07 func-alge-y-tras

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  1. 1. 176 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. 7 Funciones algebraicas y trascendentes Piensa y calcula Dibuja una recta que tenga de pendiente y pase por el punto P(0, 2) Solucin: 1 3 1. Analiza de qu grado pueden ser las funciones polinmi- cas siguientes. Qu signo tiene el coeficiente principal? a) b) 2. Representa las siguientes rectas, halla la pendiente y la ordenada en el origen: a) y = 4 b) y = 2 c) y = d) y = 2x e) y = x + 3 f) y = + 4 Solucin: a) m = 0, ordenada en el origen: 4 b) m = 0, ordenada en el origen: 22x 3 3x 2 Solucin: a) De 3er grado. El coeficiente principal es negativo. b) De 4 grado. El coeficiente principal es positivo. Aplica la teora 1. Funciones polinmicas P(0, 2) Y X Y X Y X Y X y = 4 Y X y = 2
  2. 2. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 177 GrupoEditorialBruo,S.L. 3. Haz un dibujo aproximado de las funciones: a) y = x6 b) y = x7 4. Escribe la ecuacin de cada una de las siguientes rectas: a) b) c) d) Solucin: 2x a) y = + 1 3 x b) y = + 3 2 x c) y = 2 3 5x d) y = 2 b) Solucin: a) c) m = 3/2, ordenada en el origen: 0 d) m = 2, ordenada en el origen: 0 e) m = 1, ordenada en el origen: 3 f) m = 2/3, ordenada en el origen: 4 Y X y = x + 3 Y X y = + 4 2x 3 Y X y = x6 Y X y = x7 Y X Y X Y X Y X Y X y = 3x 2 Y X y = 2x
  3. 3. 178 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. Piensa y calcula Dada la frmula del eje de simetra de una parbola x = , despeja mentalmente b En una parbola, se conoce el eje x = 3 y a = 1. Cunto vale b? Solucin: b = 2ax b = 6 b 2a 5. Representa la parbola y = x2, y, a partir de ella, las si- guientes funciones: a) y = x2 + 1 b) y = (x + 1)2 c) y = (x 2)2 + 3 d) y = x2 5 6. Representa las siguientes parbolas: a) y = x2 6x + 5 b) y = x2 2x + 3 c) y = 2x2 + 4x 1 d) y = 3x2 6x + 2 Solucin: a) b) d) Solucin: a) b) c) Aplica la teora 2. Funcin cuadrtica Y X y = x2 + 1 y = x2 Y X y = (x + 1)2 y = x2 Y Xy = x2 y = (x 2)2 + 3 Y X y = x2 5 y = x2 Y X x=3 V(3, 4) V(1, 4) Y X x=1
  4. 4. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 179 GrupoEditorialBruo,S.L. 7. Halla las frmulas de las siguientes parbolas: a) b) 8. Halla las frmulas de las siguientes parbolas: a) b) 9. El nmero de bolgrafos vendidos en una papelera vie- ne dado por la funcin f(x) = 6 x, siendo x el precio en euros. Calcula: a) la funcin de ingresos, I(x) b) el nmero de bolgrafos que hay que vender para que los ingresos sean mximos. Solucin: a) I(x) = 6x x2 b)V(3, 9), que es el mximo. Hay que vender 3 bol- grafos. Solucin: a) y = x2 + 4x + 4 b) y = 3x2 + 6x 2 Solucin: a) y = 2x2 8x + 4 b) y = x2 4x 1 c) d) Piensa y calcula En un horno microondas se han medido los tiempos que tarda en descongelarse la carne en funcin del peso, obtenindose los siguientes resultados: Escribe la frmula de la funcin lineal y = mx que se ajusta a los datos. Solucin: m = 2,5 : 100 = 0,025 y = 0,025x 3. Interpolacin y extrapolacin Y X V(1, 3)x=1 V(1, 5) Y X x=1 Y X Y X Y X Y X x: peso (g) y: tiempo (min) 100 2,5 200 5 300 7,5 400 10 500 12,5
