teoria de errores y grafico: laboratorio

Laboratorio de Física. Teoría de errores y gráficos.

Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante Página 1

Apuntes de Errores y gráficos.Facultad de Ingeniería

Profesor Miguel Bustamante SSegunda Edición. 2006


PrólogoQuerido lector, estudiante o profesor: Quisiera expresar algunas palabras para

presentar este apunte: El laboratorio de Física es una sección importante en el estudio de la

ciencias Físicas. En el laboratorio se prueban las las leyes de la Física, su validez mediante

experiencias diseñadas para tales propósitos.

Para comprobar las leyes de la Física, se necesita usar ciertas herramientas tanto en

el manejo de datos como de gráficos. Este apunte entrega las herramientas básicas para el

desarrollo del laboratorio y de un criterio de aceptación o refutación.

Estimado lector, este apunte pretende ser un aporte para el laboratorio de Física u

otro laboratorio, pero como toda obra puede ser mejorada. Es por eso que pido su colaboración

para perfeccionar el contenido, agregar, como quitar; al igual que su opinión. Esta puede ser

entregada a través del correo electrónico [email protected]

Sin otro particular,

Miguel Bustamante S.


mailto:[email protected]?subject=Errores


INDICE

APUNTES DE ERRORES Y GRÁFICOS. ...................................................................................................... 1

LABORATORIO DE FÍSICA ........................................................................................................................... 1

FACULTAD DE INGENIERÍA ........................................................................................................................ 1

PRÓLOGO...........................................................................................................................................................2

INTRODUCCIÓN AL LABORATORIO DE FÍSICA. ................................................................................. 5

SISTEMA DE MEDIDA .................................................................................................................................. 11

DISTRIBUCIÓN NORMAL O DE GAUSS ............................................................................................................. 19

ALGEBRA DE ERRORES .............................................................................................................................. 22

CRITERIO DE APROXIMACIÓN ......................................................................................................................... 24 Relación no lineal ....................................................................................................................................... 27

CALCULO DE LOS PARÁMETROS DE LA RECTA Y=MX+N ............................................................................... 29 Gráficos no lineales ................................................................................................................................... 34

CALCULO DE AJUSTE DE CURVAS A CONJUNTOS DE DATOS ............................................................................ 37 Ejercicios de errores gráficos: ................................................................................................................... 46 Título: ......................................................................................................................................................... 52 Autores ....................................................................................................................................................... 52 Resumen y/o abstract ................................................................................................................................. 52 Introducción .............................................................................................................................................. 53 Procedimiento y montaje experimental ...................................................................................................... 53 Resultados experimentales ......................................................................................................................... 53 Conclusiones .............................................................................................................................................. 53 Bibliografía ................................................................................................................................................ 53 Apéndices ................................................................................................................................................... 55

FORMATO DE EXPOSICIÓN ............................................................................................................................... 56 PUNTOS IMPORTANTES A CONSIDERAR: .......................................................................................................... 56

3 ............................................................................................................................................. 57 Informe Ejemplo ................................................................................................................... 58

Fenómeno de Difusión de dircromato de ........................................................................................... 58 Potasio en Agar-Agar ......................................................................................................................... 58

MONTAJE Y PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL ............................................................................................... 60 Resultados experimentales ......................................................................................................................... 60

Tabla 1: Datos obtenidos en la difusión del dicromato de potasio en el Agar-Agar .......................... 60 Conclusión ........................................................................................................................... 61 Recomendaciones: .............................................................................................................. 63

Formulario ................................................................................................................................................. 64 Presentación ............................................................................................................................................... 67



Introducción al laboratorio de Física.

Uno de los aspectos más importantes de las ciencias experimentales, es el hecho que una

teoría puede y debe ser contrastado con la naturaleza. ¿A qué se debe que las ciencias

experimentales deban ser contrastados con el entorno natural? Para entender este punto es

necesario saber, ¿Qué es Ciencia?

Desde el punto de vista etpistimológico, la palabra “ciencia” que tiene su origen en el latín,

significa “saber”. Hoy en día, esta definición no es válida. La Ciencia experimental quiere dar una

explicación racional y lógica al entorno que rodea al hombre. Esto es, explicar con modelos

matemáticos los fenómenos que se observan en la naturaleza. Esta arrogancia, parte del supuesto

escrito por Galileo, que el “Lenguaje de la naturaleza, son las Matemáticas”. La mejor prueba de

esta afirmación es ver el avance que ha sufrido la ciencia y la tecnología desde esa fecha hasta la

actual. Los modelos teóricos, como el de las elipses de las órbitas de los planetas (que en realidad

no son elipses) sirven para visualizar en la mente humana un fenómeno y tratar de comprenderlo.

Si no existen modelos, se debe buscar las relaciones entre variables que son medibles para

visualizar el fenómeno y generar un modelo. Un ejemplo lo constituyó el estudio de las órbitas

planetarias. En un principio, los griegos, atribuían poderes sobrehumanos a seres que podían

viajar en el firmamento como eran los “vagabundos” (Los planetas). Aristóteles propuso la

hipótesis que la Tierra estaba en el centro de un firmamento, y que todo giraba en torno a ella: La

Luna, Los planetas. Las estrellas estaban en un firmamento estable e incorruptible ya que los

dioses vivían allá. Cómo las matemáticas tienen la característica de una ciencia exacta, aplicaron

las matemáticas a la descripción de los fenómenos celeste, no así a los terrestre, ya que la vida en

la tierra era imperfecta y no se podía aplicar algo perfecto a la imperfección. Es así, que sobre la

base de racionamiento filosófico se enfrentaron los problemas. Además los griegos eran reacios a

la comprobación empírica, ya que suponían que el racionamiento bastaba para dilucidar la verdad

detrás del fenómeno. Por esto que este periodo básicamente se crearon modelos pero no se

probaron su veracidad.

Tolomeo tomó las ideas de Aristóteles, que además se ajustaba muy bien a las sagradas escrituras

explicando los fenómenos celestes: Podían predecir la aparición y posición de los planetas que se

ven a simple vista. Sin embargo, no todo lo explicaba correctamente. Los vagabundos tenían

movimientos erráticos: En un momento avanzaban y luego retrocedían. Para dar explicación de

este fenómeno, Tolomeo (en su obra “almagesto”) debió introducir a las órbitas circulares de los

planetas unos “epiciclos”. Estos epiciclos, adicionales al modelo original, en que cada cuerpo

orbitaba en pequeños círculos en torno a la órbita circular, de este.



Este modelo de “Universo” se aceptó por un tiempo. Este modelo satisfacía requerimiento

matemáticos y pero no los observables.

En 1543 el astrónomo Nicolás Copérnico publicó “De revolutionibus orbium celestium”

(Sobre las revoluciones de los cuerpos celestes). Planteó un nuevo modelo de sistema solar.



La teoría de Copérnico establecía que la Tierra giraba sobre sí misma una vez al día, y que una

vez al año daba una vuelta completa alrededor del Sol. Además afirmaba que la Tierra, en su

movimiento rotatorio, se inclinaba sobre su eje (como un trompo). Sin embargo, aún mantenía

algunos principios de la antigua cosmología, como la idea de las esferas dentro de las cuales se

encontraban los planetas y la esfera exterior donde estaban inmóviles las estrellas (firmamento).

Por otra parte, esta teoría heliocéntrica tenía la ventaja de poder explicar los cambios diarios y

anuales del Sol y las estrellas, así como el aparente movimiento retrógrado de Marte, Júpiter y

Saturno, y la razón por la que Venus y Mercurio nunca se alejaban más allá de una distancia

determinada del Sol. Esta teoría también sostenía que la esfera exterior de las estrellas fijas era

estacionaria.

Una de las aportaciones de la teoría de Copérnico era el nuevo orden de alineación de

los planetas según sus periodos de rotación. A diferencia de la teoría de Tolomeo, Copérnico vio

que cuanto mayor era el radio de la órbita de un planeta, más tiempo tardaba en dar una vuelta

completa alrededor del Sol. Pero en el siglo XVI, la idea de que la Tierra se movía no era fácil de

aceptar y aunque parte de su teoría fue admitida, la base principal fue rechazada.1

Tycho Brahe (profesor de Johannes Keppler) nunca aceptó totalmente el sistema

copernicano del Universo y buscó una fórmula de compromiso entre éste y el antiguo sistema de

Tolomeo. El sistema de Brahe presuponía que los cinco planetas conocidos giraban alrededor

del Sol, el cual, junto con los planetas, daba una vuelta alrededor de la Tierra una vez al año. La

esfera de las estrellas giraba una vez al día alrededor de la Tierra inmóvil.

Aunque la teoría de Brahe sobre el movimiento planetario era defectuosa, los datos que acumuló

durante toda su vida desempeñaron un papel fundamental en el desarrollo de la descripción

correcta del movimiento planetario. Johannes Kepler, que fue ayudante de Brahe desde 1600

hasta la muerte de éste en 1601, utilizó los datos de Brahe como ayuda para la formulación de

sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas (véase Leyes de Kepler).2 Fue Johannes

Keppler, con los datos de Tycho que pudo idear un modelo de sistema solar. Esto lo sintetizó en

sus tres leyes:

1.-Los planetas describen órbitas elípticas y el sol ocupa uno de los focos de la elipse.

2.-El planeta recorre áreas iguales en tiempo iguales de barrido.

3.-Las distancia del eje mayor al cubo es proporcional al periodo del planeta a la segunda

potencia.

1"Copérnico, Nicolás", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 97 © 1993-1996 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

2"Brahe, Tycho", Enciclopedia Microsoft® Encarta® 97 © 1993-1996 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.



Estas tres leyes dan un modelo matemático de las órbitas de los planetas y una buena

aproximación a la realidad. Las órbitas de los planetas se asemejan a una elipse, pero no son una

elipse. Pero, ¿ por qué se asemejan tanto a una elipse? La respuesta a esta pregunta la dio Isaac

Newton. Los trabajos de investigación empírica de Galielo (Caída libre, cuerpo acelerando,

péndulo, astronomía) mas los trabajos de Johannes Keppler le dieron la plataforma a Newton de

elaborar una “Teoría” que fue publicada en la obra “Principios matemáticos de la filosofía natural”.

