1. introducciÓn a los sistemas de ......las propiedades de la transformada de fourier, de los slit...
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1. INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE TELECOMUNICACIÓN
1.1 Introducción……………………………………………………………………….. 2
1.2 Modelo de sistema de telecomunicación…………………………………….. 2
1.3 Clasificación de señales…………………………………………………………. 3
1.4 Caracterización temporal de señales…………………………………………. 4
1.5 Caracterización espectral de señales…………………………………………. 5
1.5.1 Sistema inverso………………………………………………………….. 6
1.6 Potencia y energía………………………………………………………………… 8
1.7 Ancho de banda de una señal…………………………………………………. 11
1.8 Transmisión a través de un canal……………………………………………. 12
1.8.1 Transmisión sin distorsión a través de un SLIT…………………. 12
1.8.2 Transmisión a través de un sistema no lineal……………………. 15
1.9 Filtros……………………………………………………………………………….. 16
1.10 Ruido………………………………………………………………………………. 21
1.10.1 Ruido Blanco Gaussiano Aditivo…………………………………... 22
1.10.2 Ruido coloreado………………………………………………………… 22
1.11 Relación Señal a Ruido. Ganancia de Proceso.………..………………… 23
Añadir “transmisión en banda base”, pero simplificado
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1.1 Introducción La necesidad de comunicarse es un problema surgido desde los tiempos en que se formaron las primeras comunidades humanas. Hoy en día resulta innecesario destacar la enorme importancia que presentan las comunicaciones en nuestra vida diaria. Resulta imposible pensar en una sociedad moderna que prescinda de servicios tales como el teléfono, la radio o la televisión. Pero además de estos servicios que ya podemos considerar clásicos, se han producido avances tales como la telefonía móvil o la televisión digital que han aumentado el gran valor que ya tenían. Además se han creado nuevos servicios, como la red Internet que proporciona acceso a fuentes de información en cualquier punto del planeta desde un simple ordenador personal. Se tratará de exponer los conceptos fundamentales relacionados con la generación, transmisión y recepción de señales que transportan una determinada información de un punto a otro. Evidentemente habrá una gran cantidad de aspectos a tener en cuenta en función de cuáles sean las características de la transmisión a realizar. No es lo mismo que la información a transmitir sea analógica o digital; ni que el medio por el que se va a transmitir sea un cable de fibra óptica, un cable telefónico, la atmósfera o el agua; ni que el receptor se encuentre a una distancia de pocos metros o que el receptor sea un satélite situado a miles de kilómetros del transmisor. Cada transmisión tiene sus propias peculiaridades y por lo tanto serán las ideas básicas a tener en cuenta en la mayoría de sistemas las que se estudiarán. 1.2 Modelo de sistema de telecomunicación Un modelo de sistema lo más general posible que englobe la gran mayoría de sistemas existentes en la práctica se muestra en la figura 1.1. Como se mencionó en la introducción, la fuente de información puede ser de muy diversa naturaleza. Un transductor es un dispositivo que transforma una magnitud física en otra, y en un transmisor se emplea para convertir la información de la fuente en una señal eléctrica. Una vez se dispone de la señal eléctrica, ésta se procesa de forma conveniente para poder transmitirla al medio. El medio de transmisión, también llamado en ocasiones canal, puede ser de muy diversa naturaleza: aire, agua, cable bifilar, cable coaxial, fibra óptica, etc. El canal modifica las señales que son transmitidas a través de él, de tal forma que a la entrada del receptor se dispondrá de una señal distorsionada respecto a la original a la que se le añade ruido, interferencias y otras señales que están siendo transmitidas simultáneamente.
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El receptor para recuperar la información deberá realizar las operaciones inversas a las del transmisor. Procesa la señal que tiene a su entrada y la envía a un transductor que finalmente presenta la información deseada al destinatario.
