lec04 - convolución

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Convolución

Dr. Luis Javier Morales Mendoza

Procesamiento Digital de SeñalesDepartamento de Maestría

DICIS - UG

Dr. Luis Javier Morales Mendoza 2

Índice4.1. Introducción.

4.2. Análisis de Sistemas Discretos Lineales e Invariantes en el Tiempo.

4.2.1. Técnicas para el análisis de sistemas lineales

4.2.2. Descomposición de una Señal Discreta en Impulsos

4.2.3. Respuesta de un Sistema LTI a Entradas Arbitrarias: La Convolución

4.2.4. Métodos para el Cálculo de la Convolución

4.2.5. Propiedades de la Convolución y la Interconexión de Sistemas LTI

4.3. Tareas

2


Introducción4.1. Introducción

En la lectura 3 se clasificaron lo sistemas según ciertas propiedades carac-terísticas o categorías. Habiendo hecho esto, nos centraremos ahora en el análisis de los sistemas que poseen una linealidad e invarianza en el tiempo comúnmente abreviados como sistemas LTI.

En concreto, demostraremos que dichos sistemas quedan caracterizados en el dominio del tiempo por su respuesta a un impulso unitario. Además, se demostrará que cualquier secuencia de entrada puede considerarse como la suma ponderada de impulsos unitarios (deltas).

Entonces, como consecuencia, de las propiedades de linealidad e invarian-za en el tiempo del sistema, la respuesta del sistema a cualquier secuencia de entrada podrá ser expresada en términos de la respuesta del sistema al impulso unitario.


IntroducciónSe obtendrá además, la formula general que relaciona la respuesta al impulso unitario con las señales de entrada y salida del sistema, conocida como convolución. Y finalmente, seremos capaces de determinar la salida de un sistema lineal e invariante en el tiempo para cualquier señal de entrada.4.2. Análisis de Sistemas Discretos LTI

4.2.1. Técnicas para el análisis de sistemas lineales

Existen dos métodos básicos para el análisis del comportamiento o respuesta de un sistema lineal a una determinada señal de entrada. Un método se basa en obtener la solución de la ecuación de entrada-salida del sistema que, en general tiene la siguiente forma

[ ])(),...,1(),(),(),...,2(),1()( NnxnxnxNnynynyFny −−+++= (4.1)

donde F[.] representa cualquier función.

3


Análisis de sistemas LTI

∑ ∑= =

−+−−=N

k

M

kkk knxbknyany

1 0)()()( (4.2)

donde {ak} y {bk} son los parámetros constantes que especifican el sistema y son independientes de x(n) e y(n). La relación entrada-salida dada en (4.2) se denomina ecuación en diferencias y representa una de las maneras de caracterizar el comportamiento de un sistema discreto LTI.

El segundo método para el análisis del comportamiento de un sistema lineal ante una determinada entrada se basa en descomponer dicha señal de entrada en señales elementales. Las señales se escogen de manera que sea fácil determinar la respuesta del sistema a cada una de ellas.

En concreto para sistema lineales e invariantes en el tiempo (LTI), se verámás adelante que la forma general de la relación de entrada-salida esta definida como


Análisis de sistemas LTIEntonces, usando la propiedad de linealidad del sistema, se suman las respuestas del sistema a cada una para obtener la respuesta global del sistema.Demostración: Se tiene que la señal x(n) puede ser expresada como una suma ponderada de señales elementales {xk(n)}

∑=k

kk nxcnx )()(

donde los {ck} definen el conjunto de coeficientes de ponderación de la descomposición de la señal x(n). Por lo tanto, la respuesta de la señal elemental es definida como

)]([)( nxTny kk =

4


Análisis de sistemas LTIPara un sistema está en reposo, la respuesta del sistema ckxk(n) es ckyk(n). Por lo tanto, la respuesta total de la entrada x(n) es

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∑

kkk nxcTnxTny )()]([)( [ ]∑=

kkk nxTc )( ( )∑=

kkk nyc (4.3)

Aunque, a primera vista parece que la elección de las señales elementales es completamente arbitraria, en realidad dicha elección está fuertemente con-dicionada por la clase de señales de entrada que queremos considerar.

