Autor: Dr. Segundo Lizardo Gallardo Zamora Trujillo-201128/08/11 00:45

ELASTICIDADLa elasticidad es el estudio de del grado de deformaciones (transitorias o permanentes) que sufren los cuerpos cuando son sometidos a fuerzas externas. Estas deformaciones se deben a las variaciones de las posiciones relativas o enlaces interatmicos de tomos y molculas de un cuerpo, bajo la accin de una fuerza mecnica neta externa del tipo traccin, compresin o torsin. En la Fig.1 se muestra un modelo simplificado de estas deformaciones, considerando a los enlaces como resortes que unen tomos y molculasFigura 128/08/11

-FDeformacin por traccin

F

-FDeformacin por compresin

Deformacin por torsin

FSegundo L. Gallardo Zamora 2

ELASTICIDADEn las Fig.2, Fig. 3 y Fig.4, se muestran algunos tipos de deformaciones que realizamos o vemos en la vida prctica

Figura 2. Deformacin por Estiramiento

Figura 3. Deformacin por aplastamiento

Figura 4. Deformacin por torsin

Si el cuerpo deformado recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo elstico o que tuvo una deformacin transitoria. En cambio, si el cuerpo deformado no recupera su forma al cesar la fuerza se dice que es un cuerpo plstico o que tuvo una deformacin permanente28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 3

ELASTICIDADLos cuerpos plsticos pueden romperse si la fuerza deformadora sigue actuando sobre estos, tal como se muestra en la Fig.5

Figura 4. Deformacin Permanente y rotura

Esfuerzo (Fatiga o Tensor de esfuerzo: ). Es la relacin entre la fuerza deformadora y el rea de la superficie sobre la cual acta.28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 4

ELASTICIDADEsfuerzo = Fuerza rea

= Unidades: N/m , din/cm , pd/pie2 , Kgf/m2 , Lbf/pie22 2

F A

(1)

Deformacin (Tensor de Deformacin o deformacin unitaria). Es la medida del grado de deformacin que sufre una determinada dimensin del cuerpo cuando es sometida a un esfuerzo.Deformacin =

=

Variacin de la dimensin Dimensin inicial

La deformacin es un nmero sin unidades Segn la dimensin que se tome en cuenta la deformacin puede ser varios tipos28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 5

ELASTICIDADI. Deformacin longitudinal. Es la deformacin que sufre la dimensin paralela a la direccin de la fuerza deformadora.Deformacin longitudinal = Variacin de la longitud Longitud inicial L L0 L0 L L0F

L

=

=

(2)

Ejemplo 1. Un cable deformado por estiramiento como el mostrado en la Fig.6 y Fig.7Cable estirado por tensin Figura 7. Vista ampliada del estiramiento del cable D Do

F = Tensin = T

Lo L

F=mg28/08/11

Figura 6 Segundo L. Gallardo Zamora

F 6

ELASTICIDADEn todos los cuerpos, la deformacin en una determinada dimensin implica tambin deformaciones en las dimensiones transversales a la direccin de la fuerza, como se ilustra en la Fig.7 para una barra cilndrica. II. Deformacin transversal. Es la deformacin que sufre la dimensin transversal (perpendicular) a la direccin de la fuerza deformadora.Deformacin transversal = Variacin de la dimensin transversal Dimensin transversal inicial

Por ejemplo, en una varilla cilndrica la deformacin transversal se da en el dimetro. Por lo tanto: Razn de Poisson.

=

T

=

D D0 D0

D D0

(3)

Es la relacin entre la deformacin transversal y la deformacin longitudinal.28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 7

ELASTICIDADRazn de Poisson = Deformacin transversal Deformacin longitudinal

Para una barra cilndrica de dimetro inicial Do y longitud inicial Lo, como el de la Fig.7, la razn de Poisson es:o 0 (4) == L D0 L / L0 La razn de Poisson es un nmero sin unidades y el signo negativo permite cancelar el signo negativo que puede surgir en la deformacin lineal o en la deformacin transversal. Su valor est entre 0.0 y 0.5.