Figura 1.1
1.3 Clasificación de señales Llamaremos señal a una función del tiempo (eje de abcisas), la función a representar será algún parámetro físico (tensión, corriente, intensidad luminosa,…) en el eje de ordenadas. Para cada valor del tiempo la función tiene uno y solo un valor. Es decir, las señales no pueden tener dos valores en un instante de tiempo, cosa que puede ser posible en una función matemática. Además, las señales que usaremos estarán acotadas en amplitud, no pueden crecer de forma indefinida. Las señales pueden clasificarse atendiendo a diferentes criterios. Por un lado se pueden dividir en señales analógicas o digitales. Por otro lado pueden clasificarse como de tiempo continuo o discreto. Una señal puede ser analógica y de tiempo continuo o discreto, o puede ser digital en tiempo continuo o discreto. Estas características se han explicado con claridad en las asignaturas de Teoría de la Señal I y II. Por otro lado las señales pueden ser deterministas o aleatorias. Una señal determinista es aquella cuyo valor en cada instante de tiempo es conocido y por lo tanto se puede modelar como una función dependiente del tiempo. Un ejemplo podría ser x(t)=Asen(ωot). Una señal aleatoria es aquella cuyo valor en un instante de tiempo es impredecible, su caracterización se realiza usando métodos estadísticos. Un ejemplo de señal aleatoria podría ser una señal de voz. En comunicaciones las señales en general son de naturaleza aleatoria, ya que no siempre se conoce la información a transmitir. Sin embargo, para el diseño y
RECEPTOR
Medio de transmisión ó canal
Fuente de información
Transductor Procesador transmisor
Destino o presentación
Transductor Procesadorreceptor
Ruido Interferencias Otras transmisiones
TRANSMISOR
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análisis de sistemas de comunicación puede usarse como primera aproximación señales deterministas. Adviértase que en cualquier caso, el ruido presente en el receptor siempre tiene una naturaleza aleatoria y no se puede evitar tratarlo como tal señal aleatoria. Normalmente las señales a usar serán reales, otras veces por conveniencia se considerarán complejas, las conclusiones obtenidas se harán extensivas a las señales reales anulando la componente imaginaria.
1.4 Caracterización temporal de señales En este apartado se pretende presentar algunos parámetros de las señales que se pueden calcular en el dominio del tiempo. Valor medio de una señal en un intervalo de tiempo centrado en to y duración T segundos. Sea x(t) la señal, este valor medio se calcula con la expresión 1-1.
∫+
−
=2/Tt
2/TtT,t
0
00
dt)t(xT1)t(x (1-1)
El valor medio es por tanto el valor constante que multiplicado por la duración del intervalo es igual al área neta de la señal en ese intervalo. Valor medio. Sea x(t) la señal, su valor medio se calcula con la expresión 1-2.
∫+
−∞→
=2/T
2/TT
dt)t(xT1lim)t(x (1-2)
El valor medio es la señal de valor constante que “guarda” igual área neta que la señal x(t). Se define el operador “valor medio” en la expresión 1-3.
( ) ( )∫+
−∞→
⋅=⋅2/T
2/TT
dtT1lim (1-3)
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Valor cuadrático medio de una señal en un intervalo de tiempo centrado en to y duración T segundos. Se calcula con la expresión 1-4. Es el valor medio en ese intervalo de la señal al cuadrado.
∫+
−
=2/Tt
2/Tt
2
T,t
20
00
dt)t(xT1)t(x (1-4)
Valor cuadrático. Se calcula con la expresión 1-5. Es el valor medio de la señal al cuadrado.
∫+
−∞→
=2/T
2/T
2
T
2 dt)t(xT1lim)t(x (1-5)
Se define el operador “valor cuadrático medio” en la expresión 1-6.
( ) ( )∫+
−∞→
⋅=⋅2/T
2/T
2
T
2 dtT1lim (1-6)
1.5 Caracterización espectral de señales Debe recordarse que de la señal x(t), si cumple una serie de condiciones, se puede calcular su transformada de Fourier con la expresión 1-7. A esta transformación se le suele llamar transformada directa de Fourier, y a la ecuación, ecuación de análisis.
[ ]
)(X)t(x
dte)t(x)t(x)(X
TF
tj
ω⎯⎯→⎯
=ℑ=ω ∫+∞
∞−
ω−
(1-7)
A partir de X(ω) puede obtenerse x(t) con la expresión 1-8. Esta operación es la transformada inversa de Fourier, y a la ecuación se la llama de síntesis.