Si no se considera ninguna restricción para las señales de entrada, entonces, la descomposición de las mismas en una suma ponderada de impulsos unitarios desplazados la cual es matemáticamente conveniente y completamente general.



n

ckδ(n – 1)n

ckδ(n)

n

ckδ(n – 3)n

ckδ(n – 2) Figura 4.1.

+ + +

5


Análisis de sistemas LTI4.2.2. Descomposición de una Señal Discreta en Impulsos

Supongamos que se tiene una señal arbitraria x(n) que se quiere expresar como la suma de impulsos unitarios. Primero se escoge las señales elemen-tales xk(n) como

)()( knnxk −= δ

donde k representa el retrazo del impulso unitario.

Para poder manejar una señal arbitraria x(n) que puede tener infinitos valores, el conjunto de impulsos unitarios debe ser también infinito, para contener un número infinito de desplazamientos. Supongamos ahora, que se multiplica la secuencia x(n) con δ(n – k) .



( ) ( ) ( ) ( )knkxknnx −=− δδ

En otras palabras, cada multiplicación de la señal x(n) por un impulso unitario desplazada k unidades y se extrae de la secuencia x(n) el valor en el punto n = k ya que el impulso unitario vale uno en ese punto.

dado que δ(n – k) es cero en todos los puntos excepto en n = k, donde vale uno, el resultado de esta multiplicación en otra secuencia que vale cero en todos los puntos excepto en n = k donde vale x(k), como se ilustra en la Figura 4.2 por lo tanto

En consecuencia, si repetimos esta multiplicación por todos los posibles desplazamientos en el dominio de –∞ < k < ∞, y se suma el resultado de todas estas multiplicaciones, se obtendrá una señal igual a la secuencia original x(n).

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-10 -5 0 5 10 15 20-2

0

2

4

-10 -5 0 5 10 15 200

0.5

1

-10 -5 0 5 10 15 20-2

-1

0

Figura 4.2. Multiplicación de una señal x(n) con un impulso unitario desplazado

x(n)

δ(n – k)

y(n)



( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

knkxnx δ)( (4.4)

Aquí, se hace hincapié el hecho de que la parte derecha de (4.4) es la sumatoria de un número infinito de impulsos unitarios δ(n – k) que tiene una amplitud x(k). Así, la parte derecha nos proporciona la descomposición de una señal arbitraria x(n) en una suma ponderada de impulsos unitarios desplazados.

Ejemplo 4.1. Considere una secuencia de duración finita dada por

x(n) = {2, 4, 0, 3},

exprese esta secuencias x(n) como la suma ponderada de impulsos unitarios.

Es decir

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( ) ( ) ( ) ( ) ( )1341322 −+++++= nnnnnx δδδδ

Sol. Dado que la secuencia x(n) es distinta de cero para n = –1, 0 y 2, entonces, se necesitan tres impulsos en los puntos k = –1, 0 y 2, entonces se tiene

( ) ( ) ( )23412)( −+++= nnnnx δδδ

Ejemplo 4.2. Exprese la siguiente secuencia en términos de impulsos unitarios. x(n) = {2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2}

( ) ( ) ( ) ( )625322 −−−−−+−+ nnnn δδδδ


Análisis de sistemas LTI4.2.3. Respuesta de un Sistema LTI a Entradas Arbitrarias: La Convolución

Ahora que se ha expresado una señal de entrada arbitraria x(n) como la suma ponderada de impulsos, estamos preparados para determinar la respuesta de un sistema LTI en reposo a cualquier señal de entrada. Primero, se denotarála respuesta del sistema y(n,k) a un impulso unitario en el instante n = kmediante el símbolo especial h(n,k) de –∞ < k < ∞. Es decir

( ) ( )][),(, knTknhkny −=≡ δ (4.5)

