capitulo 3 (teoria de errores)
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Capitulo 3 (Teoria de Errores)TOPOGRAFIA IExactitudPrecisiónERRORFuentes de ErrorClases de ErroresDiscrepanciaObservaciones de igual precisiónError probableValor más probableTRANSCRIPT
7/17/2019 Capitulo 3 (Teoria de Errores)
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TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS
Toda magnitud observada o medida contiene errores de cuantía
desconocida entonces la misión más importante de toda medición es
mantener ellas dentro de ciertos límites de precisión, dependiendo de la
finalidad del levantamiento.
Para ello es necesario que conozca bien las causas que ocasionaba
dichos errores cuando hablamos de mediciones, debemos saber
distinguir y usar adecuadamente entre exactitud y precisión.
EXACTITUD:Es el grado de aproximación a la verdad o grado de perfección a la quehay que procurar llegar.
PRECISION:Es el grado de perfección de los instrumentos y/o con que se realiza una
operación o se toma la lectura de una observación o también el número
de cifras con que se efectúa un cálculo.
ERROREs la diferencia entre el valor verdadero y el valor determinado mediantelas mediciones.No obstante, es preciso anotar que el valor verdadero no se conoce ni seconocerá jamás.
Una medición puede ser precisa sin ser exacta y viceversa.
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EJEMPLO
Una distancia puede medirse muy cuidadosamente con una cinta y
aproximarla hasta el milímetro, y tener como resultados una medida con
un error de varios centímetros, esto por ser incorrecta la longitud de lacinta, luego la medida es precisa pero no exacta.
En conclusión se puede decir:
Ninguna medida es exacta
Todas las mediciones contienen errores.
El verdadero valor nunca se conoce.
FUENTES DE ERROR
A. INSTRUMENTALES:
Aquellos que provienen de la imperfección en la construcción o ajuste
de los instrumentos de media, por ejemplo la mala graduación de una
wincha, un teodolito mal calibrado
B. PERSONALES:
Provienen del elemento humano como son: limitaciones de vista,distracciones, equivocaciones etc. Ejemplo leer un N° por otro.
C. NATURALES:
Son aquellos que tiene como origen la variación de ciertos
fenómenos naturales, como el viento, la humedad, la temperatura, la
refracción, etc. Ejemplo la dilatación o contratación de la wincha de
acero por cambios de temperatura.
CLASES DE ERRORES
1. ERRORES MATERIALES O EQUIVOCACIONESSon errores que se comenten sin intención, debido a una confusión del
operador o a la falta de atención de este.
Son fáciles de detectar, poniendo atención a lo que se hace, teniendo
más orden, se descubren y elimina comprobando parte o todo el
trabajo.
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2. ERRORES SISTEMATICOSSon aquellos errores que en iguales condiciones se repite siempre en
la misma magnitud y con el mismo signo es decir son acumulativosse puede calcular y eliminar por medio de la corrección Ejemplo una
wincha de acero de 30.00 m. que tiene un exceso en su longitud de
0.06 m. entonces introduce un error de + 0.06 cada vez que se usa.
3. E. ACCIDENTALESSon aquello errores que se cometen en forma casual y escapan del
control del operador y la capacidad del instrumento y obedece a la ley
de la probabilidad no se le puede aplicar ninguna corrección debido aque no hay método que nos permita calcularlos, también se los
denomina errores compensable, porque la magnitud y el signo son
variables por lo que tienden anularse parcialmente entre si en una
serie de medidas estos errores son los que hacen que nos puedan
encontrar el valor verdadero de una medidas.
DDDIIISSSCCCRRREEEPPPAAANNNCCCIIIAAA
Es la diferencia entre dos mediciones hechas de una misma magnitud.Siempre se debe comprobar una operaciones topográficas realizando
como mínimo una segunda medición.
Si la discrepancia entre las dos mediciones es pequeña indica que
no hay equivocaciones y los errores accidentales son pequeños,
por tanto se puede corregir.
