teoria y problemas resueltos-fisica-2º bachiller
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FSICA 2 BACHILLERATO
BLOQUE TEMTICO: INTERACCIN GRAVITATORIA
GRAVITACIN UNIVERSAL
1) Leyes de Kepler
2) Ley de la gravitacin universal
3) Concepto de campo. Campo gravitatorio
4) Intensidad de un campo gravitatorio
5) Estudio energtico de la interaccin gravitatoria
6) Energa potencial gravitatoria
7) Principio de conservacin de la energa mecnica
8) Potencial gravitatorio
1) LEYES DE KEPLER
Las leyes de Kepler fueron enunciadas por Johannes Kepler (principios siglo XVII) para
describir matemticamente el movimiento de los planetas en sus rbitas alrededor del Sol.
Se trata de tres leyes empricas, es decir, son resultado del descubrimiento de
regularidades en una serie de datos empricos, concretamente en los datos de observacin
de la posicin de los planetas realizados por Tycho Brahe.
Todos los cuerpos en rbita alrededor de otro cuerpo cumplen las leyes, es decir,
no solamente se pueden aplicar a los planetas del sistema solar sino a otros sistemas
planetarios, estrellas orbitando a otras estrellas, satlites orbitando sobre planetas, etc.
Aunque Kepler no enunci sus leyes en el mismo orden, en la actualidad las leyes
se numeran como sigue a continuacin.
Primera ley: ley de las rbitas.
Los planetas giran alrededor del Sol describiendo rbitas elpticas en uno
de cuyos focos se encuentra el Sol.
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El parmetro que da una idea del mayor o menor alejamiento de una elipse dada
respecto de la circunferencia es la excentricidad (e). Para una elipse viene dada por la
expresin
Donde b es el semieje menor de la elipse y a el
semieje mayor.
-En la circunferencia a = b, entonces e = 0
-En la elipse b < a, entonces 0 < e < 1
Las excentricidades de las rbitas de los planetas del sistema solar son
Planetas Planetas enanos Mercurio 0,206
Venus 0,007 Tierra 0,017 Marte 0,093 Jpiter 0,048
Saturno 0,0541 Urano 0,047
Neptuno 0,009
Ceres 0,080 Plutn 0,249
Eris 0,442 Makemake 0,159
Haumea, ?
Segunda ley: ley de las reas.
Las reas barridas por el radio vector que une el Sol con un planeta son directamente
proporcionales a los tiempos empleados en barrerlas.
--------
El radio vector que une un planeta y el Sol barre reas iguales en tiempos iguales
Consecuencia: la velocidad de un cuerpo en rbita no es constante, es mayor cuando se
encuentra en el perihelio que cuando est en el afelio. Por tanto, cuando se considere
-
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constante la velocidad de un objeto en rbita movimiento circular uniforme se est
haciendo una aproximacin si su rbita es elptica. Esta aproximacin ser tanto mejor
cuanto menor sea la excentricidad de la rbita. Solamente en una rbita circular se puede
considera como constante la velocidad orbital.
Tercera ley: ley de los periodos.
Los cuadrados de los periodos de revolucin son directamente proporcionales a los cubos
de los semiejes mayores de las respectivas rbitas
Supongamos dos planetas, P1 y P2 que
describen dos rbitas con periodos
respectivos T1 y T2 (figura adjunta). Segn
la tercera ley de Kepler se cumple que:
La principal consecuencia en el siglo XVII
de esta ley es que permiti dar
dimensiones al sistema solar. En efecto, si
consideramos como 1 la distancia entre la
Tierra y el Sol (1 unidad astronmica, aproximadamente igual a 150 millones de
kilmetros, valor no conocido en el siglo XVII), dado que se conoce el periodo de
revolucin de la Tierra, podemos conocer la distancia de cualquier planeta al Sol en
unidades astronmicas sin ms que conocer el periodo de revolucin de dicho planeta,
valor que se conoce de la observacin astronmica del mismo. Por ejemplo, si el periodo
de revolucin aproximado del planeta Jpiter es de 11 aos y 315 das,
s s
s
r
r
u i s str i s
2) LEY DE LA GRAVITACIN UNIVERSAL
A p rtir l s l y s u i s p r K pl r Is N wt uj l l y gr vit i
universal. Se trata pues de una ley deductiva.
L l y gr vit i N wt pu u i rs s :
Toda partcula material atrae a cualquier otra partcula material con una fuerza
directamente proporcional al producto de las masas de ambas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.
-
[4]
Siendo m1 y m2 sus masas; r la distancia entre ellas y G una constante universal que recibe
el nombre de constante de gravitacin.
Su expresin en forma vectorial es:
Siendo un vector unitario cuya direccin es
la recta que une los centros de las dos
partculas que se atraen y cuyo sentido va
dirigido desde la partcula que origina la
fuerza hacia fuera. Este sentido dado al vector
unitario es el que explica la aparicin del
signo negativo en la expresin vectorial ya
que el sentido de la fuerza gravitatoria ser
contrario al vector unitario que le
corresponda.
En la figura anterior se puede observar que las fuerzas gravitatorias que actan
sobre cada una de las partculas son fuerzas de accin y reaccin (tercer principio de la
Dinmica) y, por tanto, tienen el mismo valor, son de sentidos contrarios y sus lneas de
accin coinciden con la recta que las une.
L st t gr vit i G.
Se trata de una constante universal, es decir, su valor es el mismo en cualquier
parte del universo (conocido) e independiente del medio en el que se encuentren los
cuerpos.
Newton no determin el valor de esta constante ya que la formulacin de la ley tal
como lo hizo difiere de la formulacin que se hace actualmente y que se est viendo aqu.
El valor de G es
El sentido fsico de este valor: es la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg
situadas a una distancia de un metro.
Dos problemas resueltos
Calcula la masa de la Tierra a partir del peso de los cuerpos en su superficie. El radio de la
Tierra es de 6380 kilmetros.
El peso de un cuerpo de masa m situado en la superficie del planeta es la fuerza con que la
Tierra lo atrae. En mdulo su valor es, segn la ley de gravitacin universal
Donde MT es la masa de la Tierra y RT es el radio del planeta.
-
[5]
Por otra parte, podemos aplicar la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que la
aceleracin de cada de los cuerpos en la superficie de la Tierra es g.
Como ambas fuerzas son iguales,
Despejando la masa de la Tierra
.
Calcula la masa del Sol a partir del periodo de traslacin de la Tierra. Distancia entre la Tierra y
el Sol, 149 millones de kilmetros.
La fuerza que ejerce el Sol sobre la Tierra es, segn la ley
de la gravitacin universal (en mdulo)
Donde MT es la masa de la Tierra, Ms es la masa del Sol y
R es la distancia entre la Tierra y el Sol.
Por otra parte, el movimiento de la Tierra alrededor de
Sol es un movimiento circular resultado de una fuerza
central o centrpeta cuya expresin es segn la segunda
ley de Newton
Donde la aceleracin centrpeta es
En esta expresin v representa la velocidad en de la Tierra en rbita alrededor del Sol.
Suponiendo, como venimos haciendo, que se trata de un movimiento circular uniforme,
Por tanto,
Como ambas fuerzas son iguales
Despejando la masa del Sol,
-
[6]
.
Este procedimiento se puede utilizar para calcular la masa de cualquier planeta
con satlites sin ms que conocer su periodo de revolucin de alguno de esos satlites
alrededor del planeta (dato que se obtiene de la observacin).
3) CONCEPTO DE CAMPO. CAMPO GRAVITATORIO.
Las fuerzas se pueden clasificar atendiendo a diferentes criterios. Si nos centramos
en si los cuerpos que interaccionan se tocan o no podemos clasificarlas en:
- Fuerzas de contacto. Son fuerzas que estn aplicadas directamente sobre los
cuerpos cuyo movimiento se estudia. Por ejemplo cuando empujamos una mesa.
- Fuerzas a distancia. Generalmente son fuerzas a las que se ven sometidas las
partculas por accin de otra partcula. La fuerza gravitatoria es una fuerza a
distancia. Estas fuerzas quedan determinadas en funcin de la distancia que separa
los centros de gravedad de las partculas implicadas.
Dentro del grupo de las fuerzas (interacciones) a distancia tenemos, por ejemplo,
la interaccin gravitatoria, la interaccin elctrica y la interaccin magntica. Desde un
punto de vista clsico, para poder explicar la interaccin a distancia entre dos partculas se
introduce el concepto de campo, utilizado por primera vez por Michael Faraday (1791-
1867).
Campo: es la regin del espacio en cuyos puntos se presentan o pueden
apreciarse algunas propiedades fsicas.
Estas propiedades fsicas pueden tener carcter escalar o vectorial.
- Campos escalares. La presin atmosfrica, la temperatura, por ejemplo, son
magnitudes escalares que pueden definir campos escalares, es decir, regiones del espacio
donde dichas propiedades slo dependen de la posicin del punto y del tiempo. As, por
ejemplo, un mapa de isobaras representa las regiones del campo donde la presin tiene el
mismo valor.
- Campos vectoriales. Tambin llamados campos de fuerzas. Son, por ejemplo, los
campos gravitatorios, elctricos o magnticos. Una partcula en presencia de un campo
gravitatorio se ve afectada por una fuerza gravitatoria, una carga elctrica en presencia de
un campo elctrico se ver afectada por una fuerza elctrica.
La magnitud fsica que define un campo vectorial es la intensidad del campo
(gr vit t ri l tri g ti .
-
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Campo gravitatorio.
Se dice que existe un campo gravitatorio en una regin del espacio si una masa
colocada en un punto de esa regin experimenta una fuerza gravitatoria.
Toda partcula con masa genera un campo gravitatorio a su alrededor, es la zona
de influencia de la fuerza gravitatoria que puede generar sobre otra partcula.
