MATEMÁTICAS

Práctica

Ejercicios

Muestra de ejercicio

para la preparación

de la prueba práctica

Ejercicios3MATEMÁTICAS

1

La figura adjunta muestra tres cuadrados; el lado del mayor, AB, mide 1. Los otros tienen por lados, respectivamente, AC de longitud x, y DE de longitud y. Al moverse D sobre el lado AB varían los valores de x e y. Determinar los valores de x e y para que el valor de la expresión x2 + y2 sea mínimo. Calcular dicho valor.

BC

Ey

Ax

D

SoluciónIntroduzcamos un punto más F en la figura. De esta forma, los triángulos EBD y DCF son semejantes.

BC

EF y

Ax

D

Entonces:

2 2 2

11

.

DB BEDB DB x xBE

x DB xDB DB xDB xBE xDB xBE DB DB x DB BE DB DB

Pero BE = 1 – DB.

Entonces, x DB 1 DB 2 2 .DB DB x DB DB

Además:

22 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2

2 2 1 2 1 2 1.

y DB BE y DB DB y DB DB DB y DB DB

y DB DB y DB DB y x

Práctica4 MATEMÁTICAS

Por tanto, la expresión a minimizar es 22 2 2, 2 1 1 .L x y x y L x x x x

Necesitamos conocer los valores que x puede tomar.

Como teníamos que x = DB – DB2, tenemos que x es la variable dependiente de una función

parábola orientada negativamente con vértice 1 1

, .2 4

V

Luego la imagen de esta función es el intervalo 1, .4

Como x debe ser positiva pues es una longitud, entonces 1

0, .4

x

La gráfica de 21L x x es:

1

1,5 2

0,5

0,5

es claro que esta función se hace mínima en 1

0,4

cuando 1

.4

x

En tal caso, 21 1 9

1 .4 4 16

L

Ejercicios5MATEMÁTICAS

2

Estudiar la convergencia de la serie 1

tann

n

x nyn

con 0 .2

y

SoluciónLlamemos tann

n

x nya

n

y apliquemos el criterio de la raíz:

lim lim tan lim tan tan .nn nnn n n

x ny xa y y

n n

Entonces:

� Si 0 tan 1 lim 14

nnn

y y a

la serie converge.

� Si tan 1 lim 14 2

nnn

y y a

la serie diverge.

� Si tan 1 lim 14

nnn

y y a

caso dudoso criterio logarítmico:

1ln

4 4tan ln1 lntan1ln

lim lim limln ln ln

4lntan

4lim lim lntanln ln

lim lntan limln 4 ln

n n

n

n n n

n n

n n

x n x n

n nan n n

x nn

n x nnn n n

n x nn n n

limlntan

4

lim ln lim tan 1 lntanln 4 4

1 ln1 1 0 0.

n

n n

xn

n xn n

Como

1ln

lim 0 1ln

n

n

an la serie diverge.

Práctica6 MATEMÁTICAS

3

Resolver la ecuación 2x3 − 9x2 + 32x + 75 = 0, sabiendo que tiene una raíz compleja de módulo 5.

SoluciónSea z = a + bi la raíz compleja de módulo 5 de la ecuación.

Entonces el conjugado z a bi es también raíz de la ecuación.

El polinomio 2x3 − 9x2 + 32x + 75 admite la factorización:

3 2

22 2

2 3 2 2

3 2

2 9 32 75 2

2 2 2

2 2 25 2 4 50 2 4 50

2 2 4 50 4 50 .

x x x x c x z x z

x c x z z x zz x c x ax z

x c x ax x ax x cx acx c

x c a x ac x c

Igualando coeficientes se obtiene que 75 3

75 50 .50 2

c c

Entonces, 3

32 50 4 32 50 4 6 18 3.2

a c a a a

Comprobamos finalmente, 3

2 4 2 4 3 3 12 9.2

c a

Por tanto, como 2 2 2 25 3 3 25 9 16 4.z a bi bi b b b b

Luego, o bien z = 3 + 4i y 3 4z i o bien z = 3 – 4i y 3 4z i .

En cualquier caso, concluimos con la factorización:

3 2 32 9 32 75 2 3 4 3 4 .

2x x x x x i x i

Luego las raíces de la ecuación son: 1 3 4x i , 2 3 4x i , y 3

32

x .