 4 Ω
6 Ω 4 Ω
5 Ω A B
10 Ω
10 Ω
10 Ω
5 Ω
10 Ω
5 Ω
5 Ω
20 Ω
E = 200 V 30 Ω
E’
= 50 V 60 Ω
r=2Ω
r’=8Ω
r’=10Ω
E’=60V
R=32Ω E=210V
r =8Ω
A B M
12Ω
4Ω
4Ω
36Ω
50V
8Ω
100V
100V 31Ω
E D
C B A F
10 Ω 10 Ω
- 17 -
- 17 -
RAB = 2Ω
Luego sustituimos las pilas en serie entre A y C por
una única:
EAC = 100 + 50 = 150VRAC = 2 + 8 = 10Ω
Con lo que todo el circuito queda reducido al de la
siguiente figura:
En este circuito se sustituyen las resistencias
puestas en paralelo entre E y D, por una única:
36
1
12
11
EDR
RED = 9Ω
Quedando la figura:
RFD = 31 + 9 = 40Ω
Una vez obtenido el circuito equivalente, aplicamos
la idea de gasto, planteando que los 150V se gastan
en la resistencia interna y en la externa; por tanto:
150 = 10i + 40i i = 3A
5) Un aparato de corriente continua (CC), necesita
para su funcionamiento 60V a 1A, debe ser usado
con una fuente que suministra 100V. ¿Cómo se
puede solucionar esto?
Solución
La solución es conectar el aparato en serie con una
resistencia de caída de voltaje que pueda reducir el
voltaje suministrado (100V), al necesario para el
funcionamiento (60V).
401
40R
i
ER
6) Un motor de corriente continua (CC), requiere
que la corriente circulante se pueda variar a
intervalos regulares para cubrir una cantidad de
usos. El rango de corriente requerida es un máximo
de 1A y un mínimo de 0,5A.
El voltaje a 1A es 7,5V; mientras que la fuente
suministra 24V.¿Cómo solucionamos esto?
Solución
Conectando un REÓSTATO (resistencia variable)
de alambre en serie con el aparato.
Cuando la corriente es total (1A), la caída de voltaje
debe ser igual a 24 – 7,5 = 16,5V.
La resistencia necesaria es 5161
516,
,
i
ER
Para reducir la corriente, de 1 a 0,5A, es necesario
duplicar la resistencia. Entonces la resistencia
máxima necesaria es 33Ω. Dado que un reóstato
ofrece una resistencia variable, desde cero al
máximo, se usará un reóstato de 33Ω, capaz de
disipar 1A. La potencia disipara está determinada
por la más alta corriente circulante o sea:
wattRiP 3333112 ))(.(
7) En el circuito de la figura, determinar:
I.- La potencia de la pila.
II.- La potencia dada a la línea.
III.- La potencia gastada en el motor, y en qué se
distribuye.
IV.- La potencia gastada en la resistencia.
V.- ¿Cuánto hielo se funde en 2 horas, con el calor
producido por la resistencia.
VI.- Compruebe que la potencia del generador (pila)
se consume totalmente en el circuito.
Solución
I.- Primero calculamos la intensidad que circula:
250 = 5i + 30i + 100 + 15i i = 3A
La potencia de la pila será:
P1 = iE = 3.250 = 750 watt
rAB = 2Ω
EAB=100V 50V
r = 8Ω
A B C
A
EAC= 150V
C
rAC = 10Ω
F
150V
10Ω
E D
12Ω
36Ω
31Ω
M A B
30Ω
E=250V
r = 5Ω
E’=100V
r’ = 15Ω
10Ω
31Ω
150V
F
E D 9Ω
- 18 -
- 18 -
II.- Calculemos primero la diferencia de potencial
en bornes:
E’ = E −i.r = 250 − 3.5 = 235V
Luego: P2 = E’.i = 235.3 = 705 watt
III.- Potencia gastada por el motor:
VB – VA = E’ + i.r’ = 100 + 3.15 = 145V
Luego: P3 = (VB – VM).i = 145.3 = 435 W
Esta potencia se consume, una parte en la fuerza
contraelectromotriz, la cual el motor convierte en
trabajo mecánico, y la otra en la resistencia interna
de dicho motor, transformándose en calor.
Comprobemos:
P4 = E’.i = 100.3 = 300 watt
P5 = i2.r’ = 3
2.15 = 135 watt
Total = 435 watt
IV.- La potencia en la resistencia exterior será:
P6 = i2.R = 3
2.30 = 270 watt
V.- El calor se determina por la ley de Joule
Q = 0,24.i2.R.t = 0,24.3
2.30.2.3600 = 466560 cal
Número de gramos = gg 583280
466560
VI.- Falta calcular la potencia gastada en la
resistencia interna de la pila:
P7 = i2.r = 3
2.5 = 45 watt
La potencia del generador debe ser igual a:
P1 = P7 + P6 + P3 P7 = 45 watt
P6 = 270 watt P3 = 435 watt
Total = P1 = 750 watt
8) En la figura, la resistencia de 20Ω representa un
calorímetro que contiene hielo. Sabiendo que si no
gira el motor, en 15 segundos funde 90g de hielo, y
si gira, la intensidad decrece 2A, determinar los
valores de E’ y r’.
Solución
El valor de la intensidad i1, que circula cuando no
gira el motor, se calcula hallando el calor
desprendido en el calorímetro, e igualándolo al
calor necesario para fundir los 90g de hielo.
2
10,24. .20.15 80. 80.90Q i m
Aii 101001520240
80901
21
..,
.
Valor de i2; sabiendo que en el segundo caso la
intensidad decrece 2A.
I1- i2 = 2; i1 0 10 → i2 = 8A
Siguiendo la idea de gasto, y por medio de la ley de
Ohm, tendremos:
500 = 5i1 + i1.r’ + 20.i1
500 = 5i2 + E’ + i2.r’ + 20.i2
Sustituyendo valores de i1 r i2, y resolviendo
tenemos:
E’ = 100V ; r’ = 25Ω
9) Haga el cálculo de la diferencia de potencial
entre los puntos A y B de la figura.
Solución
VB – VA = -20 + 4.5 + 4.30 = 120V
Cambiando de signo:VA – VB = -120V
10) Determine la diferencia de potencial
VM – VN, en el esquema siguiente:
30Ω
A
5Ω 20V
B
4A
M
20Ω
5Ω
500V
E’
r’
5A 20Ω 40V
M N
- 19 -
- 19 -
Solución
VN – VM = 5.20 + 40 = 140V
Pero, como nos piden VM – VN, cambiamos el
sentido de la expresión anterior:
VM – VN = -14V
11) Calcular la intensidad de la corriente en cada
resistencia.
Solución
Adecuamos el dibujo a un esquema más simple, sin
modificar la disposición de ninguno de sus
componentes, así:
Diseñando las resistencias equivalentes podemos
graficar dos esquemas más simples así:
5 1 2 3 5
5
5
1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 6
1 6 3 2 12
6 11
R R R R R
RR
RE = R5 + R4 = 11
1008
11
12
Corriente en R4:
AR
Vi
E
AC 639
11
100
360,
i1 = 1R
VAB
22
R
Vi AB
33
R
Vi AB
.
12 11.360. 43,2
11 100
AB AB AB
AB
V R i
V V
Ai 6212
2431 ,
, Ai 810
4
2432 ,
,
Ai 276
2433 ,
,
12) Calcular el costo de funcionamiento de una
lámpara que durante 24 horas está conectada a una
línea de 100V y absorbe una corriente de 1 A. El
precio del kW-h es S/. 0,42.
Solución
V = 100V i = 1 A t = 24 h
Costo = Energía x precio
Precio = hkW
S
420,./
Energía = V.i.t = 100V. 1A . 24h
= 2400 watt-h = 2,4 kW-h
Costo = 0081420
42 ,./,./
., ShkW
ShkW
13) Dos lámparas, cada una de 40 watt y 120 V, se
usan como resistencias en un circuito. Si las
lámparas se conectan en serie; cuál es la resistencia
combinada?
Solución
RE = R + R = 2R……..(1)
Pero: P = 40 watt V = 120V R = ?
36040
12012022 .
P
VR
R
VP
En (1): RE = 2(360Ω) = 720Ω
14) En el circuito mostrado, determinar la corriente
y la diferencia de potencial entre los puntos A y B.
R1 (2Ω)
R2 (4Ω)
R3 (6Ω)
i1
A R4 (8Ω) B
C
360V
i2
i3
i
8Ω
360V
i
6Ω
4Ω
A
C B
2Ω
C R4 B R5 A
i
C RE A
i
- 20 -
- 20 -
Solución
Cálculo de i:
V1 –V2 + ∑E - ∑iR = 0
Hacemos V1 =V2 = VA
VA – VA +(-20 + 30- 40 + 50) – i(1 + 2 + 3 + 4) = 0
20 – 10i = 0
I = 2 A (sentido correcto)
Cálculo de VA – VB:
VA – VB + ∑E - ∑iR = 0
Sólo entre A y B, y en el sentido que se ha supuesto
a la corriente:
VA – VB +(-20 +30) -2(1 + 2 + 3) = 0;
VA – VB = 2V
15) Calcule las intensidades que circulan por cada
tramo del esquema.
Solución
En el nudo C: i1 + i2 = i3
En la malla ABCF:
4 + 7 + 5 = i1.2 + i1.6 – i2.4
En la malla FCDE:
-5 -2 = 4i2 + 8i3
Resolviendo el sistema:
I3 = i1 + i2; 16 = 8i1 – 4i2; –7 = 4i2 + 8i3
Tenemos:
Ai32
411 Ai
16
232
Ai
32
53
Los signos negativos de i2 e i3 indican que los
verdaderos sentidos de circulación son contrarios a
los considerados por nosotros.
16) Calcular la corriente en las resistencias de 2Ω y
1Ω.
Solución
En el nudo A: i2 + i3 = i1
En la malla ACDBA:
6 + 18 + 12 = 4i1 +2i1 36 = 6i1 i1 = 6 A
En la malla ABGFA:
-12 + 15 + 11 = 6i2 + i2 14 = 7i2 i2 = 2 A
En (1): I3 + 2 = 6 i3 = 4 A
En la resistencia de 2Ω, i1 = 6 A
En la resistencia de 1Ω, i2 = 2 A
17) Calcular el calor entregado en un minuto, por la
resistencia de 1Ω, y la potencia de R = 4Ω.
Solución
En el nudo A:
1Ω
4Ω 50V
40V
B
3Ω 30V
2Ω 20V
A
i
i
1Ω
F 11V
4Ω 6V
C
2Ω
18V B 6Ω 15V
G
12V i2
i1
D
A
i3
4V 2Ω 4Ω 7V
C
D 5V
2Ω
3V 1Ω
i3 i1
A
i2
B P
H
2Ω
8Ω
6Ω 4Ω
2V
5V
4V
7V
i3
i2
i1
A B
C
D E
F
- 21 -
- 21 -
i2 + i3 = i1 ……..(1)
En la malla ACDBA:
-7 -5 = 4i1 + 2i2 -12 = 4i1 + 2i2
-6 = 2i1 + i2 ……(2)
En la malla ABPHA:
5 – 3 + 4 = -2i2 +i3 + 2i3 6 = -2i2 + 3i3 ………(3)
De (1): i2 = i1 –i3 …..(4)
(4) en (2) y (3): -6 = 2i1 + (i1 – i3)
-6 = 3i1 – i3 …….(5) 6 = -2(i1 – i3) + 3i3
6 = -2i1 + 5i3 …...(6)
De (5) y (6): i1 = A84113
24,
En (2): i2 = 2,32A
En (1): i3 = 0,48A Q = 0,24.
2 2
3 . . 0,24.(0,48) .1.60 cal
3,317 cal
i R t
P4 = watt42554841 24
2 ,.),(. Rii
18) Se tiene una pila de fuerza electromotriz E y
resistencia interna r = 2Ω.
Se conecta a loa terminales de dicha pila, un
voltímetro, considerado de resistencia infinita, el
cual marca 120V (figura I). A continuación, y
también entre los bornes (figura II), se conecta un
motor de 40V de fuerza contraelectromotriz y
resistencia
r’ = 18Ω. Calcular el valor de E que marca el
voltímetro en el segundo caso.
Solución
En la figura I, el voltímetro marca directamente la
fuerza electromotriz, ya que al ser su resistencia
prácticamente infinita, la intensidad que circula es
i= 0, con lo cual el consumo en la resistencia
interna es nulo. Por tanto: V = E – i.r = E – 0.r = E;
es decir:E = V = 120V.
Según esto, a pesar de estar conectado a los bornes
de la pila, marca el potencial y la fuerza
electromotriz.
En la figura II, hay circulación de corriente en el
circuito del motor, produciéndose gasto en la
resistencia interna de la pila y marcando el
voltímetro, por consiguiente, el potencial en bornes.
Para calcularlo hay que determinar la intensidad:
120 = 2i +40 +18i.Entonces: i = 4A.
El voltímetro marcará: V = 120 – 4.2 = 112V
19) Se tiene un galvanómetro de resistencia
R = 99Ω. Qué resistencia se le debe poner en
derivación para que la corriente que pasa por él sea
10000
1de la que penetra por la rama principal.
Solución
Es un caso de corrientes derivadas, por lo tanto, lo
resolvemos como tal:
iiii
i ss10000
9999
10000
Como: ssGG RiRi . Tenemos:
9999.99 . .99 . .
10000 10000 10000
1
101
s s s
s
i ii R i R
R
PRÁCTICA 09
1) Indicar la proposición incorrecta:
A) En un átomo neutro, el número de electrones es
igual al número de protones.
B) La carga más pequeña del universo lo tiene el
electrón.
D) El aire seco es un aislante para la electricidad.
E) Dos cuerpos que se rechazan eléctricamente
necesariamente tienen cargas positivas.
2) Se tienen 5 pequeñas esferas conductoras iguales
y descargadas. Una de ellas se carga eléctricamente
con una carga “q”; luego el resto de esferas se
ponen en contacto, de una en una, con la primera.
Entonces, la carga eléctrica final de la primera
esfera será:
G
(I) (II)
V
V
M
- 22 -
- 22 -
a) q/2 b) q/4 c) q/8 d) q/16 e) q/32
3) Dos cargas iguales se colocan a 3 cm de
distancia en el vacío. Si la fuerza que experimentan
es 250 N, ¿Cuál es el valor de Q?
a) 5 µC b) 6 µC c) 7 µC
d) 8 µC e) 9 µC
4) En el siguiente campo uniforme, se sabe que E =
300 N/C, y d = 0,5 m. ¿Cuál es la diferencia de
potencial que existe entre A y B?
a) 170 V b) 150 V c) 160 Vd) 180 V e) N.A.
5) Calcular la fuerza sobre q3. Dar la respuesta en
dinas.
q1 = 10 C
q2 = 100 C
q3 = 100 C
a) 1071x10-30
b) 1,41x10-28
c) 1,73x10-15
d) 1035x10-18
e) N.A.
6) Señala la dirección más aproximada para el
campo resultante en A, de la siguiente figura
.
a) b) c) d) e)
7) La capacidad de un conductor es independiente
de:
a) Su volumen b) Su forma c) Su superficie
d) Sus dimensiones e) La carga que almacena
8) ¿Cuál sería la capacidad de la Tierra si estuviera
hecha de un material buen conductor? Considerar:
Radio terrestre = 6 372 km.
a) 100 µF b) 105 µF c) 108 µF
d) 120µF e9 N.A.