La hipótesis de Newton fue afirmar que los fenómenos terrestres como celestes se deben a la

acción de una misma fuerza: La Fuerza de Gravedad, (“Teoría gravitacional”). Para poder

resolver los problemas, tuvo que inventar nuevas matemáticas: El cálculo diferencial. Al resolver

el problema de un cuerpo muy másico en torno a uno menos másico (problema de dos cuerpos), la

solución de la órbita que se obtiene es una elipse, ó parábola ó hipérbole ó circunferencia

(secciones cónicas). Sin embargo el problema los tres cuerpos no tiene solución, sólo

aproximaciones. Esto afirma que el hecho que las órbitas de los planetas se asemejen a una

elipse. Sin embargo, los planetas son nueve. El problema de tres cuerpos no tiene solución,

menos el de nueve planetas.

Por mediciones más cuidadosas de la órbita de mercurio en el final del siglo pasado y

principio del presente siglo se comprobó que la teoría Gravitacional no daba cuenta de un hecho

observable: la precesión del eje mayor de la órbita de mercurio. Sólo una nueva teoría, sobre la

base de nuevas hipótesis pudo explicar este observable: La Teoría de la Relatividad General.

Esta teoría aun se sigue probando.

Esto muestra el cambio en los modelos sobre la naturaleza, por mediciones de fenómenos

o por relaciones entre variables que sirven para dilucidar esta dependencia.

En el laboratorio, no es un evento repetitivo donde se debe llenar una tabla de valores y ver

que los resultados se asemejan a lo esperado. Es eso y más. Es encontrar relaciones y dilucidar

y/o comprobar modelos y/o teorías que rigen los fenómenos. Contrastar la naturaleza con el

pensamiento lógico y deductivo.

El laboratorio pretender dar herramientas de análisis experimental, para comprender los

fenómenos que se estudian dentro de los márgenes de error que se comenten. No todo lo que está

escrito en los libros es fácil de comprobar y ni de montar experimentalmente. Medir la aceleración

de gravedad con dos cifras decimales seguras en mas complicado de lo que se cree.



Planetas principales

Notas: Una distancia de 1 unidad astronómica (UA) equivale a unos 150 millones de km. Un círculo tiene una excentricidad de 0,0 y una parábola 1,0. La inclinación de una órbita planetaria se mide con respecto al plano de la órbita de la Tierra. La masa de la Tierra es de

5,98 x 1027 g, su radio medio es de 6.371 km y su campo magnético es de 0,31 gauss. La rotación de Venus (*) es retrógrada; los periodos de rotación de Júpiter (†) y Saturno (**) varían con la latitud, pero la rotación del interior se puede medir observando la radioemisión y se refleja aquí.



Sistema de medida

En las ciencias experimentales, se debe actuar con los fenómenos a los cuales se estudia

y conocer la dependencia de las variables involucradas. El problema está es saber si mis

resultados obtenidos son los mismos o distintos de los resultados de otro experimentador. Para

poder comparar dos medidas del mismo fenómeno, es distinto tiempo y espacio, se debe llegar a

un acuerdo en relación de tener una referencia acordada y que todas las medidas estén basadas

en esta referencia. Esta referencia se llama patrón.

Se definió así, un patrón para la longitud, para la masa, la fuerza, el tiempo, luminiscencia.

Todas posibles de comparar. Con esta definición de patrón podemos definir que es medir.

Medir: “Comparar cuantas veces cabe una la magnitud con respecto al patrón”

Entonces debemos estar de acuerdo en los patrones. En la conferencia de 1960 se

definieron los patrones para seis unidades fundamentales y dos unidades complementarias; en

1971 se añadió una séptima unidad fundamental, el mol. A continuación se definen las unidades

bases del sistema de Unidades:

1 Metro: El metro es el largo del paso de la luz en el vacío durante un intervalo de tiempo

de 1/299792458 de un segundo

1 Kilogramo: El kilogramo es la unidad de masa; es igual a la masa de un prototipo del

Kilogramo.

1 segundo: El segundo es la duración de 9192631770 periodos de radiación

correspondiente a la transición entre dos estado hiperfinos del estado basal del átomo Cs133

1 Ampere: El Ampere es la corriente constante el cual, mantenido en dos conductores

paralelos de largo infinito, de sección circular despreciable y puesta a un metro en el vacío,

producirán una fuerza igual a 2x10-7 newton por metros de largo

1 Kelvin: El Kelvin, unidad termodinámica de temperatura, es la fracción 1/273.16 de la

temperatura termodinámica del punto triple del agua.

1 Mole: El mole es la cantidad de sustancia de un sistema como muchas entidades

elementales como hay átomos en 0.012 Kilogramos de carbono 12. Cuando el mol es usado, las

entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser: átomos, moléculas, iones,

electrones, otras partículas o grupo de tales partículas.



La siguiente tabla presenta la simbología usado para identificar estas unidades:Cantidad Física Nombre de la Unidad (SI) Símbolo de la Unidad (SI)

Largo Metro mmasa Kilogramo kgtiempo Segundo sCorriente eléctrica Amperios ATemperatura termodinámica Kelvin KCantidad de Sustancia mole molIntensidad Luminica candela cd

Existe además unidades derivadas con nombres especiales y símbolos. Esta se presenta en la siguiente tabla:Cantidad Física Nombre en el SI Símbolo en el SI Expresión en el

sistema SI, en unidades bases

Frecuencia3 Hertz Hz s-1

Fuerza Newton N mkgrs-2

Presión Pascal Pa Nm-2=m-1 kgs-2

Energía, Trabajo, Calor

Joule J Nm=m 2 kg s -2

Potencia, flujo radiante Watt W Js-1=m2 kgr s-3

Carga eléctrica Coulomb C AsPotencial eléctrico, fuerza electromotriz

Volt V JC-1

Resistencia eléctrica Ohm Ω VA-1

Conductancia Eléctrica Siemens S Ω-1

Densidad de flujo magnético

Tesla T Vsm-2

Flujo magnético Weber Wb VsInductancia Henry H VA-1 sTemperatura Celcius4 Grados celcius ºC KFlujo lumínico Lumen lm cd srIluminancia Lux lx cd sr m-2

Actividad Becquerel Bq s-1

Dosis absorbida (radiación)

Gray Gy J kg -1

Dosis equivalente Sievert Sv J kg-1

Angulo planar Radianes rad 1Angulo sólido Steradian sr 1

Como se ve en la tabla, todas las unidades se definen a partir de las básicas. Así, un amstrong (1 A) en el sistema internacional equivale a 10-12 m. Existe varios sistemas de unidades, pero en general se trabaja con el sistema Internacional (SI). Todas las unidades restantes la puede ver en las tablas anexas a este capítulo.

Existe además una convención respecto a los prefijos del Sistema Internacional. Estos se resumen en la siguiente tabla

3Para frecuencia radial y para velocidad angular la unidad rad s-1, o simplemente s-1, es usada y simplificada a Hz. La unidad Hz deberá ser usada para frecuencias de ciclos por segundo.4La temperatura celcius está definido por la ecuación:

Tc/ºC=T/K-273.15El sistema internacional, los intervalos de la temperatura celcius es el grado celcius, ºC, el cual es igual al intervalo de a temperatura Kelvin. K.Apuntes desarrollados por Miguel Bustamante

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Factor Prefijo Símbolo Factor Prefijo símbolo1024 yotta Y 10-1 deci d1021 zetta Z 10-2 centi c1018 exa E 10-3 mili m1015 peta P 10-6 micro µ1012 Tera T 10-9 nano n108 giga G 10-12 pico p106 mega M 10-15 femto f103 kilo k 10-18 atto a102 hecto h 10-21 zepto z101 deka da 10-24 yocto y

Estos prefijos se usan antes de la unidad. Un ejemplo es:

1 cm3= 10-6 m3= 1 µm3

Es importante tener presente el valor de algunas constantes físicas en el sistema Internacional de Unidades. Estas constantes, símbolos y valor se presentan en la siguiente tabla:

Cantidad Física Nombre de constante símbolo Valor y unidades en el SI

Masa Masa del electrón me me≈9.1095x10-31 kgCarga Carga elemental e e≈1.6022x10-19 CAcción Constante de Plank/2π h 1.0546x10-34 JsLargo bohr a0 5.2918x10-11 mEnergía hartree Eh 4.3598x10-18 JVelocidad luz c 2.99792458x108 m/sMasa Unidad de masa

unificada umau 1.66540x10-27 kgr

Masa protón mp 1.672623x10-27 kgMasa neutrón mn 1.674929x10-27 kgConstante Constante

GravitacionalG 6.6726x10-11 Nm2/kg2

Constante Constante de los Gases ideales

R 8.31451 J/mol*K

Constante Boltzmann k 1.380658x10-23 J/K

Existen además otras unidades muy usadas pero no del sistema Internacional, como la caloría. La equivalencia entre caloría y Joule es la siguiente:

1 cal (termodinámica)=4.184 JSi necesita conocer mas equivalencias puede ver en el apéndice.

En la siguiente tabla de conversaciones se entrega las equivalencia entre las unidades de longitud, Masa, Tiempo, Volumen, ángulo, Rapidez, Fuerza, Energía, Presión y potencia

Longitud1 m= 100 cm = 106 µm = 109 nm = 3.281 ft =39..7 in1 km = 1000 m = 0.6214 mi1 cm = 0.3937 in1 ft = 30.48 cm1 yd = 91.44 cm1 mi = 5280 ft = 1.609 km1 A = 10 –10 m = 10-8 cm = 10 -1nm1 milla náutica = 6080 ft



1 año luz = 9.461 x1015 m

Area1 cm2 = 0.155 in2

1 m2= 104 cm2 =10.76 ft2

1 in2 = 6.452 cm2

1 ft2= 144 in2=0.0929 m2

Volumen1 litro = 1000 cm3=10-3 m3 = 0.03531 ft3=61.02 in3

1 ft3= 0.02832 m3=28.32 litros = 7.1477 galones1 galón = 3.788 litros

Tiempo1 min = 60 s1 h = 3600 s1 d (dia)= 86400 s1 año = 365.24 d = 3.156x 107 s

Angulo1 rad = 57.30°=180°/π1° = 0.01745 rad = π/180 rad1 revolución = 360°= 2π rad1 rev/min (rpm)= 0.1047 rad/s

Rapidez1m/s = 3.281 ft/s1 ft/s = 0.3048 m/s1 mi/min = 60 mi/h = 88ft/s1 km/h = 0.2778 m/s =0.6214 mi/h1 mi/h = 1.466 ft/s = 0.4470 m/s = 1.609 km/h1 estadio5/quicena=1.662x10-4 m/s