En (4.5) se observa que n es el índice temporal y k indica la posición del impulso o instante en el que el impulso unitario es distinto a cero. Si el impulso a la entrada del sistema se escala una cierta cantidad ck ≡ x(k), la respuesta del sistema quedará escalada por la misma cantidad , esto es,

8



),()(),( knhkxknhck = (4.6)

Finalmente, si la entrada es la señal arbitraria x(n) es expresada como la suma ponderada de impulsos

( )∑∞

−∞=

−=k

knkxnx δ)()( (4.7)

entonces la respuesta del sistema es la correspondiente suma ponderada de la respuesta a los impulsos es,

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−== ∑

∞

−∞=kknkxTnxTny δ)()]([)( ( )[ ]∑

∞

−∞=

−=k

knTkx δ)(


Análisis de sistemas LTI( ) ∑

∞

−∞=

=k

knhkxny ),()( (4.8)

Claramente, la (4.8) cumple con el principio de superposición de los siste-mas lineales y se conoce como sumatoria de superposición.Es importante notar que (4.8) es la respuesta de un sistema lineal a cualquier secuencia de entrada x(n). Esta expresión es una función tanto de x(n) como de las respuestas h(n,k) del sistema a los impulsos unitarios δ(n – k) con –∞ < k < ∞.

Para obtener la (4.8) se hizo uso de la propiedad de linealidad del sistema, pero no de la propiedad de invarianza en el tiempo. Por lo tanto, la expresión (4.8) es aplicable a cualquier sistema lineal en reposo. Si además, el sistema es invariante en el tiempo, la (4.8) se simplificaconsiderablemente.

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( ) ( )][ nTnh δ≡

entonces, por la propiedad de invarianza en el tiempo, la respuesta del sistema al impulso unitario desplazado δ(n – k) es

De hecho, si la respuesta del sistema al impulso unitario δ(n) se denota por h(n), esto es

( ) ( )[ ]knTknh −=− δ

en consecuencia, ( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

knhkxny (4.9)

Ahora queda claro que el sistema LTI en reposo queda totalmente caracte-rizado por la función h(n), es decir, su respuesta al impulso unitario δ(n).


Análisis de sistemas LTIPor el contrario, la caracterización de la salida de una salida lineal invarian-te en el tiempo exige el conocimiento de infinita funciones de respuesta a los impulsos unitarios desplazados.

La expresión (4.9) da la respuesta y(n) del sistema LTI como función de la señal de entrada x(n) y de la respuesta impulsional h(n) se denomina con-volución. En otras palabras, la entrada del sistema x(n) se convoluciona con la respuesta impulsional h(n) para producir la salida y(n).

El procedimiento para calcular a y(n) tanto en forma matemática como en forma gráfica, dada una entrada x(n) y una respuesta impulsional del siste-ma h(n) se presenta a continuación:

Suponga que se quiere calcular la salida del sistema en un instante determi-nado, por ejemplo n = no.

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( ) ( ) ( )∑∞

−∞=

−=k

oo knhkxny

La primera observación es que, el índice de la sumatoria es k, y, por lo tanto, la señal de entrada k como la respuesta impulsional h(no – k) son funciones de k. En segundo lugar se observa que las secuencias x(k) y h(no – k) se multiplican para formar la secuencia producto.

Finalmente, la salida y(no) es simplemente la suma sobre todos los valores de la secuencia producto. La secuencia h(no – k) se obtiene a partir de h(k) , reflejando primero dicha secuencia con respecto al origen, lo que proporciona la secuencia h(–k) y después, se desplaza no muestras para producir h(no – k). Resumiendo, el cálculo de la convolución entre x(k) y h(k) supone la realización de los siguientes cuatro pasos:

(4.10)

De acuerdo con (4.9), la respuesta de salida es:


Análisis de sistemas LTI1. Reflexión. Se refleja h(k) con respecto a k para producir h(– k).