9) En el circuito de capacitares que se muestra, si
C1 > C2 ≥ C3 > C4, ¿Qué capacitor habría que
extraer para que el sistema almacene más energía?
a) C1 b) C2 c) C3 d) C4 e) Cualquiera
10) ¿Cuántos condensadores de 1 µF habrá que
conectar en paralelo para almacenar 10-3
coulomb
de carga con una diferencia de potencial de 10 V,
aplicados a cada uno de ellos?
a) 100 b) 200 c) 250 d) 300 e) N.A.
11) Señale la proposición incorrecta:
I) La cantidad de carga que pasa por la sección
transversal de un conductor en cada unidad de
tiempo se ha convenido en llamar INTENSIDAD
DE LA CORRIENTE.
II) La cantidad de carga que pasa por la sección
transversal de un conductor en un segundo se ha
convenido en llamar AMPERIO.
III) Si la corriente en un circuito es de 5 A, quiere
decir que a través de la sección transversal del
circuito pasan 5 C en 1 s.
a) VVF b) VFV c) VFF d) FVV
e)FFV
12) ¿Cuál de las siguientes gráficas representa
mejor la dependencia de la tensión (V) con la
intensidad de la corriente (i), que experimenta un
conductor?
E
A B
d
4,8 cm
Q1
Q3 Q2
(CUBO)
−Q
−Q
+Q
A (CUADRDO)
V C1
C2
C3 C4
a
b
- 23 -
- 23 -
13) Calcular la corriente “i” en el circuito mostrado.
a) 3 Ab) 1 Ac) 1 Ad) 0,5 Ae) 0,25 A
14) El amperímetro instalado en el circuito de la
figura tiene las siguientes características: escala
máxima 1 A, y resistencia interna 50 ohmios. ¿Qué
corriente indicará el amperímetro?, ¿es necesario
conectar una resistencia (Rs) en el amperímetro y
cuál será el valor máximo de Rs?
a) 1 A y no necesita Rs
b) 1 A y necesita Rs = 75 Ω
c) 1 A y necesita Rs = 25 Ω
d) 0,5 A y necesita Rs = 50 Ω
e) N.A.
15) En el circuito mostrado en la figura, calcular: a) La corriente “i” que atraviesa la resistencia de 6 Ω.
b) El sentido de dicha corriente “i”.
a) i = 0,36 A; sentido B→A
b) i = 0,12 A; sentido A→B
c) i = 0,24 A; sentido B→A
d) i = 0,22 A; sentido A→B e) N.A.
16) En la figura determinar las corrientes:
a) i1 = 15 A; i2 = 7,14 A; i3 = 2,86 A
b) i1 = 10 A; i2 = 7,14 A; i3 = 2,86 A
c) i1 = 20 A; i2 = 8,68 A; i3 = 5,4 A
d) i1 = 10 A; i2 = 7,14 A; i3 = 3,48 A e) N.A.
17) Hallar la corriente en cada uno de los ramales
del circuito:
a) i1 = 2,5 A; i2 = 2,8 A; i3 = 0,5 A
b) i1 = 2,8 A; i2 = 2,2 A; i3 = 2,5 A
c) i1 = 2,8 A; i2 = 2,2 A; i3 = 0,6 A
d) i1 = 2,1 A; i2 = 2,5 A; i3 = 1,6 A
e) N.A.
18) Calcular la intensidad de la corriente que marca
el amperímetro
a) 6 A b) 7 A c) 5,4 A d) 5,9 A e) 5,1 A
MAGNETISMO
“Parte de la Física que estudia los imanes”
Los imanes son cuerpos compuestos,
fundamentalmente de óxidos de hierro, que tienen
la propiedad de atraer a ciertos materiales metálicos.
V
i
V
i
a)
V
i
b)
V
i
c)
V
i
e)
d)
4 Ω 4 Ω 4 Ω
4 Ω 4 Ω
2 Ω 2 Ω 3 V i
A
90 V
10 V
2 Ω
4 Ω 3 Ω
2 Ω 2 V
1 Ω 6 Ω
50 V
2 Ω 3 Ω
30 V 20 V
1 Ω 4 Ω
120 V
20 Ω Zoa
virtual
60 V
30 Ω
A
i
2Ω
2Ω
2Ω
2Ω
2Ω 2Ω
2Ω 2Ω
2Ω 2Ω
2Ω
2Ω
i
36 V
- 24 -
- 24 -
Materiales magnéticos. Los materiales magnéticos se pueden magnetizar y
a su vez atraen hierro y algunos otros metales.
Polos de un imán Todo imán tiene zonas donde se manifiestan con
mayor intensidad las acciones magnéticas. A estas
zonas se llaman POLOS.(extremos del imán).
NORTE y SUR.
ACCIÓN ENTRE LOS POLOS DE UN IMÁN:
LEY CUALITATIVA
“Polos iguales se repelen y polos diferentes se
atraen”
CLASES DE IMANES
Naturales.- Materiales que debido a su
ordenamiento molecular, gozan de propiedades
magnéticas. Ejemplo, la MAGNETITA (Fe3O4).
Artificiales.- Adquieren propiedades magnéticas
por una causa externa. Por ejemplo los
electroimanes (imanes construidos con la ayuda de
la corriente eléctrica). El hierro las pierde a los
750ºC, el níquel a los 350ºC, el cobalto a los1100ºC.
CARGA MAGNÉTICA (Q*) Cantidad física escalar asociada a un polo
magnético, que indica el nivel de magnetismo que
posee.
En el SI, se expresa en Ampere.metro = A.m.
LEY CUANTITATIVA DEL
MAGNETISMO “Dos cargas magnéticas se atraen o se repelen con
una fuerza que es directamente proporcional al
producto de dichas cargas, e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas”.
Donde:270 10
4ANKm /
MAGNETISMO TERRESTRE La tierra, es un gran imán. Su polo norte magnético
está en las cercanías del polo sur geográfico, y su
polo sur magnético se encuentra en las cercanías del
polo norte geográfico.
DECLINACIÓN MAGNÉTICA: Ángulo que
forma la dirección norte-sur geográfica, con la
dirección norte-sur, magnética (dirección de un
imán en forma de barra).
INCLINACIÓN MAGNÉTICA: Ángulo que
forma la dirección norte-sur magnética, con el
plano horizontal. La unión de los puntos que tienen
igual inclinación magnética determina las líneas
ISOCLINICAS (latitud magnética).
CAMPO MAGNÉTICO
Espacio alrededor de un imán donde se manifiestan
las acciones magnéticas. Es “invisible” e infinito.
LÍNEAS DE FUERZA del campo magnético,
Caminos que seguiría un polo norte (N),
hipotéticamente aislado, dejado libremente cerca de
un imán.
INTENSIDAD DEL CAMPO
MAGNÉTICO (B)
Conocida también como INDUCCIÓN
MAGNÉTICA, es una magnitud vectorial,
definida para un punto, como la fuerza que recibiría
la unidad de carga magnética colocada en dicho
punto.
*q
FB
La unidad de B en el SI, es el TESLA (T).
1T = 1N/A.m
Si la carga que genera el campo es Q*, y es puntual;
en el punto P, a una distancia “d” de dicha carga, la
intensidad del campo será:
2d
QKB m
*
FLUJO MAGNÉTICO ( )
El FLUJO MAGNÉTICO se define como la
magnitud escalar que indica el número de líneas de
fuerza que atraviesa una superficie imaginaria
perpendicular a ellas.
AB . ó cosBA
La unidad de , en el SI:
El WEBER (Wb). 1Wb = 1T.m2.
OTRAS UNIDADES DE FLUJO MAGNÉTICO,
INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO (o
densidad de flujo)
: Un Maxwell (una línea de fuerza)
Un Weber = 108 Maxwell
B: Un Gauss = 1 Maxwell/cm2
* *
1 2
2
.m
Q QF K
d
- 25 -
- 25 -
Un Tesla = 1 Weber/m2 = 10
4 Gaus
INDUCCIÓN MAGNÉTICA PARA UN
SISTEMA DE CARGAS MAGNÉTICAS
Como en el caso de los campos eléctricos. En el
punto P, cerca de las cargas magnéticas:
*** ,, 321 QQQ ; de inducciones: B1,B2, B3, tendremos:
BP = B1 + B2 + B3,
Es decir: 22 yxP BBB
EJEMPLOS
1) ¿Cuál es la fuerza mutua entre dos cargas
magnéticas de 6.103 A.m, y 8.10
3 A.m. Colocadas a
una distancia de 2m?
Solución
Según la ley cuantitativa del magnetismo:
Km = 10-7
N/A2; entonces:
2
21
d
QQKF m
**
= N12020
10810610
2
337
),(
...
2) Calcular la inducción magnética B, en un punto
situado a 5 cm de una carga magnética puntual de
7,5.103 A.m.
Solución
Td
QKB m 30
050
750010
2
7
2,
),(
*
3) ¿Cuál es el valor del flujo magnético, a través de
una superficie de área 2 m2 , de un campo
magnético de inducción 360 Teslas?
B forma con la superficie un ángulo de 53º.
Solución
WbAB 5765
4236053 ..ºcos..
ELECTROMAGNETISMO
Si se mueve una pequeña brújula alrededor de un
conductor que lleva corriente, los polos de la aguja
se alinean según las líneas de fuerza magnética y
cambian su dirección cuando la brújula se mueve
alrededor del alambre conductor. Así, las líneas de
fuerza creadas por la corriente tienen dirección, tal
como las líneas de flujo asociadas a un imán,
excepto que la dirección es siempre perpendicular
al eje conductor.
LEY DE BIOT – SAVART
a) Para un segmento con corriente.-
Cuando un segmento conductor AB, transporta una
corriente de intensidad “i”, genera un campo
magnético, tal que en un punto P, la intensidad B
será normal al plano que determinan el segmento y
el punto; de módulo:
)cos(cos
d
iB 710
b) Para una recta con corriente.- En
cualquier punto P, a una distancia “d” del conductor:
d
iB 7102 .
En cada punto de una circunferencia de radio “d”.
c) Para un arco que transporta
corriente.-
r
iB
710 Donde: r = radio del arco;
θ = ángulo determinado por el arco.
d) Para una espira circular que
transporta corriente.-
En este caso:
B es máximo en el centro de la espira, y su valor
viene dado por:
r
i
B7
0 102
.
En un punto P, del eje perpendicular a la espira, a
una distancia “x” del centro de la espira:
2322
27102
/)(
..
rx
riBP
e) Para un selenoide o bobina.- En este
caso, B es más intenso en los extremos de la bobina
que en el centro. A saber: Bcentro = Bextremo
i
d P
B
- 26 -
- 26 -
niL
NiBcentro ..
..0
0
Donde: n = N/L
N = Número de espiras del selenoide
L = longitud del selenoide
* La fuerza del campo magnético de una bobina
con corriente depende de:
1) La intensidad de la corriente.
2) Número de vueltas.
3) Distancia entre vueltas.
4) Permeabilidad del núcleo (material del interior
de la bobina).
FUERZA MAGNÉTICA (FUERZA
DEFLECTORA) SOBRE UNA CARGA
ELÉCTRICA MÓVIL
Si una carga eléctrica se mueve en un campo
magnético, experimenta la acción de una fuerza
magnética (Fuerza deflectora), cuyo valor depende
de la magnitud de la carga eléctrica, del campo
magnético B y de la velocidad con la que se mueve.
La dirección de la fuerza será perpendicular al
plano que determinan B y v .
senBvqF ...
= Ángulo entre B y v F, en N; q, en C; v, en
m/s; B, en T.
CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME Un campo magnético uniforme (como un campo
eléctrico uniforme), perpendicular al plano del
papel se dibujará así:
Regla de la mano izquierda, para
determinar la dirección y sentido de la
fuerza deflectora: “Se extienden los dedos, pulgar, índice y mayor, de
tal manera que estén perpendiculares dos a dos. El
dedo pulgar indica el sentido de la fuerza F, el
índice, el sentido del campo B y el mayor, el
sentido en que se mueve la carga eléctrica (v).
FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UN
CONDUCTOR RECTILÍNEO QUE LLEVA
CORRIENTE ELÉCTRICA
(EFECTO MOTOR) Si un conductor que lleva corriente, está dentro de
un campo magnético, soporta una fuerza F, cuya
dirección se determina por la regla de la mano
izquierda. Su valor es:
senLiBF ...
L = longitud del conductor.
= Ángulo entre el conductor y B.
FUERZA MAGNÉTICA ENTRE DOS
CONDUCTORES PARALELOS QUE
LLEVAN CORRIENTE ELÉCTRICA
d
ii
L
F 217102.
.
L = longitud de los alambres
d = distancia entre conductores
i1, i2, : intensidad en cada conductor
INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA
(EFECTO GENERADOR)
“Si un conductor se mueve dentro de un campo
magnético, en él aparece una corriente eléctrica”.
FUERZA ELECTROMOTRIZ INDUCIDA
Para una barra rectilínea metálica móvil.- Cuando un conductor se mueve dentro de un campo
magnético, sus electrones se mueven con él, por lo
que se desplazan hacia uno de sus extremos, debido
a la fuerza deflectora; generándose una diferencia
de potencial (E) entre ellos, a la que llamamos fem
inducida. Su valor es:
i = v.B.L;
Donde:
El conductor, v y B, son perpendiculares entre sí.
Para una espira conductora.- Aquí la fem
inducida i genera una corriente inducida “i”.
Además debido al movimiento de la espira, el
número de líneas magnéticas dentro de la espira va
variando, por lo que el flojo que atraviesa la
espira va variando con el tiempo. Cuanto más
rápida es esta variación, mayor es la corriente
inducida. Es decir.
i = −t
LEY DE LENZ
“El sentido de la corriente producida por la fuerza
electromotriz inducida es tal que el campo que ella
genera tiende a compensar la variación del flujo
magnético que atraviesa el circuito”. Esto explica el
signo (-) anterior. Dicho en otros términos:
“La corriente que se induce en un circuito tiene un
sentido tal que se opone a la causa que lo produce”.
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . .
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+ + + + + +
+
B apunta hacia el lector B entra hacia la hoja
- 27 -
- 27 -
AUTOINDUCCIÓN Consiste En la producción de una corriente
inducida en un circuito eléctrico, debido a la
variación del campo magnético perteneciente a la
corriente principal.
Si la corriente principal aumenta, la autoinducida
tendrá sentido a la principal.
Si la corriente principal disminuye, la autoinducida
tendrá el mismo sentido que la principal.
Coeficiente de autoinducción (L) Llamada también INDUCTANCIA, es igual al
cociente entre la fem inducida ( i ) y la rapidez con
la cual varía la intensidad de la corriente principal.
L =
t
ii
L, en henrios (H)
1 H = sA
V
/1
1= 1 Wb/A Eai = L
t
i
GENERADORES ELECTROMAGNÉTICOS El movimiento mecánico de un conductor dentro de
un campo magnético, mencionado antes (Efecto
generador), explica la conversión de energía
mecánica en energía eléctrica.
FUERZA ELECTROMOTRIZ
ALTERNA ( i )
Corriente Eléctrica que cambia periódicamente de
valor y de sentido.
