cap 1 elasticidad - parte 1
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Deformación
Es el cambio en el tamaño o forma de un
cuerpo debido a la aplicación de una o más
fuerzas sobre el mismo (o la ocurrencia de
dilatación térmica)
Todos los cuerpos se deforman
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Elasticidad
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En física e ingeniería, el término elasticidad
designa la propiedad mecánica de ciertos
materiales de sufrir deformaciones reversibles
cuando se encuentran sujetos a la acción de
fuerzas exteriores y de recuperar la forma
original si estas fuerzas exteriores se
eliminan.
Deformación longitudinal
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A) Por tensión o tracción
LLLnDeformació f 0
0LLunitarianDeformació
La fuerza neta que actúa
sobre el cuerpo es cero,
pero el cuerpo se deforma.
Deformación longitudinal
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B) Por compresión
00LLL f
Deformación:
00LL
Deformación unitaria:
La fuerza neta que actúa
sobre el cuerpo es cero,
pero el cuerpo se deforma.
Esfuerzo (S) de tensión y compresión
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En tensión el esfuerzo es positivo y en
compresión el esfuerzo es negativo.
A
FS
FF
F F Unidad: N/m2 ó Pa
Módulo de Young ( Y )
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También se denomina módulo de elasticidad
(E) y mide la resistencia de un sólido a un
cambio en su longitud.
0* LL
AF
ndeformació
EsfuerzoY
* Se trata de la deformación unitaria
Algunos valores de Y
Material Módulo de Young (Pa)
Aluminio 7 x 1010
Cobre 11 x 1010
Plomo 1,6 x 1010
Acero 20 x 1010
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Un material con un valor grande de Y
no se estira mucho.
Ley de Hooke
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Un cuerpo elástico que obedece la ley de Hooke,
cumple que el esfuerzo aplicado sobre él es
proporcional a su deformación:
L
LYS
La constante de proporcionalidad es el
módulo de Young (Y)
Ejemplo
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Datos: Y, A, F, L
Se tiene una varilla de longitud L y sección
transversal circular de área A. Hallar la
deformación de la varilla producida por las
fuerzas constates de magnitud F aplicadas en
sus extremos.
Solución
12YA
FLL
L
LYS
L
LY
A
F
Despejando:
De la ley de Hooke:
¿Y si A ó F no son constantes?
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Aplicamos la expresión a un diferencial e
integramos:L
xYA
dxxFL
0 )(
)(
Ejemplo
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Hallar la deformación
del tronco de pirámide
debido a la fuerza P
aplicada. Despreciar
la deformación debido
a su peso propio.
Módulo de Young: Y
Solución
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Área de la sección transversal
del diferencial dy = A
H
ybbbby )5.1(
2
22)5.0(
H
byHA
H
byHby )5.0(
Solución (cont.)
16
DCL diferencial
Deformación total :
YA
Pdy
Deformación del diferencial
HH
yH
dy
Yb
PH
YA
Pdy
0 22
2
0 )5.0(
23
2
Yb
PH(su altura disminuye)
Ejercicio 1
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Una barra homogénea de longitud L
de sección transversal constante A y
peso W, cuelga verticalmente del
techo. Hallar la deformación debido
a su peso propio.
Módulo de Young = Y.
Solución
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F = peso de barra de longitud x
L
xW
L
xALgAxggVF '
La densidad de la
barra homogénea
es constante =
ALgW
Solución (cont.)
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WL
xF
YA
WLxdx
YLA
W
YA
Fdx LL
2
1
00
Deformación dx
YA
Fdx
Deformación total de la barra :
Ejercicio 2
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Hallar la deformación de la barra
homogénea mostrada en la figura.
Datos: L,W, A, Y, P.
P
Solución
21
L
xWPF
P
YA
WL
YA
PL
YA
FdxL
2
1
0
Deformación dx
YA
Fdx
Deformación total de la barra :
Principio de Superposición
22P
Deformación
por peso propio
Deformación
por la fuerza P
YA
WL
YA
PL
2
1
YA
WL
2
1
YA
PL
Ejercicio 3
23
Una barra de sección transversal circular tiene
dos diámetros distintos, d y 2d, como muestra la
figura. Si el módulo de elasticidad es Y, hallar la
deformación de la barra.
Solución
24
Aplicando el
principio de
superposición
21 LL
1 2
2
21 2
5)2/()2/(
dY
PL
YA
LP
YA
LP
Ejercicio 4
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Placa rígida de peso W
Columna de peso W
(Módulo de elasticidad Y)
Hallar la deformación de la columna.
Solución
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Aplicando el principio de superposición
PplacaPeso
propioPeso LLL
Yab
PL
Yab
WL
Yab
WL
2
1
Yab
PL
Yab
WL
2
3
Problema
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La barra rígida ABCD está articulada en A y
sostenida por dos cables de longitud L y módulo
de Young Y. Hallar el desplazamiento del punto D.
(No considerar el peso de la barra y de los cables)
ddd BC 2
Diámetros:
Solución
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DCL Barra:
Del equilibrio:
0A
0542 bPbTbT CB
0542 PTT CB
Solución (cont.)
29
Diagrama de desplazamientos:
x2 x5,2x
B
B
C
C
BC
YA
LT
YA
LT2
2
BC AA 4
BC TT 8
Relación de áreas:
ddd BC 2Diámetros:
Solución (cont.)
30
0542 PTT CB
BC TT 8
34
5PTB
287,15,25,2
Yd
PL
YA
LT
B
BBD
ddd BC 2
Diámetros:
16
2dAB
Desplazamiento del punto D: