fisica general teoria y problemas (lic quim)

Introducción a la Física (I)

1. ¿Qué es la Física?

2. Método Experimental. Modelos en Física

3. Estructura de la materia

4. Interacciones Fundamentales

Física General 1/9

1.- ¿QUÉ ES LA FÍSICA?

• Física → del griego “Naturaleza”. Ciencia que estudia los fenómenos naturales. “Filosofía natural” hasta el siglo XIX.

• Fenómenos físicos. Clasificación según el medio de observación.

Sentido Fenómenos Ciencia Vista Luz Optica Oído Sonido Acústica Tacto Calor Termodinámica

Desplazamiento Movimiento Mecánica • Siglo XIX → Electromagnetismo ( Maxwell, Faraday, Ampere…) • Siglo XX → Física Moderna. Revolución Conceptual.

Física Cuántica (Planck, Schrödinger, Heisenberg,…) Teoría de la Relatividad, Einstein.

• Nuevo planteamiento de la Naturaleza:

• Física.- Una ciencia cuyo objetivo es el estudio de los componentes de la materia y sus interacciones mutuas y en función de ellas explicar las propiedades generales de la materia así como los fenómenos naturales que observamos

• Fundamento de todas las Ciencias

Química → Estructura Molecular, interacciones entre átomos. Biología → Procesos moleculares, bioquímica, biofísica. Ingeniería → Problemas reales índole práctico. ….

• Proporciona técnicas avanzadas en multitud de áreas: geología,

oceanografía, astrofísica, medicina, paleontología, arqueología, arte, etc.

Física General 2/9

2.- MÉTODO EXPERIMENTAL. MODELOS

OBSERVACIÓN.- Análisis crítico de un fenómeno cuyas propiedades pueden ser caracterizadas cuantitativamente mediante magnitudes físicas medibles (observables).

EXPERIMENTACIÓN.- Producción de un fenómeno físico en el Laboratorio donde se puedan controlar y elegir las condiciones del mismo, midiendo sus propiedades y las relaciones de interdependencia entre las magnitudes físicas. Reproductibilidad.

INTERPRETACIÓN.- Formulación de un Modelo Teórico que explica y justifica las relaciones observadas entre las magnitudes expresado mediante simplificaciones matemáticas de la Naturaleza: punto material, sólido rígido, ausencia de rozamiento, gases perfectos, aproximación paraxial, etc.

VERIFICACIÓN.- Realización de nuevos experimentos para comprobar el modelo, determinar sus limitaciones y verificar sus predicciones.

¡ Los Modelos siempre se cuestionan ¡

Mejora en la precisión de las medidas. Discrepancias modelo/experimento. El experimento siempre tiene la razón.

Experimento/Teoría → Física

Física General 3/9

3.- ESTRUCTURA DE LA MATERIA. ¿De qué está hecho el mundo ?

Naturaleza = Materia + Interacciones Materia → Compuesta por unas pocas partículas fundamentales con propiedades bien definidas a partir de las cuales se construyen todos los cuerpos. Constituyentes básicos de la materia: electrón, neutrino electrónico, quark up, y quark down.

e uLeptones Quarks

deν⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Hay tres generaciones o familias de partículas, pero solo son estables las de la primera generación.

Física General 4/9

Modelos de materia

• Protones y neutrones

Los quarks se unen mediante la interacción fuerte (carga de color) dando lugar a protones y neutrones (distancias ~10-15 m)

• Núcleos atómicos .

Protones y neutrones (interacción fuerte) dan lugar a los núcleos atómicos (distancias ~10-14 m). Z.- Número atómico: número de protones. A.- Número másico: protones +neutrones. Distinto Z → distinto elemento Distinto A → distinto isótopo

• Átomos

Los electrones se adhieren a los núcleos a través de la interacción electromagnética dando lugar a átomos (distancias ~10-10 m). El número de electrones en su última capa (electrones de valencia) determina sus propiedades químicas

Física General 5/9

• Moléculas

Agrupaciones de átomos que se unen a través de la fuerza residual electromagnética. Unidad básica de la materia

• Materia macroscópica

La materia macroscópica esta constituida por agrupaciones de moléculas:

Gases.-Interacciones muy débiles, distancias >3×10-9 m.

Sólidos.- Interacciones muy fuertes, distancias ~ 10-10 m.

Líquidos.- Intermedios, movilidad

Física General 6/9

4.- INTERACCIONES FUNDAMENTALES ¿Qué es lo que hace que …? • Electrones, protones y neutrones formen los

átomos. • Los átomos se unan en moléculas. • Las moléculas en cuerpos. • La manzana caiga al suelo. • La Tierra gire alrededor del Sol.

… ¿Qué es lo que observamos?

• Fuerzas de contacto, empujar, tirar,… • Acciones a distancia: imán, manzana, Luna Fuerzas estadísticas: muchos átomos/moléculas contra otros muchos ¿Qué fuerzas o interacciones existen realmente? Hay cuatro fuerzas fundamentales entre las partículas: fuerte, débil, electromagnetismo y gravedad, de manera que cualquier fuerza que observamos, fricción, gravedad, magnetismo, desintegraciones nucleares, etc. está originada por alguna de ellas

¿Cómo interaccionan las partículas? Las interacciones entre las partículas se deben al Intercambio de partículas portadoras de fuerza

Física General 7/9

Interacciones fundamentales

• Electromagnetismo

La fuerza electromagnética hace que cuerpos con igual carga se repelan y con distinta carga se atraigan.

Responsable de la existencia de los núcleos y residualmente de las moléculas así como de muchas fuerzas cotidianas como, fricción, magnetismo, resistencia de los cuerpos, etc.

La particular portadora es el fotón, sin masa

• Interacción Fuerte

¿Qué mantiene unidos a los protones en el núcleo? Interacción fuerte entre quarks. Corto alcance, interior del núcleo. La más intensa de todas las interacciones Los portadores de la carga de color se denominan gluones y tampoco tienen masa.

Física General 8/9

• Interacción Débil

Responsable de las desintegraciones radiactivas y de los leptones y quarks inestables. Portadores, Z0 y W+ W-

Unificada con el electromagnetismo

• Gravedad

Fuerza atractiva relacionada con la masa

La partícula portadora, el gravitón, todavía no se ha descubierto

La fuerza más pequeña de todas, efectos en apreciables en cuerpos enormes, planetas, estrellas, galaxies.

Tipo Intensidad Portador Dominio

Fuerte ~ 1 Gluones (sin masa)

Núcleos atómicos

Electromagnética ~ 10-3 Fotones (sin masa)

Átomos, moléculas

Débil ~ 10-5 Bosones (Z0,W±)

Desintegración radiactiva beta

Gravitatoria ~ 10-38 Gravitones(¿?)

Cuerpos pesados

Física General 9/9

Introducción a la Física (II)

1. Medidas. Errores.

2. Magnitudes fundamentales y derivadas.

3. Unidades fundamentales. Sistema

Internacional.

4. Calculo dimensional.

5. Cambio de unidades.

Física General 1/8

1.- MEDIDAS. ERRORES.

• Física → ciencia experimental → observación → medida :

“El conocimiento solo es satisfactorio cuando lo podemos expresar numéricamente”

Lord Kelvin

• Medida → Errores = Imprecisiones inevitables en las medidas.

Error = Incertidumbre

Error ≠ Equivocación, metedura de pata

“Ninguna cantidad física se puede conocer con absoluta certeza”

• Es imposible conocer el verdadero valor de una magnitud medida:

Limitaciones de nuestros sentidos. Perturbación de la magnitud medida (termómetro, corriente) Limitaciones intrínsecas del proceso.

• Resultado de una medida:

Valor medido Incertidumbre (error) Unidades

( ) unid.x xε

±

±

• Significado:

( ) Valor verdadero ( )x x x xε ε− < < +

Física General 2/8

• Medidas:

Directas.- Comparación con una escala (instrumento):

Lectura ± sensibilidad escala

Indirectas.- Medida como resultado de un cálculo: ( , ,...) ¿ ( )?z f x y zε= Ejemplo.- Velocidad = espacio/tiempo

Física General 3/8

2.- MAGNITUDES FUNDAMENTALES.

• Magnitud Física: Definición precisa. Método o conjunto de reglas para calcularla. Reglas de igualdad y suma.

• Leyes Físicas.- Relaciones entre magnitudes ( F = m·a, v = e/t, …) • No todas las magnitudes son definibles mediante relaciones. • Magnitudes fundamentales:

Magnitudes independientes no definibles mediante relaciones a partir de las cuales se definen todas las demás • Mecánica

Longitud ≡ (L) Idea intuitiva de la distancia. Tiempo ≡ (T) Antes y después, causa/efecto. Masa ≡ (M) Propiedad de la materia.

• Electricidad Corriente eléctrica ≡ Amperio (A)

• Termodinámica Temperatura ≡ Grados Kelvin (K) Cantidad de sustancia ≡ mol.

• Óptica Intensidad luminosa ≡ candela (cd)

• Magnitudes derivadas:

• Magnitudes que se pueden definir a partir de las magnitudes

fundamentales. • Las restantes: velocidad, fuerza, presión, etc.

• La Física no establece distinción entre unas y otras, es una elección

arbitraria.

Física General 4/8

3.- UNIDADES FUNDAMENTALES. • Medida → Comparación con un patrón que se toma como unidad. • Resultado → Cantidad medida + Mención del patrón ≡ Unidades. • La elección de los patrones es arbitraria (magnitudes fundamentales). • Requisitos.- Estabilidad y reproducibilidad. • Sistema de medidas .- Conjunto de patrones para medir magnitudes

fundamentales y derivadas Sistema Internacional (SI)

(Conferencia Internacional de Pesos y medidas, París 1960)

• Longitud → Metro (m)

1790 → Diezmillonésima parte de la distancia del ecuador al polo norte. 1879 → Distancia entre dos señales de una varilla de platino/iridio 1960 → 1650763,73 veces la longitud de onda de la línea roja del 86Kr 1983 → Distancia recorrida por la luz en 1/299792458 segundos.

• Tiempo → Segundo (s)

1790 → 1/86400 del día solar medio. Disminuye ya que el periodo de rotación de la Tierra disminuye a causa de las mareas. 1968 → 9192631770 veces el periodo de una transición del 133Cs

• Masa → Kilogramo (Kg)

1790 → La masa de un litro de agua pura a 4º C. 1879 → Masa de un bloque de platino/Iridio que se guardó en la BIPM (Sèvres) 1960 → Masa de 5,01844721 × 1025 átomos de 12C.

Física General 5/8

4.- UNIDADES Y DIMENSIONES DERIVADAS. • Magnitudes derivadas → Relacionadas con las Fundamentales a

través de su definición o de una fórmula física. • Unidades derivadas → Las resultantes de aplicar la misma relación a

las unidades fundamentales. o Velocidad ≡ espacio/tiempo → m/s o Densidad ≡ masa/volumen → Kg/m3 o Fuerza ≡ masa × aceleración → kg·m/s2 ≡ Newton

• Ecuación de dimensiones → La expresión de una magnitud derivada expresada en forma de producto de las magnitudes fundamentales. Expresa la forma en la que las magnitudes fundamentales intervienen en la formación de la magnitud derivada.

[ ] L M TD α β γ= • Ejemplos:

[ ] [ ][ ]

-1espacioVelocidad v =LT

tiempo≡ =

[ ][ ]

-3masaDensidad ML

Volumen≡ =

[ ] [ ]3 3Volumen V espacio =L≡ = [ ] [ ] -2Fuerza masa aceleración MLT≡ × =

• Magnitud adimensional → Totalmente independiente de todas las

demás: radian, número de Avogadro, número de Reynolds, etc.

• Homogeneidad → Para sumar (comparar) dos magnitudes, éstas deben tener las mismas dimensiones y expresarse en las mismas unidades.

• Ejercicio → Comprobar dimensionalmente la expresión del Teorema de Bernouilli.

21 .2

p gh v cteρ ρ+ + =

Física General 6/8

5.- CÁLCULO DIMENSIONAL Si sabemos que una magnitud física está relacionada con otras mediante una relación de tipo monomio, la condición de homogeneidad permite conocer la relación funcional, salvo constantes adimensionales.

( , ,...) = a z f x y z x yα β= → ⋅ ⋅

Condición de homogeneidad → [ ] [ ] [ ] z x yα β= ⋅ [ ] M L T M L Tz z zz = ⋅ ⋅ [ ] M L T M L Tx x xx = ⋅ ⋅ [ ] M L T M L Ty y yy = ⋅ ⋅ Igualando términos:

( ) ( ) ( )

M L T = (M ) (L ) (T ) (M ) (L ) (T ) = M L T

M L T M L T M L T

M M L L T T

z z z x x x y y y

x y x y x y

α α α β β β

α β α β α β+ + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ × ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

Como M,L y T son independientes:

M M M Mz x yα β→ = +L L L Lz x yα β→ = + T T T Tz x yα β→ = +

Sistema de ecuaciones que nos permite conocer α y β. Ejercicio.- Sabiendo que el periodo de un péndulo simple depende de su longitud l, de su masa m y de la constate g, calcular su relación funcional

( , , ) = f l m g k l m gα β γτ τ= → ⋅ ⋅ ⋅

Física General 7/8

6.- CAMBIO DE UNIDADES

¿Qué hacer cuando las magnitudes vienen en distintos Sistemas de Unidades?

¡¡¡OPERAR SIEMPRE EN EL SISTEMA INTERNACIONAL!!!

1. Plantear la ecuación de dimensiones de las magnitudes. 2. Conocer (buscar en tablas) la relación entre las unidades

fundamentales del S.I. y las de nuestro sistema. Ejemplos: 2 310 cm = 1 m ; 10 gr = 1 Kg; 1 h = 3600 s.; 1 hanegada = 831 m2

3. Plantear los factores Unidad necesarios: 2 3

2

10 cm 10 gr 1 h 1 hanegada ; ; ; 1 m 1 Kg 3600 s 831 m

4. Introducir los factores Unidad en las unidades de la magnitud a

transformar y cancelar las unidades que no pertenecen al S.I. Ejemplo:

Se define 1 dina como la fuerza necesaria para acelerar 1 gramo a 1 cm/s2

1) Ecuación de dimensiones: [ ] 2F M L T−= ⋅ ⋅ 2) Relaciones entre unidades:

3 21 Kg=10 gr; 1 m = 10 cm; 1 s = 1 s 3) Plantear los factores Unidad necesarios:

3 2

1 Kg 1 m ; 10 gr 10 cm

4) Cancelar las unidades que no pertenecen al S.I. -5

2 3 2 2 5 2

1 cm 1 Kg 1 cm 1 m 1 m1 dina 1 gr =1 gr = kg =10 Newton 1s 10 gr 1s 10 cm 10 s

= × × × ×

Física General 8/8

Dinámica del punto (I)Dinámica del punto (I)

1. Causas del movimiento. Interacciones2. Primera Ley de Newton.3. Momento lineal.4. Ley fundamental de la dinámica. 2ª Ley de

Newton.5. Acción y reacción.

Física General 1

1.1.-- Causas del Movimiento.Causas del Movimiento.Tierra /SolManzana que caePéndulo que oscilaBala del fusilElectrón/NúcleoVibraciones de átomos y moléculas

¿Por qué se mueven los cuerpos?¿Cuáles son las causas del Movimiento?

't t=

Dinámica.- Estudia la relación entre el movimiento y las causas que lo producen.

