Convolucin y transformadas Como hemos visto, la transformada de Laplace es lineal, es decir, la transformada de una suma es la suma de las transformadas, entonces cabe preguntarse si se tiene algo similar para el producto, la respuesta es no. En general la transformada no conmuta con la multiplicacin ordinaria, o sea, la transformada de un producto no es el producto de las transformadas, pero podemos definir un nuevo producto generalizado bajo el cual esto es cierto.

Definicin

[Convolucin] , donde es el conjunto de funciones

La funcin continuas en el intervalo

dada por

se conoce como la convolucin de

y

.

La convolucin tiene muchas de las propiedades de la multiplicacin ordinaria, como veremos en el siguiente teorema.

Teorema

[Propiedades de la convolucin] funciones continuas en el intervalo (ley conmutativa) (ley distributiva) (ley asociativa) , entonces

Sean 1. 2. 3.

y

4.

Demostracin La demostracin de estas propiedades es muy simple. Haremos la primera de ellas y dejamos las restantes al lector.

Observacin: sin embargo, existen algunas propiedades de la multiplicacin ordinaria que la convolucin no tiene. Por ejemplo, no es cierto en general que note que ; para ver esto,

Ejemplo Calcule la convolucin de y .

Solucin Usando la definicin e integracin por partes, tenemos que

Ejemplo Calcule la convolucin de las funciones Solucin Usando la definicin e integracin por partes y .

Observacin: para calcular la integral

del ejemplo anterior, hemos usado la identidad

Otras identidades que pueden ser tiles en el clculo de integrales similares son

El siguiente teorema establece un resultado de mucha importancia terica y prctica, como veremos.

Teorema

[Teorema de convolucin] y existen para , entonces

Si

Observacin: La forma inversa del teorema de convolucin

es muy importante en la solucin de ecuaciones diferenciales, pues nos puede evitar el clculo de fraciones parciales complejas. Ejemplo Calcule

Solucin Usando el teorema de convolucin tenemos que

Observacin: como ya hemos calculado obtenido anteriormente

podemos corroborar el resultado

como obtuvimos en el ejemplo anterior. Los siguientes ejemplos muestran el uso de la forma inversa del teorema de convolucin para el clculo de transformadas inversas. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

Solucin Usando el teorema de convolucin

Observacin: en este ejemplo el uso de fraciones parciales resulta viable, pues

Los siguientes ejemplos muestran situaciones donde el uso de fraciones parciales puede ser realmente complejo, comparado con el uso del teorema de convolucin. Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

Solucin Usando el teorema de convolucin, tenemos

Observacin: en este ejemplo la expansin en fraciones parciales no es tan simple

Ejemplo Calcule la siguiente transformada inversa

Solucin Usando convolucin

El siguiente corolario es til en el clculo de la transformada de una integral.

Corolario

Tomando

en el teorema de convolucin tenemos que

donde Demostracin

Ejemplo Calcule la siguiente transformada

Solucin Usando el corolario anterior y el teorema de multiplicacin por

, tenemos que

Funciones peridicas Es muy comn, especialmente en aplicaciones ligadas a circuitos elcticos, la presencia de una fuerza externa peridica. Es usual tener voltajes en forma de ondas diente de sierra, ondas en escaln, etc. Por lo que es necesario calcular sus transformadas.

Teorema

[Transformada de una funcin peridica] una funcin continua a trozos y de orden . Si es peridica, con perido ,

Sea

exponencial en el intervalo entonces

Demostracin Usando la definicin

Ejemplo Calcule figura 1.7. , donde es la funcin peridica diente de sierra que se muestra en la

Figura 1.7 Solucin El perido de esta funcin es

y su transformada esta dada por

Funcin impulso unitario Algunos sistemas mecnicos suelen estar sometidos a una fuerza externa (o a una tensin elctrica en el caso de los circutitos elctricos) de gran magnitud, que solamente acta durante un tiempo muy corto. Por ejemplo, una descarga eltrica podra caer sobre el ala vibrante de un avin; a un cuerpo sujeto a un resorte podra drsele un fuerte golpe con un martillo, una pelota (de beisbol, de golf o de tenis) inicialmente en reposo, podra ser enviada velozmente por los aires al ser golpeada con violencia con un objeto como una bat de beisbol, un bastn de golf o una raqueta de tenis. La funcin impulso unitario puede servir como un modelo para tal fuerza.

Definicin

[Impulso unitario] dada por

La funcin

donde escaln para

,

se conoce como la funcin impulso unitario. La grfica de la funcin y se muestra en la figura 1.8.

Observacin: para valores pequeos de

, se tiene que

es una funcin constante .

de gran magnitud que esta activa por un tiempo muy corto alrededor de

Figura 1.8

Teorema [Area bajo la funcin impulso] La funcin impulso unitario satisface la propiedad

y de aqu su nombre. Demostracin

En la prctica es conveniente trabajar con otro tipo de impulso llamado funcin de Dirac1.3

[Funcin delta de Dirac] La funcin delta de Dirac esta dada porDefinicin

Observacin: la funcin delta de Dirac, no es una funcin, realmente es lo que se conoce como una funcin generalizada (o distribucin).

Teorema [Propiedades de la funcin delta] La funcin delta de Dirac satisface las siguientes propiedades

El siguiente teorema establece la transformada de Laplace de la funcin delta de Dirac.