Aceleración1 m/s2 = 100 cn/s2= 3.281 ft/s2

1 cm/s2=0.01 m/s2=0.03281 ft/s2

1 ft/s2 = 0.3048 m/s2 =30.48 cm/s2

1 mi/h s = 1.467 ft/s2

Masa1 kg= 1000 g = 0.0685 slug1 g = 6.85x10-5 slug1 slug =14.59 kg1 u = 1.661 x10-27 kg1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g=9.80 m/s2. El peso es P=mg y es una fuerza

Fuerza1 N = 105 din =0.2248 lb1 lb = 4.448 N =4.448 x105 din

Presión1 Pa = 1 N/m2 = 1.451x10-4 lb/in2=0.209 lb/ft2

1 bar = 105 Pa1 lb/in2=6891 Pa1 lb/ft2=47.85 Pa

5 Estadio: medida de 201 mApuntes desarrollados por Miguel Bustamante

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1 atm = 1.013x105 Pa =1.013 bar =14.7 ln/in2 =2117 lb/ft2

1 mm de Hg = 1 torr =133.3 Pa

Energía1 J= 107 erg=0.239 cal1 cal = 4.186 J1 ft lb= 1.356 J1 Btu ) 1055 J = 252 cal = 778 ft lb1 eV =1.602 x10-19 J1 Kwh=3.600x106 J

Equivalencia de masa y energía (E=mc2)1 kg <-> 8.988x1016 J1 u <-> 931.5 MeV 1 eV <-> 1.074x10-9 u

Potencia1 W = 1 J/s1 hp = 746 W = 550 ft lb/s1 Btu/h = 0.293 W



Teoría de ErroresSupongamos que queremos medir el diámetro de un lápiz. Tomamos una regla y leemos la

siguiente lectura del instrumento:

3.2 cm

Midamos el mismo diámetro pero con el pie de metro. La lectura que se lee del instrumento es:

3.197 cm

Observe como un mismo objeto, con instrumento distinto, da diferentes resultados. Se

observa una cantidad distinta de números (decimales). En este ejemplo, una cifra coincide. La

medición del pie de metro tiene mas decimales que el obtenido por la regla. El pie de metro entrega

mas información que la regla, tiene mas cifras como resultados. Pero, ¿Porqué? Esto es debido a

que los instrumentos tienen distinta precisión. Precisión: El número de dígitos que un

instrumento puede asegurar en la medida.. Según esta definición el pie de metro tiene mayor

precisión. Sin embargo, un instrumento puede ser preciso, pero no exacto. Exactitud: Se dice que

un instrumento es más exacto en la medida que se acerque al valor real. Entonces para que

un instrumento sea exacto debe ser preciso.

Experimentalmente un instrumento nunca va dar el valor real, pero puede tener una muy

buena precisión y exactitud. Suponiendo que un instrumento tenga buena exactitud, existe un

rango en la medición en que contiene el valor real

En el diagrama, el límite del objeto está entre dos graduaciones del instrumento. De la lectura

directa, nos damos cuenta que una línea está mas cerca, pero no sabemos que tan cerca. Así,

decimos que existe un intervalo de incertesa. Todo instrumento tiene esta región donde no

podemos asegurar que lectura corresponde. Un instrumento es mas preciso que otro, cuando esta

incerteza es menor.

Para expresar esta incerteza hablaremos de un error asociado al instrumento. Definamos error

instrumental.

Error Instrumental: Es la mitad de la mínima medida que puede asegurar.

Así, una regla que está graduada en milímetros tiene un error asociado de 0.5 mm.

La notación de una lectura con error es de la siguiente, forma


Intervalo de incerteza


a±∆ a

donde a es la lectura del instrumento y ∆a es el error asociado.

Si medimos con la regla graduada en milímetros el grosor de un lápiz, la lectura es:

a=0.60 cm

y el error asociado es ∆a=0.05 cm.

Luego, se anota como:

(0.60±0.05)cm

Esta notación nos dice que el valor real está contenido entre 0.65 cm y 0.55 cm. Vamos a

llamar error absoluto a cualquier error asociado a un valor. En el ejemplo el error absoluto es de

0.05 cm.

Definamos el error relativo como el cuociente entre el error asociado a la lectura y la lectura.

En el ejemplo, el error relativo es de:

∆a/a=0.083

Este tipo de error es muy útil. Nos da información de que tan grande es el error con respecto

a la lectura. Este es un buen criterio para tener en cuenta cuando queremos tener resultados

no mayores que cierta variación. Definamos un error complementario al anterior, error

porcentual: Es el error relativo multiplicado por 100.

Este error nos da información del tanto por ciento de error respecto a la lectura. Es equivalente

al error relativo. Calculemos el error porcentual en el ejemplo.

∆a/a*100=8.33%

Este resultado nos dice que porcentaje del error está contenido en la lectura. Ambos errores son

adimensionales.

Supongamos por un instante que conocemos una medida real de un objeto. Medimos el objeto

varias veces y nos da una lectura distinta del real. Obviamente estamos cometiendo un error. Este

tipo de error que se presenta repetitivamente se llama error sistemático. Este tipo de error

depende mucho del diseño experimental y del procedimiento para obtener los resultados.

Es necesario minimizar este error, previendo todos errores sistemáticos que pueden interferir en

la lectura, como la descalibración del instrumento, las mediciones no se tomaron a la temperatura

adecuada.

Se nos pide obtener el tiempo de caída de un objeto desde un metro de altura. Usaremos

para este propósito un cronómetro graduado hasta la centésima de segundo (el instrumento puede

asegurar dos decimales)

Procedemos a medir el tiempo dando los siguientes valores:

Datos de tiempos obtenidos de la caída

T=0.56,0.52,0.52,0.54,0.53,0.51,0.50,0.52,0.53,0.51,0.52,0.53,0.54,0.58,0.52,0.51



Como se observa de los datos, no existe un único valor para la medida, aunque el cronómetro

esté graduado en centésima de segundos.

Estos errores se deben a factores difíciles de controlar, como es el tiempo de reacción humano

Calculemos el histograma de los datos en intervalos de 0.01.

0000000

H i s t o g r a m a d e l a s M e d i d a s

0

1

2

3

4

5

6

0 4 8 9 1 0 9

0 , 4 8 0 , 5 0 , 5 2 0 , 5 4 0 , 5 6 0 , 5 8

Fre

cuen

cia

Como observamos en el gráfico, no existe un único valor. La dispersión de los datos es mayor que

el error del instrumento. No podemos asociar el error instrumental. Entonces la pregunta lógica es:

¿Qué valor debo tomar como verdadero? y ¿qué error le asocio?

He aquí que debemos usar cierto modelos estadísticos: La distribución normal y la distribución

de Poisson.

Distribución Normal o de Gauss

Supongamos que obtenemos un gran número de medidas de un determinado evento (100 datos)

En el histograma se observa una dispersión en torno a un número (Figura 1).

Claramente, se ve en el gráfico un número de veces de medidas que predomina y una dispersión.

Se observa una distribución equilibrada de las medidas en torno al máximo de frecuencias.

Cuando la distribución corresponde a una normal, tomamos como la medida el promedio de los

valores como el representante de toda la muestra. En este caso, el valor es:

m

i f i

f ii

i

=∑∑

* ( )

( )=3.04625

Si suponemos una distribución del tipo normal, la desviación estándar nos da información del

intervalo en donde está contenido el 90% de los valores. Calculemos la desviación estándar de

esta muestra.



σ =−

− −

∑ ( )m t

N

N

Nt

N2

1 1

1

2

=2.212

Gratifiquemos la distribución normal sobre la distribución de los datos.

La distribución normal está dada por:

N t em t

( ) *( )

=−

−

50

2

2σ

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8 10

Distribución Gaussiana

DistribuciónDistribución de los datos

La distribución ajustada obedece bien a la distribución de puntos. El valor medio de este conjunto

de datos es:

t=3.0 ± 2.2

El error absoluto está dado por 2.2. El error relativo en este caso es:

σm

= 0 733.

Obviamente, según lo discutido anteriormente, el error que se tiene es muy grande. Es necesario

mejorar la forma de obtener los datos para poder disminuir la dispersión, que hace que aumente el

error


Figura 1. Histograma de distribución de los datos.


Algebra de ErroresUno de los aspectos importantes en el tratamiento de los errores, es saber como debemos

operar aritmeticamente. Supongamos que queremos conocer el largo de un objeto, y no se puede

medir de una sola, ves, sino en dos tramos. Obviamente, la suma de las lecturas corresponde al

largo del objeto. Sin embargo, al usar mas de una ves el instrumento, el error se acumula. Esto se

debe a que la incerteza de cada medida se suma con la medida siguiente. Al restar dos medidas,

los errores no se restan, se suman; los errores se propagan , la incerteza crece. Por tanto es

ilógico pensar que si un instrumento tiene un error de ∆a, al restar va generar un error menor que

del propio instrumento. Usando este criterio, decimos que los errores se propagan. Cada ves que

haga una operación con errores, el error resultante de la operación debió haber crecido con

respecto a los errores relativos anteriores.

Definamos las operaciones de los errores:

Sean a±∆a y b±∆b, lecturas con sus errores.

• Suma

(a±∆ a) +( b±∆ b)=(a+b) ±(∆a+∆b)

• Resta

(a±∆ a) -( b±∆b)=(a-b) ±(∆a+∆b)

Nótese que los errores se suman y las lecturas de las medidas se restan.

• Multiplicación

(a±∆ a) *( b±∆b)=(a*b) ±(a*b(∆a/a+∆b/b))

Fíjese, que el error es el producto de la suma de errores relativos con el producto a*b

• División

(a±∆ a)/( b±∆ b)=(a/b) ±(a/b(∆a/a+∆b/b))

con b≠0. Nuevamente, el error asociado a la división es el producto de la suma de

los errores relativos con el resultado de la división.

Esto define las operaciones básicas en el álgebra de los errores. Sin embargo, ¿qué haríamos si

tenemos que evaluar una función con una cifra que tiene un error? Supongamos que tenemos una función

f(x), analítica y una medida a±∆a. Al evaluar la función nos quedará:

f(a±∆a)

Y esto, ¿qué quiere decir? En realidad esto es solo una notación. Para señalar que la evaluación de la función

debe llevar un error asociado. Entonces, ¿cómo calculamos el error?



En términos experimentales, podemos pensar que ∆a es pequeño comparado con a. Si es así,

podemos hacer una expansión de Taylor de la función f(x), en torno al punto a y usando un

diferencial ∆a. La expresión nos queda como:

f(a±∆a)=f(a)± ∆a|f’(a)|

No se expandió con mas términos, debido a que los términos superiores de la serie son pequeños en relación

al primero. El error asociado a la función en el punto f(a±∆a) es ∆af’(a) (f’(a), es la derivada en el punto

en a).

