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SSIT Problemas de

examen

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Tema 1


JUNIO 1986

1. Hállese la convolución de las señales

x(t) = u(t) - u(t - 1) - u(-t)+ u(- t - 1) y y(t) = 2[u(t +2) - u(t-2)]

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1 \ 1 2G\.\~Ó -

SEPTIEMBRE 1987

l. Calcule gráficamente la convolución z(t) = x(t) * y(t) donde: 'i(i. (\\

___.JL--, ~ x(t) = ó(t+l) + u(t)-u(t-I) y y(t) = 2u(t)- 4u(t-1) + 2u(t-2)

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FEBRERO 1999

l. Para caraderizar un sistema, aplicamos a su entrada las siguientes señales, obteniéndose

respectivamente como salida: X¡ [n] = o[n] x2 [n]=u[n·-\]

x3 lnJ = c5Ln -JJ X4 [n] = Oln]-3ó[n -3]

4 y 1(n)=0

4 y 2 [n] = nu[n] -4 y5L 11} = u[n - z] 4 y 4 [n] = nu[n]

{ustifique razonadamente que el sistema no cumple las siguientes propiedades: .,) Linealidad ~)Invariabilidad temporal ~:)Estabilidad d) Invenibilidad

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SEPTIEMBRE 2001

1. Sea el siguiente sistema definido por su relación entrada-salida:

t t+T

y(t)== Jx(z-)cos(@or)<fr- Jx(z-)cos(aJ0 z-)dz-1-r 1

con T > O, y siendo @o una constante arbitraria.

a) Estudie la linealidad e invarianza temporal del sistema. b) Calcule h(t), la respuesta del sistema al impulso c>(t) . c) Calcule h

10 (t), la respuesta del sistema al impulso o(t - t0 ).

d) Sea H(J~) la transformada de Fourier de h(t) y X(júJ) la transformada de

Fourier de una entrada arbitraria x(t). ¿Podría calcular la salida del sistema y(t) · como la transformada inversa d~ Fourier de Y(júJ) == X(jaJ)H(JaJ)? Justifique su

respuesta.

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SEPTIEMBRE 2000

l. Sea un sistema lineal e invariante cuya relación entrada x(t), y salida y(t) viene dada por la siguiente expresión:

00

y(t) = J x(r)e1-rdT t

a) Calcule la respuesta al impulso h(t).

b) Calcule la respuesta al escalón unidad s(t).

c) Calcule la salida y(t) cuando la entrada x(t) se representa en la figura siguiente. La solución debe darse exclusivamente en función de la respuesta al escalón s(t). (Nota: no es necesario sustituir y se puede hacer aún sin conocer la expresión concreta de s(t)).

x(t)

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(J d--1.t)~ ~ Lt-4.)

JUNIO 1996

3. Dadas las secuencias x[n] e y[n] que se representan en la figura:

.r[11] 2 y[n]

o.s

·• o 2 3 4 n ·I O l 3 ~ n

· l

Calcular:

a) La convolución lineal de las dos secuencias. b) La convolución circular o cíclica de ciclo 5.


FEBRERO 2002

l. Sea un sistema definido por la siguiente relación entrada-salida: l t+T2

y(t)= -- fx(r)dr T..+ T2 1-r,

con O < T.. < oo y O < T; < oo .

a) ¿Es el sistema lineal? Justifique su respuesta. b) ¿Es el sistema invariante? Justifique su respuesta. c) Calcule la respuesta al impulso del sistema. d) Sea x(t) = cos(cvt). Encuentre la relación general entre T1, T2 y cv para que la

salida sea cero.


FEBRERO 2003

l. Considere el sistema de la figura:

x(t)--.( Sistema 1 ~.__h(_t>____.17.(t)~I Sistema 31-+q(t)

Los bloques denominados "Sistema l" y "Sistema 3" realiz.an las siguientes operaciones:

y(t) = x(-bt)

q(t) = z(-t / b)

siendo b una constante real y positiva mayor que la unidad. El bloque central representa un sistema lineal e invariante cuya respuesta al impulso viene dada por la siguiente expresión:

h(t) = eabt • u(-b • t)

siendo a una constante real y positiva. Se pide: a) Suponiendo que x(t) es una señal de energía finita, determine cuál es la energía de la señal y(t). ¿Cuál es la

energía de la señal xf_.t) . ¿Cuál es la relación entre la energía de ambas señales?. Comente el significado físico

del resultado obtenido.

b) Dada una entrada genérica x(t), determine la salida q(t). A partir de ese desarrollo, obtenga heq (t), tal que

q(t) = heq (t) * x(t) .

c) Suponiendo que x(t) es ahora el escalón unidad, calcule la señal q(t) haciendo uso de la operación convolu

ción.

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FEBRERO 2001

l. Sean las tres señales siguientes

siendo p(t) la señal

x1 (t) = e-ª1u(t),

x2(t) = e-b1u(t),

00

x3(t)= ¿ p(t-kI'a) k=--oo

{1, I t 1 < T

p(t) = O, 1t1 > T

a real y positivo

b real y positivo, b * a .

Ta> 2T

a) Dibuje las señales que resultan de aplicar en el eje de tiempos las transfonnaciones:

Y;(t) = X¡(2t- l), i = 1,2,3

Calcule la energía y la potencia media de las señales resultantes, así como la relación de estos parámetros con los conespondientes parámetros de las señales originales. ¿Es periódica alguna de las señales

resultantes Y; (t), i = 1, 2, 3 ? Justifique su respuesta.

b) Realice en el dominio temporal la convolución de las señales x1 (t) y p(t) .

c) Realice en el dominio temporal la convolución de las señales x1 (t) y x/t) .

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FEBRERO 2006

l. Sea wia señal compleja x(t) en tiempo continuo, limitada en el tiempo, tal que x(t) = O para t < 'I'¡ y t >Ti, con 1'¡ < T

2 . Dicha señal es la entrada de un sistema lineal e invariante cuya respuesta al impulso es h(t) = x* (-t).

Sea y(t) la señal de salida de dicho sistema. Operando siempre en el dominio del tiempo:

a) Demuestre que y(O) es siempre real ¿Qué representa y(O)? Justifique su respuesta.

b) Sea x(t) = e-(t - I)[ u(t -1)- u(t -3)], siendo u(t) la función escalón unidad. Calcule y(t).

c) Indique, para el caso del apartado b) si el sistema es causal y si es estable. Justifique su respuesta.

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SEPTIEMBRE 2002

l. Considere un sistema en tiempo continuo (SISTEMA 1) caracterizado por la relación:

21

y(t )= Jx(r '}tfr "'

donde .x{t) es la señal de entrada e y(t) la señal de salida. Se pide

(a) Demuestre que dicho sistema es lineal, no invariante en el tiempo y no estable en sentido BIBO (Boum)c<l Iuput-Bounded Output). Determine si el sistema es causal o no causal.

(b) Dada la entrada:

x(t) = u(t) + u(t - 1) + sen(t ),(¡)

determine la correspondiente salida y(t). Sobre e] resultado obtenido,

verifique las propiedades demostradas en el apartado (a). (e) Suponga que el sistema dado se pone en serie con un sistema LTI de respuesta

al impulso h(t)=e "'u(t), con a>O y real, que denominaremos SISTEMA 2,

como indica la figura:

SISTEMA GLOBAL

j •1 SISTEMA 1 1 •1 SISTEMA 2 •

Calcule la salida del sistema global cuando la entrada es ó(t) y cuando la

entrada es c5(t -1). Comente los resultados.


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FEBRERO 2007

1. Sea un sistema (S l) definido por la siguiente relación entrada-salida (la entrada es x[n] y la salida es y[n]):

y[n]= f x[k] k=-if.•

Considere un sistema (S2)~ fonnado por la combinación en serie de dos sistemas S l:

; -- ---------------- - -------------~

x[n] : •I SI 1.1'[11]•1 Sl ; • z[n]

1 S2 ------------ -------- --- ----------·

(a) Demuestre que el sistema S2 es LTL Analice si es causal y/o estable (b) Calcule la respuesta al impulso del sistema S2. (e) Obtenga la relación entre la entrada x[n] y la salida z[n] del sistema S2. (d) Demuestre que el sistema inverso al S2 es el definido por la relación

entrada-salida:

x[n]:= z[n] - 2.:ln l] t z[n - 2]

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SEPTIEMBRE 2008

1) Considere el sistema de la figura:

x(t) ___.. do(l)ldt u(t) y(t)

q(t)

Donde las señales en los recuadros representan la respuesta impulsiva de dos filtros lineares e invariantes y el asterisco representa la operación de convolución. x(t) e y(t) representan respectivamente la entrada y la salida del sistema. x(t)es una señal de media nula.

Se pide:

a) Halle, utilizando las propiedades de la convolución, la relación entrada-salida del sistema:

y(t) = f(x(t),q(t))

b) Demuestre si el sis.tema es lineal o invariante. Si lo anterior es cierto, calcule su respuesta impulsiva. ¿Qué condiciones tiene que cumplir q(t) para que el sistema sea estable?

c) Calcule la salida y la entrada x(t) = e-a.t • u(t) cuando q(t) = e-h.t · u(t) (a y b son constantes reales

y positivas). Hágalo en el dominio del tiempo.