Si la discrepancia es grande indica que se ha cometido unaequivocación o error que hay que detectarlo y eliminarlo,
comprobando parte o todo el trabajo.
Uno de los mejores métodos para localizar equivocaciones y errores es
de comparar varias medidas de la misma magnitud.
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OBSERVACIONES DE IGUAL PRECISION
VALOR PROBABLE
Es valor probable de una cantidad es una expresión matemática quedesigna un valor calculado que de acuerdo a la teoría de las
probabilidades es el que mas se aproxima al verdadero valor.
VALOR PROBABLE PARA LA MISMA CANTIDADEl V.P. de una magnitud medida varias veces en las mismas condiciones
es la media aritmética de todas las mediciones hechas.
Nota: Es la media aritmética de todas las mediciones admitidas como
probables.
V.P. = X = N
X n
N = Número de observaciones
Ejemplo: Las mediciones de una longitud han dado como resultado:
854.21, 854.27, 854.22, 856.25, 854.26 m.
856.25 es una medida que se aleja mucho de la media
por lo tanto anulamos
V.P =4
26.85422.85427.85425.854
V.P. = 854.24 m.
VALOR PROBABLE PARA VARIAS CANTIDADES
HOMOGENEAS
Para una serie de magnitudes de igual clase, medidas en igualdad de
condiciones y cuya suma exacta se conoce entonces los valores
probables son los observados con una corrección igual al error total
dividido entre el número de observaciones.
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Nota: Generalmente la corrección se hace proporcional al número de
Observaciones y no a la magnitud de cada medición
Entonces:
∆∆∆ iii =
N
1 (
G - iii )
iiiººº = iii ±±± ∆∆∆ iii
G = Condición geométrica
iii = Valores angulares
∆∆∆ iii = Corrección
N = número de medidas
Ejemplo: se han medido lo tres ángulos de un triangulo en las mismas
condiciones y los resultados son:
A = 58° 30’ 15”
B = 79° 46’ 50”
C = 41° 42’ 40”
G = 180°
iii = 179° 59’ 45”
∆∆∆ iii =
3
1 (180° - 179° 59’ 45”) = + 5”
Como es por DEFECTO la corrección será de + 5”
A = 58° 30’ 15 + 5” = 58° 30’ 20”
B = 79° 46’ 50” + 5” = 79° 46’ 55”
C = 41° 42’ 40” + 5” = 41° 42’ 45”
179° 59’ 45” + 15” = 180° 00’ 00”
Para mediciones análogas, hechas en igualdad de condiciones y cuya
suma sea igual a una sola medición hechas en las mismas condiciones y
circunstancias los valores probables se obtiene repartiendo el error total
en partes iguales entre todas las mediciones incluso la suma.
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Si la corrección se suma a cada medición entonces se restara a la suma
total y viceversa.
Ejemplo:Se han medido tres ángulos y el ángulo total, alrededor un mismo
vértice “0”
< AOB = 12° 31’ 50” < BOC = 37” 29’ 20”
< COD = 27° 37’ 00” < AOD = 97° 37’ 00”
Si dichas mediciones han sido realizadas en igualdad de condiciones.
Calcular los valores probables de los mismos.
Solución:
∆∆∆ iii = < AOB + < BOC + < COD = 97° 38’ 10”
Condición Geométrica =
G = < AOD
G = 97° 37’ 00”
∆∆∆ iii =
4
1 ( 97° 37’ 00” – 97° 38’ 10” ) = -
4
"10'1 = -
4
"70
CCCooommmooo eeesss pppooor r r eeexxxccceeesssooo ∆∆∆ iii = - 17.5
< AOB = 12° 31’ 50” – 17.5” = 12° 31’ 32.5”
< BOC = 37° 29’ 20’ – 17.5” = 37° 29’ 02.5”
< COD = 47° 37’ 00’ – 17.5” = 47° 36’ 42.5”
< AOD = 97° 37’ 00” + 17.5” = 97° 37’ 17.5”
en los casos anteriores cuando se hablo de circunstancias iguales o en
iguales condiciones, indica que las mediciones se hayan hecho
empleando el mismo instrumento, por el mismo operador, en igualdad de
condiciones atmosféricas.