Cuando gira una espira dentro de un campo
magnético, el flujo magnético que atraviesa la
espira de área A, varía a medida que ésta gira con
velocidad angular , es decir: = BA cos ,
donde = .t. Haciendo: t
i
Tendremos: t
BAi
)(cos. = BA. sen( t)
Por consiguiente: .mi sen( t)
Donde: m = fem máxima
CORRIENTE ALTERNA (CA)
I = im. sen( t) Donde im es corriente máxima
VALORES EFICACES
mm
eficaz ii
i 70702
, mm
eficaz
70702
,
TRANSFORMADORES
Cuando dos bobinados están dispuestos de tal
forma que una corriente variable en uno, induce un
voltaje en el otro, la combinación se llama
TRANSFORMADOR. El bobinado primario
(abreviado P), recibe la entrada de energía eléctrica
de una fuente de voltaje, mientras que el bobinado
secundario (abreviado S), suministra el voltaje
inducido a la carga.
Elevación y reducción de voltaje
S
P
S
P
N
N
Donde:
P y S significan primario y secundario,
respectivamente.
Elevación y reducción de corriente
S
P
P
S
N
N
i
i
P y S, significan primario y secundario,
respectivamente.
EJEMPLOS
1) Por dos conductores rectilíneos infinitamente
largos y paralelos, circulan las corrientes i y 2i.
Si la distancia entre ellos es 10 cm. Encontrar la
distancia a partir del conductor que conduce la
corriente i, donde el campo magnético es nulo.
Solución
Como i1 < i2, el punto donde el campo magnético
es nulo, debe estar más próximo a (1). De acuerdo a
esto, en el esquema establecemos la siguiente
igualdad.
En el punto P, B1 = B2, entonces:
7 7 22.10 2.10
( 10)
2 1 2
( 10) 10
2 10 10
i i
d d
i i
x x x x
x x x cm
2) Una bobina de 20 cm de largo consta de 5000
espiras. Hallar el campo magnético en el centro
interior de la bobina, si la corriente es de 4
amperios.
Solución
i 2i
x 10cm
x
x
(1) (2)
P
- 28 -
- 28 -
• • +
a) b) c)
Bcentro = µ0.i.n →
Tesla 25102
50004104
1
70
......
L
NiB
3) Sobre la carga puntual +q, que se mueve con una
velocidad constante, actúan los campos magnéticos
B y 2B, además, los tres vectores v, B y 2B, están
en el mismo plano. Calcular la magnitud y sentido
de la fuerza total que actúa sobre la carga +q.
Solución
De acuerdo con la regla de la mano izquierda, F1 y
F2, originadas por los campos 2B y B,
respectivamente, tienen direcciones paralelas al eje
z, aunque sus sentidos son opuestos. Entonces:
F1 = q.v(2B) sen 30º F1 = +(qvB)k
F2 = q.v.B sen 30º F2 = kqvB
2
1
Por tanto:
R = ∑Fi = kqvBkqvB 2
1
1 k
2q v B
4) Una estufa eléctrica funciona con 220 voltios de
corriente alterna. ¿Cuál será el valor máximo del
voltaje entre los terminales de la estufa en cada
ciclo?
Solución
= 220V es el voltaje eficaz
Luego: máximo0,707 eficaz
Por lo que:
220311,17
0,707 0,707
eficaz
máx V
5) Un transformador cuyo primario tiene 100
espiras, y su secundario, 2000 espiras; es conectado
a una toma de corriente que suministra 120V.
Calcular el voltaje de salida en el secundario.
Además, calcular la corriente de entrada, si en el
secundario se consigue 0,2 A.
Solución
S
2000 . .120
100
SP PP
S S P
NN
N N
VS 2400
P
2000 i . .0,2
100
S SPS
S P P
N Nii
i N N
A 4Pi
PRACTICA 10
1) Señala lo correcto:
(I) Los imanes sólo tienen dos polos.
(II) La imantación de los cuerpos es independiente
de la temperatura.
(III) Si martillamos un imán, éste reduce su
imantación.
(IV) Es imposible aislar un monopolo magnético.
a) III y IV b) I y II c) II y III
d) I y IV e) N.A.
2) Elige las palabras que completen mejor la
siguiente oración: “Las………………
de fuerza del campo magnético
son…………………”.
a)Tensiones; nulas b) Líneas; abiertas
c) Curvas; nulas
d) Líneas; cerradas e) Curvas; absolutas
3) Sabiendo que los esquemas muestran las líneas
del campo magnético de la corriente “i”, indicar
verdadero (V) o falso (F).
a) FFV b) FVF c) VFF d) VVF e) FVV
30º 30º +q
2B
v B
+z F1
F2
θ = 30º
θ
θ +q
2B
v
B
+z
- 29 -
- 29 -
4) Si los puntos (•) y las aspas (x) representan
líneas del campo saliendo y entrando a la hoja,
respectivamente, indicar el esquema correcto para
el campo magnético generado por “i”.
5) Dos polos norte de 600 A.m y 800 A.m se
colocan a 2 cm de distancia. ¿Cuál es la fuerza de
repulsión que existe entre ellos?
a) 130 N b) 125 N c) 120 N d) 150 N e) N.A.
6) Determinar en qué caso el campo magnético en
el punto P es el más intenso.
a) a b) b c) c d) d e) N.A.
7) Una barra conductora de 50 cm de longitud se
desplaza con una velocidad de
25 m/s, dentro de un campo magnético uniforme de
B = 0,6 Teslas. Encontrar la fem inducida en cada
caso
a) 5V; 6V; 8V b) 4,5V; 6V; 0V c) 6V; 6V; 0V
d) 7,5V; 4,5V; 0Ve) 7,5V; 6V; 0V
8) Calcular el número de espiras del primario de un
transformador en el cual ingresan 20 kW a 100 A, y
del secundario, que tiene 200 espiras, salen 0,5 A.
a) 50 b) 40c) 200 d) 10 e) 20
9) ¿Cuál es la inducción magnética resultante en P,
si i = 6 A?. Lado del cubo = 2 m. Considerar que
los conductores son infinitamente largos.
a) 3.10-7
Teslas b) 6.10-7
Teslas c) 4.10-5
Teslas
d) 5.10-7
Teslas e) N.A
10) En un lugar de la Tierra las componentes,
horizontal y vertical, del campo magnético terrestre
son 0,012 T y 0,009 T. ¿Cuánto mide el ángulo de
inclinación magnética de dicho lugar?
a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS Y
LUZ Las perturbaciones generadas los fenómenos de
autoinducción eléctrica y magnética, se llaman
ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS. Los fenómenos de naturaleza electromagnética
tienen, entre otras, la propiedad de propagarse,
trasladando energía de un punto a otro del espacio.
ESPECTRO ELECTROMAGNÉTICO
Todas las ondas electromagnéticas forman el
ESPECTRO ELECTROMAGNETICO, que
comprende un amplio grupo de fenómenos que en
principio, se consideran netamente distintos y se
atribuyen a entes distintos. Sin embargo únicamente
se diferencian por la gama de frecuencias de
vibración (o lo que es lo mismo, por la longitud de
onda). Desde Maxwell a la fecha tenemos:
A) Rayos Alfa (α).- Son átomos de helio. Los
ratos alfa son detenidos por capas delgadas de
materia. Al atravesar un campo eléctrico, son
atraídos por el electrodo negativo.
B) Rayos Beta (β).- Son electrones (negativos)
idénticos a los llamados rayos catódicos. Los rayos
beta son capaces de atravesar capas más gruesas de
materia, que los rayos alfa.
C) Rayos Gama (γ).- Son emitidos por los
núcleos atómicos al desintegrarse. Es una radiación
análoga a la luz, pero de longitud de onda bastante
inferior. No son desviados por los campos
x x x x x x x x
x x i x x
x x x x x x x x
x x x x x
a)
• • x x
• • x x
• • x x
• • i x x
• • x x
c) x x • •
x x • • x x • •
x x i • • x x • •
d)
e) NA.
• • • • • • • • • • i • • • • • • • • • •
b)
x x x x x x x x x x x x x x x
x x x x B x x x x x B x x x x B x x
x x x x x x x x x x x x x x
x v x x x v x x x x x x x
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x v x x
x x x x 53º x x x x x x
x x x x x x x x x x x x x x x
(a) (b) (c)
i
i
P
i i i i
i i i i
a P a a P a
2a a P 2a a P
(a) (b)
(c) (d)
- 30 -
- 30 -
eléctricos ni magnéticos. Pueden atravesar varios
milímetros en el plomo. Constituyen ondas
electromagnéticas de las más altas frecuencias.
Producen daños irreparables a las células animales.
D) Rayos X.- Son emitidos o son generador
cuando los electrones acelerados son detenidos
repentinamente. Atraviesan con facilidad,
sustancias de baja densidad
(por ejemplo los músculos animales), pero son
absorbidos por sustancias de alta densidad (por
ejemplo los huesos). Se usa para tomar radiografías.
E) Radiación ultravioleta.- Tiene mayor
frecuencia que la radiación violeta. Hasta 1018
Hz.
Esta radiación es emitida por átomos excitados. Son
invisibles, pero pueden imprimir ciertos tipos de
placas fotográficas. Pueden dañar el ojo humano.
F) Ondas Luminosas.- Grupo de ondas
electromagnéticas desde 4,6.108 Hz hasta 6,7.10
12
Hz. Son capaces de estimular el ojo humano.
G) Radiación Infrarroja.- Radiación de
longitud de onda mayor que la roja. La emiten los
cuerpos calientes. Sus propiedades ya la vimos
antes.
H) Microondas.- Radiación de frecuencias a
108 Hz a 10
12 Hz. Se utilizan en telecomunicaciones
(Teléfonos, celulares, TV: vía satélite, etc.).
I) Ondas de radio.- Son las radiaciones de más
baja frecuencia, de 108 Hz a menos.
OPTICA
NATURALEZA DE LAS ONDAS LUMINOSAS
I) Teoría corpuscular.- Considera que la luz
es emisión de pequeñísimos corpúsculos que salen
de los cuerpos luminosos, rebotan en los demás
cuerpos y llegan a nuestros ojos, estimulándolos.
II) Teoría ondulatoria.- Sostiene que la luz es
una emisión de ondas similares a las del sonido.
Concluye esta teoría que la luz es una onda
electromagnética.
III) Teoría actual.- Considera que la luz es
onda y es partícula. Integrándole todos sus atributos
como onda y como partícula. Es decir, su
propagación lo hace como onda; pero interacciona
con los cuerpos, como partícula.
Clases de cuerpos de acuerdo al
comportamiento con la luz
A) Cuerpos luminosos.- Producen luz propia.
B) Cuerpos iluminados.- Cuerpos sobre los
que incide la luz.
C) Cuerpos transparentes.- Dejan pasar la
luz, a través de ellos.
D) Cuerpos opacos.- Impiden el paso de la luz
a través de su masa.
E) Cuerpos translúcidos.- Permiten el paso
parcial de la luz a través de su masa, a pesar de que
no es posible ver los objetos que están detrás de
ellos.
MEDIDA DE LA LUZ
FOTOMETRÍA
Parte Del capítulo de Óptica que estudia las fuentes
o manantiales luminosos, los efectos que producen,
y su medida.
FLUJO RADIANTE.-
Cantidad de energía que emite o recibe, por unidad
de tiempo, una superficie, por medio de ondas
electromagnéticas.
Unidad: En el SI. J/s = W (watt)
FRUJO LUMINOSO (ФL).-
Energía luminosa que un manantial emite en la
unidad de tiempo.
tiempo
luminosa EnergíaL
Unidad de medida: El LUMEN (lm).
INTENSIDAD LUMINOSA (I).-
Flujo emitido por la fuente luminosa por la unidad
de ángulo sólido.
LI
Donde:
= ángulo sólido
- 31 -
- 31 -
2R
A ;
A = Área
d = R = Distancia a la fuente
Unidad de medida:
La bujía o candela (cd) ánstéreoradi
lumencd 1
Otra unidad:
Violle = Intensidad de un cm2 de platino en fusión.
BRILLO.- Cociente de la intensidad de la fuente
(en la dirección en la que se efectúa la observación),
por la superficie aparente de la fuente (vista desde
el punto de observación). La unidad es el STILB
(sb), definido como el brillo de una fuente de una
bujía, que mide 1cm2 de superficie aparente; en las
condiciones dichas.
ILUMINACIÓN ( ).- Flujo luminoso
interceptado perpendicularmente por la superficie
unitaria.
A
L
O también: cos2d
I
Donde: d = distancia de la fuente al punto de
incidencia del rayo luminoso con la superficie
iluminada.
Α = Ángulo determinado por el rayo incidente y la
normal a la superficie, en el punto de incidencia.
CANTIDAD DE ILUMINACIÓN.- Producto de
la iluminación por el tiempo. Se expresa en lux-
segundo. 1 lux-segundo (lxs) es la cantidad de
iluminación que recibe, en un segundo, una
superficie cuya iluminación es de 1 lux.
LEYES DE LA ILUMINACIÓN
1.- La iluminación es directamente proporcional a
la intensidad de la fuente.
2.- La iluminación es inversamente proporcional a
la distancia de la superficie al foco o fuente
luminosa.
3.- LEY DE LAMBERT: La iluminación es
directamente proporcional al coseno del ángulo
determinado por el rayo luminoso y la normal al
plano iluminado, en el punto de incidencia.
cos2d
I
Unidades de medida:
1) LUX = 2m
lumen
2) BUJÍA- PIE: 2pie
lumen
LEY DE KEPLER.- “En un medio
homogéneo perfectamente transparente, la cantidad
de luz recibida por una superficie S es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia de dicha
superficie a la fuente luminosa”
RENDIMIENTO DE UN FOCO
LUMINOSO (ηL)
Relación entre el flujo luminoso ( L ) y el flujop
radiante total (Р), emitido por un foco de luz.
ηL = P
L
EJEMPLOS
1) En el centro de una esfera de superficie negra
cuyo radio es 10cm, se ha colocado una fuente
luminosa. A través de un agujero de 20cm2, en la
superficie, sale un flujo de 50 lumen. Determinar la
intensidad de la fuente.
Solución
LI sr 20
100
202
2
2,
cm
cm
R
A
bujías 250sr 0,2
50
lumenI
2) Una lámpara de 100 bujías es colocada en un
reflector, el cual logra una iluminación de un área
de 20m2 colocada a 20m del reflector. Determinar
la intensidad luminosa del reflector. sr 4L
Solución
R
RRI
……….(1)
Pero: sr 050400
202
,d
AR
lumen 400lumen 4100 .LLLR I
d1 d2
I1 I2
22
2
21
121
d
I
d
I
- 32 -
- 32 -
En (1): bujías 8000sr 050
lumen 400
,RI
3) Sobre el centro de una mesa circular de 30cm de
radio, se colocan dos lámparas, una de 20 bujías a
una altura de 40cm, y otra de 30 bujías a una altura
de 30 3 cm. Calcúlese la iluminación que se tiene
en el perímetro de la mesa.
Solución
PPP 21 ; º; 30 60 11 cmd P
º37 ;50 22 cmd P
bujías 20I bujías; 30 21 I
222
212
1
1 coscosPP
Pd
I
d
I
2 2
30 3 20 4.
2 50,6 0,5
15 3 16
0,36 0,25
P lux lux
lux lux
lux 16136,P
REFLEXIÓN DE LA LUZ
Fenómeno en el cual un rayo luminoso experimenta
un cambio en su dirección de propagación al incidir
sobre un cuerpo, continuando en el medio en el cual
se encontraba inicialmente.