“El movimiento es el resultado de las interacciones entre los cuerpos.”

¿Interacciones?→ Definición de un nuevo concepto matemático → FUERZA

Cada tipo de interacción viene descrito por un tipo de fuerza

DINAMICA → Relación Fuerza/Movimiento

Leyes de la Dinámica clásica: → Newton, finales del siglo XVII→ Experimentos de Galileo

Hipótesis:

→ Geometría euclidiana:

→ Tiempo absoluto:

2 2 2d x y z= + +

Física General 2

2.2.-- Primera Ley de Newton. Ley de inerciaPrimera Ley de Newton. Ley de inercia

Partícula: Punto material.Partícula libre: Partícula que no está sujeta a ninguna interacción.Partícula totalmente aislada o bien muy lejos de otras

Principio de Inercia (1ª Ley de Newton):“Una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante”

•Se mueve siempre en línea recta•Puede estar en reposo: v = 0•No hay aceleración

Sistema NO inercial → Aceleración

¡¡¡El principio de inercia no es válido en los sistemas NO inerciales!!!(Sistemas terrestres son aproximaciones válidas hasta cierto punto)

Masa.- Propiedad de la materia que medimos por comparación con un patrón en una balanza. No depende del movimiento. Coeficiente asociado a cada cuerpo.

Sin embargo, sabemos que la masa influye en el movimiento!!!

Experimento.- Dos partículas interactúan entre si, pero están aisladas del resto del Universo.

1v

'2v

2v

'1v

' '1 1 1 2 2 2 ; v v v v v v∆ = − ∆ = −

Experiencia1)

2)

1 2y siempre tienen direcciones opuestas v v∆ ∆

1 2

2 1

cte.v mv m

∆= =

∆

1 1 2 2 m v m v∆ = − ∆Método dinámico de medición de la masa, (patrón m1=1) y m2depende de los cambios de velocidad

¡Principio Universal!

Física General 3

3.3.-- Momento lineal. Principio de Momento lineal. Principio de Conservación.Conservación.

p mv=Momento lineal

Experimento anterior:( ) ( )' '

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2

' ' ' '1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

1 2

( ) ( )

m v m v m v v m v v

m v m v m v m v p p p pp p

∆ = − ∆ ⇒ − = − − ⇒

− = − − ⇒ − = − −⇒ ∆ = −∆

1 1 1 2 2 2' ' ' '1 1 1 2 2 2

;

;

p m v p m v

p m v p m v

= =

= =

En una interacción entre dos partículas se produce un intercambio de momento tal que el perdido es igual al ganado.

( )

1 2

' ' '1 2

' ' ' ' '1 2 1 1 2 2 1 2 1 2

Momento total inicial

Momento total final

cte.

P p p

P p p

p p p p p p p p p p P P

P

= +

= +

∆ = −∆ ⇒ − = − − ⇒ + = + ⇒ =

=

“En una interacción entre dos partículas el momento lineal se conserva”

Generalizando para un sistema de muchas partículas:

“EL momento lineal de un sistema de partículas AISLADO (sólo interaccionan

entre si) siempre se conserva” 1

cte.n

ii

P p=

= ≡∑

¡Principio Universal y básico en Física!

•Todos los experimentos lo confirman.•No se conocen excepciones.•Aparente violación; descubrimiento de nuevas partículas (ej. neutrino).

Física General 4

4.4.-- Ley Ley fundamenalfundamenal de la dinámica. de la dinámica. 2ª Ley de Newton.2ª Ley de Newton.

Dinámica de la partícula.- El movimiento de una sola partícula es el resultado de las interacciones con el resto del Universo.

(Recordemos: En un sistema de dos partículas, la tasa de cambio del momento es igual y de signo contrario)

( )1 2 1 21 2 0 p p dp dpp p t

t t dt dt∆ ∆

∆ = −∆ ⇒ = − ∆ → ⇒ = −∆ ∆

(Cambio de momento → Interacciones, se miden mediante fuerzas)Definimos una nueva cantidad:

dpFdt

=Fuerza.- Variación del momento respecto al tiempo

Ley fundamental de la dinámica, 2ª Ley de Newton:“La tasa de cambio del MOMENTO LINEAL es igual a la FUERZA (total del

resto del Universo) que actúa sobre la partícula”

Aplicaciones:

1) Partícula libre:

cte. 0p F= → =Sobre una partícula LIBRE no actúa ninguna fuerza

2) Masa constante:

( )cte. d mvdp mdvm F ma

dt dt dt= → = = = = F ma=

¡¡¡¡Caso particular de una ley más general!!!

Física General 5


Aplicaciones:

3) Impulso lineal:

2 2

1 12 1

p t

p tFdt dp I dp Fdt p p= ⇒ = = = −∫ ∫

El impulso lineal es igual a la variación del momento lineal.

4) Peso: Fuerza con que La Tierra atrae un cuerpo

(masa=cte.).

P F m aa cte g= = = ⋅ ⎫

⎬= = ⎭P mg=

Unidad de Fuerza (SI):Newton.- Fuerza necesaria para acelerar una masa de un 1 kg. a 1 m/s2

Otras unidades:Kilogramo-fuerza.- Fuerza con que La Tierra atrae un kilogramo de masa

21 kg mNs⋅

=

21 kgr 1 9.8 9.8mmg kg Ns

= = ⋅ =

Física General 6

5.5.-- Acción y reacción. 3ª Ley de Acción y reacción. 3ª Ley de Newton.Newton.

Recordemos:

1 2

dp dpdt dt

dpFdt

⎫= − ⎪⎪⎬⎪=⎪⎭

1 2=F F−

3ª Ley de Newton:“La fuerza con que una partícula atrae a otra es igual y opuesta a la fuerza que

la segunda ejerce sobre la primera”

!No se compensan¡ ambas fuerzas, acción y reacción, no actúan sobre el mismo cuerpo

Intentamos descubrir fuerzas fundamentales.

A veces, solo conseguimos describir la fuerza resultante de MUCHAS interacciones muy distintas y entre muchas partículas individuales: fuerzas de rozamiento, fuerzas elásticas,.. Se trata de una descripción empírica o estadística.

Física General 7

Dinámica del punto (III)Dinámica del punto (III)

1. Movimiento curvilíneo.2. Momento de una Fuerza.3. Momento angular. Ecuación fundamental de

la dinámica de rotación.4. Fuerzas centrales.

Física General 1

1.1.-- Movimiento curvilíneo.Movimiento curvilíneo.

(fuerza centrípeta)T T

T NN N

F maF ma ma ma

F ma

⎧ =⎪= = + ⇒ ⎨=⎪⎩

2

T Ndv vF m F mdt ρ

= =

22cte. N

mvR F mw RR

ρ = = ⇒ = =

Fuerza tangencial- Responsable del cambio de celeridad.Fuerza normal- Responsable del cambio de dirección.FT

FN

aN

aT

Aa F

v

Movimiento circular → Radio constante

Fcentrípeta= -Fcentrífuga

EJEMPLO → Peralte de las curvas

mg

θ

θ

FN

FN sinθ

FN cosθ

Fuerza centrípeta.- Hace que tome la curva (las ruedas)Fuerza centrífuga.-Actúa sobre los pasajeros

¿Cuál es peralte necesario para que se pueda tomar la curva “sin manos”?

22sin tg

cos

N

N

mv F vR Rgmg F

θ θθ

⎫= ⎪⇒ =⎬

⎪= ⎭

A mayor (menor) velocidad, la fuerza centrífuga aumenta (disminuye), no está compensada, el coche derrapa sube (baja) de la curva

¿Cómo influye el rozamiento?

Física General 2

2.2.-- Momento de una fuerzaMomento de una fuerzaUna fuerza que actúa sobre un punto A:•Mueve o desplaza el punto•Se produce un giro respecto a un punto (EJE)

Experiencia.- Cuanto mayor es la distancia al eje de giro, mayor es el efecto

Momento de una fuerza.- El momento de una fuerza respecto a un punto O, origen de momentos, se define como el producto vectorial del vector de posición por la fuerza.

XY

Z

O

A

A’r

'r

b θ

θ’ F

Línea de acción

r Fτ = × al plano definido por y r Fτ ⊥

sin ' sin ' brazo de palanca×FuerzarF r F bFτ θ θ= = = =

Igual para cualquier punto de la línea de acción.

(Brazo de palanca.- distancia entre el centro de momentos y la línea de acción)

[ ] [ ] [ ] 2 2 2r F L MLT ML Tτ − −= ⋅ = ⋅ =Dimensiones

Unidades (SI) = Nm

Física General 3

3.3.-- Momento angular. Ecuación Momento angular. Ecuación fundamental de la rotación.fundamental de la rotación.

L r p= ×

al plano definido por y L r v⊥

dL dr dpp r r Fdt dt dt

τ= × + × = × =

sinL mrv θ=

Caso particular → Movimiento circular respecto a O

2L mr w=

2r v L mrv mr wr v

L wv w

⊥ ⇒ = =

⊥ ⎫⇒⎬⊥ ⎭

Momento angular.- El momento angular de una partícula respecto al punto O, origen de momentos, se define como el producto vectorial del vector de posición por el momento lineal

L

r

m

O v

L

w

m 90º

v

dLdt

τ=

Derivando el momento angular

0dr p v mvdt× = × =

Ecuación fundamental de la rotación:“La tasa de cambio del momento angular de una partícula es igual al

momento de la fuerza aplicada a la partícula”

¡¡OJO!! El centro de momentos ha de ser el mismo

Física General 4

4.4.-- Fuerzas Centrales.Fuerzas Centrales.

Si =0 =0 cte.dL Ldt

τ ⇒ ⇒ =

“Si el momento de una fuerza es nulo, el momento angular se conserva”

A) Partícula libre:

Si =0 0F r Fτ⇒ = × =m

v

rd

θ

O

sin cte.L mvr mvdθ= = =

“El momento angular de un partícula libre es constante”

B) Fuerza central:

0 si r F r Fτ = × =

La dirección de la fuerza pasa siempre por el origen de momentos O, ahora también origen de fuerzas.

O

F

vr

r

F“Cuando un cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza central, el

momento angular respecto al centro de fuerzas se conserva”

Física General 5

Trabajo y EnergTrabajo y Energíía a

Física General 1

1. Trabajo y Potencia.2. Concepto y clases de energía.3. Energía cinética. 4. Aplicaciones. Fuerzas elásticas. Fuerza

constante.5. Fuerzas conservativas. Energía potencial.6. Superficies equipotenciales.7. Conservación de la energía mecánica.8. Fuerzas no conservativas. Disipación de la

energía

1. Trabajo y Potencia.1. Trabajo y Potencia.Trabajo.- Concepto desarrollado en el siglo XIX, (Joule, Kelvin, Mayer,...)Intuitivamente asociado a esfuerzo, coste, gasto, …

“Se define el trabajo elemental efectuado por una fuerza como el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.”

B B

TA AW F dr F ds= ⋅ =∫ ∫

cos cos TdW F dr Fds F ds F dsθ θ= ⋅ = = =

dW F dr= ⋅

Trabajo total de A a B

1dr

1FA

B

4F3F

2F

3dr 4dr

2dr

dr

F

r

A

A’

θ

FT

O

(integral curvilínea, depende de la trayectoria)

Consecuencias:

a) Si 0 0 Sostener un peso

b) Si 0 Fuerza centrípeta, mov. horizontal

dr W

dr F W

= → =

⊥ → =

Dimensiones [ ] [ ] [ ] 2 2 2W F r MLT L ML T− −= ⋅ = =

Unidades (SI) 1 Joule ≡ 1 N × 1 mOtros 1 ergio ≡ 1 dina × 1 cm = 10-7 Joules

1 eV ≡ 1 e- a un voltio = 1.6 × 10-19 Joules1 cal = 4.18 Joules1 Kwatt × hora = 3.6 × 106 Joules

Física General 2

1. Trabajo y Potencia.1. Trabajo y Potencia.Potencia.- Intuitivamente trabajo intenso y rápido. Cuan rápidamente se realiza un trabajo.

“Se define la potencia instantánea como la derivada del trabajo respecto al tiempo.”

dW F drP F vdt dt

⋅= = = ⋅

dWPdt

=

[ ] [ ][ ]

2 22 3W ML TP ML T

t T

−−= = =Dimensiones

Física General 3

Unidades (SI) 1 watt ≡ 1 Joule / 1 sOtros 1 CV ≡ 746 watts

2. Energ2. Energíía.a.La experiencia nos dice que podemos alterar o modificar los sistemas para realizar un trabajo.

•Levantar un martillo.•Explosionar una cantidad de pólvora.•Crear un salto de agua.•El viento,…

“Se define la energía de un cuerpo o sistema como la capacidad que tiene para realizar un trabajo, midiéndose

ésta por el trabajo que es capaz de realizar.”

Física General 4

Según cómo se realice y el tipo de fuerza que interviene se habla de un tipo de energía u otra:

•Energía cinética → cambio de velocidad•Energía potencial → cambio de la posición•Energía eléctrica → fuerzas eléctricas•Energía magnética → fuerzas magnéticas•Energía química → enlaces químicos

Unidades y dimensiones iguales a las del TRABAJO

(SI) 1 Joule ≡ 1 N × 1 mOtros 1 ergio ≡ 1 dina × 1 cm = 10-7 Joules


3.3.-- EnergEnergíía cina cinééticaticaRelacionada con el cambio de velocidad, supongamos una partícula de masa m sujeta a la fuerza F que se desplaza de A a B ¿Cuál es el trabajo que realiza?

Energía cinética:

Consecuencia.- Si la fuerza es nula, la velocidad es constante y la energía cinética también

212

T mv=

A B B AW T T T→ = ∆ = −

Bv

A

B

Ar

Av

Br

O

dvdW F dr m dr mvdv mvdvdt

= ⋅ = = =

2( ; 2 2 )v v v vdv vdv vdv vdv= ⋅ = + =

2

2 2

21 1 2 2

BB B B

A A AA

B A

vW dW m vdv m vdv m

W mv mv

= = = =

= −

∫ ∫ ∫

Cualquiera que sea la trayectoria y la fuerza que actúa sobre la partícula, el trabajo efectuado por la fuerza es igual al cambio de su energía cinética

0 cte. cte.iF F v T= = → = → =∑

Ejemplo.- Un coche que se mueve a velocidad constante no realiza ningún trabajo

0 0motor rozamiento motor rozamientoF F F W W W= + = ⇒ = + =

Física General 5

4.4.-- Aplicaciones.Aplicaciones.

FUERZAS ELASTICAS

A) Trabajo para estirar o comprimir un muelle

mF kx= −

2 2

0 00

Equilibrio 0Estiramos

1 12 2

mx

x x

xF F kx

W Fdx kxdx k x kx

→ =→ = − =

= = = =∫ ∫

Física General 6

Experiencia → la fuerza que hacemos para deformar un muelle es proporcional a la deformación (Ley de Hooke)

B) Energía cinética de una masa ligada a un muelle

( ) ( )2 2 2

Equilibrio 0; 0

Desplazamiento ; 0

Fuerza ejercida por el muelle sobre

1 12 2

xx x

a aa

t x

x a v

m F kx

W Fdx kx dx k x k a x

→ = =

→ = =

→ = −

= = − = − = −∫ ∫

Consecuencias:1) T ≥ 0 → x ≤ a2) Si x = ± a → T = 0; Si x = 0 → T =Tmax = (1/2)ka2


FUERZAS CONSTANTES

Si cte.F =

( )B B B

B A ABAA AW Fdr F dr F r F r r F r= = = ⋅ = ⋅ − = ⋅∫ ∫

El trabajo es independiente de la trayectoria que une los puntos A y B

Br

ArB Ar r−

F

mB AW F r F r= ⋅ − ⋅

Física General 7

Física General 8

5.5.-- Fuerzas conservativas.Fuerzas conservativas.EnergEnergíía potencial.a potencial.