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1

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SEPTIEMBRE 2007

Ejercicio 1

~ Considere un sistema discreto cuya secuencia de salida y[ n] se obtiene a partir de la secuencia de entrada

x[ n] (señal real), mediante la expresión siguiente:

"' y[n]=x[n]*x[n]= L x[k}x[n-k] k=-«J

Se pide: a) Demuestre si el sistema cumple o no cada una de las siguientes propiedades: linealidad, invarianza

temporal, causalidad y estabilidad. b) Suponiendo que x[n]=u[n]-u[n-5] (siendo u[n]=l si n~O,yu[n]=O,sin<O),determine

analíticamente y represente gráficamente la secuencia de salida y[ n] . c) Si el valor medio de x[ n] es cero, demuestre que el valor medio de y[ n] también es cero. Así mismo

demuestre la siguiente proposición: si x[ n] es antisimétrica (impar), entonces y[ n] es simétrica (par).

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SEPTIEMBRE 2007

Ejercicio 1

. CillTIJ Considere un sistema discreto cuya secue~cia de salida y[ n] se obtiene a partir de la secuencia de entrada

x[ n] (señal real), mediante la expresión siguiente:

\·

co

y[n]=x[n]*x[n]= L x[k}x[n-k] k=--<X>

Se pide: . a) Demuestre si el sistema cumple o no cada una de las siguientes propiedades: linealidad, invari~

temporal, causalidad y estabilidad. b) Suponiendo que x[n]=u[n]-u[n-5] (siendo u[n]=l si n¿O,yu[n]=O,sin<O),determine

analíticamente y represente gráficamente la secuencia de ~alida y [ n j. c) Si el valor medio de x[ n] es cero, demuestre que el valor o:iedio de y[ n] también es cero.° Así mism9

demuestre la siguiente proposición: si x[n] es anti.simétrica cimPar), entonces y[n] es simétrica (par).

~J ... . 1 .. .

···: ; .. ·

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Lo =t-llQ Oa.1..D.)(Q --es"' ;,

~--fL[r,J = 'X2[Yl] ~ Xz(~J:::: X" [~-naj ~ Xd=n-hoJ = X1 [n]~Ó[fl-no] ~ ~, [nj,f. Jr?SJJ1~

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. ..,...

Tema2


FEBRERO 1999

l. Considere la siguiente señal: x{t) =te-' (u(t)- u{t-1))

a) Calcule sü transformada de Fourier X(jw). b) A partir de x(t) se construye Ja si~uiente señal x1 (t) :

.x 1 (t) = L .x(r- 2n)

Calcule su transformada de Fourier X1(jw) e identifique a partir de ella los coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier de x1(t) . c) A partir de x(r) se construye la siguiente señal x2(r~ :

.x 2 (r) = 2: x(t- 2n)

Calcule su transformada de Fourier X2(jw) y establezca las similitudes y diferencias de ésta con X1(jw).

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SEPTIEMBRE 1999

1. Calcule la señal x(t) cuya transformada de Fourier es la sigúiente;

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FEBRERO 2001

2. Sea un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya relación de entrada x(t) a salida y(t) viene descrita por la siguiente ecuación:

donde t0 es un parámetro arbitrario real y positivo.

a) Demuestre que la respuesta al impulso del sistema, denotada como h(t), viene expresada por la siguiente ecuación:

1 h(t) = - ( u(t + t0 ) - 2u(t) + u(t - t0 ))

2

siendo u(t) la función escalón unidad.

b) Detennine la respuesta en frecuencia del sistema, dentada como H (j(l)) . Represente de fonna aproximada

el módulo y la fase.

c) Demuestre analíticamente en el dominio de la frecuencia que este sistema elimina cualquier señal periódica de frecuencia:

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FEBRERO 2002

2. Considere la siguiente respuesta impulsiva que caracteriza un sistema lineal e invariante (que modela matemáticamente la reverberación que produce un local sobre señales sonoras):

donde:

"' hT(t) = Lªk. h(t -kT)

k=O

a y T son números reales positivos.

h(t) es la respuesta impulsiva de un sistema lineal, invariante y causal que responde a la entrada x(t) = (e- 1 + e-31

)· u(t) con la salida

y(t) = (1e- 1 - 2e-41

)· u(t).

Determine:

a) La respuesta en frecuencia del sistema completo. ¿Para qué margen de valores de a existe dicha respuesta en frecuencia?

b) La ecuación diferencial que representa la relación entrada-salida del sistema caracterizado por h(t). ¿Cuáles deben ser sus condiciones iniciales?

c} La respuesta en frecuencia y la respuesta impulsiva del sistema inverso de h¡{t).

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FEBRERO 2003

2. Considere la siguiente señal en tiempo continuo:

x(t) = 1 senm I, -oo < t < oo

La señal x(t) se pasa a través de un sistema L TI cuya salida y(t) se relaciona con la entrada x(t) del siguiente modo

dy(t) + y(t) = a dx(t) + bx(t) dt dt

Se pide: a) Determine los coeficientes del desarrollo de Fourier en serie de Fourier de la señal x(t). Asimismo, determine

la transformada de Fourier de x(t). b) Calcule las constantes a y b para que la salida del sistema y(t) no tenga componentes de frecuencia en el

origen (w = O) y conserve los mismos valores del espectro de x(t) cuando w tiende a infinito. Calcule también la respuesta al impulso del sistema, h(t).

c) Determine la transformada de Fourier de la señal y(t).

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SEPTIEMBRE 2000 ~ jUN O=l. -tJ-3 ......., ===:::::.;

3. Sea un sistema cuya entrada y salida se relacionan mediante la siguiente expresión:

y(t) = x(at)

donde a es una constante arbitraria distinta de cero. a) ¿Es un sistema lineal?.¿Es un sistema invariante en el tiempo?

Supongamos el siguiente esquema:

x(t) Transformación punto A

w(t) v(t)

z(t)

Transformación puntoB

y(t)

donde los bloques 'Transformación punto A y punto B' representan .llD.~ 9 varias transformaciones en cascada exclusivam~nte del tipo escalado-temporal o filtro paso bajo ideal. De las señales involucradas en el proceso únicamente se sabe que son reales y de banda limítada ( x(t) es paso bajo y z(t) es paso banda) verificando,

siendo OJ0 un parámetro arbitrario.

X(jOJ) =O, V l m 1 >OJO

Z(jm) =O, (])

v 1 m 1 > mo Y 1 m I< -º 2

b) Diseñe convenientemente las transformaciones de los puntos A y B de forma que se garantice la identidad y(t) =x(t).

e) Supongamos ahora un nuevo esquema como el descrito en la figura:

x(t)

cos(wot)

Transformación punto A

w(t) v(t)

:Z(t)

Transformación punto B

y(t)

Diseñe nuevamente las transformaciones en los puntos A y B (en B puede considerar un bloque adicional que multiplique una señal por una sinusoide de :frecuencia arbitraria) para garantizar igualmente la identidad y(t) =x(t).

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1

FEBRERO 2006

2. Sabiendo que las siguientes señales x1(t), X1(jm) forman un par de transformadas de Fourier, .

donde u( m) es la función escalón unidad:

u(m) = {1'

O,

m>O m<O

a>O y a real

(a) Calcule la transformada de Fourier de x(t), denotada como X(jm) siendo

() cost X t - -.,.--~-.,.--~

- (Jt-3XJt-I)

Suponga ahora un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya respuesta al impulso h(t) es periódica de periodo 2n-definida en un periodo como

ltJ < n-12

1r / 2 ~ JtJ < 1r

(b) Calcule los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de h(t) denotados como ªk·

(c) Si la señal x(t) es la entrada del sistema anterior, calcule la expresión de la salida Y(jm), expresando el resultado en función deX(jm) y ªk·

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SEPTIEMBRE 2004

2. Considere una señal x(t) cuyo espectro es

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A

Dicha señal se desea transmitir por un sistema que se puede modelar como un

filtro paso banda ideal, cuya respuesta en frecuencia es

siendo % > 20Jc > O . El esquema es el siguiente:

x(t) .--------~ .. 4 TRANSFORMACION 1 I ~, Hs(júJ) l

y(t) ·1 ~ . "'. TRANSFORMACION 2 ~

Es decir, el bloque "TRANSFORMACION l" transforma la señal de entrada x(t)

en otra señal s(t), que será la que pasa por el filtro paso banda ideal, cuya salida es la

señal · y(t). A partir de la señal y(t), el bloque "TRANSFORMACION 2" recupera la

señal original x(t) .

(a) Indique y justifique qué transformaciones tiene que realizar el bloque "TRANSFORMACION l" sobre la señal x(t) (y, por tanto, sobre su

espectro), para que a partir de la salida del filtro paso banda ideal, y(t), sea

posible recuperar de nuevo la señal x(t). (b) Indique y justifique qué transformaciones tiene que realizar el bloque

"TRANSFORMACION 2" sobre la señal y(t) (y, por tanto, sobre su

espectro), para recuperar de nuevo la señal x(t).


SEPTIEMBRE 2000

3. Sea un sistema cuya entrada y salida se relacionan mediante la siguiente expresión:

y(t) = x(at)

donde a es una constante arbitraria distinta de cero. a) ¿Es un sistema lineal?.¿Es un sistema invariante en el tiempo?