[ ]
)(X)t(x
de)(X21)(X)t(x
1TF
tj1
ω⎯⎯ ⎯←
ωωπ
=ωℑ=
−
∫+∞
∞−
ω+−
(1-8)
Cuando un sistema es lineal e invariante en el tiempo (SLIT) queda caracterizado por la respuesta al impulso delta de Dirac (figura 1.2) y puede calcularse su señal de salida como se indica más abajo.
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Figura 1.2 Donde:
)(Y)t(y)(X)t(x)(H)t(h
TF
TF
TF
ω⎯⎯→⎯ω⎯⎯→⎯ω⎯⎯→⎯
Donde a H(ω) se le llama función de transferencia en frecuencias del sistema, función de transferencia o respuesta en frecuencia del sistema. Además se cumple que la salida se puede calcular en el dominio del tiempo (1-9) o en el dominio de la frecuencia (1-10).
)(X)(H)(Y)t(x)t(h)t(y
ωω=ω∗=
(1-9)(1-10)
Donde “*” denota la operación de convolución. En este punto deben recordarse las propiedades de la transformada de Fourier, de los SLIT y de la operación de convolución. 1.5.1 Sistema inverso Sea la transmisión de la señal x(t) a través de un SLIT como indica la figura 1.3, donde en su salida se obtiene la señal y(t), se pretende hacer pasar la señal recibida y(t) por un nuevo SLIT de tal forma que en su salida s(t) se obtenga de nuevo la señal x(t).
Figura 1.3
SLITδ(t) h(t)
SLITx(t) y(t)
h(t) H(ω)
x(t) y(t) s(t)=x(t) hi(t) Hi(ω)
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El estudio se puede realizar en el dominio del tiempo:
)t()t(h)t(h)t(x)t(s
)t(x)t(h)t(h)t(y)t(h)t(s)t(x)t(h)t(y
iii δ=∗⇒
⎭⎬⎫
=∗∗=∗=
∗= (1-11)
O en el dominio de la frecuencia.
1)(H)(H)(X)(S
)(X)(H)(H)(Y)(H)(S)(X)(H)(Y
iii =ωω⇒
⎭⎬⎫
ω=ωωωω=ωω=ω
ωω=ω (1-12)
Haciendo la transformada de Fourier de la ecuación 1-11 se obtiene la expresión 1-12. La función de transferencia del segundo sistema viene dado por 1-13.
)(H1)(Hi ω
=ω (1-13)
Esta ecuación debe respetarse al menos donde X(ω) es distinto de cero. Expresando las funciones de transferencia en función de sus módulos y fases (ecuaciones 1-14 y 1-15), y sustituyendo (1-16) se obtienen las expresiones 1-17 y 1-18.
)(Hje)(H)(H ω∠ω=ω (1-14)
)(Hj
iiie)(H)(H ω∠ω=ω (1-15)
)(Hj-)(Hj
)(Hji e
)(H1
e)(H1e)(H i ω∠
ω∠ω∠
ω=
ω=ω (1-16)
)(H1)(Hi ω
=ω (1-17)
)(H)(Hi ω−∠=ω∠ (1-18)
Es decir la ganancia para cada frecuencia del segundo sistema es la inversa del primero, y la característica de fase del segundo es igual a la del primero cambiada de signo.
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Cuestión. Supóngase que para una cierta frecuencia X(ω) es distinto de cero, y para esa misma frecuencia |H(ω)| es igual a cero ¿Se puede recuperar x(t)? ¿Existe el sistema inverso al primero?
1.5 Potencia y energía Supóngase que la señal de tensión v(t) se aplica sobre una resistencia de R ohmios, esto provoca una señal de corriente instantánea i(t). Igualmente puede considerarse la señal aplicada i(t), y que esta provoca v(t). En cualquier caso la potencia instantánea viene dada por 1-19. Su unidad de medida es el vatio (W).
R)t(iR
)t(v)t(i)t(v)t(p 22
=== W (1-19)
Si se toma el valor de la resistencia de 1 ohmio queda la expresión 1-20. En el resto de la asignatura siempre debe suponerse este valor de resistencia.
)t(i)t(v)t(i)t(v)t(p 22 === W (1-20) Esto último permite eliminar de las expresiones el valor de la resistencia. Si bien es verdad que la potencia depende de la resistencia, en los sistemas de comuniaciones es habitual evaluar cocientes de potencias de señales que existen en un mismo punto, en cualquier caso el valor R desaparecería del numerador y del denominador; dicho de otra forma, el cociente de potencias no depende del valor de R elegido. Si la señal aplicada es x(t) la potencia instantánea queda como la señal al cuadrado (1-21), sin importar si es de tensión o de corriente.
