cap 1 elasticidad

Cuaderno de Actividades: FII

1) ELASTICIDAD

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo 156


1) ELASTICIDAD

Ningún cuerpo específico en la naturaleza es rígido y todos los cuerpos sufren deformaciones de diferentes magnitudes.

1,1) Introducción

Cuerpos Deformables

Esfuerzo

Acción de una fuerza actuando sobre una área.

Deformación

Cuando un objeto cambia temporalmente ( deformación elástica ) o

permanente ( deformación plástica o fractura ) debido a la fuerza aplicada.

¿Cómo se produce la deformación?

Con las fuerzas inter-moleculares internas en el seno que se oponen a la fuerza aplicada, por

ejemplo:

Un trozo de plastilina es un ejemplo de un material que sufre una deformación plástica cuando se le aplica una fuerza muy pequeña.

Un trozo de metal cuando se le aplica algo de calor es capaz de sufrir una deformación elástica ya que cuando se enfría regresa a su forma original, pero si se le aplica una fuerza lo suficientemente grande la deformación se vuelva plástica pues no es capaz de regresar a su estado original.


http://en.wikipedia.org/wiki/Fracture

http://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_(engineering)#Plastic_deformation

http://en.wikipedia.org/wiki/Deformation_(engineering)#Elastic_deformation


El hule es un material que cuando se le aplica una fuerza sufre una deformación elástica, es decir, al retirar la fuerza el objeto recupera su forma original, pero si se aplica una fuerza lo suficientemente grande puede romperse y no recuperar su forma original.

Un resorte es otro objeto elástico que al ser deformado es capaz de recuperar su forma original, a menos que se le aplique una fuerza lo suficientemente grande como para hacer que la deformación sea plástica.

Módulos elásticos

Un módulo elástico es un tipo de constante elástica que relaciona una medida relacionada con la tensión y una medida relacionada con la deformación.

Las constantes elásticas que reciben el nombre de módulo elástico son las siguientes:

Módulo de Young se designa usualmente por . Está asociado directamente con los

cambios de longitud que experimenta un cable, un alambre, una varilla, etc. cuando

está sometido a la acción de tensiones de tracción o de compresión. Por esa razón se

le llama también módulo elástico longitudinal.

Y: Modulo elástico de Young, en N/m2.

Módulo de compresibilidad se designa usualmente por . Está asociado con los

cambios de volumen que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos

(generalmente compresores) que actúan perpendicularmente a su superficie. No

implica cambio de forma, tan solo de volumen.

ß: Modulo elástico de Volumen, en N/m2.


http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_compresibilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Tensi%C3%B3n_mec%C3%A1nica

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_de_Young

http://es.wikipedia.org/wiki/Constante_el%C3%A1stica


Módulo elástico transversal se designa usualmente por . Está asociado con el

cambio de forma que experimenta un material bajo la acción de esfuerzos cortantes.

No implica cambios de volumen, tan solo de forma. También se le llama módulo

elástico tangencial y módulo elástico cortante.

S: Modulo elástico de Rigidez o de Corte, en N/m2.

Régimen elástico

Módulo de elasticidad longitudinal el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young relaciona la tensión según una dirección con las deformaciones unitarias que se producen en la misma dirección.

Material | E123 [ MPa ] | E [ kp/cm² ] |

Goma | 7 | 70 |

Cartílago (humano) | 24 | 240 |

Tendón (humano) | 600 | 6000 |

Polietileno, Nylon| 1400 | 14000 |

Madera (laminada) | 7000 | 70 000 |

Madera (según la fibra) | 14 000 | 140 000 |

Hueso (fresco) | 21000 | 210 000 |

Hormigón / Concreto | 27 000 | 270 000 |

Aleaciones de Mg | 42 000 | 420 000 |

Vidrio | 70 000 | 700 000 |


http://es.wikipedia.org/wiki/Esfuerzo_cortante

http://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulo_el%C3%A1stico_transversal


1.2) Esfuerzo y deformación

Experimentalmente:

Li L

A: sección transversal

Se observa:

los L van a depender de las y A siempre en régimen elástico

los L dependen de L

Se define:

Mg. Percy Víctor Cañote Fajardo

L A

L

L

160

Esfuerzo

Deformación


a) Esfuerzo, s: (Fuerza por unidad de área)

b) Deformación, e: (Deformación unitaria)

Con estas definiciones se observa relación directa entre los esfuerzos y las deformaciones.

Módulo elástico = Esfuerzo/Deformación

M 1010


D

E

Régimen elástico

161


¿? Podría describir curvas s-e donde se muestren las 3 fases: elástica, plástica y de ruptura.

¿? Podría describir curvas s-e especiales.

1.3) Módulos elásticos

i) Modulo de Young, Y

Describe la resistencia del material a las deformaciones longitudinales.

N/m2

ii) Modulo de corte, S

Describe la resistencia del material al desplazamiento de sus planos por efecto de fuerzas aplicadas según sus caras (fuerzas tangenciales o de corte),


A h

f

x

h f

162


Para pequeñas fuerzas F la cara de área A se desplaza relativamente una pequeña distancia x hasta que las fuerzas internas del cuerpo logran equilibrar dicha fuerza.

La resistencia al desplazamiento x se describirá en base al modelo S,

iii) Modulo volumétrico, B

Describe la resistencia del material a deformaciones volumétricas.


F A

F

F

F

163


Supongamos que el cubo de área A esta sometido a las fuerzas F sobre cada una de sus caras. El cubo está sometido a compresión, el modulo volumétrico esta definido por,

Si esta presión, , se escribe como una variación de presión, ,

En estas condiciones se introduce el “- “para obtener un B > 0.

Compresión: p > 0 V < 0 B > 0.