1 2 3

1 2 0B A

A A A B

W W W

W F dr F dr W W→

= = =

= ⋅ + ⋅ = − =∫ ∫

0W F dr= ⋅ =∫

Fuerza conservativa: ”Fuerza tal que el trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido sino solamente de las posiciones inicial y final.”Fuerza conservativa: ”Fuerza tal que el trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido sino solamente de las posiciones inicial y final.”

(1)

(2)

(3)A

B

Ar

Br

“El trabajo hecho por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre nulo”“El trabajo hecho por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es siempre nulo”

A

W=0

“Energía potencial asociada a una fuerza conservativa es la capacidad de realizar un trabajo con la fuerza conservativa.”“Energía potencial asociada a una fuerza conservativa es la capacidad de realizar un trabajo con la fuerza conservativa.”

“El trabajo realizado por una fuerza conservativa al desplazarse es igual al incremento de la energía potencial cambiado de signo”


( )2

2 1 1 21W F dr U U U U U= ⋅ = −∆ = − − = −∫

Definición basada en el cambio de energía potencial,→ el ORIGEN DE POTENCIALES es ARBITRARIO y se escoge donde sea más conveniente

1 2 1 2W U U→ = −

Física General 9

6.6.-- Superficies equipotencialesSuperficies equipotenciales

2

1U F dr∆ = − ⋅∫

¿Cuál es la relación entre la fuerza y la energía potencial?

dU F dr= − ⋅( , , )

x y z

U U x y zU U UdU dx dy dzx y z

F dr F dx F dy F dz

=

∂ ∂ ∂ ⎫= + + ⎪∂ ∂ ∂ ⎬⎪⋅ = + + ⎭

; ; x y zU U UF F Fx y z

∂ ∂ ∂= − = − = −

∂ ∂ ∂

F U= −∇Gradiente de una función :

i j kx y zφ φ φφ ∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

”La fuerza es el gradiente de la energía potencial cambiado de signo””La fuerza es el gradiente de la energía potencial cambiado de signo”

Superficie equipotencial: ”Superficie en la que todos sus puntos tienen el mismo valor de la energía potencial.”Superficie equipotencial: ”Superficie en la que todos sus puntos tienen el mismo valor de la energía potencial.”

A

BU=cte.

Ar Br

• El trabajo para ir de un punto a otro es siempre nulo

0A B A BU U W →− = =

• Si A y B están muy próximos:

0 0

dUFdr F dr

dU Fdr

= ⎫⇒ − = ⇒ ⊥⎬

= − ⎭

“La fuerza es perpendicular a las superficies equipotenciales y dirigida hacia valores menores de la energía potencial”“La fuerza es perpendicular a las superficies equipotenciales y dirigida hacia valores menores de la energía potencial”

Física General 10

7.7.-- ConservaciConservacióón de la energn de la energíía a mecmecáánicanica

( ) 0E T U∆ = ∆ + =

Energía mecánica: ”La energía mecánica total de una partícula es la suma de sus energías potencial y cinética.”Energía mecánica: ”La energía mecánica total de una partícula es la suma de sus energías potencial y cinética.”

S 0

iempre:

Si es conservativa

W TT U

F W U

⇒ = ∆ ⎫⇒ ∆ + ∆ =⎬

⇒ = −∆ ⎭

”Cuando las fuerzas son conservativas la energía mecánica total se conserva.””Cuando las fuerzas son conservativas la energía mecánica total se conserva.” (razón por la que se les denomina

fuerzas conservativas)

1 2 1 1 2 20 E E E T U T U∆ = ⇒ = ⇒ + = +

Fuerzas conservativas unidimensionales

• Equilibrio (F=0):• máximos: equilibrio inestable • mínimos: equilibrio estable•U=cte. : equilibrio indiferente

0dUFdx

= − =

( ) dUU x Fdx

⇒ = −

• E=cte. → T = E – U ≥ 0

A BE

A’ B’x

U(x)

T

U

• Puntos de retorno.- límites del movimiento (A’,B’)

• Fuerza dirigida hacia abajo• Barreras de potencial

Ejemplo.- fuerzas atómicas e intermoleculares

Física General 11

8.8.-- Fuerzas no conservativas. Fuerzas no conservativas. DisipaciDisipacióón de la energn de la energíía.a.

La fuerza de rozamiento no es conservativa, al oponerse al movimiento, el trabajo que realiza depende de la trayectoria

0W F dr= ⋅ ≠∫Fuerzas no conservativas

Supongamos que la fuerza total es la resultante de las fuerzas conservativas y no conservativas:

( )

C NC

C NC C NC C NC

C

F F F

W F dr F F dr F dr F dr W W

W TW U

= +

= ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = +

= ∆ ⎫⎬= −∆ ⎭

∫ ∫ ∫ ∫

NCW T U E= ∆ + ∆ = ∆

”El trabajo realizado por las fuerzas NO conservativas se invierte en aumentar/disminuir la energía mecánica total del sistema””El trabajo realizado por las fuerzas NO conservativas se invierte en aumentar/disminuir la energía mecánica total del sistema”

La energía mecánica ya no es constante sino que decrece (aumenta) si el trabajo WNC es negativo (positivo).

• Las interacciones fundamentales de la naturaleza son conservativas• Las fuerzas de rozamiento, son fuerzas estadísticas resultado de muchas interacciones individuales entre moléculas. Aunque individualmente la interacción es conservativa, el efecto macroscópico no lo es.

InteracciInteraccióón Gravitatorian Gravitatoria

1. Leyes de Kepler.2. Ley de Gravitación Universal de Newton.3. Masa inercial y masa gravitatoria.4. Energía potencial gravitatoria.5. Movimiento orbital.6. Campo y potencial gravitatorio.7. Campo y potencial creado por un cuerpo

extenso.8. Velocidad de escape.9. Gravedad en la superficie terrestre.

Física General 1

1.1.-- Leyes de Leyes de KeplerKepler

El movimiento de los cuerpos celestes siempre ha intrigado a la humanidad.

Los griegos introducen el modelo Geocéntrico, la Tierra es el centro del Universo y el resto de cuerpos celestes giran a su alrededor.

Tolomeo (siglo II), tras observaciones de mayor precisión, propone modelo de ciclos y epiciclos para explicar el extraño movimiento de algunos planetas.

En el siglo XVI, Copérnico propone el modelo Heliocéntrico, los planetas giran alrededor del sol.

La idea de Copérnico y las cuidadosas medidas realizadas por Tycho Brahe llevan a Kepler (1571-1630) a formular sus leyes.

Física General 2


Primera Ley de Kepler.- Los planetas describen órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos.

Física General 3

Cónica con excentricidad:

F1 F2

ab r1r2

Elipse

1

0 (circunferencia)1 (recta)

M m

M m

r rr r

ε

εε

−= <

+= →= →

La Tierra:6

6

Perihelio: 147.2 10 km0.016

Afelio: 152.1 10 kmε

⎫× ⎪⇒ =⎬× ⎪⎭

Segunda Ley de Kepler.- El vector de posición respecto al Sol barre áreas iguales en tiempos iguales (Ley de las áreas).

Velocidad areolar = constantePerihelio → Movimiento más rápidoAfelio → Movimiento más lento

Tercera Ley de Kepler.- El cuadrado del periodo de revolución de cualquier planeta alrededor del Sol (P) es proporcional al cubo de la distancia del planeta al Sol.

2 3P ka=

Física General 4

3ª Ley.- Si la órbita es circular:

2ª Ley.- La velocidad areolar constante → Fuerzas centrales

2.2.-- Ley de GravitaciLey de Gravitacióón Universal de n Universal de NewtonNewton

¿Qué podemos deducir de estas tres leyes experimentales?

22 2 2 2

2 3 2

2 4 4 4 1c

v m r m r m r mF mr r P P kr k r

π π π π⎛ ⎞= = ⋅ = = = ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

plano elipsecte.

2 cte.

L r p r mv LLdr dr dAL r p r mv r m m r m

dt dt dt

⎫= × = × → ⊥⎪⇒ =⎬

= × = × = × = × = = ⎪⎭

( )1 1 cte.2 2

dA drdA r dr rdt dt

⎛ ⎞= × ⇒ = × =⎜ ⎟⎝ ⎠

1ª Ley.- Las órbitas son elípticas, es decir cerradas → Fuerzas atractivas

¡Fuerza Central!Si cte.L =

a=r

2 rvPπ

=

La fuerza centrípeta será:

2 3 3P ka kr= = 2

1Fr

∝

O

P

P’

dθθ

dr

r


Primera Ley → Fuerzas atractivasSegunda Ley → Fuerza es centralTercera Ley → Proporcional a 1/r2

Además, si la interacción gravitatoria es una propiedad de la materia, la fuerza seráproporcional a la cantidad de materia

Física General 5

F Mm∝

LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

2 3

Mm MmF G u G rr r

= − = −

G ≡ Constante universal de gravitación G= 6.67×10-11 Nm2/kg2

Física General 6

Masa gravitatoria. (mg)- Propiedad de la materia que caracteriza la intensidad de la interacción gravitatoria.

Masa inercial. (mi)- Propiedad de la materia que relaciona la fuerza con la aceleración producida en un cuerpo.

3.3.-- Masa inercial y gravitatoriaMasa inercial y gravitatoria

F ma=

2

MmF Gr

=

¿Son iguales?

Experiencia Supongamos que cada cuerpo posee una masa gravitatoria, mg, que responde a la gravitación y la masa inercial, mi, que determina su respuesta a las fuerzas. Así, para una manzana:

( ) ( )( )

( ) 2( )( )2

( )( )

( )

i manzana manzanag manzanaT

manzanaTT i manzanag manzana

T

g manzanamanzana

i manzana

F m amMa GM R mF G m

Rm

a gm

⎫= ⋅⎪ ⇒ = ⋅⎬

= ⋅ ⎪⎭

= ⋅

( )( ) 2

( )

g balaTbala

T i bala

mMa GR m

= ⋅

Si las relaciones mi/mg no fueran iguales, manzana y bala caerían con aceleraciones distintas. Sin embargo, los experimentos realizados confirman que la aceleración es la misma en cualquier tipo de objeto. Escogiendo adecuadamente las unidades mi = mg

MASA INERCIAL = MASA GRAVITATORIAMASA INERCIAL = MASA GRAVITATORIA

4.4.-- EnergEnergíía potencial gravitatoriaa potencial gravitatoria

Fuerza gravitatoria:

2

MmF G ur

= −

Se trata de una fuerza central depende solo de la distancia

v

FM

mO Aru

Fuerza conservativa → La energía potencial se puede expresar como:

( )2 2

2 2

2 1 21 1

22

2 1211 1 2

2 2

1

rr r rdr rdr dr dr udr dr

r

MmU U U Fdr G udrr

dr GMm GMmU GMm GMm U Ur r r r

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

∆ = − = − = − −

⎡ ⎤∆ = = − ⇒ − = −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

∫

Potencial gravitatorio:Origen de potenciales arbitrario:

GMmUr

= −1 10 en U r= = ∞

Energía Total:(Sistema de referencia asociado ligado a M)

212

MmE T U mv Gr

= + = −

Física General 7

5.5.-- Movimiento OrbitalMovimiento OrbitalCaso particular Movimiento CIRCULAR:

2

2C Gmv MmF F G

r r= ⇒ =

r

CF

M

m(Tierra)gF

Velocidad orbital es constante:

cte.GMvr

= =

La energía total es:

21 1 112 2 2 0!!!!2

GM MmT mv m G Mmr r E T U GMm rU G

r

⎫= = = ⎪⎪⇒ = + = − <⎬⎪= −⎪⎭ ¡¡ Negativa!!!

Si la energía se conserva, en el infinito, la energía potencial es nula y solo tendría energía cinética negativa!!!

¡¡IMPOSIBLE!!

“En todas las órbitas cerradas la energía TOTAL es NEGATIVA”

Significado.- La energía cinética no es suficiente en ningún punto para llevar la partícula al infinito y vencer la fuerza gravitatoria

Física General 8

5.5.-- Movimiento OrbitalMovimiento OrbitalSi representamos la energía potencial en función de la distancia distinguimos tres casos :

1) E<0 .- No se puede alcanzar el infinito, pues la energía cinética sería negativa → trayectoria cerrada ELIPSEtrayectoria

2) E>0 .- Se puede alcanzar el infinito, → la trayectoria es abierta, HIPERBOLA

3) E=0 .- Se puede llegar al infinito pero con velocidad nula →PARABOLA

Física General 9

5.5.-- Movimiento OrbitalMovimiento OrbitalAPLICACIÓN: Satélite artificial

( )20

12

MmE mv GR h

= −+


(v0 → Velocidad de inserción)

Elipse:20

2GMvR h

<+

20

102

MmE mv GR h

< ⇒ <+

Circulo:

CGMvR h

=+

21 1 12 2 2c

M mT U m v GR h

− = ⇒ − = −+

Física General 10

6.6.-- Campo y potencial gravitatorioCampo y potencial gravitatorio

2

MmF G ur

= −Ley de gravitación:

Intensidad del Campo gravitatorio:- La fuerza con que en cada punto del espacio se ejerc sobre la unidad de masa.

Física General 11

Unidades

F m= Γ2

F MG um r

Γ = = −

[ ] [ ][ ]

22 (aceleración)

F MLT LTm M

−−Γ = = =Dimensiones

2 2m/s ; F/m N/kgLT − ⇒ ⇒

Caso particular: en las proximidades de la superficie terrestre

F m mg g= Γ = ⇒ = Γ

Si existen varias masas:

1 1 1 1

2 2 2 2

i i

M F m

M F m F F m m

⎫→ Γ → = Γ⎪

→ Γ → = Γ ⎪ = = Γ = Γ⎬⎪⎪⎭

∑ ∑ iΓ = Γ∑

El campo total es la suma vectorial de los campos individuales

M1

M3

M2r1r2

r3

m

Γ3

Γ2Γ1


GMr

φ = −

[ ] [ ][ ]

[ ] 2 22 2

U F L ML T L Tm M M

φ−

−= = =

Potencial gravitatorio:- La energía potencial por unidad de masa colocada en dicho punto.

Um

MmU Gr

φ ⎫= ⎪⎪⎬⎪= −⎪⎭

Dimensiones

2 2m /s ; Julios/kgUnidades

Si existen varias masas: M1, M2,…

1 21 2

1 2

nn

n

G M G M G Mr r r

φ φ φ φ= + + + = − − + −

i

i

MGr

φ = − ∑

¿Qué relación existe entre Campo y potencial gravitatorio?

El campo gravitacional es el gradiente cambiado de signo del potencial gravitatorio

; ; x y zx y zφ φ φ∂ ∂ ∂

Γ = − Γ = − Γ = −∂ ∂ ∂ φΓ = −∇

Física General 12

6.6.-- Campo y potencial gravitatorioCampo y potencial gravitatorioRepresentación gráfica

Líneas de fuerza: Se definen de tal manera que el campo es tangente a la línea que pasa por el punto. Además, la densidad de líneas es proporcional a la intensidad del campo.