Supongamos el siguiente esquema:

x(t) Transformación punto A

w(t)

z(t)


y(t)

donde los bloques 'Transformación punto A y punto B' representan una o varias transformaciones en cascada exclusivamente del tipo escalado temporal o filtro paso bajo ideal. De las señales involucradas en el proceso únicamente se sabe que son reales y de banda limitada ( x(t) es paso bajo y z(t) es paso banda) verificando,

siendo OJo un parámetro arbitrario.

X(jm) =O, 'v' 1m1 > OJo

Z(jm) =O, OJ

v 1 m 1 > mo Y 1 m I< - º 2

a) Diseñe convenientemente las transformaciones de los puntos A y B de forma que se garantice la identidad y(t) = x(t).

b) Supongamos ahora un nuevo esquema como el descrito en la figura:

x(t)

cos(wnt)

Transformación punto A

w(t) v(t)

z(t)


y(t)

Diseñe nuevamente las transformaciones en los puntos A y B (en B puede considerar un bloque adicional que '-----' multiplique una señal por una sinusoide de frecuencia arbitraria) para garantizar igualmente la identidad

y(t) = x(t).


SEPTIEMBRE 2003

2. Considere una señal x(t) definida mediante la siguiente expresión:

x(t) = f ~I lt 1 <Yo resto

donde T0 es un parámetro real y positivo arbitrario.

a) Calcule la expresión de la su transformada de Fourier X(jw). b) Calcule la transformada de Fourier de la señal y(t), Y(jw), si y(t) está. definida como:

OC!

y(t) = :¿ x<t -Yo - kr.J k=-«> -

donde T1 >> T0 es un parámetro real y positivo. Calcule los coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier denotados como {ak} - Exprese el resultado en función de X(jw). (Nota: no es necesario sustituir el resultado de (a)).

c) Si dicha señal pasa por un sistema LTI cuya respuesta al impulso viene dada por la siguiente expresión:

h(t) = d2

( sen(Wt)) dt2

1ti

donde W es un parámetro positivo arbitrario. Determine la relación que deben cumplir T1 y W para que se anulen todos los armónicos de orden superior al segundo. Calcule la expresión de los coeficientes no nulos { bk} k = -2 , -1, O, 1, 2, expresándolos en función de los coeficientes de la entrada { ak} (Nota: no es necesario sustituir el resultado de (b)).


·{ . -. ·.

.· / SEPTl~MBRE 2003

2. Considere una ~~ x(t) definída mediairte la siguiente eX:presión:

ltl<I'a resto

donde T0 es un parámetro real y positivo arbitrario.

a) Calcule la expresión de la su transformada de Fourier X(jw). b) Calcule la transformada de Fourier de la señal y(t), Y(jw), si y(t) está definida como:

"" y(t) = :¿ x(t-Io-kTi) ,

k=-<D

donde T1 >> T0 es un parámetro real y positivo. Calcule los coeficientes de su desarrollo en ·serie de Fourier deno1:4dos como { ak}. Exprese el resultado en función de X(jw ). (Nota: no es necesario sustituir el resultado de (a)). .

e) Si dicha señal pasa por un sistema L TI cuya respuesta al impulso viene dada por la siguiente expresión:

h(t) = !!:__(sen(Wt)) dt2 7ti

donde W es un parámetro positivo arbitrario. Determine la relación q\Je deben cumplir T1 . y W para que se anulen todos los armónicos de orden superior al segundo. Calcule la expresión de los coeficientes no nulos {bk} k = :_z , -1, O, 1, 2, expresándolos· en función de los coeficientes de la entrada {a.e} (Nota: no es necesario susti:tuk.el resultado de .(b)). ·

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FEBRERO 2007

2. Sea la señal x(r) cuyo espectro es el siguiente:

Donde Xa(Jú~) es el espectro de banda limitada representado en la figura y rou vale 27r

T

X"(j m)

(1)

Se pide:

a) Dibujt: X(jM) y juslifiqut: la p<:riodii.:idad d~ ,\·rn.

b) Cllcule lü señal x( t)

e) Considere un filtro lineal e invarianie con la siguienic respuesta impulsiva: !1(1) == ()(r) - 6(r - · T)

Calcule su respuesta en frecuencia. Dibuje su modulo.

d) Calcule la sei'íal de salida del si . .-;tema del ap;irtado e) c11~11do l ~t e ntrad;i c.~ <> r(t).

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SEPTIEMBRE 2002

2. Considere una señal x(t), cuyo espectro X(jw) es la función triangular de la figura:

w

a) Razonando en el dominio del frecuencia, y explicando claramente los paso seguidos, demuestre la siguiente igualdad, calculando asimismo el valor necesario de K para que la igualdad se cumpla:

Indique también el margen de valores que puede tener, en general, w1 para que se siga cumpliendo la

igualdad anterior.

b) Suponga que la igualdad que se plantea ahora es:

siendo % > 2wM y w1 = 2wM, y h¡ (t) = e-ª1u(t), a> O y real .

Obtenga el valor de K, la respuesta en frecuencia H 2 (jw) y su correspondiente respuesta al impulso ~ ( t) para que se cumpla la igualdad anterior.


SEPTIEMBRE 2007

Ejercicio 2

Considere la siguiente respuesta impulsiva de un sistema lineal e invariante:

h(t) l

-T T

a) Calcule la transformada de Fourier de h(t).

b) Sea la señal x(t) representada a continuación. Calcule Y(jm), donde y(t) = x(t) * h(t) .

-T T

00

c) Considere la señal xP(t) = :Lx(t-KT) . Calcule la señal yP(t) = xP(t)* h(t). k=oo


FEBRERO 2008

Ejercicio 2

Considere el sistema en tiempo continuo, definido por la relación siguiente d 2x(t)

y (t) = n 2 • x(t) +--

dt2

donde x(t) es la entrada e y(t) la salida. Suponiendo que x(t) = (1 + cos(nt))·(u(t + l)-u(t-1))

Se pide: a) Determinar la transformada de Fourier X(jm) de la señal x(t). Representar gráficamente X (jm).

b) Determinar la transformada de Fourier Y(jm) de la señal y(t), a partir de la respuesta en frecuencia del sistema y de X(jm), simplificando el resultado.

c) Calcular la señal de salida y(t) .


FEBRERO 2008

Ejercicio 2

Considere el sistema en tiempo continuo, definido por la relación siguiente d 2x(t)

y(t) = 7!2 • x(t) +--

dt2

donde x(t) es la entrada e y(t) la salida. Suponiendo que

x(t) = (1 + cos(7!t))·(u(t + l)-u(t-l))

Se pide: a) Determinar la transformada de Fourier X(jm) de la señal x(t). Representar gráficamente X(jm).

b) Determinar la transformada de F ourier Y(j OJ) de la señal y(t) , a partir de la respuesta en frecuencia del sistema y de X(jm), simplificando el resultado.

c) Calcular la señal de salida y(t) .

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SEPTIEMBRE 2008

2) Sea un sistema lineal, invariante en el tiempo y casual caracterizado por su respuesta al impulso h(t) y su función de transferencia H(s) del cual se sabe que cuando la entrada es x(t) = tcos(aYof)u(t), la

salida es y(t) = cos(aYof)u(t).

a) Calcule la transformada de Laplace de y(t) denotada como Y(s) especificando su región de convergencia.

b) Calcule la transformada de Laplace de x(t) denotada como X(s) especificando su región de convergencia. (Se recomienda usar el resultado de a) y aplicar propiedades)

c) Calcule H(s) especificando su región de convergencia y su correspondiente transformada inversa h(t). d) Calcule la función g(t) como la transformada de Fourier inversa de H(j(J)). Justifique por qué esta

respuesta al impulso no coincide con h(t).

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SEPTIEMBRE 2008

2) Sea un sistema lineal, invariante en el tiempo y casual caracterizado por su respuesta al impulso h(t) y

su función de transferenciaH(s) del cual se sabe que cuando la entrada es x(t) = tcos(aV)u(t), la

salida es y(t) = cos(aV)u(t).

a) Calcule la transformada de Laplace de y(t) denotada como Y(s) especificando su región de convergencia.

b) Calcule la transformada de Laplace de x(t) denotada como X(s) especificando su región de convergencia. (Se recomienda usar el resultado de a) y aplicar propiedades)

c) Calcule H(s) especificando su región de convergencia y su correspondiente transformada inversa h(t). d) Calcule la función g(t) como la transformada de Fourier inversa de H(júJ). Justifique por qué esta

respuesta al impulso no coincide con h(t).


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FEBRERO 2010

2. Considere el sistema L TI en tiempo continuo, definido por la relación siguiente

. d2y(t) dy(t) 2 () () d

2x(t) ---+--- y t =X t +--

dt2 dt dt 2

donde x(t) es la entrada e y(t) es la salida.

Se pide:

(a) Determinar la función de transferencia H(s) = Y(s)I X(s) en el dominio de Laplace, indicando las posibles regiones de convergencia.

(b) Determinar la respuesta al impulso del sistema, denotada por h(t) ,

correspondiente al sistema estable. Calcular la respuesta en frecuencia H (j w)

del sistema estable.

