EJERCICIOS

Se deja caer una piedra desde el borde de un acantilado. Una segunda piedra se lanza hacia abajo desde el mismo lugar un segundo más tarde con una rapidez inicial de 15 m/s. a) Si ambas piedras golpean el suelo simultáneamente, determine la altura del acantilado. b) Calcular la velocidad de cada piedra justo antes de llegar al suelo

Para la piedra A tenemos que

h=12

g t A2 (1 )

para la piedra B tenemos que

h=v0 BtB+12

g tB2 (2 )

sabemos que si las dos piedras caen simultaneamente, entonces la piedra B debe tardar menos tiempo, tenemos entonces que

tB=tA−1 (3 )

Igulanado (1) y (2) para hallar t A usando g=10m

s2 obtenemos que

t A=2 s

tB=1 s

De este modo

h=20m

Para halar las velocidades finales de dada una de las piedras tenemos

Para la piedra A

v0A=0

v fA=g t A

v fA=20ms

Para la piedra B

v fB=v0B+g tB

v fB=25ms

Un auto y un tren se mueven al mismo tiempo a lo largo de trayectorias paralelas a 25m/s. Debido a una luz roja el auto experimenta una aceleración uniforme de –2.5m/s2 y se detiene. Permanece en reposo durante 45s, después acelera hasta una velocidad de 25m/s a una tasa de 25m/s2. ¿A qué distancia del tren está el auto cuando alcanza la velocidad de 25m/s, suponiendo que la velocidad del tren se ha mantenido en 25m/s?

Tenemos que el tiempo que el auto tarda en parar es

t=25

ms

2.5m

s2

=10 s

La distancia que recorre mientras desacelera es

dauto=[25 m

s ]2

2[2.5ms2 ]

=125m

La distancia que recorre el tren desde el momento en que el auto comienza a desacelerar y transcurren los 45 segundos es

d tren=[25 ms ]∗55 s=1375m

En el omento en que el auto comienza a moverse nuevamente la distancia entre este y el tren esd tren−dauto=1250m

Cuando el auto empieza a acelerar hasta alcanzar una velocidad de 25ms

recorre una distancia de

dauto´ =

[25 ms ]

2

2[25ms2 ]

=12.5m

Y el tiempo que tarda en alcanzar esta velocidad es

t=25

ms

25m

s2

=1 s

La distancia que recorre el tren mientras el auto acelera es

d tren´ =[25m ⁄ s ]∗1 s=25m

La distancia entre los dos será

D=25m+1250m−12.5m=1262.5m

Una bala indestructible de 2cm de largo se dispara en línea recta a través de una tabla que tiene 10cm de espesor. La bala entra en la tabla con una velocidad de 420m/s y sale con una velocidad de 280m/s. a) ¿Cuál es la aceleración promedio de la bala a través de la tabla? b) ¿Cuál es el tiempo total que la bala está en contacto con la tabla? c) ¿Qué espesor de la tabla se requeriría para detener la bala?

Para hallar la aceleración promedio tenemos que

a=[420m ⁄ s ]2−[280m ⁄ s ]2

2 [0.14m ]=35∗104 m

s2

El tiempo que la bala permanece en contacto con la tabla es

t=420m ⁄ s−280m ⁄ s

35∗104m

s2

=4∗10−4 s

El espesor de la tabla para el cual se detendrá la bala esta dado por(Teniendo en cuenta que la bala experimenta la misma desaceleración)

d=[ 420m ⁄ s ]2

2[35∗104 ms2 ]

−0.04m=0.212m=21.2cm

Se dispara un proyectil hacia arriba de una pendiente con un ángulo ϕ con una velocidad inicial v0 a un ángulo θ0 respecto a la horizontal donde (θ0>ϕ). Muestre que el proyectil recorre una

distancia d hacia arriba de la pendiente donde.

d=2v0

2 cosθ0 sen (θ0−ϕ )gcos2ϕ

Para que valor de θ0 es d maxima

Las componentes para la velocidad de la partícula están das por

v0x=v0cos θ0

v0 y=v0 senθ0

Para el desplazamiento vertical y horizontal respectivamente están dados por

y=dsenϕ(1)

x=dcosϕ (2 )

y=¿ v0 y t−12

g t2(3)

x=v0x t(4)

Reemplazando (1) y (2) en (3) y (4) respectivamente obtenemos que

dsenϕ=¿ ( v0 senθ0 ) t−12

g t2(5)

dcosϕ=(v0 cosθ0 ) t(6)

De (6) obtenemos que

dcos ϕv0 cosθ0

=t (7)

Reemplazando (7) en (5) tenemos que

dsenϕ=¿ ( v0 senθ0 ) dcosϕv0 cosθ0

−12

g( dcos ϕv0 cosθ0 )

2

Resolviendo para d obtenemos

d=2v0

2 cosθ0 [ cosϕsenθ0−cosθ0 senϕ ]gcos2ϕ

d=2v0

2 cosθ0 [ sen(θ0−ϕ)]gcos2ϕ

Para hallar el valor máximo de la distancia que puede alcanzar la partícula, derivamos la ecuación

anterior con respecto a θ0 e igualamos a cero (maximización), esto es

d dd θ0

=0

De aquí obtenemos que

cosθ0cos (θ0−ϕ )−senθ0 sen (θ0−ϕ )=0

Al resolver obtenemos que

sen22θ0=cosϕ

cosϕ−senϕ

Para el valor de θ0 en el cual d es máxima es

θ0=12

sen−1[√ cosϕcosϕ−senϕ ]

Una pequeña esfera sale con una velocidad inicial v0 como se muestra en la figura. Determinar

la distancia d a la cual cae la pequeña esfera sobre el plano inclinado.