Si cada masa genera su propio campo gravitatorio qu partcula est inmersa en
el campo de cul? En general, la partcula que genera el campo es la de mayor masa, por
eso decimos que los cuerpos sobre la Tierra se encuentran inmersos en el campo
gravitatorio terrestre, o que la Luna gira alrededor de la Tierra porque aquella se
encuentra en el mismo campo. As, tambin decimos que la Tierra se encuentra en el
campo gravitatorio solar, que afecta a todos los planetas que giran a su alrededor. Este
campo gravitatorio solar tambin afecta de algn modo a los satlites de los planetas, pero
al ser su intensidad inferior al campo gravitatorio planetario, se dice que cada satlite est
afectado por el campo gravitatorio de su planeta.
4) INTENSIDAD DE UN CAMPO GRAVITATORIO
Las magnitudes que caracterizan un campo gravitatorio son:
- Intensidad del campo gravitatorio, define un campo gravitatorio vectorial.
- Potencial del campo gravitatorio, define un campo gravitatorio escalar.
La primera (intensidad de campo) est relacionada con la fuerza que el campo
puede ejercer sobre una masa. La segunda (potencial del campo) est relacionada con el
trabajo que dicha fuerza puede realizar. Veremos aqu cmo se define y utiliza la
intensidad de campo gravitatorio.
Situ i p rti : s h i h st r l i l fu rz qu l p
puede ejercer sobre una masa
situada en un punto determinado del
campo. Supongamos la situacin
general representada en la figura
adjunta.
Al ser M mayor, decimos que m se
encuentra inmersa en el campo
gravitatorio generado por M.
La fuerza de atraccin entre las dos masas es, en mdulo,
Segn la segunda ley de Newton, la masa m sometida a una fuerza tiene una aceleracin
-
[8]
Esta aceleracin se ha interpretado de varias formas:
- Si M es muy grande respecto de m y r es pequeo (por ejemplo, un cuerpo sobre
la superficie de un planeta). Entonces la aceleracin es la de la gravedad, que se ha venido
expresando como g.
- Si M es muy grande respecto de m y r es grande (por ejemplo un planeta
alrededor del Sol o un satlite alrededor de un planeta). Entonces la aceleracin es
centrpeta, resultado de la fuerza central que el cuerpo M est ejerciendo sobre el cuerpo
m.
En realidad las dos formas son una misma, se denomina intensidad de campo
gravitatorio (g) que ejerce la masa M en un punto situado a una distancia r de su centro de
masa a
- Si M es la masa de la Tierra entonces decimos que g representa la intensidad del campo
gravitatorio terrestre a una distancia r de su centro de masas.
- Si M es la masa del Sol entonces decimos que g representa la intensidad del campo
gravitatorio solar a una distancia r de su centro de masas.
- Si M es la masa de la Luna entonces decimos que g representa la intensidad del campo
gravitatorio lunar a una distancia r de su centro de masas.
- etc...
La intensidad de campo gravitatorio de una masa M en un punto
representa la fuerza que experimentara la unidad de masa colocada en
dicho punto. Su unidad en el S.I. es, por tanto, Nkg1, o tambin ms-2.
Consideraciones a tener en cuenta:
- La intensidad del campo gravitatorio en un punto viene determinada por la
aceleracin que experimenta un objeto colocado en dicho punto.
- Esta aceleracin es independiente de la masa del objeto. Depende de la masa que
crea el campo y la distancia del punto considerado.
- La direccin de la intensidad del campo (aceleracin gravitatoria) es la que pasa
por el centro de masa del cuerpo que crea el campo y el punto del espacio donde se est
considerando el valor del campo.
- El sentido de la intensidad del campo (aceleracin gravitatoria) es hacia el centro
de masas que crea el campo. Por tanto, segn el criterio establecido en pg. 4 para definir
el vector unitario, su expresin vectorial ser:
-
[9]
- Es claro que si sustituimos M por la masa de la
Tierra (5,98 1024 kg) y r por el radio terrestre (6,38 106 m),
obtenemos para g un valor conocido:
Pri ipi superposicin.
Una regin del espacio puede estar bajo la influencia no de un campo gravitatorio sino de
varios. Cuando hay ms de una masa generando un campo gravitatorio se aplica el
principio de superposicin: el campo gravitatorio ser el resultado de la suma vectorial de
los campos generados por cada una de las masas.
Para n masas generando un campo gravitatorio,
Problemas resueltos
En tres vrtices de un cuadrado de 5 m de lado se disponen sendas masas de 12 Kg.
Determinar el campo gravitatorio en el cuarto vrtice. Qu fuerza experimentar una masa
de 4 kg situada en dicho vrtice.
Sistema de referencia tiene su origen donde se
encuentra la masa 1.
Diagonal del cuadrado:
Determinacin del mdulo de las intensidades del
campo gravitatorio creado por cada masa en el
vrtice del cuadrado:
-
[10]
g2 se descompone de la siguiente manera:
s
s
Expresamos ahora las intensidades de campo gravitatorio en
funcin de los vectores unitarios cartesianos,
La intensidad de campo gravitatorio total en el vrtice del cuadrado ser, segn el principio de
superposicin,
Su mdulo ser:
En cuanto a la fuerza gravitatoria que experimentara una masa de 4 kg situada en dicho vrtice,
Cuyo mdulo es,
Calcula la intensidad de campo gravitatorio que crean dos masas, M y m, en un punto P, en los
cuatro casos representados en la figura. En todos ellos las intensidades de los campos creados
por M y m tienen en P como mdulo 5 y 20 N/kg, respectivamente.
-
[11]
Datos:
gM = 5 N/kg
gm = 20 N/kg
Sistema de referencia en todos los casos tiene como origen el punto P.
a) Expresin vectorial de las dos
intensidades de campo gravitatorio en el
punto P:
Una masa de un kilogramo situada en el punto P est sometida a una fuerza de 15 N en la direccin
que une ambas masas y cuyo sentido va hacia la masa m.
b) Idntico al apartado a)
c) Expresin vectorial de las dos
intensidades de campo gravitatorio en el
punto P:
Una masa de un kilogramo situada en el punto P est sometida a una fuerza de 20,6 N en direccin y
el sentido mostrado en la figura.
d) Expresin vectorial de las
dos intensidades de campo
gravitatorio en el punto P:
s s s s
-
[12]
Suponga que un cuerpo se deja caer desde la misma altura sobre la superficie de la Tierra y de
la Luna. Explique por qu los tiempos de cada seran distintos y calcule su relacin.
MT = 81 ML ; RT = (11/3) RL
La cada de un cuerpo en la superficie de la Tierra (desde una altura pequea que no implique una
variacin detectable de la intensidad del campo gravitatorio terrestre) es un movimiento rectilneo
uniformemente acelerado cuya ecuacin del movimiento es:
Donde rt es la posicin del mvil en el instante , medido desde la superficie del planeta, h es la
altura desde la que se deja caer (velocidad inicial nula), es la aceleracin de la gravedad
terrestre, es decir, la intensidad del campo gravitatorio terrestre en su superficie (su valor es
negativo pues el vector intensidad de campo tiene sentido contrario al tomado como positivo).
En la Luna la expresin es la misma pero cambiando la intensidad del campo gravitatorio por el
lunar:
Para poder comparar ambas expresiones debemos, con los datos que nos dan, expresar la
intensidad del campo gravitatorio lunar en funcin de la intensidad del campo gravitatorio
terrestre,
En ambos casos, tanto en la Tierra como en la Luna la posicin final del cuerpo es
el suelo, es decir,
-
[13]
5) ESTUDIO ENERGTICO DE LA INTERACCIN GRAVITATORIA
La interaccin gravitatoria tambin se puede describir en trminos energticos,
teniendo en cuenta los conceptos de fuerza conservativa y de energa potencial. Una de
las formas de transmitir la energa desde un cuerpo a otro cuerpo es mediante una fuerza
de interaccin. Esta fuerza de interaccin provoca en el cuerpo sobre el que se ejerce un
desplazamiento y, por tanto, produce un trabajo. Este trabajo es la energa transmitida.
Centrmonos en el caso que nos ocupa, la interaccin gravitatoria. Supongamos
que se lanza un objeto hacia arriba. El objeto alcanza una altura mxima y luego cae.
Vamos a calcular el trabajo total realizado por la fuerza gravitatoria, que est actuando
sobre el cuerpo continuamente. En estas consideraciones se est despreciando cualquier
resistencia del aire al movimiento.
En la figura adjunta, a es el punto de partida, situado a una altura ya
respecto de la superficie, b es el punto ms alto que alcanza el objeto,
situado a una altura yb. Vamos a determinar el trabajo que realiza la
fuerza gravitatoria (peso) mientras el cuerpo sube y cuando el
cuerpo baja.
- Cuerpo subiendo:
r s g y y
- Cuerpo bajando:
r s g y y
H r t r qu l s s s s r s yb ya) ya que es el mdulo
del desplazamiento (siempre positivo).
- El trabajo total ser:
Como vemos, el trabajo realizado a travs de una lnea cerrada (trayectoria cerrada que
empieza y termina en el mismo punto) es cero.
Una fuerza es conservativa si el trabajo realizado por dicha fuerza a travs
de una lnea cerrada es nulo o, lo que es lo mismo, el trabajo realizado entre
por dicha fuerza entre dos puntos siempre es el mismo
independientemente del camino seguido.
La fuerza que interviene para mover un cuerpo desde A
hasta B por los caminos 1, 2 3 es conservativa si:
Adems, por ejemplo,
.
-
[14]
La fuerza gravitatoria y la fuerza elstica son fuerzas conservativas. Tambin es
conservativa la fuerza elctrica. La fuerza de rozamiento no es conservativa (es una fuerza
que siempre se opone al movimiento y, por tanto, siempre formar un ngulo de 180 con
el desplazamiento). Tampoco es conservativa la fuerza magntica.
Energa potencial asociada a una fuerza conservativa
La energa potencial es una magnitud caracterstica de las fuerzas conservativas. Se
representa por U o por Ep.
La variacin de la energa potencial viene definida por el llamado Teorema de la
Energa Potencial. En general, el trabajo realizado por una fuerza conservativa (F) cuando
desplaza su punto de aplicacin desde la posicin 1 hasta la posicin 2 viene dado por:
El trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a la variacin de la
energa potencial del cuerpo sobre el que acta, tomando como minuendo
la energa potencial del punto de partida.