2. Desplazamiento. Se desplaza h(– k), no muestras hacia la derecha si es positivo, para obtener h(no – k)

3. Multiplicación. Se multiplica x(k) por h(no – k) para obtener la secuencia producto v(k) = x(k) h(no – k)

4. Suma. Se suman todos los valores de la secuencia producto v(k) y se obtiene el valor de la salida en el instante n = no.

Con este procedimiento se obtiene la salida del sistema en un instante de-terminado, digamos en n = no. En general, lo importante es determinar la salida del sistema para cualquier instante de tiempo, es decir, –∞ < n < ∞.

En consecuencia, los pasos 2 y 4 del procedimiento descrito atrás deberárepetirse para todos los posibles valores del desplazamiento de n.

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Señal # 2Señal # 1

Inversión de la Señal # 2 (l = 0)

( ) ( ) ( )∑−=

−=8

200

kkhkxy

= 0 + 0 + 0 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0

y(0) = 1 Figura 4.3

4.2.4. Métodos de Cálculo de la Convolución: Método gráfico



( ) ( ) ( )∑−=

−=8

211

kkhkxy

= 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y(1) = 3

Corrimiento de la Señal # 2 (l = 1)

12



( ) ( ) ( )∑−=

−=8

222

kkhkxy

= 0 + 0 + 0 + 3 + 2 + 1 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y(2) = 6

Corrimiento de la Señal # 2 (l = 2)



Corrimiento de la Señal # 2 para

( ) ( ) ( )∑−=

−−=−8

211

kkhkxy

= 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0+ 0 + 0 + 0

y(–1) = 0

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Análisis de sistemas LTISeñal # 2Señal # 1

( ) ( ) ( )∑∞

∞=

−=k

knhkxny

y(n) = {1, 3, 6, 5, 3}



1. Se colocan todas las muestras discretas de ambas secuencias en acorde a la variable independiente n.

2. Se toma el primer elemento de h(n) y se realiza la multiplicación elemen-to a elemento con x(n).

3. Se desplaza una posición y se realiza la misma operación de multiplica-ción para cada uno de los elementos de h(n).

4. Se realiza la suma algebraica de todos los elementos de las secuencias productos obtenidas y se reasignan a la secuencia y(n) según la variable independiente n como se muestra en la Figura 4.4.

Método Tabular

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Figura 4.4. Método tabular para el cálculo de la convolución


Análisis de sistemas LTIEjemplo 4.3. La respuesta impulsional de un sistema lineal e invariante en el tiempo es h(n). Determine la respuesta del sistema si la señal de entrada es x(n) = {1, 2, 3, 1} y h(n) = {1, 2, 1, -1}.

Sol.

y(n) = {1, 4, 8, 8, 3, –2, –1}

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Análisis de sistemas LTIEjemplo 4.4. La respuesta impulsional de un sistema LTI y la señal x(n) se muestran en la Figura 3. Determine la señal de salida del sistema

x(n) = {0, 1, 1, 1}

h(n) = {1, 2, 3}

y(n) = {1, 3, 6, 5, 3}

4 + 1 = 5



1. Se transforman ambas secuencias discretas en suma de deltas desplaza-das y ponderadas.

2. Después, se multiplica la secuencia h(n) transformada con la secuencia x(n) simbólica

3. Se transforma el resultado de la multiplicación en su equivalente de suma de deltas desplazadas y ponderadas.

4. Se agrupan las deltas semejantes y se realiza la suma algebraica corres-pondiente.

Método Analítico

para encontrar la convolución entre dos secuencias define los siguientes pasos

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Análisis de sistemas LTIEjemplo 4.5. Solucionar el ejemplo 3 con el método analítico.

Sol.