Las líneas de fuerza son perpendiculares a las superficies equipotenciales

Superficies equipotenciales: Uniendo los puntos donde el campo es el mismo se obtienen las superficies equipotenciales.

Física General 13

7.7.-- Campo creado por un cuerpo Campo creado por un cuerpo extensoextenso

Fuentes puntuales:Las formulas anteriores son válidas cuando los tamaños de los cuerpos son pequeños en comparación con las distancia que los separan 2

GMr

G M ur

φ = −

Γ = −

Fuentes extensas:

Para fuentes extensas, se han de sumar las contribuciones de losdiferentes elementos de masa que forman el cuerpo.

Física General 14

r P

dM=ρdV

Un elemento dM producirá en P un campo y un potencial dados por:

2

GdMdr

GdMd ur

φ = −

Γ = −

ρ(x,y,z)

Para fuentes extensa, se han de sumar las contribuciones de los diferentes elementos de masa que forman el cuerpo.

3 ; = V V V V

dM dMd G d G rr r

φ φ= = − Γ Γ = −∫ ∫ ∫ ∫

φΓ = −∇Conocido el potencial es más sencillo obtener el campo mediante la relación:


24sM

aρ

π=

;

;

GM r ar

GM r aa

φ

φ

= − >

= − <

A) Campo creado por una esfera hueca (corteza esférica)

Supongamos una esfera hueca de masa M, radio a y densidad constante, dividida en bandas circulares elementales.

Potencial :

Densidad superficial:

22 ;

0 ;

rGM u r ar

r a

Γ = − >

Γ = <

Campo:

MGa

φ = −

Ora

~1/r

Φ

Ora

~1/r2GM/a2

ΓΓ = 0

Γ = 0Para puntos interiores el potencial es constante y el campo nulo.Para puntos exteriores el campo y el potencial son idénticos alde una partícula con la misma masa situada en el centro de la esfera.

Física General 15

Física General 16

7.7.-- Campo creado por un Campo creado por un cuerpo extensocuerpo extenso

B) Campo creado por una esfera maciza

Supongamos una esfera maciza de masa M, radio a y densidad constante, dividida en capas circulares elementales.

a) Puntos exteriores: (r > a)

2 2 iG GMM u ur r

Γ = − = −∑ Como si toda la masa estuviera concentrada en O

b) Puntos interiores (r < a)Las capas exteriores a P no contribuyen pues el campo en el interior es nuloLas capas interiores a P si contribuyen como en el caso anterior

3 rGMr u

aΓ = −in t

2

G M ur

Γ = −

Oa

Inversa ~1/r2

del cuadrado

ΓLineal ~r3

int int3

int 3

3

43

43

M V rrM MM a

a

ρ ρ π

ρπ

⎫= = ⎪⎪⇒ =⎬= ⎪⎪⎭

8.8.-- Velocidad de escapeVelocidad de escape¿Con qué velocidad mínima hemos de lanzar un cuerpo en la superficie de

la Tierra para que “escape” del campo gravitatorio terrestre

“Abandonar” el campo gravitatorio significa llegar al infinito donde ( ) 0U r = ∞ =

0E T U∞ ∞ ∞= + =Velocidad mínima tal que en el infinito la velocidad sea nula ( ) 0T r = ∞ =

Como la energía es constante, en la superficie terrestre será también nula:

21( ) 02

TT e

T

M mE r R T U mv GR

= = + = − =

Física General 17

02 2 11.2 km/sTe T

T

GMv g RR

= = =

¡¡ La velocidad de escape NO depende de la masa!!!!

2 2.3 km/sLuna Le

L

GMvR

= =

Aplicación: Estudiar la posibilidad de que los gases de la atmósfera escapen de la gravedad terrestre. En equilibrio térmico la energía cinética es proporcional a la temperatura:Los gases “pesados” (N2, O2, CO2), quedan atrapados, los “ligeros”(H,He) tienen más posibilidades de escapar.En la luna todos lo gases escapan, no hay atmósfera:

cE T∝

9.9.-- Gravedad en la superficie Gravedad en la superficie terrestreterrestre

MmU Gr

= −

( )

( )

T TT

T TT

MmR U R GR

MmR h U R h GR h

→ = −

+ → + = −+

Ph

RT r

La energía potencial en un punto P:

Así pues:

¿Cuál es la energía potencial en h si suponemos que U(h=0)=0?

( ) ( )2

0 0 0 0

1 1( ) ( ) ( )

1( ) 11

T TT T T T

TT

T T T T

T

Mm MmU h U R h U R G G GMmR h R R R h

h R hU h g R m mg h mg h mg hR R h R h Rh

R

⎛ ⎞= + − = − + = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

⎛ ⎞= = = −⎜ ⎟+ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠+⎜ ⎟

⎝ ⎠20 Tg R GM=

0( )U h mg h=Si Th R( ) 1 21 1x x x−+ = − + +

6370 km1.5 %

100 kmT

T

R hh R

=⎧ ⎫⇒⎨ ⎬

⎩ ⎭∼

¿Y la fuerza?

0; PesodUF U F m gdh

= −∇ = − = − ≡

Física General 18

Física General 19

( ) ( )2

03 3 3

TT T

T T T

GM GM g Rg r R p R pR R R

Γ ≡ = = − = −


El campo gravitatorio:

( ) ( )

220 0

0 02 2 221 1

1

T

T TT T

T

GM g R g h hg g gR RR h R h h

R

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞

Γ ≡ = = = = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 2 21 1 2 3x x x−+ = − + +

( )70 0 0

21 1 3.13 10T

hg g g h gR

−⎛ ⎞= − = − × ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

¿Y en el interior de la Tierra? pRT

r

( )70 0

1 1 1.57 10T

pg g g pR

−⎛ ⎞= − = − × ⋅⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sistemas de partSistemas de partíículas (I)culas (I)

1. Sistemas de partículas. Ecuaciones del movimiento.

2. Momento lineal de un sistema de partículas.

3. Centro de masas.4. Sistema de referencia centro de masas.5. Momento angular de un sistema de

partículas.6. Momento angular en el sistema de centro

de masas.7. Energía cinética de un sistema de

partículas.8. Masa reducida.

Física General 1

Física General 2

1.1.-- Sistema de PartSistema de Partíículasculas

int ext exti i i i ij

j i

F F F F F≠

= + = +∑

0ij ji

ii

F F

F

= −

=

Sistema de partículas.- Conjunto de partículas limitadas por una superficie cerrada (real o no) que las separa del “mundo exterior”.

Movimiento del sistema:

1 2

1 2

1 2

, , , , ,, , , , , , , 1,2, ,

, , , , ,

i n

i n i i i

i n

m m m mr r r r m r F i n

F F F F

⎫⎪⇒ =⎬⎪⎭

,

fuerza que ejerce sobre 0

fuerza que ejerce sobre ij

iji jji

F j iF

F i j

⎫→ ⎪⇒ =⎬→ ⎪⎭

∑

1r

1m1extF

jrir

im

jm

nm

extjF

extiF

ijFjiF

Cerrados.- Sin intercambio de masa Abiertos.- Con intercambio de masa

Fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan sobre la partícula i, interiores y exteriores

Fuerzas interiores

2

2

( ) 1,2, , ii id r tm F i n

dt= =

Sistema de n ecuaciones diferenciales de 2º orden acopladas.Existe solución y es única.Difícil resolución analítica

Alternativas:Recurrir a Teoremas generales (principios de conservación)Introducir nuevas magnitudes.Utilizar modelos simplificados.

2.2.-- Momento lineal del sistemaMomento lineal del sistemaSistema de n partículas

ii i i i

dpp m v Fdt

= ⇒ =

1 2int

1 2

1 2

, , , , ,, , , , ,

, , , , ,

i next ext

i n i i i i ijj i

i n

m m m mr r r r F F F F F

F F F F≠

⎫⎪ = + = +⎬⎪⎭

∑

El momento lineal de cada partícula será:

1

n

ii

P p=

= ∑Momento total del sistema

¿Qué fuerza actúa sobre el sistema de partículas?

1 1 1 1

1 , 1

n n n nexti

i i i iji i i i j

n next ext ext

i ij ii i j i

dP d dpp F F Fdt dt dt

dP F F F Fdt

= = = =

= =

⎛ ⎞⎛ ⎞= = = = +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + = =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

1

next ext

ii

dP F Fdt =

= =∑“La variación del momento lineal de un sistema de partículas es igual a la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema independientemente de las fuerzas interiores”

0 0 cteext dPSi F Pdt

= ⇒ = ⇒ =

“Cuando las fuerzas exteriores se anulan, la cantidad de movimiento del sistema es constante”

Física General 3

3.3.-- Centro de masasCentro de masas

1 216 uam; 1 uamcos( / 2)O H

H

m m m mx l ϕ

= = = ==

0

0CM

CM

xy

= ⎫⎬= ⎭

i ii

CMi

i

i ii

CMi

i

i ii

CMi

i

m xx

m

m yy

m

m zz

m

⎫⎪= ⎪⎪⎪⎪⎪= ⎬⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪⎭

∑∑

∑∑

∑∑

Ejemplos:

Centro de masas de un sistema de partículas es el punto del espacio cuya posición es la media ponderada con las masas de las posiciones de todas las partículas

1 1

1

n n

i i i ii i M M

C M n

Mii

m r m r rdm r d vr

M Mdmm

ρ= =

=

= = = =∑ ∑ ∫ ∫

∫∑

En coordenadas cartesianas →

A) Molécula de CO2 B) Molécula de H2O

105º

H

O

H

O

C

O0.1

02


2 cos( / 2) 0.00692

0

HCM

O H

CM

m lxm m

y

ϕ ⎫= = ⎪+ ⎬⎪= ⎭

¿Velocidad del centro de masas?

CMP Mv=i i iCMCM

i

m v pdr Pvdt m M M

= = = =∑ ∑∑

“El momento lineal de un sistema de partículas es el mismo que tendría una partícula con la masa total del sistema moviéndose a la velocidad del centro de masas

Física General 4

3.3.-- Movimiento del centro de masasMovimiento del centro de masas“El centro de masas se mueve como una partícula en la que se concentra toda la masa del sistema y sobre la que actúa la resultante de todas las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema (independientemente de las fuerzas interiores)”.

ext

extCM

CM

dPFF Madt

P Mv

⎫= ⎪ ⇒ =⎬

⎪= ⎭

Principio de conservación

0 .extCMSi F v cte= ⇒ =

Física General 5

Ejemplos

El centro de masas estará en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme

Aplicación.- Conocido el movimiento del centro de masas, utilizarlo como sistema de referencia para analizar el movimiento debido a las fuerzas interiores

Física General 6

4.4.-- Sistema de referencia centro de Sistema de referencia centro de masasmasas

Sistema centro de masas.- Sistema de referencia centrado en el CM y moviéndose con él

O

mi

irCMr

*ir

SL

CM

¡¡ Puede ser NO inercial !!

* * *

*

i

sumando para todas las partículas:

0

i CM i i i CM i i i i i CM

i i i i CM i CMi i i

r r r r r r m r m r m r

m r m r m r m r Mr

= + ⇒ = − ⇒ = −

= − = − =∑ ∑ ∑ ∑

i ii

CM

m rr

M=∑

* 0i ii

m r =∑

Derivando respecto al tiempo:* * * 0i i i

i i

m v p P= = =∑ ∑

El momento lineal de un sistema en CM siempre es nuloEl momento lineal de un sistema en CM siempre es nulo

Sistema Laboratorio Sistema Centro de masas

m1 m2

CM×

m1 m2

CM×

* 0CMv =

1 1 2 2 0P m v m v= + ≠ * * *1 1 2 2 0P m v m v= + =

5.5.-- Momento angular de un sistema Momento angular de un sistema de partde partíículas.

Física General 7

culas.; ; dLL r p r F

dtτ τ= × = × =

1 2

1 2

1 2

, , , , ,, , , , ,

, , , , ,

i n

i n

i n

m m m mr r r r

F F F F

⎫⎪⎬⎪⎭

Una partícula:

1 1 1 1

1 1 1 1

n n n nexti

i i i i i iji i i i j i

n n n next ext ext

i i i ij ii i j i

dL dL r F r F Fdt dt

r F r F

τ

τ τ

= = = = ≠

= = = =

⎛ ⎞= = = × = × + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

= × + × = =

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑∑ ∑

Energía Total:

Un sistema de partículas:


j i

F F F F F≠

= + = +∑

Momento angular del sistema.-Suma vectorial de los momentos angulares de cada partícula:

Momento total de las fuerzas del sistema.- Suma vectorial de los momentos de cada partícula:

1 1

n n

i i ii i

L L r p= =

= = ×∑ ∑1 1

n n

i i ii i

r Fτ τ= =

= = ×∑ ∑

Derivando respecto al tiempo:

Momento fuerzas exteriores

Momento fuerzas interiores es nulo

1 11r F× 1 12 1 13

2 21 2 22

r F r F

r F r F

+ × + × +

× + × 2 23

3 31 3 32 3 33

r F

r F r F r F

+ × +

× + × + ×

( ) ( ) ( )1 2 12 1 3 13 2 3 23 0r r F r r F r r F

+ =

− × + − × + − × + =

Física General 8

5.5.-- Momento angular del sistemaMomento angular del sistemaLey fundamental de la dinámica de rotación:

1 1

n next ext ext

i i ii i

dL r Fdt

τ τ= =

= × = =∑ ∑“La variación del momento angular de un sistema de partículas es igual al momento total de las fuerzas exteriores aplicadas a las partículas, independientemente de las interacciones entre ellas (fuerzas interiores).”

¡¡ OJO!! El centro de momentos ha de coincidir

Consecuencias:

0 cte.dL Ldt

= ⇒ =Si NO hay fuerzas exterioresSi las fuerzas son centrales

Si en una parte del sistema cambia el momento angular L (debido a las fuerzas interiores), en otra parte del sistema habrá otro cambio de L igual y de sentido contrario

Ejemplos:

Desintegraciones nucleares: si e- + ν emitidos con cierto L, el núcleo emisor cambia su L.

Emisión de radiación electromagnética por un átomo/molécula, cambia L en el átomo emisor para que se conserve.

* * * *

1 1 1 1 1

* *

1 1

n n n n n

i i i i i CM CM i CM i CMi i i i i

n n

i i CM i CMi i

L L r p m r v r p r m v

r p r m v

= = = = =

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = × + × + × + × =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞= × + × =⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑* CML L= +

6.6.-- Momento angular en centro de Momento angular en centro de masas.masas.

Introducimos el sistema de referencia centro de masas:* * *

i CM i i i i CM i i i i CM ir r r m v m v m v p m v p= + ⇒ = + ⇒ = +

( ) ( )* *

* * * *

=

= i i i i CM i i CM

i i i i CM CM i CM i CM

L r p r r p m v

r p r m v r p r m v

= × = + × +

× + × + × + ×

* * 0i CMi

p P= =∑

O

mi

irCMr

*ir

SL

CM El momento angular de cada partícula en el sistema laboratorio será:

*

0i i i i i CM

CM CM

m r m r m r

Mr Mr

= − =

= − =

∑ ∑ ∑

Sumando para n partículas:

Momento angular interno (spin).- Momento angular del sistema respecto al centro de masas del propio sistema. Propiedad del sistema independiente del observador y válida aunque el centro de masas esté en movimiento.

