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FACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA Y METALURGICAFACULTAD DE INGENIERIA GEOLÓGICA, MINERA Y METALURGICA

Área de Ciencias Básicas (Física)Área de Ciencias Básicas (Física) 

FISICA II - ELASTICIDAD

Msc. Ing. EFRAIN CASTILLO ALEJOSLima – Perú2015

Elasticidad Objetivos•Comprender y entender que la materia no es totalmente rígida.•Diferenciar entre deformaciones elásticas y térmicas.•Diferenciar las tres deformaciones mecánicas que experimentan los sólidos•Distinguir entre comportamiento elástico, comportamiento plástico y ruptura cuando los sólidos los experimentan.•Entender que el movimiento vibratorio de la materia es producido principalmente debido a la elasticidad de la misma.

En ingeniería .el término elasticidad se define como la propiedad de la materia de sufrir deformaciones reversibles cuando se encuentra sujeto a la acción de fuerzas externas y de recuperar la forma y dimensiones originales si estas fuerzas exteriores se eliminan.

Cuando sobre un solidó deformable actúan fuerzas exteriores y este deforma realiza un trabajo que se almacena en el cuerpo en forma de energía potencial elástica. Si la deformación es reversible decimos que el cuerpo tiene comportamiento elástico .En cambio si la deformación es irreversible decimos que el comportamiento es plástico. Si las fuerzas aplicadas son muy grandes el cuerpo puede sufrir fractura.

Es necesario tener presente los siguientes conceptos:

Esfuerzo (). Es una cantidad proporcional a la fuerza externa por unidad de área de la sección transversal que actúa sobre el objeto, el esfuerzo es

A

F

(1)

(1)

Unidades aPm

N 2

Esfuerzo Normal (n) Este tipo de esfuerzo puede ser de tensión o de compresión. La figura 1 muestra una barra sólida de longitud L0, sección transversal A sometido a la acción de fuerzas de tensión que le produce un esfuerzo normal de tensión.

Fig. 1

La figura 2 muestra dos pedazos de la barra después de haber hecho un corte imaginario.

Fig. 2

La fuerza se reparte en todos los puntos de la sección transversal A. Por lo tanto en cada punto de la sección transversal existe una fuerza por unidad de área a la cual se le denomina esfuerzo normal de tensión porque FA

El resultado es un cambio o estiramiento en la longitud del mismo denominado L

L = L - L0 (2)

Si L > 0, la longitud final es mayor que la longitud inicial y es producida por fuerzas de tensión.Si L < 0, la longitud final es menor que la longitud inicial y es producida por fuerzas de compresión.

Deformación Unitaria Es el cociente entre la deformación L y la longitud inicial del cuerpo L0.

0L

L

El esfuerzo es una magnitud de carácter tensorial (matriz 3x3) pero en una dimensión es como un escalar.

(3) Sin unidades

Coeficiente de Poisson ()Si un solidó se somete a un esfuerzo de tensión, su longitud aumenta y su sección transversal disminuye. En el caso de un esfuerzo de compresión su longitud disminuye y su sección transversal aumenta, cumpliéndose

0L

L

R

R

es el coeficiente de Poisson que es una cantidad adimensional, que depende del material, se utiliza para hallar cambio de volumen ,debido al estiramiento o disminución de la longitud.

R/R disminución característica de la sección trasversal por ejemplo el caso de una sección circular.

El signo – en la ecuación (4) significa que cuando L aumenta la sección transversal disminuye. En los metales esta entre 0.25 y 0.45.

(4)

0

,L

L

A

Fn

2mN

Relación entre esfuerzo normal n y deformación unitaria

n = Y (5)

es una constante de proporcionalidad entre el esfuerzo normal y la deformación unitaria .A esta relación lineal se le llama Ley de Hooke, donde:

Y es el modulo de Young que mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud ya sea por fuerza de tensión o fuerza de compresión, su unidad es la misma que la de esfuerzo

Relación entre Modulo de Young y Coeficiente de Poisson

)21(0

A

F

V

V

La siguiente figura muestra el grafico experimental de esfuerzo vs deformación unitaria ( vs ) para un sólido elástico. El Modulo de Young es la pendiente del segmento OA.

(6)

Punto A: Limite de Linealidad (desde 0 – A) Hooke

Punto B: Limite de Elasticidad (desde 0 – B)Zona elástica

Punto C: Punto de ruptura.