Análisis de sistemas LTIy(n) = x(n) ⊗ h(n)

y(n) = {1, 4, 8, 8, 3, –2, –1}

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2112 −+−+++++= nnnnnnx δδδδδ

Ejemplo 4.6. Encuentre la convolusión de las siguientes dos secuencias aplicando el método analítico

( ) ( ) ( ) ( )1212 −+++= nnnnh δδδ

=

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( ) ( ) ( )1212 −+++= nxnxnx

( ) ( ) ( ) ( ) ( )122122232 −+++++++= nnnnn δδδδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1212 −+++⊗=⊗ nnnnxnhnx δδδSol.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )212122 −+−++++++ nnnnn δδδδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )322212212 −+−+−++++ nnnnn δδδδδ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnnnny δδδδ 5152332 ++++++=

( ) ( ) ( )322315 −+−+−+ nnn δδδ


Análisis de sistemas LTIy(n) = {2, 3, 5, 5, 5, 3, 2}Por el método tabular se tiene:

3 + 1

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Propiedades de la Convolución4.2.5. Propiedades de la Convolución y la Interconexión de Sistemas

A continuación, se estudian algunas propiedades importantes de la convo-lución de dos secuencias discretas y se interpretan en términos de la inter-conexión de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Es importantenotar que estas propiedades se verifican para todas las señales de entrada en el sistema. Para simplificar la notación de la operación de la convolu-ción entre dos secuencias discretas, esta se realiza mediante el símbolo “⊗”como se muestra a continuación

∑∞

−∞=

−≡⊗=k

knhkxnhnxny )()()()()( (4.11)

según esta notación, la secuencia que sigue el operador es que la respuesta impulsional h(n) es reflejada y desplazada para después ser multiplicada y finalmente ser sumada.


Propiedades de la ConvoluciónPor otra parte, si se voltea el orden del operador, esto implica que ahora la entrada x(n) realizará el mismo proceso que la respuesta impulsionalobteniéndose

∑∞

−∞=

−≡⊗=k

knxkhnxnhny )()()()()( (4.12)

Esta formula es una forma alternativa de presentar a la convolución de dos secuencias discretas, en la Figura 4.5 se ilustra esta interpretación

h(n)x(n) y(n)x(n)h(n) y(n)

Figura 4.5. Interpretación de la propiedad conmutativa de la convolución

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Propiedades de la ConvoluciónDe forma abstracta, se puede considerar a la convolución como una operación matemática entre dos secuencias x(n) y h(n), que verifica una serie de propiedades.

Ley Conmutativa. La propiedad expresada en (4.11) y (4.12) se denomina propiedad conmutativa y está definida como

)()()()( nxnhnhnx ⊗=⊗ (4.13)

Ley Asociativa. Matemáticamente, la convolución de dos secuencias también satisface la propiedad asociativa, que puede enunciarse como

[ ] [ ])()()()()()( 2121 nhnhnxnhnhnx ⊗⊗=⊗⊗ (4.14)

Desde el punto de vista físico se puede considerar a x(n) como la señal de entrada a un sistema lineal e invariante en el tiempo con respuesta impul-sional h1(n).


Propiedades de la ConvoluciónLa salida de este sistema, y1(n), se convierte en la entrada de un segundo sistema lineal e invariante en el tiempo con respuesta impulsional h2(n). Así, la salida es

)()()( 21 nhnyny ⊗=

[ ] )()()( 21 nhnhnx ⊗⊗=

que es precisamente la parte izquierda de (4.14). Por lo tanto, la parte izquierda de (4.14) es equivalente a los dos sistemas lineales e invariantes en el tiempo en cascada. La parte derecha de (4.14) indica que la entrada x(n) se aplica a un sistema equivalente de respuesta impulsional h(n), que es igual a la convolución de las dos respuestas impulsionales, esto es,

)()()( 21 nhnhnh ⊗= y )()()( nhnxny ⊗=

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Propiedades de la ConvoluciónLo que es más, dado que la convolución verifica la propiedad conmutativa, se puede intercambiar el orden de los dos sistemas de respuesta h1(n) y h2(n) sin alterar la relación entrada-salida global. La Figura 4.6 ilustra gráfica-mente la propiedad asociativa.