Veamos un ejemplo:

Sea f(x)=x3. Se quiere evaluar en el punto 1.2±0.2.

f(1.2±0.2)=1.23±0.2*3*(1.2)2=1.728±0.864=1.7±0.96

Sea f(x)=sin(x). Evaluemos en el punto 1.2±0.2

f(1.2 ±0.2)=sin(1.2 ±0.2)=sin(1.2)+0.2*cos(1.2)=0.02 ±0.02

En el caso de una función de varias variables, el error asociado a tal cantidad se asocia de

la siguiente forma: El error de la función f(x1,x2,x3,..,xn) será

∆ ∆f xf

xii

≈ ∑ | |∂∂

Esta fórmula es consecuencia de la expansión de Taylor hasta un primer orden de una función de

varias variables.

Veamos un ejemplo:

Sea f(x,y)=x2sin(y), evaluado en el punto (x,y)=(2.0±0.2,3.14±0.05)

f(2.0±0.2,3.14±0.05)=2.02*sin(3.14)±(0.2*2*2.0*sin(3.14)+0.05*2.02|cos(3.14)|)

f(2.0±0.2,3.14±0.05)=0.00637±0.2=0.0±0.2*

En caso de las constantes numéricas, estas no llevan error para efectos del calculo. Sólo

se recomienda que se tomen dos dígitos mas que el primer dígito afectado por el error. Por

ejemplo, multipliquemos 2.01±0.03 por π. En este caso, π se toma con los siguientes dígitos

3.1416. Al multiplicar por una constante se multiplica la lectura y el error:

3.1416*2.01±3.1416*0.03=6.314616±0.094248=6.31±0.09*

6Criterio de aproximación. Ver siguiente páginaApuntes desarrollados por Miguel Bustamante

Página 19


Criterio de Aproximación

En el calculo con errores, vemos que los errores asociado afectan a una cifra dentro de la

lectura. Veamos en un ejemplo:

Se tiene la siguiente medición

3.012±0.002 pies

Nótese que el error 0.002 afecta sólo al 2 de la cifra, las restantes se dicen que son seguras, se

dicen que son las cifras significativas. La variabilidad va estar en la cifra que afecta el error (desde

3.010 a 3.014).

Supongamos ahora, que efectuamos un cálculo y se obtiene el siguiente resultado:

3.0114116±0.0007687

Tal como está escrito la cifra y su error, no corresponde. El número que está afectado en la

cifra es el 4. Los decimales restantes (1,1 y el 6) no contribuyen las cifras significativas. Del

mismo modo los decimales de mas allá del 7 en el error, tampoco contribuye a la cifra, es mas

estas cifras no contribuyen a la interpretación. Entonces, el criterio usado, es aproximar la medida

hasta el número que esta afectado por el error: En este caso el 4. Si el número siguiente del cuatro

está cercano a cambiar el dígito (5 a) el cuatro se aproxima a 5, en caso contrario, el 4 sobrevive.

En el ejemplo, el decimal siguiente es 1. Luego, la cifra es 3.0114. el error se aproxima hasta el

primer decimal distinto de cero. En este caso el 7. El número siguiente está mas cercano a 9; el

error se aproxima a 8. La cifra queda:

3.0114±0.0008

En el caso que cualquiera de las dos cifras termine en cinco, se plica el siguiente criterio:

• Si el número anterior al cinco es par, se redondea a la cifra siguiente (45 a 50)

• Si el número anterior es impar, se redondea a la cifra anterior (35 a 30)

La fundamentación es que existe una igual probabilidad de número pares e impares

anteriores al digito 5. (Obviamente el error debe afectar a la cifra anterior al 5). Entonces, subirá

una cantidad igual a la que bajará.

3.15±0.1=3.0±0.1 (Impar)

3.25±0.1=3.3±0.1 (Par)



Presentación Gráfica

Uno de los aspectos importantes de una discusión de los resultados es vislumbrar la

relación que existe entre las variables. Un método de encontrar la relación empírica de estas

variables es por medio de un gráfico. Se confeccionan gráficos que permitan la visualizar

directamente tendencias que siguen dichas variables y, por medio de un tratamiento matemático,

obtener la ley o ecuación que las relaciona.

Confección de un gráfico

Para elaborar un gráfico es necesario tener presente los siguientes aspectos:

1. Se deben seleccionar las escalas de los ejes es decir, se gradúan en intervalos de tal

manera que se ocupe la hoja o parte de ella, evitando que la gráfica quede reducida a

una pequeña porción de esta.

2. En el extremo final de cada eje se coloca el símbolo o nombre de la magnitud física

representada y el factor que podría amplificar las unidades de medida

correspondientes.

3. En el eje vertical va siempre la variable dependiente y en el horizontal, la

independiente.

4. Todo gráfica debe llevar un título claro, breve y con una referencia a la tabla de la que

provienen los datos. Junto al gráfico, no deben ir, ni cálculos, ni tablas, ni fórmulas.

5. Los puntos que representan los datos deben ser notorios. Estos pueden ser

simbolizados por puntos negros (•), cruces (×), u otros símbolos (⊕). En algunas

circunstancias, estos puntos deben ir con los errores para mostrar la relevancia de los

errores en la interpretación de los resultados.

6. La unión de los puntos se hacen por medio de una curva suave y continua (sin

cambios repentinos de pendientes) que se adapte lo mejor posible al conjunto de

puntos.

Observemos un gráfico de este tipo.

Nótese la disposición de los da la curva teórica.


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 2 4 6 8 10

Diámetro (cm)

Tiempo (seg)

Gráfico de Diámetro de una Gota v/s Tiempo

Datos experimentales

Curva teórica


Las graduaciones son muy importantes, permiten ver el rango de los datos.

Nótese, no se trazan líneas desde las ordenadas (x) y las coordenadas (y) al punto.

Veamos un gráfico en donde los errores están graficados:

Cómo vemos en el gráfico, los errores son bastante apreciables. Se pueden trazar

varios tipos de curva que representen al conjunto de puntos y que están dentro de los

errores.

Búsqueda de la relación funcional entre variables

Uno de los propósitos de confeccionar un gráfico de datos experimentales es para

encontrar la relación que existe entre dos variables. Es necesario partir de ciertos

supuestos:

• Dicha relación funcional existe

• Dicha relación se manifiesta en los datos experimentales obtenidos

• Dicha relación puede ser llevada, a través de manipulación matemática, a una relación

lineal que nos permitirá obtener los parámetros de la relación funcional buscada (Este

proceso se llama rectificación).

Los dos primeros supuestos son necesarios para que tenga sentido nuestro análisis, el

tercero es más discutible y se aceptará en lo que sigue, pues se cumple para la mayoría de

las experiencias que estudiaremos.

Para hallar la relación debemos proceder de la siguiente forma:

1. Primero se mide y se confecciona una tabla de datos.

2. Se procede a graficar los datos obtenidos. El comportamiento del conjunto de puntos puede

representar:


4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50 60

Dis

natc

ia (

cm)

Tiempo (seg)

Datos con errores graficados

Datos


2.1. Una relación lineal (Una recta)

2.2. Una relación no lineal (Una curva)

3. En el caso en que la relación obtenida sea una relación no lineal, se rectifica hasta obtener

una relación lineal (línea recta) entre las variables. Rectificar es el proceso de llevar una

relación no lineal a una lineal , operando el dominio y/o el conjunto imagen.

4. Sabemos ahora que la relación que muestra la gráfica es una recta y por tanto podemos

calcular las constantes o parámetros de dicha recta y encontrar la ecuación.

5. Se interpreta el valor de las constantes encontradas en términos de la física del problema.

6. Invertir el proceso de rectificación a fin de expresar la variable dependiente en términos de las

independientes.

Veamos un ejemplo explicado en los puntos previos

Relación Lineal:

Supongamos que obtenemos el siguiente conjunto de datos de un experimento

Tabla 1.1 Flujo de agua a través de un tuboGradiente de Presión

(N m-3)Velocidad promedio

(mm seg –1)7.8 35

15.6 6523.4 7831.3 12639.0 14246.9 17154.7 194

Elaboremos un gráfico con estos datos:

Cómo observamos, el conjunto de puntos tiene una tendencia de comportamiento lineal (una línea recta). Entonces se deben calcular los valores de los parámetros de la recta Y(x)=mx+n, donde m y n son los parámetros.

Relación no lineal

Tenemos el siguiente conjunto de datos de Voltaje de una ampolleta en función de la corriente

Tabla 1.2 Voltaje de una ampolleta en función de la corriente

Voltaje Ampere0 0

0.25 51.00 102.25 154.00 206.25 258.56 30

Cómo se ve en el gráfico Voltaje v/s corriente, es una relación no lineal. Debemos llevar la relación entre los puntos a una relación lineal. En este caso, por conocimiento previo, podemos elevar al cuadrado los valores de la corriente I, y graficar el voltaje v/s la corriente al cuadrado. Esto genera una línea recta. También se puede graficar la raíz cuadrada del voltaje v/s corriente.

Estas son forma de llevar una relación no lineal a una lineal. Enseguida el problema se basa en poder calcular los parámetros m y n de la ecuación de la recta. Este procedimiento lo estudiaremos enseguida.


Gráfico de Diferencia de Presión v/s Velocidad

0

50

100150

200

250

0 2 4 6 8

Velocidad (mm/seg)

Pres

iín (N

/m3)

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0 5 10 15 20 25 30

volta

je (V

olt)

Corriente (A)

Gráfico de Voltaje v/s Corriente

I**2*.010

Calculo de los parámetros de la Recta Y=mx+n

Cómo sabemos existen las relaciones lineales, que se rigen por la ecuación Y=mx+n. el

problema es conocer los valores de m y n a partir de los datos experimentales. Para este propósito

existen tres métodos básicos

1. El método gráfico

2. El método de los promedios

3. El método de la regresión lineal o mínimos cuadrados.

Todos estos métodos buscan conocer los valores de m y n. Sin embargo, los valores de

estos presentan variaciones dependiendo del procedimiento empleado. Veamos un

ejemplo:

Supongamos que tenemos la siguiente tabla de valores:

Tabla 2. Temperatura del agua en función del tiempo, al calentarse en la llama.