* * *

1

n

i ii

L r p=

= ×∑

Momento angular orbital.- Momento angular de una partícula con toda la masa del sistema que se mueve con la trayectoria del centro de masas

CM CM CML r Mv= ×

Física General 9

Física General 10

6.6.-- Momento angular en centro de Momento angular en centro de masasmasas

( )

*

* *

extCM

ext ext ext ext exti i i CM i i i CM i

i i i i

dL dL dLdt dt dt

r F r r F r F r F

τ

τ

= + =

= × = + × = × + ×∑ ∑ ∑ ∑

Ejemplos:

Además:

• Pelota girando• Tierra alrededor del Sol• Electrón en un átomo

Variación del Momento Variación del Momento angular orbital angular interno

extCMCM

dL r Fdt

= ×*

*

1

next

i ii

dL r Fdt =

= ×∑

“La variación del M.A. orbital es igual al momento de las fuerzas exteriores aplicadas al centro de masas.”

“La variación del M.A. interno es igual al momento total de las fuerzas exteriores respecto al centro de masas.”

Física General 11

7.7.-- EnergEnergíía cina cinééticatica21 ;

2T mv W T= = ∆

intexti

i

T W W W W∆ = = = +∑

int= +ext ext exti i i i ij i i i ij i i i

j i i j

W Fdr F F dr F dr F dr W W≠ ≠

⎛ ⎞= + = = +⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫

Para una partícula:2

1

12

n

i ii

T m v=

= ∑Para un sistema de partículas:

Energía cinética de un sistema de partículas.- La suma de las energías cinéticas de cada partícula.

El trabajo efectuado sobre cada partícula será:.

1 1

n next ext ext

i i ii i

W W F dr= =

= =∑ ∑∫Trabajo realizado por las fuerzas exteriores

Trabajo realizado por las fuerzas interiores int int

1 1

n n n

i ij ii i j i

W W F dr= = =

= =∑ ∑∑∫El cambio en la energía cinética del sistema será igual al trabajo hecho sobre el sistema tanto por las fuerzas exteriores como por las fuerzas interiores.

En el sistema centro de masas

( )

* *

22 * *2 2 *1 1 1 12 2 2 2

i CM i i CM i

i i i i CM i i i i CM i CM i

r r r v v v

T m v m v v m v m v m v v

= + ⇒ = +

= = + = + +

Sumando para todas las partículas:

*2 2 *

* 2 * * 2 *

1 12 2

1 12 2

i i i i CM CM i ii i i i

i CM CM i CM CMi i

T T m v m v v m v

T T Mv v p T Mv v P

= = + + =

= + + = + +

∑ ∑ ∑ ∑

∑ ∑ * 212 CMT Mv= +

Física General 12

7.7.-- EnergEnergíía cina cinééticatica

La energía cinética de un sistema de partículas es igual a la suma de la energía cinética ORBITAL (una partícula con toda la masa del sistema que se mueve con el centro de masas) más la energía cinética interna (la energía cinética respecto al centro de masas).

Energía cinética orbital: Energía cinética interna:

212 CMMv * * *21

2i i ii i

T T m v= =∑ ∑

2 *12 CMT Mv T= +

Física General 13

8.8.-- Masa reducidaMasa reducida

12 21

0extF

F F

=

= −

“El movimiento relativo de dos partículas sujetas solo a su interacción mutua es equivalente al movimiento de una partícula de masa igual a la masa reducida, moviéndose bajo una fuerza igual a su interacción.

Movimiento de dos partículas aisladas,• Fuerzas exteriores nulas• Solo hay interacciones mutuas.

Movimiento relativo de dos partículas

1r

12F

21r2r

21F

XY

Z

O 21 2 1 21 2 1 21 2 1r r r v v v a a a= − ⇒ = − ⇒ = −

121 1 12 1

121 2 1 21 21

2 1212 2 21 2

2

; 1 1 1

;

Fm a F am

a a a F Fm mFm a F a

mµ

⎫= = ⎪ ⎛ ⎞⎪⇒ = − = + =⎬ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪= = ⎪⎭

1 2

2 1 1 2

1 1 1 ; m mm m m m

µµ= + =

+Masa reducida

Casos particulares

1 2 1 22

22 1 2

1

1 1 2 2

1

m m m mmm

m m mm

µµ

µ

⎧ ⇒⎪= ⎨⎪+ ⇒⎩

Sistemas de partSistemas de partíículas (II)culas (II)

1. Conservación de la energía.2. Energía propia, interna y total.3. Colisiones.4. Energía de enlace.

Física General 1

1.1.-- ConservaciConservacióón de la energn de la energíía

Física General 2

aIndependientemente de si las fuerzas son exteriores o interiores, pueden ser conservativas o no conservativas

intint int

extext ext

C NC C NCC NCi i i

C NC

C

T W WT W W W W

F F F

T W WW U

⎫∆ = + ⎪⇒ ∆ = + + +⎬= + ⎪⎭

⎫∆ = +⎬

= −∆ ⎭

( ) NCW T U T U E= ∆ + ∆ = ∆ + = ∆

El trabajo de las fuerzas NO conservativas se

invierte en incrementar la energía mecánica

total del sistema

Energía mecánica total (E) .-Suma de todas las energías cinéticas de las partículas más las energías potenciales de las fuerzas interiores y exteriores.

Teorema de conservación:

0 0 .NCSi W E E cte= ⇒ ∆ = ⇒ =

Si el trabajo de las fuerzas no conservativas es nulo, la energía

total del sistema se conserva.

Física General 3

2.2.-- EnergEnergíía propia, interna y a propia, interna y totaltotal

A) Energía PROPIA de un sistema de partículas

Si las fuerzas interiores son conservativas, la energía potencial asociada a las fuerzas interiores será de la forma:

( )int int ,ij i jU U r r= ∑Si las fuerzas interiores son están dirigidas según la recta que las une (fuerzas centrales), la fuerza y la energía potencial solo depeneden de la distancia entre las partículas, independiente del sistema de referencia (aso generalizado en la naturaleza):

( )int intij i jU U r r= −∑

El trabajo debido a las fuerzas internas será:

Energía propia de un sistema de partículas.- La suma de la energía cinética del sistema más la energía potencial interna

int intint int

intext ext

ext

W UT W U T U W

T W W

⎫= −∆ ⎪⇒ ∆ = − ∆ ⇒ ∆ + ∆ =⎬∆ = + ⎪⎭

p extE W∆ =intpE T U= +

“El trabajo de las fuerzas exteriores se invierte en variar la energía propia del sistema”

2.2.-- EnergEnergíía propia, interna a propia, interna y totaly total

Conservación de la energía propia:

(sistema aislado)

Si 0 0 .ext ext pF W E cte= ⇒ = ⇒ =

Principio de conservación de la energía:

“En un sistema aislado (fuerzas exteriores nulas) la energía propia se conserva”

B) Energía INTERNA de un sistema de partículas

* *212 i iT m v= ∑

( )int int ,ij i jU U r r= ∑Energía potencial interna

Energía cinética interna

Energía interna de un sistema de partículas.-La suma de su energía potencial interna más la energía cinética interna.

int int *E U T= +

¿Qué relación existe entre la energía interna y la energía propia?

int

2 * int 2 int2 *

1 11 2 22

p

pCM CM

CM

E T UE Mv T U Mv E

T Mv T

⎫= +⎪⇒ = + + = +⎬

= + ⎪⎭

2 int12

pCME Mv E= +La energía propia es igual a la

energía cinética orbital más la energía interna.

Física General 4


Sabemos:

2 intint 2

1122

pCM ext

CMext p

E Mv EW E Mv

W E

⎫= + ⎪ ⎛ ⎞⇒ = ∆ + ∆⎬ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪= ∆ ⎭

El trabajo de las fuerzas exteriores se invierte en aumentar la energía interna y la energía orbital

2 int1Si 0 .2

ext pCMW E Mv E cte= ⇒ = + =

Si además se trata de un sistema aislado:

0 .extCMF v cte= ⇒ =

En todo sistema aislado la energía interna permanece constante

C) Energía TOTAL de un sistema de partículas

int

int

extp ext

p

E T U UE E U

E T U

⎫= + + ⎪⇒ = +⎬= + ⎪⎭

Energía total de un sistema es igual a la energía propia más la energía potencial externa del sistema

Física General 5

3.3.-- ColisionesColisionesColisión.- Cuando dos partículas se aproximan, interaccionan entre si alterando sus movimientos produciendo intercambios de momento y energía.

No necesariamente han de entrar en contacto físico, sino que un determinado tipo de interacción ha entrado en juego

Dispersión.- Las mismas partículas antes y después del choqueEjemplo ( α + Au → α + Au)

Reacción.- Las partículas finales no son necesariamente idénticas a las inicialesEjemplo ( d + C12 → p + C13)

Física General 6

Se trata de sistemas aislados → Solo intervienen fuerzas internas

Conservación del momento lineal:

' ' ' ' ' '1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 p p p p m v m v m v m v+ = + ⇒ + = +

Conservación de la energía propia

int ' int '

int 2 2 ' int '2 '21 1 2 2 1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 2

p pantes despE E U T U T

U m v m v U m v m v

= ⇒ + = + ⇒

⇒ + + = + +

Conservación del momento angular

3.3.-- ColisionesColisionesCalor de reacción (Q).- Incremento de la energía cinética del sistema.

' int 'int intQ T T T U U U= − = ∆ = − = −∆

Reacciones

A) Colisión elástica (Q=0).- No cambian ni la energía cinética ni la energía potencial interna

B) Colisión inelástica (Q≠0):

Exoenergética (Q>0).- Aumenta la energía cinética a costa de la energía potencial interna:

Endoenergética (Q<0).- Disminuye la energía cinética y se incrementa la energía potencial interna:

int0 0T U∆ > ⇒ ∆ <

int0 0T U∆ < ⇒ ∆ >

Física General 7

Física General 8

4.4.-- EnergEnergíía de enlacea de enlaceSistema con Eint = 0.- Partículas en reposo y muy alejadas (libres)Si unimos las partículas formamos un sistema:

*int

int * int intint

int

00

00

0

TE

E T U UE

U

⎫≥⎫≥⎪ ⎪= + ⇒ ≤ ⇒⎬ ⎬

≤ ⎪⎭⎪≥ ⎭

a) Eint < 0 .- Al formar el sistema se libera energía (-Eint). Para separar las partículas hay que comunicarles una energía (-Eint).

b) Eint > 0 .- Al formar el sistema proporcionando una energía (+Eint), las partículas se separan espontáneamente liberando energía (+Eint).

int 0U <

intU

int 0U >

int 0U =

intbE U= −

Sistema no ligado

Sistema ligado

Energía de enlace.- La energía liberada al formar el sistema

int * int( )bE E T U= − = − +

Ejemplos Sistemas ligados:Protones + neutrones → NúcleosNúcleos + electrones → ÁtomosÁtomos + Átomos → Moléculas

Eb = 13.6 eV

Átomo de Hidrógeno (p+e)

Eb = 2.24 eV

Molécula de Hidrógeno (H+H)

Eb = 2.224 MeV

Deuterón (p+n)

SSóólido Rlido Ríígidogido

Física General 1

1. Sólido rígido. Rotación.2. Rotación en un plano. Momentos de inercia.3. Momento angular. Ejes principales.4. Rotación del sólido rígido.5. Equilibrio del sólido rígido.6. Energía de rotación del sólido rígido.

1.1.-- SSóólido Rlido Ríígido. Rotacigido. RotacióónnSólido rígido.- Sistema de partículas en el que la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece invariable bajo la acción de una fuerza o momento.

Física General 2

Caso particular.- Rotación alrededor de un eje fijo:

• Todos los puntos describen circunferencias en el plano perpendicular al eje: movimiento plano.

• El movimiento es el mismo en todos los planos, (sólido indeformable)

Movimiento del sólido rígido:

•Traslación.- Todos los puntos del sólido describen trayectorias paralelas entre si:

•Estudiamos el movimiento del CM.

•Resto de puntos, siempre a igual distancia

•Rotación.- Todas las partículas describen círculos alrededor de un punto (arcos infinitesimales en dt).

cte.ij i jr r r= − =

Estrategia.- Estudiar la traslación del CM y el movimiento del sólido rígido desde el sistema centro de masas: rotación alrededor del CM, puesto que las distancias son iguales.

O

mi

ir

jr

ijrmj

INDEFORMABLE

CM.Cte.

2.2.-- RotaciRotacióón en un plano. Momentos de n en un plano. Momentos de Inercia.Inercia.

Movimiento de rotación plano: Rotación de una placa delgada y rígida respecto a un eje perpendicular (OZ) con velocidad angular w

2i i iL m R w=

¿Momento angular de la partícula i ?2

i i i i i i i i i i

i i i

L R m v L R m v m R w

v w R L w

= × → = =

= × →

¿Momento angular total ? 2i i i

i i

L L m R w= = ⋅∑ ∑

Momento de inercia.- Se define Momento de inercia respecto de un eje de rotación a la cantidad:

• Por ser rígido, es constante →• Propiedad intrínseca que depende de:

la forma del sólidola distribución de masasel eje de giro

2 2

icte. cte.i i iR m R= → =∑

2

ii iI m R=∑

Momento angular del sólido rígido:

Z

OAi

L

Ri

vi

w

L Iw=

Momento de inercia para sólidos continuos:

2 2

VI R dm R dVρ= =∫ ∫

Física General 3

Teorema de Teorema de SteinerSteinerRelaciona los momentos de inercia de dos ejes paralelos , uno deellos pasa por el centro de masas

i CM iR R R∗= +

2 2 2 2i CM i CM iR R R R R∗ ∗= + + ⋅

2 2 2 2O i i i CM i i CM i ii i i i

I m R m R m R R m R∗ ∗= = + + ⋅∑ ∑ ∑ ∑

2O CM CMI MR I= +

CMO

iR∗

im

iR

El momento de inercia respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pase por el CM más el producto de la masa del sólido por el cuadrado de la distancia entre el eje y el CM

Física General 4

Momentos de inerciaMomentos de inercia

Física General 5

Esfera maciza

Esfera hueca

Varilla

Varilla

Lámina rectangular

Lámina rectangular

Cilindro macizo

Cilindro hueco

Cilindro hueco delgado

225

I MR=

223

I MR=

2112

I ML=

213

I ML=

( )2 2112

I M a b= +

213

I Ma=

212

I MR=

( )2 212 o iI M R R= +

2I MR=

3.3.-- Momento angular. Ejes principalesMomento angular. Ejes principales¿Momento angular de la partícula Ai?

Li

w

O

ir

Z

Ai

Ri vi

iθLiz

( )i i i i i i iL r m v m r w r= × = × ×

; i i i iL r v L⊥ ⇒ iw L⇒ w

En general:El momento angular NO siempre está dirigido según el eje de rotación

( )

0 0

i i i i i i i i iz i i iy i ix

ix iy iz

i i

i

i j kL r m v m x y z L m x v y v

v v v

i j kv w r w

x

= × = ⇒ = −

= × = ( ), ,0

i i

i i

wy wxy z

= − +

( ) ( )2 2 2 2iz i i i i i iL m wx wy m x y w

⎫⎪⇒ = + = +⎬⎪⎭

Sin embargo:

( )2 2 2

2

z iz i i i i ii i i

i ii

L L w m x y w m R Iw

I m R

= = + = =

=

∑ ∑ ∑

∑

La componente del Momento angular respecto del eje de rotación es Iwdonde I es el momento de inercia respecto al eje de rotación

Se demuestra:

En todo sólido rígido, independientemente de la forma, existen tres direcciones perpendiculares entre si para las cuales el momento angular es paralelo al eje de rotación. Se denominan ejes principales de inercia, y a los momentos respectivos, momentos principales de inercia.