)t(x)t(p 2= W (1-21) Por otro lado la potencia instantánea es la derivada de la energía respecto al tiempo (1-22).
dt)t(dE)t(p = W (1-22)
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La potencia media de una señal en un intervalo centrado en to y duración T segundos se calcula con la expresión 1-23.
∫∫+
−
+
−
===2/Tt
2/Tt
22/Tt
2/TtT,tT,t
0
0
0
000
dt)t(xT1dt)t(p
T1)t(pP W (1-23)
La potencia media de una señal se calcula con la expresión 1-24.
)t(xdt)t(xT1limdt)t(p
T1lim)t(pP 2
2/T
2/T
2
T
2/T
2/TT
==== ∫∫+
−∞→
+
−∞→
W (1-24)
Es decir, la potencia media de una señal es igual a su valor cuadrático medio. Por otro lado un elemento diferencial de energía se puede calcular con 1-25. Se mide en julios (J).
dt)t(p)t(dE = J (1-25) La energía disipada en la resistencia hasta el instante t viene dada por la expresión 1-26.
∫ ∫∞− ∞−
==t t
dt)t(p)t(dE)t(E J (1-26)
La energía disipada en la resistencia en un intervalo centrado en to y duración T segundos se calcula con la expresión 1-27.
∫∫ ∫+
−
+
−
+
−
===2/Tt
2/Tt
22/Tt
2/Tt
2/Tt
2/TtT,t
0
0
0
0
0
0
0dt)t(xdt)t(p)t(dEE J (1-27)
La energía total disipada en la resistencia viene dada por 1-28.
∫∫∫ ∫+∞
∞−
+
−∞→
+
−
+
−∞→∞→
==== dt)t(xdt)t(xlimdt)t(plim)t(dElimE 22/T
2/T
2
T
2/T
2/T
2/T
2/TTT
J (1-28)
Nuestras señales serán definidas en energía o definidas en potencia. Una señal es de energía si su energía es finita (1-28), por tanto su potencia media será nula (1-24). Una señal es de potencia si su potencia media es finita (1-24), la energía disipada será infinita (1-28). La tabla siguiente resume lo anterior.
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Energía Potencia Señal de energía 0 < E < +∞ P = 0 Señal de potencia E = +∞ 0 < P < +∞
Matemáticamente es posible definir señales que no son ni de energía ni de potencia, algunas con energía y potencia infinitas, pero estas señales no son de nuestro interés por ser no acotadas y crecer hacia el infinito. Las señales de energía son normalmente de duración finita, y las de potencia de duración infinita. Cuestión. En el laboratorio de electrónica, ¿existen las señales de energía? ¿Y las de potencia?
Ejemplo de señal de energía. Sea el pulso rectangular: ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡τ
Π= tA)t(x
La energía de x(t) se calcula con la expresión 1-28.
[ ] [ ] τ=τ−−τ+==== τ+τ−
τ+
τ−
+∞
∞−∫∫ 222/
2/2
2/
2/
22 A)2/(2/AtAdtAdt)t(xE J
Aplicando 1-24 se obtiene que su potencia media es nula. Ejemplo de señal de potencia. Sea un tono )tcos(A)t(x 0ω= . Donde:
0000 T
1ff2 =π=ω
Si se trata de calcular su energía con 1-28 se tiene una integral cuya solución no converge. Por ser periódica se calculará la potencia media en un periodo, que coincide con su potencia media.
( )2
AdtT2
Adt)t2cos(12
AT1dt)t(cosA
T1PP
2T
00
2T
00
2
0
T
00
22
0T
000
0 ∫∫∫+++
==ω+=ω== W
A
-τ/2 +τ/2
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1.7 Ancho de banda de una señal Es una medida de la banda de frecuencias donde se concentra mayormente la energía o la potencia de la señal, según sea el caso. Existen varios criterios, se enumeran a continuación. Se supone en adelante una señal de energía, pero es similar para señales de potencia. Ancho de banda del primer nulo. Se distinguirá de una señal paso bajo de una señal paso banda. Una señal paso bajo es aquella donde las mayores componentes espectrales se concentran en torno al origen. Supóngase una señal cuyo módulo de la transformada de Fourier es como la de la figura 1.4, el ancho de banda estimado de esta forma es la banda de frecuencias ocupadas desde el origen hasta el primer nulo.