Consideraciones:
L xpr si t ri r s l pu utiliz rs si F s servativa.
En el ejemplo anterior de un cuerpo lanzado verticalmente desde un punto del campo
gravitatorio, no se ha integrado la expresin del trabajo porque se considera que la
variacin en altura es pequea y la intensidad del campo gravitatorio permanece
prcticamente constante.
Aplicamos el teorema a dicho ejemplo. Primero cuando el cuerpo sube:
r s g y y E
Como yb > ya, entonces, E .
Cuando el trabajo que realiza una fuerza conservativa es negativo, para mover el cuerpo
desde el punto a hasta el punto b hay que realizar un trabajo en contra del campo
gravitatorio (el cuerpo no va a subir solo). Es un trabajo que debemos realizar nosotros,
cuyo valor ser igual al que realiza la fuerza conservativa pero cambiado de signo.
Cuando el cuerpo cae,
r s g y y E
Como yb > ya, entonces, E .
Cuando el trabajo que realiza una fuerza conservativa es positivo, para mover el cuerpo
desde el punto b hasta el punto a, el trabajo lo realiza el campo gravitatorio.
-
[15]
T r l s fu rz s viv s.
En mecnica del slido rgido, el trabajo realizado por una fuerza al desplazarse su
punto de aplicacin entre dos posiciones es igual al incremento que experimenta la
energa cintica del cuerpo sobre la que acta:
Dif r i tr l t r l rg p t i l y l t r l s fu rz s viv s: l
teorema de la energa potencial slo es vlido para fuerzas conservativas, mientras que el
teorema de las fuerzas vivas es vlido para todo tipo de fuerzas, conservativas y no
conservativas.
Por ejemplo, el teorema de las fuerzas vivas puede aplicarse aunque existan
fuerzas disipativas, como la fuerza de rozamiento. As, se puede utilizar para calcular el
trabajo que realizan los frenos de un coche en una frenada (sin embargo, en el caso de la
cada de un cuerpo se ha dicho desde el principio que se desprecia la resistencia del aire).
6) ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA
La fuerza gravitatoria es conservativa. Por consiguiente lleva asociada una energa
potencial cuya expresin ser deducida en este apartado, as como un anlisis de las
consecuencias de aplicacin de dicha expresin.
Situacin de partida: dos masas cualesquiera M1 y m2 (M1 >> m2). La masa m2 se
encuentra inmersa en el campo gravitatorio que genera M1 en un punto P, situado a una
distancia r del centro de M1, y se mueve desde dicho punto hasta el infinito (es decir, se
aleja del campo gravitatorio de M1).
Se puede tratar, por ejemplo, de un lanzamiento vertical de una masa en un planeta, o de
una salida de rbita de un satlite.
Cl ul l tr b j qu r liz l fu rz gr vit t ri st spl z i t .
Aqu es la fuerza gravitatoria que se establece en m2 y que es ejercida por M1. Por otra
parte, es el vector desplazamiento con origen en P y extremo en el infinito. es una
fuerza variable que depende de la distancia que hay entre las masas. Esta circunstancia
impide un clculo del trabajo con la expresin anterior, hay que recurrir a calcular dicho
trabajo (dW) en desplazamientos infinitesimales ( ):
s
-
[16]
y su r i t gr l t s l s tr b j s l ul s l fi l:
La expresin anterior representa la energa potencial gravitatoria de m2 en un punto
cualquiera P del campo gravitatorio creado por M1.
Qu representa dicha energa potencial gravitatoria?
Es el trabajo necesario para llevar, en presencia de M1, la masa m2 desde el punto donde se
encuentra hasta el infinito.
La energa potencial no se puede conocer de forma absoluta. Slo se puede conocer la
diferencia de energa potencial, pero al poner el punto final en el infinito se asume que en
dicho punto la energa potencial es cero.
V l r i l sig Ep.
Como vemos la energa potencial es negativa, es decir, el trabajo necesario para
alejar una masa de la influencia de otra lo debemos hacer nosotros en contra del campo.
Dado que se ha calculado el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria, el que tericamente
b s h r s tr s l pli r u fu rz s br 2 es el mismo pero cambiado de
signo.
Si l posicin final no es el infinito sino que es otra cualquiera.
Aplicando el teorema de la energa potencial y sustituyendo sta por la expresin
recin encontrada
-
[17]
Pueden darse dos posibilidades:
1) rA < rB , situacin dibujada anteriormente que corresponde a un alejamiento de
las dos masas. En estas condiciones,
es decir, el trabajo necesario para alejar una masa de la influencia de otra lo debemos
h r s tr s tr l p . D qu s h l ul l tr b j qu r liz l
fu rz gr vit t ri l qu t ri t b s h r s tr s l pli r u fu rz
sobre m2 es el mismo pero cambiado de signo.
2) rA > rB , situacin que corresponde a un acercamiento entre las dos masas. En
estas condiciones
es decir, el trabajo necesario para acercar una masa a otra lo realiza el campo gravitatorio.
E rg p t i l t rr str y su r l cin con la expresin Ep = mgh.
Hemos visto que la energa potencial gravitatoria de una masa m2 debido a la
interaccin gravitatoria con otra masa M1 viene dada por la expresin:
Donde r es la distancia entre los centros de masa de M1 y m2. Tambin hemos visto que su
valor representa el trabajo que hay que realizar para mover m2 desde su posicin hasta el
infinito.
Si M1 representa la masa de la Tierra todo lo dicho es vlido y entonces Ep
representa la energa potencial gravitatoria terrestre. En esta situacin se pueden hacer
algunas consideraciones:
1) r como mnimo vale el radio de la Tierra, RT. Si m2 se
encuentra en la superficie de la Tierra,
Este valor es negativo, distinto de cero. Cambiado de
signo representa el trabajo que debemos realizar en contra del campo gravitatorio
terrestre para desplazar m2 desde la superficie de la Tierra hasta el infinito.
2) Cuando m2 se encuentra a una altura h sobre la superficie terrestre, su energa
potencial ser
Este valor tambin es negativo, menos negativo que el caso anterior. Cambiado de signo
representa el trabajo que debemos realizar en contra del campo gravitatorio terrestre
para desplazar m2 desde una altura h de la Tierra hasta el infinito.
-
[18]
Cundo se puede utilizar entonces la expresin Ep = mgh? Por qu si utilizamos la
expresin Ep = mgh la energa potencial es cero en la superficie de la Tierra
contradiciendo lo que se ha mencionado anteriormente?
Volvamos a la siguiente situacin: un cuerpo se lanza
desde un punto ra hasta otro punto rb:
Si ra es la superficie de la Tierra,
Como , la expresin es aproximadamente
igual a . Entonces la variacin de energa potencial en esta
cada es
Por otra parte, si hacemos Epa = 0 ya que al encontrarse en la superficie de la Tierra su
altura sobre esta es cero,
Entonces podemos asimilar la energa potencial a una cierta altura sobre la superficie
como
La expresin Ep = mgh slo es vlida, por tanto, cuando pues en estas
condiciones la intensidad del campo gravitatorio, g, se mantiene prcticamente constante.
7) PRINCIPIO DE CONSERVACIN DE LA ENERGA MECNICA
Se llama energa mecnica de un sistema a la suma de la energa cintica y la
energa potencial
El principio de conservacin de la energa mecnica dice:
Si sobre un sistema slo actan fuerzas conservativas, la energa mecnica
del sistema se mantiene constante
-
[19]
Deduccin:
Tenemos dos teoremas que se pueden aplicar cuando un cuerpo se mueve desde
un punto a otro gracias a la accin de una fuerza conservativa:
-Teorema de la energa cintica,
-Teorema de la energa potencial,
Si ambas expresiones representan el mismo trabajo,
Este principio slo se puede utilizar si en el sistema no intervienen fuerzas no
conservativas. Sin embargo las fuerzas no conservativas, a menudo llamadas fuerzas
disipativas (disipan energa en forma de calor) son de lo ms habitual (fuerza de
rozamiento). Cuando en un sistema se tengan en cuenta estas fuerzas disipativas, el
principio de conservacin de la energa mecnica debe ser modificado.
Como el trabajo que se realiza sobre un cuerpo es igual a la suma de los trabajos
que realizan cada una de las fuerzas que actan sobre l, podemos poner,
Donde Wc es el trabajo que realiza todas las fuerzas conservativas (gravitatoria, elstica,
etc.) y Wnc es trabajo que realizan las fuerzas no conservativas (fundamentalmente la
fuerza de rozamiento). Los teoremas de la energa cintica y energa potencial se aplican
de la siguiente forma:
Por tanto,
El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas es igual a la variacin
de la energa mecnica. Es decir, la energa mecnica no se mantiene
constante.
-
[20]
8) POTENCIAL GRAVITATORIO
En la determinacin de la energa potencial de una masa m2 inmersa en el campo
gravitatorio de M1, si m2 fuese la unidad de masa, entonces el trabajo necesario para
mover la unidad de masa desde donde se encuentre hasta el infinito recibe el nombre de
potencial gravitatorio (V). Por tanto,
El potencial gravitatorio se mide en J/kg.
Se puede encontrar una expresin que permita calcular el trabajo necesario para
mover una masa m2 entre dos puntos del campo gravitatorio generado por M1 en funcin
de los potenciales gravitatorios de dichos puntos:
V
Problemas resueltos
En el dispositivo de la figura, el muelle tiene una constante elstica K = 1000 N/m y el
coeficiente de rozamiento de la masa m2 con la superficie de la mesa vale 0,1. Si, inicialmente,
el muelle se encuentra en reposo, calcula la ecuacin que proporciona el alargamiento
mximo.