Tiempo (seg) Temperatura (ºC)1.0 20.01.5 22.52.0 25.03.0 30.05.0 40.06.0 44.87.0 51.0

El gráfico que se obtiene es:

Cómo se observa en el gráfico tiene un comportamiento lineal. La ecuación en este caso

es: T=mt+n, donde T es la temperatura y t, el tiempo. Calculemos los valores de m y n por los

distintos métodos:

1.-Método gráfico


Temperatura v/s tiempo

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8

Tiempo (seg)

Tem

pera

tura

(ºC

)

El método gráfico depende fuertemente de la apreciación del observador. En el método, se traza

“la mejor recta “ que represente al conjunto de puntos. Una vez trazada la recta, se leen dos

pares de puntos, que sean distante uno del otro y se procede a calcular la pendiente m.

Sea el punto A=(1.0,20.0) y el punto B=(4,35). La pendiente está dado por:

seg

C

seg

C

xx

yym

º5

)14(

)º2035(

12

12 =−−=

−−

=

Nótese que la pendiente tiene unidades. Para calcular n, podemos tomar un A ó B u otro

punto de la recta y despejar n. Así, n queda con la expresión:

Cmxyn º154*535 =−=−=

Luego la ecuación que rige este comportamiento es:

T=5*t+15 (ºC)

2.-Método de los promediosEsencialmente se resuelve un sistema de ecuaciones n variable con n ecuaciones. En este caso,

son dos la variables a conocer: m y n. Para generar los dos sistema de ecuaciones, podemos

agrupar los datos en dos conjuntos. Cada conjunto debe cumplir con la condición:

yi=mxi+m

Tomemos el primer grupo de ecuaciones:

20.0=m*1.0+n

22.5=1.5*m+n

25=2.0*m+n

La suma da:

67.5=4.5*m+3n

El segundo grupo:

40=5*m+n

44.8=6*m+n

51.0=7*m+n

La suma da:

135.8=18*m+3n

Tenemos el sistema de ecuaciones:

67.5=4.5*m+3n

135.8=18*m+3n

Al restar las ecuaciones y despejar m, nos da un valor de m=5.059 ºC/seg. Y la constante

n=14.85 ºC. La ecuación de la recta queda de la forma:


T=5.059t+14.85 ºC

Método de los Mínimos cuadrados.Este es uno de los mejores métodos numéricos para encontrar las incógnitas de la recta,

en base de los datos. Este método se basa en la siguiente definición:

La mejor curva de ajuste de todas las curvas de aproximación a una serie de datos

experimentales es la que hace mínima la suma de los cuadrados de las desviaciones de la curva.

Definamos las desviaciones. Las anotamos como D i=yi-f(xi). Para una recta f(x)=mx+n.

Definamos una cantidad que es siempre mayor o igual a cero, S como:

∑=

=N

iiDS

0

2

donde N, es el número de pares de dato. La idea básica es hacer este número mínimo. Para esto

se minimiza con respecto a m y n, de tal modo que sea igual 0; esto es:

0=∂∂m

S y 0=

∂∂

n

S

Despejando del sistema de ecuaciones los valores de m y n, obtenemos las siguientes

expresiones:

D

yxNyxm i

iii

ii

i ∑∑∑ −=

)())((

y

donde D es igual a:

∑ ∑−=i i

ii xNxD )()( 22

Con estos resultados podemos calcular los valores de m y n. En este caso nos da m=5.09

±.0.06 ºC/seg. y n=14.8±0.3 ºC. Sin embargo, existe otro parámetro que entrega este método, que

nos dice que tan buena es la recta con respecto al conjunto de puntos. Este parámetro se llama el

factor de correlación y lo anotaremos con la R. La expresión de R es:

y

xmRσσ

=

donde σx y σy están dados por las desviaciones estándares de cada variable. El módulo de R

siempre está contenido entre 0 y 1; pero se dice que una recta describe bien los puntos cuando R

es mayor que 0.9 (R>0.9). En el caso de la recta calculada con los datos nos dio: R=0.999595307.

Este método numérico está incorporado a la mayoría de las calculadoras científicas. En estas viene


bajo el nombre de LN (Linear Regreation) y entregan como resultados la pendiente, la constante y

el factor de correlación entre otros.

En una tabla resumen se presenta los resultados obtenidos por cada método:

Tabla de los resultados de pendiente y constante de la recta con los distintos métodos

Método Gráfico Promedio Mínimos cuadradosM 5.00 5.06 5.09N 15.0 14.85 14.80

. Cada método tiene una ventaja y una desventaja:

El método gráfico, se aplica básicamente para obtener un resultado rápido de una serie

de mediciones y probar que el procedimiento empleado está bien encaminado. Sin embargo, el

resultado que entrega, no es muy confiable numéricamente, ya que toma solo dos puntos del

conjunto.

El método de los promedios, es un mejor método que el anterior, ya que toma todos los

puntos de los datos obtenidos. Sin embargo, este método necesita de un conjunto de datos, que se

puedan agrupar (sobre 8) para lograr un resultado satisfactorio.

Es un buen método, pero no suficiente.

El método de los mínimos cuadrados (regresión lineal), es el mejor método de los tres.

Calcula los parámetros usando todos los puntos del conjunto de datos por un procedimiento en

donde encuentra la mejor recta posible. Los valores de m y n son los óptimos. Además, el

parámetro R nos indica que tan buena es esta recta para el conjunto. Cualquier conjunto se puede

ajustar una recta, aunque no se comporte como tal. Este índice diferencia este punto.

Veamos en un gráfico las rectas calculadas y los datos.


Cómo podemos observar, los ajustes siguen las tendencias de los datos. Esto

debido a que los resultados obtenidos están cercanos. En este ejemplo el conjunto de punto tenía

un comportamiento muy lineal.


Gráfico de Temperatura v/s TiempoDistintos métodos

0

10

20

30

40

50

60

0 2 4 6 8

Tiempo (seg)

Tem

pera

tura

(§C

)

Datos

Gr fico

Promedio

M¡nimos cuadrados

Gráficos no lineales

Veamos fenómenos no lineales. Para encontrar la relación entre las variables en un gráfico

no lineal, debemos rectificar. Para rectificar debemos basarnos en parte en la experiencia personal

en el tratamiento de los datos y en la teoría del problema. Supongamos que tenemos la siguiente

tablas de datos de un experimento del estudio del periodo un péndulo simple con respecto de su

largo.

Tabla. Periodo v/s el largo de un péndulo simple

Periodo (seg) Largo (m)0.238 0.020.634 0.100.777 0.150.898 0.201.00 0.251.10 0.301.27 0.401.42 0.50

Al graficar los datos de la tabla, se observa el siguiente comportamiento:

Este no es un comportamiento lineal. Sin embargo, queremos que al operar sobre los datos

(Periodo y/o largo) tenga una comportamiento lineal. Sabemos que la teoría del problema señala

que el periodo de un péndulo es: g

lT π2= [1], donde l es el largo del péndulo; g, la

aceleración de gravedad y T, el periodo.

Según esta ecuación [1], si elevamos al cuadrado la igualdad, obtenemos una relación lineal entre

el cuadrado del péndulo y el largo de este. Esta relación es: g

lT 22 4π= . Observemos el nuevo

gráfico.


L,Largo del péndulo

Largo v/s Periodo

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 0,5 1 1,5

Perido (seg)

Larg

o (

m)

Observe el comportamiento es lineal. Es esta situación podemos aplicar los métodos de ajuste a

una recta.

Sin embargo, no es el único proceso de rectificado. Supongamos que graficamos los logaritmos de

ambas variables.

Observe que también tiene un comportamiento lineal. Sin embargo, el rectificado se

efectuó de forma distinta. Ambos casos se pueden aplicar los métodos de ajuste de la recta, pero

la diferencia va a estar en la interpretación de los valores de la pendiente y la constante.

En el primer caso, la pendiente da un valor equivalente a: gm /4 2π= y la constante

debiera tener un valor de 0. Sin embrago, lo más probable es que sea distinto, por la dispersión de

los datos. Se debería esperar un valor Cercano.

En el segundo caso, al aplicar la función logaritmo a ambos lados de la ecuación nos da la

siguiente igualdad:

)ln(2

1)

2()( l

gLnTLn += π

En este caso el valor de la pendiente corresponde a m=½ y la constante a n=ln(2π/g 0.5).

Nótese que la información depende fuertemente de la forma de tratar los datos. Estos dos forma de


Periodo al cuadrado v/s Largo

00,1

0,20,30,4

0,50,6

0 0,5 1 1,5 2 2,5

Periodo al cuadrado (seg^2)L

arg

o (

m)

Logaritmo del Largo v/s Logaritmo del Periodo

-5

-4

-3

-2

-1

0

-2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5

Log(Periodo)

Lo

g(L

arg

o)

tratamiento no son las únicas formas; se pudo haber graficado periodo v/s la raíz cuadrada del

largo y obtener nuevamente una recta, pero cuya pendiente correspondería a 2π/g 0.5 y n debiera

tener un valor próximo a cero.


Calculo de ajuste de curvas a conjuntos de datos

En el laboratorio estudiamos un capítulo de gráfico donde se representa la relación entre las variables experimentales. Como sabemos, existen varios métodos de ajuste de recta. Dentro de estos métodos está ajuste de mínimos cuadrados. Las calculadoras traen programados un conjunto de operaciones que permiten obtener el ajuste a las curvas.

La primera en estudio, es una planilla excell ajuste del tipo Y=mx+n

1. Un peso se suspende del centro de una barra de acero apoyada en sus extremos; del deflexión del centro se mide por medio de un indicador de alturas, cuyas lecturas se indican por Y. Se obtienen los siguientes valores:

MASA (GR) Y µM0.0 16420.5 14831.0 13001.5 11402.0 9482.5 7813.0 5903.5 4264.0 2634.5 77

A) Represente los puntos sobre una gráfica y trazar a ojo la mejor línea recta. Hágase una estimación del error típico de la pendiente, colocando una regla transparente a lo largo de los puntos y observando cuáles deben ser los límites razonables de la posición de la recta.

B) Calcule la mejor recta (valor de pendiente y constante) su error por el método de los mínimos cuadrados. Compare su resultado con el anterior.

La representación gráfica es del tipo XY. Este tipo de representación ubica el punto XY en el espacio (plano). Los otro tipos de gràficos, no tienen representación real en el eje X, por tanto, la presentación del gráfico es más bien cualitativa. El gráfico siempre debe ir con título y describir claramente con que tabla está relacionado


Tabla 1.1Tabla de elongación vertical en función de la carga masa

Elongación v/s masa del alambre

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 2 4 6 8 10 12

Masa (gr)

elo

ng

ac

ión

(m

icro

m)

En este momento prodeceremos a ajustar una recta al conjunto de datos, ya estos se comportan como una recta.. Obviamente, como se observa en el gráfico de la figura 1, la pendiente debiera ser negativa.

