UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADASESPE EXTENSIÓN LATACUNGA

INGENIERÍA ELECTRÓNICA E INSTRUMENTACIÓN

Procesos Estocásticos

Convolución Lineal Discreta y Convolución Circular

William Mauricio LOPEZ VILLAVICENCIOwillop92@gmail.com

RESUMEN: En el presente paper se muestra de forma escrita que la convolución es un valor que se extiende a todos los sistemas que son invariantes linear del tiempo. La idea de convolución discreta es la misma que la de convolución continua. Recordemos que la convolución es un instrumento poderoso al determinar el resultado de un sistema después de saber la una entrada arbitraria y la respuesta al impulso del sistema. Puede ser también útil al ver la convolución gráficamente con nuestros propios ojos y poder manejar el concepto.

ABSTRACT: This paper shows that the convolution writing a value that extends to all systems that are linear time invariant. The idea of discrete convolution is the same as the continuous convolution. Recall that convolution is a powerful tool to determine the outcome of a system after learning the arbitrary input and the impulse response of the system. It may also be useful to see convolution graphically with their eyes and be able to handle the concept a bit.

PALABRAS CLAVE: Convolución discreta, Convolución lineal discreta, Convolución circular discreta.

1 INTRODUCCIÓN

El presente trabajo explica dos diferentes métodos de convolución la lineal y la circular, haciendo notar las semejanzas que tienen y también la aplicación de cada tipo de convolución.

2 DESARROLLO

2.1 DEFINICIÓN

Si se tiene la respuesta al impulso discreto de un sistema LID y denotada por h(n), ¿ Cuál es la respuesta y(n) a cualquier excitación x(n)?.Una secuencia x(n) puede expresarse como una suma de impulsos escalados y desplazados, es decir :

x (n )= ∑k=−∞

∞

x ( k ) δ(n−k )

La salida del sistema es :

y (n )=T [ x (n ) ]= ∑k=−∞

∞

x (k )T [δ¿(−k )]¿ (1)

Como el sistema es LID, entonces,

T [ δ (n−k ) ]=h (n−k )

Así la salida está dada por :

y (n )= ∑k=−∞

∞

x (k )h (n−k )=¿

∑k=−∞

∞

h (k ) x (n−k ) (2)

Conocida como suma de convolución discreta y cuya representación es:

y(n)=x(n)*h(n)

Es el caso de sistemas discretos, h(n) representa el retrato del sistema, ya que es posible obtener la respuesta a cualquier excitación suponiendo que se conoce h(n). Esto es análogo al caso de sistemas continuos con respecto a la respuesta al impulso h(t).Supóngase que

h1 (n )=¿ , h2 (n )=¿

Y que x(t)=2 sen[2π(10t)]+3 sen[2π(20)t], si la frecuencia de muestreo es de 1000Hz, la señal x(t) y las salidas y1(t) y y2(t) considerando las respuestas a impulso h1(n) y h2(n) respectivamente, se dan en la ilustración 1.

Obsérvese que el sistema discreto identificado por su respuesta al impulso, influye en la forma de la respuesta a la salida del sistema, en general, existirá distorsión de amplitud (ganancia o atenuación) y de fase. En este

1

ejemplo se tiene cierta ganancia y la distorsión en fase no es apreciable

Respuesta De Dos Sistemas Discretos A Una Misma Excitación

Ilustración 1 Fuente: Pdf Juan García Realizado por: William López

Para sistemas causales cuya respuesta h(n) es una secuencia finita (0≤n≤N−1), los limites de la sumatoria son 0 y N-1 ó 1 y N.Es posible demostrar que la convolución continúa dada por la ecuación:

y (t )=x ( t )∗h ( t )=∫0

t

x (T )h(t−T )

Puede aproximarse usando la convolución discreta como:

y (n )≅Tx (n )∗h (n)

La aproximación será mejor para valores pequeños del periodo de muestreo T.Partiendo de la definición es posible demostrar que la convolución discreta es conmutativa, asociativa y distributiva, ósea:

x (n )∗h (n )=h (n ) x (n) (3)

x (n )∗h1 (n )∗h2 (n )=[ x (n )∗h1 (n ) ]∗h2(n) (4)

x (n )∗[h1 (n )+h2 (n ) ]=x (n )∗h1 (n )+x (n )∗h2(n) (5)

Concluyendo: La respuesta al impulso h(n) de un sistema discreto, proporciona información del sistema con respecto a su estabilidad, causalidad, y permite obtener la respuesta a cualquier excitación.

2.2 Tipos de convolución

CONVOLUCIÓN LINEAL

La respuesta y[n] de un sistema lineal y estacionario en tiempo discreto a una entrada arbitraria x[n] se obtiene como la suma de convolución dada por:

y (n )=∑−∞

∞

h[k ] x [n−k ]

Donde h[n], que se asume conocida, es la respuesta del sistema a un impulso unitario en la entrada.Para obtener la salida y[n] en un instante de tiempo n determinado, primero se resuelve los productos h[k].x[n-k] como una función de la variable discreta k. Luego se realiza la sumatoria infinita de los mismos respecto a k obteniéndose y[n].Estas operaciones matemáticas tienen una interpretación gráfica muy sencilla. Primero se traza h[k] y una versión invertida "temporalmente" y desplazada de la entrada (x[n]) dada por x[n-k] ambas en un eje k, donde n pasa a ser un parámetro fijo.Luego se multiplican estas dos señales obteniéndose la secuencia de sumandos. Sumando los valores de esta secuencia con respecto al índice k se alcanza el valor de la salida y[n] en el instante n correspondiente. Esta última operación se repite para cada valor de n requerido.