Inicio
El sistema parte del reposo (vo = 0) y, segn el enunciado, el muelle no est estirado (x = 0). Con
estos datos podemos establecer que inicialmente la energa mecnica del sistema es la energa
potencial correspondiente a la altura (ho) a la que se encuentre la masa m1, es decir,
-
[21]
Final
La energa potencial de la masa m1 es la que hace moverse al sistema, que empieza a acelerar y el
muelle a estirarse hasta que el sistema se detiene (v = 0) con un estiramiento mximo del muelle
(x). En estas condiciones la energa mecnica del sistema corresponde a la energa potencial de m1
debido a la nueva altura a la que se encuentre (h) y energa potencial elstica del muelle, es decir,
Por tanto,
Ya que la variacin en altura de m1 es igual al alargamiento que se produce en el muelle, pero su
valor es negativo porque h < ho.
Entre el instante inicial y el final interviene una fuerza no conservativa (fuerza de
rozamiento), por tanto,
Donde Wnc es el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento, es decir,
Donde la distancia que recorre m2 en horizontal es igual al alargamiento que se produce en el
muelle.
Igualando la variacin de energa mecnica con el trabajo no conservativo:
Soluciones:
-
[22]
Un trineo de 100 kg parte del reposo y desliza hacia abajo por una ladera de 30 de inclinacin
respecto a la horizontal.
a) Explique las transformaciones energticas durante el desplazamiento del trineo suponiendo
que no existe rozamiento y determine, para un desplazamiento de 20 m, la variacin de sus
energas cintica y potencial, as como la velocidad del cuerpo.
b) Explique, sin necesidad de clculos, cules de los resultados del apartado a) se modificaran
y cules no, si existiera rozamiento.
a) En la figura se representa la situacin inicial y final, los datos que da el problema y el origen de
alturas.
En la situacin inicial el cuerpo est en reposo, luego no posee energa cintica (Eco = 0). En
dicha situacin el cuerpo se encuentra a una cierta altura sobre el origen de alturas y posee, por
tanto, energa potencial gravitatoria cuyo valor es,
p
La energa mecnica del cuerpo en esta situacin inicial ser:
E p
En la situacin final el cuerpo ha llegado al origen de alturas, ha perdido la energa
potencial (Ep = 0) que tena en la situacin inicial transformndose esta en energa cintica, es
decir,
E
v
La energa mecnica del cuerpo en esta situacin final ser:
v
Como el cuerpo cae sin rozamiento, no existen fuerzas disipativas y, por tanto, se cumple el
principio de conservacin de la energa mecnica,
E E E
v
-
[23]
Despejando v
Donde s . Por tanto,
s
En cuanto a las variaciones de energa potencial y energa cintica,
v J
b) Si existiera rozamiento, una fuerza disipativa, el principio de conservacin de la energa
mecnica toma la forma
Donde Wnc es el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento. Este trabajo es energa que se pierde en
forma de calor, es decir, la energa potencial inicial del cuerpo no se transforma completamente en
energa cintica cuando llega al final del plano sino que parte de esta energa se ha disipado en
forma de calor por el rozamiento entre el cuerpo y el suelo del plano. Segn este razonamiento, la
energa potencial inicial no cambia pero si la energa cintica en la situacin final, que disminuye
respecto del valor calculado. La disminucin de esta energa cintica ser el valor del trabajo no
conservativo.
Un bloque de 0,2 kg, inicialmente en reposo, se deja deslizar por un plano inclinado que forma
un ngulo de 30 con la horizontal. Tras recorrer 2 mm, queda unido al extremo libre de un
resorte, de constante elstica 200 Nm-1, paralelo al plano fijo por el otro extremo. El
coeficiente de rozamiento del bloque con el plano es 0,2.
a) Dibuja esquema todas las fuerzas que actan sobre el bloque cuando comienza el descenso
e indica el valor de cada una de ellas. Con qu aceleracin desciende el bloque?
b) Explica los cambios de energa del bloque que inicia el descenso hasta que comprime el
resorte, y calcula la mxima compresin de este.
a) El esquema de todas las fuerzas que actan sobre el bloque cuando comienza el descenso
aparece en la figura adjunta.
Se observa que sobre el bloque se ejercen tres
fuerzas, la fuerza peso, la reaccin normal del
plano y la fuerza de rozamiento.
s s
s s
Para determinar la aceleracin de cada del
bloque aplicamos la segunda ley de Newton en la
direccin del movimiento,
-
[24]
b) Sobre el cuerpo estn actuando simultneamente fuerzas conservativas y la fuerza de
rozamiento (disipativa). En estas circunstancias se cumple que el trabajo que realiza la fuerza de
rozamiento (Wnc) es igual a la variacin de energa mecnica:
E
Para desarrollar esta expresin debemos observar la siguiente figura que representa el punto
inicial y final de este movimiento.
- Valoracin energtica de la situacin inicial:
En el estado inicial no hay energa cintica pues el mvil parte del reposo. Tampoco hay energa
potencial elstica pues el resorte se encuentra en su posicin de equilibrio.
- Valoracin energtica de la situacin final:
En el estado final no hay energa cintica pues el mvil est en reposo. Existe en este estado energa
potencial gravitatoria debido a que el cuerpo se encuentra a una altura hf respecto del origen de
alturas. Adems hay energa potencial elstica pues el resorte se ha alejado de su posicin de
equilibrio.
- Variacin de energa mecnica:
Segn se puede observar en la figura,
s
Por tanto,
s
- Clculo del trabajo de la fuerza de rozamiento:
s
Durante la cada del cuerpo por el plano inclinado la energa potencial gravitatoria inicial
del cuerpo se est transformando en energa cintica, el cuerpo va ganando velocidad hasta llegar al
resorte donde convierte dicha energa cintica en energa potenical elstica. Tambin parte de la
-
[25]
energa potencial inicial se transforma en calor, debido al rozamiento del cuerpo con el plano
inclinado. No toda la energa potencial inicial se transforma en energa potencial elsica pues el
cuerpo no queda en el origen de alturas, es decir, an le queda energa potencial gravitatoria.
El principio de conservacin de la energa mecnica no se cumple cuando existen fuerzas
no conservativas, sino que se cumple que
s
Resolviendo esta ecuacin cuadrtica se obtiene como solucin x = 0,12 m = 12 cm
Desde una altura de 50 m se deja caer un cuerpo de 500 g. Si al llegar al suelo penetra en este
una distancia de 8 cm, calcula la resistencia media que ha ofrecido el suelo. En qu se ha
empleado la energa mecnica que posea el cuerpo? Se desprecia la resistencia del aire
Inicialmente
El cuerpo tiene energa potencial gravitatoria. No tiene energa
cintica pues su velocidad inicial es cero, tal como menciona el
enunciado).
Final
El cuerpo ha transformado su energa potencial inicial en
energa calorfica principalmente, es decir, la energa mecnica
se ha invertido en vencer la fuerza de rozamiento durante 8 cm.
Por tanto, la variacin de energa potencial
Al existir una fuerza no conservativa, la fuerza de resistencia del suelo,
Donde es el trabajo que realiza la fuerza de resistencia,
s
-
[26]
En lo alto de un plano de 2 m de altura y 30 de inclinacin se coloca una masa de 0,5 kg. Al
final del plano se encuentra un aro circular como indica la figura. En todo el recorrido no existe
rozamiento. Calcula:
a) La velocidad de la masa en los puntos A, B y C.
b) Desde qu altura sobre el plano se debe dejar caer la masa para que al llegar a C no ejerza
ninguna fuerza sobre el aro?
Dado que no existe rozamiento, la cada del objeto por el plano se debe exclusivamente a
una fuerza conservativa, la gravedad. En estas condiciones de cumple el principio de conservacin
de la energa mecnica,
La aplicacin de este principio al punto A,
La energa cintica inicial (Eco) es en todos los casos cero pues el cuerpo parte del reposo. La
energa potencial en A (EpA) es cero si consideramos que la base del plano inclinado es el origen de
alturas. Por tanto,
En A toda la energa potencial inicial se ha convertido en energa cintica.
La aplicacin del principio de conservacin de la energa mecnica a B, teniendo en cuenta
lo ya mencionado quedar,
En B parte de la energa cintica que el cuerpo tena en A se ha vuelto a convertir en energa
potencial,
El procedimiento en C es idntico al caso anterior pero hC = 2R, por tanto,
-
[27]
b Riz r l riz
La velocidad mnima en C para no caer es tal que el cuerpo no
t l r s ir h y u fu rz r l l r s br l
cuerpo. En estas condiciones, siendo un movimiento circular, la
fuerza peso ejerce de fuerza central, es decir,
Para que llegue al punto C con esa velocidad, haciendo las
mismas consideraciones que en el apartado anterior, la altura a la que se debe dejar caer es,
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra con una
velocidad de 4000 m/s. Calcula la altura mxima que alcanzar. (RT = 6400 km)
Si se desprecia la resistencia del aire entonces no existen fuerzas no conservativas, se
cumple el principio de conservacin de la energa mecnica,
Supondremos que al alcanzar la altura mxima el cuerpo se para, es decir, Ec = 0. Adems la
velocidad a la que se lanza es elevada y el cuerpo alcanzar una altura considerable, es decir, la
expresin de la energa potencial del cuerpo ser:
Donde MT representa la masa de la Tierra, m la masa del cuerpo, r la distancia del cuerpo al centro
de la Tierra y G es la constante de gravitacin universal. Por tanto,
La masa del cuerpo se simplifica, h representa la altura sobre la superficie de la Tierra a la que se
encuentra el cuerpo (lo que se pide) y RT el radio de la Tierra,
En esta expresin todo es conocido excepto h, que despejado nos da un valor de
h = 938900 m = 938,9 km
-
[28]
Estos apuntes se finalizaron el 18 de enero de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jan (Espaa).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
http://www.escritoscientificos.es
-
[1]
FSICA 2 BACHILLERATO
BLOQUE TEMTICO: INTERACCIN GRAVITATORIA
CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
1) Campo gravitatorio de la Tierra.
2) Magnitudes fsicas que caracterizan el campo gravitatorio.
a. Intensidad del campo gravitatorio.
b. Energa potencial gravitatoria y potencial gravitatorio.
3) Aplicaciones.
a. Periodo de revolucin y velocidad orbital.
b. Velocidad de escape de un cohete.
c. Lanzamiento de satlites. Energa y rbitas.
d. Energa mecnica de un satlite.
e. Cambio de rbita de un satlite.
