práctica 4 transformada de fourier y convolución de señales

7/23/2019 Práctica 4 Transformada de Fourier y Convolución de Señales

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Practica No.04Practica No.04Practica No.04Transformada de Fourier y Convolucion de SenalesTransformada de Fourier y Convolucion de SenalesTransformada de Fourier y Convolucion de Senales

FUNDAMENTOS TEORICOS

El termino convolucion significa ”voltear”. La convolucion es una herramienta muy importante para elingeniero, porque proporciona un medio para ver y caracterizar sistemas fısicos. Por ejemplo, se usa para

encontrar la respuestay

(t) de un sistema a una excitacion

x(

t), conociendo la respuesta del impulso del sistemah(t). Esto se logra a traves de la integral de convoluci´ on , definida como,

y(t) =

∞

−∞

x(λ) h(t − λ) d(λ) (1)

o simplementey(t) = x(t) ∗ h(t) (2)

donde λ es una variable muda (implıcita) y el asterisco denota la convolucion. La ecuacion (1) o la (2) establecenque la salida es igual a la entrada convolucionada con la respuesta ante un impulso unitario. El proceso deconvolucion es conmutativo:

y(t) = x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

o sea

y(t) =

∞

−∞

x(λ) h(t − λ) dλ =

∞

−∞

h(λ) x(t − λ) dλ

Esto implica que el orden en el que las dos funciones se convolucionan es irrelevante. Se vera brevementecomo aprovechar esta propiedad conmutativa cuando se lleva a cabo el calculo grafico de la integral de con-volucion.

La convoluci´ on de dos se˜ nales consiste en invertir una de las se˜ nales en el tiempo, de-splaz´ andola y multiplic´ andola punto a punto por la segunda se˜ nal, e integrando el producto.

La ecuacion general de la integral de convolucion esta dada en la ecuacion (1); y se aplica a cualquiersistema lineal. Sin embargo, , la integral de convoluci on se puede simplificar si se supone que un sistema tienedos propiedades. Primero, si x(t) = 0 para t < 0, entonces,

y(t) =

∞

−∞

x(λ) h(t − λ) d(λ) =

∞

0

x(λ) h(t − λ) d(λ)

Segundo, si la respuesta al impulso del sistema es causal (es decir, h(t) = 0 para t > 0), entonces h(t−λ) = 0,para t − λ < 0, o bien, λ > t; de manera que la ecuacion anterior se convierte en

y(t) = h(t) ∗ x(t) =

t0

x(λ) h(t − λ) d(λ) (3)

LEYES Y PROPIEDADES DE LA CONVOLUCION

A continuacion, se listan las leyes y algunas propiedades de la integral de convolucion.

1. Conmutativa. x(t) ∗ h(t) = h(t) ∗ x(t)

2. Distributiva. f (t) ∗ [x(t) + y(t)] = f (t) ∗ x(t) + f (t) ∗ y(t)

3. Asociativa. f (t) ∗ [x(t) ∗ y(t)] = [f (t) ∗ x(t)] ∗ y(t)

1



4. f (t) ∗ δ(t) =

∞

−∞

f (λ) δ(t − λ) dλ = f (t)

5. f (t) ∗ δ(t − to) = f (t − to)

6. f (t) ∗ δ(t) =

∞

−∞

f (λ) δ(t − λ) dλ = f (t)

7. f (t) ∗ u(t) =

∞

−∞

f (λ) u(t − λ) dλ =

∞

−∞

f (λ) dλ

Antes de aprender a evaluar la integral de convolucion en la ecuacion (3), se considerara el vınculo entre latransformada de Fourier y la integral de convoluci´ on .

Demostracion

Dadas las funciones x(t) y h(t) con transformadas de Fourier X (ω) y H (ω), respectivamente, su convoluciones [ecuaciones (1) y (2)]

y(t) = h(t) ∗ x(t) =

t0


Calculando la transformada de Fourier de ambos lados se obtiene:

Y (ω) = [h(t) ∗ x(t)] =

∞

−∞

∞

−∞


e−jωt dt

Intercambiando el orden de integracion y factorizando h(λ), el cual no depende de t, se produce

Y (ω) =

∞

−∞

h(λ)

∞

−∞

x(t − λ) e−jωt dt

dλ

Para la integral dentro de los corchetes, sea τ = t − λ de modo que t = τ + λ y dt = dτ . Entonces,