Para el desplazamiento horizontal tenemos que

x=v0t (1)

El desplazamiento máximo que experimenta la pequeña esfera antes de hacer contacto con la superficie inclinada es

x=dcosβ (2)

De (1) y (2) tenemos que

t=dcosβv0

(3)

El máximo desplazamiento vertical (negativo debido a que el vector es dirigido hacia abajo)

y=− (l+dsenβ )(4 )

Debido a que no hay velocidad vertical (v0 y=0¿

(l+dsenβ )=12

g t 2(5)

Reemplazando la ecuación (3) en la ecuación (5) tenemos que

( l+dsenβ )=12

g [ dcosβv0 ]

2

Al resolver la ecuación cuadrática siendo nuestra variable d obtenemos

d=

v02[senβ ±√sen2 β+ 2 g lcos2β

v02 ]

gcos2 β

Debido a que el término que contiene a la raíz es mayor senβ, tomamos solo el signo positivo, entonces nos queda

d=

v02[senβ+√sen2β+ 2g lcos2 β

v02 ]

gcos2 β

Un volante de 4 m de diámetro, comienza a girar desde el reposo con aceleración angular constante de 4 rad/s2. En el instante inicial un punto P del borde del volante forma un ángulo de 57.3º con la horizontal. Calcular para el instante 2 s su rapidez angular, la rapidez lineal (tangencial) de P, la aceleración lineal (tangencial) de P y la posición de P.

ωf =αt=[4 rad

s2 ] [2 s ]=8 rads

v f=r ωf =[2m ][8 rads ]=16 m

s

a=rα=[2m ] [4 rad

s2 ]=8 m

s2

θ=θo+12

α t 2=1 rad+ 12 [4 rad

s2 ] [2 s ]2=9 rad

En una función de circo dos hermanos realizan el siguiente acto. Uno de ellos denominado el

hombre bala es lanzado por un cañón desde una altura h0 y con velocidad inicial v0. Al otro lado

su hermano se deja caer verticalmente desde una altura l¿3h0. La distancia horizontal entre

ellos es d, el acto consiste en que ellos, después de ser lanzado y dejarse caer respectivamente queden unidos. Con que ángulo inicial debe ser lanzado el denominado hombre bala para que el acto sea culminado a la perfección. Cuáles son las coordenadas en las cuales los dos hermanos se encuentran

Para el movimiento vertical del hombre bala tenemos que

y=h0+v0 senϕ−12

g t2 (1 )

Y para su hermano es

y=l−12

g t 2 (2 )

Igualando (1) y (2) tenemos que el tiempo en el cual los desplazamientos verticales coinciden es

t y=2h0

v0 senϕ(3)

Ahora para el desplazamiento horizontal tenemos que

Para el hombre bala

x=(v¿¿0cosϕ) t(4)¿

Y para su hermano es

x=d (5)

Igualando (4) y (5) tenemos que el tiempo en el cual los desplazamientos horizontales coinciden es

t x=d

v0 cosϕ

La condición para que ambos se encuentren es que el tiempo de coincidencia de los desplazamientos verticales y horizontales sea el mismo, esto es

dv0 cosϕ

=2h0

v0 senϕ

De aquí obtenemos que

ϕ=tan−1[ 2h0d ]

Para encontrar las coordenadas en las cuales los dos hermanos se encuentran tenemos lo siguiente

La coordenada en x es necesariamente d . Para hallar la coordenada en y reemplazamos la ecuación (3) en la ecuación (2), tenemos que

Coordenadas de encuentro =[d ,(3h0−12

g( 2h0vo senϕ )

2

)]U bateador conecta un hit a una pelota que lanza el pitcher cuando esta se encuentra a una

altura h0 sobre el suelo, la pelota sale con un ángulo β con respecto al suelo. Con este

lanzamiento la pelota debe tener un alcance horizontal d (hasta el nivel donde hace contacto con

el bat) ¿Cuál debe ser la mínima distancia d para que la pelota pase por encima de una cerca que se encuentra a una distancia D desde donde el bat hace contacto con la pelota y tiene un altura h?

Tenemos que el alcance máximo esta dado por

d=v02 sen2 β

g(1)

De aquí tenemos que la velocidad inicial de la pelota es

v0=√ gdsen2 β

Cuando la pelota esta exactamente por encima de la cerca, el tiempo transcurrido esta dado por

t= Dv0 cosβ

= Dcosβ √ sen2 β

gd(2)

Tenemos que el desplazamiento vertical e la pelota está dado por

y=h0+(v¿¿0 senβ ) t−12

g t 2(3)¿

Remplazando (2) en (3) tenemos que

y=h0+Dtanβ−D 2 sen2β2dcos2β

La condición para que la pelota alcance pasa sobre la cerca es que

y=l

Tenemos entonces que

l=h0+ Dtanβ−D2 sen 2β2d cos2β

Al despejar d obtenemos

d= D2 sen 2β2(h¿¿0+Dtanβ−l)cos2β ¿

Se tira una piedra desde un precipicio de altura ho horizontalmente con una velocidad vo, en el

mismo instante se tira otra piedra desde una distancia L de la base del precipicio con la misma

velocidad vo con el fin de que las dos piedras se encuentren en sus trayectorias. Para qué ángulo

de lanzamiento de la segunda piedra, las dos se encontraran en sus trayectorias

Tenemos que para el desplazamiento vertical

h1=ho−12

g t 2

h2=vo tsenα−12

g t 2

Al igualarh1=h2 tenemos que

ho=v otsenα (1)

Para el desplazamiento horizontal tenemos que

x1=−vot

x2=−L+vot

Al igualarx1=x2 tenemos que

t= L1+cosα

(2 )

Remplazando (2) en (1) y haciendo un pequeño proceso matemático tenemos que

cosα=L2−ho

2

L2+ho2

α=cos−1[ L2−ho2

L2+ho2 ]

Una persona puede nadar a una velocidad máxima v0 en una piscina. Ahora debe

afrontar una prueba en la cual debe atravesar un rio que tiene una velocidad vr hacia el

sur y un ancho d. ¿en qué dirección debería nadar la persona para atravesar el rio directamente si utiliza solo el 80% de la velocidad máxima que puede alcanzar y empieza desde la orilla oeste? ¿Cuánto tiempo e toma atravesar el rio?

La condición para que pase directamente el rio es que la componente hacia el norte de la velocidad de la persona sea igual a la velocidad del rio, esto es

0.8 v0 senϕ=vr

De aquí obtenemos que

ϕ=sen−1[ vr

0.8 v0 ]endireccion noreste

Para hallar el tiempo que le toma cruzar el rio debemos conocer la componente de la velocidad de la persona en dirección este

veste=√ [0.8 v02 ]2−vr

2

d=veste t

De aquí obtenemos que

t= 10d

√64 v02−100vr

2

Cae nieve verticalmente a una velocidad vn ¿cuál es la velocidad relativa de la nieve

respecto al conductor? y ¿a qué ángulo de la vertical parecen caer los copos de nieve según los vea el conductor de un auto que avanza en un camino recto a con una

velocidad vc

Tenemos primero que la velocidad del auto es

vc=vc i

La velocidad de la nieve es

vn=−v n j

La velocidad relativa del conductor y de la nieve está dada por

vR= vc− vn=vc i+vn j

vR=vc i+vn j

De este modo si necesitamos el ángulo con respecto a la vertical con el cual el conductor percibe la nieve tenemos que

β=tan−1[ vc

vn]

Una maquina lanzadora de pelotas de tenis tiene un alcance máximo D ¿para que ángulos de

elevación el alcance seria de D3

?