1) CAMPO GRAVITATORIO TERRESTRE
Se dice que existe un campo gravitatorio en una regin del espacio si una masa
colocada en un punto de esa regin experimenta una fuerza gravitatoria.
El campo gravitatorio terrestre es un caso particular de la definicin anterior,
referida a la Tierra, es decir, el campo gravitatorio terrestre es la regin del espacio donde
una masa experimenta una fuerza gravitatoria debida a la Tierra.
Las caractersticas generales del campo gravitatorio ya han sido analizadas en el
tema anterior y son aplicables aqu.
2) MAGNITUDES FSICAS QUE CARACTERIZAN EL CAMPO GRAVITATORIO
Un campo gravitatorio queda determinado en cada punto del espacio por dos
magnitudes caractersticas:
- La intensidad del campo gravitatorio
- El potencial gravitatorio
2.1.- Intensidad del campo gravitatorio en un punto.
Esta magnitud ya ha sido definida y caracterizada en el tema anterior.
La intensidad de campo gravitatorio (g) de una masa M en un punto
representa la fuerza que experimentara la unidad de masa colocada en
dicho punto. Su unidad en el S.I. es, por tanto, Nkg1, o tambin ms-2.
-
[2]
De lo que aqu se trata es de concretar este concepto al campo gravitatorio
terrestre. As,
Donde G es la constante de gravitacin universal, G = 6,6742810-11 Nm2kg-2
MT es la masa de la Tierra, MT = 5,9741024 kg
RT es el radio terrestre, RT = 6378 km (radio ecuatorial)
h es la altura sobre la superficie terrestre a la que se est midiendo g
g es la intensidad del campo gravitatorio terrestre a una altura h sobre su
superficie.
Si hacemos h = 0 en la expresin anterior obtenemos la intensidad del campo
gravitatorio en la superficie del planeta, go
Consideraciones (aplicadas al campo gravitatorio terrestre)
- La intensidad del campo gravitatorio en un punto bien dada por la aceleracin
que experimenta un objeto colocado en dicho punto.
- Esta aceleracin es independiente de la masa del objeto. Depende de la masa de la
Tierra y de la distancia del lugar donde se encuentre al centro del planeta.
- La direccin de la intensidad del campo (aceleracin gravitatoria) es la que pasa
por el centro de la Tierra y el punto del espacio donde se est considerando el valor del
campo.
- El sentido de la intensidad del campo (aceleracin
gravitatoria) es hacia el centro de la Tierra. Por tanto, segn
el criterio establecido en la figura para definir el vector
unitario, su expresin vectorial ser:
-
[3]
Variacin de la intensidad de campo gravitatorio con la distancia
El modelo establecido para el estudio de la interaccin gravitatoria supone, para la
Tierra, que la parte del planeta que genera el campo gravitatorio est concentrada en un
punto material situado en el centro. A partir de este punto cualquier coordenada se
considera inmersa en el campo gravitatorio terrestre. Debemos considerar pues cmo
vara la intensidad del campo gravitatorio desde la superficie del planeta hacia el espacio,
pero tambin desde la superficie del planeta hacia el centro de este.
- Desde la superficie hacia el espacio exterior
Esta expresin se suele referir al valor de go
Dividiendo ambas expresiones
La representacin grfica de la
variacin de la intensidad del campo
gravitatorio (mdulo) en funcin de la
altura en kilmetros se puede
observar en la figura adjunta.
- Desde la superficie hacia el interior
del planeta.
Consideraremos que la Tierra es una
esfera slida y homognea
(aproximacin que permite hacer
estimaciones de g pero que no es real).
As, el campo gravitatorio ser nulo en
el centro de la esfera y aumentar
conforme aumenta la distancia del
centro a un punto interior.
Supongamos que deseamos conocer la intensidad del campo gravitatorio en un punto P
situado a una profundidad h. Dicho punto se encuentra a una distancia r del centro del
planeta y la masa del planeta que influye como campo gravitatorio sobre P es la masa de la
-
[4]
esfera de planeta cuyo radio es precisamente r (vase figura). Por tanto, en el interior del
planeta,
Como hemos considerado que la Tierra es una esfera
homognea,
Donde d es la densiad de la Tierra,
As,
La expresin de g en el interior de la Tierra queda,
Vemos que la variacin de g en el interior de la Tierra es lineal con la profundidad, h.
En definitiva, una representacin aproximada de la variacin de la intensidad del
campo gravitatorio terrestre desde el centro de la Tierra hasta el infinito, considerando a
la Tierra como una esfera homognea sera:
-
[5]
La gravedad tambin vara con la latitud debido al movimiento de rotacin de la
Tierra y al achatamiento en los polos.
Latitud (grados) g (m/s2) 0 9,7803 10 9,7819 20 9,7864 30 9,7932 40 9,8017 45 9,806 60 9,8191 80 9,8305 90 9,8321
2.2.- Energa potencial gravitatoria y potencial gravitatorio
Tal como se dijo en el tema anterior, la fuerza gravitatoria es conservativa, es decir,
el trabajo realizado por dicha fuerza entre dos puntos siempre es el mismo, independiente
del camino seguido. Las fuerzas conservativas tienen una magnitud caracterstica llamada
energa potencial que permite determinar el trabajo que realiza dicha fuerza (teorema de
la energa potencial),
La expresin de la energa potencial de una masa m en un punto cualquiera de un
campo gravitatorio generado por la masa M es
Donde r es la distancia entre los centros de masas de M y m.
Si sustituimos los parmetros terrestres obtenemos
Expresin que representa la energa potenical gravitatoria de un cuerpo de masa m
situado a una altura h sobre la superficie de la Tierra.
Aunque lo pueda parecer, la expresin anterior no nos da un valor absoluto de la
energa potencial ya que slo es posible conocer una diferencia entre las energas
potenciales de dos puntos del campo gravitatorio (teorema de la energa potenical). As, la
expresin anterior representa el trabajo que realiza el campo gravitatorio cuando la masa
m se mueve desde el punto donde se encuentra hasta el infinito.
La energa potencial de un cuerpo en la superficie de la Tierra ser entonces
-
[6]
Y respresenta el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria cuando m se mueve desde la
superficie de la Tierra hasta el infinito, es decir, es la diferencia entre las energas
potenciales en la superficie de la Tierra y en el infinito (donde la energa potencial es cero,
considerado como origen de energa potencial).
La energa potencial gravitatoria es siempre negativa, indicndose as que para
mover la masa m desde donde est hasta el infinito hay que realizar un trabajo externo en
contra del campo cuyo valor es igual al de la energa potencial pero cambiado de signo.
Si en lugar de una masa cualquiera se traslada la masa unidad, entonces el trabajo
realizado recibe el nombre de potencial gravitatorio terrestre (J/kg):
El potencial en un punto depende de la distancia desde dicho punto hasta el centro
del campo. Todos los puntos que equidisten del centro del campo tendrn, pues, el mismo
potencial y forman una superficie equipotencial, que es la superficie de la esfera de radio r
que rodea al punto centro del campo. Cada punto de un campo gravitatorio est definido
por un potencial, que es una magnitud escalar, por tanto, el campo gravitatorio lleva
asociado un campo escalar.
3) APLICACIONES
3.1.- Periodo de revolucin y velocidad orbital
En general un satlite es un cuerpo que
orbita alrededor de otro mayor que se
considera como el generador del campo
gravitatorio.
Para simplificar consideraremos una orbita
circular. Cuando un satlite describe una
rbita experimenta una aceleracin
centrpeta debido a que se encuentra
sometido a una fuerza central (Fc), que en el
caso de la Tierra viene suministrada por la
atraccin gravitatoria que ejerce la Tierra
sobre el satlite.
Por tanto, los mdulos de la fuerza centrpeta y la fuerza gravitatoria son iguales,
Para los parmetros fijados en la figura,
-
[7]
Donde m es la masa del satlite que, al simplificarse, indica que la velocidad orbital es
independiente de la masa del cuerpo que est girando.
Esta expresin nos dice que la velocidad orbital es inversamente proporcional a la raiz
cuadrada de la altura sobre la superficie a la que se encuentre el satlite. La expresin se
puede modificar para introducir la intensidad del campo gravitatorio,
Expresin que se tambin se conoce como primera velocidad csmica.
Otros parmetros que se pueden conocer son la aceleracin centrpeta del satlite,
y el periodo de revolucin,
Se puede observar que
que es la expresin de la tercera ley de Kepler.
Todas las expresiones anteriores son vlidas para cualquier planeta que gira en
torno al Sol, para cualquier satlite que gire en torno a otro planeta o para cualquier
cuerpo que gire en torno a otro por la fuerza de la gravedad. Simplemente hay que
cambiar la masa de la Tierra, MT, y el radio de la Tierra, RT, por los valores
correspondientes al cuerpo central. Para cuerpos muy alejados en comparacin con su
tamao es ms conveniente sustituir el trmino RT+h por la distancia (r) entre sus centros
de masa.
Si la rbita es elptica, la distancia entre los centros de los cuerpos (el central y el satlite)
es variable. En esta situacin la energa potencial del satlite (o planeta) tambin es
variable
-
[8]
Ahora bien, como slo acta una fuerza
conservativa, la energa permanece constante. As,
entre dos puntos diferentes de la rbita elptica
(puntos 1 y 2 en la figura adjunta) se cumple que
En el punto 2 la distancia es mayor y la energa
potencial es menor menos negativa que en el punto
1. Entonces, para mantener la igualdad, la energa cintica en 2 es menor que en 1, es
decir, la velocidad del cuerpo en rbita elptica es menor cuando est ms alejado del foco
y viceversa.
3.2.- Velocidad de escape de un proyectil
Para conseguir que un cuerpo lanzado desde la superficie terrestre salga del
campo gravitatorio habr que comunicarle una gran velocidad. Se denomina velocidad de
escape a la velocidad que debe adquirir un cuerpo para que se escape de la atraccin
terrestre.