Definicin

[Transformada de delta]

Para

Demostracin Para iniciar la prueba debemos escribir la funcin impulso unitario en trminos de la funcin escaln unitario

De donde tenemos que

con lo cual

Observacin: a partir de Esto reafirma el hecho de que cuando Ejemplo Calcule Solucin Claramente .

es razonable concluir que no es una funcin ordinaria, puesto que se espera que

.

Solucin de ecuaciones diferenciales La transformada de Laplace es til para resolver ecuaciones diferenciales que involucran funciones , peridicas, funciones discontinuas a trozos o deltas de Dirac, como lo muestran los siguientes ejemplos. Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

Solucin Tomando la transformada a ambos lados, tenemos que

Y al aplicar la transformada inversa

La grfica de la solucin

se muestra en la figura 1.10

Figura 1.10 Ejemplo Resuelva el siguiente problema de valor inicial

donde

est dada por

Solucin

La funcin puede interpretarse como una fuerza externa que acta en un sistema mecnico slo por un tiempo corto, siendo desactivada posteriormente. Aunque este problema puede resolverse de la forma convencional no es conveniente. Primero usemos la funcin de Heaviside para reescribir :

Aplicando transformada tenemos que

Al aplicar la transformada inversa obtenemos

La grfica de

se muestra en la figura 1.11.

Figura 1.11

Ejemplo Resolver el siguiente problema de valor inicial

Solucin En este caso la ecuacin diferencial tiene coeficientes variables, por lo que la transformada de Laplace resulta muy til.

0 0 0

Integrando obtenemos que

De donde obtenemos que

Para determinar el valor de

obsrvese que .

. Con lo cual la

solucin al problema est dada por

La transformada inversa de Laplace

Al aplicar la transformada de Laplace a una ecuacin diferencial la convertimos en una ecuacin algebraica, la cual podemos resolver para como , es decir, . Ahora, que

si pudiramos devolvernos obtendramos la solucin

buscamos. Es decir, necesitamos de la transformada inversa funcin

, para hallar la

Entonces definamos la transformada inversa.

Definicin

[Transformada inversa de Laplace] , es

Si decir,

es la transformada de Laplace de una funcin continua

, entonces la transformada inversa de Laplace de , escrita es , es decir,

Ejemplo Calcule

Solucin Puesto que

tenemos que

Observacin existe un problema potencial al trabajar con la transformada inversa, puede no ser nica. En efecto, es posible que nuestro propsito esto no es tan malo como parece, pues, si exponencial en y y , entonces , siendo y . Para

son continuas y de orden ; pero, si y son

continuas y de orden exponencial en

, entonces se puede

demostrar que las funciones y son casi iguales; esto quiere decir, que pueden diferir slo en puntos de discontinuidad.

Ejemplo Calcule , donde esta dada por

Qu se puede concluir ? Solucin Usando la definicin de transformada

Pero, anteriormente hemos comprobado que

con lo cual las funciones transformada inversa de

y

tienen la misma transformada, de este modo, la

no es nica. El siguiente resultado establece el comportamiento de en infinito.

Teorema

[Comportamiento de

en infinito]

Sea exponencial en

una funcin continua a trozos y de orden , entonces

Demostracin Puesto que intervalo; o sea, es continua a trozos en para todo necesariamente es acotada en este . De donde

y as

cuando

, de modo que

cuando

.

Observacin: el resultado anterior es vlido independientemente de que a trozos o de orden exponencial, basta con que Ejemplo Porqu no existe una funcin tal que ? existe.

sea continua

Solucin Suponga que existe, entonces por el teorema anterior

lo cual es falso; por lo tanto no existe tal funcin. Observacin: con un argumento similar podemos concluir que no existen una funcin tal que , , , , es decir, estas

funciones no tienen transformada inversa. Por otro lado, una funcin racional es la transformada de alguna funcin del denominador . si el grado del numerador es menor que la

Los siguientes resultados son tiles en anlisis de sistemas de control automtico, especialmente cuando se trazan grficas.

Teorema

[Del valor inicial] y existe y es igual a ,

Si entonces

Demostracin: Como

y

siempre y cuando

sea continua a trozos y de orden exponencial. Tenemos que

siempre y cuando

sea continua por la derecha en

.

Ejemplo Si , calcule .

Solucin Usando el teorema del valor inicial

Note que no fue necesario calcular

.

Teorema

[Del valor final] y el lmite existe, entonces

Si

Demostracin: Anloga a la anterior. El siguiente teorema establece la linealidad de la transformada inversa.

Teorema

[Linealidad de la transformada inversa] funciones continuas a trozos y de orden exponencial en el tales que y , entonces

Sean

y

intervalo

Ejemplo Calcule

Solucin Para usar la propiedad de linealidad de la transformada inversa de Laplace primero debemos expandir

en fraciones parciales

ahora s

El siguiente ejemplo ilustra el proceso que vamos a usar en la solucin de ecuaciones diferenciales mediante Laplace. Es un ejemplo que puede ser resuelto de manera ms eficiente con las tcnicas ya estudiadas, pero el objetivo es aplicar algunas de las propiedades enunciadas hasta ahora e introducir la tcnica de solucin de ecuaciones diferenciales. Ejemplo Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial

Solucin Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuacin diferencial

Ahora debemos de aplicar transformada inversa para hallar

Observacin: est ecuacin diferencial puede resolverse como una ecuacin lineal con factor integrante .

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/EcuacionesDiferenciales/EDO-Geo/edo-cap5geo/laplace/node6.html