D/D

DL

Pregunta. Cmo definira la deformacin longitudinal y transversal de una barra rectangular sometida a la fuerza deformadora de la Fig.8?28/08/11

-F

ao co

bo

F

Figura 8. 8

Segundo L. Gallardo Zamora

ELASTICIDADIII. Deformacin por torsin (corte o cizalladura). Es la deformacin o desplazamiento que sufren los planos o capas de un cuerpo por efecto de una fuerza tangencial que produce un torque.Deformacin por Corte Cizalladura o Torsin

=

Tangente del ngulo de la deformacin por torsin (5)

c = Tan Ejemplo 3. La deformacin por torsin quesufre el alambre atado a un disco, como el de la Fig.9 se mide mediante el pequeo ngulo que se hace girar el disco.Figura 9.

Alambre

F

IV. Deformacin volumtrica. Es la deformacin de todo el volumen del cuerpo como consecuencia de la variacin de la presin externa que acta sobre el cuerpo.28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora Figura 4 9

ELASTICIDADDeformacin Volumtrica = Variacin del volumen Volumen inicial V V0Figura 9. Submarino sujeto a deformacin volumtrica por la presin del agua

V

=

V V0 V0

=

(6)

F= PA

Mdulo de Elasticidad. El mdulo de elasticidad se define como la razn del esfuerzo y la deformacin correspondiente. Esfuerzo Mdulo de Elasticidad = = (7) Deformacin28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 10

Agua

ELASTICIDADEl mdulo de elasticidad es una constante caracterstica del material del cual esta hecho un cuerpo. La constante es igual a la pendiente del grfico del esfuerzo vs la deformacin, como se muestra en la Fig.10Lmite elstico

La relacin lineal entre y se denomina la Ley de Hooke y es vlida dentro del lmite de elasticidad Tipos de mdulos.

Esfuerzo

m rta po o o m st i c C el

o nt ie

Lmite de ruptura

Figura 10

Deformacin

Mdulo de Young. Este mdulo mide la resistencia de un slido a un cambio de longitud, como el de la varilla mostrada en la Fig. 11.28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 11

ELASTICIDADMdulo de Young = F/A L/Lo Esfuerzo longitudinal Deformacin longitudinal E = F Lo L A (8)

F A D Lo Do

E =

L

Unidades:

N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie2 Mdulo de Torsin (Corte,Rigidez o Cizalladura) Este mdulo mide la resistencia que presentan los planos (o capas) de un slido a ser desplazados unos con respecto a otros por accin de una fuerza tangencial que acta sobre la superficie del cuerpo.28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora

FFigura 11

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ELASTICIDADMdulo de Esfuerzo por torsin = G= Torsin Deformacin por torsin Ejemplo 4. Si mediante la fuerza F, que acta tangencialmente a la superficie de rea A, deformamos el bloque de la Fig.12, se tiene que: F Esfuerzo por corte = Ax A

F

h -F

y la deformacin por corte es: c = x / h = Tan Si el ngulo de deformacin es pequeo: Tan rad. Entonces: c = rad.28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora

Figura 12

ELASTICIDADPor lo tanto, el mdulo de corte se define como: F/A G=

(9)

Mdulo Volumtrico. Mide la resistencia que presentan los slidos o lquidos a cambiar de forma cuando son sometidos a un cambio de presin.Esfuerzo volumtrico Mdulo =B = Volumtrico Deformacin Volumtrica

F A F F FFigura 13

vo F

Ejemplo 5. En la Fig.13 tenemos un paraleleppedo sujeto a la accin del esfuerzo volumtrico definido por: Esfuerzo Variacin = volumtrico de presin28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora

v

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ELASTICIDADEntonces: Que produce la: Deformacin Volumtrica = Por lo tanto: P= F A V Vo P V/ Vo

Mdulo Volumtrico = B = (10) B = - Vo ( P ) Como B siempre debe ser (+), se incluye el signo (-) en la expresin V anterior para cancelar el signo (-) que puede surgir en P o en V. unidades del mdulo volumtrico son iguales a las del Las mdulo de Young. N/m2, din/cm2, pd/pie2, Kgf/m2, Lbf/pie228/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 15

ELASTICIDADMdulo de Compresibilidad. Este mdulo se define como el inverso del mdulo volumtrico (11) K = =(V ) B Vo La unidades del mdulo de compresibilidad son el inverso de la P unidades del mdulo volumtrico 1 1 m2 / N, cm2 / din, pie2 / pd, m2 / kgf, pie2 / lbf Los valores de los mdulos de elasticidad y la razn de Poisson, para diversos materiales, se dan en los textos de Fsica, tal como se muestran en la Tabla 1.A,B,C