Supongamos un cuerpo que se lanza desde la superficie de la Tierra. Supondremos
tambin que no hay resistencia del aire. En estas condiciones
Si el punto 2 es el infinito podremos considerar que el cuerpo ha escapado del campo
gravitatorio terrestre. Si el cuerpo se para en dicho punto,
Por tanto,
Despejando la velocidad, que denotaremos como ve,
Exprexin que recibe el nombre de segunda velocidad csmica.
-
[9]
Consideraciones:
-La velocidad de escape es independiente de la masa del objeto que quiere escapar
(un proyectil necesita la misma velocidad de escape que una molcula).
-Segn se ha visto en el desarrollo,
Es decir, un objeto al que se le ha comunicado la velocidad de escape tiene energa
mecnica cero. A medida que el proyectil se aleja de la Tierra su energa potencial va
aumentando (se va haciendo menos negativa) a costa de su energa cintica de manera
que la energa mecnica se conserva.
-Si sustituimos los valores terrestre obtenemos una velocidad de escape desde la
superficie de la Tierra de 11,2 Km/s. La expresin es vlida para objetos lanzados desde
cualquier planeta o satlite, as las velocidades de escape de los planetas del sistema solar
(y la Luna) son, en km/s
Mercurio 4,3 Jpiter 60 Venus 10,3 Saturno 36 Tierra 11,2 Urano 22 Luna 2,3 Neptuno 24
Marte 5,0 Los valores de los planetas gigantes gaseosos corresponden a la velocidad de escape desde la superficie visible de nubes.
-La velocidad de escape es aplicable tan solo a objetos que dependan nicamente
de su impulso inicial (proyectiles) para vencer la atraccin gravitatoria; obviamente, no es
aplicable a los cohetes, lanzaderas espaciales u otros artefactos con propulsin propia.
-Si el cuerpo se sube primero a una altura que se pueda considerar no despreciable
y desde este lugar se lanza, la velocidad de escape es, evidentemente, menor:
Siendo g la intensidad del campo gravitatorio terrestre a la altura h.
3.3.- Lanzamiento de satlites. Energa y rbitas.
Generalmente el lanzamiento de un satlite artificial se realiza en dos fases:
Fase 1: Se lleva el satlite a una altura h (este problema se considera en pg. 11).
Fase 2: Desde esa altura se lanza el satlite con una velocidad horizontal. El tipo de
trayectoria que adquiera depender de la velocidad con que se lance desde dicha altura.
Supongamos que el cuerpo ya se encuentra a una altura h sobre la superficie
terrestre, en ese momento el cuerpo se orienta y se lanza horizontalmente con una
velocidad vo. La energa mecnica del cuerpo ser en ese instante:
-
[10]
Dependiento del valor de vo se pueden dar los
siguientes casos (vase figura):
) Casos A y B. Son lanzamientos que comportan
cadas, es decir, son aquellos en los que la velocidad
del lanzamiento es inferior a la velocidad orbital
correspondiente a la altura de lanzamiento (h). La
trayectoria hasta la superficie es una rama de
parbola (tiro horizontal).
) Casos C y D. Son lanzamientos que ponen el
objeto en rbita. En estos casos la velocidad del
lanzamiento es igual o superior a la velocidad
orbital correspondiente a la altura h. Las rbitas pueden ser circulares (C) o elpticas (D).
En los dos casos, tanto para rbitas circulares como para rbitas elpticas, la
energa mecnica del cuerpo es negativa, es decir,
El caso C (rbita circular) se consigue si el lanzamiento tiene una velocidad igual a
la velocidad orbital (primera velocidad csmica), deducida en pgs. 6-7.
Si vo supera este valor entonces la rbita se hace elptica, tanto ms excentrica cuanto ms
se aleje vo de la velocidad orbital. Pero hay un lmite: el caso siguiente.
) Caso E. Corresponde a un lanzamiento con una velocidad igual a la velocidad de escape
del cuerpo situado a la altura h.
La trayectoria que sigue el cuerpo es parablica y sera como si la rbita elptica del caso D
se abriera cada vez ms, de forma que su eje mayor se hace infinito y el satlite sale del
campo gravitatorio siguiendo una parbola. Tal como se ha dicho en el apartado 3.2., en
este caso la energa mecnica del cuerpo es cero.
) Si la velocidad de lanzamiento es superior a la velocidad de escape a la altura h, la curva
trazada es una hiprbola. En este caso la energa mecnica del cuerpo (en el instante en
que es lanzado) es positiva,
El que la energa mecnica sea mayor que cero significa que el cuerpo llega al infinito con
una velocidad mayor que cero.
-
[11]
La figura anterior tambin se suele conocer como esquema de Newton pues Fue
Isaac Newton quien lo ide en Sobre el sistema del mundo libro III de los Principia.
Puesta en rbita de un satlite
En todas las consideraciones anteriores el cuerpo que se pone en rbita ya se
encuentra a la altura deseada. Ante la cuestin de determinar la energa necesaria para
poner un satlite en una determinada rbita desde la superficie de la Tierra debemos
tener en cuenta que al estar en un campo conservativo, se debe cumplir que la energa que
le comunicamos al satlite sea igual a la suma del incremento de su energa cintica y de su
energa potencial,
Al lanzar un satlite se suele hacer desde una latitud ecuatorial y hacia el este para
aprovechar al mximo el impulso que le proporciona la Tierra pues el satlite lleva la
velocidad del punto de lanzamiento. As, si
Veamos miembro a miembro y trmino a trmino. Para ello tendremos en cuenta que,
- MT es la masa de la Tierra
- RT es el radio de la Tierra
- h la altura sobre la superficie terrestre a la que se encuentra el satlite
- m es la masa del satlite
- vT es la velocidad de rotacin de la Tierra
- vo es la velocidad orbital del satlite a la altura h
-
[12]
Este valor se hace cero si slo se desea conocer la energa necesaria para que un cuerpo
alcance una altura h.
El cuerpo se lanza desde el ecuador pues en donde la velocidad de la Tierra (rotacin) es
mxima (radio mximo).
La energa cintica que corresponde a este valor de velocidad es, por ejemplo, para un
satlite de 65 kg de masa que hay que situar a una altura de dos radios terrestres desde la
superficie, de el 0,2 % de toda la energa necesaria. Es un valor pequeo y en algunos
problemas ni se tiene en cuenta (por ejemplo, en el anlisis de la velocidad de escape no se
ha tenido en cuenta).
Con todas estas expresiones se puede determinar la energa comunicada al satlite,
A partir de esta energa comunicada se puede determinar la velocidad con que debe ser
lanzado un satlite para alcanzar una determinada altura, asumiendo que toda esta
energa es energa cintica (y se considera que Ecrbita = 0, como se ha mencionado antes).
3.4.- Energa mecnica de un satlite en rbita cerrada.
La energa mecnica que debe tener u.n satlite para mantenerse en una orbita
estacionaria a una altura sobre la superficie terrestre suele llamarse tambin energa de
enlace.
Si el satlite describe una rbita circular
Como v es la velocidad orbital,
-
[13]
Siendo Ro la distancia desde el satlite al centro de la Tierra. Se puede observar que
mientras que el satlite se mantenga en rbita la energa mecnica del mismo permanece
constante.
Si la rbita fuese elptica la expresin de la energa mecnica sera,
donde a es el semieje mayor de la rbita elptica.
Un objeto libre, que no est ligado a la atraccin terrestre no tiene energa
potencial, su energa mecnica (positiva) ser la correspondiente a su energa cintica. Por
tanto, un satlite tiene menos energa que si estuviera libre.
3.5.- Cambio de rbita de un satlite.
Para hacer que un satlite cambie de una rbita situada a una distancia ri del
centro de la Tierra a otra rbita cuya distancia es rf, podemos conocer el trabajo que se
debe realizar pues equivale a la diferencia entre las energas de enlace correspondientes
Al utilizar esta expresin tenemos en cuenta no solo la energa potencial del satlite a la
altura a la que se encuentre sino tambin su velocidad orbital correspondiente.
Importante: esta expresin no es el trabajo que realiza el campo gravitatorio sino
que se trata del trabajo externo que se debe realizar para conseguir el cambio de rbita.
Si se trata de acercar el satlite a la Tierra,
es decir, se trata de un trabajo negativo. El proceso no requierir del consumo de energa
ya que en realidad se trata de una cada.
-
[14]
Si se trata de alejar el satlite de la Tierra,
es decir, se trata de un trabajo positivo. El proceso requiere del consumo de energa ya que
en realidad se trata de un lanzamiento hacia arriba.
Estos apuntes se finalizaron el 25 de enero de 2011
en Villanueva del Arzobispo, Jan (Espaa).
Realizados por: Felipe Moreno Romero
http://www.escritoscientificos.es
-
[1]
FSICA 2 BACHILLERATO
BLOQUE TEMTICO: INTERACCIN ELECTROMAGNTICA
CAMPO ELCTRICO
1.- Introduccin. Carga elctrica.
2.- Fuerza entre cargas elctricas. Ley de Coulomb.
3.- Campo elctrico.
3.1.- Intensidad del campo elctrico.
3.2.- Energa potencial elctrica. Potencial elctrico.
4.- Movimiento de cargas en el seno de un campo elctrico.
1) Introduccin. Carga elctrica.
El electromagnetismo es una parte de las ramas ms importantes de la Fsica. Se
dedica al estudio y unificacin de los fenmenos elctricos y magnticos. Dentro del
electromagnetismo, la electrosttica se dedica al estudio de las fuerzas que tienen lugar
entre cargas elctricas cuando estn en reposo.
Propiedades bsicas de las cargas elctricas. Modelo de carga elctrica.
Como sabemos, existen dos tipos de cargas elctricas: positivas y negativas. Esta
denominacin fue introducida por Benjamin Franklin (1706-1790) para establecer un
criterio de anlisis de los fenmenos electrostticos conocidos por entonces. Asi:
Carga positiva: se asign este tipo de carga al vidrio cuando era frotado con un
trozo de lana.
Carga negativa: se asign este tipo de carga al mbar cuando era frotado con un
trozo de piel de gato.
