1 elasticidad _16159__

2 Mg. John Cubas Sánchez

ELASTICIDADELASTICIDAD

Parte de la Física que estudia las Leyes que gobiernan las DEFORMACIONESDEFORMACIONES sufridas por un cuerpo cuando se le aplica un ESFUERZOESFUERZO externo.

Todo cuerpo sobre el que actúan esfuerzos externos sufre una deformación que depende de la naturaleza del sólido y de las fuerzas que sobre él actúan.


Esfuerzo por tracción y compresión: Consideremos un cuerpo al que se le aplican dos fuerzas exteriores iguales paralelas en sentido contrario y perpendiculares a dos secciones

Si F>0 (hacia fuera del cuerpo) fuerza de tracción Si F<0 (hacia dentro del cuerpo) fuerza de compresión

F F F F


Se define el esfuerzo tensor y compresor “e ” como el cociente entre la fuerza (de tensión o compresión) aplicada perpendicularmente al área de la sección transversal sobre la que se aplica y dicha área.

El resultado será un cambio en la longitud el mismo. Si Lo es la longitud original del cuerpo y L su longitud después de aplicar el esfuerzo, el alargamiento o elongación producido será ΔL = L - Lo

A

Fe [N/m2 = Pa]

si ΔL>0 L>Lo fuerza de tracción si ΔL<0 L<Lo fuerza de compresión

Deformación longitudinal (d ): es el cociente entre la variación de longitud producida y la longitud inicial del cuerpo.

La deformación producida dependerá de la tensión o compresión por unidad de área transversal sobre la que se aplica la fuerza (esfuerzo tensor o compresor). Si el esfuerzo aplicado sobre el cuerpo no es demasiado grande (reversible), experimentalmente se encuentra que el esfuerzo aplicado es directamente proporcional a la deformación producida:


OL

Ld

DEFORMACIÓNDEFORMACIÓN LONGITUDINALLONGITUDINAL

d

eY

[adimensional]

[N/m2 = Pa] YY == módulomódulo dede Young,Young, eses unauna propiedad

característica del material

a= límite de proporcionalidad (desde O – a) Ley de Hooke:

ε = Y d

b=límite de elasticidad (desde O – b) zona elástica

a partir de b hasta d zona inelástica o plástica

d=punto de ruptura o de fractura o límite de ruptura


Deformación

Esf

uer

zo a

Límite de proporcionalidad

b

Límite de elasticidad o punto cedente

d

Punto de

fractura

o ruptura

c

Comportamiento

plástico

Comportamiento elástico

< 1% 30%

Deformación permanente

O

Límite de proporcionalidad:

es el valor máximo del esfuerzo que el sólido puede soportar para que el esfuerzo aplicado y la deformación producida sean proporcionales (zona: ley de Hooke)

es el valor máximo del esfuerzo que el sólido puede soportar para que el esfuerzo aplicado y la deformación producida sean proporcionales (zona: ley de Hooke)

Límite elástico o límite de

elasticidad

es el valor máximo de las fuerzas exteriores por unidad de área (o esfuerzo) que el sólido puede soportar comportándose como elástico. A partir de dicho valor las deformaciones son permanentes y el cuerpo se comporta como inelástico o plástico.

es el valor máximo de las fuerzas exteriores por unidad de área (o esfuerzo) que el sólido puede soportar comportándose como elástico. A partir de dicho valor las deformaciones son permanentes y el cuerpo se comporta como inelástico o plástico.


Límite de ruptura o esfuerzo de

ruptura:

es la mínima fuerza por unidad de sección (esfuerzo) capaz de producir la ruptura del cuerpo.

es la mínima fuerza por unidad de sección (esfuerzo) capaz de producir la ruptura del cuerpo.


Todo cuerpo posee

intervalos de

esfuerzos donde se

comporta como

elástico e intervalos

de esfuerzos mayores

donde se comporta

como inelástico.

S < 1 el cuerpo no se rompe S ≥ 1 el cuerpo se rompe


C

Se

e

Coeficiente de seguridad:

es el cociente entre la fuerza máxima por unidad de sección (esfuerzo aplicado) y el esfuerzo de ruptura (eC).

[adimensional]

Un aumento o disminución de la longitud de un cuerpo por la aplicación de un esfuerzo tensor o compresor respectivamente, produce una variación en el área transversal donde se aplica el esfuerzo.