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EEERRRRRROOORRR PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE
Error probable es una cantidad positiva o negativa que establece los
límites dentro de los cuales puede caer o no el verdadero error accidental,
es decir una medida tendrá la misma oportunidad de quedar dentro de
estos límites que quedar fuera de ellos.
ERROR PROBABLE DE UNA SOLA CANTIDADIndica el grado de precisión que cabe esperar en una sola observación,
hecha en las mismas condiciones que las demás.
E = 0.67451
)( 2
n
n
i
ixx
0.6745 : Constante de proporcionalidad.
n
i 1
( x - xi )2 = V2 = Errores Residuales
N = # de observaciones
ERROR PROBABLE DE LA MEDIA ARIMETICADe un cierto número de observaciones de la misma cantidad:
Eo = 0.6745
)1(
)( 2
nn
n
i
ixx =
n
E
ERROR RELATIVOEs la forma unitaria de expresar el error, dando así mejor significado de la
precisión de las mediciones.
Se expresa en forma de un quebrado siendo el numerador la unidad
Er =
x
E =
E/X
1
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El error probable de la media aritmética sirve para expresar la fluctuación
que puede tener el valor promedio entonces tenemos.
VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE::: VVV...MMM...PPP
V.M.P. = X ± EO
PROBLEMA
Para calcular la altura de un punto se hicieron 12 mediciones usando un
nivel de ingeniero dichas mediciones se hicieron en igualdad de
condiciones obteniéndose: 2.187, 2.179, 2.181, 2.184, 2.176, 2.186,
2.183, 2.178, 2.181, 2.188, 2.179.
Calcular
a) Error probable de una sola medición.
b) Error relativo
c) Valor Más Probable.
SOLUCION:
Xi x ( x - Xi ) ( x - Xi )2
2.187
2.182
2.179
2.181
2.184
2.176
2.186
1.183
2.1782.181
2.188
2.179
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.182
2.1822.182
2.182
2.182
- 0.005
0.000
0.003
0.001
- 0.002
+ 0.006
- 0.004
- 0.001
0.0040.001
- 0.006
0.003
0.025
0.000
0.009
0.001
0.004
0.036
0.016
0.001
0.0160.001
0.036
0.009
= 0.154
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a) ERROR PROBABLE DE UNA SOLA OBSERVACIÓN
E = 0.67451
)( 2
n
n
i
ixx = 0.6745
11
154.0
E = 0.0798 m.
b) ERROR PROBABLE DE TODAS LAS OBSERVACIÓN
Eo = 0.6745)1(
)( 2
nn
n
i
ixx =
n
E =
12
0798.0
Eo = 0.023 m
c) ERROR RELATIVO
Er =E/X
1 =
0798.0/182.2
1 =
34.27
1
d) VALOR MAS PROBABLE
V.M.P = 2.182 0.023 m.
OBSERVACIÓN DE DIFERENTE PRECISIÓNEn anteriores consideraciones se ha supuesto que todas las mediciones
han sido tomadas en identificas condiciones y por lo tanto son de igual
precisión.
Pero en un trabajo topográfico es difícil encontrar estas igualdades de
condiciones, entonces será necesario tener en cuenta estas diferentes
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precisiones para encontrar los resultados de las mediciones, estas
diferentes precisiones se llaman.
PPPEEESSSOOOSSS Así por ejemplo: se ha medido un ángulo en varias ocasiones y pordistintos operadores, todos han tenido el mismo esmero al observar
obteniendo el siguiente resultado.