Por medio de la expresión de alcance máximo tenemos que

D=v02 sen2ϕ

g(1)

Para el alcance máximo sabemos que

ϕ=45o

Entonces

v02=gD(2)

Para que alcance una distancia máxima de D3

tenemos lo siguiente

D3

=v02 sen2θ

g(3)

Reemplazando (1) y (2) en (3) tenemos

sen2θ=13

De esta manera

θ=12

sen−1[ 13 ]El otro ángulo β para el cual el alcance es

D3

cumple con la condición de que

β+θ=90o

De aquí tenemos que

β=90o−12

sen−1[ 13 ]

Un electrón con una velocidad inicial horizontal v0 entra en una región situada entre dos

placas paralelas horizontales que están cargadas eléctricamente. En tal región el electrón se

desplaza una distancia horizontal d y tiene un aceleración constante a0 debido las placas

cargadas. ¿Qué tiempo tarda el electrón cruzar entre la región entre las dos placas? ¿Qué distancia vertical recorre el electrón hasta salir de la región entre las placas? cual es la magnitud de las componentes de la velocidad vertical y horizontal del electrón después de que sale de la región entre las placas e−¿¿

Cuando el electrón entra a la región entre las placas paralelas no posee componente vertical de velocidad, solo horizontal, de este modo

v0x=v0

v0 y=0

El tiempo que tarda el electrón en cruzar la región es

t= dv0

De este modo tenemos que el desplazamiento vertical que experimenta el electrón es

y=12

a0 t2

y=12

a0[ dv0 ]

2

La componente horizontal de la velocidad perméense invariante de este modo

v0x=v fx=v0

La componente vertical de la velocidad del electrón al salir de la región está dada por

v fy=a0 t

v fy=a0d

v0

Se deja caer una piedra dentro de un pozo profundo, se escucha el sonido de la piedra al chocar con el fondo de pozo 5 segundos después. Calcular la profundidad del pozo. Si ahora tenemos el mismo pozo invertido (hacia arriba) con que velocidad inicial debería lanzarse la piedra para que el sonido regrese en 3 segundos.

Tenemos que

h=12

g t descenso2 (1 )

h=v st ascenso (2 )

t ascenso+t descenso=5 s (3 )

Remplazando (3) en (2)

h=v s (5 s−td ) (4 )

Remplazando (4) en (1)

12

g td2+v st d−vs5 s=0

t d=

−340 ms

±√[340 ms ]

2

+2 [9.8ms2 ][340m

s ] [5 s ]

9.8ms2

t d=4.68 s

h=[340 ms ] [5 s−4.68 s ]=107.4m

Tenemos que el tiempo que tarda el sonido en regresar para los dos casos es el mismo

t d=0.32 s

t a=3 s−0.32 s=2.68 s

h=vo t a−12

g t a2

vo=h+ 12

g ta2

t a

vo=

107.4m+12 [9.8 m

s2 ] [2.68 s ]2

2.68 s=53.2 m

s

Se lanza una piedra desde una azotea con velocidad inicial v0 y a un ángulo β respecto a al

horizontal. La azotea tiene una altura h. Si se desprecia la resistencia dela aire calcule la velocidad de la piedra justo antes de tocar el suelo y muestre que es independiente del ángulo β

Sabemos que la componente horizontal de la velocidad permanece constante esto es

v0x=v fx=v0 cosβ (1)

Para la componente vertical de la velocidad tenemos que

v0 y=v0 senβ

v fy2−voy

2 =2 gh

De aquí

v fy2=voy

2 sen2β+2gh (2 )

Para hallar la velocidad final tenemos que

v f=√v fy2 +v fx

2 (3 )

Remplazando (1) (2) en (3)

Tenemos que

v f=√v02+2gh

Se tiene un sistema como el mostrado en la figura. Este sistema acelera de 0 a ωo en t segundos y

las esferas se encuentran a distancias de R3

y 2R3

del centro o pivote. Cundo la plataforma barre

un ángulo π4

para instantáneamente haciendo que ambas esferas salgan disparadas. Calcular a

que distancia horizontal cae una de la otra a nivel del pivote

Para la bola 1 tenemos que

vo1=ωo R

3

voy1=ωo R sen

π4

3=

ωo R

3√2

vox1=ωo R

3√2

ho1=R cos

π4

3=

R3√2

0= R3√2

+ωo R

3√2t−12

g t2

Al resolver la ecuación cuadrática tenemos que

t=

13 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+6gR√22 ]

2 g

Tenemos que el desplazamiento horizontal de la esfera 1 referenciado desde el pivote esta dado por

x1=

ωo R

9√2 [ωo R

√2+√ ωo

2 R2+6 gR√22 ]

2g− R3√2

Para la esfera 2 hacemos el mismo procedimiento y obtenemos

0=R√23

+ωo R √23

t−12

g t 2

Resolviendo la ecuación cuadrática

t=

23 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+3gR√22 ]

2 g

Tenemos que el desplazamiento horizontal de la esfera 2 referenciado desde el pivote esta dado por

x2=

2ωo R

9√2 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+3gR√22 ]

2g− 2R3√2

x2−x1=

2ωo R

9√2 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+3gR√22 ]

2g−

ωo R

9√2 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+6gR √22 ]

2g+ R3√2

− 2R3√2

x2−x1=

2ωo R

9√2 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+3gR√22 ]−ωo R

9√2 [ ωo R

√2+√ ωo

2R2+6 gR√22 ]

2 g− R3√2

Una cubeta de masa m llena de agua se acelera hacia arriba con un cordel de masa despreciable

y cuya resistencia a la ruptura es T 0. ¿Qué fuerza neta actúa sobre la cubeta? Determine la

aceleración máxima hacia arriba que se puede imprimir a la cubeta sin que se rompa la cuerda

La fuerza neta que actúa sobre la cubeta está dada como

Hacían arriba la tensión de la cuerda y hacia abajo su peso

fuerza neta=T−mg

La máxima aceleración que puede experimenta la cubeta está dada como

T 0−mg=ma

De aquí

a=T0−mg

m

Se tiene un péndulo de longitud L en el cual hay unida una esfera de masa m, este péndulo se

dispone en posición horizontal. Si la cuerda del péndulo tiene una tensión de ruptura T 0, ¿para

qué ángulo con respecto a la vertical esta se reventaría mientras la esfera cae?

