propiedades de la convolución
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Propiedades de la ConvoluciónMora Campos Yolanda
Las propiedades matemáticas de esta operación se corresponden directamente
con la forma en que funcionan los circuitos lineales.
Propiedades
Elemento neutroDistributividadConmutatividadAsociatividad
Elemento Neutro
El elemento neutro de la convolución es:La señal impulso, ya que al convolucionar
cualquier señal con el impulso se obtiene en la salida la misma señal.
En los sistemas cuya respuesta impulsional sea la salida es igual a la entrada.
Ejemplo•Para este demostración, dejaremos que δ(t) sea
el impulso unitario localizado en el origen.
•Usando la definición de convolución empezamos con la integral de convolución
De la definición del impulso unitario, conocemos que:
δ(τ)=0 Siempre que τ≠0.
Usamos este hecho para reducir la ecuación anterior y obtener lo siguiente:
La integral de δ(τ) solo tendrá un valor cuando τ=0
Por lo tanto esa integral será igual a uno. Donde podemos simplificar la ecuación de nuestro teorema:
Ley DistributivaLa demostración de este teorema puede ser tomada directamente de la definición de convolución y usando la linealidad de la integral.
Ejemplo:
Ley Conmutativa
•Es conmutativa pues el resultado de la operación es el mismo, cualquiera que sea el orden de los elementos con los que se opera.
Ejemplo
El conjunto de los dos
sistemas puede ser
considerado como un
sistema único cuya
entrada es la entrada
del primero y cuya
salida es la salida del
segundoPropiedad para cualquier elemento no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos, siempre dará el mismo resultado.
Se define como la asociación (juntar) de varios números,
de forma que su suma de, el mismo resultado que sin
asociarse.
Ley Asociativa
Ejemplo La señal en la salida del
sistema global es:
1. La salida en el primer sistema es
2. Esta señal es aplicada al segundo sistema, cuya salida valdrá:
Por otra parte, la respuesta impulsional global se puede calcular aplicando un impulso a la entrada global.
La salida del primer sistema cuando la entrada sea un impulso será su respuesta impulsional.
Esta señal se aplica al segundo sistema, cuya salida se calcula por medio de la convolución:
Por tanto,
Esta propiedad se cumple para cualesquiera
Desde un punto de vista teórico, en la asociación en cascada de circuitos LIT es
indiferente el orden en que se conecten; sin embargo, en la práctica el orden sí importa porque los circuitos no suelen ser lineales y porque tienen distintas limitaciones físicas
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