LEYES DE LA REFLEXIÓN
Primera: El ángulo de reflexión es igual al
ángulo de incidencia.
Segunda: El rayo incidente, la normal y el rayo
reflejado se encuentran contenidos en un mismo
plano, que es perpendicular a la superficie de
reflexión.
TIPOS DE REFLEXIÓN
a) Reflexión Normal o Regular.- Es aquella
en la cual, al incidir un haz de rayos paralelos,
sobre una superficie es reflejado como un haz de
rayos también paralelos.
b) Reflexión Difusa o Irregular.- Es aquella
en la cual, al incidir un haz de rayos paralelos,
sobre una superficie, es reflejado en direcciones no
paralelas.
ESPEJOS PLANOS
Son superficies planas reflectantes.
IMÁGENES DADAS POR UN ESPEJO
PLANO La imagen en un espejo plano queda determinada
por la intersección de las prolongaciones de dos
rayos reflejados por el espejo, provenientes del
objeto.
Características de la imagen formada
por un espejo plano
î ř
N A B
O
• • O I
Espejo
O I
Espejo
P
1
2
I1
I2
30 3 40
30
- 33 -
- 33 -
- La imagen es virtual y derecha.
- La imagen es del mismo tamaño que el objeto.
- La distancia del objeto al espejo es igual a la
distancia del espejo a la imagen.
- Las imágenes formadas pertenecen a todos
los objetos colocados frente al plano que
contiene al espejo (por más pequeño que fuere
el espejo).
- El tamaño del espejo únicamente limita la
zona de observación.
Naturaleza del objeto y de las imágenes
formadas por un espejo
Objeto real.- Si los rayos luminosos que llegan
al espejo se originan en él.
Imagen real.- Producida por la intersección de
los rayos reflejados.
Imagen virtual.- Formada por la intersección
de la prolongación de los rayos reflejados. Estas
imágenes no tienen existencia real, no existen más
que en nuestro ojo, que recoge los haces luminosos
procedentes del espejo, en una dirección, como si
procedieran aparentemente de la imagen. Pero una
pantalla no las capta.
Objeto virtual.- Una imagen real formada por
una lente, es desviada por un espejo plano sirviendo
como objeto virtual para un segundo espejo plano.
La imagen en el segundo espejo plano es una
imagen real de un objeto virtual.
En un espejo plano, la imagen de un objeto real es
virtual, plana y simétrica con respecto al plano del
espejo. La imagen es real si el objeto es virtual.
ROTACIÓN DE UN ESPEJO PLANO
Sea un espejo M, sobre el cual se hace llegar un
rayo incidente SI. Supongamos que se hace girar
luego el espejo un ángulo α, alrededor de un eje,
perpendicular al plano de incidencia, y pasando por
el punto I.
El rayo reflejado que ocupaba la posición IR toma
una nueva posición IC. Podemos determinar el
ángulo que ha girado el rayo IR.
En la figura siguiente, trazamos los rayos
correspondientes y hacemos el giro mencionado:
<RIC = <SIC - <SIR = <2SIN’ - <2SIN
<RIC = 2(<SIN’ - <SIN) = 2<NIN’
Luego, cuando la normal gira un ángulo α
<RIC = 2α
Todo esto se puede enunciar así:
“Si el espejo gira un ángulo α, el rayo reflejado
correspondiente a un rayo incidente fijo, girará un
ángulo doble, 2α”. La propiedad se cumple aunque
el eje no pase por I.
ASOCIACIÓN DE ESPEJOS PLANOS
ESPEJOS PARALELOS.- Las superficies pulidas
reflectantes o espejos tienen que estar, una al frente
de la otra.
Aquí la imagen formada en un espejo se constituye
en objeto para el otro espejo, y la imagen de este
objeto será nuevamente objeto en el espejo del
frente, y así sucesivamente, formándose infinitas
imágenes.
ESPEJOS PLANOS ANGULARES.- Estos
espejos forman un ángulo diedro.
En general, el número “n” de imágenes formadas
por el sistema es:
1360
n ;
Siendo α el ángulo que forman entre sí los espejos.
EPEJOS ESFÉRICOS
Se llama espejo esférico a toda superficie esférica
que refleja la luz.
Un espejo es cóncavo o convexo, según que la
superficie reflectora esté vuelta o no al centro O de
la esfera a que pertenece el espejo. También, a un
espejo cóncavo se le llama convergente; y a un
espejo convexo se llama divergente.
ELEMENTOS DE LOS ESPEJOS ESFÉRICOS
S N N’
R
C
I
α
2α
H
O
α
- 34 -
- 34 -
1)
Centro
de curvatura.- Centro de la esfera que
determina al espejo (C).
2) Radio de curvatura.- Radio de la esfera
mencionada (R).
3) Vértice.- Centro geométrico del espejo (V).
4) Eje principal.- Recta que pasa por el centro
de curvatura y el vértice.
5) Foco principal.- Punto del eje principal
donde convergen todos los rayos que inciden en el
espejo paralelos al eje principal. Punto detrás del
espejo divergente, de donde parece que salieran los
rayos que inciden paralelos al eje principal (F).
6) Distancia focal (f).- Distancia entre el foco
principal y el vértice.2
Rf
7) Abertura.- Cuerda que subtiende al casquete
del espejo. Cuando la abertura es muy grande, las
imágenes pierden nitidez.
Rayos principales
a) Rayo paralelo.- El rayo que
incide paralelamente al eje principal,
se refleja: En un espejo cóncavo, por
el foco; en un espejo convexo, como si saliera del
foco (α).
b) Rayo focal.- Es el rayo que: En un espejo
cóncavo, incide pasando por el foco y se refleja
paralelo al eje principal; en un espejo convexo,
incide en la dirección del foco y se refleja paralelo
al eje (β).
c) Rayo central.- Rayo que incide en el espejo
pasando por el centro, en ambos espejos; o en la
dirección del centro de curvatura virtual, en un
espejo convexo. Este rayo no varía su
dirección, sólo cambia su sentido al reflejarse (γ).
CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN UN
ESPEJO CÓNCAVO
I.- Objeto más allá del centro de
curvatura:
II.- Objeto entre el centroY el foco:
III.- Objeto en el foco principal:
Espejo cóncavo o convergente:
Los rayos que inciden paralelos
al eje, convergen en el foco.
A
V F C
Zona
virtual
Zona
real
Espejo convexo o divergente:
Los rayos que inciden paralelos
al eje, divergen como si salieran
del foco.
C F V
F’ Ĉ
Zona
virtual
Zona
real
F’
V F C
α
β
γ
C F V C’
F’
α
β
γ
F’
I
O
F C
O
F C
I
O
F C
O
I
F C
- 35 -
- 35 -
IV.- Objeto entre el foco y el espejo:
CONSTRUCCIÓN DE IMÁGENES EN UN
ESPEJO COVEXO
* NOTA IMPOSTANTE: Si la imagen se forma
delante del espejo, es real y se puede recoger en
una pantalla. Si se forma detrás del espejo, es
virtual y no se puede recoger en una pantalla.
FÓRMULAS DE LOS ESPEJOS
Las distancias, del objeto al espejo, de la imagen al
espejo, y focal: se relacionan en la
ECUACIÓN DE DESCARTES, así:
fqp
111
Donde:
p = distancia del objeto al espejo.
q = distancia de la imagen al espejo.
f = distancia focal (del foco al espejo).
Regla de los signos
p: siempre es positivo.
q: es +, cuando la imagen es real e invertida
(IRI).
q: es –, cuando la imagen es virtual y derecha
(IVD).
f: es +, para un espejo cóncavo.
f: es –, para un espejo convexo.
AUMENTO DE UN ESPEJO (A)
o
iA
Donde:
i = tamaño imagen
o = tamaño objeto
O también:
p
qA
A, es +, para una IVD.
A, es –, para una IRI.
FÓRMULA DE NEWTON
Si las distancias descritas anteriormente, se
consideran desde el foco, hasta el objeto (π), y hasta
la imagen (π’); tendremos:
f
fp
q'
De donde:
'.2f
REFRACCIÓN DE LA LUZ
C’ F’ F C
O
I
C’ F’ I F C
O
ř
î Medio I
Rayo incidente
Rayo refractado
N
Medio II
- 36 -
- 36 -
Si un rayo de luz pasa de un medio a otro más
denso, el rayo refractado se acerca a la normal.
Si un rayo de luz pasa de un medio a
otro menos denso, el rayo refractado
se aleja de la normal.
LEYES DE LA REFRACCIÓN
LEYES DE DESCARTES:
Primera: El rayo incidente, el rayo refractado y la
normal al punto de refracción, están en un mismo
plano.
Segunda: La relación entre el seno del ángulo de
incidencia y el seno del ángulo de refracción, es
constante, para cada par de medios.
ÍNDICE DE REFRACCIÓN DE UN MEDIO (n):
Magnitud adimensional, igual al cociente de la
velocidad de la luz en el vacío (o aire) entre la
velocidad en el medio.
v
cn medio )(
Donde:
c = velocidad de la luz.
v = velocidad de la luz en el medio.
También podemos afirmar que:
r
i
sen
senn IImedio )(
Si el rayo de luz va del vacío al medio, el ángulo i
está determinado en el vacío.
Por tanto:
r
i
zen
sen
v
cn medio )(
Entonces:
r n i sensen
LEY DE SNELL:
. i . rI IIn sen n sen
ÁNGULO LÍMITE (L)
El ángulo de incidencia correspondiente a un
ángulo de refracción de 90º, se llama ÁNGULO
LÍMITE (L).
En la ley de Snell, podemos hacer:
nI.sen L = nII. sen 90º⇒I
II
n
sennsenL
º. 90
Y como; sen 90º = 1, tendremos:
II
I
n L=
nsen ⇒
II
I
n sen
nL arco
REFLEXIÓN TOTAL
Este fenómeno se produce cuando un rayo
luminoso pasa de un medio a otro de menor
densidad, a partir de un ángulo de incidencia mayor
que el ángulo límite.
PRISMA DE REFLAXIÓN TOTAL
LENTES ESFÉRICAS
Se llama LENTE ESFÉTICA a un cuerpo
refringente limitado por dos superficies esféricas, o
90º
Medio I
agua
N N N N
L
90º
ř
î
Medio II
Medio I
Rayo incidente
Rayo refractado N
45º 45º
45º 45º
45º 45º
- 37 -
- 37 -
por una superficie plana y una esférica. Según lo
que hagan con los rayos que inciden paralelos a su
eje principal, se clasifican en CONVERGENTES y
DIVERGENTES.
LENTES CONVERGENTES
Trayectoria de los rayos en una lente
convergente
El nombre de CONVERGENTE, se le da porque
hace converger los rayos hacia el eje principal;
como si los rayos atravesaran un prisma de caras
tangentes las caras de la lente. Veamos:
Focos principales, centros de curvatura
y centro óptico:
El foco y el centro de curvatura, situados en el lado
de la luz incidente, son, el FOCO OBJETO Y EL
CENTRO OBJETO; y los otros son, el FOCO
IMAGEN Y EL CENTRO IMAGEN. El CENTRO
ÓPTICO, es el punto de la lente, tal que todo rayo
que lo atraviesa por él, no sufre desviación alguna.
EJE PRINCIPAL, recta CF.
RAYOS PRINCIPALES, PARA UNA LENTE
CONVERGENTE
1) Todo rayo incidente, paralelo al eje principal, es
refractado por el foco F’ (α).
2) Inversamente, todo rayo incidente que pasa por
el foco objeto, emerge paralelamente al eje (β).
3) Todo rayo incidente que pasa por el centro
óptico, no se desvía al refractarse (γ).
RAYOS PRINCIPALES PARA UNA LENTE
DIVERGENTE
1) Todo rayo incidente, paralelo al eje principal, se
refracta como si procediera del foco imagen (α).
2) Inversamente: Todo rayo que se dirige hacia un
foco, emerge paralelamente al eje principal (β).
3) Todo rayo que pasa por el centro óptico, no se
desvía (γ).
IMÁGENES FORMADAS POR UNA
LENTE CONVERGENTE
a) Objeto en el centro de curvatura
b) Objeto entre el centro y el foco objeto
F C C’ O
β
γ
F’
α LENTES CONVERGENTES
LENTES DIVERGENTES
Eje
F F’ C C’F F’ C C’ O
O
C F F’
C’ O
F F’ C C’F F’ C C’ O
O
O
I
C F F’ C’ O
α
β
γ
F F’
C
C’F F’ C C’ O
O
O
I
- 38 -
- 38 -
e) Objeto entre el foco objeto y la lente
IMÁGENES FORMADAS POR UNA LENTE
DIVERGENTE
FÓRMULAS DE LAS LENTES
Utilizando una nomenclatura parecida a la de los
espejos esféricos tendremos:
fqp
111 (Fórmula de Descartes).
2f'. (Fórmula de Newton)
p
q
o
i (Fórmula de Descartes).
f
fo
i
' (Fórmula de Newton)
Regla de los signos
P: siempre es positivo para un objeto real.
q: es +, cuando la imagen es real e invertida
(IRI).
q: es –, cuando la imagen es virtual y derecha
(IVD).
f: es +, para una lente convergente.
f: es –, para una lente divergente.
ADENÁS: Hay que tener en cuenta las siguientes
consideraciones importantes:
_“p” y “q” positivas, corresponden a objetos o
imágenes reales; y negativas cuando los objetos o
las imágenes son virtuales.
_ π y π’; son las distancias del foco objeto y del
foco imagen a la imagen, aplicándose la misma
convención de signos.
_ “i” y “o”, designan el tamaño imagen y tamaño
objeto. Se supone que el objeto es positivo; la
imagen derecha tendrá signo positivo, y la imagen
invertida el signo negativo.
_ “A”, expresa la relación o
i entre la altura imagen
y la del objeto; es positiva, cuando la imagen y el
objeto tienen el mismo sentido, y es negativa
cuando tienen sentidos contrarios.
_ Para las lentes divergentes, los focos virtuales
tienen abscisa negativa.
_ Para las lentes divergentes, tenemos además:
p
q
o
i
2f'.
CONVERGENCIA DE UNA LENTE
Se llama CONVERGENCIA o POTENCIA (c) de
una lente, a la inversa de la distancia focal.
Su valor está en DIOPTRÍAS, si “f” está expresado
en metros.
fc
1
La dioptría es la convergencia o potencia de una
lente cuya distancia focal es 1 m.
VALOR DE LA CONVERGENCIA EN
FUNCIÓN DE LOS RADIOS DE
CURVATURA
Para una lente biconvexa:
'
)(RR
nf
111
1
Para una lente plano-convexa:
Rn
f
11
1)(
Para una lente menisco convergente:
C F F’ C’ O
O
I
F F’ C C’F F’ C C’ O
O
O
I
- 39 -
- 39 -
'
)(RR
nf
111
1
ECUACIÓN DEL FABRICANTE
21
111
RRnn
fm )(
Donde:
n = índice de refracción de la lente.
nm = índice de refracción del medio.
R1 = radio de la superficie más cercana al objeto.
R2 = radio de la superficie más lejana al objeto.
EJEMPLOS
1) Una persona de 1,60 m de altura necesita verse
de cuerpo entero en un espejo plano.¿Qué longitud
mínima debe tener el espejo?