Tenemos que cundo la cuerda forme un angulo θ con la vertical, la esfera experimentara una velocidad igual a

mgL=12

m v2+mgLcos θ

De aquí tenemos que

v2=2 [ gL−gLcosθ ] (1 )

Si hacemos la suma de fuerzas en el eje radial cuando la cuerda forma un ángulo θ con la vertical, teneos que

∑ FR=T o−mgcos θ=m ac=m v2

L(2)

Remplazando (1) en (2) tenemos que

cosθ=2mg−T o

mg

θ=cos−1[ 2mg−T o

mg ]

Un bloque de masa m esta unido a una varilla vertical por medio de dos hilos. Cuando el sistema

gira sobre el eje de la varilla los hilos se extienden y la tensión en el hilo superior es T 0 ¿Qué

tensión hay en el otro hilo? ¿Cuál es la frecuencia de revolución del movimiento?

Haciendo la sumatoria de fuerzas sobre la masa m

∑ f R=T 0 cosθ+Tcosθ=m ac (1)

∑ f y=¿T 0 senθ−Tsenθ−mg=0 (2)¿

De (2) tenemos que

T=T0 senθ−mg

senθ

Teniendo en cuenta que el radio de giro de la masa m alrededor del eje fijo es

R=√L2−d2

4=12√4 L2−d2 y que ac=4 π2 f 2 R

Tenemos que la frecuencia de oscilación de la masa alrededor del eje fijo es

f =[ 1

2m π2√4 L2−d2 [T 0 cosθ+T 0 senθ−mg

senθ ]]12

Se tiene un péndulo cónico de longitud L el cual gira con una frecuencia f . A esta frecuencia ¿que ángulo formara el péndulo cónico con la vertical? Si este mismo péndulo se colocara a girar en el planeta x con una frecuencia igual 2 f ¿Cuál será la relación de las longitudes para

que formen el mismo ángulo si se sabe que la gravedad en el planeta x es g6

?

Tenemos que

∑ F y=Tcos φ=mg

T= mgcosφ

(1)

∑ FR=Tsen φ=mac (2 )

Remplazando (1) en (2)

gtanφ= v2

R(3 )

R=Lsenφ(4)

v2=[2πfLsen φ ]2(5)

Remplazando (4) y (5) en (3) tenemos que

cosφ= g

4 π 2Lf 2

φ=cos−1[ g

4 π2L f 2 ]Para hallar la longitud de la cuerda hacemos el procedimiento teniendo en cuenta que

gplaneta x=g6

f =2 f

cos φ= g

96 π2 f 2 Lplaneta x

De aquí

Lplaneta x=g

96 π2 f 2 cosφ

Lplaneta x

L=

g

96 π2 f 2 cosφg

4 π2 f 2 cosφ

= 124

Lplaneta x

L= 124

Una masa M se mantiene fija mediante una fuerza aplicada F y un sistema de poleas (figura).las poleas tienen masa y fricción despreciables. Encuentre la tensión en cada una de las secciones de la cuerda y la magnitud de F

De la figura podemos observar que

T 5=T 2+T 3(1)

T 5=Mg (2)

T 1=T2=T3(3)

F=T 1

Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos que

T 1=Mg2

T 2=Mg2

T 3=Mg2

T 4=3Mg2

F= Mg2

Se tiene un arreglo como el de la figura, donde hay una masa m1 y m2 (m1>m2) unidas a una

polea móvil inicialmente en reposo. Calcular la velocidad angular del disco de 2R3

de diámetro,

la velocidad angular del disco de 3 R de diámetro y su velocidad tangencial en el extremo después

de que pasa un tiempo t o de haber soltado las masas

Tenemos que para la polea

Para m1

∑ F y=m1g−T=m1a(1)

Para m2

∑ F y=T−m2 g=m2a(2)

Resolviendo (1) y (2) obtenemos que

a=(m1−m2)g

m1+m2

(3)

Ahora tenemos que

a=R ω1

3 t o

(4 )

Remplazando (3) en (4)

ω1=3 t o (m1−m2 ) g

(m1+m2) R(5 )

Las relaciones para los raadios y lsa velocidad angulares estan dadas por

ω1R3

=ω23R2

ω2=29

ω1 (6 )

Remplazando (5) en (6)

ω2=2t o (m1−m2 ) g3 (m1+m2 ) R

(7 )

ω2=2v23 R

(8 )

Remlazando (8) en (7)

v2=t o (m1−m2 ) g

(m1+m2 )

La masa m1sobre una mesa horizontal sin fricción se conecta a la masam2 por medio de una polea móvil y una polea fija sin masas figura. Determinar expresiones para las tensiones en las cuerdas, y las aceleracionesa1 y a2en función de m1 ,m2 y g.

Para m1

T 1=m1a1 (1 )Para m2

m2g−T 2=m2a2(2)

Ahora tenemos las siguientes relaciones

T 2=2T1 (3 )

a1=2a2 (4 )

Remplazando (1) en (3)

T 2=4m1a2 (5 )

Remplazando (4) y (5) en (2) tenemos que

a2=m2g

4m1+m2

(6 )

Remplazando (6) en (4)

a1=2m2g

4m1+m2

(7)

De aquí obtenemos que

T 1=2m1m2 g

4m1+m2

T 2=4m1m2 g

4m1+m2

Se tiene un pequeño bloque en el borde superior de una plataforma inclinada con un ángulo φ y de longitud (figura)L. el borde superior de la plataforma esta a una altura h sobre el nivel de suelo. El bloque se desliza sobre la recorriendo su longitud L en un tiempo t. determinar el coeficiente de fricción estático entre el bloque y la superficie, la aceleración experimentada por el bloque y el coeficiente de fricción cinético.