Y (ω) =

∞

−∞

h(λ)

∞

−∞

x(τ ) e−jω(τ +λ) dτ

dλ

=

∞

−∞

h(λ) e−jωλ dλ

∞

−∞

x(τ ) e−jωτ dτ = H (ω)X (ω)

Esta es una relacion importante, ya que es la razon principal para emplear la transformada de Fourier en elanalisis de sistemas. De la ultima expresion, podemos asegurar que,

Y (ω) = [h(t) ∗ x(t)] = H (ω)X (ω) (4)

como se esperaba; la ecuacion (4) indica que la convoluci´ on en el dominio temporal corresponde a la multiplicaci´ on en el dominio de la frecuencia (PROPIEDAD DE CONVOLUCI ´ ON).

Para ilustrar la propiedad de convolucion, supongase que h(t) y x(t) son pulsos rectangulares identicos, comose muestra en la figura 4.1(a) y 4.1(b). Recuerdese que las transformadas de Fourier de los pulsos rectangularesson las funciones de muestreo, como se muestra en la figura 4.1(c) y 4.1(d). Segun la propiedad de convolucion,el producto de las funciones muestra (o tambien, llamada sinc)debe proporcionar la convolucion de los pulsos

2



3

Figura 4.1 Ilustración gráfica de la propiedad de convolución.E.O. Brigham, The Fast Fourier Transform [Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1974], p.60



4

DESARROLLO

1. Graficar el espectro de la función mostrada en la Figura 4.2.a) Usando el resultado analítico.b) Usando la función fft.

Solución

a) La función está definida de la siguiente manera

Obtenemos la transformada de Fourier de f (t )

∫

∫

∫

[ ] [ ]

Código en MATLAB®

Ahora, introducimos esta función en MATLAB y graficamos en un determinado intervalo

%AUTOR: ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL GRUPO: 4BV2%EJERCICIO 1a

clear allclcclose allw=-20:pi/100:20; %IntervaloFw=(j.*w.*20.*((sin(w)).^2))./(w.^2); %Transformada de Fourier del análisisanteriorplot(w,abs(Fw),’LineWidth’,2) %Graficación del espectro xlabel('ω')ylabel('F(ω)')title('Espectro de la señal f(t)')

Figura 4.2



5

b) Para este inciso, nos pide que utilicemos la función fft(f,n) de MATLAB [Fast Fourier Transform]. Para ellose define, primeramente, la función f(t) y después se calcula el espectro con la función mencionada y segrafica F(ω). Pero es preciso aclarar que el vector de valores de espectro se tuvieron que reacomodar paraobtener un espectro semejante a la figura 4.3. (Dicha gráfica que se generó, se muestra en la Fig. 4.4).

Código de MATLAB®

%AUTOR: ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL GRUPO: 4BV2%EJERCICIO 1b

clear allclcclose all

t=-3:.01:3;f=zeros(size(t));tam1=100; tam2=301; tam3=501;for k=tam1:tam2

f(k)=5;endfor k=tam2:tam3

f(k)=-5;endplot(t,f)axis([-3 3 -6 6])xlabel('t')ylabel('f(t)')title('Función f(t)') %Hasta aquí, se define y se grafica la función f(t)t = -6:.1:5.9;tam_1=length(t);tam_2=length(t)/2;for k=1:tam_2

f(k)=5;endfor k=tam_2+1:(2*tam_2)

f(k)=-5;endF=abs(fft(f./27,tam_1)); %Cálculo de la transformada de Fourier (normalizada)%Reordenar los puntos en el eje X.Fx=F;F(tam_2+1:tam_1)=Fx(1:tam_2);F(1:tam_2)=Fx(tam_2+1:tam_1);figure(2)plot(t,F) %Gráfica del espectro de frecuencias F(ω) xlabel('Frecuencia ω') ylabel('F(ω)') title('Espectro de Frecuencia de f(t)')

Figura 4.3 Espectro de Frecuencias de la señal f(t), a partir de la función F(ω)

calculada analíticamente y graficada en MATLAB



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2. Repetir (1) para la señal mostrada en la Figura 4.6. Solución.

a) Definimos la función f(t)

La transformada de Fourier se encuentra si seutiliza, de manera directa su ecuación general, sin

embargo, es mucho más fácil calcularla utilizando la propiedad dediferenciación en el tiempo. Así que, la primera derivada de la función f (t ) es