Si AAoo es el área transversal del cuerpo antes de aplicar el esfuerzo y A el área posterior a la aplicación del esfuerzo. A<Ao un esfuerzo de tracción A>Ao un esfuerzo de compresión


Ao A

Lo L

FF FF FF FF

Deformación lateral Deformación lateral

Despejando La deformación lateral: Recordando la ley de Hooke:

Lo

wo Ao


Ow

wd

d

dP

PP = Coeficiente de Poisson= Coeficiente de Poisson

de Y

dd P

si L > Lo w < wo si L < Lo w > wo

deP

Y

L

w A

un esfuerzo de tracción un esfuerzo de compresión

[adimensional] [adimensional]

La deformación lateral

Obtenemos:

P >0

- El signo negativo indica la disminución de las dimensiones laterales (w < wo) cuando aumenta la longitud del cuerpo (L>Lo).

- Tanto el módulo de Young (Y ) como el de Poisson (P) dependen

de la naturaleza del material con que está hecho el cuerpo.


doA

A

P

2

1Se puede obtener del coeficiente de Poisson:

variación relativa del área transversal:

variación en el variación en área transversal su volumen

variación relativa de volumen:


eY

P

A

A

o

2

Y

PV

V

o

e21

Disminución del volumen de un cuerpo al aplicarle un esfuerzo de compresión igual en todas sus caras (presión).

Variación relativa de volumen o deformación volumétrica:


O

VV

Vd

V

pV

pB O

V

d

1 1

O

V

B V p

PBY 213

Deformación volumétrica Deformación volumétrica

Vo V

B módulo de compresibilidad N/m2 = Pa

coeficiente de compresibilidad m2/N = Pa – 1

El módulo de compresibilidad está relacionado con el módulo de Young y el coeficiente de Poisson:

Al relacionar el incremento de presión con la deformación volumétrica obtenemos:

[adimensional]

El sólido se deforma láminas del cuerpo se deslizan unas sobre otras


x

φ h

radtgh

x

DeformaciónDeformación cortantecortante oo porpor cizalladuracizalladura

F

h

F

Es la deformación que se produce en un cuerpo al aplicarle un par de fuerzas coplanares a su superficie, sin que varíe su volumen.

Deformación angular o por cizalladura o tangente del cuerpo al aplicarle una fuerza coplanaria al área es la tangente del ángulo φ:

Si el esfuerzo cortante no es demasiado grande ambas cantidades están relacionadas linealmente e ~


A

F//e

e //G

P

YG

12El módulo de cizalladura (G) estará relacionado con los módulos de Young y de Poisson:

En este caso la fuerza F aplicada al sólido produce un esfuerzo cortante o esfuerzo de cizalladura:

G módulo de deslizamiento, módulo de cizalladura, módulo de torsión o coeficiente de rigidez

(combinación de esfuerzos de tracción y de compresión)

[N/m2 = Pa]

Esfuerzo Deformación Módulos de elasticidad

Tensor Longitudinal Módulo de Young

Compresor Lateral Coeficiente de Poisson

Cortante Cizallante Módulo de Torsión

Presión Volumétrica Módulo de compresibilidad

Coeficiente de compresibilidad

A

Fe

A

Fe

A

F//e

A

Fp

oL

Ld

ow

wd

tgh

x

o

VV

Vd

LA

LFY o

d

e

L

LP

o

o

w

w

d

d

e

TgA

F

xA

hFG

dV

dpV

V

pVB oo

B

1


Mg. John Cubas Sánchez 19

PBY 213

P

YG

12

Relación entre módulos elásticos:

Nombre Fórmula

Coeficiente de seguridad

Esfuerzo tensor o compresor

Coeficiente de Poisson

Deformación unitaria del área

Deformación volumétrica

C

Se

e

deP

Y

doA

A

P

2

1

YP

A

A

o

e

2

Y

PV

V

o

e

21 de Y

Ley de Hooke:

500 kg

F =mg =4900 N

Lo = 3 m

A = 2 x 10-5 m2

L = 4 x10-3 m

Esfuerzo:

A

Fe

5102

4900

x

e

e = 2,45 x 108 Pa

Deformación:

oL

Ld

3

104 3

x

d

d = 1,33 x 10 -3

d

eY

Módulo de Young:

3

8

1033,1

1045,2

x

xY

Y = 1,84 x 10 11 Pa


1. En un experimento para medir el Módulo de Young, una carga de 500 Kg suspendida de un alambre de 3 m de longitud y 0,20 cm2 de sección recta produjo un alargamiento en el mismo de 0,4 cm respecto a su longitud antes de haber sido cargado. ¿Cuál es el esfuerzo, la deformación y el valor del módulo de Young para este alambre?