  5. 5. 180 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. 10. Calcula la recta que pasa por los puntos A( 3, 2) y B(3,4).Interpola el valor de la funcin para x = 1 y ex- trapola el valor de la funcin para x = 5 11. Calcula la parbola que pasa por los puntos A( 4, 1), B(1,2) y C(1,6).Interpola el valor de la funcin pa- ra x = 2 y extrapola el valor de la funcin para x = 4 12. En la tabla adjunta se recogen las presiones de vapor de agua en funcin de la temperatura: a) Calcula por interpolacin lineal la presin del va- por de agua a la temperatura x = 15 C b) Calcula por extrapolacin lineal la presin del va- por de agua a la temperatura x = 20 C 13. Un instalador de redes informticas determina que pue- de ofertar instalaciones de 100 m, 200 m y 300 m a 500 , 800 y 900 , respectivamente, con un tope de 300 m de longitud. a) Calcula la frmula de la parbola que pasa por los tres puntos. b) Determina qu instalacin hara por 400 Solucin: a) y = ax2 + bx + c 10000a + 100b + c = 500 40000a + 200b + c = 800 90000a + 300b + c = 900 a = 1/100, b = 6, c = 0 y = x2/100 + 6x b) x2/100 + 6x = 400 x = 76,39 m; x = 523,61 m La solucin x = 523,61 m no sirve por ser superior a 300 m Solucin: y = mx + b 10m + b = 9,5 30m + b = 31,5 11 3 m = , b = 10 2 11 3 y = x 10 2 a) x = 15 C y = 15 mm Hg b) x = 20 C y = 20,5 mm Hg Solucin: y = ax2 + bx + c 16a 4b + c = 1 a b + c = 2 a + b + c = 6 a = 1, b = 4, c = 1 y = x2 + 4x + 1 x = 2 y = 3 x = 4 y = 33 Solucin: y = mx + b 3m + b = 2 3m + b = 4 m = 1, b = 1 y = x + 1 x = 1 y = 2 x = 5 y = 6 Aplica la teora x: temperatura (C) y: presin (mm Hg) 10 9,5 30 31,5
  6. 6. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 181 GrupoEditorialBruo,S.L. Piensa y calcula Analiza si la funcin f(x) = es impar y dibuja la parte de grfica que falta. Dibuja las asntotas. Solucin: S es impar. 1 x 4. Funciones racionales e irracionales Y X Y X y = 1 x y = 0 x=0 14. Dibuja las siguientes hiprbolas y sus asntotas.Halla la constante, k, de proporcionalidad inversa: a) y = b) y = 15. Dibuja las siguientes hiprbolas y sus asntotas.Halla la constante k a) y = b) y = c) y = d) y = Solucin: a) 2 y = + 1 x + 1 k = 2 x + 1 x + 2 2x 5 x 1 3x 5 x 2 x + 3 x + 1 Solucin: a) k = 2 b) k = 4 4 x 2 x Aplica la teora Y X y = 2 x y = 0 x=0 2 Y X y = 4 x y = 0 4 x=0 Y Xy = 1 2 x=1
  7. 7. 182 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. 16. Escribe las frmulas de las siguientes hiprbolas: a) b) 17. Escribe las frmulas de las siguientes hiprbolas: a) b) 18. Dibuja las siguientes funciones irracionales: a) y = b) y = 2 + c) y = d) y = 3 Solucin: a) b) c) 2 x x + 2 x 1 x 1 Solucin: 1 a) y = + 2 x 3 4 b) y = + 1 x + 2 Solucin: 3 2 a) y = b) y = x 1 x + 1 b) 1 y = + 3 x 2 k = 1 c) 3 y = + 2 x 1 k = 3 d) 1 y = 1 x + 2 k = 1 Y X x = 2 y = 3 1 Y X y = 2 3 x=1 Y X y = 1 1 x=2 Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X