Para hallar el coeficiente de fricción estático tenemos lo siguiente

∑ F y=N−mgcosα=0(1)

∑ F x=mgsenα−f r=0(2)

N=mgcosα (3)

f r=µs N=µs mgcosα (4)

De (2) y (4) obtenemos que

µs=tanα= h

√L2−h2

Para hallar la aceleración del bloque tenemos que

v f2−vo

2=2aL (5 )

v f−vo=at (6 )

De (5) y (6) y sabiendo quevo=0obtenemos que

a=2L

t 2

Para halla el coeficiente de fricción cinético tenemos que

∑ F y=N−mgcosα=0(7)

∑ F x=mgsenα−f r=ma(8)

N=mgcosα (9)

f r=µk N=µk mgcosα (10)

De (7), (8) y (10)

µk=gsenα−2 L

t 2

gcosα

Si tenemos que cosα=√ L2−h2

L

µk=h−2 L2

t 2

√ L2−h2

Que fuerza horizontal debe aplicarse al carro mostrado en la figura con el propósito de que los bloques permanezcan estacionarios respecto del carro suponga que todas las superficies las ruedas y la polea son sin fricción

Para m1

∑ F x=T=m1a (1)

∑ F y=N1−m1g=0 (2 )

Para m2

∑ F x=N 2=m2a(3)

∑ F y=T−m2 g=0 (4)

Para M

∑ F x=F−T−N 2=Ma(5)

∑ F y=−m1 g−Mg+N3=0 (6)

De (1) y (4) tenemos que

a=m2 g

m1

(7 )

De (7) y (3)

N2=m22g

m1

(8 )

Remplazando (4), (7) y (8) en (5) tenemos que

F=m2g

m1[m1+m2+M ]

Un juguete de u niño está compuesto por una pequeña cuña que tiene un ángulo agudo en el vértice ϕ (figura) el lado de la pendiente de la cuña no presenta fricción y se hace girar la cuña a velocidad constante al rotar una barra que está unida firmemente a ella en un extremo. Demuestre que cundo la masa m asciende por la cuña una distancia L la velocidad de la masa es

v=√gLsenϕ

∑ F x=Nsenϕ=mac (1)

∑ F y=Ncosϕ−mg=0 (2 )

De la ecuación (2) tenemos que

N= mgcosϕ

(3)

Tenemos que el radio de giro de la masa m esta dado por

R=Lcosϕ (4 )

Si remplazamos (3) y (4) en (1) tenemos que

mgtanϕ=mv2

Lcosϕ

v=√gLsenϕ

Con que periodo T debería girar el cilindro de la figura con el fin de evitar que el bloque de masa m que está apoyado contra su superficie interior caiga si entre este y la superficie existe un

coeficiente de fricción estáticoµs y el cilindro tiene un radio R

∑ FR=¿ N=mac(1)¿

∑ F y=¿ f r−mg=0 (2)¿

f r=µs N=µsm ac (3 )

Si remplazamos (3) en (2) tenemos que

µs m ac=mg(5)

Sabemos que la aceleración centrípeta está dada en función del periodo como

ac=4 π2R

T2(6 )

Remplazando (6) en (5) obtenemos

T=[ 4 π2µs R

g ]12

Una pequeña cuenta puede deslizarse sin fricción por un aro circular de radio L que está en un plano vertical. El aro gira con una frecuencia f sobre el diámetro vertical (figura) para que ángulo β la cuenta se encuentra en equilibro vertical.

∑ FR=¿ Nsenβ=m ac (1)¿

∑ F y=¿ Ncosβ−mg=0(2)¿

N= mgcosβ

(3 )

El radio de giro de la cuenta alrededor del eje vertical esta dado por

R=Lsenβ (4 )

Remplazando (3) y (4) en (1) tenemos que

cosβ= g

4 π2 f 2L

β=cos−1[ g

4 π2 f 2 L ]Un carrito de control remoto de masa m se mueve con velocidad v (constante) en un círculo vertical de un cilindro hueco de radio R que magnitud tiene la fuerza normal ejercida sobre el carrito en las paredes del cilindro en el punto A y en el punto B (figura)

Para el punto A

∑ FR=¿ N A−mg=mac¿

N A=m [ v2

R+g]

Para el punto B

∑ FR=¿ N B+mg=m ac ¿

N B=m [ v2

R−g ]

Un bloque peño bloque de masa m se coloca dentro de un cono invertido que gira sobre un eje vertical de modo que la duración de una revolución es T (figura) las paredes del cono forman un

ángulo β son la vertical. El coeficiente de fricción estática entre el bloque y el cono es µs si el

bloque ha de mantenerse a una altura h sobre el vértice del cono ¿qué valores máximos y mínimos puede tener T?

∑ FR=¿−f r senβ+Ncosβ=mac(1)¿

En este caso la fuerza de fricción actúa hacia arriba evitando que el bloque caiga

∑ F y=Nsenβ+ f r cosβ−mg=0(2)

f r=µs N (3)

De (2) tenemos que

N=mg−f r cosβ

senβ(4 )

De (3) y (4) obtenemos que

f r=µs mg

senβ+µs cosβ(5 )

N= mgsenβ+µs cosβ

(6 )

Remplazando (5) y (6) en (1) obtenemos

mgcosβ−µs mgsenβ

senβ+µs cosβ=m

4 π2RT2

(7)

Teniendo en cuenta que

R=htanβ (8 )

De (7) y (8) obtenemos que

T min=2π [ htanβg [ senβ+µs cosβ

cosβ−µs senβ ]]12

Para hallar el periodo máximo de revolución tenemos que la fuerza de fricción actúa hacia arriba haciendo que el bloque no caiga, de esto tenemos que

∑ FR=¿ f r senβ+Ncosβ=m ac(9)¿

∑ F y=Nsenβ−f r cosβ−mg=0 (10)

Haciendo el mismo procedimiento concluimos que

T max=2π [ htanβg [ senβ−µs cosβ

cosβ+µs senβ ]]12

Una cuña de masa M descansa en una mesa horizontal sin fricción. Un bloque de masa m se coloca sobre la cuña, se aplica una fuerza F a la cuña. (Figura) que fuerza F debe ser aplicada a la cuña para que el bloque sobre ella se mantenga a una altura constante respecto a la mesa.