Fig. 3Limite de Proporcionalidad es el máximo valor de esfuerzo que el sólido puede soportar para que el esfuerzo aplicado y la deformación producida sean proporcionales.

Limite de Elasticidad es el máximo esfuerzo que el sólido puede soportar comportándose como elástico. Partir de dicho valor las deformaciones son permanentes y el cuerpo tiene comportamiento plástico.

Esfuerzo de Ruptura es el mínimo esfuerzo capaz de producir la ruptura del cuerpo

En la figura 4, se ilustra el comportamiento típico de esfuerzo - deformación unitaria de un material como el caucho. El esfuerzo no es proporcional a la deformación unitaria (curva de color rojo), sin embargo, la sustancia es elástica en el sentido que si se suprime la fuerza sobre el material, el caucho recupera su longitud inicial. Al disminuir el esfuerzo la curva de retorno (en color azul) no es recorrida en sentido contrario.

La falta de coincidencia de las curvas de aumento y disminución del esfuerzo se denomina histéresis elástica. Puede apreciarse que el área encerrada por ambas curvas es proporcional a la energía disipada en el interior del material elástico. La gran histéresis elástica de algunas gomas las hace especialmente apropiadas para absorber las vibraciones.

Energía Potencial elástica que almacena un cuerpo sometido a deformación

En un resorte estirado una distancia x su energía potencial elástica es

2

2

1KxU (7)

0L

L

A

F L

L

AF

0

0LA

2

021

LLA

U

LL

LA

02

1

LFU 2

1

Donde F = Kx obedece a la Ley de de HookeSi un abarra esta estirada en L, la fuerza F que lo estira viene dada por:

de donde

Siendo la constante elastica K en terminos de modulo de Young

=

Entonces en Joules (9)

La energía elastica que almacena la barra es

(8)

También se puede considerar esfuerzos para punto situados en secciones no transversales como se muestra en la figura 5.

Fig. 5

En este caso existen dos clases de esfuerzo Esfuerzo normal

´A

Fnn (10)

Esfuerzo Tangencial´A

Ftt (11)

Donde Fn y Ft son

Fn= F cos (12)

Ft = F sen (13) Fig. 6

AA

A cos

´ (14)

Esfuerzo tangencial o de corte t. Es la deformación que se produce en un cuerpo al aplicarle una fuerza tangencial F que actúa en su cara superior como lo representa la figura mientras que su cara inferior se mantiene fija, sin variar su volumen.

AF

t

Sentagh

X

Esta fuerza tangente F a la superficie de área A la origina un desplazamiento x y el ángulo este esfuerzo de corte es

Y la deformación de corte o de forma viene dado por X/h. El ángulo es pequeño para metales y concretos de tal forma que

(16)

(15)

Fig. 7

X: es el desplazamiento de una cara en relación a la cara fija.h: separación entre las caras superior e inferior.Relación entre esfuerzo tangencial y deformación tangencial.

t(17)

Tabla I: Módulos de Elasticidad de algunos materiales

Material

Aluminio 7,9 2,4 7,0

Latón 9,0 3,5 6,1

Cobre 11,0 4,0 12,0

Acero 20,0 7,5 16,0

Hierro 21,0 7,7 16,0

Níquel 21,0 7,8 17,0

Plomo 1,6 0,6 4,1

Vidrio 6,0 2,5 5,0

)10( 210 mNx)10( 210 mNx)10( 210 mNxY

Material De tensión (x108Pa) De compresión (x108Pa) De corte(x108Pa)

Aluminio 2,0 2,0 2,0

Latón 2,5 2,5 3,0

Acero 5,0 5,0 2,5

Tabla II: Esfuerzos de Ruptura

Esfuerzo volumétrico o variación de presión

Supongamos que las fuerzas externas que actúan sobre un objeto forman ángulos rectos en todas sus caras y que se distribuye uniformemente sobre todas ellas dichas fuerzas distribuidas de manera uniforme ocurre cunado un objeto esta inmerso en un fluido. Un objeto sometido este tipo de deformación experimenta un cambio en su volumen pero no en su forma. El esfuerzo volumétrico se define como la proporción entre la magnitud de la fuerza normal F y el área A. La cantidad P = F/A recibe el nombre de presión. Si la presión sobre un objeto cambia por un cantidad P = F/A entonces el objeto experimenta un cambio V en su volumen. La deformación volumétrica es igual al cambio en el volumen V dividido entre el volumen inicial V

vv

0V

VP

0/VV

p

Relación entre esfuerzo volumétrico y deformación volumétrica

(18)