( c) Determinar la respuesta al impulso, correspondiente al sistema causal. Razonar por qué no existe respuesta en frecuencia para este sistema. En este caso, determine y(t) cuando x(t) = u(t).

(2,5 puntos)

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SEPTIEMBRE 2010

· 2. Sea una señal x(t) =te -alil siendo a un parámetro real estrictamente positivo. A

partir de ella definiremos y(t) = te -lil *te -2111 , donde el símbolo * representa el operador convolución.

( ) -4as

a) Demuestre que la transformada de Laplace de x(t) es X s = ( )2 s2 -a2

especificando su región de convergencia.

b) La señal y(t) puede ser expresada mediante la siguiente convolución: y(t)= z(t)*C-z(-t)), siendo z(t) causal. Calcule Z(s) indicando su región de convergencia.

c) Calcule z(t) como la transformada inversa de Laplace de Z(s) .

(2,5 puntos)

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Tema3


FEBRERO 1999

2. Considere un sistema lineal e invariante en el tiempo desc1ito por la siguiente ecuación en diferencias: 1 . 1

y[ n] - y[ n - 1] + ·- y[ n - 2] = x[ n] - - x[ n - 1] 4 4

a) Determine su respuesta en frecutncia y la respuesta al impulso. b) Suponga que la señal de entrada a dicho sistema es:

.tinJ=(-l-)" u[n]

Calcule la expresión de la salida y[n]. c) Descomponga el sistema descrito en el apartado a) utilizando exclusivamente en su diseño una conexión de subsistemas cuya respuesta al impulso sea de la forma general :

h,[n]=Ka"-"1> u[n-n0 ]


SEPTIEMBRE 1999

2. Suponga una conexión de sistemas L TI causales y estables tal como se muestra en Ja siguiente figura:

Y¡ [r.]

Sistema 1

x[n] Sistema 3

w[n ] z[n]

Sistema 2 Y2[n]

donde cada uno de los sistemas componentes viene caracterizado por su correspondiente ecuación en diferencias, dadas a continuación:

Sistema 1: y1 [ n] + ll)'1 [ n - 1] = x[ n] Sistema2: y2[n]+by2 [n-2]=x[n] s;:::tem::i3: z[n]=w[n]+aw[n-1]

a) Determine la expresión de la respuesta en frecuencia del sistema equivalente.

b) Utilizando el resultado obtenido en e: apartado a), calcule la ecuación en diferencias que caracteriza al sistema equivalente.

x[n] 1

z[n] Sistema equivalente -~

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SEPTIEMBRE 2002

3. En la figura siguiente se muestra una asociación de sistemas LTl cuya respuesta

global se representa mediante H "'(e¡"'). ·· · ·

flcq(e'r") 1·-·- ·- ·- ·- ·-·- ·- ·-· - ·- ·- ·- ·- ·- - ·-·- ··-·- - ··· ---·---· - ·- ·-· - ·-·-

x[n] y[n]

Hi(d"')

Donde

sen(nni) h,[11]= o[n]- - -·· / 2 ..

nrc

JI {e_;,,,)= !! { :~~~. O ~ w < 1r '~ 4w

8 - .. ' 7l ~ w < 2n: 1f

.(a) Represente H,(ei'" ), H2 (ei"' ), y 113 (ei·~ )- Exprese analíticamente 1-(,;(ei"') en

función de H,(ei'•' ), H2 (e.i"' ). y 11JJ'" ). justificando que se verifica que

H.,,,(ei'" )= H 3 (ei"' ). (b) Calcule la expresión de la salida y[n] cuando la entrada es x(n] = (1 }' + {- I )".

(e) Calcule la expresión de la salida y[n] cuando la entrada es x[n] = ó[n] .

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JUNIO 2003

3. Un sistema L TI causal tiene su entrada x[n] relacionada con la salida y[ n] mediante la siguiente ecuación en

diferencias: y[n] = 0,2y[n-1] + 0,8.x[n] + 0,3x[n-1]

a) Determine la respuesta en frecuencia del sistema, H(e1w) b) Determine la respuesta al impulso del sistema. c) Demuestre que el sistema es estable. d) Si se introduce la señal X¡[n] = u[n-5] - u[n-21], y la salida correspondiente es y 1l)t, calcule

x1 (efw) e r; (efw).

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JUNIO 2003

1. Sea un sistema L TI cuya respuesta al impulso viene dada por la siguiente expresión:

{ sen(2Jrt)

h(t) = o Ostsü.5

resto

a) Calcule la respuesta al escalón u(t) denominándola s(t). b) Calcule la salida y(t) cuando la entrada es x(t) = u(t) - u(t-0.5) , realizando el operador de convolución.

Exprese dicha solución en función de s(t).

c) Suponiendo que ahora definimos h¡ (t) como una versión periódica de h(t) de período 1, e igualmente x1 (t)

como una versión periódica de x(t) del mismo periodo, calcule la expresión de la convolución circular de

ambas señales, expresando el resultado en función de y(t). Describa razonadamente el fenómeno que

ocurriría si el periodo de las versiones periódicas fuera inferior a 1.


SEPTIEMBRE 1999

2. Sean dos secuencias x 1[n], y 1[n] definidas como:

x 1 [ n] = 38[ n] + 28[ n - 1] + 8[ n - 2]

y1 [ n] = u[ n] - u[ n - 3]

A partir de ellas generamos otras dos señales de. periodo N=4:

x[n]= L x1[n-kN] y[ n] = L y1 [ n - kN] te- ··-

a) Calcule la convolución lineal de las dos señales x1[n], y1[n]:

b) Calcule el Desa.n'ollo en Serie de Fourier de w[n]:

w[n} = I, .:1[n-kN] ,,._

e) Calcule Ja convolución circular de las señales x[n), y[n], definid¡¡ mediante la siguiente expresión:

N-1

z[ n] = x[ n) © y[ n] = L x[ m] y[ n - m) m-0

d) Calcule el Desarrollo en Serie de Fourier de ;z;[n). Comente los resultados de los apartados b) y d). ·

y., C.f'J '\,C.<)'.> l. c:.n")

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FEBRERO 2003

3. Sea una señal en tiempo discreto x[n] cuyo espectro en 1w1 < 7r es

- {lwl , lwl<tr/8 X(e 1w) = O ,tr/8<lwl<tr

Se forma la señal en tiempo discreto xP[n] = x[n]· p[n] , siendo p[n] el tren de impulsos en tiempo discreto:

/ "" p[ n] = I ó[ n - Nk], con N = 4

k =-oo

a) Obtenga la expresión de X/e1w) en función de X(e1w).

b) Dibuje razonadamente X/e1w), el espectro de xP[n] .

c) Determine la respuesta en frecuencia del filtro que permite recuperar x[ n] a partir de x P [ n] .

d) ¿Cuál es el máximo valor de N que permite realizar el apartado (c)?.

o.] Xr(e.1"')= f~x~º ·l·fc."1\ = ~ . X<e.>;,;)©.fle)"')

x.~ (e)"') ~ P[ t(" ) Qf~·óf) i -~:> Xn e e.i1.v) :.· 1 z. íi

Qr"' z -> Xr Ce'~) " ;; . X Ce.' - j ot ~ l (") X,le,:i'""")¡ ~(("'') s~~ ct.<- ·uJoj Jr..e¡,-s .s¿:;Jcr..

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SEPTIEMBRE 2004

3. Considere las tres secuencias x[ n], y[ n] y z[ n] relacionadas del siguiente modo

{

x [ n ] si n es par y[n] = 2

1 z[ n] = - z[ n - l] + y[ n] - y[ n - l]

2 O si n es impar

Se pide:

a) Determine la transformada de Fourier Y(e1w) y Z(e1w) de y[n] y z[n], respectivamente, en función de la

transformada de Fourier de X(e1w) de x[n].

b) Si x[n] = 1 + ó[n] + (- lY, calcule X(e1w), Y(eJw) y Z(eJw). c) Determine las secuencias y[ n] y z[ n] , que corresponden al apartado b ) .

. <>) n~ 11. G (" ') XL) (e J~'):; X ( ~JVI~)

() :¡(~

'!,e~) [i _ e.,-iu J - X ( e.w1J \ ..... e -)1.J .

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JUNIO 2004

3. Sea el siguiente sistema en tiempo discreto:

s1[nJ q[11J

~ .T r[n]

Donde el asterisco (*) representa. la operación de convoiución. Dadas las señales:

(a)

(b)

(e)

Obtenga Q(ei"') y represéntela gráficamente.

Calcule y(n) si x[n] = 1 +ros(: n) +sen(; n J. Calrule y(n) si x{n) sen~ n) ro{: n)


SEPTIEMBRE 2005

3. Considere las siguientes secuencias C()

x[n] = L f[n - 4m] f[n ] = r lnl m=-oo

a) Determinar la transformada de Fourier F(ejw) de f[n]. Represente gráficamente el módulo y la fase de

F(ejw) en función de w.

b) Demostrar que x[ n] es una secuencia periódica y determinar los coeficientes de su desarrollo en serie de

Fourier.