Figura 1.4 Una señal paso banda es aquella donde la mayores componentes espectrales se concentran en torno a un cierto valor de frecuencia, distinto del origen. Supóngase una señal cuyo módulo de la transformada de Fourier es como la de la figura 1.5, el ancho de banda estimado de esta forma es la diferencia entre las frecuencias de los pasos por cero donde se concentran los mayores valores. No siempre el módulo de la transformada de Fourier tiene nulos, por este y otros motivos aparecen otros criterios.
Figura 1.5
ω
|X(ω)|
BPN
ω
|X(ω)|
BPN
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Ancho de banda de 3 dB. Igual que antes se distinguirá una señal paso bajo de una señal paso banda. Se define a partir de las frecuencias en las que la amplitud del espectro cae 3 dB; es decir, la disminución en amplitud viene dado por el factor 21 . Se ilustra en las figuras 1.6.a y 1.6.b respectivamente.
Figura 1.6.a
Figura 1.6.b Existen otros criterios como el ancho de banda a 10 dB o 20 dB; además del ancho de banda al 90%, donde se calcula el ancho de banda donde reside el 90% de la energía o la potencia de la señal. Principalmente durante el curso estimaremos los anchos de banda por los pasos por cero.
1.8 Transmisión a través de un canal. Se estudiará en este apartado el canal tanto como si se trata de un SLIT como si no. 1.8.1 Transmisión sin distorsión a través de un SLIT Si el canal es un SLIT, donde la señal de entrada es x(t) y la de salida y(t). Se considerará que hay transmisión sin distorsión si la salida es de la forma dada por 1-29.
)tt(x)t(y d−α= (1-29)
ω
|X(ω)|
B3dB
3 dB
|X(ω)|max
|X(ω)|max/ 2
ω
|X(ω)|
B3dB
|X(ω)|max
|X(ω)|max/ 2
3 dB
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Donde α es real y td es el retardo (delay). Es decir; la forma de onda de la salida es igual que la de la entrada, puede estar amplificada o atenuada, y sufre un retardo respecto de la señal de entrada. En la figura 1.7.a se muestra un ejemplo de transmisión sin distorsión y en la 1.7.b con distorsión.
Figura 1.7.a
Figura 1.7.b Se tratará de determinar las condiciones que debe cumplir el SLIT para que haya transmisión sin distorsión. A partir de 1-29 se calcula la transformada de Fourier de la señal de salida, que se tiene en 1-30. Para ello se aplica la propiedad de desplazamiento en el tiempo.
dtje)(X)(Y ω−ωα=ω (1-30)
Entonces la función de transferencia del sistema se puede calcular como muestra 1-31.
dtje)(X)(Y)(H ω−α=
ωω=ω (1-31)
Entonces ya se puede determinar la expresión del módulo (1-32) y de la fase de la función de transferencia (1-33).
α=ω)(H (1-32)
dt)(H ω−=ω∠ (1-33)
t
x(t)
t
y(t)
td
t
x(t)
t
y(t)
td
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Es decir, el módulo es constante e igual al factor por el que se multiplicó la señal (figura 1.8.a), y la fase es lineal con la frecuencia (figura 1.8.b) donde su derivada cambiada de signo es igual al retardo del sistema (1-34).
Figura 1.8.a Figura 1.8.b
dtd)(Hd =
ωω∠− (1-34)
Estas características deben cumplirse al menos donde X(ω) es distinto de cero. Es decir, donde el espectro de la señal de entrada es igual a cero no tiene por que cumplirse estas condiciones. Cuando no se verifica 1-32 se dice que existe distorsión lineal de amplitud. Análogamente, cuando no se verifica 1-33 se dice que existe distorsión lineal de fase. Cuestión. ¿Que significado tendría una pendiente positiva para la fase del sistema? ¿Sería realizable físicamente? Resumiendo, cuando se realiza transmisión sin distorsión el módulo de la señal de salida es igual al módulo de la señal de entrada por el valor α; es decir se amplifican o atenúan las componente espectrales de la misma forma (1-35). Por otro lado la fase de la señal de salida es igual a la fase de la señal de entrada menos un desfase lineal con la frecuencia (1-36).