(19)

Modulo volumétrico (20)

El signo – se inserta en esta ecuación que sea un numero positivo, debido a que un aumento de presión P produce una disminución en su volumen 0V

, siendo el modulo volumétrico del material que mide la resistencia de sólidos y líquidos que presenta cambios en su volumen y su unidad es N/m2

Fig. 8

Relación entre el Modulo Volumétrico y Coeficiente de Poisson

)21(3

(21)

Para cambios de presión pequeños en sólidos o un líquido, consideremos que es constante. El volumen de un gas, sin embargo, depende de la presión inicial p0. La Tabla I da valores del

modulo de volumen de varios sólidos. Sus unidades, fuerza por unidad de área son las mismas que de la presión (y las del esfuerzo de tensión o compresión).

Elasticidad por tracción y compresión

Esfuerzo y deformación Consideremos un cuerpo al que se le aplican dos fuerzas exteriores iguales paralelas en sentido contrario y perpendiculares a dos secciones  

   

Si T>0 (hacia fuera del cuerpo) fuerza de tracción

Si T<0 (hacia dentro del cuerpo) fuerza de compresión

T T

a = límite de proporcionalidad (desde O – a) σ ~ ε Hookeb = límite de elasticidad (desde O – b) zona elástica a partir de b hasta d zona inelástica o plásticad = punto de ruptura o límite de ruptura

Contracción lateral  Aumento de la longitud de un cuerpo por la aplicación de un esfuerzo de tracción una variación en el área transversal donde se aplica la tensión.  

Si A es el área transversal del cuerpo antes de aplicar el esfuerzo y A’ el área posterior a la aplicación del esfuerzo,         un esfuerzo de tracción A’<A    un esfuerzo de compresión A’>A

A A’

La deformación lateral ε’ = ΔL’/L’o = -P ε

Recordando la ley de Hooke ε = ΔL/Lo

ε’ = -P ΔL/Lo ε’ = -P σ/E

si L>Lo L’< L’o

  si L<Lo L’> L’o

Lo

L’o

AL

L’A’

P módulo de Poisson (P>0) y es una cantidad adimensional.

-El signo negativo indica la disminución de las dimensiones laterales (L’<L’o) cuando aumenta la longitud del cuerpo

(L>Lo).

- El módulo de Young (E) como el de Poisson (P) dependen de la naturaleza del material con que está hecho el cuerpo.  -El área transversal del cuerpo se modifica al realizar sobre ella un esfuerzo de tracción o compresión  Esfuerzo de tracción disminución del área transversal

Esfuerzo de compresión aumento del área transversal

variación relativa del área transversal ΔA/Ao = -2Pε = -2P σ/E

variación en el área transversal

variación en su volumen variación relativa de volumen   ΔV/Vo = (1 - 2P) σ/E

Compresibilidad Disminución del volumen de un cuerpo al aplicarle un esfuerzo de compresión igual en todas sus caras.  

Vo V

variación relativa de volumen ΔV/Vo = σ/B

B módulo de volumen N/m2

Compresibilidad 1/B m2/N El módulo de volumen está relacionado con el módulo de Young y el módulo de Poisson  E = 3B (1 – 2P)

Elasticidad por deslizamiento o cizalladuraEs la deformación que se produce en un cuerpo al aplicarle un par de fuerzas coplanarias a su superficie, sin que varíe su volumen.   

El sólido se deforma láminas del cuerpo se deslizan unas sobre otras Deformación angular γ del cuerpo al aplicarle una fuerza coplanaria al área como la tangente del ángulo Φ γ = tg Φ = ΔL/Lo

ΔLF

Lo Lo

F

Φ

La fuerza F aplica al sólido un esfuerzo cortante o esfuerzo de cizalladura, τ, τ = F/A  Si el esfuerzo cortante no es demasiado grande ambas cantidades están relacionadas linealmente τ ~ γ   τ = G γ  G módulo de deslizamiento, módulo de cizalladura N/m2

combinación de esfuerzos de tracción y de compresión    el módulo de cizalladura (G) estará relacionado con los módulos de Young y de Poisson G = E/(1+P)