Si el sólido rígido presenta algún tipo de simetría , los ejes de simetría son ejes principales de inercia.

Física General 6

4.4.-- RotaciRotacióón del sn del sóólido rlido ríígidogido

.extdLdt

τ= Momento angular totalMomento fuerzas externas

Lτ≡≡

Dado un sistema de partículas:

Elegir convenientemente el Origen de Momentos: Punto fijo, Centro de masas

Ejemplo.- Cuerpo sometido solo a la acción de la gravedad, gira con momento angular constante → Unica fuerza externa el peso → Actúa sobre el CM.

Si la rotación es alrededor de un eje principal:

Si el momento de las fuerzas externas es nulo, la velocidad angular de un sólido rígido alrededor de un eje principal es constante

0 cte.extCMO CM Lτ≡ → = → =

( ) =ext d IwdL dwI Idt dt dt

τ α= = =

extIα τ=

0 ( 0; o fuerzas centrales) =0 cte.ext extF wτ α= = ⇒ ⇒ =

¡Atención! Si el cuerpo gira alrededor de un eje NO principal, aunque el momento total sea constante , la velocidad angular no lo es.

cte. cte.L w= ≠

Física General 7

5.5.-- Equilibrio del sEquilibrio del sóólido rlido ríígidogido1) TRASLACIÓN:Condición de equilibrio:

0

0 0

0

extix

ext exti iy

extiz

F

F F

F

⎧ =⎪⎪= ⇒ =⎨⎪

=⎪⎩

∑∑ ∑

∑

0 Reposocte.

0 Movimiento uniforme

CMCM

CM

vv

v=⎧

= ⇒ ⎨ ≠⎩

2) ROTACIÓN:Condición de equilibrio:

0 0ext exti i ir Fτ = ⇒ × =∑ ∑

Física General 8

Total.- 6 ecuaciones que se han de cumplir simultáneamente.

0; 0i izz F= =Ejemplo.- Movimiento en un plano:

1) 0; 0ext extix iyF F= =∑ ∑

( ) ( ) 0 0,0, 0 0

i i i i iy i ix i iy i ixi

ix iy

i j kx y x F y F x F y FF F

τ = = − ⇒ − =∑2)

En total 3 ecuaciones que permiten resolver 3 incógnitas.

6.6.-- EnergEnergíía de rotacia de rotacióón del sn del sóólido lido rríígidogido

Física General 9

Energía Cinética de Rotación de un sólido rígido que gira alrededor de un eje (OZ) con velocidad angular w

2 2 2 21 1 12 2 2i i i i i

i i i

T T m v m R w Iw= = = =∑ ∑ ∑

212

T Iw=

¡¡¡Ecuación válida aunque no se trate de un eje principal!!!

vi=wRi

Z

Oir

Ri

2

2LL Iw TI

= ⇒ =Si el eje de rotación es un eje principal:

Si el sólido gira alrededor del CM y el CM se desplaza:

2 21 12 2C MT M V I w= +

intorbital ernaT T T= + Energía cinética orbital.- Traslación del CMEnergía cinética interna.- Energía de rotación respecto al centro de masas


Energía potencial interna es constante:

intcte. cte.( 0)i jr r U− = ⇒ = =

Energía total del Sólido Rígido

in t e x t e x tE T U U T U= + + = +

2 21 12 2

extCME MV Iw U= + +

Física General 10

Ejemplo.- Cilindro que cae por un plano inclinado:

Física General 1

FluidosFluidosESTÁTICA1. Concepto de fluido. 2. Densidad y presión.3. Ecuación fundamental de la hidrostática.4. Principio de Arquímedes.DINÁMICA5. Dinámica de fluidos. 6. Ecuación de continuidad.7. Ecuación de Bernouilli. 8. Aplicaciones.FLUIDOS REALES8. Viscosidad9. Ecuación de Poiseulle10. Número de Reynolds11. Tensión superficial12. Capilaridad13. Ley de Jurín

Física General 2

1.1.-- Concepto de fluidoConcepto de fluidoEstados de la materia

Sólidos

Volumen y forma definidas.Fuerzas intermoleculares intensas.

Fluidos.- Cualquier sustancia que fluye. Carecen de forma.

Líquidos.

Volumen definido.Fuerzas intermoleculares débiles.

Gases

Volumen no definido.Fuerzas intermoleculares nulas.

Física General 3

2.2.-- DensidadDensidad y presióny presión

[ ] 3

3

3

DEFINICIÓN

DIMENSIONES

UNIDADES (S.I.): Kg/m (cgs): gr/cm

MV

ML

ρ

ρ −

=

=

Densidad.- Cociente entre la masa de una sustancia y el volumen que ocupa.

Densidad relativa.- Cociente entre la densidad de una sustancia y la densidad del agua.

2

'

H O

ρρρ

=

La densidad depende de la temperatura.Condiciones estándar:

presión al nivel de martemperatura 0 °C

Física General 4

2.2.-- Densidad y Densidad y presiónpresiónPresión en un fluido.- Se define como la fuerza perpendicular por unidad de superficie.

[ ]2

1 22

2

2 -1

6

;

Dimensiones.- ;

Unidades.- (S.I.) : N/m =Pa (Pascal) (cgs) : dina/cm baria (10 Pa) Otras: bar = 10 barias

FPS

MLTP ML TL

⊥

−− −

=

= =

≡

atmósfera = 760 mm Hg =101.325 kPa

Módulo de compresibilidad, B

VPV

B ∆∆ =

Física General 5

3.3.-- Ecuación fundamental de la Ecuación fundamental de la hidrostáticahidrostática

Supongamos una masa de fluido en equilibrio y consideramos un cilindro vertical del mismo de altura ∆h y superficie A.

La presión en la parte inferior ha de ser mayor que en la superior, ya que aquella soporta el peso de la columna de agua

( )w mg V g A hgρ ρ= = = ∆

0PA P A gA hρ− = ∆

0P P P g hρ∆ = − = ∆

La presión es independiente de la forma del recipiente, siendo la

misma en todos los puntos situados a la misma profundidad.

Principio de Pascal.- La presión aplicada a un fluido encerrado se transmite sin disminución a cada punto del fluido y de las paredes

del recipiente.

Física General 6

4.4.-- Ecuación fundamental de la Ecuación fundamental de la hidrostática: Aplicacioneshidrostática: Aplicaciones

La presión es la misma en todos los puntos a la misma profundidad

3 23 1 2 1

P A P AP P g h P P g hρ ρ== + ∆ → = + ∆Prensa hidraúlica:

La fuerza se ve multiplicada por un factor igual al cociente de las áreas

Vasos comunicantes (paradoja hidrostática):

Como la presión depende únicamente de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma, la presión es la misma en la base de cada uno de los vasos

Física General 7

4.4.-- Ecuación fundamental de Ecuación fundamental de la hidrostática: Aplicacionesla hidrostática: Aplicaciones

Manómetro

manometrica at

at

P P P

P P ghρ

= +

↓− =

Barómetro:

atP ghρ=

Física General 8

4.4.-- Principio de ArquímedesPrincipio de Arquímedes¿Por qué pesamos menos dentro del agua? Supongamos un recipientecon un fluido y consideramos una superficie imaginaria que limita una porción arbitraria de fluido en equilibrio.

El fluido está en equilibrio, la componente x resultante de todas las fuerzas superficiales es nula, y la componente según el eje y se cancela con el peso mgdel fluido contenido en la superficie imaginaria.Si cambiamos el volumen del fluido imaginario por un sólido de la misma forma y distinta densidad, la presión ejercida por el resto del fluido será la misma

Principio de Arquímedes (Siracusa h. 287 a.C.-id., 212 a.C.) .-“Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia

arriba igual al peso del fluido desalojado, y cuya línea de acción pasa por el primitivo centro de gravedad ”

fB w Vgρ= =

Física General 9

4.4.-- Principio de Arquímedes: Principio de Arquímedes: AplicacionesAplicaciones

Principio de Arquímedes.- “Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje hacia arriba igual al peso del fluido

desalojado, y cuya línea de acción pasa por el primitivo centro de gravedad”

Hierón, rey de Siracusa (265-215 a. C.) ⇒ Arquímedes ¿Es la corona de oro o es una aleación?

empuje aguaP gVρ=

corona coronaP gVρ=

corona coronacorona

empuje agua

P gVP gV

ρ ρρ

= =

1. Se pesa la corona: Pcorona2. Se sumerge en agua. 3. Para compensar el empuje y equilibrar la balanza hay

que quitar un peso igual a:

4. Peso de la corona:

5. Densidad de la corona:

Física General 10

5.5.-- Dinámica de fluidosHidrodinámica.- Estudio de los fluidos en movimiento. Equivalente a conocer la velocidad de todas y cada una de las partículas del fluido, lo que se conoce como campo de velocidades.

( , , , )v f x y z t=

Todas las partículas tienen la misma velocidad cuando pasan por el mismo punto, i.e., todos los elementos tienen velocidad v en A y v’ en A’

( ) ( , , )v f t v f x y z≠ ⇒ =

Se habla de flujo estacionario si el campo de velocidades no cambia con el tiempo

Dinámica de fluidos

Línea de corriente.- Líneas tangentes en cualquier punto a la velocidad del fluido en dicho punto. Si el flujo es estacionario las líneas de corriente son constantes

Tubos de corriente.- Superficie formada por todas las líneas de corriente que pasan por los puntos de una curva cerrada

Las líneas de corriente no se pueden cortar en un régimen estacionario, puesto que de ser así, el fluido tendría dos velocidades distintas en el mismo punto. En consecuencia, un tubo de corriente no puede ser atravesado por ninguna partícula, los fluidos de cada tubo no se mezclan y estos se comportan como tuberías de paredes rígidas.

Física General 11

6.6.-- Ecuación de continuidadEcuación de continuidad

La ecuación de continuidad es la expresión matemática de la conservación de la masa

1 1 2 2A v A v=

1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 dm dm dV dV A dl A dl A v dt A v dtρ ρ ρ ρ ρ ρ= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

.cteρ =

Consideremos un tubo de corrientes:Sin fuentes ni sumiderosIncompresible

Consideremos la porción de tubo comprendida entre las secciones A1 y A2 y sean v1 y v2 las velocidades en dichas secciones

La masa que entra por A1 en dt es la misma que sale por A2 en dt:

Ecuación de continuidad.- En un fluido sin fuentes ni sumideros por el que fluye un fluido incompresible, el gasto (Q = Av) permanece

constante.

Gasto o caudal.- Volumen de fluido que atraviesa una sección A por unidad de tiempo

Física General 12

7.7.-- Ecuación de Ecuación de BernouilliBernouilli¿Cuál es el trabajo neto que realizan las fuerzas externas para desplazar el elemento de volumen desde 1 a 1’? Todo sucede como si el volumen elemental en 1 hubiera pasado a ocupar la porción elemental en 2

Aplicamos el teorema de trabajo/energía:

El trabajo neto realizado por las fuerzas exteriores se emplea en aumentar la energía cinética y la energía potencial gravitatoria

extW T U= ∆ + ∆

1) Trabajo realizado por las fuerzas externas:

1 1 2 2 1 1 1 2 2 2extW F dl F dl P A dl P A dl= − = −

2 22 2 1 1

1 12 2

T dm v dm v∆ = −2) Variación de la energía cinética:

3) Variación de la energía potencial:2 2 1 1U dm gh dm gh∆ = −

Física General 13

7.7.-- Ecuación de Ecuación de BernouilliBernouilli

1 1 2 2A v A v=

( )2 21 1 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1

1 12 2

P A dl P A dl dm v dm v dm gh dm gh − = − + −

extW T U= ∆ + ∆

1 1 1 1 11 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2

dm A dl A v dt dmdm dm dm A dl A dldm A dl A v dt

ρ ρρ ρ ρ

= = ⇒ = = ⇒ = == =

( )2 21 2 2 1 2 1

1 12 2

dm dmP P dmv dmv dmgh dmghρ ρ

− = − + −

Simplificando y reagrupando términos:

2 21 1 1 2 2 2

1 12 2

P v gh P v ghρ ρ ρ ρ+ + = + +

Finalmente: Daniel Bernouilli (1738).- “En un tubo de corrientes, sin fuentes ni sumideros, por el que fluye un fluido ideal, la presión ejercida sobre el fluido más la presión debida a la velocidad más la presión debida a la altura permanece constante.”

21 cte.2

P v ghρ ρ+ + =

Física General 14

7.7.-- BernouilliBernouilli: Aplicaciones: AplicacionesTubería horizontal de sección variable:

Continuidad:

Bernouilli

2 21 1 2 2 1 2

1 12 2

p v p v p pρ ρ+ = + ⇒ >

1 2h h=

1 1 2 2 1 2A v A v v v= ⇒ <

La presión disminuye al estrecharse la tubería

Venturímetro: dispositivo para medir velocidades y gasto

11 1 2 2 2 1

2

. AQ A v A v cte v vA

= = = ⇒ =

Continuidad:

22 2 21

1 1 2 2 2 12

22 11 2 1

2

1 1 12 2 2

1 12

Ap v p v p vA

Av p pA

ρ ρ ρ

ρ

+ = + = +

− = −

Bernouilli

( )( )

( )( )

2 22 2 2 1 2 2 11 2 2 2 2

2 1 2 1

2 2A p p A p pv

A A A Aρ ρ− −

= =− −

Velocidad

( )1 2

1 1 1 2 1 22 21 2

2A AQ A v p p k p pA Aρ

= = − = −−

Gasto

Física General 15

8.8.-- ViscosidadViscosidad

(a) Fluido ideal no viscoso. (b) Fluido real (viscoso)

Viscosidad

2

2

sUnidades: (SI) N Pa sm

dina (cgs) cm

1Pa s = 10 poise

vAFz

η=

× = ×

×

Física General 16

9.9.-- Ley de Ley de PoiseullePoiseulleJean-Louis Marie Poiseuille (1799-1869.- En el flujo laminar de un fluido viscoso, la caída de presión en una longitud L de un tubo circular de radio r es:

1 2 4

8 LP P P Avrηπ

∆ = − =

10.10.-- Número de Número de ReynoldsReynoldsOsborne Reynolds (Belfast, 1842, id. Watchet, Sumerset, Inglaterra 1912)

2R

r vN ρη

=

Número de Reynolds < 2000 Régimen laminar

Número de Reynolds > 3000 Régimen turbulento

Física General 17

11.11.-- Tensión superficialTensión superficial

Superficie límite entre un líquido y otra sustanciaSuperficie en estado de tensiónUna línea sobre la superficie: la sustancia a un lado de ella ejerce una tracción sobre la situada al otro ladoEsta tracción se halla en el plano de la superficie y es perpendicular a la línea

Tensión superficial: Fuerza por unidad de longitud que actúa en cualquier línea de la superficie y que tiende a mantener cerrada la superficie ≡ trabajo necesario para incrementar en 1 unidad la superficie de un líquido

