1.-fundamentos de elasticidad

13/04/23 03:15

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE CIENCIAS

F Í S I C A 2ELASTICIDADAutor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora

Trujillo-2011

La elasticidad es el estudio del grado de deformaciones (transito-rias o permanentes) que sufren los cuerpos cuando son someti-dos a fuerzas externas.

ELASTICIDAD

13/04/23 2Segundo L. Gallardo Zamora

Estas deformaciones se deben a la variación de las posición relativa de las moléculas o enlace interatómico de los átomos de un cuerpo bajo la acción de una fuerza mecánica neta externa del tipo tracción, compresión o torsión.

En la Fig.1 se muestra un modelo simplifica-do de estas deforma-ciones, considerando a los enlaces como resortes que unen átomos y moléculas

F

-F

Deformación por

compresión

-F F

Deformación por tracción

Figura 1

Deformación por torsión

En las Fig.2, Fig. 3 y Fig.4, se muestran algunos tipos de deforma-ciones que realizamos o vemos en la vida práctica

ELASTICIDAD


Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elástico o que tuvo una deformación transitoria.

Figura 2. Deformación por Estiramiento

Figura 3. Deformación por aplastamiento

Figura 4. Deformación por torsión

En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plástico o que tuvo una deformación permanente

ELASTICIDAD


Los cuerpos de comportamiento plástico pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre estos, tal como se muestra en la Fig.5

Figura 4. Deformación Permanente y rotura

Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo: ). Es la relación entre la fuerza deformadora y el área de la superficie sobre la cual actúa.

ELASTICIDAD


Unidades: N/m2, din/cm2 , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie2

Deformación (Tensor de Deformación o deformación unitaria).

La deformación es un número sin unidades

Esfuerzo =Fuerza

Área

Deformación = =Variación de la dimensión

Dimensión inicial

= F

A(1)

Es la medida del grado de deformación que sufre una determina-da dimensión del cuerpo cuando es sometida a un esfuerzo.

Según la dimensión que se tome en cuenta la deformación puede ser varios tipos

I. Deformación longitudinal. Es la deformación que sufre la di-mensión paralela a la dirección de la fuerza deformadora.

ELASTICIDAD


Deformación longitudinal =Variación de la longitud

Longitud inicial

Ejemplo 1. Un cable deformado por estiramiento como el mostrado en la Fig.6 y Fig.7

Do

Lo

DL

F

F

Figura 7. Vista ampliada del estiramiento del cable

Cable estirado por tensión

Figura 6

F = Tensión = T

F = m g

L = =L – L0

L0

L

L0

(2)

ELASTICIDAD


En todos los cuerpos, la deformación en una determinada dimensión implica también deformaciones en las dimensiones transversales a la dirección de la fuerza, como se ilustra en la Fig.7 para una barra cilíndrica.

Deformación transversal =Variación de la dimensión transversal

Dimensión transversal inicial

II. Deformación transversal. Es la deformación que sufre la di-mensión transversal (perpendicular) a la dirección de la fuerza deformadora.

T = =D – D0

D0

D

D0

(3)

Por ejemplo, en una varilla cilíndrica la deformación transversal está definida por el diámetro. Por lo tanto:

Razón de Poisson.

Es la relación entre la deformación transversal y la deformación longitudinal.

ELASTICIDAD


Razón de Poisson = Deformación transversal

Deformación longitudinal

= - = -D / D0

L / L0

D Lo

L D0

(4)

Para una barra cilíndrica de diámetro inicial Do y longitud inicial Lo, como el de la Fig.7, la razón de Poisson es:

La razón de Poisson es un número sin unidades y el signo negativo permite cancelar el signo negativo que puede surgir en la deformación lineal o en la deformación transversal. Su valor está entre 0.0 y 0.5.