Solución
En la figura utilizamos semejanza de triángulos así:
d
d
h
x
2 Como h = 1,60 m
2
601
2
.hx mx 800,
2) Demostrar que si un rayo luminoso AB,
encuentra sucesivamente las caras de dos espejos
planos, que forman entre sí un ángulo α, el último
rayo reflejado forma con la dirección del rayo
incidente un ángulo 2α.
Solución
x = 2a + 2c = 2( a+c)
Pero:
a + c = 180 – b = 180 – (180 – α) = α
x = 2(a + c), es decir: 2x
3) El radio de un espejo cóncavo es 1 m. Calcular la
posición de la imagen de un punto luminoso situado
a 0,25 m de dicho espejo.
Solución
Se tiene: p = +25 f = +50
Luego en la fórmula de los espejos tendremos:
50
11
25
1
qq = -50 cm
4) Un haz paralelo incide sobre una de las caras de
un prisma, con una incidencia de
50º. Calcular el ángulo de desviación de los rayos
emergentes. El ángulo en el vértice del prisma es de
70º y el índice de refracción 1,5.
Solución
Se calculan r, i’ y r’:
Sen 50º = 1,5 sen r
Entonces:
r = 30º 42’ 37’’
i’ = A – r = 70º – r = 39º 17’ 23’’
Sen r’ = 1,5 sen i’
Entonces: r’ = 71º 46’ 30’’
Por tanto:
D = (i + r’) – A = (50º + 71º 46’ 30’’) – 70º
'''304651oD
5) Se quiere obtener una imagen ampliada de un
objeto luminoso sobre una pantalla colocada a 4 m
del objeto, por medio de una lente convergente de
distancia focal igual a 36 cm. Fíjese la posición que
debe ocupar la lente, y la magnitud de la imagen
con respecto a la del objeto.
Solución
p + q = 400 cm
1 1 1 1 1 1
36 400 36p q p p
x
d d
h h
x
a a
b c c
α
- 40 -
- 40 -
200 160p
p1 = 360 p2 = 40
De estas dos posiciones simétricas respecto al
centro de la distancia objeto imagen.
Tomamos la segunda solución:
940
360
o
i
objeto el veces9 i
PRACTICA 11
1) Una onda electromagnética es:
( ) Una perturbación de un campo magnético.
( ) Una perturbación de un campo eléctrico.
( ) Originada por cargas eléctricas aceleradas.
Indicar verdadero (V) o falso (F).
a) FFF b) VVV c) VVF d) VFF e) FFV
2) Señala las palabras que completen major la
siguiente oración: “La luz es la parte………………
del …………… electromagnético.
a) Oscura : espacio b) Visible : espectro
c) Oculta : medio d) Visible medio e) N.A.
3) Una lámpara y una vela distan entre sí 4,15 m;
sus intensidades están en la proporción de 6 a 1. ¿A
qué distancia de la vela deberá colocarse una
pantalla perpendicular a los rayos luminosos que se
encuentren en la recta que une dichas fuentes de luz,
para que quede igualmente iluminadas por ellas?
a) 4,5 m b) 2,30 mc) 2,95 md) 2,50 me) N.A.
4) En relación al siguiente esquema, donde las
líneas indican la trayectoria de un haz de luz, se
propone:
( ) n1 < n2 Indicar verdadero (V) o falso (F).
( ) λ1 < λ2 a) VVFF b) FFVV
( ) v1 > v2 c) VFVF d) FVFV
( ) f1 > f2 e) FFFV
5) Una lente tiene un índice n1 = 1,5; y sus radios
son R1 = 80 cm y R2 = 120 cm. Si la lente es
biconvexa y se encuentra en el aire. ¿Cuál es su
distancia focal? (en m.).
a) 0,5 b) 0,8 c) 1,2 d) 0,96 e) N.A.
6) Hallar la posición de la imagen A’, de un punto
luminoso A situado a 12 m de un espejo cóncavo
cuya distancia focal es de 4m.
a) +6 m b) +3 m c) +2 m
d) +5 m e) N.A.
7) El ángulo límite de un vidrio con relación al aire
es de 42º. ¿Cuál es el índice de refracción de dicho
vidrio con relación al aire?
a) 1,49 b) 1,48 c) 1,42 d) 1,54 e) N.A.
8) A través de un cristal de espesor igual a 15 cm,
y bajo una incidencia muy próxima a la normal, se
observa un punto luminoso. Calcular el
acercamiento aparente de dicho punto.
a) 3 cm b)4 cm c) 3,2 cm d) 4,75cm e) 3,75cm
9) Una lente convergente biconvexa tiene por
radios de curvatura de sus caras 20cm y 25 cm.
¿Cuál es sus distancia focal si el vidrio del que está
hecha tiene un índice de refracción de 1,5?
a) 20,22cm b) 15,24cm
c) 12,22cm d) 22,22cm e) N.A.
10) Empleando una lente convergente, se proyecta
sobre una pantalla la imagen de una prueba
fotográfica cuadrada, de 10cm de lado. La
superficie de la imagen luminosa sobre la pantalla
es de 4 m2. Por otra parte, la distancia de la prueba
fotográfica a la pantalla es de 8,82 m. ¿Cuál es la
distancia focal de dicha lente?
a) 20 cm b) 40 cm c) 50 cm d) 60 cm e) 30 cm
53º
30º n2
n1
- 41 -
- 41 -
SOLUCIONARIO DE FÍSICA II
PRÁCTICA 09 PR. 10 PR. 11
1 A 10 A 1 A 1
2 D 11 B 2 D 2 B
3 A 12 A 3 A 3 C
4 B 13 A 4 D 4 C
5 E 14 E 5 C 5 D
6 A 15 C 6 B 6 A
7 E 16 B 7 E 7 A
8 C 17 C 8 B 8 E
9 B 18 C 9 B 9 D
10 B 10 B
- 35 -
- 35 -
SOLUCIONARIO DE
EXÁNENES
SAN MARCOS
1990
1.- Un borrador de pizarra es presionado
perpendicularmente a una pizarra vertical. Si el
coeficiente estático de fricción es 0,3 y el peso del
borrador es de 30 N. La fuerza de presión necesaria
para mantener el borrador en reposo es:
a) 0,01 N b) 100 N c) 30 N
d) 90 N e) 9 n
Solución
fr – W = 0; Entonces:
fr = W
W = fr = μ.N = 0,3.N; de
donde:
30100
0,3
WF N
F = 200 N
RPTA(b)
2.- Teniendo en cuenta la tercera ley de Newton,
podemos afirmar que las fuerzas de acción y
reacción:
a) Siempre actúan sobre el mismo cuerpo.
b) Se suman simultáneamente.
c) Siempre actúan sobre cuerpos diferentes.
d) Al sumarse, su trabajo es diferente de cero.
e) Son consecuencia de la cantidad de movimiento.
RPTA(c)
3.- Una piedra pesa en el aire 60 N y sumergida
completamente en el agua 35 N; entonces la
densidad de la piedra es:
a) 0,6 g/cm3 b) 8,0 g/cm
3 c) 7,8 g/cm
3
d) 3,5 g/cm3 e) 2,4 g/cm
3
Solución
Empuje = E = 60 N – 35 N = 25 N
Densidad de la piedra = ρp
Masa de la piedra = 60 g
Volumen de la piedra = 25 cm3
ρp =
de la piedramasa
volumendelapiedra
ρp = 3
60
25
g
cm = 2,4 g/cm
3
RPTA(e)
4.- De la ley de Joule, se deduce que la energía
eléctrica puede aprovecharse para:
a) levantar un peso b) cargar una batería
c) hacer funcionar un motor d) ionizar el aire
cerca de un conductor e) calentar agua.
Solución
RPTA(e)
5.- La imagen formada por una lente divergente es:
a) derecha, de mayor tamaño y virtual
b) derecha, de menor tamaño y virtual
c) derecha, de mayor tamaño y real
d) invertida, de menor tamaño y real
e) invertida, de menor tamaño y virtual.
Solución
RPTA(a)
1991
1.- La velocidad de la luz es independiente del
movimiento de las fuentes y los observadores, de
acuerdo con el postulado formulado por:
a) Heisenberg b) Pauli c) Einstein
d) Faraday e) Lenz
Solución
Einstein RPTA(c)
2.- ¿Qué volumen de agua se debe añadir a un litro
de lejía de densidad relativa al agua 1,3; para que
su densidad sea 1,2 (en litros)?
a) 0,92 b) 2,00 c) 1,00 d) 0,50 e) 0,33
Solución
lejía agua
lejía agua
m mMezcla final = 1,2....(1)
V V
Donde:Vlejía = 1 lit.; magua = 1,3; σrelativa = 1,3
Como, numéricamente magua = Vagua = x
fr
F=N
W
- 36 -
- 36 -
Entonces en (1):
1,31,2
1
x
x
;
Luego: x = 0,5 lit.
RPTA(d)
3.- En la figura mostrada, hallar F4 (en kg-f) para
que el sistema permanezca en equilibrio.
Si: F1 = 12,5 kg-f; F2 = 5 kg-f; F3 = 15 kg-f;
F5 = 16 kg-f; F6 = 10 kg-f.
Solución
Tomando momentos con respecto a O, tenemos:
F2 y F6 tienen momento igual a cero, porque pasan
por O. Hagamos el lado de cada cuadrícula igual a 1.
En triángulo AOB: h = altura respecto a AB.
h.5 = 3.4; de donde h = 2,4
(F1.h) + (F5.2) = (F3.2) + (F4.4)
(12,5.2,4) + (16.2) = (15.2) + (F4.4)
F4 = 8
RPTA(a)
1992
1.- Las resistencias mostradas en el circuito de la
figura tienen el mismo valor de R ohmios. ¿Cuál
será la resistencia equivalente total del circuito?
a) R/3 b) 4R
c) 2R/3 d) 2R
e) 4R/3
Solución
Las tres resistencias de la derecha están en paralelo,
por lo que:
3
1 1 1 1
R R R R De donde: R3 = R/3
El sistema se reduce a la siguiente figura:
Como las resistencias están en serie:
4
3 3E
R RR R RPTA(e)
2.- En la figura adjunta Si la distancia S del objeto
O y la distancia S’ de la imagen I, en la lente
delgada convergente, son de 60 cm y 30 cm
respectivamente. ¿Cuál será el valor de la distancia
focal de la lente?
Solución
1 1 1 1 1
60 30f O I
f = 20 cm
RPTA(a)
3.- Tres fuerzas concurrentes coplanares actúan
sobre un bloque que permanece en equilibrio (como
muestra la figura adjunta). Dos de ellas son
perpendiculares entre sí y sus magnitudes son de: f1
= 9 kg-f y f2 = 12 kg-f. Calcule la magnitud de la
fuerza f3.
a) 36 kg-f b) 21 kg-f c) 3 kg-f
d) 225 kg-f e) 15 kg-f
Solución
2 2 2 2 2
3 1 2 9 12 225f f f
15f
RPTA(e)
300
F3
F4
F5
F6
F1
F2
O
B
A
R
R R R
R
R/3
f f
O
S
S’
I
f1
f2
f3
- 37 -
- 37 -
4.- ¿Qué valor tiene el calor específico de un
material cuya masa es de 20 g si para elevar su
temperatura en 30ºC se necesita 60 calorías de
energía calorífica?
a) 0,1 cal/gºC b) 0,o11 cal/gºC
c) 0,025 cal/gºC d) 40 cal/gºC
e) 10 cal/gºC
Solución
Q = m.Ce.∆T
60 = 20.Ce.30; entonces:
Ce = 0,1 cal/gºC RPTA (a)
1993
1.- Si un cuerpo se mueve de izquierda a derecha
(en el sentido positivo de las x) va disminuyendo su
velocidad, entonces se encuentra que su velocidad y
su aceleración son, respectivamente:
a) negativa y negativa
b) positiva y positiva
c) positiva y negativa
d) positiva y nula
e) negativa y nula
Solución
V: positiva (movimiento hacia la derecha
A: negativa (velocidad disminuye)
RPTA(c)
2.- El generador eléctrico más sencillo está
constituido de una sola espira, que rota dentro de un
campo magnético. Esta máquina transforma la
energía:
a) magnética en energía eléctrica
b) eléctrica en energía magnética
c) eléctrica en energía calorífica
d) mecánica en energía magnética
e) mecánica en energía eléctrica
Solución
Transforma energía mecánica en energía eléctrica.
RPTA(e)
3.- En la figura adjunta, el amperímetro (A) indica
una corriente de 3 amperios. La diferencia de
potencial entre los terminales de la resistencia de 2
ohmios es, en voltios:
a) 9 b) 6 c) 18 d) 4 e) 12
Solución
La intensidad de la corriente es inversamente
proporcional a la resistencia, entonces:
En la resistencia de 2 ohmios:
V = IR = 2A(2Ω) = 4 V
RPTA(d)
4.- En una cuerda tensa se producen ondas con una
longitud de onda de 5 cm; si la onda recorre 100 cm
en 5 s, su frecuencia, en ciclos por segundo (hertz),
es:
a) 1 b) 4 c)2 d)3 e) 5
Solución
λ= 5 cm; e = 100 cm; T = 5s
10020 /
5
cmv cm s
s
20 /4 4
5
v cm s ciclosf Hz
cm s
RPTA(b)
1994
1.- El amperímetro del círculo que se muestra en la
figura marca 0,55 A. Si R1 = 2400 ohmios y R es
desconocida. Hallar el valor de R, sabiendo que la
diferencia de potencial en los extremos de R1 es de
120 voltios.
a) 120
ohmios b) 260 ohmios
c) 280 ohmios d) 200 ohmios
e) 240 ohmios
Solución
4Ω
2Ω
4Ω
A d c
4Ω
2Ω
4Ω
A d c 2A
1A
3A
R1
R
A
R1
R
A
I1
I2
I=0,55A
- 38 -
- 38 -
En R1, la corriente es:
1200,05
2400
VI
R
I = I1 + I2 0,55 = 0,05 + I2
I2 = 0,5
I2.R = 120
(0,5)R = 120; de donde: R = 240 ohmios
RPTA(e)
2.- Dos alambres A y B muy largos y paralelos
llevan la misma corriente en el mismo sentido. ¿En
qué región se hallan los puntos en los cuales el
campo magnético es cero?
a) Sobre el alambre B
b) a la izquierda del alambre A
c) sobre el alambre A
d) a la derecha del alambre A
e) entre los alambres A y B
Solución
El campo magnético es cero entre los alambres Ay B.