La tensión superficial depende del líquido y de la temperatura

2

2

N JUnidades: (SI) m mdina erg (cgs) cm cm

F WL S

γ = =∆

=

=

Física General 18

12.12.-- CapilaridadCapilaridad

13.13.-- Ley de Ley de JurinJurinJames Jurin (Londres, 1684- id., 1750)

2 cosLVygr

γ θρ

=

FÍsica Temperatura y teoría cinética 1

Temperatura y Temperatura y teorteoríía cina cinéética de los gasestica de los gases

Equilibrio térmico y temperaturaEscalas Celsius y FahrenheitEscala absoluta: KelvinLey de los gases idealesLa teoría cinética de los gases

Presión ejercida por un gasInterpretación molecular de la temperaturaEl teorema de equiparticiónRecorrido libre medioDistribución de velocidades moleculares

Funciones de distribuciónDistribución de Maxwell BoltzmanDistribución energética

Gases reales: ecuación de van der Waals


Equilibrio térmico y temperatura

• Propiedad termométrica: cualquier propiedad física que varía con la temperatura

• Contacto térmico: equilibrio térmico

Principio cero de la termodinámica: si dos cuerpos están equilibrio con un tercero, ambos se hallan en equilibrio entre si


Escalas de temperaturas: Celsius y Fahrenheit

• Propiedad termométrica: dilatación del mercurio (alcohol)

• Temperaturas de puntos fijos: Punto del vapor de agua y de fusión del hielo

0

100 0

100ºtC

L LtL L

−= ×

−

0

100 0

32º 180ºtF

L LtL L

−= + ×

−

( )5 32º9C Ft t= −


Termómetro de gas: escala absoluta KelvinDefinición• Propiedad termométrica: presión de un gas a

volumen constante• Presión de puntos fijos: Punto del vapor de

agua y de fusión del hielo

0

100 0

100ºtC

P PtP P

−= ×

−

Punto de ebullición del azufre

Se varía P100 variando la cantidad de gas

Todos los termómetros coinciden a densidades bajas (P100 bajas)


Termómetro de gas: escala absoluta Kelvin• Pequeña cantidad de gas fija

• Extrapolación independiente del gas• Punto triple del agua: hielo, líquido vapor (4.58 mmHg y 0.01 C• Escala de temperaturas del gas ideal: punto triple del agua = 273.16 K

( )0 100 0 100ºC

ttP P P P= + −

3

273.16 KPTP

= 215.15CT t= +Definición


Ley de los gases ideales: Boyle, Gay-Lussac

• Ley de Boyle (1627-1691):para un gas de baja densidad a temperatura constante, PV = cte

• Ley de Gay-Lussac (1778-1850): la temperatura de un gasde baja densidad es proporcional a su volumen a temperatura constante, PV = CT

A

A

PV NkTN nNPV nN kT nRT

=== =236.023 10AN = ×

23 J1.381 10K

k −= ×

MolMol: : Cantidad de sustancia Cantidad de sustancia que contiene el nque contiene el núúmero de mero de AvogadroAvogadro de de áátomos o tomos o moleculasmoleculas

NNúúmero de mero de AvogadroAvogadro::nnúúmero de mero de áátomos de C que tomos de C que hay en 12 g de Chay en 12 g de C--1212

C ha de ser proporcional al nC ha de ser proporcional al núúmero de mero de molmolééculas, culas, CC = = kNkN


Ley de los gases ideales

PV nRT=

m nMm nM M PV V RT

ρ

=

= = =

J atm Litro8.314 0.08206mol K mol K

R = =

IsotermasIsotermas

ctePV nRT

= =

A una temperatura dada, la A una temperatura dada, la densidad es proporcional a la densidad es proporcional a la presipresióónn


La teoría cinética de los gasesLa descripciLa descripcióón del comportamiento de un gas en funcin del comportamiento de un gas en funcióón de P, V y T n de P, V y T

puede relacionarse con los valores medios de magnitudes macroscpuede relacionarse con los valores medios de magnitudes macroscóópicas: picas: masa y velocidad de molmasa y velocidad de molééculas del gas.culas del gas.

Gas:Gas:

Gran nGran núúmero de molmero de molééculasculas

Choques elChoques eláásticos (entre ssticos (entre síí y con las paredes)y con las paredes)

No existe posiciNo existe posicióón preferida para una moln preferida para una moléécula en el recipientecula en el recipiente

No existe ninguna preferencia en cuanto al vector velocidadNo existe ninguna preferencia en cuanto al vector velocidad

Las molLas molééculas estculas estáán separadas comparadas con su taman separadas comparadas con su tamaññoo

SSóólo se ejercen fuerzas mutuas durante el choque (baja densidad)lo se ejercen fuerzas mutuas durante el choque (baja densidad)


La teoría cinética de los gasesCCáálculo de la presilculo de la presióón ejercida por un gasn ejercida por un gas

1 Moléculas que chocan contra la pared2 xN v tAV

∆ ≡

( ) 21p 22x x xN Nmv v tA mv tAV V

∆ = × ∆ = ∆

2 2p1x x

F NP mv PV NmvS A t V

∆= = = → =

∆

¿¿CuCuáántas molntas molééculas chocan contra la pared?culas chocan contra la pared?

¿¿CuCuáál es la variacil es la variacióón de la cantidad de movimiento?n de la cantidad de movimiento?

¿¿CuCuáál es la presil es la presióón sobre la pared?n sobre la pared?

NN molmolééculas de masa culas de masa mm y velocidad y velocidad vv

2122 x

m

PV N mv =

No todas las molNo todas las molééculas tienen la misma culas tienen la misma vv::


La teoría cinética de los gasesInterpretaciInterpretacióón molecular de la temperaturan molecular de la temperatura

( ) 21 32 2c m

m

E mv kT = =

21 12 2x

m

mv kT =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2

3

13

x y z x y z xm m m m m m m m

x m m

v v v v v v v v

v v

= = → = + + =

=

2122 x

m

PV NkT N mv = =

Una molUna moléécula:cula:

NN molmolééculas de masa culas de masa mm y y velocidades distintas

La temperatura absoluta es una medida de la energLa temperatura absoluta es una medida de la energíía a cincinéética de traslacitica de traslacióón de las moln de las molééculasvelocidades distintas culas

nn molesmoles 21 3 32 2 2c

m

E N mv NkT nRT = = =


La teoría cinética de los gases

( ) 21 32 2c m

m

E mv kT = =

Teorema de Teorema de equiparticiequiparticióónn: : cuando una sustancia estcuando una sustancia estáá en equilibrio, existe en equilibrio, existe una energuna energíía media de (1/2)a media de (1/2)kTkT por molpor moléécula asociada con cada grado de cula asociada con cada grado de libertadlibertad

G.dG.d. l.: posici. l.: posicióón, cantidad de movimiento, posicin, cantidad de movimiento, posicióón angular, momento n angular, momento angular; angular; EenergEenergííaa cincinéética de traslacitica de traslacióón, rotacin, rotacióón, vibracin, vibracióón, y potencial de n, y potencial de vibracivibracióón n

NN molmolééculas de masa culas de masa mm y y velocidades distintasvelocidades distintas

21 3 32 2 2c

m


nn molesmoles

molmolééculacula


La teoría cinética de los gasesRecorrido libre medio: Recorrido libre medio: distancia recorrida por una moldistancia recorrida por una moléécula entre colisionescula entre colisiones

1 2d r r= +

vt¿Qué distancia recorre la molécula en un tiempo t? En En

reposoreposo

¿Cuándo chocará la molécula de radio r1 con otra de radio r2?

2d vtπ

2 moléculasN d vtVπ

2 22

1

m

vtN Nd vt dV V

v

λ λπ π

λ τ

= ⇒ =

=

El recorrido libre medio

En movimientoEn movimiento

Chocará con las moléculas que se hallen en el cilindro …

… que contiene por unidad de volumen…


La teoría cinética de los gasesDistribuciDistribucióón de Maxwelln de Maxwell--BoltzmanBoltzman: : ¿Cómo se distribuyen las velocidades moleculares en un gas?

232 2 24( )

2

mvkTmf v v e

kTπ

− =

max

m

cm

( ) número de moléculas entre y velocidad máxima

velocidad media velocidad cuadrática media

dN Nf v dv v v dvvvv

= → +→

→→


La teoría cinética de los gasesDistribuciDistribucióón energn energéética: tica: ¿Cómo se distribuyen las energías cinéticas moleculares en un gas?

12

322 1( )

EkTF E E e

kTπ

− =

Densidad de estadosDensidad de estados Probabilidad de ocupar el estadoProbabilidad de ocupar el estado



Ecuación de estado de los gases ideales: funciona bien a presiones ordinarias, pero falla a presiones altas y bajas temperaturas

( )2

na TV

V bP nRn

+ − =

TamaTamañño finito de las o finito de las molmolééculas, disminuye el culas, disminuye el volumenvolumen

2

Las molLas molééculas se ejercen culas se ejercen atracciatraccióón entre sn entre síí



Isotermas lIsotermas lííquidoquido--vaporvapor

( )2

2

na TV

V bP nRn

+ − = PV nRT=

FÍsica Calor y primer principio 1

Calor y primer principio de la Calor y primer principio de la termodintermodináámicamica

Capacidad calorífica y calor específicoExperimento de Joule: primer principioLa energía interna de un gas idealTrabajo y diagrama PV para un gas

Procesos cuasiestáticosDiagramas PV

Capacidades caloríficas de los gasesCompresión adiabática cuasiestática

de un gas


Capacidad calorífica y calor específico

• La cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura de un cuerpo es proporcional a la variación de temperatura y a la masa del cuerpo

Capacidad calorífica

Calor específico

' Calor específico molar

Q C T mc T

CCcmCc Mcn

= ∆ = ∆

↓→

= →

= = →

1 cal 4,18 J=


Experimento de Joule: primer principio

• Primer principio: la variación de la energía interna de un sistema es igual al calor transferido más el trabajo realizado sobre el sistema

U Q W∆ = +


La energía interna de un gas ideal

• En un gas a baja densidad la energía interna depende sólo de la temperatura

32cE nRT U= =Si se considera que la

energía de traslación constituye toda la energía interna del gas

• Joule: expansión libre• T (antes) = T (después)


Trabajo y diagrama PV para un gas• Procesos cuasiestáticos

por el gasdW Fdx PAdx PdV= = =

sobre el gas por el gasdW dW PdV= − = −

2

1sobre el gas

V

VW PdV= −∫

PV nRT=


Trabajo y diagrama PV para un gas• Diagramas PV

2

1sobre el gas

V

VW PdV= −∫

• Compresión isóbara

2 2

1 1sobre el gas

V V

V VW PdV P dV P V= − = − = − ∆∫ ∫



( )f f i

f

i

V

VW PdV

P V V

= − =

= − −

∫

2

1sobre el gas

V

VW PdV= −∫

( )i f i

f

i

V

VW PdV

P V V

= − =

= − −

∫

f

i

ln

f

i

f

i

V

V

V

V

W PdV

nRT dVVVnRTV

= − =

= − =

= −

∫

∫

CompresiCompresióón n isisóóbarabara: P = : P = ctecte Calentamiento a V = Calentamiento a V = ctecte CompresiCompresióón n isotermaisoterma T = T = ctecte

El trabajo entre dos estados depende del caminoEl trabajo entre dos estados depende del camino


Capacidades caloríficas de los gases• Capacidad calorífica: informa sobre la energía interna estructura molecular

Sustancias que se dilatan al calentarse: Sustancias que se dilatan al calentarse: CCpp > > CCvv se necesita mse necesita máás calor para s calor para obtener un cambio de temperatura dado a presiobtener un cambio de temperatura dado a presióón constante que para obtener el n constante que para obtener el mismo cambio a volumen constantemismo cambio a volumen constante

SSóólidos y llidos y lííquidos quidos CCpp ≈≈ CCvv

Gases Gases CCpp > C> Cvv

P = P = ctecte : expansi: expansióón n isisóóbarabara


Capacidades caloríficas de los gases

0v v U Q W

v

Q C TU C T

W∆ = += ∆

→∆ = ∆=

vdUCdT

=

Capacidad calorCapacidad caloríífica a volumen constante: fica a volumen constante: CCvv

Dado que U y T son funciones de estado esta Dado que U y T son funciones de estado esta expresiexpresióón es vn es váálida para cualquier procesolida para cualquier proceso

V = V = ctecte W = 0W = 0: Calentamiento : Calentamiento isisóócorocoro



0dPPV nRT PdV VdP nRdT PdV nRdT== → + = → =

p vC C nR= +

Capacidad calorCapacidad caloríífica a presifica a presióón constante: n constante: CCpp

P = P = ctecte: expansi: expansióón n isisóóbarabara

v

p pp

p sobre p

dU C dTv p

Q C TU C T P V

U Q W Q P V

C dT C T P V=

= ∆ → ∆ = ∆ − ∆∆ = + = − ∆ → = ∆ − ∆



32cE nRT=

3 3 1.52 2

5 5 J20.8752 2 mol K

v vv v

pp v p

dU C cC nR c RdT n R

CC C nR nR c R

n

′′= = → = = → =

′= + = → = = =

J8.314mol K

p vp v p v

C CC C nR R c c Rn n

′ ′= + → = + → − = =

32

U nRT=

EnergEnergíía cina cinéética de tica de traslacitraslacióón de n molesn de n moles

Si la energSi la energíía interna a interna es ses sóólo energlo energíía a cincinéética de traslacitica de traslacióón n

Gas ideal Gas ideal monoatmonoatóómicomico


Compresión adiabática de un gas

0

0

sobresobre

PV nRTvdU dW dQ

QU W

U Q WdVC dT P V nRTV

== +

= → ∆ =∆ = +

→ = − ∆ = −

1 11

0 ln ln

ln ln ln ln lnV V

Pp V

V VV

V VnR nRC C

VCnRnR C C nR

C CC

dT nR dV nRT V cteT C V C

nRT V T V TV cteC

TV Cte TV Cteγ

γ− = → = − = −

−

+ = → = =

+ = + = =

= → =

PV Cteγ =

Proceso adiabProceso adiabáático: tico: QQ = 0 = 0 Sistema aislado Sistema aislado óó proceso rproceso ráápidopido

Expansiones y Expansiones y compresiones adiabcompresiones adiabááticasticas



0

V

V

QdU dQ dW dW C dTdU C dT

= = + → ==

( )

( ) ( )1

adiabático V V f i

f f f ff fPV nRT i i Vadiabático V f f f f

W C T C T T

P V P VP V PV CW C P V P VnR nR nR γ

=

= ∆ = − →

− → = − = − = −

Trabajo en un proceso adiabTrabajo en un proceso adiabááticotico


adiabático v VW dW C dT C T→ = = = ∆∫ ∫

FÍsica Segundo principio 1

Segundo principio de la Segundo principio de la termodintermodináámicamica

Segundo principio de la termodinámicaMáquinas térmicas y segundo principioRefrigeradores y segundo principioEquivalencia entre los enunciados de

maquina térmica y de refrigeradorLa máquina de CarnotLa bomba de calorIrreversibilidad y desordenEntropía

Cambios de entropíaEntropía y energía utilizable


Segundo principio de la termodinámicaKELVIN• Es imposible que un sistema pueda extraer energía en forma de calor

de una sola fuente térmica y convertirla totalmente en trabajo sin que se produzcan cambios netos en el sistema o en el medio que lo rodea

CLAUSIUS• Es imposible un proceso cuyo único resultado sea transferir energía en

forma de calor de un objeto a otro más caliente

PROCESOS IRREVERSIBLESPROCESOS IRREVERSIBLES

A y B A y B no estno estáánn en equilibrio ten equilibrio téérmicormico hay transferencia hay transferencia de calor espontde calor espontáánea hasta que se hallan a la misma nea hasta que se hallan a la misma temperaturatemperatura

A y BA y B estestáánn en equilibrio ten equilibrio téérmicormico No hay transferencia No hay transferencia de calor espontde calor espontáánea que produzca desequilibrio tnea que produzca desequilibrio téérmicormico


Máquinas térmicas y segundo principio

QQhh Calor absorbidoCalor absorbido

WW Trabajo realizadoTrabajo realizado

QQcc Calor cedidoCalor cedido

MMááquina de vaporquina de vapor

MAQUINA TMAQUINA TÉÉRMICA:RMICA: dispositivo cdispositivo cííclico que convierte la mclico que convierte la mááxima xima cantidad de calor en trabajocantidad de calor en trabajo

Sustancia de trabajo Sustancia de trabajo


Máquinas térmicas y segundo principioMMááquina de quina de

combusticombustióón internan interna

Ciclo de OttoCiclo de Otto



0Uh cU Q W W Q Q∆ =∆ = + → = −

Primer principio:Primer principio:

1h c c

h h

W Q Q QQ W Q

ε −= = = −

Rendimiento:Rendimiento:

Enunciado de la mEnunciado de la mááquina tquina téérmica del segundo principio de la termodinrmica del segundo principio de la termodináámicamica: : Es imposible que una mEs imposible que una mááquina tquina téérmica funcione crmica funcione cííclicamente sin producir clicamente sin producir ningningúún otro efecto que extraer calor de un solo foco realizando una cn otro efecto que extraer calor de un solo foco realizando una cantidad antidad de trabajo exactamente equivalente.de trabajo exactamente equivalente.