)t)(X(jtj)(Xj)(Yj dd e)(Xee)(Xe)(Y ω−ω∠ω−ω∠ω∠ αω=αω=ω
αω=ω )(X)(Y (1-35)
dt)(X)(Y ω−ω∠=ω∠ (1-36)
|H(ω)|
ω
α
∠H(ω)
ω
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Ejemplo. Sea el pulso rectangular dado por ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛Π=
TtA)t(x que se transmite por un
sistema de la forma dada por 1-31. Determine la señal de salida en el dominio del tiempo y dibújela. El espectro de la señal de salida viene dado por:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
πωα=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
πωα=ωω=ω ω−ω− dd tjtj e
2TcsinAT
2TcsinATe)(X)(H)(Y
Haciendo la transformada inversa de Fourier, y usando la propiedad de desplazamiento en el tiempo se tiene:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −Πα=
TttA)t(y d
En la figura 1-9 se representa la forma de onda de la señal de entrada y de la señal de salida.
Figura 1.9 1.8.2 Transmisión a través de un sistema no lineal En un sistema no lineal la entrada y la salida se pueden relacionar con un polinomio como en 1-37.
...)t(xa)t(xa)t(xaa)t(y 33
2210 ++++= (1-37)
Usando la propiedad de la convolución en frecuencia se tiene 1-38.
x(t)
t
A
-T/2 +T/2
y(t)
t αA
td-T/2 td+T/2 td
16
...)(X)(X)(X21a)(X)(X
21a)(Xa)(2a)(Y
2
3210 +ω∗ω∗ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
π+ω∗ω
π+ω+ωπδ=ω (1-38)
Para que no hubiera distorsión solo es deseable el segundo término de la serie. En general se produce distorsión, dado que los demás términos interfieren en frecuencia con el segundo. Si se supone una señal paso bajo con un espectro real de la forma indicada en la figura 1.10.a, con un ancho de banda de ωb radianes por segundo (rad/s), se tienen en la salida una serie espectros debido a los elementos de 1-38 que deben sumarse en frecuencia. Se bosqueja el espectro de salida en la figura 1.10.b.
Figura 1.10.a
Figura 1.10.b Ejercicio. Considérese un sistema no lineal donde la relación entre la entrada y la salida viene dada por los tres primeros términos de 1-37, y la señal de entrada es
)tcos(A)t(x 0ω= . Bosqueje el espectro de la señal de salida. Se sugiere para ello
desarrollar y(t) en el dominio del tiempo y después calcule su transformada de Fourier. 1.9 Filtros Un filtro es un SLIT, dejan pasar una parte de las componentes espectrales de la señal de entrada (banda de paso) y otras son eliminadas en la salida (banda de rechazo). A continuación se exponen sus características ideales. Se denomina ancho de banda del filtro al intervalo de frecuencias de la banda de paso.
X(ω)
ω
+ωb -ωb
Y(ω)
ω
+ωb -ωb +2ωb -2ωb +3ωb -3ωb
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Filtro Paso Bajo. Deja pasar las componentes de frecuencia por debajo de ωc radianes por segundo, y elimina las que están por encima. A ωc se le llama frecuencia de corte, coincide con el valor del ancho de banda del filtro (B=ωc rad/s). En la figura 1.11 se muestra su característica ideal.
Figura 1.11 Cuestión. ¿Por qué se supone que |H(ω)| es par? ¿Cómo sería ∠H(ω)? En la ecuación 1-39 se sugiere una función de transferencia ideal para este filtro. En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωωΠ=ω
c2G)(H (1-39)
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-40. Por sencillez se ha supuesto G igual a 1, además debe tenerse en cuenta que ωc=2πfc. Si se dibuja la señal de 1-40 se observa que el sistema no es causal, y por tanto no es realizable físicamente.