28/08/11

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ELASTICIDADTABLA 1. Mdulos de Elasticidad de algunos materialesMMaterial Aluminio Bronce Cobre Acero Oro Plata Estao Cuarzo Vidrio Agua Mercurio Mdulo de Young [N/m2] 7,0 x 1010 9,1 x 1010 11 x 1010 20 x 1010 8,0 x 1010 7,8 x 1010 4,5 x 1010 5,6 x 1010 6,5 7,8 x 1010 ----------Mdulo de Corte [N/m2] 2,5 x 1010 3,5 x 1010 4,2 x 1010 8,4 x 1010 2,8 x 1010 2,8 x 1010 1,67 x 1010 2,6 x 1010 2,6 3,2 x 1010 ----------Mdulo Volumtrico [N/m2] 7,0 x 1010 6,1 x 1010 14 x 1010 16 x 1010 16,6 x 1010 10,9 x 1010 5,1 x 1010 2,7 x 1010 5,0 5,6 x 1010 0,21 x 1010 2,8 x 1010 Razn de Poisson 0,34 0,18 0,34 0,33 0,42 0,37 0,31 0,37 0,24 -----------

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ELASTICIDADRelaciones entre mdulos de elasticidad. Usando la Tabla 1, se puede verificar que en cuerpos Isotrpicos (de igual propiedad en todas direcciones) y Homogneos (igual densidad) los tres mdulos de elasticidad se relacionan mediante la expresin: (12) E =3B(12 )=2G(1+ ) Ejemplo 1 Un alambre de 100 [cm] de longitud y 0,64 [cm] de radio es sujetado en su extremo superior y tiene una carga de 1,2 [kgf] en su extremo inferior. Si el mdulo de Young es 9,0x1011 [din/cm2] y la razn de Poisson es 0,30, calcular: a) la deformacin por extensin, b) la disminucin en el radio y c) la disminucin en el rea de la seccin transversal del alambre. Datos: L = 100 [cm] = 1,00 [m]; ro = 0,64 [cm] = 0,0064 [m]; F = 1,2 [kgf] = 11,772 [N]; E = 9,0x1011 [din/cm2] = 9,0x1010 [N/m2] y = 0,3028/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 18

ELASTICIDADSolucin a) La deformacin por extensin es de Young es: de dondeL

= L/Lo , pero el mdulo

E = (F/A)/( L/Lo) ( L/Lo) = F/AE

y como el rea de la seccin transversal es: A = (0,0064)2 = ... m2 Entonces: L = (11,772/[( .. )(9,0x1010 )] L = b) La disminucin en el radio se obtiene de = ( D/Do)/ ( L/Lo), donde: D = Do( L/Lo). y como D = 2 r, se demuestra que: 2 r = D = 2ro( L/Lo)]. c) Entonces r = la oseccin transversal[m] re es: La disminucin en r ( L/Lo) = del A = (r2 r2o) = [(ro + r )2 r2o] 2 ro r28/08/11 01/05/2009 20:13 Segundo L. Gallardo Zamora 19

ELASTICIDADSegn esta expresin, en el clculo de A. de no se han conside-rado potencias de segundo o mayor orden en ( r), por ser una cantidad muy pequea. Por lo tanto, usando valores se tiene: A . . . . . . . . m2 Ejemplo 2 Un martillo de 0,300 [kg] golpea con una rapidez de 20 [m/s] en un clavo de acero de 2,5 [mm] de dimetro. Rebota con una rapidez de 10 [m/s] en 0,11 [s]. Cul es la deformacin promedio en el clavo durante el impacto? Datos: m = 30 [kg]; V1 = 20 [m/s]; Do= 2,5 [mm] = 2,5 x10-3 [m]; V2 = 10 [m/s]; t = 0,11[s]. Solucin. La deformacin por compresin es L = L/Lo , y como el mdulo de Young es: E = (F/A)/( L/Lo) Entonces :28/08/11 01/05/2009 20:13

( L/Lo) = F/AE.Segundo L. Gallardo Zamora 20

ELASTICIDADLa fuerza se obtiene de la relacin entre impulso y momento lineal: F t = m v. F = m v/ t. Donde el cambio de velocidad que se muestra en la Fig.14 esta dada por: v = | v2 v1| = (30j-(10j))=.. Entonces: Finalmente: F = ... ( L/Lo) = .v1 v2