A = 1 x 5 x10 -3

A = 5 x10 - 3 m2

x = 2 x 10 - 4 m

G = 0,36 x 10 11 Pa

xA

hFG

h = 1 m h

AGxF

1

1036,0105102 1134 xxxxxF

F = 36 000 N


e //G

h

xA

F

G

2. Supóngase que el objeto de la figura es una lámina de bronce cuadrada de 1 m de lado y 0,5 cm de espesor, ¿qué fuerza F ha de ejercerse? si el desplazamiento x de la figura es 0,02 cm. El coeficiente de rigidez del bronce es 0,36 x 10 11 Pa

1 m

0,5 cm

1 m

f h

x A FF

FF

Vo = 0,2 m3

p = 2,04 x 107 Pa

= 20 x 10-6 atm -1

B

1

1B

61020

1

x

B atm

atm

PaxatmxB

1

10013,1.105

54

B = 5,065 x 109 Pa

V

pVB o

B

pVV o

9

7

10065,5

1004,22,0

x

xV

V = - 8,06 x 10 – 4 m3


3. El volumen de aceite contenido en una prensa hidráulica es de 0,2 m3. Calcule la disminución de volumen de aceite cuando está sometido a una presión de 2,04 x 10 7 Pa. El coeficiente de compresibilidad del aceite es de 20 x 10 – 6 atm – 1.

Lo = 4 m

A = 5 x 10 – 5 m2

L = 2 x 10 – 3 m

F = 12 000 N

LA

LFY o

35 102105

412000

xxx

xY

Y = 4,8 x 10 11 Pa


d

eY

oL

LA

F

Y

4. Una varilla de acero de 4 m de longitud y 0,5 cm2 de sección, se estira 0,2 cm bajo la acción de una tensión de 12 000 N. ¿Cuál es el módulo de Young para este acero?

Lo = 50 m

A = 6,36 x 10 – 5 m2

L = 1,5 m

F = 80 x 9,8 N = 784 N

do = 9 x 10 – 3 m

4

2

odA

4

109 23

x

A

Módulo de Young:

5,11036,6

507845 xx

xY

Y = 4,1 x 10 8 Pa

Ld

LdP

o

o

Coeficiente de Poisson:

o

o

L

LPdd

50

5,11092,0 3 xxxd

d = 54 x 10 – 6 m


m = 80 kg

LA

LFY o

F

Lo = 50 m

L

do

P = 0,2

5. Una cuerda de nailon de las utilizadas por los montañistas se alarga 1,5 cm bajo la acción de un escalador de 80 kg. Si la cuerda tiene 50 m de longitud y 9 mm de diámetro, ¿cuál es el módulo de Young para este material? Si el coeficiente de Poisson para el nailon es 0,2; calcule el cambio que experimenta el diámetro bajo la acción de este esfuerzo.


6. Un alambre de cobre de 4 m de longitud y 1 mm de diámetro es sometido a la siguiente prueba. Se le aplica inicialmente una carga de 20 N para mantenerlo tirante. A continuación se lee la posición del extremo inferior del alambre, obteniéndose la siguiente tabla:

a. Construya una gráfica con estos valores, poniendo en las abscisas los aumentos de longitud y en las ordenadas las cargas adicionales.

b. Calcule el valor del Módulo de Young c. ¿Cuál es el esfuerzo en el límite de proporcionalidad?

Cargas adicionales (N) Lectura en la escala (cm)

0 3,02

10 3,07

20 3,12

30 3,17

40 3,22

50 3,27

60 3,32

70 4,27


a. Gráfica Fuerza vs posición

3,02

3,07

3,12

3,17

3,22

3,27

3,32

4,27

0

10

20

30

40

50

60

70

80

3 3,5 4 4,5

Fuer

za (N

)

Posición (cm)

Límite de proporcionalidad Lo = 4 m

r = 0,5 x 10 – 3 m


b. Módulo de Young

NF 102030

mxcmx 410505,012,317,3

LA

LFY o

2rA

23105,0 xA 271086,7 mxA

47 1051086,7

410

xxx

xY

PaxY 111002,1

b. Esfuerzo en el límite de proporcionalidad

mxcmL 31033,002,332,3

oL

Ld 4

3

105,74

103

xx

d

d

eY de Y

411 105,71002,1 xxxprope

Paxprop

71065,7e

1 elasticidad _16159__

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