47° 37’ 40” (1er Operador) ha realizado 1 observación
47° 37’ 22” (2do Operador ha realizado 4 observaciones
47° 37’ 22” (3er Operador ha realizado 9 observaciones
Es lógico admitir que el segundo valor tiene cuatro veces la precisión del
primero y el tercer valor tiene nueve veces la precisión del primero por loque podemos deducir que los pesos son proporcionales al número de
observaciones así:
El primero tendrá: Peso 1 o 2
El segundo tendrá: Peso 4 o 8
El tercero tendrá: Peso 9 o 18
Los pesos relativos
NOTA:
1. El peso se puede asignar de acuerdo al número de
observaciones.
2. El peso se puede asignar al criterio del observador.
3. El peso se puede asignar de acuerdo al error probable, en
este caso son inversamente proporcional a los cuadrados de
los respectivos errores probables.
OSEA:
2
1
2
2
2
1
E
E
P
P
donde:
P1, P2 = son los pesos que se asignan
E1, E2 = son los respectivos errores probables.
La formula general es :
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P1 2
1E = P2
2
2E = P3
2
3E = …
VVVAAALLLOOORRR MMMAAASSS PPPRRROOOBBBAAABBBLLLEEE DDDEEE OOOBBBSSSEEERRRVVVAAACCCIIIOOONNNEEESSS CCCOOONNN PPPEEESSSOOOSSS
DE UNA SOLA CANTIDADEl V.P. de una cantidad medida varias veces con diferente precisiones:
a) MEDIA PONDERADA
X P =
P
Piix )(
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA
Eop = 0.6745 x )1(
)( 2
nP
Pi
n
i
P ixx
c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
Eo = 0.6745 x )1(
)( 2
n
Pi
n
i
P ixx
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP = X P Eop
Del ejemplo anterior que se ha medido un ángulo en varias ocasiones
47° 37’ 40” ( 1 observación)
47° 37’ 22” ( 4 observaciones)
47° 37’ 30” ( 9 observaciones)
ANGULO PESO Xi x Pi ( x P - xi ) ( x P - xi )
2 ( x P - xi )2 Pi
47°37’40” 1 47°37’40” - 12” 144” 144”
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47°37’22 4 88” +6” 36” 144”
47°37’30” 9 270” - 2” 4” 36”
a) MEDIA PONDERADA
X P =
P
Piix )( =
14
"398 = 28” X P = 47°37’28”
b) ERROR PROBABLE DE LA MEDIA PONDERADA
Eop =
0.6745 x )1(
)( 2
nP
Pi
n
i
P ixx
= =
06745X
)13(14
"324
Eop = 2.3”
c) ERROR PROBABLE DE UNA MEDIDA
Eo = 0.6745 x
)1(
)( 2
n
Pi
n
i
P ixx = 0.6745 X
13
"324
Eo = 8.58
d) VALOR MAS PROBABLE
VMP = X P Eop = 47° 37’ 28” 2.3”
Ejemplo:
Se siguen 4 itinerarios para determinar la cota de un punto. La cota con
sus correspondientes errores probables son:
ITINERARIO ALTURA OBSERVADA
A 221.05 0.006 m
B 221.37 0.012 m
C 220.62 0.018 m
D 221.67 0.024 m
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a) Hallar el valor probable de la cota
b) El Error Probable de la Media Ponderada.
c) El Valor Mas Probables.
SOLUCIÓNa) Calculo de los Pesos
P1 2
1E = P2
2
2E = P3
2
3E = … (1)
E1 = 0.006 simplificando E1 = 1
E2 = 0.012 simplificando E2 = 2
E3 = 0.018 simplificando E3 = 3
E4 = 0.024 simplificando E4 = 4
Reemplazando en (1)
P1 2
1E = P2
2
2E = P3
2
3E = P4
2
4E
P1 x 1 = P2 x 4 = P3 x 9 = P4 x 16
P1 = 1 P2 = ¼ P3 = 1/9 P4 = 1/16
Xi Pi Xi Pi 221.05 1 221.05
221.37 ¼ 55.34
220.62 1/9 22.51
221.67 1/16 13.85
205/144 314.75
b) Media Ponderada
X P =
P
Piix )( =
144/205
75.314 = X P = 221.10 m
Xi ( x P - xi ) ( x P - xi )2 P ( x P - xi )