Refrigeradores y segundo principio

cQW

η =Coeficiente de eficacia:Coeficiente de eficacia:

Enunciado del refrigerador del segundo principio de la termodinEnunciado del refrigerador del segundo principio de la termodináámicamica: Es : Es imposible que un refrigerador funcione cimposible que un refrigerador funcione cííclicamente sin producir ningclicamente sin producir ningúún otro n otro efecto que la transferencia de calor de un foco efecto que la transferencia de calor de un foco friofrio a otro caliente.a otro caliente.


Equivalencia de los eneunciados de máquina térmica y refrigerador


La máquina de Carnot¿¿CuCuáál es el rendimiento ml es el rendimiento mááximo posible para una mximo posible para una mááquina tquina téérmica?rmica?

Teorema de Teorema de SidiSidi CarnotCarnot: Ninguna m: Ninguna mááquina tquina téérmica que opere entre dos rmica que opere entre dos focos tfocos téérmicos dados puede tener un rendimiento mayor que una mrmicos dados puede tener un rendimiento mayor que una mááquina quina reversible que opere entre estos dos focosreversible que opere entre estos dos focos

Condiciones necesarias para que un Condiciones necesarias para que un proceso sea reversible:proceso sea reversible:

1.1. La energLa energíía meca mecáánica no debe nica no debe transformarse en ttransformarse en téérmica por rmica por rozamiento, fuerzas viscosas, ..rozamiento, fuerzas viscosas, ..

2.2. La transferencia de energLa transferencia de energíía en a en forma de calor sforma de calor sóólo puede ocurrir lo puede ocurrir entre sistemas a la misma entre sistemas a la misma temperaturatemperatura

3.3. El proceso debe ser El proceso debe ser cuasiestcuasiestááticotico, de modo que el , de modo que el sistema se encuentre siempre en sistema se encuentre siempre en un estado de equilibrio un estado de equilibrio


La máquina de Carnot



1 c

h

QQ

ε = −

1 c

h

QQ

ε = −

3por el gas

4

lnc cVQ W nRTV

= =

2por el gas

1

lnh hVQ W nRTV

= =

3

4

2

1

ln1 1

ln

cc

Ch

h

VTQ V

VQ TV

ε = − = −

1 12 3 2 3

1 11 41 4

Procesos adiabáticos h c

h c

T V TV V VV VT V TV

γ γ

γ γ

− −

− −

= → = =

1 cC

h

TT

ε = −


La escala absoluta de temperaturas

• El rendimiento de un ciclo de Carnot sólo depende de las temperaturas de los focos térmicos

Definición de temperatura y definir un Punto fijoc c

h h

T QT Q

→ =


Bombas de calor• Coeficiente de eficiencia

BC1

1h h

ch c

h

Q QQW Q QQ

η = = =− −

BChQW

η =

El mEl mááximo coeficiente de eficacia se da para una ximo coeficiente de eficacia se da para una bomba de calor de bomba de calor de CarnotCarnot para el quepara el que

BC máx1

1h

c h c

h

TT T TT

η = =−−

c c

h h

Q TQ T

=

RelaciRelacióón entre el coeficiente de eficiencia n entre el coeficiente de eficiencia del refrigerador y la bomba de calordel refrigerador y la bomba de calor BC 1 1h c cQ Q W Q

W W Wη η+

= = = + = +


Irreversibilidad y desorden

• ENTROPÍA

revdQdST

=

En todos los procesos irreversibles, el sistema mEn todos los procesos irreversibles, el sistema máás el medio s el medio que lo rodea tiende hacia un estado menos ordenadoque lo rodea tiende hacia un estado menos ordenado

••La entropLa entropíía es una medida del desorden del sistemaa es una medida del desorden del sistema

••La entropLa entropíía es una funcia es una funcióón de estadon de estado

••Existe cambio de entropExiste cambio de entropíía aun cuando no haya a aun cuando no haya transferencia de calortransferencia de calor

••La expresiLa expresióón da una forma de calcular la variacin da una forma de calcular la variacióón de n de entropentropíía entre dos estadosa entre dos estados


Cambios de entropía• Variación de entropía en la expansión isoterma de un gas ideal

22 1

1

ln 0 ya que revdQ dQ Q VdS S nR V VT T T V

= → ∆ = = = > >∫

f

i

ln

f

i

f

i

V

V

V

V

W PdV

nRT dVVVnRTV

= − =

= − =

= −

∫

∫

ComprensiComprensióón n isotermaisoterma T = T = ctecte En una En una expansiexpansióón isoterman isoterma: :

Q

W

••Se transfiere calor Se transfiere calor QQ desde el foco tdesde el foco téérmico al gasrmico al gas

••Este calor Este calor QQ = = WW realizado por el gasrealizado por el gas

En un proceso reversible, En un proceso reversible,

la variacila variacióón de entropn de entropíía del universo es nulaa del universo es nula

VariaciVariacióón de entropn de entropíía del gasa del gas::

QST

∆ = −VariaciVariacióón de entropn de entropíía del focoa del foco::


Cambios de entropía• Variación de entropía en la expansión libre de un gas ideal

revdQdST

=

000 0

WQU T

==

∆ = → =

ExpansiExpansióón libren libre En una En una expansiexpansióón libren libre: :

••No es un proceso reversible, por lo que no No es un proceso reversible, por lo que no podemos calcular la variacipodemos calcular la variacióón de entropn de entropíía pora por

••La entropLa entropíía es una funcia es una funcióón de estado, por lo que n de estado, por lo que la variacila variacióón de entropn de entropíía sera seráá la misma que la de la la misma que la de la expansiexpansióón adiabn adiabáática entre los mismos estadostica entre los mismos estados

VariaciVariacióón de entropn de entropíía del gasa del gas:: 2

1

lnVS nRV

∆ =

VariaciVariacióón de entropn de entropíía del focoa del foco:: 0S∆ =

En un proceso En un proceso irirreversible, la variacireversible, la variacióón de entropn de entropíía del universo aumentaa del universo aumenta

Proceso irreversibleProceso irreversible


Cambios de entropía• Variación de entropía en la calentamiento isóbaro

pdQ C dT=

VariaciVariacióón de entropn de entropííaa::

VariaciVariacióón de entropn de entropíía a de una sustancia que se calienta (enfrde una sustancia que se calienta (enfríía) por un a) por un proceso reversible o irreversible, siempre que la presiproceso reversible o irreversible, siempre que la presióón inicial y final n inicial y final sean iguales sean iguales

2

1

2

1

lnT

p p pT

dT dT TdS C S C CT T T

= → ∆ = =∫

Aun cuando es Aun cuando es irirreversible, el proceso puede aproximarse reversible, el proceso puede aproximarse por por ““infinitosinfinitos”” procesos reversibles procesos reversibles ““casi isotermoscasi isotermos”” para ir para ir desde una temperatura a la otradesde una temperatura a la otra


Cambios de entropía• Variación de entropía en un ciclo de Carnot

hh

h

QST

∆ = −

Ciclo de Ciclo de CarnotCarnot El ciclo de El ciclo de CarnotCarnot es reversible, por tanto la es reversible, por tanto la variacivariacióón de entropn de entropíía del universo tras un ciclo es a del universo tras un ciclo es nula.nula.

VariaciVariacióón de entropn de entropíía a del foco calientedel foco caliente::

c c

h h

T QT Q

=DefiniciDefinicióón de temperaturan de temperatura::

cc

h

QST

∆ = +

VariaciVariacióón de entropn de entropíía a del foco del foco friofrio::

0h cU h c

h c

Q QS S ST T

∆ = ∆ + ∆ = − + =

VariaciVariacióón de entropn de entropíía del universoa del universo::


Entropía y energía utilizable

• En un proceso irreversible, una cantidad de energía igual a T∆S resulta inútil para realizar trabajo (T es la temperatura del foco frío)

FÍsica Campo electrostático 1

Campo electrostCampo electrostááticoticoCarga eléctrica

Cuantización de la cargaConservación de la carga

Conductores y aislantesCarga por inducción

Ley de CoulombCampo eléctrico

Dipolos eléctricos

Potencial eléctricoCálculo del Potencial Potencial y campo eléctricoRelaciones de energía


Carga eléctricaELECTROSTÁTICA• Estudio de las cargas en reposo

PlPláástico frotado con piel + plstico frotado con piel + pláástico stico frotado con pielfrotado con piel

Vidrio frotado con seda + vidrio frotado Vidrio frotado con seda + vidrio frotado con sedacon seda

Vidrio frotado con seda Vidrio frotado con seda

+ +

PlPláástico frotado con piel stico frotado con piel

BenjamBenjamíín Franklinn Franklin


Carga eléctrica

ÁTOMOS• Neutros• Núcleo:

– A → Número de nucleones– Z → Número de protones (X)– → Número de electrones– N → Número de neutrones

Carga del electrCarga del electróón: n: -- ee

Carga del protCarga del protóón: n: + + ee

NZAXNAZ +=

Masa del electrMasa del electróón: n: mm

Masa del protMasa del protóón: n: 1800 1800 mm

Unidad fundamental de cargaUnidad fundamental de carga

Q Ne= ±

191.602 10 Ce −= ×

Cuantización de la carga


Carga eléctrica

Ley fundamental de la naturaleza:Ley fundamental de la naturaleza:

La carga elLa carga elééctrica se conservactrica se conserva

Conservación de la carga


Conductores y aislantesELECTROSCOPIOTocamos la esfera con una barra de vidrio cargada positivamente


Ley de Coulomb

,1 21,2 , ,2

1,2 1,2

ˆ ˆq qkr r

= = 1 21 2 1 2

rF r r

La fuerza ejercida por una La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra carga puntual sobre otra estestáá dirigida a lo largo de la dirigida a lo largo de la llíínea que las une. nea que las une.

La fuerza varLa fuerza varíía a inversamente proporcional inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al cuadrado de la distancia que las separa.que las separa.

La fuerza es directamente La fuerza es directamente proporcional al producto de proporcional al producto de las cargas. las cargas.

Es repulsiva si las cargas Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y tienen el mismo signo y atractiva si son de signo atractiva si son de signo contrario.contrario.

29

2

N m9 10 C

k = ×


Campo eléctrico

0q=FE

,02,0

ˆii i

i

qkr

=E r

Carga de pruebaCarga de prueba, ,2

,

ˆiP i P i P

i i i P

qkr

= =∑ ∑E E r

DistribuciDistribucióón de cargas puntuales:n de cargas puntuales:


Campo eléctrico


Campo eléctricoDipolo elDipolo elééctricoctrico

Campo elCampo elééctrico de un dipolo elctrico de un dipolo elééctrico a lo ctrico a lo largo de su ejelargo de su eje

3

2pE kx

=


Campo eléctrico

τ = ×p E

¿¿CCóómo se comporta un dipolo elmo se comporta un dipolo elééctrico en un campo elctrico en un campo elééctrico?ctrico?

El campo elEl campo elééctrico no ejerce fuerza ctrico no ejerce fuerza neta, pero si un par que tiende a neta, pero si un par que tiende a alinear el dipolo en la direccialinear el dipolo en la direccióón del n del campocampo


Campo eléctrico¿¿CCóómo se comporta una molmo se comporta una moléécula no polar en un campo elcula no polar en un campo elééctrico? ctrico?

PolarizaciPolarizacióónn

MolMoléécula no polar en un campo elcula no polar en un campo elééctrico no uniformectrico no uniforme


Potencial eléctricoDiferencia de potencialDiferencia de potencial

dU d= − ⋅FVariaciVariacióón de la funcin de la funcióón energn energíía potencial cuando el punto a potencial cuando el punto de aplicacide aplicacióón de la fuerza experimenta un desplazamienton de la fuerza experimenta un desplazamiento

0dU d q d= − ⋅ = − ⋅F EVariaciVariacióón de la funcin de la funcióón energn energíía potencial a potencial electrostelectrostááticaticacuando cuando la cargala carga experimenta un desplazamiento en un experimenta un desplazamiento en un campo elcampo elééctricoctrico

0

dUdV ddq

= = − ⋅EVariaciVariacióón de la funcin de la funcióón energn energíía potencial a potencial electrostelectrostááticatica por por unidad deunidad de cargacarga se denomina diferencia de potencial se denomina diferencia de potencial

b

aV d∆ = − ⋅∫ EPara un desplazamiento finitoPara un desplazamiento finito

La diferencia de potencial entre dos puntos es el valor negativoLa diferencia de potencial entre dos puntos es el valor negativo del trabajo por del trabajo por unidad de carga realizado por el campo elunidad de carga realizado por el campo elééctrico sobre una carga testigo ctrico sobre una carga testigo positiva cuando esta se desplaza entre ambos puntos.positiva cuando esta se desplaza entre ambos puntos.


Potencial eléctricoJ1 V 1C

=Unidades:Unidades:

Las lLas lííneas de campo elneas de campo elééctrico ctrico seseññalan en la direccialan en la direccióón en la que n en la que el potencial elel potencial elééctrico disminuye ctrico disminuye mmáás rs ráápidamentepidamente


Cálculo del Potencial eléctrico

2ˆqk

r=E r

Potencial elPotencial elééctrico de una carga puntual ctrico de una carga puntual

2 2ˆq qdV d k d k dr

r r= − ⋅ = ⋅ =E r

1

2 1

tomando

P

ref

rP P

ref refP refr

ref

q r q qdV k dr kq kr r r

qV k rr

− = = − = − −

= = ∞

∫ ∫


Relación entre campo y potencial

grad V= −E


cos tdV d E d E dθ= − ⋅ = − = −E

En general:En general:

tdVEd

= −