Estas asignaciones fueron en un principio arbitrarias y de esta arbitrariedad ha
quedado, quizs, la asignacin de cargas en las partculas subatmicas (hay que recordar
que mbar en griego se dice elektron).
Adems de la asignacin de carga elctrica a los cuerpos que se electrizan por
frotamiento, se estableci un modelo de carga elctrica que permitiera interpretar los
fenmenos elctricos:
Las cargas del mismo signo se repelen y las cargas de signo cotrario se atraen.
La carga se conserva. En la electrizacin no se crea carga, solamente se transmite
de unos cuerpos a otros, de forma que la carga total permanece constante.
Modelo de carga elctrica y teora atmica.
Una vez conocida la estructura del tomo, fue posible explicar el modelo de carga
elctrica.
-
[2]
Las carga positiva reside en el protn, partcula que se encuentra en el ncleo de
los tomos. Las carga negativa reside en el electrn, partcula que se encuentra en la
corteza de los tomos.
Los cuerpos adquieren carga positiva porque sus tomos han perdido electrones,
que han pasado al cuerpo que ha quedado cargado negativamente. Por tanto, son los
electrones los que se transfieren entre cuerpos que se electrizan.
En los cuerpos regulares cargados positiva o negativamente, la carga se distribuye
uniformemente por el cuerpo y siempre por su superficie. Esto es debido a que es en la
superficie donde las cargas pueden estar ms separadas y por tanto, tener menos
repulsin. No obstante, esta distribucin de carga es ms fcil en los conductores que en
los aislantes.
La cantidad de carga ms pequea es la del electrn. La cantidad de carga total de
un cuerpo corresponde al nmero de electrones que ha perdido o que ha ganado.
Hasta hace relativamente poco tiempo se ha credo que la carga del electrn era la
menor carga posible. Las nuevas teoras sobre la constitucin de las partculas atmicas en
quarks han postulan la existencia de cantidades de carga iguales a 1/3, 2/3 o 1/2 de veces
la carga del electrn.
Unidad de carga elctrica.
La carga elctrica, que se simboliza como q o Q, se mide en Culombios (C).
Un culombio se define oficialmente como la cantidad de carga elctrica que fluye
a travs de la seccin de un conductor durante un segundo cuando la corriente es de un
amperio.
Fue Millikan quien midi por primera vez la carga del electrn en la segunda
dcada del siglo XX. El valor admitido hoy es:
Por tanto, se puede conocer la cantidad de electrones que ha perdido o ganado un cuerpo
cuya carga es de un culombio:
Donde N es el nmero de electrones y e la carga del electrn. Sustituyendo obtenemos:
luego, tambin podemos decir que un culombio es la cantidad de carga de un cuerpo que
ha perdido o ganado 6,24 trillones de electrones.
Un culombio es una cantidad de carga muy grande. En la mayora de los problemas
se suelen utilizar submltiplos de esta cantidad: miliculombios (mC), microculombios
(C) nanoculombios (nC) o, incluso, picoculombios (pC).
-
[3]
2) Fuerza entre cargas elctricas. Ley de Coulomb.
Uno de los primeros estudios cuantitativos serios sobre las fuerzas de atraccin o
de repulsin existentes entre cargas elctricas se debe a C.A. Coulomb en 1785. Estableci
que:
El valor de la fuerza con que se atraen o se repelen dos cargas puntuales
en reposo es directamente proporcional al producto de sus cargas e
inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa
En esta definicin se habla de cargas puntuales. Quiere decir que los cuerpos
cargados tienen dimensiones despreciables en relacin a la distancia que los separa y se
pueden considerar, por tanto, como puntos.
La expresin del mdulo de la fuerza de atraccin o repulsin elctrica es:
Donde,
F es la fuerza de atraccin o repulsin elctrica, en Newtons.
Q y q son las cargas elctricas, en culombiosc de los dos cuerpos cargados.
r es la distancia, en metros, que separa los centros de los dos cuerpos cargados.
K es una constante de proporcionalidad cuyas unidades son Nm2C-2.
La constante de proporcionalidad, K, no es una constante universal. Depende del
medio en el que se encuentren inmersos los dos cuerpos cargados. En general podemos
escribir que
Donde es la constante dielctrica del medio. En el vaco esta constante tiene un valor de
Utilizando este valor, el valor de la constante de proporcionalidad es de 9109 Nm-2C2. El
valor de K en el aire es prcticamente el mismo.
Las dems constantes dielctricas se suelen expresar en funcin del valor de la
constante dielctrica del vacio,
Donde r es la constante dielctrica relativa. Es evidente que la constante dielctrica
relativa para el vacio tiene un valor de 1 (para el aire es 1,0006, para el agua a a 20 tiene
un valor de 80).
2.1.- Fuerza ejercida por un conjunto de cargas puntuales: principio de superposicin.
La fuerza elctrica es, como todas las fuerzas, una magnitud vectorial, por tanto:
-
[4]
Si una carga puntual se ve sometida simultneamente a la accin de varias
cargas, la fuerza resultante ser la suma vectorial de todas las fuerzas
ejercidas sobre dicha carga por las dems (principio de superposicin).
Veamos un ejemplo concreto de aplicacin: para el sistema de cargas de la figura,
determina la fuerza electrosttica a la que se ve somitida la carga n 2.
Normalmente es conveniente tomar como origen de
ejes cartesianos la carga que est sometida a la
fuerza resultante que deseamos calcular, pero en
este caso el sistema de coordenadas viene
impuesto.
Como clculo previo la distancia entre q3 y q2
Procedemos ahora a dibujar las fuerzas a las que se
ve sometida q2: F1,2, que ser una fuerza de
atraccin y F3,2, que ser una fuerza de repulsin
(ver figuras adjuntas).
Determinamos ahora los mdulos de las fuerzas,
Como el ngulo es
sen
cos
Como vemos, no hemos tenido en cuenta los signos de las cargas pues hemos determinado
los mdulos de las fuerzas. El signo de las cargas se tiene en cuenta ahora, al basarnos en
el dibujo y teniendo en cuenta los vectores unitarios cartesianos, cuando escribimos,
Aplicando el principio de superposicin,
-
[5]
El mdulo de esta fuerza es
Y su representacin aproximada:
3) Campo elctrico.
El concepto de campo ya fue establecido en el tema dedicado a la gravitacin
universal, as como de las magnitudes que caracterizan un campo en fsica. Por este
motivo, en muchas ocasiones estos apuntes hacen referencia a dicho tema, centrndose en
las caractersticas que diferencian el campo elctrico del gravitatorio.
Se dice que existe un campo elctrico en una regin del espacio si una carga
de prueba en reposo, colocada en un punto de esa regin, experimenta una
fuerza elctrica.
En la figura la carga q se encuentra en tres posiciones
diferentes respecto de la carga Q. Decimos que q se
encuentra inmersa en el campo elctrico de Q ya que
experimenta una fuerza elctrica de repulsin al ser Q
y q dos cargas positivas.
El campo elctrico es conservativo. Como se vi en el
tema de gravitacin universal, esto implica, entre
otras cosas que:
) El trabajo necesario para mover la carga q a lo largo de una lnea cerrada es cero.
) El trabajo necesario para mover la carga q entre dos puntos del campo creado por Q no depende
del camino seguido sino de las posiciones de los puntos incial y final.
) El campo conservativo elctrico queda definido por dos magnitudes: la intensidad del campo
elctrico y el potencial elctrico.
-
[6]
3.1.- Intensidad del campo elctrico.
Definicin.
Se define el vector campo elctrico, , o intensidad de campo elctrico en cualquier
punto como la fueza elctrica, , que acta sobre la unidad de carga positiva colocada en
ese punto.
Donde,
.) , es el vector intensidad de campo elctrico creado por la
partcula cargada Q en un punto situado a una distancia r de
la misma. Su mdulo se mide en N/C.
) q, es la carga de prueba positiva colocada a una distancia
r de la carga Q.
) K, es la constante electrosttica.
) r, es el punto del espacio donde se est determinando la intensidad de campo elctrico.
En este punto se considera que hay una unidad de carga positiva.
) , es un vector unitario. Su direccin es la lnea de unin entre Q y el punto del campo
considerado y su sentido es desde Q hacia el exterior.
La fuerza elctrica que se establece entre dos cargas queda expresada, en funcin
de la intensidad del campo elctrico:
Lneas de campo para cargas aisladas. Caractersticas de las lneas de campo.
A diferencia del campo gravitatorio donde el vector intensidad de campo siempre
va dirigido hacia el centro de la masa que crea en campo, en el campo elctrico el sentido
de dicho vector depende del signo de la carga que crea el campo. En las figura siguiente se
representan las lneas de campo (tambin lneas de fuerza) de dos cargas elctricas
aisladas, una positiva y otra negativa.
-
[7]
Caractersticas de las representaciones de intensidades de campos mediante lneas de
fuerza:
- Cada lnea indica el camino que seguira una carga de prueba positiva situada en un punto de dicha lnea. - Cada lnea representa la direccin y sentido de la intensidad de campo, no su valor. - Normalmente, una mayor densidad de lneas de campo indica un valor mayor de la intensidad de campo. - En el caso del campo elctrico las lneas son abiertas, salen siempre de las cargas positivas y terminan en el infinito o en las cargas negativas. - Las lneas se dibujan de manera que el nmero de ellas que salgan de una carga positiva o entren en una carga negativa sea proporcional a dicha carga. - Las lneas de campo no pueden cortarse una a otras, pues un punto de corte indicara que existen dos vectores intensidad de campo distintos en dicho punto. - Si el campo es uniforme, las lneas de campo son rectas paralelas.
Intensidad de campo creado por un sistema de cargas puntuales. Principio de
superposicin.
Si en una regin del espacio tenemos ms de un cuerpo cargado, es decir, ms de
una carga, la intensidad del campo elctrico en un punto de dicha regin ser la suma
vectorial de las intensidades de campo elctrico individuales de cada carga en dicho punto.
El mtodo de clculo de la intensidad de campo elctrico
creado por un sistema de cargas en un punto es utilizar
las componentes cartesianas, como se ha hecho en el
problema resuelto de la pgina 4.