Y su segunda derivada es

Al obtener la transformada de Fourier en ambos lados,

(

)

Código en MATLAB®

Introducimos ésta función en MATLAB y observemos la gráfica generada. (Figura 4.9)

%ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL GRUPO: 4BV2%EJERCICIO 2aclear allclcclose allω=-8:pi/100:8; %Intervalo para graficarFw=6.*((sin(ω)).^2./ω.^2); %(Transformada de Fourier) Función obtenida analíticamente

Figura 4.4 Función f(t) Figura 4.5 Espectro de Frecuencias F(ω) mediante la función

fft(f,n) de MATLAB

Figura 4.7 Derivada 1a de f(t)

Figura 4.8 Derivada 2a de f(t)

Figura 4.6



7

plot(w,Fw,'LineWidth',2.1) %Gráfica del espectro de f(t)axis([-8 8 0 7])xlabel('Frecuencia ω')ylabel('F(ω)')title('Espectro de f(t)')

Figura 4.10 Espectro de frecuencia de f(t), utilizando la respuesta analítica.

b) Ahora utilizando la función fft(f,n) de MATLAB se escribió este código y se observan las gráficas.

Código en MATLAB®

%ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL GRUPO: 4BV2%EJERCICIO 2bclear allclcclose allt1=-2:.01:0;t2=0:.01:2;y1=(3/2).*t1+3;y2=(-3/2).*t2+3;

plot(t1,y1,'LineWidth',2.3)hold onaxis([-2.1 2.1 0 3.1])plot(t2,y2,'LineWidth',2.3)xlabel('t')ylabel('f(t)')title('Función f(t)') %Se definió y graficó la función f(t)

t=-10:.1:9.9;tam1=length(t);tam2=length(t)/2;for k=1:tam2

f(k)=(3/2)*t(k)+3;endfor k=tam2+1:(2*tam2)

f(k)=(-3/2)*t(k)+3;

endF=abs(fft(f./150,tam1));%Reordenamos las abcisasFx=F;F(tam2+1:tam1)=Fx(1:tam2);F(1:tam2)=Fx(tam2+1:tam1);figure(2)plot(t,F,'LineWidth',2.2);axis([-8 8 0 7])xlabel('w')ylabel('F(w)')title('Espectro de Frecuencia') %Se graficó el espectro de frecuencia F(w) usando fft



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Obsérvese que el espectro de frecuencias utilizando la función fft(f,n) de MATLAB y acomodando el vector de valoresdados por ésta función, se obtuvo una señal semejante a la que se generó con la transformada de Fourier que se calculóanalíticamente.

3. Usando la función conv(a,b) de MATLAB®, graficar la convolución de las señales mostradas en la

Figura 4.13 y Figura 4.14.

Justificar el resultado generado con MATLAB®

Solución.

Para obtener la solución a la integral de convolución, se siguieron la serie de pasos que se marcaron en lasección de FUNDAMENTOS TEÓRICOS. Observe las siguientes gráficas, para entender mejor el procesode convolución.

Estas son las señales originales a convolucionar.

Figura 4.11 Gráfica de la señal f(t) Figura 4.12 Espectro de frecuencias F(ω), mediante lafunción fft(f,n) de MATLAB

Figura 4.13 Función h(t)

Figura 4.14 Función x(t)



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(1) Se reflejó la función h(t), con respecto al eje de las ordenadas, para obtener la nueva función h(- λ). Ycomo se va a desplazar a lo largo del eje λ, y superponer con la función x(λ) que es x(t) mantenidafija, la función se definirá como h(t- λ). Por tanto, obtenemos el primer valor de la integral deconvolución. (Figura A)

Figura A

Para , la integral de convolución es: , porque no hay se traslapan las señales.

(2) Ahora, para , la integral de convolución es: (Figura B)

Figura B

∫

∫

(3) Entonces, para , la integral de convolución es como se muestra en la Figura C. Nótese quemientras va saliendo la función desplazada h(t- λ) del pulso positivo de la función x(λ), también se vasuperponiendo con el pulso negativo de la misma función, por tanto, se tienen que evaluar 2integrales de convolución.



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Figura C

∫

∫

(4) Así, para , la integral de convolución es como se muestra en la Figura D.