En la planilla de EXCEl, existe una función que dentro de la funciones estadísticas y que se denomina pendiente: Se selecciona la coluna correspondiente a los datos Y, y la columna de los datos de X. El resultados da:

El resultado de la pendiente es m= -349,236364 microm/gr


Figura 1. Grafico de elongación v/s carga de masa. Tabla 1,1

Ahora debemos que calcular la constante n. Para eso se utiliza una función dentro de las clasificadas es Intersecciòn.

Esta función calcula el valor de n de la ecuación de ajuste. El valor de la función es: 1650,78182 microm.

La ecuación de ajuste es: y= -349,236364x+ 1650,78182 microm. También la planilla excel tiene una función que el parámetro de ajuste R pero su valor al cuadrado :coeficiente de correlación

Este número es: -0,99990656La representación gráfica es:


Elongación v/s masa del alambre

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

0 1 2 3 4 5

Masa (gr)

elo

ng

ació

n (

mic

ro m

)Y (microm)

Ajuste

Ajuste del tipo de funciones: Y=a+bx+c*f(x), donde f(x) es una función y c es el coeficiente constante.

Supongamos que tenemos un conjunto de datos que se presentan en la

siguiente tabla

X Y1 6,469145

1,4 5,8485041,5 5,6800451,6 5,5101721,7 5,3408821,8 5,1741691,9 5,0119982 4,856290

2,1 4,7089032,2 4,5716092,3 4,4460822,4 4,3338752,5 4,2364122,6 4,1549662,7 4,0906522,8 4,044413

La representación gráfica de estos datos es:


Figura 2. Este es la representación de los datos con el ajuste.

Grafico no lineal

0,000000

1,000000

2,000000

3,000000

4,000000

5,000000

6,000000

7,000000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

X

Y

Sabiendo que la relación son del tipo Y=a+bx+cCOS(x).

Para obtener los valores de a,b y c se obtienen de la siguiente forma: Se utiliza la función estimación.lineal().


Figura 3. Representación gráfica de los datos de funciones no lineales

Se generan valores con columnas de valores de x y cos(x).x cos(x)1 0,54030231

1,4 0,169967141,5 0,07073721,6 -0,029199521,7 -0,128844491,8 -0,227202091,9 -0,323289572 -0,41614684

2,1 -0,50484612,2 -0,588501122,3 -0,666276022,4 -0,737393722,5 -0,801143622,6 -0,856888752,7 -0,904072142,8 -0,94222234

Se selecciona en X todos los valores asociado a x. También se debe utilizar la función INDICE() para invocar el valor de salida de matriz (ver ayuda de estimación lineal) El gráfico que se obtiene es:

Grafico no lineal

0,000000

1,000000

2,000000

3,000000

4,000000

5,000000

6,000000

7,000000

8,000000

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

X

Y

Y

ajuste

El ajuste arroja los siguientes resultados:c= 2,17429505b= 0,39480598a= 5,18180798Recuerde que la función son F(x)=a+b*x+c*cos(x)


También existen otros programas como openoffice y gnuplot (Manual Gnuplot). Estos programas gratuitos. En particular, gnuplot tiene un poder de despliegue de mejor desde el aspecto científico.

Observe el gráfico siguiente:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25

Tem

pe

ratu

ra (

C)

ﾺ

Tiempo (Horas)

Grafico de temperatura v/s Tiempo

Nótese los errores graficados en el eje Y. Vamos a ajustar una función del tipo Y=asin(bt). Esto se realiza con la función fit.El gráfico con ajuste se observa como:

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20 25

Tem

pe

ratu

ra (

C)

ﾺ

Tiempo (Horas)

Grafico de temperatura v/s Tiempo


http://www.openoffice.com/

El resultado del ajuste da:A = 1.0504 +/- 0.00515 (0.4903%)B = 0.262197 +/- 0.0003268 (0.1247%)

Este un resultado esperado y bien presentado, tiene los errores asociados: porcentual y absoluto.


Ejercicios de errores gráficos:

2. En los siguientes ejemplos , Z es una función dada de las cantidades A,B,C,... medidas

independiente. Calcular el valor de Z, con su error típico ∆Z a partir de los valores dados de

A±∆A, B ± ∆B, ...

a) Z(A)=A2, A=25±1b) Z=A-2B, A=100±3, B=45±2c) Z=A/B(C2+B2), A=0.100±0.0003, B=1.00±0.05, C=50.0±0.5, D=100±8

3. Las cuatro mediciones más precisas de c, velocidad de la luz) dadas son:

299 793.1 m/seg299 793.0 m/seg299792.85 m/seg299 792.50 m/seg299 792.45 m/seg

Calcule el valor promedio y el error típico.

4. Una barra rectangular de latón de masa M tiene dimensiones a,b,c. El momento de inercia I con respecto a un eje a un eje por el centro de la cara ab y perpendicular a a es :

)(12

22 baM

I +=

Se hacen las mediciones y se obtienen los siguientes valores:

M=135.0±0.1 gr.a= 80±1 mmb= 10 ±1 mm c= 20.00±0.001 mm

¿Cuál es el error porcentual típico en: a) La densidad, b) momento de inercia?

5. Un peso se suspende del centro de una barra de acero apoyada en sus extremos; del deflexión del centro se mide por medio de un indicador de alturas, cuyas lecturas se indican por Y. Se obtienen los siguientes valores:

MASA (GR) Y µM0.0 16420.5 14831.0 13001.5 11402.0 9482.5 7813.0 5903.5 4264.0 2634.5 77

C) Represente los puntos sobre una gráfica y trazar a ojo la mejor línea recta. Hágase una estimación del error típico de la pendiente, colocando una regla transparente a lo largo de los puntos y observando cuáles deben ser los límites razonables de la posición de la recta.


D) Calcule la mejor recta (valor de pendiente y constante) su error por el método de los mínimos cuadrados. Compare su resultado con el anterior.

6. A continuación se da una tabla de datos de radios de la órbitas de los planetas y su respectivo periodo.

Planetas Radio orbital (m) Periodo rcurio 5.79E7 8.80E1 díasVenus 1.084E8 2.25E2 díasTierra 1.50E8 3.65E2 díasMarte 2.28E8 6.87E2 díasJúpiter 7.78E8 1.19E1 añosSaturno 1.43E9 2.95E01 añosUrano 2.87E9 8.40E1 añosNeptuno 4.50E9 1.65E2 añosPlutón 5.90E9 2.48E2 años

Grafique el periodo v/s el radio orbital. ¿Que observa? Esta relación no es parabólica. Encuentre la relación entre las variables. Consulte los libros y busque “Leyes de Keppler”.


Preinforme de laboratorio.

Para entender mejor el experimento, se exigirá un preinforme. El Objetivo es preparar al

alumno en el desarrollo del experimento y análisis de los datos.

El documento que elabore es escueto e individual. El preinforme se compone de las siguientes

parte:

• Identificación: El alumno da su nombre, sección y número de matrícula.

• Tema: De que trata la sesión. No es el título, si de que versa el laboratorio. Un ejemplo

puede ser “Los cometas”.

• Título: El título del trabajo señala rápidamente el tema de que trata. Una descripción muy

general, Un ejemplo es: “Impactos de cometas en la superficie de la tierra”

• Hipótesis de Trabajo: Tal vez es la sección más importante del preinforme. Es la

suposición básica que es tomada como verdadera en el desarrollo del trabajo. Esta puede

ser falsa, pero demuestra al contrastar con los resultados obtenidos. Un ejemplo: “Los

cometas no pueden chocar con la tierra”.

• Antecedentes históricos: En la mayoría de las veces, existen antecedentes previos sobre

un tema. Alguien o algunos han enfrentado este problema antes. Es importante saber para

un trabajo, quienes fueron y como lo enfrentaron y saber que resultados obtuvieron. Es

bueno, esto debido a que el problema que usted enfrenta puede tener ya una solución y

sirve como comparación de sus resultados con anteriores. También se da el caso, que los

resultados anteriores sean distintos por metodologías distintas a la empleada por usted.

• Análisis teóricos: En las ciencias experimentales, es bueno tener un marco teórico cuyo

desarrollo está basado en las hipótesis. Esto porque, con el análisis podemos predecir un

posible resultado que debería observarse basado en la hipótesis.

• Procedimiento experimental: En este punto, debe relatar cómo va a lograr demostrar la

veracidad de la hipótesis en forma experimental. Recuerde que usted no ha hecho el

experimento, pero puede describir como lo haría.

• Resultados esperados: Sobre la base de la hipótesis y en análisis teórico usted puede

esperar cierto resultado. Debe expresar que espera, que tipo de resultado.

• Antecedentes Bibliográficos: Aquí debe presentarte de donde obtuvo la información para

realizar el trabajo, libros, revistas, INTERNET. La forma de presentar esta información esta

detallada en el capítulo de elaboración de un informe, sección bibliografía.

La filosofía es prepararlo en la presentación de pre-proyectos. Argumentar cada paso que va

hacer en el laboratorio. Recuerde que no es un informe. Esto preinforme no debe mas extenso que

una hoja. En la página se presenta el formato.


Preinforme de Laboratorio.

Tema (De que versa el experimento):

Título:

Hipótesis de Trabajo: ( Declarar claramente la hipótesis sobre la cual se trabajará el

experimento)

Antecedentes históricos del problema: (Revisión histórica de antecedentes del problema.

Presentación del problema).

Análisis teórico (Sí corresponde, Aspectos teóricos del problema que rigen el experimento).

Procedimiento Experimental: ( ¿Qué?, ¿Para Qué? Y ¿Cómo? Descripción de los materiales a

usar y cómo estos se usara en el desarrollo del experimento. Detallar las labores de cada uno de

los integrantes en el desarrollo del experimento y análisis de los datos)

Resultados esperados: (Previa discusión de los posibles resultados que deberían obtenerse en

base al análisis teórico y el procedimiento experimental)

Antecedentes Bibliográficos: (Bibliografía usada que respalde la forma de enfrentar los

problemas tanto teórico como práctico)

Confección de un informeApuntes desarrollados por Miguel Bustamante

Página 43

Nombre:

Matrícula: Fis 32* -Sección:

En el trabajo de laboratorio, una vez realizado los experimentos, es necesario informar los

resultados obtenidos. Esta información no va presentada en forma arbitraria, si no que existe un

orden de la presentación. Esta presentación debe ser ordenada, escueta y clara. Los informes no

son trabajo escritos extensos, pero deben revelar claridad en la exposición del problema, análisis

del problema y conclusiones de este.