2 Pi
221.05
221.37
220.62
221.67
0.05
0.27
0.48
0.57
0.0025
0.0729
0.2304
0.2249
1
¼
1/9
1/16
0.0025
0.182
0.0256
0.0203
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144
205
0.0666
b) Error Probable de la Media Ponderada
EOP = 0.6745
)3(144
205
00666.0 EOP = 0.026 m.
c) Error Probable de una Medida
Ep = 0.67453
00666.0 Ep = 0.00317 m.
d) Valor Más Probable
VMP = X P Eop = 221.10 0.026 m.
VARIAS CANTIDADES HOMOGENEASCuando se tiene varios valores observados con diferentes pesos y la
suma de estos valores es igual a un valor conocido o medido.
Entonces los V.M.P. son los observados mas una corrección, esta
corrección es una parte del error total .
“Estas correcciones que se aplican son inversamente proporcional a los
pesos”
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3
Donde:
C = Corrección que debe aplicarse al valor observada de una
cantidad para obtener el VMP.
EJERCICIO
Se midieron los tres ángulos y el ángulo total de estos, todos desde el
mismo vértice “O” en igualdad de condiciones obteniéndose los
siguientes resultados:
< AOB = 46° 14’ 45” ( 6 observaciones)
< BOC = 74° 32’ 29” ( 1 observaciones)
< COD = 85° 54’ 38” ( 3 observaciones)
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< AOD = 208° 41’ 28” ( 5 observaciones)
Hallar los valores probables.
Solución:
a) CALCULO DE LOS CORRECCIONES PARCIALES RELATIVAS.
C1 P1 = C2 P2 = C3 P3 = C4 P4
6 XC1 = 1 XC2 = 3 X C3 = 5 XC4
C2 = 1 C1 = 1/6 C3 = 1/3 C4 = 1/5
b) DISCREPANCIA
<AOB + < BPC + <COD = 206° 41’ 52”
<AOD = 206° 41’ 28”
DISCREPANCIA = + 24” (Exceso)
Esta discrepancia se reparte en forma proporcional a las correcciones
relativas halladas anteriormente.
c) CORRECCIONES PARCIALES ABSOLUTOS
Repartir 24” proporcional A: 1, 1/6, /3, 1/3, 1/5
C2 =
5
1
2
1
6
11
"24
x 1 = 14” C1 =10/7
"24
x
6
1 = 2”
C3 =10/7
"24
x 1/3 = 5” C4 =
10/7
"24
x
5
1 = 3”
d) VALORES PROBABLES
<AOB = 46° 14’ 45” - 2” = 46” 14’ 34”
<BOC = 74° 32’ 29” - 14” = 74” 32’ 15”
<COD = 85° 54’ 38” - 5” = 85” 54’ 33”
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<AOD = 206° 41° 28” + 3” = 206° 41’31”
Ejercicios:
1. No pudiendo medirse la distancia horizontal entre los puntos M, N, se
determinara en forma indirecta, midiéndose su pendiente y la diferencia
de nivel entre estos en tres operaciones de campo, registrando los
siguientes datos:
Pendiente AH
1ra medición 02° 43’ 15.23 m.
2da Medición 02° 44’ 15.22 m.
3ra Medición 02° 42’ 15.24 m.
a) Hallar el V.M.P de la pendiente, de la diferencia de nivel y la
distancia horizontal
b) Además hallar sus respectivos Errores Relativos.
2. Se tiene un terreno de cuatro lados del cual hemos obtenido los
siguientes datos:
Medición del perímetro:5187.30 m. 518690 m. 5185.40 m. 5188.10 m.
5365.80 m. 5186.70 m.
De igual manera se han medido sus ángulos internos:
< A = 68° 34’ 15” (3 veces)
<B = 36° 44’ 12” (1 vez)
<C = 118° 25’ 30” (2 veces)
<D = 136° 16’ 25” (2 veces)Calcular los V.M.P. del perímetro y de los respectivos ángulos.