Figura D

∫

(5) Por último, para , la integral de convolución es: , debido a que no se superponen lasseñales. (Figura E)

Figura E

Por tanto, la señal de salida y(t) del sistema mediante la convolución de las señales x(t) y h(t) es:



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Ingresando esta función definida a trozos en MATLAB®, se generó la siguiente gráfica: (Figura 4.15)

Ahora, se utilizará la función conv(f1,f2), de MATLAB para hallar la convolución de funciones.

CODIGO DE MATLAB®

%AUTOR: ZERON HERNANDEZ ALEJANDRO RAUL GRUPO: 4BV2%EJERCICIO 3clear allclcclose allt=-2:0.01:4; %Se define un rango de graficaciónx=zeros(size(t)); %Para construir la gráfica de la función x(t)tam1=100;tam2=301;tam3=501;h=zeros(size(t)); %Para construir la gráfica de la función h(t)tam4=300;tam5=501;tam6=601;for k=tam4:tam5

h(k)=1;endfigure(1)plot(t,h,'r','LineWidth',2) %Gráfica de la señal h(t)axis([-2 4 -1 2])xlabel('t')ylabel('h(t)')title('Función h(t)')for k=tam1:tam2x(k)=1;endfor k=tam2:tam3x(k)=-1;endfigure(2)plot(t,x,'LineWidth',2) %Gráfica de la señal x(t)axis([-2 4 -2 2])xlabel('t')

ylabel('x(t)')title('Función x(t)')figure(3)y=conv(h,x)/100; %Vector de Convolución NORMALIZADOu=length(y);j=12/u;c=0:j:12-j; %Rango de graficación en el eje de abcisasplot(c-5,y,'g','LineWidth',2.2) %Gráfica de la convolución.xlabel('t')ylabel('y(t)')title('Convolución de x(t)*h(t)')



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Las gráficas que se generaron fueron las siguientes.

Como podemos observar, en la figura 4.18, con la función conv(a,b) se obtuvo la misma gráfica deconvolución que se hayó de forma analítica.

OBSERVACIONES Y COMENTARIOS

En los ejercicios 1 y 2, se tuvo que normalizar la transformada de Fourier dada por la función fft(f) deMATLAB, debido a que esta función, en realidad trata valores discretos de tiempo, siendo en sí latransformada Discreta de Fourier. Por tal motivo, toma muestras pequeñas y discretas, que después segraficaron.

En el último ejercicio, también se tuvo que normalizar la convolución obtenida con la función conv(a,b) deMATLAB, a causa de que los valores se exceden de magnitud, por tal motivo, se modificó el código paradisminuir dichos valores, y obtener lo más próximo al resultado analítico desarrollado.

Figura 4.16 Función h(t) definida en MATLAB Figura 4.17 Función x(t) definida en MATLAB

Figura 4.18 Convolución x(t)*h(t) utilizando la función conv(f1,f2) de MATLAB®



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CONCLUSIONES

Podemos decir que la transformada rápida de Fourier FFT en MATLAB es una

herramienta eficaz para calcular la transformada de Fourier, pero en realidad, es latransformada discreta de Fourier (tiempos discretos) de una señal. En sí, la transformada de

Fourier ayuda a calcular el espectro de frecuencias de una señal que nos ayudará en el

tratamiento de señales.

También, es importante destacar que la convolución de señales es una herramienta

fundamental para entender y aplicar el concepto de “modulación”, y que mejor que

MATLAB contenga una función indispensable para todo ingeniero que estudie el tratamiento

de señales, dicha función es conv(a,b).

REFERENCIAS

[1] CHARLES, K. ALEXANDER & SADIKU, MATHEW N. O., “Fundamentos de Circuit os Eléctricos”, 3ra.Edición, McGraw-Hill, México, 2007. Cap. 15 (págs. 697 a 700) y Cap. 18 Transformada de Fourier págs.

821 a 824.

[2] LATHI, B.P., “Modern Digital and Analog Communication Systems ”, 3rd. Ed., Oxford University Press, NewYork, 1998; págs. 97 a 99.

[3] LATHI, B. P., “Introuccion a la Teoría y Sistemas de Comunicación ”, LIMUSA Gpo. Noriega Editores,México, 2003; págs. 87 a 94.

[4] HSU, HWEI P., “Análisis de Fourier ”, 1ra. Edición, Pearson Eduación, México, 1998.

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