CONVOLUCIÓN CIRCULAR

Dado un h[n], para 0≤n≤N−1, y {x[n]}, su convolución es igual a:

y [n ]=∑k=0

N−1

n [k ] x [n−k ] para todo n,

Denotamos la ecuación anterior como la convolución lineal. Se sabe que la transformada de Fourier es útil para convertir una operación de convolución en una multiplicación.

En este caso, el interés se centra en obtener {y[n]} a partir de la inversa DFT de {Y[k]}, donde Y[k] = H[k] X[k], para

0≤k ≤N−1. Se debe de tener especial cuidado al aplicar las relaciones de la DFT porque las secuencias son periódicas con periodo N, ya que son una extensión periódica de las secuencias originales. La convolución que resulta es llamada entonces convolución circular, y se define como:

y [n ]=∑k=0

N−1

h[k ] x[n−k]

2

Para 0≤n≤N−1, o de una mejor manera:

{ y [ n] }= {h[n ]}∗{x [n ]}

Donde * denota la operación de convolución circular. Los pasos utilizados para computar esta convolución son idénticos a aquellos utilizados en la convolución lineal, excepto que la suma es tomada sobre un solo periodo. La{y^[n]} resultante también es periódica, con período N.

La mayor consecuencia producida por la naturaleza periódica de las secuencias en la convolución es que el cambio producido por el índice (n–k) actualmente representa una rotación.

LA MOD

Convolución cíclica trabaja en términos demod N es equivalente al giro de la rueda donde la analogía del cilindro es de gran alcance.La diferencia principal entre estos tipos de convolución es que, en la convolución circular, las operaciones de reflexión y desplazamiento (rotación) se realizar de forma circular calculando el índice de una de las secuencias de modulo N.

Y (m )=∑m=0

N−1

X (m )h((n−m))mod N

Parcela x [ m ]

Ilustración 2

Parcela h [m] (Hacia atrás en el cilindro)

Ilustración 3

Spin h [-m] n pasos para aplicar h[(n-m)mod N] a la izquierdaMultiplique punto a punto x [m] rueda y h [ (n − m ) mod N ]rueda. La suma es igual y[N]

2.3 Ejercicios Propuestos

1.-Convolucionar las siguientes secuencias

x [n ]=12δ [n ]+2δ [n−1]

h [n ]=u [n ]−u [n−3 ]

Ejercicio Por Convolución LinealIlustración 4

n<0 , y [n ]=0

n=0 , y [ 0 ]= ∑k=−∞

∞

x [k ] h [0−k ]= x [ 0 ] h [0 ]=12

3

n=1 , y [ 1 ]= ∑k=−∞

∞

x [k ]h [1−k ]=x [ 0 ] h [1 ]+x [1 ] h[0]=52

n=2 , y [ 2 ]= ∑k=−∞

∞

x [k ]h [ 2−k ]=x [ 0 ]h [2 ]+x [1]h[1]=52

n=3 , y [ 3 ]= ∑k=−∞

∞

x [k ]h [ 3−k ]=x [1 ]h [ 2 ]+x [1]h[1]=2

n>3, y[n]=0

2.-Obtener la convolución circular z(n)=x(n) (6) y(n) donde,

X(n) = {0,1,2,-1,0,3}

Y(n) = {-1,0,2,3,0,1}

Solución:

La distribución inicial (m=0) de las muestras sobre los círculos concéntricos se muestran en la ilustración 5

Secuencias y(n) y x(n) para m=0Ilustración 5

z (0 )=0+0+0−3+0+1=−2

z (1 )=0−1+2+0+0+6=7

z (2 )=−2−1+0+9+0+0=6

z (3 )=1+0+0+0+2+0=3

z (4 )=0+3+4+0+0+3=10

z (5 )=0+0+6−2+0−3=1

3. CONCLUSIONES

La convolución en palabras sencillas no es más que un operador que transforma dos funciones en una tercera función en cierto sentido que representa la magnitud que se superpone entre las dos funciones.

Los tipos de convolución nos permiten analizar distintas características que nos permiten encontrar fácilmente nuestra tercera función con rapidez y eficacia

4. RECOMENDACIONES

Para la resolución de ejercicios es necesario determinar muy bien qué tipo de convolución es con sus diferentes propiedades.

La convolución puede resultar un poco abstracta a la hora de analizarla, pero con sus respectivos ejercicios se puede entender de mejor manera los conceptos básicos que trae la misma.

5. BIBLIOGRAFÍA

1. http://www.fceia.unr.edu.ar/tesys/Demos_Spanish/DiscConv/discconv.htm

2. http://es.scribd.com/doc/54002662/20/Convolucion-circular

3. http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/ljavier/documentos/Lec04%20-%20Convoluci%C3%B3n.pdf

4. http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r92006.PDF

4