Considere ahora el sistema L TI definido por la siguiente ecuación en diferencias donde x[ n] es la señal de

entrada e y[ n] la señal de salida:

1 y[n] = -y[n - I] + x[n] +x[n-2]

2

c) Obtenga la respuesta en frecuencia de dicho sistema. Para la secuencia x[ n], dada al principio del ejercicio,

determinar la señal de salida y[ n] .

1 · ' "" t, ., h. f vr ar, j

b X (t-) • 1 ~ ><:cn"l 1 ' f ) ~f Cn-~ •c ':> l "• -\ ~ ifCcJ d Cn-4"'-' f

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FEBRERO 2001

3. Considérese un sistema discreto lineal, invariante en el tiempo y causal, caracterizado por la siguiente ecuación en diferencias:

1 y [n]+-y[n-3] = x[n]-x[n-2]

2

donde x[n] es la secuencia de entrada e y[n] es la secuencia de salida. Suponiendo que x[n] es la secuencia periódica siguiente:

x[ n] = 1 + 2 cos ( 2; n) + 2 sen (; n) + 2 cos ;rn

Detennine:

a) El periodo de x[n] y los coeficientes de su desarrollo en serie de Fourier.

b) La respuesta en frecuencia del sistema, H ( e10) ) y la transformada de F ourier de la señal de salida,

Y(e10) ) .

c) La secuencia de la salda y[ n].

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JUNIO 2004

4. Sea un sistema como el descrito en la figura 1 donde xc(t) es una señal paso bajo de espectro arbitrario y banda limitada, cuya frecuencia máxima es ((}max· h1(t) es la respuesta al impulso de un sistema lineal e

invariante cuya respuesta en frecuencia es H1 (i((}) 1- e-aT e-jwT ----- siendo T el periodo de muestreo y a una

a+ j((}

constante real y positiva.

y,,(t) rcCt) ~1---i.:xJ--111

fo(t-kT) . .........

·irtgnra 1

a) Represente gráficamente las señales xc(t), xP(t), Yc(t) e y/t). Demuestre en el dominio del tiempo que

se verifica la relación y P (t) = e-af xP (t -~). Nota: Aunque no se haya demostrado, utilice esta expresión para el resto del ejercicio.

b) Determine las condiciones bajo las que se puede recuperar la señal Xc(t) a partir de y P (t). Determine el

sistema que permite recuperar la señal Xc(t) a partir de y P (t).

c) Considere la estructura en tiempo discreto de la figura 2 (que utiliza el esquema de muestreo de la figura 1). El conversor discreto/continuo está formado por conversor de señal en tiempo discreto a tren de deltas seguido de un filtro interpolador ideal. Calcule la expresión del sistema en tiempo continuo equivalente

Hc(jw) en función del sistema en tiempo discreto Ha ( e1m) .

.. ----------------------------------------------------------------------- ....

Muestreo yP(¡) ¡ Figura 1

..------., : Conversor ,! z, 11) Discreto I • ~ Continuo

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FEBRERO 2008

Ejercicio 1

Sea una señal x [ n] arbitraria que se expresa como una combinación lineal de otra función g [ n] y de sus

versiones desplazadas: "'

x[n]= L ckg[n-k] k=-«>

donde ck son los coeficientes. Dicha señal atravíesa un sistema lineal e invariante en el tiempo cuya respuesta

al impulso es

h[n]={l -1 n>O

n~O

obteniéndose una señal a su salida denotada como y[ n].

a) Suponiendo que g [ n] = an u [ n], O < a < 1, calcule la secuencia que representa a los coeficientes

e [ n] =en en función de x[ n], asumiendo ésta conocida. Resuélvalo en el dominio de la frecuencia.

b) Calcule la respuesta del sistema, que denominaremos d [ n] , a la señal g [ n] = an u [ n], O < a < 1,

operando exclusivamente en el dominio del tiempo. Halle la respuesta y[ n] a la entrada x[ n] en

función de c[n] y d[n], supuestas conocidas.

c) Suponiendo que g [ n] = ej01;¡n siendo % un parámetro real arbitrario, calcule la expresión de la salida

y[ n] expresada en función de C(ejw) y H(ejm), asumiendo que son conocidas.

,, ' , , . ,·,.


SEPTIEMBRE 2007

Ejercicio 3

Considere un sistema de tiempo discreto lineal, invariante y causal descrito por los polos

( z pi = 2, z pz = }2, z pJ = - }2), los ceros ( zc1 = j I 2, zc2 = - j I 2) y la unidad como constante multiplicativa de

la función de transferencia:

a) Calcule la función de transferencia del sistema. b) ¿Es estable el filtro) ¿Y su inverso? Razone la respuesta. c) Calcule la respuesta al impulso del sistema.


FEBRERO 2006

3. Sea la señal en tiempo discreto x[n ]= an cos(lüon )u[n] donde a y úJo son

parámetros reales, positivos y arbitrarios, siendo u[ n] la función escalón unidad.

(a) Demuestre que su transformada Z viene dada por la siguiente expresión

v( \ 1-acos(mo)z-1

A Zj= l-2acos(m0 )z-1 +a 2z-2

justificando su región de convergencia.

(b) Calcule el intervalo de valores d(: a para el cual existe la transformada de Fourier de x[ n] y calcule dicha transformada de Fourier.

Suponga un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo, caracterizado por su respuesta al impulso h[n] desconocida. Para dicha entrada x[n] con los valores de a calculados en el apartado (b ), se observa que la salida del sistema es y[n ]= i5 [n - n0 ]

donde no es un parámetro entero conocido.

( c) Calcule la respuesta al impulso h[ n] en función de a, úJo, y n0•

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FEBRERO 2007

3. Sea un sistema lineal, causal c invariante en el tiempo cuya relación entradax[ n] y salida

y[ n] viene descrita por la siguiente ecuación en diferencias:

y[ n] + a1y[nl]+a2y[n-2] = x[n]

a) Calcule los parámetros a1, a2 sabiendo que la función de transferencia del sistema tiene

dos polos complejos en z1 2 = re±Jm,, , donde r y % son números reales positivos.

Exprese sus valores en función de r y % .

b) Sabiendo que la respuesta al impulso es h[n]=Arnsen(mon+B)u[n], identifique A y B en función de r y% (la expresión de h[ n] es válida también

cambiando la función seno por coseno). c) Suponiendo que r = 1, calcule la transformada de Fourier de h[ n]. Compare el

resultado obtenido con la particularización de H ( z) en la circunferencia unidad y

comente el resultado.

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SEPTIEMBRE 2008

3) Considere el sistema discreto lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la siguiente relación:

1 y[ n] = - y[ n - I] + x[ n]

2

donde x[n] es la secuencia de entrada e y[n] es la secuencia de salida.

Se pide:

a) Determine las posibles funciones de transferencia H(z)=Y(z)/X(z), con sus respectivas regiones de convergencia, donde X(z) e Y(z) son las transformadas Z de x[n] e y[n].

b) Calcule las posibles respuestas al impulso h[ n] = z-1 { H ( z)} , analizando la causalidad y estabilidad

de cada solución.

c) Suponiendo x[n] = ejzn + 2-nu[n], determine la secuencia de salida y[n], correspondiente al sistema

estable.

11 . ,, .


SEPTIEMBRE 2008

3) Considere el sistema discreto lineal e invariante en el tiempo caracterizado por la siguiente relación:

1 . y[ n] = - y[ n -1] + x[ n]

2

donde x[ n] es la secuencia de entrada e y[ n] es la secuencia de salida.

Se pide:

o..)

a) Determine las posibles funciones de transferencia H(z)=Y(z)/X(z), con sus respectivas regiones de convergencia, donde X(z) e Y(z) son las transformadas Z de x[n] e y[n].

b) Calcule las posibles respuestas al impulso h[n] = z-1 {H (z)}, analizando la causalidad y estabilidad

de cada solución.

c) Suponiendo x[ n] = ejzn + Tn u[ n] , determine la secuencia de salida y[ n ], correspondiente al sistema

estable.

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FEBRERO 2002

3. Sea un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo descrito por la ecuación en

diferencias:

y[n ]- a2 y[n - 2] = x[n - 2 ]- a2 4(n]

donde x[ n] es la entrada, y[ n] es la salida y a es un parámetro real tal que O < a < 1.

a) Calcule la función de transferencia del sistema. Represente su diagrama de polos y ceros.

b) Demuestre que el módulo de la respuesta en frecuencia del sistema vale l para todo úJ .

c) Calcule la respuesta al impulso del sistema h[ n], detallando el valor de la función para n par e impar.

d) Suponiendo que la entrada x[n] es una secuencia finita de energía unidad, calcule la energía de la secuencia de salida y[ n].

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FEBRERO 2002

3. Sea un sistema lineal, causal e invariante en el tiempo descrito por la ecuación en diferencias: .

donde x[ n] es la entrada, y[ n] es la salida y a es un parámetro real tal que O < a < 1.

a)

b)

c)

d)

Calcule la función de transferencia del sistema. Represente su diagrama de

polos y ceros. Demuestre que el módulo de la respuesta en frecuencia del sistema vale 1 para todo OJ • ·

Calcule la respuesta al impulso del sistema h[n], detall¡mdo el valor de la función para n par e impar. Suponiendo que la entrada x[n] es una secuencia finita de energía unidad, calcule. la energía de la secuencia de salida y[ n].

