Asignatura: Matemática 4° Plan DiferenciadoProfesora: Sonia Brunel C.

Progresiones 

Una progresión aritmética es una sucesión en donde la diferencia de cada término con el anterior es una constante d, denominada diferencia. Es decir, los términos de la sucesión son:  a1 , a1 + d , a1 + 2d , a1 + 3d ,…

Vemos que en una progresión aritmética: an = a1 + (n-1) d

Problema: En una progresión aritmética, el primer término es 2 y la diferencia 1/2. El valor del cuarto término es: 

Solución:   an = a1 + (n-1) d.  

Luego: a4 = a1 + (4 -1) . 1 = 2 + 3 . 1 = 7   2 2 2

Suma de los primeros n términos de una progresión aritmética

La suma Sn de los primeros n términos de una progresión aritmética está dada por:Sn = a1 + an n

  2

Problema: Calcular la suma de los 20 primeros números pares. 

Solución: los 20 primeros números pares son: (2 + 4 + 6 + ...+ 38 + 40) 

Sn = (a1 + an ). n = (2 + 40) 20 = 840 = 420  2 2 2

Problema: Si el primer término de una progresión aritmética es 12, el último es 18 y la suma de sus términos es 75, calcular el número de términos de la progresión. 

Solución: a1 = 12, an = 18, Sn = 75, Sn = (a1 + an )n  2Luego: 75 = (12 + 18) n \ 75 = 30 n \ 75 = 15n \ n = 5  2 2

Interpolación de términosProblema: Supongamos que se desee intercalar entre 2 y 14 tres números de manera que estén en progresión aritmética

Solución: Los números son: 2, a2, a3, a4, 14

a1 = 2 an = a1 + (n-1) d.a5 = 14 an = 2 + (5 -1) dn = 5 14 = 2 + 4d 12 = d \ d = 3 \ P.A es: 2, 5, 8, 11, 14 4Progresión geométrica 

Es una sucesión en la que el cuociente (o la razón) entre dos términos consecutivos es siempre igual. Por lo tanto, cada término se obtiene multiplicando por una misma cantidad (por la razón) al término anterior, es decir: an = r an-1, o an = a1 r n-1

 

Problema: Hallar el cuarto término de la progresión geométrica 7, 14, 28, ...

Solución: r = 2 a4 = 2 . 28 a4 = a1 r n-1 an-1 = 28 a4 = 56 \ a4 = 7 . 23

= 56

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

La suma de los primeros n términos de una P.G. está dada por:

 

Para hallar la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica decreciente se utiliza esta fórmula:

Problema: Si en una progresión geométrica a1 = 1/4 y la razón vale 2, calcular la suma de los 5 primeros términos.Solución: Sn = 1/4 ( 2 5 – 1) Sn = 7,75 2 – 1

Interpolación de términos.

Problema: Supongamos que queremos intercalar entre 3 y 96 cuatro números a, b, c y d de manera que 3, a, b, c, d, 14 estén en progresión geométrica.

Solución: Tenemos que:a1 = 3 Aplicando la expresión del término general de una progresión geométrica, se tiene: a6 = 96 a6 = a1 · r 5 96 = 3 · r 5 32 = r 5 r = 2n = 6. Por tanto, la progresión geométrica es: 3, 6, 12, 24, 48, 96.

Producto de n términos consecutivos. En la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, 48, el producto de los términos extremos es: 3 · 48 = 144y que el producto de los términos equidistantes de los extremos es también 144.  (6 · 24 = 144)

En una progresión geométrica limitada, el producto de los n términos consecutivos es igual al producto de los extremos.

EJERCICIOS PROPUESTOS1) Escribir tres medios aritméticos entre 3 y 23. 2) Escribir t res med ios ar i tmét icos en t re 8 y -12 3) El primer término de una progresión aritmética es -1, y el decimoquinto es 27. Hallar la diferencia

y la suma de los quince primeros términos 4) Hallar la suma de los quince primeros múltiplos de 5 5) Hallar la suma de los quince primeros números acabados en 5 6) Hallar la suma de los quince primeros números pares mayores que 5 7) El tercer término de una progresión geométrica vale 80, y la razón es 4.Calcula la suma de los

cinco primeros términos. 8) Calcula la suma de todos los términos de la sucesión: 20 ; 2 ; 0,2 ; 0,02 ; 0,002 9) En una progresión geométrica de razón positiva, A1=4 , A3=1/4. Halla la suma de sus infinitos

términos. 10) La razón de una progresión geométrica es 3/4, y el segundo término vale 2.Halla la suma de los

infinitos términos 11) Halla la suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica de razón positiva en la

que A2 = 10 y A4 = 250 12) El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progresión13) Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48 14) Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión : 3, 6, 12, 24, 48, 15) Calcular la suma de los términos de la progresión geométrica decreciente ilimitada: 1, 1, 1, 1, 1 ,…

2 4 8 1616) Calcular el producto de los primeros 5 términos de la progresión: 3, 6, 12, 24, 48, 17) Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y así

sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros. 18) Calcular el término general de la progresión 1/3, 1, 3, 9, …. 19) ¿Cuál es el término general de la progresión -1, 2, -4, 8, -16, ...? 20) Calcular la suma de los términos de la progresión 2, 2 , 2 , 2 , ,… 10 100 1000

Soluciones:1) (3,8,13,18,23.) 2) (8,3, -2 , -7 ,-12) 3) (d=2 S= 195) 4) (S15=600) 5) (S15 = 1125) 6) (S15= 300) 7) (S = 1705) 8) (S = 20/9) 9) (S = 16/3) 10) (S = 32/3) 11) (S = 8312) 12) (3 ,6 ,12 ,24 ,48 , . . ) 13) (3,6,12,24,48) 14) (S = 93) 15) ( S = 2) 16) (248832) 17) (1048575 € .) 18) ( an = 3n – 2) 19) (an = -1 · (-2)n – 1)