Pregunta. ¿Cómo definiría: a) la deforma-ción longitudinal, b) la deformación trans-versal y c) la razón de Poisson de la barra rectangular de la Fig.8, sometida a la fuer-za deformadora F paralela a la arista b. Figura 8.

aobo

co

- F F

III. Deformación por torsión (corte o cizalladura). Es la deforma-ción o desplazamiento que sufren los planos o capas de un cuer-po por efecto de una fuerza tangencial que produce un torque.

ELASTICIDAD


Ejemplo 3. La deformación por torsión que sufre el alambre atado a un disco, como el de la Fig.9 se mide mediante el pequeño ángulo que gira el disco

por acción del torque .

Figura 4

IV. Deformación volumétrica. Es la deformación de volumen de un cuerpo como consecuencia de la variación de la presión externa que actúa sobre el cuerpo.

c = Tan (5)

Deformación por Corte Cizalladura o Torsión

Tangente del ángulo de la deformación por torsión=

Figura 9.

F

Alambre

ELASTICIDAD


Módulo de Elasticidad.

El módulo de elasticidad se define como la razón entre el esfuerzo y la deformación correspondiente.

Figura 9. Submarino sujeto a deformación volumétrica por la presión del agua

Agua

F = P A

Módulo de Elasticidad = = Esfuerzo

Deformación

(7)

Deformación Volumétrica =Variación del volumen

Volumen inicial

V = =V – V0

V0

V

V0

(6)

ELASTICIDAD


El módulo de elasticidad es una constante característica del material del cual esta hecho un cuerpo. Esta constante es igual a la pendiente del gráfico del esfuerzo vs la deformación, como se muestra en la Fig.10

Límite elástico

Límite de ruptura

Esf

uer

zo

Deformación

Comporta

mie

nto

elást

ico

Figura 10

Tipos de módulos.

Módulo de Young.

Este módulo mide la resistencia de un sólido a un cambio de longitud, como el de la varilla mostrada en la Fig. 11.

La relación lineal entre y se denomina la Ley de Hooke y es válida dentro del límite de elasticidad

EsfuerzoDeformación

= constante

Esfuerzo = (const) Deformación

ELASTICIDAD


Unidades:

N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2

Módulo de Young = Esfuerzo longitudinal

Deformación longitudinal

F/A

L/Lo

E =D

Do

A

LLo

F

F

Figura 11

L

E = (8)

Módulo de Torsión (Corte,Rigidez o Cizalladura)

Este módulo mide la resistencia que presentan los planos (o capas) de un sólido a ser desplazados unos con respecto a otros por acción de una fuerza tangencial que actúa sobre la superficie del cuerpo.

ELASTICIDAD

13/04/23 Segundo L. Gallardo Zamora

Ejemplo 4.

Si mediante la fuerza F, que actúa tangencialmente a la superficie de área A, deformamos el bloque de la Fig.12, se tiene que: h

A F

x

-F

Figura 12

Esfuerzo por corte =

F

A

Módulo de Torsión

Esfuerzo por torsión Deformación por

torsión

= G =

y la deformación por corte es:

c = Tan = x / h

c = rad.Entonces:

Si el ángulo de deformación es pequeño: Tan rad.

ELASTICIDAD


Por lo tanto, el módulo de corte se define como:

Módulo Volumétrico.

Mide la resistencia que presentan los sólidos o líquidos a cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de presión.

G =

F / A

(9)

F

FF

F

F

A

Figura 13

vo

v

Módulo Volumétrico

Esfuerzo volumétrico

Deformación Volumétrica= B =

Ejemplo 5. En la Fig.13 tenemos un parale-lepípedo sujeto a la acción del esfuerzo volumétrico definido por:

Esfuerzo volumétrico

Variación de presión

=

ELASTICIDAD


Módulo Volumétrico = B = -

P

V / Vo

Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-) en la expresión anterior para cancelar el signo (-) que puede surgir en P o en V.