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Tema4


SEPTIEMBRE 1999

3. Sea x(r) una señal real de banda linJtad? (X(jw)=O V W>ú.\¡). A partir de ella obtenemos otra señal y(r)

mediante la siguiente operación:

y(t) =-- f x(nT) sinc(1 · ,nT)

•·- T donde Tes un parámetro arbitrario y la función 'sine' se define a continuación: sinc(r) = sen(m)

7rt a) Determine la expresión de la transformada de Fourier de y(t), esto es, Y(jw) en función de X(jw) .

b) Si se verifica que T<trlú.\¡, demuestre que y(t)=x(t) Vr.

Nota: Puede utilizar los siguientes pares de transformadas para la resolución del ejercicio.

sen(Wt) m

TF H rr• {

l,

O,

lwl < W

lwl > W L o(t -nT)

TF H rr1

2n f a(w -k 2n)

T t~- T


FEBRERO 2000

5. Considere un esquema de muestreo en el que la señal de muestreo p(t) es un tren de pulsos: 00

p(t)= L r(t-nT) n=-oo

donde el pulso r(t) se representa en la figura siguiente: r{t)

-6 -t,J2 o tJ2 6

suponiendo que L1<<T.

Si denominamos x(t) a la señal que se muestrea. supuesta de banda limitada. esto es X(¡co)=O l~co,,_, y que se verifica la condición de muestreo de Nyquist, a) Calcule R(jco), transfonnada de Fourier de r(t).

b) Calcule la transformada de Fourier de la señal xp(t)=x(t)p(t). c) Calcule la transformada de Fourier de la señal x,{t) definida como

00

x¡(t) = L x(nT)r(t - nT) n=-oo

d) Explique detalladamente para los casos b), c), cómo sería la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo que pennitiría recuperar la señal x(t) a partir de xp(t) y x,{t) respectivamente.

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FEBRERO 2001

4. Se sabe que la transformada de F ourier X (j(J)) de una señal arbitraria x( t) cumple que X (j(J)) = O para

1 {J) 1 > {J)M . Considérese el siguiente sistema:

xb(t) xs(t) H(jw) = sig(w)1----a.1

x(t)

cos(w0t) p(t)

"' Siendo p(t) = L ó(t-nT) y sig((J)) la función signo, definida como:

n=-oo

{

1 (JJ>Ü

sig({J))= O (JJ=Ü

-1 (JJ<Ü

a) Obtenga razonadamente el máximo valor de T que pennite recuperar la señal x(t) a partir de x P (t) .

b) Diseñe razonadamente el sistema que pennitiria obtener la señal x(t) a partir de x/t).

c) Considere el esquema de la FIGURA 2:

x(t) xit) ~

cos(3wMt) p(t)

Justifique que en este caso se puede muestrear la señal xh (t) a una frecuencia de 4{J)M , que es inferior a la

:frecuencia de Nyquist de xh (t), y no obstante es posible recuperar la señal x(t) a partir de x P (t) .


FEBRERO 2003

4. Sea el esquema de la figura

x(t) h(t)

p(t) q(t)

', _,.

donde la señal de entrada x(t) es de banda limitada(~ ,es Ja frecuencia máxima) y la señal p(t) es periódica de la forma que representamos a continuación: "

t t t t t t -3T -2T -T O T 2T 3T 4T

a) Calcule los coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier de la señal p(t), demostrando que dichos coeficientes constituyen a su vez una secuencia periódica. Calcule su periodo.

b) Calcule la expresión del espectro de X,,(JOJ). Represente de manera aproximada su módulo asumiendo una fonna arbitraria para la representación del módulo de X (jw) . Calcule el máximo valor del parámetro T que pennite la recuperación de x(t) a partir de xp(t)

c) Suponiendo que h(t) es la respuesta al impulso del sistema LTI definido por la expresión h(t) = u(t+l) - u(t-1), y que la señal q(t) = exp(¡"41Zt/(31)), diseñe el filtro reconstructor paso bajo que pennite recuperar x(t) a partir de y(t).


SEPTIEMBRE 2004

~.

x(t)

Considere el sistema de la figura:

cos( ro0t)

Expansión q(t) F1

temporal Escalado temporal de

factor r z(t)

donde: x(t) es una señal paso bajo de banda limitada (X(jw)=O cuando lw! > w111>0). Se cumple:

~=(3/4) Cüs ; .fs=l/Ts

p1(t) = f ó(t - kT,) k=-00

El bloque de expansión temporal realiza la siguiente operación: q(t) = y(t/2), y el bloque de escalado temporal realiza un escalado del eje de tiempos con un factor r .

El bloque F 1 es un filtro paso banda ideal cuya respuesta en frecuencia se muestra en la figura siguiente:

-b -a

Se pide:

• A ......... ·······················.-------.

a --. ú)

b

(a) Dibuje el espectro de la señal y(t). ¿Cuál es el valor mínimo de CUs para el que se puede recuperar x(t) a partir de y(t)? (b) Demuestre la siguiente igualdad: ó(t/2) = 25(t) (Utilice esta igualdad en el resto del ejercicio). (c) Con el bloque de expansión temporal, el filtro paso banda ideal , y el bloque de escalado temporal se pretende recuperar la señal modulada x(t)cos(~t). Determine lo siguiente para que pueda obtenerse dicho objetivo:

Dibuje el espectro de la señal q(t) (salida del bloque de expansión temporal) ¿Cuales deben ser los parámetros del filtro F 1: A, a, b? ¿Cuál debe ser el valor del parámetro de escalado temporal r?


SEPTIEMBRE 1999

3. Considere el esquema de la figura siguiente correspondiente al filtrado de señales de banda limitada en tiempo continuo, mediante procesado discreto de secuencias:

Ya(t) CID D/C

T T

donde el primer bloque conversor continuo-discreto (CID) muestrea de form a ideal la señal de entrada cada T segundos ob teniéndose x¿[n]=x

0(nT); el segundo bloque es un sistema discreto de respuesta al impulso h¿[n] ; y el tercer bloque es

un conversor de discreto a continuo (D/C) mediante una operación de interpolación, descrita por la siguiente expresión:

(1)

siendo h0 (t) la señal interpoladora.

a) Determine la transformada de Fourier Y0 (¡w) en función de la transformada de Fourier de la entrada X0 (jw) y las

respuestas frecuenciales de los distintos :; ist'!mas. Para ello. suponga que X0 (jw) es de banda limitada y que se

verifica el teorema de Nyquist de muestreo. b) Si consideramos la siguiente situación particular:

x0(t) = l, h.,.[n ] = o[n], h

0(r) = e-•tT u(t) (2)

determine la expresión analítica de Y0 (jw) a partir del resultado ubtenido en a) .

c) Detennine y0 (t) como la transformada inversa de Fourier de Y0 (jw) . Justifique que es periódica y calcule los

coeficientes de su Desarrollo en Serie de Fourier.

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FEBRERO 2005

4. Considera el sistema de la figura:

CID xa[n]

ha[n] v.lnl

DIC y(t) x(t)

T T

Dada la señal de entrada x(t) = x0 (t) + x0 (t)coswJ, cwnpliéndose que X 0 (jw) =O, V 1w1 > Wo /2.

a) Determine el máximo periodo de muestreo T = Tmax de modo que la secuencia de muestras de x(t),

xa[n] = x(nT), sea representativa de x(t), (es decir que x(t) se puede recuperar a partir de xa[n]).

b) Determine la respuesta al impulso ha [ n] del filtro de manera que y a [ n] = x0 ( nTmax) , (observe que x0 (t) es

una componente aditiva de x(t)) donde Tmax corresponde al valor de T determinado en el apartado a).

c) En las condiciones del apartado b ), diseñe el conversor "D/C" de manera que y(t) = x0 (t) , y exprese y(t) en

función de las muestras de x0 (t) .

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ti 1:

SEPTIEMBRE 2002

4. Sea el sistema en tiempo continuo de la figura:

Xc(t) ---·l.__ __ 1_. -12

_ _:_Y_c(t_) --IJlli.__l __ h_c(-t) _ _:-----IJlli Zc(f)

El primer bloque halla el cuadrado del módulo de la señal de entrada xc (t), que supondremos real y de banda

limitada (X(jw) =O \7' 1w1 > W 0 ) .

El sistema he (t) se define mediante la siguiente relación entrada- salida:

z (t) = dy/t) e dt

El sistema en tiempo discreto equivalente es:

Xd[n]

·I 1 . 12

1 ~n] .¡m hd[n] 1 •

Zd[n]

(d) ® Conteste a las siguientes cuestiones:

a) ¿Cuál debe ser la frecuencia de muestreo fs mínima para poder recuperar zc(t) a partir de la salida del

sistema equivalente en tiempo discreto, z d [ n] ?

b) ¿Cuál debe ser la respuesta en frecuencia HAe1w) del sistema discreto hAn] equivalente al sistema lineal

hc(f)?

c) Halle la respuesta impulsiva del sistema equivalente hd [ n] .