Dilatación o expansión: p < 0 V > 0 B > 0.

¿? Existirán otros módulos elásticos.

Ejercicio 1:

1° Ideal



v2(0) 0

→ MRUV Polea idealCuerda ideal,

m1,m2 , puntuales

L = 2 m1 = 3, m2 = 5

= 4 x 10-3

T= 0.57 segundos

2° Polea real → afectada → I=I (m,r) , f polea

CR MRUV

3° Cuerda real→ Deformación→ CR→ MRUV

4°1º) t ¿?

t(y2 0) ?

y(t) y (0)+ v(0) t - at2

5º3°) Considerando sólo deformación de la cuerda, T=?, t=?


y

m2

h2 1mm1

165


w2 – T = m2 a T = w2 – m2 a 50 – 5 x 2,5T 37,5

Yacero 20 x 1010

Ejercicio 2: La deformación causada a la barra de longitud L, x, mediante la aplicación adecuada de la fuerza F, es decir, el trabajo efectuado por F sobre el sistema elástico, queda almacenado como energía potencial elástica en el sistema…veamos que es asi,


Acero

A

-F F

-L 0 x x

166


Mostraremos que en el sistema queda almacenada energía potencial elástica que puede expresarse de esta manera,

Al aplicar la fuerza F, tal como muestra la figura, producirá una deformación x, descrita por,

De tal forma que la fuerza del sistema será,

{En todo momento la fuerza aplicada F es tan intensa como

la respuesta elástica del sistema, siempre que el proceso se realice muy lentamente, estado cuasiestacionario}

Ahora, calculando el trabajo de esta fuerza,



¿? Aplicaciones tecnológicas de la deformación de los cuerpos en sus tres fases notables: elástica, plástica y de ruptura.

S1P10) Se cuenta con una barra troncocónica maciza cuya sección circular varía uniformemente a lo largo de su longitud L, entre los diámetros d y D. Los extremos están sujetos a una fuerza axial F, determine la deformación unitaria ó específica debido a dicha fuerza.

SOLUCION:


d/2 D/2F F

L

168


De


b/2d/2

L

Y

A(x) D/2 d/2 y F 0 x X Ax L

169


S1P8) Una masa de 1 kg cuelga de un cable de acero de 2 m de longitud (longitud sin estirar) con un diámetro de 0,1 mm. El sistema es puesto en movimiento como un péndulo cónico con un ángulo en el vértice.

a) Calcule la deformación del alambre.b) El periodo del movimiento rotacional cuando la tensión en el alambre

en dos veces el peso de la masa (Yacero = 21 x 1010 Pa).

SOLUCION:

DCL (m):

T

m

w

Datos: m=1, l=2, d==10-4, Yacero = 21x 1010.

Del equilibrio en la vertical,

Y de la dinámica circular,

De α y β,

a) Del modulo de Young,


m

170


b) T (periodo)=?, con la condición ( T: tensión)

La frecuencia angular la obtenemos de ,

Con lo que el T queda,

S1P1) La barra mostrada, en la figura tiene las siguientes características: peso = w, área transversal = A, longitud = L y módulo de Young = Y. Si una


barra

L

2w

171


pesa de peso 2 w es colocado en la parte inferior, halle la deformación de la barra considerando la deformación por peso propio.

SOLUCION: Primero determinaremos la deformación causada por el peso propio de la barra, para lo cual tomamos un elemento de la barra de longitud infinitesimal dx, como se muestra en la figura, sobre la cual actúa la fuerza w(x), es decir, la fuerza debido al peso del trozo de barra de longitud x,

Esta fuerza producirá un elemento de deformación dado por,

Para calcular la deformación total integramos para toda la barra,


X

dx w(x) x

0 w w(x)

172


Ahora, para la deformación total, consideramos la deformación que produce la pesa 2w,

Con lo que la deformación total es,

S1P4) Una varilla de cobre de 1,40 m de largo y área transversal de 2,00 cm2

se sujeta por un extremo al extremo de una varilla de acero de longitud L y sección de 1,00 cm2. La varilla compuesta se somete a tracciones iguales y opuestas de 6,00 x 104 N en sus extremos.a) Calcule L si el alargamiento de ambas varillas es el mismo.b) ¿Qué esfuerzo se aplica a cada varilla?c) ¿Qué deformación sufre cada varilla?Modulos de Young:Cobre: 11 x 1010 PaAcero: 20 x 1010 Pa

SOLUCION: Representamos a la varilla compuesta en el siguiente diagrama,

a) Determinamos L de la condición . Mostramos DCL de cada varilla en la dirección de interés y aplicamos la condición,


F A1 L1 L A2 F

173


Calculando,

b) Calculando los esfuerzos,

c) Calculando las deformaciones,


F L1 F

F L F

174

d


S1P14) Si el esfuerzo de corte en el acero excede aproximadamente 4,0 x 108, el acero se rompe. Determine la fuerza de corte para, a) cortar un perno de acero de 1 cm de diámetro, y b) hacer un hoyo de 1 cm de diámetro en una plancha de acero de 0,50 cm de espesor.

SOLUCION:

a) Determinación de la fuerza de corte,

F

De la ecuación del esfuerzo de corte,



Por lo tanto, una fuerza mayor que F cortara al perno.

b) Ahora, determinamos la fuerza de corte para hacer el hoyo, w

D F

S1P2) Una barra homogénea de longitud L, área A, masa M, módulo de Young Y, gira libremente con velocidad angular w = cte, sobre una mesa horizontal sin fricción y pivoteando en uno de sus extremos.Determine:a) La deformación producida en la barrab) En donde se produce el esfuerzo máximo

SOLUCION:


w

176


a)


L,M dm w dFcp

r dr O

177


b) De ,

por lo tanto, en r=L,


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