Para m

∑ F x=¿N 1 senα=ma(1)¿

∑ F y=¿ N1 cosα−mg=0 (2 ) ¿

N1=mg

cosα(3 )

Para M

∑ F x=¿−N1 senα+F=Ma (4 )¿

∑ F y=¿−(m+M ) g+N 2=0(5)¿

Si remplazamos (3) y (1) en (4) obtenemos que

−mgtanα +F=Mgtanα

F=(m+M ) gtanα

El bloque A de peso 3w resbala con rapidez contante bajando por un plano S inclinado un

ángulo ϕ mientras la tabla B descansa sobre A estando sujeta a un hilo a la pared. (Figura) si el coeficiente e fricción cinética es el mismo entre A y B y entre S y A determine su valor.

Para 3w

∑ F x=¿3wsenϕ−f r1−f r2=0 (1)¿

∑ F y=¿−3wcosϕ−wcosϕ+N 2=0(2)¿

N2=4wcosϕ (3)

Para w

∑ F x=¿T−wsenϕ−f r1=0 (4)¿

∑ F y=¿ wcosϕ−N1=0 (5)¿

N1=wcosϕ (6)

f r1=µk N 1=µk wcosϕ (7 )

f r2=µk N2=4 µk wcosϕ(8)

Si remplazamos (7) y (8) en (1) obtenemos

3wsenϕ=5 µk wcosϕ

µk=35

tanϕ

Una masa m parte desde el tope de un semicírculo sin fricción con rapidez inicial muy pequeña y baja por el costado (figura). En qué punto el bloque pierde contacto con la superficie

semiesférica es decir que ángulo α forma con la vertical a línea radial que va del centro del semicírculo al bloque.

Tenemos que

mgR=12

mv2+mgh (1 )

La altura en la cual el bloque pierde contacto está dada por

h=Rcosα(2)

∑ FR=¿mgcosα−N=mac (3 ) ¿

La condición para que el bloque pierda contacto con la superficie es que N=0, entonces tenemos que

v2=Rgcosα(4)

Remplazando (2) y (4) en (1) obtenemos que

cosα=23

α=cos−1[ 23 ]

Un sistema que consta de dos masas unidas por un cuerda ligera se suelta desde el reposo con la

masa m1 a una altura h sobre el piso, mientras la masa m2 esta apoyada sobre el piso. ¿Qué

velocidad tendrá la masam1en el momento que golpee el piso?

Tenemos que

m1gh=m2gh+ 12

m1 v2+ 12

m2 v2

Debido a que ambas masa tendrán la misma velocidad tenemos que

2gh ( m1−m2 )=v2(m1+m2)

v=[ 2gh (m1−m2 )(m1+m2 ) ]

12

Dos bloque de masas m1y m2 respectivamente se conectan entre sí por medio de una cuerda de

musa despreciable que pasa por una polea sin fricción (figura). El coeficiente de fricción cinético

entre el bloque de masa m1 y la pendiente es µk. Determine el cambio de energía cinética del

bloque de masam1 cuando se mueve de C a D una distancia d

Para m1

∑ F x=¿T−m1 gsenβ−f r=m1a(1)¿

∑ F y=¿ N−m1gcosβ=0 (2 )¿

f r=µk N=µk m1gcosβ (3)

Para m2

∑ F y=m2 g−T=m2a(4)

Si remplazamos (2), (3) y (4) en (1)

m2g−m2a−m1gse nβ−µk m1 gcosβ=m1a

De aquí tenemos que

a=m2 g−m1gsenβ−µk m1 gcosβ

m1+m2

(5 )

Tenemos de las ecuaciones de la cinemática que

v f2−vo

2=2ad (6 )

Si multiplicamos (6) por m1

2 obtenemos

m1

2v

f

2

−m1

2v

o

2

⏟∆ K

=m1ad (7 )

Remplazando (5) en (7) tenemos que

∆ K=m1gd(m¿¿2−m1 senβ−µk m1cosβ )

m1+m2

¿

Una fuerza F paralela a un plano inclinado en 37º, se aplica sobre un bloque de masa 50 kg. El bloque se mueve con una rapidez constante de 10 m/s hacia arriba del plano, una distancia de 20 m. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y el plano inclinado es 0.2. Calcular el trabajo efectuado sobre el bloque por las fuerzas F de roce y de gravedad

Haciendo sumatoria de fuerzas

∑ F x=F−f r−mgsen37=0(1)

∑ F y=N−mgcos37=0(2)

f r=μ N (3 )Remplazando (2) en (3)

f r=μ mgcos37 (4 )Remplazando (4) en (1)

F=μ mgcos37+mgsen37

De aquí el trabajo efectuado por la fuerza de fricción es

W f r=−f r d=−[0.2∗50kg∗[9.8m

s2]cos37]∗20m=−1.6kJ

El trabajo efectuado por la fuerza F es

W F=Fd= [[0.2∗50kg∗[9.8m ⁄ s2]cos37]+50 kg∗[9.8m ⁄ s2]cos37 ]∗20m=7.8kJ

El trabajo efectuado por la fuerza gravitacional estada dado por

W mg=mgdcos127=50 kg∗[9.8 m

s2 ]∗20m∗cos127=−5.8kJ

Un bloque de masa m situado sobre una pendiente rugosa con ángulo de inclinación α se conecta a un resorte de masa despreciable que tiene una constante de resorte k (figura) el bloque se suelta desde el reposo cuando el resorte no está deformado y la polea no presenta fricción. El bloque se mueve una distancia d hacia debajo de la pendiente antes de detenerse. Encuentre el coeficiente de fricción cinético entre el bloque y la pendiente.