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SEPTIEMBRE 2003

4. Considere el sistema de la figura en el que el filtro paso bajo ideal (FPB) tiene una frecuencia de corte de

wc = 2Jr x 1000 y donde wm = 2Jr x 2000. El bloque CID es un conversor continuo-discreto que trabaja a la

frecuencia ws.

x(t) FPB rJJ e

cos( m,,,r)

La señal de entrada x(t) está limitada en banda. Es decir:

X(jw) :t:O, \w\ < 2Jrx8000

X(jw) =0, lwJ > 2Jrx8000

CID ro, y[11]

a) ¿Cuál es la mínima frecuencia de muestreo ws que debe tener el conversor de continuo a discreto para que no

haya solapamiento de x3 (t) .Razónelo empleando un esquema de los espectros de las señales x(t), x1 (t), x2 (t)

e x3(t).

b) Si x(t) = 2 cos(2Jr · 300t) + 4sen(2Jr · 3000t), ¿Cuál es la expresión de la salida y[n] para la W8

calculada

en el apartado anterior?.

e) Represente el espectro de la salida y[ n] en el intervalo [ -2Jr, 2Jr] para W8

= 2Jr x 4000 .


FEBRERO 2004

4. Considere el siguiente sistema de procesado de señales en tiempo continuo:

CD

x(t) 'º'~----~

·r.____ó(_t_-t_o) _ _:--'-~-... z(t)

y(t)

donde x(t) e y(t) son señales limitadas en banda, es decir, X(j úJ)=O V 1 mj>wx; Y(jaJ)=O V lm!>úly

Se desea diseñar un sistema discreto que simule el efecto del sistema continuo anterior sobre las señales. El diagrama de bloques de dicho sistema será el siguiente:

x(t) -- Filtro 1 DIC z(t)

y(t) -- CID

donde los conversores continuo-discreto y discreto-continuo son ideales.

Conteste a las siguientes cuestiones:

(a) ¿Cual es la mínima frecuencia de muestreo úJs que debe utilizar el sistema discreto?

· (b) Calcule la respuesta en frecuencia que debe- tener el Filtro 1 para que el sistema discreto y el continuo sean equivalen tes.

( c) Calcule la respuesta impulsiva del Filtro l. Particularícela cuando . el retardo to es un múltiplo entero del periodo de muestreo. Comente el resultado.

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Zii

_ SEPTIEMBRE 1-999

3. Sea x(r) una señal real de banda liriJtad? (XUw)=O V W>%). A partir de ella obtenemos otra señal y(I)

mediante la siguiente operación:

y(t)"" .LJ x(nT) sine - . -~ (r -nT) •·- T

donde Tes un parámetro arbitrario y la función 'sine' se define a continuación sinc(r) = sen(m) 7rt

a) Determine la expresión de la transformada de Fourier de y(t), esto es, YUw) en función de X(jw).

b) Si se verifica que T<7rl%, demuestre que y(r)=x(t) \:/t.

Nota: Puede utilizar los siguientes pares de transformadas para la resolución del ejercicio.

sen(Wt) TF H rr1 {

l, lwl< W

O, lwl>W L o(r-nT)

rr H rr1

2rr i o(w -k 2rr) T t~- T

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-FEBRERO 2000" . .

S. Considere un esquema de muestreo en el que la señal de muestreo p(t) es un tren de pulsos: 00

p(r) = L, r(t- nT) n=~

donde el pulso r(t) se representa en la figura siguiente: r(t)

-Á -A/2 o t.12 Á t

suponiendo que 8 -? {.5 ole ~ r , -e.A. pv,(.., 0 -i!/J -v. -h--e c. k o .

Si denominamos x(t) a la señal que se muestrea, supuesta de banda limitada, esto es X{jm)=O l~co,,,,,., y que se verifica la condición de muestreo de Nyquist, a) Calcule RUm), transformada de Fourier de r(.t).

b) Calcule la transformada de Fourier de la señal Xp(t}=x(t)p(t). c) Calcule la transformada de Fourier de la señal x,{t) definida como -

x¡(t) = L x(nT)r(t - nT) n=-oa

d) Explique detalladamente para los casos b), c), cómo seria la respuesta en frecuencia del filtro paso bajo que permitiría recuperar la señal x(t) a partir de x,l..t) y x,{t) respectivamente.

;1\'.,i""') >< lt) ~®· X..p (t)

p(-t)j= i r(-t.-nT) n-:--o<.l

sola_ ¡:x7VW\.\ €.-V\ +o .Q,Q pee kl e "o.. Lo.si(\j ")

-r(-t)= ¡-,lt.)+ íz(-l) ~ Q_(J,.,})= 12.,(jw)+ Q.z(jw) a..)

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jw/ >Wc

Xl (-t..) = L x{n T) . r (-t.) * ¿ (-l-r\ 1) = r (-t) * Z:- x ( n T) · ~ ( -t - n T) = t'\=--oo h=-o<::l

= r (-l) -rr n~ _ <>o X l -~) · ~ ( t - "T) =- 1 ( -l) * [ x t-l) . ~- "° S ( -l - n T)]

~ ~ 12(jw) J¿~~(jw) * Zlí 2_ ~ (w- k:ws)l = ~ ~ I ~=-o<} j

-W> °};. tH(j-.J) '

_ __,_,~_12i_1""l--1-[_:1---1_'jl -Wc. Wc.

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\_____.,.·

FEBRERO 2001

4. Se sabe que la transformada de F onrier X (j (J)) de una señal arbitraria x(t) cumple que X (j(J)) = O para

1 úJ J > (J)M . Considérese el siguiente sistema:

Siendo

x(t) H(jw) = sig(w)i---~

CD

cA

p(t) = 2_ ~ (t.-nT) "=-oQ

co

p(t)= L 8(t-nT) y sig((J)) la función signo, definida como: n=-oo

{

1 (J)>Ü

sig(m) = O (J) =O

-1 (J)<Ü -=-__-_-----'.-1 ~t-~ (-jw-)---4) v0

"--- >:: a) Obtenga razonadamente el máximo valor de T que permite recuperar la señal x(t) a partir de xP (t).

' ·.,:;._.;;;.

b) Diseñe razonadamente el sistema que permitiría obtener la señal x(t) a partir de xP(t) .

c) Considere el esquema de la FIGURA 2: 1

x(t) xit) ..

p(t)

Justifique que en este caso se puede muestrear la señal xh (t) a una frecuencia de 4(J)M , que es inferior a la

frecuencia de Nyquist de xh (t), y no obstante es posible recuperar la señal x(t) a partir de xP (t) .

°') '.l(jw J

ri;, ,w - l.VM vJ rt\

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Xp(jw)= T ll:: -oO

Xs(j(w-4) T

Ws- 2WM

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H(jw) A

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FEBRERO 2003

4. Sea el esquema de la figura

x(t)

~ . . . ' donde la señal de entrada x(t) es de banda limitada(~ ,es .la :frecuencia máxima) y la seña] p(t) es periódica de la forma que representamos a continuación: ".

t t .---~pr, t t ?(~)"J., c(-l-nÚ) -3T -2T -T O T 2T 3T 4T t MUE:Sll2EO NATUQi~L · _____________.

r (t)-'>1 peuo:lo da. b :;,e,c"".\.cil

a) Calcule Jos coeficientes del Desarrollo en Serie de Fourier de la señal p(t), demostrando que dichos coeficientes constituyen a su vez una secuencia periódica. Calcule su periodo.

b) Calcule la expresión del espectro de Xp(j(.I)). Represente de manera aproximada su módulo asumiendo una forma arbitraria para la representación del módulo de X (j(j)). Calcule el máximo valor del parámetro T que permite la recuperación de x(t) a partir de .xp(t)

c) Suponiendo que h(t) es la respuesta al impulso del sistema LTI definido por la expresión h(t) = u(t+1) - u(t-1), y que la señal q(t) = exp(j47Ii/(3'J)), diseñe el filtro reconstructor paso bajo que permite recuperar x(t) a partir de y(t).

Zrr z. iT 1 wo=

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11 • W(j~) * a(yw) =

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Y(j~} = X(jv0)

o 1 ~+o

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SEPTIEMBRE 2004

L¡. ...,o .o O'~" o..

x(t)

Considere el sistema de la figura: y

·..¡p'

cos( root)

p¡(t)

Expansión temporal

Escalado temporal de factor r

z(t)

donde: x(t) es una señal paso bajo de banda iimitada (X(jm)=O cuando lm! > OJ,n>O). Se cumple:

ü-0=(3/4) OJs ; fs=l!Ts "'

p1(t)= 2.::ó(t-kT,) fnL\ES1/2Eo i"DCAL· k=-<0 .

El bloque de expansión temporal realiza la siguiente operación: q(t) = y(t/2), y el bloque de escalado temporal realiza un escalado del eje de tiempos con un factor T. 1

El bloque F 1 es un filtro paso banda ideal cuya respuesta en frecuencia se muestra en la figura siguiente: ·

Se pide:

..

• • A ..--------.,-·- .... · .. -· -·--··--·..-----.