B = - Vo ( ) P

V (10)

Que produce la:

Deformación Volumétrica = V

Vo

F

A P =

Entonces:

Por lo tanto:

Las unidades del módulo volumétrico son iguales a las del módulo de Young.

N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2

ELASTICIDAD


La unidades del módulo de compresibilidad son el inverso de la unidades del módulo volumétrico

Los valores de los módulos de elasticidad y la razón de Poisson, para diversos materiales, se dan en los textos de Física, tal como se muestran en la Tabla 1.

m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbf

K = = - ( ) V

P

1

B

1

Vo (11)

Módulo de Compresibilidad.

Este módulo se define como el inverso del módulo volumétrico

TABLA 1. Módulos de Elasticidad de algunos materiales

MaterialMódulo de Young [N/m2]

Módulo de Corte [N/m2]

Módulo Volu-métrico [N/m2]

Razón de Poisson

Aluminio

Bronce

Cobre

Acero

Oro

Plata

Estaño

Cuarzo

Vidrio

Agua

Mercurio

7,0 x 1010

9,1 x 1010

11 x 1010

20 x 1010

8,0 x 1010

7,8 x 1010

4,5 x 1010

5,6 x 1010

6,5 – 7,8 x 1010

- - - - - -

2,5 x 1010

3,5 x 1010

4,2 x 1010

8,4 x 1010

2,8 x 1010

2,8 x 1010

1,67 x 1010

2,6 x 1010

2,6 – 3,2 x 1010

- - - - - -

7,0 x 1010

6,1 x 1010

14 x 1010

16 x 1010

16,6 x 1010

10,9 x 1010

5,1 x 1010

2,7 x 1010

5,0 – 5,6 x 1010

0,21 x 1010

2,8 x 1010

0,34

- - - - - - - - - - - -

- - - - - -

- - - - - -

0,18

0,34

0,33

0,42

0,37

0,31

0,37

0,24


ELASTICIDAD

Relaciones entre módulos de elasticidad.

ELASTICIDAD


Usando la Tabla 1, se puede verificar que en cuerpos Isotrópi-cos (de igual propiedad en todas direcciones) y Homogéneos (igual densidad) los tres módulos de elasticidad se relacionan mediante la expresión:

E = 3 B ( 1 – 2 ) = 2 G ( 1 + ) (12)

Ejemplo 1Un alambre de 100 [cm] de longitud y 0,64 [cm] de radio es sujetado en su extremo superior y tiene una carga de 1,2 [kgf] en su extremo inferior. Si el módulo de Young es 9,0x1011 [din/cm2] y la razón de Poisson es 0,30, calcular: a) la deformación por extensión, b) la disminución en el radio y c) la disminución en el área de la sección transversal del alambre.

Datos: L = 100 [cm] = 1,00 [m]; ro = 0,64 [cm] = 0,0064 [m]; F = 1,2 [kgf] = 11,772 [N]; E = 9,0x1011 [din/cm2] = 9,0x1010 [N/m2] y = 0,30

Solución

ELASTICIDAD

01/05/2009 20:13 19Segundo L. Gallardo Zamora


a) La deformación por extensión L = L/Lo , se puede obtener del módulo de Young es: E = (F/A)/(L/Lo)

de donde L = (L/Lo) = F/AE

y como el área de la sección transversal es: A = (0,0064)2 = ……... m2

Entonces: L = (11,772/[( ………….. )(9,0x1010 )] L = ………b) La disminución en el radio se obtiene de = – (D/Do)/(L/Lo),

de donde: D = – Do(L/Lo) = – Do L

y como D = 2 r, se demuestra que: D = 2r = – 2 ro L

Entonces r = – ro L = ………… [m] c) La disminución en la sección transversal del áre es:

A = (r2 – r2

o) = [(ro + r )2 – r2o] ≈ 2 ro r

Se obtiene esta expresión porque al calcular A, no se ha consi-derado potencias de segundo o mayor orden en ( r), por ser una cantidad muy pequeña.