Tenemos que

W otras=∆ Etotal(1)

La única fuerza no conservativa que actúa es la fuerza de fricción y el trabajo realizado por esta es

∑ F y=¿ N−mgcosα=0¿

N=mgcosα

f r=µk N=µk mgcosα (2)

W otras=−f r d (3)

∆ E total=[ 12 k d2−0]+ [0−mgdsenα ] (4 )

Remplazando (2), (3) y (4) en (1) tenemos que

−µk dmgcosα=12

k d2−mgdsenα

µk=mgsenα−1

2kd

mgcosα

Una esfera de 0.5 kg desliza por un riel curvo a partir del reposo en el punto A de la figura. El segmento de A a B no tiene roce y el de B a C si tiene roce. Calcular la rapidez del bloque en B. Si el bloque llega al reposo en C, calcular el trabajo por el roce en ese tramo 1m2m A B C

Tenemos que

mgh=12

m v2

v=√2gh=√2∗[9.8 ms2 ]∗2m=6.2 m

s

El trabajo realizado por la fuerza de roce es igual al cambio de energía del sistema en ese tramo

W f r=∆ E=∆ U+∆ K=[0.5kg∗[9.8 m

s2 ]∗1m ]−12 [0.5kg ] [6.2 ms ]

2

=−4.9J

Un bloque de masa m se suelta desde la parte superior de una pista lisa formada por un cuadrante cóncavo de circunferencia de radio R por la cual desliza y pasa por una superficie rugosa horizontal que tiene una distancia d y un coeficiente de roce μ después de esto choca contra un resorte ubicado en el extremo de la plataforma. Calcular la rapidez del cuerpo justo antes de chocar con el resorte y la compresión del resorte

El trabajo realizado por la fuerza de roce es igual al cambio de energía mecánica del sistema

W f r=∆ E=∆ K+∆ U

−μmgd=12

m v2−mgR

v=[2 [ gR−μgd ] ]12

Para hallar la compresión que experimenta el resorte tenemos que

K=U resorte

m [ gR−μgd ]=12

k d2

d=[ 2m [ gR−μgd ]k ]

12

Un péndulo integrado por una cuerda de longitud L y una esfera oscila en un punto vertical oscila en un plano vertical la cerda golpea una clavija que está situada a una distancia d debajo del punto de suspensión (figura). Demuestre que si el péndulo se suelta desde una posición

horizontal ϕ=90 y oscila en un circulo completo entonces el valor mínimo de d es 35

L

Tenemos que

mgL=12

m v2+2mg ( L−d )(1)

Para hallar v

∑ FR=¿T+mg=m ac (2)¿

Para que de cómo máximo una vuelta completa la condición es que

T=0

De este modo

v2=Rg(3)

R=( L−d )(4)

Si remplazamos (3) y (4) en (1) obtenemos que

L= L2−d2+2 L−2d

d=35

L

Un bloque de 5 kg. Se pone en movimiento subiendo por un plano inclinado en un ángulo de 30° respecto a la horizontal, con una rapidez inicial de 8 m/s. El bloque alcanza el reposo después de recorrer 3 m a lo largo del plano inclinado áspero. Determine: el cambio en la energía cinética, el cambio en la energía potencial, el coeficiente de roce cinético y la fuerza de roce sobre el bloque

Para hallar el cambio en la energía cinética tenemos que

∆ K=K f −K i=0−12

[5kg ]∗[8 ms ]

2

=−160 J

Para hallar el cambio en la energía potencial tenemos que

∆ U=U f−U i=[5 k g ][9.8 m

s2 ] [3m ] sen30−0=73.5J

Haciendo la sumatoria de fuerzas sobre el bloque tenemos que

N=mgcos30

De este modo tenemos que la fuerza de roce es

f r=μ N=μ mgcos30

El trabajo realizado por la fuerza de roce (no conservativa) es igual al cambio de energía mecánica del sistema

W f r=∆ E=∆ K+∆ U

−μ mgdcos30=∆ K+∆ U

μ= −−160J +73.5J

[5kg ][9.8 m

s2 ] [3m ]cos 30=0.7

f r=μ N=μ mgcos30=0.7∗[5kg ][9.8 m

s2 ]cos30=30N

Una bala de masa m se mueve con una velocidad inicial v0 y atraviesa u bloque de masa M y de

longitud L. Figura. El bloque de masa M esta sobre una superficie sin fricción e inicialmente en reposo conectado a un resorte de constante k. si el bloque de masa M se mueve una distancia d hacia la derecha después del impacto. Encontrar la velocidad a la que a bala sale del bloque y el cambio en su energía cinética.

La fuerza externa debida al resorte genera un cambio en la cantidad de movimiento con respecto al tiempo, entonces tenemos que

−kd=∆ p∆ t

=m(v f −vo)

∆ t(1)

Para hallar el tiempo que tarda el centro de masa del sistema compuesto en experimentar el cambio en su cantidad de movimiento tenemos que

v fcm−vocm=acm ∆ t (2)

v fcm2 −vocm

2 =2acm dcm(3)

v fcm=m v f

m+ M(4)

v fcm=m v f

m+ M(5)

dcm=m (d+L )+Md

m+M(6)

De (2), (3), (4), (5) y (6) obtenemos que

∆ t=2 [m (d+L )+Md ]

m(v f +v0)(7)

Remplazando (7) en (1) obtenemos

v f=[v02−2kd [m ( d+L )+Md ]m2 ]

12(8)

Para hallar el cambio de energía cinética tenemos que

∆ K=12

m v f2−12

m v02(9)

Remplazando (8) en (9) tenemos que

∆ K=−kd [m (d+L )+Md ]

m

Dos carritos de igual masa, m, se colocan sobre una pista con fricción en una sección de longitud d y coeficiente μ (figura) que tiene un resorte ligero de constante fuerza k unido al extremo derecho de la pista. Al carrito de la izquierda se le da una velocidad inicial de vo hacia la derecha y el otro carrito a la derecha del primero está inicialmente en reposo. Si los carros chocan elásticamente, encuentre la velocidad de cada uno justo después del primer choque, y la comprensión máxima en el resorte.

Tenemos que (v1representa la velocidad del bloque sela derecha despues delimpacto ¿m vo=m v1+mv2

v2=vo−v1(1)

12

m vo2=12

m v12+ 12

m v22(2)

Remplazando (1) en (2)obtenemosv1 ( v1−vo )=0

v1=vo esta no es solución , no es consistente

v1=0De aquí tenemos que

v2=vo

Para hallar la compresion del resorte tenemos que

W f r=∆ E (3)

W f r=−μ mgd(4)

∆ E=12

k x2−12

m vo2 (5 )

Remplazando (4) y (5) en (3)

x=√ m vo2−2 μ mgd

k

Una pequeña bola de masa m golpea una pared con una velocidad v a un ángulo β con respecto a la horizontal y rebota con la misma velocidad y con el mismo ángulo. Si la pelota está en contacto con la pared un tiempo ∆ t ¿Cuál es la fuerza promedio que la pared ejerce sobre la pequeña bola?