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TTTEEEOOORRRIIIAAA DDDEEE EEERRRRRROOORRREEESSS EEENNN LLLAAASSS MMMEEEDDDIIICCCIIIOOONNNEEESSS TTTOOOPPPOOOGGGRRRAAAFFFIIICCCAAASSS
Una operación Topográfica como:
La suma de tramos para dar una longitud total.
Hallar el lado o ángulo de una figura geométrica.
El área de triangulo, cuadrado o cualquier cuadrilátero.
El volumen de una figura geométrica etc.
Esta dado por la siguiente función:
μ = f ( x, y, z )
Entonces el Error Probable de dicha operación esta dado por
e =
222
...
zyx eee dz
du
dy
du
dx
du
1). EP DE LA SUMA DE TRAMOS PARA DAR UNA LONGITUD
TOTAL
x + ex y + ey z + ez ……
La Función será:
S = x + y + z + .......
El Error Probable
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es =
222
...
zyx eee
dz
ds
dy
ds
dx
ds
es = 222
zyx eee
V.M.P. = S es
Nota:
Cuando todos los tramos tienen la misma medida y por tanto el mismo
error probable, entonces el Error Probable de toda la suma de tramos, es
igual al error probable de una sola observación o medida multiplicada por
la raíz cuadrado del Número de medidas.
S = x + x + x + x .......
es = 222
xxx eee
es = 2.xen es = ex n
V.M.P. = S ex n
Ejemplo:
Se mide una alineación en tres tramos con los siguientes errores
probables:
0.014 m. 0.0022 m. 0.016 m.
Respectivamente cual es el Error Probable de la longitud total.
Solución:
ex = 0.014 m. ey = 0.022 m. ez = 0.016 m.
es = 222
zyx eee = 222016.0022.0014.0
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es = 0.03059 m.
2). EP DEL AREA DE UNA FIGURA GEOMETRICA
Ejemplo del área de un rectángulo
l + el
a + ea
La Función será: A = l x a……
El Error Probable
eA =
22
..
al
eeda
dA
dl
dA
eA = 22
.. al elea
V.M.P. = A eA
Ejercicio:
Los lados de un terreno rectangular miden 750 m. y 375 m. y se
miden con una cinta de 25.0m. que tiene en su longitud un error de
0.015mts. Hallar el Valor Más Probable del área de dicho terreno.
SOLUCION:
Calculo del Ep de cada lado
Como para cada cintada se produce un error de 0.015m. entonces este
error es acumulativo tanto para el largo como para el ancho
Para 750 m.
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Se habrán dado:25
750 = 30 medidas
eL = e. N = 0.015 30 eL = 0.082 m.
Para 375 m.
Se habrán dado:25
375 = 15 medidas
ea = 0.015 15 ea = 0.058 m.
l = 750 0.082 m a = 375 0.058 m
A = 750 x 375 = 281250 m2
eA = 22..
al elea = 22
058.0750082.0375 xx
eA = 53.27
V.M.P. = 281250 53.27 m2
3). EP DEL LADO O ANGULO DE UNA FIGURA
GEOMETRICA
EP DE LA DISTANCIA HORIZONTAL ENTRE DOS PUNTOS
L ± eL
e
D ± eD
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La función será: D= L x cos
El error probable:
eD =
22
..
ee
d
dD
dL
dD
L
eD = 22... aL
eSenLeCos
V.M.P. = D eD
Nota: e radianes
Ejercicio:Se ha medido la distancia inclinada y la pendiente entre los puntos A y B
con el siguiente resultado. 321.328 0.035 y 2°43’ 23”4
respectivamente hallar el Valor Mas Probable de la distancia horizontalentre estos.
Solución:
321.328 0.035
2°43’ 23”4
D
D = L x Cos = 321.328 x Cos ( 2° 43’ ) = 320.967 m.
El error probable:
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eD = 2200702.0328.321035.0`432 xxCos = ± 0.1125
V.M.P. = 320.967 0.1125 m