-b -a a ->-ro

b

(a)' Dibuje el espectro de la señal y(t) .. ¿Cuál es el valor mínimo de OJs para el que se puede recuperar x(t) a partir de y(t)? (b) Demuestre la siguiente igualdad: ó(t/2)= 25(t) (Utilice esta igualdad en el resto del ejercicio). (c) Con el bloque de expansión temporal, el filtro paso banda ideal, y el bloque de escalado temporal se pretende recuperar la señal modulada x(t)cos(Q-Ot). Determine 1o siguiente para que pueda obtenerse dicho objetivo:

Dibuje el espectro de la señal q(t) (salida del bloque de expansión temporal) ¿Cuales deben ser los parámetros del filtro F 1: A, a, b? ¿Cuál debe ser el valor del parámetro de escalado temporal r?

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SEPTIEMBRE 2007

jercicio 3 . V r~~ E - r Qc¿e¡ ¡¿/\ de_ \..LOV . _ ha..v:.a.._ 0-D_,, n 1 ,,_ .

Co_nsidere un sistema de tiempo discreto lineal, invariante y causal descrito por los polos _

- ( z pl = 2, z P 2 = j2, z P3 = - j2) , los ceros ( z cI = j / 2, z c2 = - j I 2) y la unidad como constante multiplicativa de

la función de transferencia:

a) Calcule la función de transferencia del sistema. b) ¿Es estable el filtro) ¿Y su inverso? Razone la respuesta. c) Calcule la respuesta al impulso del sistema. ----'!> c..c..vs ~ L __,,. h 2. [ n J

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Ejercicio 1

Sea una señal x[n] arbitraria que se expresa como una combinación lineal de otra función g [ n] y de sus \____., -

versiones desplazadas:

-i-:-·.

<X)

x[n]= L c1:g[n-k] l:=-<e

donde c1: son los coeficientes. Dicha señal atraviesa un sistema lmeal e invariante en el tiempo cuya respuesta

al impulso es

- {1 n~O h[n]= -1 n>O

obteniéndose una señal a su salida denotada como y[ n].

a) Suponiendo que g [ n] = an u [ n], O < a < 1, calcule la secuencia que representa a los coeficientes

e [ n] =en en función de x[ n], asumiendo ésta conocida. Resuélvalo en el dominio de la frecuencia.

b) Calcule la respuest~ del sistema, que denominaremos d [ n], a la señal g [ n] = an u [ n], O < a < 1,

operando exclusivamente en el dominio del tiempo. Halle la respuesta y[n] a la entrada x[ n] en

función de c[n] y d[n], supuestas conocidas.

c) Suponiendo que g [ n] = ¿mon siendo % un parámetro real arbitrario, calcule la expresión de la salida

y [ n] expresada en función de C( e101) y H( e101

) , asumiendo que son conocidas. 'vi L"]

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JUNIO 2004

3. Sea el siguiente sistema en tiempo discreto:

si[nJ q[nJ

~ t r[n]

Donde el asterisco (*) representa la operación de COJtVOlución. Dadas las señales:

(a)

(b)

(e)

Obtenga Q(ei•) y represéntela gráficamente.

Calcule y[n] si x[n] = l + cos(: n) +sen(; n J-

Calcule J{n) si x[n) sen~ n) ro{: n).

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FEBRERO 2007

4. Considere el diagrama de la figura, donde x0 (t) = 1+cos(8n·103

• t + 7E' / 4), el periodo de muestreo

~ T = 10-4 seg. (0.1 milisegundos). El filtro estable de respuesta al impulso h[ n], está caracterizado por la siguiente

relación:

y[ n] =.!_y[ n-l]+x[ n] 2

El conversor D/C está caracterizado por la siguiente relación: "'

yaCt)= LY[n]·exp(-jt-nTjlT) n=-ct)

Xn (t) x[n ]=x0 (n1) V ínl __... ... Conversor ... h[n] ..... Conversor CID D/C

Se pide:

Ya(t) - ...

a) Calcule la transformación de Fourier de las señales x0 (t) y x [ n] y represente sus módulos. Razone si x

0 (t) es

recuperable a partir de x ( n], y cómo lo podría realizar.

b) Determine la transformada de Fourier de la secuencia y [ n] .

c) Calcule la transformada de Fourier de la señal de salida y0(t).

d) Razone si x0(t) es recuperable a partir de y

0(t), y dibuje el diagrama de bloques del sistema que realiza dicha

operación.


FEBRERO 2007

4. Considere el diagrama de la figura, donde x0(t) = 1+cos(87r·103 ·t +7r / 4), el periodo de muestreo

T = l 0-4 seg. (0.1 milisegundos). El filtro estable de respuesta al impulso h [ n], está caracterizado por la siguiente 1

relación:

y[ n] =.!_y[ n-I]+x[ n] 2

El conversor D/C está caracterizado por la siguiente relación: co

y0 (t) = L Y[n]·exp(- lt-nTl!T) n=-«>

x,l t) x[n ]=x,,(n1) V ínl _.. Conversor ....... h[n] _.. Conversor .. ... ..

CID D/C

Se pide:

Ya(t) _.. ...

a) Calcule la transformación de Fourier de las señales x0(t) y x[ n] y represente sus módulos. Razone si x

0(t) es

recuperable a partir de x [ n], y cómo lo podría realizar.

b) Determine la transformada de F ourier de la secuencia y [ n] . c) Calcule la transformada de Fourier de la señal de salida y

0(t).

d) Razone si x0(t) es recuperable a partir de y

0(t), y dibuje el diagrama de bloques del sistema que realiza dicha

operación. C/D ·. _ . . "DIC~ ·

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FEBRERO 2008

Ejercicio 4

Considere el sistema de la figura:

x(t)

p(t)

Xp(t) ..-------. Yp(t) Retardo

(1-0) Filtro

reconstructor

Donde: x(t) es una señal de banda limitada (X(jm) =O, Vlml > mmax)

p(t) es un tren de pulsos con forma pP(t)

"" p(t)= 2: pp(t-nT)

n=-<XJ

pp(t) = (1+ cos( 4;. t) }(u(t+T 14)-u(t-T / 4))

El bloque Retardo retarda la señal de entrada t0 unidades temporales.

Se pide:

y (t)

a) Calcule el espectro de xP(t) e y/t). Diga cuál debe ser el filtro reconstructor para que

y(t) = x(t-t0 ). Suponga que se cumple el criterio de muestreo de Nyquist (27l' /T > 20JmlllJ.

b) Suponga ahora que quiere retardar la señal x(t) utilizando un sistema discreto (conversor CID ideal,

filtro discreto, conversor D/C ideal) equivalente al de la figura ( y(t) = x(t - t0 ) ). Asumiendo que se

muestrea x(t) cumpliendo el criterio de Nyquist, ¿cuál debe ser la respuesta en :frecuencia del filtro

discreto en este caso?.

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SEPTIEMBRE 2007

Ejercicio 4

Sea el esquema de la figura donde xª (t) e Ya (t) son señales estrictamente de banda limitada, es decir,

Xª(jOJ) =O, VIOJI > OJmax' ~(jOJ) =O, VIOJI > 20Jmax siendo OJmax un parámetro arbitrario real positivo que

representa su pulsación máxima.

Los bloques CID y D/C representan los procesos ideales de conversión Continuo/Discreto y Discreto/Continuo \,____., respectivamente, el operador convolución se representa por el símbolo"*" y T8 , OJ8 son el período y la

pulsación de muestreo. Considere igualmente que se propone el siguiente esquema donde las entradas xª(t) e Ya(t) ya han sido descritas y J;(), T2 () representan unas transformaciones arbitrarias a calcular.

a) Suponiendo que OJ8 = 2mmax, calcule analíticamente y represente de forma esquemática Zª(jm) en

función de Xª(jOJ) e ~(jm).

b) Determine las transformaciones I; (), 'I'z () calculando vª (t) en función de su entrada xª (t) e

igualmente w0

(t) en función de su entrada Ya(t) de manera que se verifique que m0

(t) = zª(t) para el

caso descrito en a).

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SEPTIEMBRE 2008

4) Sea una señal xc (t) de banda limitada (Xc (jm) =O para !mi=~ OJM). Se desea realizar en tiempo

\......;- discreto un sistema que ejecute la siguiente operación en tiempo continuo: Ye (t) = xc (t) *he (t). Indique razonadamente qué condición debe cumplir la frecuencia de muestreo y cómo debe ser la respuesta en

frecuencia del sistema discreto, H d ( ei0

), en los dos casos siguientes:

a) h,(t) = (sen((:~ l 4)t) J

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SEPT.o"Z.EJ4

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FEBRERO 2011

4. Considere una señal en tiempo continuo xc(t) cuyo espectro cumple Xc(Jm) =O

para Jcvl > cvM . Definamos la siguiente secuencia:

Se pide:

para n 1núltiplo de 3

para ei resto

(a) Detem1ine el espectro de la secuencia xd[n], denotado por Xr1(e1º), en

función de Xc(Jm) (espectro de xc<t)) y del periodo de muestreo T

(b) Calcule el periodo de muestreo T para que la señal xc(t) pueda ser

recuperada a partir de la secuencia xd[n]. Obtenga la expresión de xc:(t) en

función de xAn] y T

{e) Suponiendo que xc (t) = 1+cosÜ03t+Jr14) + cos(brI 03 t), determine el

má'\.imo período de muestreo T y la señal x,(t) a partir de las expresiones

obtenidas en el apartado (b)


ssit...a) la convolución lineal de las dos secuencias. b) la convolución circular o cíclica de...

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