Por lo tanto, usando valores se tiene: A ≈ . . . . . . . . m2

ELASTICIDAD



Un martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20 [m/s] en un clavo de acero de 2,5 [mm] de diámetro. Rebota con una rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. ¿Cuál es la deformación longitudinal promedio del clavo durante cada impacto?

Ejemplo 2

Datos: m = 0,300 [kg]; V1 = 20 [m/s]; Do= 2,5 [mm] = 2,5 x10-3 [m]; V2 = 10 [m/s]; t = 0,11[s].Solución.La deformación es por compresión es L = L/Lo , y como el módulo de Young es: E = (F/A)/(L/Lo)

Entonces : (L/Lo) = L = F/AE.

Para calcular la fuerza usamos la relación entre impulso y mo-mento lineal: Ft = m v. F = m v/t.

ELASTICIDAD



Ejemplo 3

Dos placas metálicas se mantienen juntas por medio de cuatro remaches de diámetro 0,50 [cm], como se muestra en la Fig.15. Si el esfuerzo máximo de corte que puede soportar cada remache es de 3,0x108 [N/m2]. ¿Cuánta fuerza paralela a las placas es necesaria aplicar para desprender los remaches?

Datos: D = 0,50 [cm] = 0,0050 [m]; c = 3,0x108 [N/m2]

Donde el cambio de velocidad se obtiene usando la Fig.14.

v = v2 – v1 = (10j-(-20j)) = 30 j = 30 m/s Entonces: F = 0,300(30)/0,11= …………

Finalmente: (L/Lo) = ………….

v1 v2

Figura 14

Solución

ELASTICIDAD



El esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es: c = FT /A

y para “n” remaches es:

F = n A , con A = D2/4

Ejemplo 4Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la presión atmosférica normal. (1,013x105 [Pa]). Calcular el cambio de radio “a” de la esfera si: a) es llevada a la luna (presión esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fondo del océano, donde la presión es de 8,0x107 [Pa].

Usando valores: F = …………..[N]

F

-F

remaches

Figura 15

De donde la fuerza tangencial o paralela que se aplica a las placas para desprender un remaches es:

FT = A

Datos: ro = 10,0 [cm] = 0,100 [m]; Po = 1,013x105 [Pa] = 1,013x105 [N/m2] = 1 atm; P1 ≈ 0, P2 = 8,0 x107 [Pa] y Bvidrio = 5,6x1010 [N/m2]

ELASTICIDAD



Solución

a) El cambio en el radio se obtiene del módulo volumétrico: B = – Vo P/V.

de donde: V = – Vo P/B.

Pero: V = (4/3)(r3 – r3o) ≈ 4 r2

o rpor lo tanto: V = 4 ro

2 r = – (4/3)ro

3 (Po – P)/Bque simplificando se tiene: r = – (ro/3)(Po – P)/B

b) En esta pregunta se usa la misma fórmula anterior.

“El uso de valores numéricos y operaciones matemáticas queda como ejercicio para el alumno”

ELASTICIDAD



Trabajo de grupo en aula N° 01

2. Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un cable cuya diáme-tro es 2,54 cm. ¿Cuál es el esfuerzo en el cable?

3. Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105 kgf/m2 producido por un peso de 4,80 kgf. ¿Cuál es el diámetro del alambre?

1. Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta alcanzar una longitud de 35.07 cm. ¿Cuál es la deformación lineal del alambre?

4. Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m de longitud soporta una carga que la comprime longitudinalmente en 6,25 mm. ¿Cuál es la magnitud de la carga?

5. Un semáforo de 50 kgf es sostenido mediante dos cables iguales de acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables forman un ángulo de 14° con la horizontal, ¿cuál es la deformación longitudinal y la deformación transversal del alambre?

6. Un cubo de latón de 6 cm de lado es sometido a una fuerza uniforme de 2,5x102 N en cada una de sus caras. Calcular la deformación volumétrica del cubo. FIN

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