RPTA(e)
3.- Una grúa es capaz de levantar una masa de 100
kg a una altura de 15 m en 5 s. ¿Qué potencia
expresada en watts suministra la máquina? (g =
9,80 m/s2).
a) 1470 b) 2800 c) 3450
d) 2940 e) 7500
Solución
(10)(9,8)(15)2940
5
mghP W
t
RPTA(d)
4.- Una partícula de masa “m”, con velocidad
tangencial “v”, gira atada a una cuerda describiendo
una circunferencia vertical de radio R. Cuando la
partícula se encuentra en A+ (ver figura), la tensión
T que experimenta la cuerda es:
a)
2
( )v
m gR
b)
2
( )v
m gR c)
2
( )v
m gR
d)
2
( )v
m gR e)
2
( )v
m mgR
Solución
F = m.a
T – m.g = m.a
2 2
. ( )v v
T m g m m gR R
RPTA(d)
5.- Si definimos una nueva escala termométrica, ºN,
en la cual el punto de ebullición del agua es 500ºN
y el punto de fusión del hielo es de 100ºN. La
relación entre esta nueva escala tN y la centígrada tC
es:
a) tN = (3tC + 100)ºN b) tN = (400tC + 100)ºN
c) tN = (4tC + 100)ºN d) tN = (5tC + 100)ºN
e) tN = (tC + 400)ºN
Solución
0 100
100 0 500 100
C Nt t
100
100 400
C Nt t
(4 100)ºN Ct t N
RPTA(c)
6.- En cierto campo eléctrico el punto A está a un
potencial de 50 voltios y el punto B está a 75
voltios. Para mover una carga de 103 coulombios de
A a B se requiere un trabajo de:
a) 50 ergios b) 50 joules c) 25.10-3
joules
d) 50.10-3
joules e) 75.10-3
ergios
Solución
A B
∙
v
m
g
A
T
∙
v
m A
T
mg
v
ºC 100
tC
0
ºN
tN
100
500
B∙
A∙
E 3m
2m
- 39 -
- 39 -
El trabajo para mover una carga “q”, de la posición
A a la posición B es:
W = q(VB – VA), y no depende de la distancia ni del
camino seguido de A a B. Entonces:
W = (10-3
C)(75 – 50)V = 25.10-3
joules
RPTA(c)
1995
1.- Un sistema sufre un proceso en el cual absorbe
50 calorías de calor y se expande realizando un
trabajo de 319 joules. Cuál es la variación de la
energía interna en joules que experimentó el
sistema?
(1 caloría = 4,18 joules)
a) 0 b) 100 c) -120 d) 120 e) -110
Solución
realizadoal sistema por el sistemaentregado sistemaQ W U
al sistema
4,1850 50 ( ) 209
1calentregado
JQ cal cal J
En la primera expresión:
209 J = 319 J + sistemaU
De donde:
sistemaU =-110J
RPTA(e)
2.- Con un bloque de 0,5 kg de masa se comprime
un resorte de constante elástica k, en 0,10 m. Al
soltar el bloque se mueve sobre la superficie
horizontal sin rozamiento según el gráfico,
colisionando finalmente en el punto P. Si se
considera que g = 10 m/s2, el valor de k en N/m es:
a) 143 b) 287 c) 250 d) 275 e) 330
Solución
Por conservación de
energía:
( ) ( )m a m pE E
2 21 1( )
2 2k x mv
2 2(0,1) 0,5k v
250k v ……(1)
En el movimiento parabólico:
En el eje vertical: 2
º
1.
2yh v t gt
2 211 0 (10) 5 1
2t t …..(α)
En el eje horizontal: .x xd v t
11 .v t t
v …..(β)
De (α) y (β): 2 21
5( ) 1 5vv
Reemplazando en (1), tenemos:
50(5) 250N
km
RPTA(c)
3.- El peso de un cuerpo sólido en el aire es de 5
kg-f; y el mismo cuerpo sumergido totalmente en
un líquido, cuyo peso específico es de 0,2 g-f/cm3,
es de 4,5 kg-f. El volumen del cuerpo sólido en cm3
es:
a) 2,5.104 b) 2,5.10
-3 c) 2,5.10
3
d) 2,5.10-4
e) 0,5.103
Solución
Empuje (E) = 0,5 kg-f
.líquido sumergidoE V
30,5.10 .líquido sumergidog f V
3
30,5.10 0,2 . sumergido
g fg f V
cm
Por lo tanto: 3 32,5.10sumergidoV cm
RPTA(c)
4.- Una fuerza que actúa sobre un cuerpo de 10 kg
de masa produce el movimiento descrito por el
gráfico. La magnitud de la fuerza en N es:
k 0,5kg
1 m
1 m p
a
p
v
1m
1m
10 V (m/s)
t (s) 5 0
- 40 -
- 40 -
a) 50 b) 10 c) 5 d) 20 e) 98
Solución
Según la gráfica: a = -2 m/s2
2 2010
F Fa F N
m
RPTA(d)
5.- Un proyectil es lanzado con una velocidad
inicial de 10 m/s, que hace un ángulo de 60º con la
horizontal, contrea un plano inclinado 30º respecto
a la horizontal, como se indica en el gráfico. Hallar
el alcance R del proyectil en metros. (Considere g =
10 m/s2)
a) 6,15 b) 5,88 c)6,66 d)7,42 e) 4,84
Solución
Eje “x” (MRU):
. 3 52
ox
Rd v t t
Por lo tanto: 310
Rt
Eje “y”(Caída libre)
21.2oyd v t gt
23 1 3(5 3)( ) (10)( )
2 10 2 10
R R R
206,66
3R m
RPTA(c)
1996
1.- Suponga que la masa de la Tierra y la distancia
Tierra-Sol se duplicaran. ¿Qué pasaría con la fuerza
de atracción gravitacional F?
a)2F b) F/2 c) F/3 d) 3F e) 3
F
Solución
Ley de gravitación universal:
2
.T Sm mF G
r …..(1)
Haciendo:
pF = fuerza de la pregunta
2 2
(2 ) .1
(2 ) 2
T S T Sp
m m m mF G G
r r …..(2)
De (1) y (2), resulta: 2
p
FF
RPTA(b)
2.- El gráfico muestra la variación de la fuerza que
se debe aplicar para producir un estiramiento en un
resorte. El trabajo realizado para estirar el resorte a
16 cm, en joules, es:
a) 16 b) 32 c) 1,6 d) 160 e) 320
Solución
20
F(N)
10
5
4 8 16 x(cm)
Vo
60º R 30º
O Horizontal
voy=5 3 vo=10
30º
30º
vox=5
h=R/2
32
Rd
20
F
16 x
0
- 41 -
- 41 -
Area (A) = trabajo (W)
1.0,16 .20 1,16
2A W m N J
RPTA(c)
3.- Los vectores A y B forman entre sí un ángulo de
60º y el módulo de A vale 3. Hallar el módulo de B,
para que A-B sea perpendicular a A.
a) 1,5 3 b)3 c) 1,5 d) 6 e) 2 3
Solución
El triángulo formado por los vectores
, y ,A A B B es la mitad de un triángulo
equilátero donde: 2B A ; por lo tanto:
B = 6
RPTA(d)
4.- Un amperímetro se conecta en serie con una
combinación en paralelo consistente en un
voltímetro de 1200 ohmios, y una resistencia R =
240 ohmios. Si el voltímetro marca 120 voltios, el
valor de la intensidad a través de la resistencia R es:
a) 0,45 A
b) 0,4 A
c) 0,3 A
d) 0,2 A
e) 0,5 A
Solución
Por la ley de Ohm: 120
0,5240
V VI A
R
RPTA(e)
5.- Considérese el arreglo de la figura, R = 6
ohmios,
l = 1,2 m y un campo magnético de 2,5 tesla
dirigido hacia la página. La velocidad de la barra
para producir una corriente de 0,5 amperios, en R,
es:
a) 1 m/s b) 1,5 m/s c) 0,75 m/s
d) 0,5 m/s e) 1,2 m/s
Solución
La fem que permite que por la barra circule 0,5 A,
se calcula así:
0,5 .6 3fem
I fem IR A VR
Al deslizarse la barra, dentro del campo magnético,
en ella se genera una fem, según la expresión:
Fem = l.v.B; siendo: l, la longitud de la barra,
V, la velocidad de la barra y B, la densidad de flujo.
Por lo que:
31
1,2 .2,5
fem V mV
lB m T s
RPTA(a)
1997
1.- Un cuerpo de 2 kg de masa y 0,8 coulomb de
carga es dejado en un campo eléctrico uniforme de
5 N/C. El valor de la aceleración que adquiere el
cuerpo es:
a) 12,5 m/s2 b) 2 c) 1,25
d) 0,08 e) 0,50
Solución
m = 2 kg; q = 0,8 C
5N
EC
; a = ? F = m.a
2. . 5.0,8 2 2
mE q m a a a
s
RPTA(b)
2.- Una espira de área 2m2 se encuentra en un
campo magnético que varía 0,2 T a cero. La f.e.m.
producida es de 10 voltios.El tiempo que tarda en
anularse el campo es:
a) 2,00 s b)0,016 s c) 0,04 s
d) 0,02 s e) 0,01 s
Solución 22 ; 10 ; ?indA m V t
RV
R
A
x
I
I
v B R
+ F
q
a
- 42 -
- 42 -
0,2.2 0,4 bB WA
0,410 0,04ind t s
t t
RPTA(c)
3.- Un bloque de hielo de 1 kg, de calor de fusión
80 cal/g, cae desde una altura de 102,5 m,
impactando en un lago helado. La masa de hielo
fundido por el impacto será:
a) 0,3 kg b) 3 g c) o,5 kg d) 0,25 kg e) 30 g
Solución
m = 1 kg;
hielo fundido80 ; 102,5 ; ?FL
calC h m m
g
24,186 ; 10 ;
J mJ g W JQ
cal s
hielo fundido. .FLmgh J m C
hielo funfido1.10.102,5 4,186. .80m
hielo fundido 3m g RPTA(b)
1998
1.- En la figura, F es horizontal, 2
BA
mm y
“f” es rozamiento total. La fuerza que A ejerce
sobre B es:
a) ( )
3
F fb)
2
F c)
3
F d)
2
3
Fe)
2( )
3
F f
Solución
Como el problema no precisa el estado mecánico de
los bloques, consideramos que experimentan un
movimiento acelerado, horizontal, hacia la derecha.
(f = fk).
D.C.L. para el bloque “B”:
.R B BF m a
22 .
3BFx f m a ……..(1)
Pero aA = aB = a
D.C.L. para los dos bloques:
( ).R A BF m a 3 .F f m a ……(2)
De (1) y (2): 2
3Fx F
RPTA(d)
2.- Dos condensadores descargados, con igual
capacidad de 10-6
F, están conectados en serie a una
batería de V voltios. Para que C1 adquiera una carga
de 10-5
coulombios, el valor en voltios de V sería:
a) 0,5 b) 5
c) 10 d) 0,2
e) 20
Solución
Para el circuito: V = V1 + V2 ……..(1)
En cada condensador:
F A B f
F
mg
NA
Fx Fx
NB
2mg
a
A B
FA=f/3 FB=2f/3
+
− V
V1
V2
+
−
Q1=10-5
C
+
C1=10-6
F
−
Q2=10-5
C
C2=10-6
F
F
N
3mg
f
a
+
− V
C1
C2
- 43 -
- 43 -
Q QC V
V C
En (1):
5 5
1 2
6 6
1 2
10 1020
10 10
Q QV V
C C
RPTA(e)
3.- El agua pasa sobre un dique y desciende
suavemente, desde una altura h (ver figura), si la
velocidad del agua es nula en el punto superior del
dique, la velocidad de la cascada es:
a) 1
2gh b) 2gh c) gh
d) 2 gh e) 2gh
Solución
“v” es la velocidad del agua en la parte más baja de
la cascada.
Ep = energía potencial del agua en la parte más alta.
Ec = energía cinética del agua en la parte más baja.
Por conservación de la energía:
21
2p cE E mgh mv
2v gh
RPTA(b)
4.- La naturaleza del espectro encontrado en la luz
de un tubo de neón es:
a) espectros de líneas de emisión
b) espectros de la luz visible
c) espectros de emisión continuo
d) espectros de ionización
e) espectro continuo de absorción
Solución
Las sustancias para generar espectros de emisión
deben encontrarse en un estado de alta energía
(estado excitado) para que los electrones realicen
saltos de mayor a menor estado energético,
emitiendo fotones, que se registran en la placa
fotográfica del espectrómetro. Así tenemos que:
_ Los sólidos generan espectros continuos
_ Los líquidos generan espectros de bandas
_ Los gases generan espectros de líneas
Como el neón es un gas su espectro es de líneas.
RPTA(a)
1999
1.- Un bloque de 10 kg parte del reposo y desciende
por la pendiente mostrada en la figura. Si la
velocidad con que llega el bloque a la parte más
baja es 8 m/s, encontrar la cantidad de trabajo
negativo realizado por la fuerza de rozamiento.
(g = 9,8 m/s2).
a) 1300 J
b) 660 J
c) 980 J
d) 320 J
e) 830 J
Solución
c netoE W
B Ac p R mg NE E W W W
21.10(8) 10.9,8.10
2RW
660RW J
RPTA(b)
2.- Un gas se expande isobáricamente 20 litros a la
presión de 1 atm. Durante este proceso el gas
absorbe calor equivalente a 3,35 kJ. Encontrar la
variación de la energía interna. (1 atm = 1,01.105
N/m2).
a) 1,33 kJ b) 5,37 c) 2,88
d) 8,41 e) 0,74
Solución
h
h
v
Va = 0
Vo=0 m/s
10 m
Vo=0 m/s
10 m
Vf =8 m/s mg
N A
B
1
Vo Vf
S
V (litros)
P(atm)
- 44 -
- 44 -
En la gráfica P vs V, el área bajo la gráfica nos da
el trabajo desarrollado por el gas:
W = 1(Vf – Vo) →20 litros
W = 20 atm →litros
5 3 320(1,01.10 )(10 )W Pa m
W = 2,02 kJ
Por la primera ley de la Termodinámica:
Q W U
3,35 2,02kJ kJ U
1,33U kJ RPTA(a)
3.- Un alambre recto transporta una corriente
eléctrica en la dirección señalada en la figura.
Despreciando el magnetismo terrestre, la aguja
imantada de una brújula colocada en el punto P
permanecerá en equilibrio estable cuando su polo
norte apunte hacia:
a) +y b) –x c) –z d) –y e) +x
Solución
En el plano que determinan los ejes “x” e “y”:
La aguja imantada de la brújula se orientará en la
dirección de la inducción magnética (B) en el punto
P; entonces, de acuerdo a la regla de la mano
derecha, se observa que apunta al semieje negativo
de las “y”, hacia −y.
RPTA(d)
4.- Determinar la potencia disipada en el resistor de
8Ω del circuito mostrado en la figura adjunta.
(Despreciar las resistencias internas de las baterías).
a) 12W b) 18W c) 4W d) 8W e) 1W
Solución
Primero calculamos la intensidad de la corriente en
el circuito: 12 6
0,54 8
I A
R
La potencia en la resistencia de 8 ohmios será:
2 2. (0,5) (8) 2Pot I R W
RPTA(e)
2000
1.- Si RA y RB son las reacciones entre los bloques
m y M para los casos A y B respectivamente,
calcule la relación RA/RB. No tome en cuenta el
rozamiento (M > m).
a) m
M b)
M
m c) 1
d) ( )
m
m M e)
( )
M
m M
Solución
Caso “A”:
B P
I +y
+x
−y
−y
12V
+
−
4Ω
8Ω
+
−
6V
12V
+
−
4Ω
8Ω
+
−
6V
I
I
I
Caso A:
Caso B:
M m
M m
F
F
aA aA
F
mg
N1 acción y
reacción
RA RA
N2
mg
M m
+z
+y
+x
I P ∙
X,y,z: ejes mutuamente
perpendiculares
- 45 -
- 45 -
Segunda ley sobre “m”:
AA
Ra
m ……….(1)
Caso “B”:
Segunda ley sobre “M”: BB
Ra
M………..(2)
Como aA = aB: A BR R
m M ; A
B
R m
R M
RPTA(a)
2.- Considere la condensación de 10 g de vapor de
agua a 100ºC sobre 1 kg de agua
(Ce = 1 cal/g) inicialmente a 0ºC. Calcule la
temperatura de equilibrio en ºC, si el calor latente
de vaporización del agua es 540 cal/g.
a) 5,2 b) 3,6 c) 6,3 d) 7,2 e) 3,9
Solución
Para el vapor de agua:
M1 = 10 g; 540V
calL
g ; T1 = 100ºC
Para el agua líquida:
2 1 1000m kg g ; T2 = 0ºC; 1
ºe
calC
g C
Por conservación de la energía:
Q1 = Q2 + Qcond
Ce.m2.∆T2 = Ce.m1.∆T1 + LV.m1
1(1000)(Teq-0) = 1(10)(100-Teq) + 540(10)
Teq = 6,3ºC
RPTA(c)
3.- Dos condensadores de 200 μF, asociados en
serie y luego en paralelo, son conectados a una
batería de 100 voltios en cada caso.