Figura 14

Ejemplo 3 Dos placas metlicas se mantienen juntas por medio de cuatro remaches de dimetro 0,50 [cm], como se muestra en la Fig.15. Si el esfuerzo mximo de corte que puede soportar cada remache es de 3,0x108 [N/m2]. Cunta fuerza paralela a las placas es necesaria aplicar para desprender los remaches? Datos: D = 0,50 [cm] = 0,0050 [m]; [N/m2] = 3,0x10821

28/08/11 01/05/2009 20:13

Segundo L. Gallardo Zamora

ELASTICIDADSolucin El esfuerzo por corte aplicado sobre un remache es: = FT /A De donde la fuerza tangencial o paralela aplicada a las placas para remaches desprender un remaches es: -F FT = A y para n remaches es: F=n A

, con

A = D2/4Figura 15

F

Usando valores: F = ..[N]

Ejemplo 4 Una esfera de vidrio tiene un radio de 10,0 [cm] a la presin atmosfrica normal. (1,013x105 [Pa]). Calcular el cambio de radio a de la esfera si: a) es llevada a la luna (presin esencialmente igual a cero) y b) es colocada en el fondo del ocano, donde la presin es de 8,0x107 [Pa].28/08/11 01/05/2009 20:13 Segundo L. Gallardo Zamora 22

ELASTICIDADDatos: ro = 10,0 [cm] = 0,100 [m]; Po = 1,013x105 [Pa] = 1,013x105 [N/m2] = 1 atm; P1 0, P2 = 8,0 x107 [Pa] y Bvidrio = 5,6x1010 [N/m2] Solucin a) El cambio en el radio se obtiene del mdulo volumtrico: B = Vo P/ V. de donde: V = Vo P/B. Pero: V = (4 /3)(r3 r3o) 4 r2o r por lo tanto: V = 4 ro2 r = (4 /3)ro3 (Po P)/B que simplificando se tiene: r = (ro/3)(Po P)/BEl uso de valores numricos y operaciones matemticas queda como ejercicio para el alumno

b) En esta pregunta se usa la misma frmula anterior.28/08/11 01/05/2009 20:13 Segundo L. Gallardo Zamora 23

ELASTICIDADTrabajo de grupo en aula N 011. Una alambre de 35 cm de longitud se estira hasta alcanzar una longitud de 35.07 cm. Cul es la deformacin lineal del alambre? 2. Un peso de 450 kgf es suspendido del extremo libre de un cable cuya dimetro es 2,54 cm. Cul es el esfuerzo del cable? 3. Un alambre circular tiene un esfuerzo de 9,06x105 kgf/m2 producido por un peso de 4,80 kgf. Cul es el dimetro del alambre? 4. Una viga cuadrada de acero, de 4 cm de lado y 5,20 m de longitud soporta una carga que la comprime longitudinalmente en 6,25 mm. Cul es la magnitud de la carga? 5. Un semforo de 50 kgf es sostenido mediante dos cables iguales de acero cuyo radio es 1 cm. Si los cables forman un ngulo de 14 con la horizontal, cul es la deformacin longitudinal y la deformacin transversal del alambre? 6. Un cubo de latn de 6 cm de lado es sometido a una fuerza uniforme de 2,5x102 N en cada una de sus caras. Calcular la deformacin volumtrica del cubo.28/08/11 01/05/2009 20:13 Segundo L. Gallardo Zamora 24

ELASTICIDADTrabajo para casa N 01.1. Definir el esfuerzo y la deformacin producida en una varilla de seccin transversal rectangular cuando es sometida a una fuerza de traccin 2. Demostrar que, cuando un esfuerzo cortante un ngulo , el trabajo por unidad de volumen es c y que, cuando un esfuerzo uniforme F produce una deformacin volumtrica v, el trabajo por unidad de volumen realizado es P v 3. Un torque de 24,53 N.m, aplicado en el extremo de una varilla cilndrica de 1,25 cm de dimetro y 60,6 cm de longitud, le produce una torsin de 2 cuando el otro extremo es mantenido fijo. Encontrar: a) el mdulo de rigidez de la varilla y b) el trabajo realizado en esta deformacin. 4. Un bloque cbico como el de la Fig.13 es sometido a una tensin uniforme F perpendicular a un par de caras opuestas. Demostrar que: a) la deformacin volumtrica del cubo es aproximadamente: v = L (1 - 2 ) y b) el decremento fraccionario en el rea de la seccin transversal, sobre la que acta F, es aproximadamente ( A/Ao ) = 2 L

c

deforma un cuerpo en

FIN28/08/11 Segundo L. Gallardo Zamora 25