Figura 4.6. Implicaciones de la propiedad asociativa

La generalización de la propiedad asociativa a más de dos sistemas en cascada se deduce fácilmente de la discusión anterior. Así, si se tiene L sistemas lineales e invariantes en el tiempo en cascada, con respuestas impulsionalesh1(n), h2(n),... ,hL(n), existe un sistema LTI cuya respuesta impulsional es igual a L – 1 convoluciones sucesivas de las respuestas impulsionales, esto es


Propiedades de la Convolución)(...)()()( 21 nhnhnhnh L⊗⊗⊗= (4.15)

[ ] )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ⊗+⊗=+⊗

La tercer propiedad que satisface la operación de convolución es la distributiva, que puede enunciarse como sigue:

(4.16)

La propiedad distributiva se interpreta físicamente cuando se tiene dos sistemas LTI con respuestas impulsionales h1(n) y h2(n) excitados por la misma señal de entrada x(n); la suma de las dos respuestas es idéntica a la de un sistema global cuya respuesta impulsional es

)()()( 21 nhnhnh +=

21


Propiedades de la Convoluciónpor lo tanto, el sistema global es una combinación en paralelo de los dos sistemas LTI, tal como se ilustra en la Figura 4.7. La generalización de (4.16) a más de dos sistemas lineales e invariantes en el tiempo es inmediata por inducción matemática. Por tanto, la interconexión de Lsistemas lineales e invariantes en el tiempo con respuestas impulsionalesh1(n), h2(n), ..., hL(n) y excitadas por una misma entrada x(n) es equivalente a un único sistema con respuesta global

∑=

=L

jj nhnh

1

)()( (4.17)

A la inversa, cualquier sistema lineal e invariante en el tiempo puede des-componerse como la interconexión en paralelo de subsistemas


Propiedades de la Convolución

Figura 4.7. Sistemas LTI acoplados en paralelo

Ejemplo 4.7. Determine la respuesta impulsional de la cascada de dos sistemas invariantes en el tiempo con respuestas impulsionales definidas como

)(21)(1 nunh

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= )(

41)(2 nunh

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=y

22


Propiedades de la ConvoluciónSol. Para determinar la respuesta global de los dos sistemas en cascada, simplemente se realiza la convolución entre h1(n) y h2(n) como sigue

)()()( 21 nhnhnh ⊗= ∑∞

−∞=

−=k

knhkh )()( 21

)()()( 21 knhnhnv −=knk −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

41

21

donde h2(n) es reflejada y desplazada, por lo cual se tiene que la secuencia producto es

que es diferentes de cero para k ≥ 0 y n – k ≥ 0 o n ≥ k ≥ 0. Por otra parte, para n < 0, se tiene que v(k) = 0. Para n ≥ k ≥ 0 la suma de los valores de la secuencia producto v(k) variando a k resulta en



∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0 41

21)(

k

knk

nh ∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

02

41

k

kn

( )1241 1 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= +n

n

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nn

212

21

; n ≥ 0

( ) ( ) =⊗ nhnh 21

23



( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

21

121

11

21 nn

( ) ( ) =⊗ nhnh 12

( ) ( )( )21

2112

21 n

n

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

nn

212

21

; n ≥ 0

Que es el mismo resultado que se obtuvo en el procedimiento anterior.

∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

0 21

41

k

knk

∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0 21

21

k

kn

( ) ( ) =⊗ nhnh 12

Ahora, aplicando la propiedad de conmutación para verificar los resultados


Propiedades de la ConvoluciónEjemplo 4.8. Determine la señal de salida de los siguientes sistemas discretos:a) En cascada y b) En Paralelo. La señal de entrada y la respuesta impulsional de cada sistema están dados como

( ) ( ) ∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⊗

021 4

121

k

knk

nhnh

( ) ( )nunhn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

41

2( ) ( )nunx = ( ) ( )nunhn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

21

1

Sol. Para el caso en cascada, se tiene

∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

0 41

21

41

k

kkn

( )∑∞

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

02

41

k

kn

24


Propiedades de la Convolución( )( ) ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