)tf2(csinf2)t(h cc= (1-40) Si se supone una nueva función de transferencia como en 1-39 pero con una fase lineal con la frecuencia (1-41), entonces la nueva respuesta impulsiva vendrá dada por 1-42.
dtj
c
e2
G)(H ω−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωωΠ=ω (1-41)
( ))tt(f2csinf2)t(h dcc −= (1-42) Si el retardo es suficientemente grande, el sistema es casi causal y se podría aproximar físicamente. Debe observarse que los sistemas 1-39 y 1-41 permiten la transmisión sin distorsión en la banda de paso, en el primer caso sin retardo y en el segundo caso con retado.
H(ω)
ω
B=+ωc -ωc
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Obviamente las características ideales no existen en la práctica. En la práctica los filtros: - son causales, - tienen rizado en la banda de paso y/o en la eliminada, - las pendientes de transición entre las bandas de paso y de rechazo no son abruptas. La especificación de un filtro paso bajo puede realizarse como se muestra en la figura 1.12.
Figura 1.12 Filtro Paso Banda. Deja pasar las componentes de frecuencia comprendidas entre la frecuencia de corte inferior ωci y la frecuencia de corte superior ωcs. Rechaza las componentes que están fuera de esta banda. El ancho de banda viene dado por la diferencia de las frecuencias de corte (B=ωcs-ωci rad/s). En la figura 1.13 se muestra su característica ideal. A la posición intermedia de la banda de paso se le suele llamar frecuencia de sintonía (ωs).
Figura 1.13 En la ecuación 1-43 se sugiere una función de transferencia ideal para este filtro. En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω−ωΠ+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ω+ωΠ=ω
BG
BG)(H ss (1-43)
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-44. Por sencillez se ha supuesto G igual a 1. Si se dibuja la señal de 1-44 se observa que el sistema no es causal, y por tanto no es realizable físicamente.
H(ω)
+ωs +ωcs +ωci
+ω
B
Filtro Paso Bajo
Low Pass Filter
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)tcos(t2BcsinB)t(h sω⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ππ= (1-44)
Si se supone un filtro con fase lineal se puede aproximar físicamente. Se pueden hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior. Durante el curso principalmente se usaran filtros ideales paso bajo y paso banda. La especificación de un filtro paso banda puede realizarse como se muestra en la figura 1.14.
Figura 1.14 Filtro Paso Alto. Deja pasar las componentes de frecuencia por encima de ωc radianes por segundo, y elimina las que están por debajo. A ωc se le llama frecuencia de corte, el ancho de banda de este filtro es infinito. En la figura 1.15 se muestra su característica ideal.
Figura 1.15 En la ecuación 1-45 se sugiere una función de transferencia ideal para esta filtro. En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ωωΠ−=ω
c21G)(H (1-45)
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-46. Por sencillez se ha supuesto G igual a 1, además debe tenerse en cuenta que ωc=2πfc. Si se dibuja la señal de 1-46 se observa que el sistema no es causal, y por tanto no es realizable físicamente.
)tf2(csinf2)t()t(h cc−δ= (1-46)
H(ω)
ω
+ωc -ωc
Filtro Paso
Banda
Band Pass Filter
20
Si se supone un filtro con fase lineal se puede aproximar físicamente. Se pueden hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior. La especificación de un filtro paso alto puede realizarse como se muestra en la figura 1.16.
Figura 1.16 Filtro Paso Banda Eliminada (o Rechazo de Banda). Elimina las componentes de frecuencia comprendidas entre la frecuencia de corte inferior ωci y la frecuencia de corte superior ωcs. En la salida aparecen las componentes que están fuera de esta banda. El ancho de banda (de rechazo) viene dado por la diferencia de las frecuencias de corte (B=ωcs-ωci rad/s). En la figura 1.17 se muestra su característica ideal. A la posición intermedia de la banda de rechazo se le suele llamar frecuencia de sintonía (ωs).
Figura 1.17 En la ecuación 1-47 se sugiere una función de transferencia ideal para este filtro. En el se ha supuesto una ganancia G en la banda de paso.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω−ωΠ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ω+ωΠ−=ω
BB1G)(H ss (1-47)
Si se calcula la respuesta impulsiva de este filtro se obtiene 1-48. Por sencillez se ha supuesto G igual a 1. Si se dibuja la señal de 1-48 se observa que el sistema no es causal, y por tanto no es realizable físicamente.