Si Wp representa la energía almacenada en los
condensadores en conexión paralela y Es la
acumulada en serie. Calcule p
s
W
W
a) 0,25 b) 4 c)2 d)0,5 e) 0,75
Solución
La energía almacenada en un condensador es
expresada por: 21.
2W C V
Cuando están en serie:
Como las capacitancias son iguales, los voltajes en
ellas son la mitad del voltaje de la fuente.
2 6 21 12( . ) 2( .200.10 .50 )
2 2sW C V
450.10sW F
Cuando están en paralelo:
En este caso los voltajes
de los capacitores son
iguales al voltaje de la
fuente:
2 6 21 12( . ) 2( .200.10 .100 )
2 2pW CV
4200.10pW F
Luego:
4
4
200.104
50.10
p
s
W
W
RPTA(b)
4.- La imagen de un árbol cubre la altura de un
espejo plano de 5 cm cuando se sostiene el espejo a
50 m delante del ojo y en posición vertical. Calcule
la altura del árbol en metros.
a) 181/140 b) 9 c) 9/2
d) 181/20 e) 179/20
aB aB
F
mg
N1 acción y
reacción
RB RB
N2
mg
M m
Q1 Q2 Qcond.
Teq T2=0ºC
T1=100ºC
+ −
200μF
50V
+ − 50V
200μF
100V
+ −
+ −
100V
200μF
+ −
100V
+ −
100V
200μF
- 46 -
- 46 -
Solución
En la figura:
AHP ABC ; por lo que: 5
950 90
hh m
Luego:
5 1819
100 20árbolH m
RPTA(d)
2001
1.- Un proyectil es lanzado con un ángulo de
inclinación de 60º, tal como se muestra en la figura.
Determinar la rapidez mínima inicial para que el
proyectil pase la barrera con una velocidad
horizontal de 12 m/s.
a) 28 m/s b) 18 m/s c) 16 m/s
d) 24 m/s e) 12 m/s
Solución
.cos60º 24cos60º
xx
v mv v v
s
RPTA(d)
2.- Un gas experimenta el proceso i a b f
representado en la figura adjunta. El trabajo neto
realizado por el gas en el proceso es:
a) 14.103 J b) 12.10
3 J c) 16.10
3 J
d) 4.103 J e) 8.10
3 J
Solución
Se pide: NETO
i a b f i a a b b fW W W W
Donde:
Proceso i a : Expansión isobárica:
: ( )i aW
Proceso a b :Isovolumétrico
0a bW
Proceso b f :compresión isobárica
: ( )b fW
En consecuencia:
0NETO
i a b f i a b fW Área Área
= +(300)(40) + 0 −(100)(40)
Por tanto:
38.10NETO
i a b fW J
espejo
árbol
90 m ojo
A B
90 m ojo
H P
50m
5cm
C
h
Normal
Rayo incidente
Rayo reflejado
vo v=12m/s
60º
Vy
Vx=12m/s
Hmáx
vo v=12m/s
60º
300
200
100
20 40 60
f b
i a
P(N/m2)
v(m3)
- 47 -
- 47 -
RPTA(e)
3.- En el circuito que se muestra en la figura,
determinar la corriente que circula a través de la
resistencia de 12Ω.
a) 1,5 V b) 1,0 V
c) 0,5 V
d) 2,0 V e) 0,3 V
Solución
En la malla a b c, el sentido de la corriente eléctrica
lo determina la fuente de mayor voltaje (4 V),
luego:
4 ( 2)ab ac cbV V V IR
6 = I(12) I = 0,5 A
RPTA(c)
4.- ¿Cuál de las siguientes alternativas expresa dos
características de los rayos láser?
A) monocromática e incoherente
B) elevada potencia e incoherencia
C) policromática y elevada potencia
D) monocromática y baja potencia
E) monocromática y coherente
Solución
El término “láser” significa: luz por emisión
estimulada de radiación debido a la excitación de
átomos de cromo (por ejemplo) que experimentan
saltos electrónicos.
Esta radiación puede ser:
a) Ondas de igual frecuencia (monocromática), pero
desfasadas (incoherente).
b) Ondas de igual frecuencia y en fase (coherentes).
Los rayos láser están constituidos por ondas de
igual frecuencia y en fase (monocromáticas y
coherentes).
RPTA: (e)
2002
1) Indique cuál de las siguientes relaciones entre
unidades físicas es incorrecta.
A) Coulomb/Faradio = Voltio
B) (Amperio)(segundo) = Coulomb
C) Watt/Amperio = Voltio
D) (Ohmio)(Faradio) = segundo
E) Joule/Voltio = Faradio
Solución
A) C = Q/V → CV = Q → Q/C = V (Verdadera)
B) I = Q/t → It = Q (Verdadera)
C) P = IV → P/I = V (Verdadera)
D) a) I = Q/t → t = Q/I b) I = V/R
Qt
V
R
= QR
V
E) Q
VC
Por lo que, tendremos:QR
tQ
C
T = RC (Verdadera)
E) E/Q = V → E/V = Q
Por lo que: E/V ≠ C
RPTA (e)
2.- Si la gráfica representa la rapidez (v) de un
objeto que se mueve a lo largo de una línea recta en
función del tiempo (t), ¿qué intervalo de tiempo
representa la aceleración constante pero diferente
de cero?
A) LM B)
KL C) NO D) OP E) PR
Solución
Si la velocidad en función del tiempo varía
linealmente, estará definida por una expresión de la
forma v = at + b (a≠ 0). Su gráfica es una recta no
horizontal.
RPTA: (b)
7Ω 12Ω 4V
10V 2V
7Ω 12Ω 4V
10V 2V
+
+
− +
+
− −
− a
b
c
I
I b
K L
M
N
O
P
R
v
t
- 48 -
- 48 -
3.- La figura muestra la variación de la magnitud de
la fuerza aplicada a un cuerpo en función de la
posición. El trabajo realizado por la fuerza entre 0 y
4 m es:
A) 16 J
B) 14 J
C) 12 J
D) 18 J
E) 22 J
Solución
W = Área
W = F. x (En el gráfico)
WT = W1 + W2 = 5. 2 + J142)2
31(
RPTA (b)
4.- Las figuras muestran tres transformaciones
reversibles de un gas.
(I)
(II)
(III)
¿Qué transformación muestra cada una de ellas en
ese orden?
A) isotérmica, adiabática, isocoro
B) isocoro, isobárico, isotérmica
C) isotérmica, isocoro, isobárica
D) adiabática, isocoro, isotérmica
E) isobárico, isocoro, isotérmica
Solución
Como la figura (I) muestra una transformación que
empieza con un proceso isobárico (presión
constante).
RPTA (e)
5.- Considerando el circuito eléctrico que se
muestra en la figura, ¿cuál será la lectura de un
voltímetro cuando su electrodo negativo se conecta
al punto A y el positivo se conecta al punto B?
A) ─ 12 V B) 4 V C) ─ 4V D D) 24 V E) 0 V
Solución
Cálculo de la I que circula por el circuito:
VTotal = E 1 + E 2 = 18 V (están en serie)
AR
VI
E
E 66
18
El voltímetro conectado a A y B mide la diferencia
de potencial (VA – VB).
Trabajamos con la idea de gasto, así:
VA - E 1 + E 2 + I.R2 = VB
VA – 12 + 12 = VB VA = VB
Luego: VA – VB = 0
RPTA (e)
6.- ¿Qué punto en la onda mostrada en el diagrama
está en fase con el punto P?
A) S B) Q C) R D) U E) T
Solución
f (S) = f (P) + 2 π (2 ciclos)
Por lo que: P y S están en fase
RPTA: (a)
7.- Una partícula cargada ingresa en un campo
magnético, como se muestra en la figura. Indicar la
verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes
proposiciones.
F(N)
x(m)
5
3
1
0 2 4
P
P1
P2
V1
2
1
V P
P1
V1 V2
1
V
P2
T1 = T2
2
E 1
E 2
A
R2
R1
B
R1 = 1Ω
R2 = 2Ω
E 1 = 12V
E 2 = 6V
y
●R
●P ●Q ●S ●T
U ●
x
P
P1
V1 V2
1 2
V
- 49 -
- 49 -
I. En (a) la fuerza magnética sobre q estaría dirigida
hacia arriba.
II. En (b) la fuerza magnética sobre q estaría
dirigida hacia dentro del papel.
III. En (c) la partícula cargada no cambiaría de
dirección.
A) FFF
B) VVF
C) VFF
D) VFV
E) FFV
Solución
I)
(Verdadero)
II)
(Falso)
III)
(Verdadero)
RPTA (d)
8.- La figura muestra dos espejos planos. El
ángulo formado entre el rayo incidente y el último
rayo reflejado es.
A) θ/2 B) θ C) 3 θ D) 2 θ E) 3θ/2
Solución
En el diagrama construido, tenemos:
W = 180 – 2 m + 2 n W = 180 – 2(m + n)
Como:
m + n = θ...….(1) W + X = 180 ……(2)
De (1) y (2): X = 2 θ
RPTA (d)
2003
v
(b)
q‾
B
X X X
X X X
X X X
q+
B
v
(a)
q+
B
v
(c)
F B
v
F X X X
X X X v
X X X q+
X X X
●
F
v
q‾
B
B
v q
+
θ
Espejo 1
Espejo 2
θ
Espejo1
Espejo2
n a
a n
n b b m
m
W X
m
- 50 -
- 50 -
1.- El gráfico muestra la posición “x” de un móvil
versus el tiempo “t”. Determinar el tiempo en el que
el móvil pasa por el origen (x = 0).
A) 1,5 s
B) 1 s
C) 2 s
D) 1/3 s
E) 0,5 s
Solución
∆ ABC ∆ CDE: 3 9
4t t
→ t = 1 s
RPTA (b)
2.- La figura muestra un proyectil disparado con
una rapidez (V0) de 30 2 m, el cual impacta en P
después de 10 s. Determinar, tang θ (asumir g = 10
m/s2).
A) 2
3 B)
2
2 C)
3
2 D)
2
3 E) 1
Solución
0
245º 30 2. 30 /
2
yV Vsen m s
smVV x /30º45cos0
Movimiento vertical de ascenso entre A y B:
smVV y /3000 ; 0y
fV ; g = 10m/s2; t = ?
0 0 303
10
V Vt s
g
Tiempo entre A y C = 6 s
Luego, tiempo entre C y D (altura AE):4 s
Altura AE:
smV y /300 ; t = 4 s; g = 10 m/s2; h = ?
2
0
1. .
2h V t gt
2130.4 .10(4) 200
2m
Alcance horizontal ED:
smV x /300 ; t = 10 s; x = ?
x = V. t = 30.10 = 300 m
Por consiguiente: Tang θ = 200 2
300 3
RPTA (d)
3.- Un móvil se desplaza con una rapidez
constante de 12 m/s sobre la pista, según se muestra
en l FIGURA. El valor de la aceleración en el punto
más alto de la elevación es:
A) 36 m/s2 B) 12 m/s
2 C) 48 m/s
2
D) 8 m/s2 E) 54 m/s
2
Solución
222
/483
12sm
R
va t
C
RPTA (c)
x(m)
t(s)
9
0
- 3
4
x(m)
t(s)
9
0
- 3
4
B
A C E
D
t 4-t
θ
45º
V0
12 m/s
6m
3m
Vt=12m/s
θ
45º
V0
xV0
yV0
C
B
A
E
D
- 51 -
- 51 -
4.- Una viga horizontal, de 6,0 m de longitud y 100
N de peso, reposa sobre dos apoyos A y B, tal como
se muestra en la figura. Encontrar las magnitudes
de las fuerzas de reacción en los puntos de apoyo A
y B.
A) 40 N y 60 N B) 30 N y 70 N
C) 25 N y 75 N D) 20 N y 80 N
E) 35 N y 65 N
Solución
A + B = 100 N ……(1)
3A = 2B; entonces: 2
3
BA ……(2)
En (1): 2
1003
BB B = 60 N
En (2): A = 40 N
RPTA (a)
5.- La figura muestra un ciclo P – V de cierto gas
ideal. Determinar el trabajo realizado en aquella
etapa del ciclo en que el gas cede calor.
A) – 80 J
B) – 240 J
C) + 160 J
D) – 320 J
E) + 120 J
Solución
Proceso b:
Proceso isobárico de expansión: El gas recibe calor
para aumentar su volumen a presión constante.
Proceso c:
Proceso isocoro con aumento de presión: El gas
recibe calor porque aumenta su presión a volumen
constante.
Proceso a
Proceso donde el gas reduce su volumen y su
presión. Por lo que cede calor (-Q) y realiza cierto
trabajo (J):
W = Área; entonces: W = -P. V
5 5( ) (0,4.10 0,8.10 )(4)
2 2
b B hW
2400W J
RPTA: (b)
6.- En la figura la diferencia de potenciales
eléctricos VM – VN es igual a 105 V. Determinar el
valor de la carga Q.
(Considere que k = 2
9
29.10
Nm
C )
A) 2x10-6
C B) 6110
6x C D) 61
103
x C
D) 3x10-6
C E) 10-6
C
Solución
2 23 10 4,5 10M N
kQ kQV V
x x
39 1010 Q
Q = 10-6
C
RPTA (e)
7.- En el circuito mostrado en la figura siguiente,
determinar la diferencia de potenciales eléctricos
VA – VB.
A) 3 V B) 6 V C) – 1 V D) 1 V E) – 7 V
Solución
* N
* M
4,5c
m
3,0c
m
+Q
9 V
2 Ω
3 V
2 Ω
6 V
2 Ω
A B
● ●
c
b
a
2 6
0,4
0,8
P(x105N/m2
V(x10-3m3 )
0
A B
5 m
A
3m
100N
2m
B
1m
- 52 -
- 52 -
VE = +9 +3 – 6 = + 6 V
RE = 2 + 2 + 2 = 6 Ω 6
16
E
E
V VI A
R
Con la idea de gasto, y considerando que la
corriente circula en sentido horario:
12321.231.2 BA VV
RPTA (d)
8.- La figura muestra tres corrientes alámbricas, I,
paralelas que se levantan perpendicularmente al
plano del papel. Por tanto la orientación de una
pequeña brújula, de polos N – S, en el punto P,
debido al campo magnético total de las tres
corrientes será mejor representada por:
Solución
RPTA (c)
U. N. INGENIERÍA
2001 – I
1.- Un cuerpo cae libremente en el vacío y recorre
en el último segundo una distancia de 44,1 m.
Entonces el cuerpo cae desde una altura, en m, de:
(g = 9,8 m/s2).