2121

41 1nn

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )nunhnhnh nn

22141

31

21 −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⊗=

( ) ( )[ ]22141

31

−−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= n

n

( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∞

=

−−

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⊗=

0221

41

31

k

knkn

nhnxny

( ) ( ) kn

k

kn

k

kn−

∞

=

−∞

=

−

−−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑ 22

41

41

32

41

41

31

00



( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

++

321

21

32

341

41

31 11 nnnn

( ) ( ) k

k

kn

n

k

kn−

∞

=

−∞

=

−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= ∑∑ 2

412

41

32

41

41

31

00

( )∑∑∞

=

∞

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

002

21

324

41

31

k

kn

k

kn

( )[ ] ( )[ ]nn

nn

22121

92441

41

91

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

25



( ) ( )nunynn

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

98

41

91

21

92

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

922

21

92

914

41

91 nn

Para el segundo caso se tiene que:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )nhnxnhnxnhnhnx 2121 ⊗+⊗=+⊗

( ) ( ) ∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⊗

01 2

1k

kn

nhnx



( )∑∞

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

02

21

k

k∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

0 21

21

k

kn

( ) ( ) ( )[ ]nn

nhnx 22121

31

1 −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⊗

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

+

321

21 1nn

( ) ( ) ∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⊗

02 4

1k

kn

nhnx

( )∑∞

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0

441

k

k∑∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

0 41

41

k

kn ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+

341

41 1nn

26



( ) ( )[ ] ( )[ ]nn

nn

ny 44141

31221

21

31 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

( ) ( )nunynn

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 2

41

31

21

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

34

41

31

32

21

31 nn

( ) ( ) ( )[ ]nn

nhnx 44141

31

2 −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⊗

Agrupando ambas soluciones


Tarea4.3. Tarea

1. Considere las siguientes secuencias:

( ) ( ) ( )12231 +−−= nnnx δδ

( ) ( ) ( )12352 ++−= nnnx δδ

( ) ( ) ( ) ( )12421 −−++−= nnnnh δδδ

( ) ( ) ( ) ( )1223432 +−−+−= nnnnh δδδ

Determine las siguientes secuencias obtenidas mediante una convolución por los tres métodos (Gráfico, tabular y analítico)

( ) ( ) ( )nhnxny 111 ⊗=

( ) ( ) ( )nhnxny 124 ⊗=( ) ( ) ( )nhnxny 222 ⊗=

( ) ( ) ( )nhnxny 213 ⊗=

2. Determine la expresión para la respuesta al impulso h(n) de cada uno de los siguientes sistemas LTI que se muestran a continuación

27


Tarea

a)

b)

+

+

+

+

+

+ ++


Tarea3. Determine la respuesta al impulso completa del sistema LTI dende las respuestas al impulso de los sistemas componentes son

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )131237553 ++−−+−+−= nnnnnnh δδδδδ

( ) ( ) ( )13221 +−−= nnnh δδ ( ) ( ) ( )2212 ++−= nnnh δδ

+

+

28


Tarea4. Encuentre la respuesta al impulso

( ) ( )nnh δ23 =

( ) ( ) ( )121

1 −+= nnnh δδ

( ) ( ) ( )141

21

2 −−= nnnh δδ

( ) ( )nunhn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

2124

h(n) = ?

+

+

+

+


Tarea5. Con los códigos hechos en la Lectura 2 de Reflexión, Corrimiento, Multiplicación y Suma de dos secuencias discretas, ahora realice la operación de la convolución tal como se muestra en la ecuación (12). Compare el resultado con la función especial de Matlab® cov(.) para comprobar los resultados obtenidos.

6. Aplique este nuevo código para el cálculo de la convolución y deter-mine las gráficas correspondientes a los problemas del 3 al 8 de esta lectura.

7. Determine la salida del sistema si: a) están en cascada y b) en paralelo.

( ) ( )nunxn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

23 ( ) ( )nunh

n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

21

1 ( ) ( )nunhn

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

31

2

lec04 - convolución

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