)tcos(t2BcsinB)t()t(h sω⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ππ−δ= (1-48)
H(ω)
+ωs +ωcs +ωci
+ω
B
Filtro Paso Alto
High Pass Filter
21
Si se supone un filtro con fase lineal se puede aproximar físicamente. Se pueden hacer las mismas consideraciones que en el caso anterior. La especificación de un filtro rechazo de banda puede realizarse como se muestra en la figura 1.18.
Figura 1.18 Filtro Pasa Todo. Se conoce con este nombre a la característica dada por 1-32, puede existir una componente de fase lineal dada por 1-33. El ancho de banda del filtro es infinito y no existe banda de rechazo. Ejercicio. Calcule la respuesta impulsiva del filtro pasa todo suponiendo: - el módulo de la función de transferencia es como en 1-32, y fase nula. - el módulo de la función de transferencia es como en 1-32, y fase como 1-33.
1.10 Ruido Se entiende por ruido una señal aleatoria indeseada (figura 1.19). Como se puso de manifiesto en la figura 1.1 se concentrarán todas las fuentes de ruido en la entrada del receptor. Con el uso de teoremas de estadística se comprueba que cuando el número de fuentes tiende a infinito la suma tiende al modelo de Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA).
Figura 1.19
n(t)
t
Filtro Rechazo de Banda
Noth Filter
22
1.10.1 Ruido Blanco Gaussiano Aditivo El Ruido Blanco Gaussiano Aditivo (RBGA), que llamaremos n(t), tiene un nivel de potencia constante con la frecuencia (figura 1.20). De ahí el nombre de “blanco”, por la analogía con la luz blanca que se compone de todos los colores. En inglés se denota como Additive White Gaussian Noise (AWGN).
Figura 1.20 Cuestión. ¿Cuánto vale la potencia media del RBGA? El RBGA tiene valor medio nulo, no existe atribución de potencia discreta en el origen. Se le llama “gaussiano” por que la función de densidad de probabilidad de este ruido viene dado por una curva gaussiana (1-49), donde σ es la desviación típica.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
σ−
πσ=
2
2
2x
e2
1)n(fdp (1-49)
Finalmente se le llama “aditivo” por que se suma a la señal deseada, como se dijo en un principio. 1.10.2 Ruido coloreado Si se hace pasar el RBGA a través de un filtro con función de transferencia H(ω), a su salida se obtendrá otro ruido cuya DEP no será constante con la frecuencia. En la figura 1.21 se representa el ruido coloreado en la salida de un filtro paso bajo ideal.
Figura 1.21
Potencia
ω
Potencia
ω
+ωc -ωc
23
La potencia del ruido coloreado es finita, y depende de: - el valor del nivel de potencia del ruido blanco presente en la entrada, - el ancho de banda del filtro y su ganancia.
1.11 Relación Señal a Ruido. Ganancia de Proceso La calidad de un sistema de comunicación analógico, se mide en un determinado punto con la Relación Señal a Ruido (RSR). En inglés este parámetro se conoce con el nombre de Signal to Noise Relation (SNR). Se define como el cociente entre la potencia de señal en un punto (S) y la potencia de ruido que existe en ese mismo punto (N). La expresión se tiene en la ecuación 1-50. Se puede expresar en dB según la expresión 1-51. Es deseable que la RSR sea lo más elevada posible.
NSRSR = (1-50)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅=NSlog10)dB(RSR (1-51)
Cuestión. ¿En qué unidades se mide la RSR? En un receptor se puede distinguir entre la RSR en la entrada y en la salida, como se indica en la figura 1.22. Donde Se y Ss son las potencias de señal en la entrada y en la salida respectivamente; por otro lado, Ne y Ns son las potencias de ruido en la entrada y en la salida.
Figura 1.22 En un sistema con entrada y salida como es el caso de un receptor se puede definir la Ganancia de Proceso (GP) como el cociente entre la RSRs y la RSRe (expresión 1-52). Es deseable que la GP sea lo más elevada posible.
( )( )ee
ss
e
s
N/SN/S
RSRRSRGP == (1-52)
Cuestión. ¿En qué unidades se mide la GP?
RECEPTOR RSRe=(S/N)e= Se/ Ne RSRs=(S/N)s= Ss/ Ns