Para tener un acuerdo de la presentación de los informes. Definiremos los puntos que se

deben poner:

• Título

• Autores (Direcciones, referencias)

• Resumen en ingles y español

• Introducción, tanto del problema como teórico

• Montaje y procedimiento experimental.

• Resultados experimentales.

• Discusión

• Conclusión

• Bibliografía.

• Apéndices

El informe debe ser confeccionado en papel tamaño carta, escrito en el computador, con

un margen izquierdo y un inferior de 3 cm/lado. Se usará doble espacio; el tipo de letra será Time

New Roman. Las figuras, tablas se identificarán con un número, que es del número correlativo.

Las tablas, el número en la parte superior seguido de un título de presentación. Los números que

identificarán las fórmulas se colocarán en el extremo derecho de las mismas y entre paréntesis.

Los números correspondiente a figuras se colocarán en la parte inferior de ellas seguido de un

comentario o título de la figura. En general las ilustraciones (gráficos, láminas, fotografías) no

deben ser pegados como pequeñas láminas intercaladas en el texto, o fotocopiados en hojas

separadas, sino quedar ubicadas dentro de la página que se cita.

En la hoja frontal, debe aparecer el Título, los Autores y los resúmenes (en español e

ingles) del trabajo. En páginas posteriores, se desarrollan los otros puntos. que se definirán.

Expliquemos mas en extenso cada punto.

Título:

El título del trabajo señala rápidamente el tema de que trata. Una descripción muy general.

Este debe ser escrito en letras negras de tamaño 18. Este no deber ser mas extenso, en

general, de tres líneas. Un ejemplo de un título sería:

“Medición de la aceleración de gravedad, usando

un péndulo simple.”


Como podemos leer, está claro que se mide la aceleración de gravedad (problema) y la

metodología empleada. Si alguien busca sobre la aceleración de gravedad, sabe

solamente con el título, que este trabajo trata sobre ello. Sin embargo, sí busca sobre los

valores de la medición de la aceleración, usando oscilaciones de un resorte, este trabajo

no le va ayudar en su investigación. Pero le va servir, como comparación con otros

métodos empleados.

Autores

Aquí se deben poner a los autores del trabajo. Generalmente los autores, se colocan dos

líneas bajo el título. El orden que se debe colocar, es el siguiente:

Nombre completo, Dirección postal (además email). Veamos un ejemplo de la disposición

de varios autores:

Espiridion VermudesUniversidad de CatarFac. de IngenieríaAv. Ossenband 245Cataremail: [email protected]

Nótese que el primer autor, tiene sus referencias bajo del nombre; los otros dos, trabajan

en la misma Institución y ambos en el mismo departamento.

Resumen y/o abstract

El resumen es una descripción breve del trabajo, no más de 15 líneas. El objetivo del

resumen es dar un vistazo escueto sobre el objetivo del trabajo, procedimiento, resultado y

conclusión de este; de modo que un lector, con leer el resumen puede evaluar si el trabajo

es de su interés. El abstract, es el resumen en ingles.

Todos lo puntos discutidos están en la primera hoja, siendo lo primero que ve el lector. El resumen

va centrado en la página seguido del abstract (véase informe ejemplo).

En la página siguiente va la introducción.

Introducción

En la introducción se presenta el problema y se analiza los antecedentes históricos de

este. Se destaca su importancia y su relevancia en el medio. Esto no es un resumen del

informe, sino una presentación. Enseguida se analiza los aspectos teóricos del problema,

sus bases, implicancias y lo esperado por la teoría, si es que existe una teoría que describa

este fenómeno. Debe quedar claro en esta sección los supuestos usados para deducir la

solución teórica del problema.

Procedimiento y montaje experimental

Esta sección es una de las más importante: se describe el montaje, materiales y

procedimiento experimental. Es decir, que utilizó y como lo utilizó. Esta sección debe estar


Juan Lopez, Ana María VillagraCentro de Investigación NuclearDepto. CombustiblesAv. Sotomayor 777MoscúRusia

muy bien escrita y descrita, ya que es la base de todo el experimento, de tal forma que

otra persona pueda reproducir el experimento usando los mismo materiales.

Resultados experimentales

Se dan a conocer los resultados obtenidos en el experimento, según el procedimiento y

montaje experimental, generalmente en tablas numeradas, gráficos numerados. No es

anotan todos los datos obtenidos, sino los resultados que sirven para el análisis posterior.

Se comentan los resultados, además del error que tienen y se analiza su comportamiento

con respecto a lo esperado.

Conclusiones

Se obtiene las conclusiones del experimento respecto del análisis teórico y del

procedimiento experimental. Se discute las posibles implicaciones de lo encontrado, y se

extrapola a futuros eventos. La idea, es que una persona de realizar el experimento, llegue

a los mismos resultados y obtenga las mismas conclusiones.

Bibliografía

Este punto es un aspecto importante del informe, ya que señala de donde se obtuvo la

información preliminar para confeccionar el informe. Da la base que sustenta el trabajo. En

este punto se debe dar las referencias, de las revistas usadas, libros, direcciones de

internet. Toda referencia va señalado de un número en el texto, que indica la

correspondiente revista, libro o dirección en la red INTERNET. En el caso de citar un libro,

va el siguiente orden:

Nombre del Autor(es), Título del Libro, Edición, Nombre de la Editorial, Lugar, Año de

Publicación.

Ejemplo:

Kulhmann, J.M.: “Design of Electrical Apparatus”, 3º Edición, John Wiley and sons,

Inc., New York, 1980.

En el caso de una revista:

Nombre del Autor(es), Título del Artículo, Nombre de la Revista, Volumen, Número, Mes y

año de la Publicación, Páginas.

Ejemplo:

David Barnes, Gary Egan, “Characterization of Dinamic 3-D PET Imaging for

functional Brain Mapping”, IEEE Transactions on Medical Imaging,Vol. 16, Numero: 3, Junio,

1997,261-269.

En caso de las referencias de la red (INTERNET), debe ser enumerado al igual que los

otros, y dejar la dirección completa de internet, hora, día y año. En este caso, como las páginas

virtuales cambian, debe imprimir las referencias usadas. Es por eso que es importante que haya

una evidencia “física” de esa referencia. Ejemplo:

http://antwrp.gsfc.nasa.gov/apod/astropix.html, 23 de Diciembre de 1997, 15:48 hora Chile.


Esta dirección muestra una página, donde presenta una foto.

M2-9: Wings of a Butterfly Nebula

Credit: B. Balick (U. Washington) et al., WFPC2, HST, NASA

Explanation: Are stars better appreciated for their art after they die? Actually, stars usually create their most

artistic displays as they die. In the case of low-mass stars like our Sun and M2-9 pictured above, the stars

transform themselves from normal stars to white dwarfs by casting off their outer gaseous envelopes. The

expended gas frequently forms an impressive display called a planetary nebula that fades gradually over

thousand of years. M2-9, a butterfly planetary nebula 2100 light-years away shown in representative colors,

has wings that tell a strange but incomplete tale. In the center, two stars orbit inside a gaseous disk 10 times

the orbit of Pluto. The expelled envelope of the dying star breaks out from the disk creating the bipolar

appearance. Much remains unknown about the physical processes that cause planetary nebulae.

Esta foto y explicación corresponden al día 23 de diciembre de 1997.

Veamos la misma dirección, pero en el día 21 de Diciembre de 1997.

A Winter Solstice

Credit: SOHO- EIT Consortium, ESA, NASA

Explanation: Today is the Winter Solstice, the shortest day of the year in the Northern Hemisphere. The yearly

cycle of Seasons on planet Earth once again finds the Sun at its lowest point in the Northern Sky. The Sun's

own 11 year cycle of activity is progressing toward a maximum which will occur in 2000-2001. This image of

the Sun in the light of ionized Helium was recorded by the space-based SOHO observatory only three days

ago and shows many prominences and active regions.


Como vemos, cambio la página y la evidencia de un día ya no existe.

Apéndices

Los apéndices son opcionales, y se usan cuando se quiere explayar en la deducción de

una fórmula usada en el informe. Escribiendo todo su desarrollo en el informe se pierde la

linealidad del tema. También se presentan datos o tablas o análisis que aclaren

contenidos que se van dentro del informe.

Estos puntos desarrollados, son los principales de un informe de laboratorio. Sobre la base

de estos se evaluará. Lo más importante que se debe tener en cuenta, es pensar que otra persona

que está igualmente preparado que usted, lea su informe pueda reproducir el experimento tal cual

como lo hizo y obtener los mismos resultados. Ese es el objetivo principal.

Anexo a este documento se presenta un informe modelo que servirá como ejemplo.


Formato de exposición

Introducción:Este documento pretende entregar las normas para exposiciones de trabajos en público. Es

importante tener claro que en su vida estudiantil y profesional usted se verá enfrentado en más de una vez en presentaciones frente de sus compañeros, profesores o superiores. En la vida profesional una presentación puede ser la clave para ganar un proyecto, o presentar un proyecto.

Puntos importantes a considerar:

Vamos a suponer que usted cuenta con apoyo audiovisual (Power Point, retropreyectora). Obviamente, usted conoce muy bien de lo que va a hablar, domina el tema.

• Presentación: Es buena educación, presentar a los integrantes del grupo (si que trabaja grupo) y posteriormente usted (El expositor principal). Esta puede ser en la primera diapositiva o transparencia.

• Título del trabajo: Posteriormente del presentación del grupo y de su persona usted debe comenzar a presentar lo que trata la exposición. Es así que el título es un parte importante de una exposición; un buen título aclara de que trata la exposición. Un ejemplo es:

“Estimación del lugar aterrizaje de la estación espacial MIR.”

Nótese que el titular es claro y directo; un lector le basta con leer este título para saber si le interesa el artículo.

• Posteriormente presentar el temario a desarrollar. Es importante que tenga una secuencia lógica. Un ejemplo sería:

• Introducción al problema: “Era espacial en estos días”• El problema: “La órbita de la estación MIR: Decadente”• Análisis del problema. • Discusión • Conclusiones

Las transparencias posteriores, desarrollará los puntos expuestos.

En las diapositivas (o transparencias) cuando va un Título o un cuadro, tabla, gráfico deberá ir sólo. Es importante que estos figuras, o gráficos se vean claramente. Usted debe describir con palabras la transparencia presentada, claramente y pausado. La transparencia es un apunte muy simplificado para invocar las ideas que debe exponer.