La pequeña bola experimenta un vcambio en la cantidad de movimiento en la direcciondel eje x; la

fuerza externa actua en la direccion −i Entomces tenemos que

−Fexterna=∆ px

∆ t

∆ px=(mvcosβ ) i−(−(mvcosβ ) i )=(2m vcosβ ) i

F externa=−(2mvcosβ) i

∆ t

En bloque de masa m se suelta desde el reposo en la parte superior de una cuña de masa M de altura h que se encuentra sobre una superficie plana sin fricción. (figura). El coeficiente de

fricción cinético entre el bloque y la cuña es μk. Cuando el bloque abandone la cuña ¿Cuál será

al velocidad esta?

Tenemos que

W otras=∆ K total

∆ K total=12

m vm2−mgh(2)

W otras=−f R d (3)

f R=μk mgcosβ(4)

d= hsenβ

(5 )

Remplazando (2), (3),(4) y (5) en (1)

Tenemos

vm=[ gh−μk ghcotβ ]12 (6)

Teniendo en cuenta que la cantidad de movimiento se conserva tenemos que

m vm=M vM (7 )

Remplazando (6) en (7)

vM= mM

[ gh−μk ghcotβ ]12

Una bala de masa m se dispara contra un bloque de masa Mque se encuentra inicialmente en reposo en el borde de una mesa sin friccion de altura h. la bala permanece en el bloque y despues del impacto el conjunto aterriza a una distancia d del pie de la mesa. Determinar la velocidad inicial de la bala.

Tenemos para la cantidad de movimiento lineal

m v0m= (m+M ) v

De aquí tenemos que la velocidad del conjunto es

v=m v0m

(m+M )(1)

Inicialmente el conjunto tiene solo comonente de velocidad en x, entonces tenemos que

d=vt (2 )

Remplazando (1) en (2) tenempos que

t=(m+M )d

m v0m

(3 )

h=12

g [ (m+M ) dmv 0m

]2

(4 )

de aquí obtenemos que

v0m=√ g2h [ ( m+M ) d

m ]

Una bala de masam1, se dispara contra un bloque de madera de masa m2, inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal e el cual se incrusta la bala. Después del impacto el bloque se desliza una distancia D antes de detenerse. Si el coeficiente de roce entre el bloque y la superficie es μ, ¿Cuál es la velocidad de la bala inmediatamente antes del impacto?Tenemos que

m1 v1=[m1+m2 ] v i2

De aquí

v i2=m1 v1

m1+m2

(1)

Despues del impacto

∑ F x=−f r=[m1+m2 ]a (2 )

∑ F y=N=[m1+m2 ] g(3)

f r=μ N=μ [ m1+m2 ] g (4 )

a=−v i2

2

2D(5)

Remlazando (4) y (5) en (2)

v i2=√2 μ gD (6 )

Remplazando (6) en (1)

v1=[m1+m2 ] √2 μ gD

m1

Un bloque de masa m se suelta desde la parte superior de una pista lisa formada por un cuadrante cóncavo de circunferencia de radio R por la cual desliza y pasa por una superficie rugosa horizontal que tiene una distancia d y un coeficiente de roce μ después de esto choca contra un resorte ubicado en el extremo de la plataforma en el cual hay unido un bloque de masa M. al chocar ambos bloques continúan unidos hasta que la fuerza ejercida por el resorte los detiene. Calcular la compresión del resorte

El trabajo realizado por la fuerza de roce es igual al cambio de energía mecánica del sistema

W f r=∆ E=∆ K+∆ U

−μmgd=12

m v2−mgR

v=[2 [ gR−μgd ] ]12 (1 )antes dechocar conel boque demasa M

Cuando el bloque de masa m choca contra el bloque de masa M la velocidad inicial del conjunto esta dada por

mv=(m+M ) vo (2 )

Remplazando (1) en (2) tenemos que

vo=m [2 [ gR−μgd ] ]

12

(m+M )(3)

Para el conjunto tenemos que

−vocm2 =2acm dcm(4)

acm=ma+Ma

m+M=a

−kd=(m+ M )a

a= −kd(m+M )

(5)

dcm=md+Mdm+M

=d(6)

Remplazando (3), (5) y (6) en (4) tenemos que

d=m√ [ gR−μgd ]k (m+M )

Se tiene un péndulo balístico de masa M el cual es atravesado por una pequeña bala indestructible de masa m la cual inicialmente tiene una velocidad5vo y después de atravesar el bloque sale con una velocidad 2vo. ¿Qué altura alcanza el bloque después de ser impactado por la bala?, ¿cuanta energía se pierde cuando el bloque es atravesado?

Tenemos que

5m vo=Mv+2m vo

De aquí

v=3m vo

M(1 )

Para hallar la altura que alcanza el bloque tenemos que

12

M v2=Mgh (2 )

Remplazando (1) en (2)

h=9m2 vo

2

2 gM 2

∆ E=E f−E i=12

m [2v o ]2+ 12

M [ 3mv o

M ]2

−12

m [5vo ]2

∆ E=9m2 vo

2

2M−21m vo

2

2

Una esfera de masa m que experimenta una velocidad vo choca frontal y elásticamente con otra de masa 2m que se encuentra inicialmente en reposo. Después de esto la esfera de masa 2m sube por un plano inclinado rugoso de ángulo φ el cual tiene una distancia d. cuales deben ser os valores del coeficiente de roce del plano inclinado para que la esfera de masa 2m suba mas allá

de d2

y no sobrepase la distancia d.

Tenemos que

m vo=m vm+m v2m

vm=vo−v2m (1 )

12

m vo2=12

m vm2 +mv2m

2 (2 )

Remplazando (1) en (2) tenemos quev2m (3 v2m−vo )=0

De aquí teneos que

v2m=2 vo

3

Para hallar el mínimo coeficiente de roce tenemos que

W f r=∆ E=∆ K+∆ U

−2 μminmgdcos φ=−12

m [ 2v o

3 ]2

+mgdsen φ

μmin=2vo

2−9gdsen φ18 gdcosφ

Para hallar el máximo coeficiente de roce tenemos que la esfera llega hasta d2

W f r=∆ E=∆ K+∆ U

−2 μmax mgd2cosφ=−1

2m [ 2v o

3 ]2

+mgd2

sen φ

−2 μmax mgd2cosφ=−1

2m [ 2v o

3 ]2

+mgd2

sen φ

μmin=8vo

2−9gdsen φ18 gdcosφ

8vo2−9gdsen φ18 gdcosφ

≥ μ≥2vo

2−9gdsen φ18 gdcos φ