Campos elctricos en sistemas de dos cargas.
Si, aplicando el principio de superposicin, determinamos los valores de la
intensidad del campo elctrico en los diferentes puntos del espacio que rodea a dos cargas
y representamos las lneas de fuerza que definen dichos valores, obtenemos las formas de
los campos elctricos que aparecen en las siguientes figuras.
-
[8]
Analogas y diferencias entre el campo elctrico y el campo gravitatorio.
-
[9]
5 problemas resueltos.
El campo elctrico entre las armaduras del condensador de la figura es de 4000 N/C Cunto vale la carga de la esfera si su masa es de 3 mg?
-
[10]
-
[11]
Dos pequeas bolitas, de 20 g cada una, estn sujetas por hilos de 2,0 m de longitud suspendidas de un punto comn. Cuando ambas se cargan con la misma carga elctrica, los hilos se separan hasta formar un ngulo de 15. Suponiendo que se encuentran en el vaco, prximas a la superficie de la Tierra: a) Calcula la carga elctrica comunicada a cada bolita. b) Se duplica la carga elctrica de la bolita de la derecha. Dibuja en un esquema las dos situaciones (antes y despus de duplicar la carga de una de las bolitas) e indica todas las fuerzas que actan sobre ambas bolitas en la nueva situacin de equilibrio.
a) Las bolitas se separan por aparecer en ellas una fuerza de repulsin al tener la misma carga elctrica. Esta fuerza de repulsin mueve las bolitas hasta alcanzar una posicin de equilibrio, es decir, hasta que la resultante de todas las fuerzas que actan sobre cada bolita sea nula. El esquema de fuerzas en esta posicin de equilibrio aparece en la figura adjunta. La tensin de la cuerda puede descomponerse en sus componentes,
sen cos
En esta situacin de equilibrio,
Ecuacin que podemos resolver por ejes, de acuerdo con el sistema de referencia elegido en la figura adjunta. As, en el eje y tenemos que,
cos
En el eje x tenemos,
sen
-
[12]
Si dividimos adecuadamente estas expresiones
sen
cos
tan
tan
Por otra parte, la fuerza de repulsin electrosttica acata la ley de Coulomb, es decir,
donde q es la carga de cada bolita y r es la distancia entre ambas. Para calcular esta distancia (ver figura de la pgina anterior),
sen
sen
Despejando y sustituyendo,
b) Si duplicamos la carga elctrrica de la derecha el equema de fuerzas cambia de la siguiente manera:
En l se puede observar que las fuerzas que actan sobre ambas bolitas no cambian en direccin y sentido en la nueva situacin de equilibrio. Adems las fuerzas del eje y no cambian en mdulo pues la fuerza peso no ha cambiado y es compensada por Ty. Pero en el eje x, el mdulo de la fuerza de repulsin s ha cambiado (aumentado) y, por tanto, Tx, tambin cambia. Por tanto la tensin de la cuerda cambia y el ngulo de separacin tambin. En esta nueva situacin de equilibrio,
sen
cos
Dividiendo adecuadamente ambas expresiones,
tan
En esta expresin desconocemos el ngulo y la distancia.
Un cuerpo tiene una masa de 0,1 kg y est cargado con 10-6
C. A qu distancia por encima de l se debe colocar otro cuerpo cargado con -10 10
-6 C para que el primero est en equilibrio?
Las fuerzas que actan sobre el cuerpo de 0,1 kg al situar encima de l el otro cuerpo cargado se representan en la figura. El valor de la fuerza peso es, . La fuerza elctrica entre los dos cuerpos cargados debe ser de atraccin, por tanto las cargas de ambos cuerpos son de distinto signo. El mdulo de esta fuerza elctrica es,
-
[13]
La situacin es de equilibrio, es decir,
De donde,
Una descripcin simple del tomo de hidrgeno (modelo de Bohr) consiste en un nico electrn girando en una rbita circular alrededor de un ncleo que contiene un solo protn, bajo la accin de una fuerza atractiva dada por la ley de Coulomb. Si el radio de la rbita es 5,2810
-9 cm, calcula el nmero de
revoluciones que da el electrn en un segundo. Datos: carga del electrn = 1,610
-19 C, masa del electrn en reposo = 9,1110
-31 kg
En la figura adjunta se representa la situacin del protn y el electrn en el tomo de hidrgeno. La fuerza elctrica que se establece entre el protn y el electrn viene dada por la ley de Coulomb,
donde q es la unidad fundamental de carga, la carga del electrn, y que coincide en valor con la carga del protn. Esta fuerza elctrica es una fuerza central pues perpendicular a la velocidad del electrn, por tanto, el movimiento del electron se puede suponer circular uniforme donde
Despejando v y sustituyendo,
( )
Se trata de una velocidad pequea comparable con la de la luz, por lo que la utilizacin de la masa del electrn en reposo (sin tener en cuenta consideraciones relativistas) es correcta. El periodo de revolucin del electrn es (movimiento circular uniforme),
En nmero de revoluciones por segundo (frecuencia) que da un electrn en el tomo de hidrgeno es,
. . . . .
-
[14]
3.2.- Energa potencial elctrica. Potencial elctrico.
La fuerza elctrica es una fuerza central y, al igual que ocurre con la fuerza
gravitatoria, es una fuerza conservativa. Las fuerzas conservativas permiten definir una
energa potencial, en este caso, elctrica (Ep).
Para obtener la expresin de esta energa potencial procederemos como se hizo en
el caso de la energa potencial gravitatoria, es decir, determinaremos la expresin del
trabajo que realiza la fuerza elctrica cuando una carga elctrica cualquiera, q, se mueve
entre dos puntos A y B de un campo elctrico qureado por una carga Q. La situacin viene
representada en la siguiente figura.
Se puede observar que la carga que se mueve desde A hasta B lo hace por el camino APB.
Como la fuerza es conservativa, el camino tomado para ir desde A hasta B no influye en el
clculo del trabajo realizado por la fuerza elctrica. Adems, se ha considerado que ambas
cargas Q y q son de signos opuestos.
cos
cos
cos
Como rP = rB
( )
donde el trmino
representa la energa potencial de la carga q inmersa en el campo elctrico de la carga Q a
una distancia r de la misma.
No es posible conocer la energa pontencial absoluta de una carga en un punto de
un campo elctrico. Ahora bien, para dar un significado a esta energa potencial,
supongamos que el punto B se encuentra en el infinito. Entonces
-
[15]
( )
La energa potencial en un punto es el trabajo realizado por la fuerza
electrosttica al trasladar una carga elctrica q desde el punto al origen de
energa potencial que normalmente se toma en el infinito.
Valoracin del signo del trabajo realizado por la fuerza elctrica.
( )
-El acercamiento de dos cargas elctricas del mismo signo no es un proceso
espontneo. Si rB
-
[16]
El valor del potencial (V) en un punto se define como la energa potencial
elctrica que adquirir la unidad de carga positiva situada en dicho punto.
As, decimos que la carga Q dota a los puntos que se encuentran a su alrededor de
la propiedad de que cualquier otra carga situada en uno de esos puntos adquiere una
energa potencial elctrica.
No es posible conocer el potencial elctrico en un punto determinado. As, la
expresin anterior representa el trabajo que realiza la fuerza electrosttica cuando la
unidad de carga positiva se mueve desde el punto situado a una distancia r hasta el
infinito. Si la unidad de carga positiva (q = 1 C) se mueve entre dos puntos A y B, el trabajo
que realiza la fuerza electrosttica ser,
( )
( )
Si en lugar de ser la unidad de carga positiva la que se mueve en el campo es una carga q
cualqueira, el trabajo ser,
( )
La unidad del potencial elctrico es el voltio (V)
( )
( )
( )
La electrosttica permite dar una definicin de voltio diferente a la que da el
estudio de la corriente elctrica. As, decimos que en un punto de un campo elctrico existe
un potencial de 1 voltio cuando una carga de 1 culombio situada en dicho punto tiene una
energa potencial de 1 julio.
Otras consideraciones a tener en cuenta.
Si en una regin del espacio existe ms de una carga elctrica la energa potencial de
una carga situada en un punto de dicha regin ser:
Donde Q1, Q2 Qn son las cargas que crean el campo elctrico, que se encuentran situadas a distancias r1, r2, rn del punto donde se est calculando la energa potencial. Este valor representa el trabajo necesario para mover la carga q desde donde se encuentra hasta el
infinito en presencia de Q1, Q2 Qn.
Si en una regin del espacio existe ms de una carga elctrica el potencial elctrico en
un punto de dicha regin ser:
-
[17]
Donde Q1, Q2 Qn son las cargas que crean el campo elctrico, que se encuentran situadas a distancias r1, r2, rn del punto donde se est calculando el potencial. Este valor representa el trabajo necesario para mover la unidad de carga positiva desde donde se
encuentra hasta el infinito en presencia de Q1, Q2 Qn.
La representacin del campo elctrico a travs del potencial se consigue uniendo los
puntos del espacio donde el valor del potencial elctrico es idntico. Todos estos puntos
forman una superficie llamada superficie equipotencial. Por ejemplo, para dos cargas
aisladas de signos opuestos (las superficies equipotenciales vienen representadas por los
crculos concntricos),
Para dos cargas enfrentadas, iguales y del mismo signo (a) o para dos cargas iguales de
signos contrarios (b)
Relacin entre campo y potencial. Atendiendo a la relacin entre la derivada y la
integral, se puede ver que el mdulo del campo elctrico en la direccin del movimiento es
la derivada del potencial elctrico respecto del desplazamiento, es decir,
-El campo elctrico marca cmo vara el potencial elctrico con la distancia. Por
este motivo se puede ver tambin como unidad de campo elctrico el Voltio por metro
(V/m).
-El vector campo va siempre dirigido hacia puntos de potenciales decrecientes.
-Las lneas de fuerza son perpendiculares a las superficies de potencial.
El electrn-voltio. Hemos visto que una carga q que se mueve en el seno de un campo
elctrico desde un punto A a otro punto B cumple que,
-
[18]
Si esta carga q es la del electrn (1,610-19 C), y la diferenci