Al cerrar la presentación, debemos hacerlo con las conclusiones del trabajo Una transparencia de apoyo es siempre bueno en este momento.. Y si es necesario, una nueva transparencia con las proyecciones futuras.

Una presentación sale efectiva debido a:• Conocimientos que demuestra el expositor del tema; haber meditado

cuidadosamente lo que se piensa decir ante el público.• Hábitos mentales del expositor, en cuanto a seguridad personal ante un

grupo de ordenamiento de sus ideas.• Conocimiento del público a quién se le expondrá la idea o de autoridad,

porqué estar ahí, que tanto tiempo esperan que Ud. Hable, si piensa en forma positiva o negativa de usted.

• Ensayo de lo que expondrá para detectar y pulir defectos tanto de contenido como lenguaje a usar.

• Evaluación de lo efectuado y de la reacción del auditorio luego de cada presentación.


Los temores que normalmente se le presentan a cualquier persona al hacer una presentación se pueden resumir:

• Falta de preparación en el tema para responder preguntas o reacciones no previstas e la audiencia.

• Miedo a no tener éxito o no ser capaz de atraer la atención.• Timidez a enfrentarse desde el estrado a un auditorio.

Algunos aspectos importantes a cuidar durante la presentación:• Se recomienda el uso de guías (hojas o tarjetas discretas para no distraer). Esto

muestra el interés del expositor por prepararse y respecto a la audiencia. Pero debe tratar de no parecer que solo las lee o las ha aprendido de memoria, porque al depender de memorización le quita espontaneidad y gracia a la presentación y deja la sensación de que lo que trata es de exhibirse.

• Cuidar la dicción: no tener muletillas ni usar folklorismos o vulgaridades; modular todas las palabras.

• Hablar claro y calmado; no ser monótono, usando inflexiones de vez y expresión corporal para dar importancia a algunas ideas

• No concentrar la vista en una zona o una sola persona.• Ante una pregunta difícil no turbarse: no existe la obligación de saberlo todo; no

eludirla: ofrecer contestarla otro día o investigar si alguien del auditorio puede ser una respuesta.

La mejor presentación resulta cuando se expone relajadamente y con la actitud en la forme de charla o conversación.

3


Informe Ejemplo

Fenómeno de Difusión de dircromato de

Potasio en Agar-Agar

Miguel Bustamante Sepúlveda.Av. Santa Fe 948

ChileEmail:[email protected]

Resumen:En este informe, se verifica el fenómeno de difusión para una gota de dicromato de

potasio, en una placa petri con Agar-Agar.

Desarrollándose las ecuaciones para este fenómeno, se pudo comprobar que estas

describen tal comportamiento, existiendo una constante D que caracteriza la sustancia y el medio

donde difunde.

Abstract:

In this report, is verified the phenomenon of difusion for a drop of dicromate if potassium, in

a Petri plate with Agar-Agar.

It being developed the equations for this phenomenon, it could be proven that describe

such behavior, existing a constant D that characterizes the substance and the means where

spreads.


INTRODUCCION

En la naturaleza, se realizan muchos procesos físicos. Uno de estos, es el proceso de

difusión. A este, se debe el hecho que se sienta el olor de una gota de perfume a una distancia, ya

que las moléculas se difunden a través del medio gaseoso; o para un micro organismo, que está

imposibilitado de movimiento propio, asegura que le llegue cantidad de nutrientes para vivir. Es, por

tanto, un fenómeno importante y presente en todo instante [1].

Sí suponemos una partícula que se puede mover una distancia δ e un tiempo T, nos da

que la nueva posición:

δ

+= 0)( RTr

Si tomamos el módulo de este vector, nos da la distancia recorrida a partir de R0. El módulo al

cuadrado de r(t) es δδ

•++= 022

0

22)( RRtr (1)

Si obtenemos el promedio de la expresión para N partículas moviéndose en todas las

direcciones (N muy grande) en un tiempo T, la distancia recorrida promedio todas comenzando el

en punto R0 por estas N partículas sería:

( )22

0

022

0 2)( δ

δδ+=

•++=

∑R

N

RRTr

N

i

debido a que el producto interno, para una cantidad grande partículas que se mueven al azar

tienen todas la orientaciones posibles. La suma de las orientaciones es 0. Este es el radio

promedio de todas las partículas. Tomemos un tiempo de 2T, con movimiento al azar. En este caso

podemos sumar a la nueva distancia.

222 )()2( δ+= TrTr (2)

Esta distancia es el resultado de la suma vectorial y promedio de todas estas distancias.

Desarrollando (2), nos queda r(2T)2=R20+2δ2. Si repetimos la expresión una m veces, y tomando

como posición inicial el vector R0=0, tenemos que la distancia en un tiempo de mT es:

22)( δmmTr = (3)

Si definimos δ como δ=(2DT)0.5 y suponiendo que T son tiempos muy pequeños, el tiempo t se

puede aproximar a mT , la expresión (3) quedaría de la forma:

Dttr 2)( = (4)

La expresión describe la distancia en función del tiempo de la mancha. D es una constante,

que en este caso caracteriza la difusión del dicromato en el Agar-Agar.

Montaje y Procedimiento Experimental

Para verificar el proceso de difusión, se procedió de la siguiente manera:

Se tiene una placa petri con Agar-Agar gelificada, como se ve en la figura 1


Figura 1. Esquema del montaje experimental. Placa de Agar-Agar gelificada.

Depositamos en el centro del Agar-Agar, una gota de solución de dicromato de potasio

(K2Cr2O7). Desde el momento que se deposita la gota, se tomó el tiempo. En cada intervalo de

tiempo se midió el diámetro y el tiempo había transcurrido. Con los datos obtenidos se confeccionó

una tabla.

Resultados experimentales

Basado en el montaje y procedimiento se obtuvo la siguiente tabla:

Tabla 1: Datos obtenidos en la difusión del dicromato de potasio en el Agar-Agar

Tiempo (seg) Diámetro (mm) Radio (mm) Radio2 (mm2)0 2.0 1.0 1.00

320 5.0 2.5 6.25722 8.0 4.0 16.00

1130 10.0 5.0 25.001560 11.0 5.5 30.251920 12.0 6.0 36.002430 15.0 7.5 56.253110 17.0 8.5 72.004295 20.0 10.0 100.00

Observemos los gráficos de Radio v/s el tiempo.


Gotario

Gota de dicromato de potasio

Gel Agar-Agar

Gráfico1. Radio v/s Tiempo Gráfico 2. Radio al cuadrado v/s Tiempo

Del gráfico 1 podemos observar un comportamiento de los datos que la teoría señala (Ecuación 4).

Para verificar esta relación, rectificamos los datos y graficamos el Radio al cuadrado v/s el tiempo

(Gráfico 2). Se observa un comportamiento lineal de los datos. Ajustamos una recta por el método

de los mínimos cuadrados. Se obtuvieron los siguientes resultados:

La pendiente m=0.023304±0.0009 mm2/seg y valor de la constante n=-2±3 mm2. El ajuste

tiene un factor de correlación de R=0.99506 que es un buen ajuste. Este valor nos señala que la

ecuación teórica describe bien el fenómeno, sin embargo el valor de la constante n nos da un

resultado ilógico. No puede ser lógico que para el tiempo t=0 seg, tenga un radio imaginario. La

gota en el momento depositarla en el plato ya posee un radio intrínseco real. Esta discrepancia es

atribuirle a la dispersión de los datos. Observe los gráficos y algunos puntos se salen un poco de la

tendencia general. Esto, en el cálculo, hace modificar el valor tanto de la constante como de la

pendiente. Sin embargo, el factor de correlación nos dice que aún esto la recta se ajuste bien a los

datos. Sobre la base de esto, podemos calcular el valor de la constante: D=0.011652±0.0004

mm2/seg. Este valor es característico de para dicromato de potasio en Agar-Agar.

Presumiblemente, esta constante dependa de la temperatura en el medio, pues el movimiento

molecular está relacionado con esta variable. Con el montaje presentado no se puede concluir un

hecho de este tipo, no obstante queda la inquietud.

Conclusión

Con los resultados obtenidos podemos afirmar que para este caso, las ecuaciones

describen este fenómeno dentro de los errores experimentales.

Bibliografía

1. Gilbert W. Castellan: “FISICOQUIMICA”, segunda edición, Addison-Wesley Iberoamericana

Delaware, 1987.


Gr fico Radio v/s Tiempo

0

2

4

6

8

10

12

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Tiempo (seg)

Radio

(mm)

Gr fico Radio^2 v/s Tiempo

0

20

40

60

80

100

120

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

Tiempo (seg)

Radio

^2(mm

)

Datos Ajuste

Recomendaciones:

Se recomienda que el desarrollo del informe y del preinforme, comience el mismo día del experimento. Es necesario tener en mente que el informe va dirigido a una persona que no sabe que experiencia han hecho, pero puede y debe entender las bases teóricas, el cómo, los resultados y conclusiones obtenidas.

Redacte el informe y el preinforme con sus propias palabras, cuidando la redacción y la

ortografía.

Existen delantales en el laboratorio de física, para aquellos que quieran usarlo.

Si algún alumno (o grupo de alumnos) está interesado en usar el laboratorio fuera del horario de clases y un horario donde este no esté ocupado, debe contactase con encargado para que les facilite el laboratorio, como los instrumentos requeridos y llenar la forma siguiente:


Formulario de uso del Laboratorio de Física

Formulario

El siguiente documento tiene como propósito llevar un orden de los usuarios de laboratorio

de Física, en horas extraordinarias. Esto servirá para una mejor administración de este y sus

materiales.

Fecha:

Nombre del Profesor

Ramo:

Fecha:

Nombre del Alumno:

Ramo:

Matricula:

Materiales a usar:

Lapso de Tiempo a usar el laboratorio y los materiales:

Fecha de Inicio:

Hora de Inicio

Fecha de Término

Hora de Término:


Apéndice 1Existen páginas en la red de Internet, que pueden ser de utilidad:

• Física en el ordenador: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

Esta página es excelente, tanto para el laboratorio como para el ramo. Creo que le va ser

de utilidad.

• http://www.universityphysics.com/

• http://www.mcasco.com/p1intro.html Introducción a la mecánica


http://www.mcasco.com/p1intro.html

http://www.universityphysics.com/

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/default.htm

PresentaciónPresentación de Teoría de errores y gráficos. Tiene espacio para anotar comentarios y

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