A) 142,5 B) 78,4 C) 122,5
D) 162,5 E) 172,5
Solución
)12(2
0 ng
vhn 2 1)2
gn
hn = altura recorrida en el enésimo segundo.
)12(2
8,91,44 n ; n = 5 (último segundo)
2 2
0
1 9,8. (5) 122,5
2 2h v t gt m
RPTA (c)
2.- La corriente I en el circuito de la figura
disminuye a I3
2 cuando se conecta una resistencia
r en serie con R. Si la resistencia r se conecta en
paralelo con R, la corriente en el circuito:
A) Permanece constante B) se duplica
C) se reduce a la mitad D) se triplica
E) se reduce a la tercera parte
Solución
Igualando (1) y (2):
2)(
3
2 RrrRIR
Cuando se conectan en paralelo:3
RRE
IR
IR
RI x 3
33
La corriente se triplica:
RPTA (d)
3.- Se lanza un electrón en una pequeña región,
donde existe un campo magnético constante B ,
con una velocidad 0V no paralela a B . Si se asume
a
P
a
I
I I
A) B) C)
D) E)
N
S
N
S N
S
S N S
N
a
P
a
I1
I2 I3
B3
B2
B1+B3
B1
S
N
I
R
E
I
R
E
E = IR…(1)
I
R E
r =R/2
E = )(3
2rRI ….(2)
3
2I R
r
E
- 53 -
- 53 -
que la única fuerza que actúa sobre el electrón es la
fuerza magnética, ¿cuáles de los siguientes
enunciados son correctos?
I. Para cualquier orientación de 0V y B el electrón
queda confinado en dicha región describiendo una
trayectoria circular de radio 0mVR
eB .
II. El electrón se desplaza en dicha región durante
cierto tiempo y luego sale del campo con una
velocidad cuya magnitud es igual a V0.
III. Debido a la fuerza magnética, la energía
cinética del electrón varía.
IV. El trabajo que realiza la fuerza magnética sobre
el electrón es nulo.
a) I b) I y IV c) II y IV d) IV e) II
Solución
La fuerza magnética por ser perpendicular a la
velocidad no realiza trabajo y por lo tanto no varía
la energía cinética y la magnitud de la velocidad no
varía porque:
0Neto FW Ec W Ec
Siendo F = Fuerza magnética
Analicemos:
I. FALSO:
Cuando 0V y B son perpendiculares describiría
una trayectoria circunferencial.
II. VERDADERO:
Después de moverse en el interior del campo logra
salir, manteniendo su misma rapidez, es decir V0.
III. FALSO:
El módulo de la velocidad permanece constante
independientemente de su trayectoria y por ende no
varía la energía cinética.
IV: VERDADERO:
Debido a que la fuerza magnética es perpendicular
a la velocidad y al campo magnético NO realiza
trabajo.
Respuestas II y IV son correctas.
RPTA (c)
4.- Una partícula se mueve en el plano XY a partir
del instante t = 0. El vector posición r de dicha
partícula en cualquier instante t>0 está dado por 2r ati bt j donde a y b son constantes positivas;
,i j son vectores unitarios a lo largo de los ejes
X,Y respectivamente.
La gráfica que mejor muestra la trayectoria de la
partícula es:
Solución
En: 2r ati bt j (1)
Hacemos: X = at (MRU)
Y = bt2 (MRUV)
Por lo que (1) corresponde a una ecuación de una
parábola.
Como:
( )
a (+)
Es un movimiento acelerado
b
Su gráfica es:
RPTA (e)
y
O y
a) y
O y
b)
y
O y
c) y
y y
d)
y
O y
e)
y
O y
e)
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO
- 54 -
- 54 -
5.- Un recipiente abierto contiene un líquido en el
cual la presión aumenta linealmente con la
profundidad. Si a 6 m de profundidad la presión es
de 1,9.105 Pa, determine la densidad del líquido, en
kg/m3, considerando que la presión atmosférica
encima del líquido es 105 Pa y g = 9,8 m/s
2.
a) 765,3 b) 1020,4 c) 1275,5 d) 1530,6 e) 1785,7
Solución
La presión total en un punto A, a una profundidad
“h”, en un líquido de densidad , es:
( ) ( ) ( )A ATM LIQP P P ……(1)
Donde: ( ) .LIQ LIQP gh
En (1): 5
( ) ( )1,9.10 ATM LIQP P
5 5
( )1,9.10 10 (9,8)(6)LIQ
De donde:
( ) 31530,6LIQ
kg
m
RPTA (d)
6.- En la figura se muestra un pequeño cuerpo que
cuelga de un hilo, de longitud L y masa
despreciable, que está fijo en el punto O. Si se deja
libre al cuerpo(desde el reposo) cuando el hilo
forma un ángulo θ0 con la vertical, se observa que
el cuerpo pasa por la vertical con una velocidad v .
Si en otro experimento, el cuerpo pasa por la
vertical con una velocidad 2v ; ¿cuál será la
longitud del hilo si dicho cuerpo se liberó con el
mismo ángulo inicial θ0?
a) 4L b) 2L c) 2
L
d) 2L e) 2
2L
Solución
Por conservación de la energía mecánica (EM) en
ambos casos:
2 2 (1 cos )v hg gL …….(1)
2 2 2 . (1 0 )v Hg g l c s ………(2)
(1) en (2):
2 2 . (1 cos ) 2 (1 cos )g L g l
2 4L l l L
RPTA (a)
7.- La figura muestra una esferita de 1 kg de masa
atada a un hilo de 2 m de longitud que está girando
en un plano horizontal con una rapidez angular
constante. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de
las siguientes proposiciones. (g = 9,8 m/s2).
I. La rapidez angular de la esferita es 2,475 rad/s
II. La tensión de la cuerda es 12,25 N.
III. La esferita se encuentra en equilibrio.
a) FFF
b) FVF
c) VVV
d) VFV
e) VVF
Solución
θ0 L
O
O
L
θ0
L
v
vi=0
h=L(1-cosθ)
a)
Lcosθ
O
θ0
l
2v
vi=0
H=l(1-cosθ)
b)
37º
- 55 -
- 55 -
Sobre el péndulo cónico actúan:
Verticalmente la esfera no sube ni baja:
49,8 12,25
5T T N
La esfera realiza movimiento circular, por lo que:
.c cF m a 23( . )
5T m R
Reemplazando:
23(12,25) (1)( .1,2) 2,475
5
rad
s
Luego analizamos las propuestas:
I. VERDADERO: 2,475rad
s
II.. VERDADERO: T =12,25 N
III. FALSO: La esferita experimenta una
aceleración cetrípeta (ac) y no está en equilibrio.
RPTA (e)
8.- En el experimento que se indica se obtiene la
curva experimental que se muestra. En este gráfico
T es la temperatura del líquido y Q es el calor que
se le entrega. La masa del líquido que se calienta es
de 2 kg. Entonces de este experimento podemos
decir:
a) el calor específico del líquido es
aproximadamente 1,6 J/kgºC
b) para convertir todo el líquido a 80ºC en vapor se
necesita 50 J/kg.
c) la capacidad calórica del líquido es de 80ºC
d) la temperatura de fusión del líquido es 80ºC
e) los primeros 100 J de calor convierten el líquido
en vapor.
Solución
a) El calor específico del líquido (entre 20ºC y
80ºC)
De:
Q = Ce . m.∆T
100 = Ce.2(60)
0,83º
JCe
kg C (FALSO)
b) En el cambio de fase (líquido → vapor) del
diagrama:
: . .C F vQ m L
100 = 2.Lv 50v
JL
kg (VERDADERO)
c) La capacidad calórica:
. (0,83)(2) 1,66º
c c
JC Ce m C
C
(FALSO)
d) Del gráfico, la temperatura de ebullición es 80ºC
(hay vaporización). (FALSO)
e) Los primeros 100 J de energía térmica cambian
la temperatura del líquido, de 20ºC a 80ºC
(calentamiento, no hay cambio de fase). (FALSO)
Sólo es correcta la afirmación (b).
RPTA (b)
9.- La figura muestra un péndulo de longitud l y
masa m, suspendido de la parte superior de una
masa y haciendo un ángulo de 37º con la vertical.
Cuando se suelta, el péndulo llega hasta la posición
de desviación máxima que se indica. Hallar el
ángulo Φ.
(considere sen 37º = 3/5).
Termómetr
o
Líquido Energía
Aislante
37º 37º
T 4
5T
3
5T
mg=9,8N
R=1,2 m
2m
m
80
20 O
140
100 200
T(ºC)
Q(J)
80
20 O 100 200
T(ºC)
Q(J)
L-V
m=2 kg
- 56 -
- 56 -
a) 37º b) 53º c) 45º d) 60º e) 30º
Solución
Como no existe trabajo de lasa fuerzas disipativas y
la velocidad en los extremos es nula:
p p
A BE E ; es decir A y B se encuentran en el
mismo nivel horizontal.
Entonces:
.cos37º 37º2 2
l ll sen
4
5 2 2
l l lsen 37º
RPTA (a)
10.- Dos ladrillos iguales, de longitud L y masa m,
se colocan sobre una mesa como se muestra en la
figura. ¿Cuál es la máxima distancia “d” a la cual
se pueden colocar los ladrillos sin que caigan por su
propio peso?
a) 7
10L b)
3
4L
c) 4
5L d)
3
5L
e) 2
L
Solución
Un cuerpo apoyado está en equilibrio, cuando la
vertical que pasa por su centro de gravedad cae
dentro de su base de sustentación, en caso límite
por su borde o extremo.
Para todo el conjunto de los dos ladrillos el centro
de gravedad será:
1 1 2 2
1 2
( ) ( )2
CG
Lm m L
m x m xx
m m m m
3
4CG
Lx
La distancia máxima “d” será:
3 3 3 3
2 2 4 4CG
L L L Ld x
RPTA (b)
11.- Una partícula que parte del punto O describe la
trayectoria mostrada en la figura. El desplazamiento
realizado por la partícula hasta el punto C, es:
a) 10 10i j b) 25 10i j c) 10 15i j
d) 25 10i j e) 20 10i j
Solución
l 37º
Φ
l/2
l 37º
Φ
l/2
A B
∙
∙
L/2 L/2 L/2
∙
∙
y
xCG
L/2 L 3L/2
x
y
O 45º
10 2
A 15º 10 3 5 3
120º B
C x
∙
∙
d
- 57 -
- 57 -
d A B C
10 10 15 5 3 5 3 25 10d i j i j j i j
RPTA (d)
12.- Una barra uniforme de masa “m” está en
equilibrio sostenida por un extremo mediante una
cuerda vertical y por el otro extremo está articulada
en el punto O. De los enunciadosa siguientes
indique los verdaderos y los falsos:
I. La fuerza de reacción en O tiene una componente
vertical y no tiene componente horizontal.
II. La fuerza de reacción en O tiene una
componente vertical y horizontal, que dependen
del ángulo α.
III. La fuerza de reacción en O tiene sólo una
componente vertical cuyo valor depende de α.
a) FVV
b) VFF
c) VFV
d)FVF
e) FFV
Solución
I. VERDADERO.
Sobre la barra actúan 3 fuerzas y como dos de
ellas son paralelas, la última también será
paralela.
II.FALSO.
En la articulación hay reacción vertical
solamente.
III. FALSO.
Según la segunda condición de equilibrio.
2
WR 0PM
“R” no depende de “α”.
RPTA (b)
13.- Se cuenta con una fibra óptica ideal y se desea
que los rayos que inciden bajo un ángulo θ = 45º se
propaguen por la superficie lateral de la fibra como
se indica en la figura. ¿Cuál debe ser el valor
deñ´ndice de refracción de la fibra para lograr dicho
objetivo?
a) 1,11 b) 1,22 c) 1,33 d) 1,44 e) 1,55
Solución
Por ley de Snell:
. .airen sen n sen 2
.2
n sen
. . 90ºairen sen n sen . 1n sen
2 31,22
2n n
RPTA (b)
14.-Un condensador plano tiene placas de área A,
separadas en el aire por una distancia D, con cargas
+Q y −Q. Un segundo condensador tiene placas de
área A/2 separadas en el aire por la distancia 2D,
con las mismas cargas +Q y −Q que el primero. La
razón del potencial V1 deñ primer condensador al
potencial V2 del segundo condensador es:
a) 2 b) 1 c) 1/4 d) 1/2 e) 1/8
Solución
Primer condensador:
45º
10 2
A 10 3
60º
B
5 3
C D
10
10
y
x
O
α
O
R W
T
P
θ n
45º=θ n
N1 α
β α
N2
a b
+Q −Q
D
Área=A
- 58 -
- 58 -
00
ab
Q Q QDV
AC A
D
Segundo condensador:
0
0
4
22
xy
Q Q QDV
AC A
D
1
4
ab
xy
V
V RPTA (c)
15.- Un sistema masa- resorte está oscilando sobre
un piso horizontal sin fricción en una trayectoria
rectilínea en torno a la posición de equilibrio O de
la masa. Cuando la masa se está desplazando a la
derecha de su posición de equilibrio, el diagrama de
cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre ella
será:
Solución
La posición de equilibrio (P.E.) coincide con el
extremo del resorte cuando está sin deformar y
cuando está el bloque a la derecha de la P.E. el
resorte está estirado, entonces el D.C.L. será:
RPTA (a)
16.- En un viaje espacial, la máxima aceleraciónque
un ser humano puede soportar durante un tiempo
corto, sin que sufra daños, es de a = 100 m/s2. El
primer astronauta retornó a la Tierra con su cápsula
espacial el 24 de junio de 1969. Su velocidad al
entrar a la atmósfera, fue de v0 = 11 000 m/s.
Determine el recorrido de frenado y el tiempo de
frenado, considerando que en ese lapso se movió
con aceleración constante a = −100 m/s2.
a) 450 km; 110 s b) 700 km; 200 s
c) 400 km; 100 s d) 605 km; 200 s
e) 605 km; 110 s
Solución
2100 /a m s 0 11000 /v m s 0 /fv m s
2 2 22
0 0 1100605
2 2( 100)
fv vd km
a
Luego:
P.E.
N
mg
−kx= Fe v
Liso O.
+x
x y
+Q −Q
2D
Área=A/2
k m
v
−kx
N
mg
kx
N
mg
a) b)
kx
N
mg
c)
f
−kx
N
mg
d)
f
k m
v
P.E.
+x
X=0
Liso
N
mg
e)
f
- 59 -
- 59 -
30 605.10 0 11000
1102 2
fv vdt s
t t
RPTA (e)
16.- Dos partículas de igfual carga “q” están
situadas sobre el eje Y en los puntos para los cuales
y = a ; y = −a.
Halle el campo eléctrico en el punto del eje X para
el cual x = b
a)
3
2 2 2
2kqbj
a b
b)
3
2 2 2
2kqai
a b
c)
3
2 2 2
2kqbi
a b
d)
1
2 2 2
2kqbi
a b
e)
1
2 2 2
2kqaj
a b
Solución
Cálculo de: 1E
1 2 2 22 2
kq kqE
a ba b
Por simetría:
2 2 2
kqE E
a b
2 2 1
2 2 2
2 cos 2 .b
kq bE E i i
a ba b
3
2 2 2
2b
kqbE i
a b
RPTA (c)
Y
X
q
q
a
a b
2 2a b
2 2a b
1E
2E
α α
α α
E
E
α
α
PROFESOR MIGUEL AGIP
MEGO