  8. 8. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 183 GrupoEditorialBruo,S.L. 19. Escribe la frmula de las siguientes funciones irracionales: a) b) Solucin: a) y = x + 5 b) y = x 2 d) Y X Y X Y X Piensa y calcula Observando la grfica correspondiente a y = 3x, dibuja la grfica correspondiente a y = log3 x, sabiendo que es inversa de la anterior. Solucin: Y X (0, 1) y = 3x y = x (1, 3) 5. Funciones exponenciales y logartmicas Y X y = log3 x y = x y = 3x (3, 1) (1, 0) (1, 3) (0, 1)
  9. 9. 184 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. 20. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = 3x b) y = log3 x Respecto a qu recta son simtricas? 21. Dibuja en los mismos ejes las grficas de las funciones siguientes y sus asntotas: a) y = ( ) x b) y = log1/3 x Respecto a qu recta son simtricas? 22. Dibuja la grfica de las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = 1 + 2x b) y = 5 + ( ) x c) y = 2x 3 d) y = ( ) x + 3 23. Dibuja la grfica de las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = 3 + log2 x b) y = 3 + log1/2 x c) y = log2 (x + 5) d) y = log1/2 (x 1) Solucin: a) Solucin: a) b) c) d) 1 2 1 2 Solucin: Son simtricas respecto de la bisectriz del primer y ter- cer cuadrantes, y = x; por lo tanto, una es inversa de la otra. 1 3 Solucin: Son simtricas respecto de la bisectriz del primer y ter- cer cuadrantes, y = x; por lo tanto, una es inversa de la otra. Aplica la teora Y X y = x y = 3x y = log3 x Y X y = 1 3( ) x y = x y = log1/3 x Y X y = 1 Y X y = 5 Y X y = 0 Y X y = 0 Y X
  10. 10. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 185 GrupoEditorialBruo,S.L. Piensa y calcula Completa la siguiente tabla: Solucin: 24. Escribe las frmulas de las siguientes grficas: a) b) 25. Escribe las frmulas de las siguientes funciones: a) b) Solucin: a) y = L x b) y = log2 (x 1) Solucin: a) y = 1 + 3x 1 b) y = 2 + ( )x 3 b) c) d) 6. Funciones trigonomtricas Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X x sen x 1 2 1 2 1 2 1 2 cos x 3 2 3 2 3 2 3 2 tg x 3 3 3 3 3 3 3 3 30 150 210 330 x sen x cos x tg x 30 150 210 330 0 /2 3 /2 2
  11. 11. 186 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. 26. Dibujalassiguientesfuncionesapartirdelafunciny=senx a) y = 2 + sen x b) y = sen (x + ) 27. Dibujalassiguientesfuncionesapartirdelafunciny=cosx a) y = 1 + cos x b) y = cos (x ) 28. Dibujalassiguientesfuncionesapartirdelafunciny=tgx a) y = 1 + tg x b) y = tg (x + ) 29. Dibuja las siguientes funciones: a) y = sen 2x b) y = sen 30. Dibuja las siguientes funciones: a) y = 2 sen x b) y = sen x 1 2 Solucin: a) b) x 3 Solucin: a) b) 2 Solucin: a) b) 2 Solucin: a) b) 2 Aplica la teora Y X y = 2 + sen x y = sen x Y X y = sen 2 x +( ) y = sen x Y X y = cos x y = 1 + cos x Y X (y = cos x y = cos x )2 Y X y=tgx y=1+tgx Y X Y X Y X y = tg x + ) 2( y = tgx
  12. 12. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 187 GrupoEditorialBruo,S.L. 31. Dibuja las siguientes funciones: a) y = cos 2x b) y = cos c) y = 2 cos x d) y = cos x b) c) d) Solucin: a) 1 2 x 3 Solucin: a) b) Y X Y X Y X Y X Y X Y X
  13. 13. 188 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. Y X Y X Y X Y X Y X Y X 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 0 Y X / 2 3 2 1 1 1 2 4 5 0 / 2 3 6 3 / 2 Y X 2 1 1 1 2 4 5 0 / 2 3 / 2 3 6 Y X Y X Y X 4 Y X Y X Y X Y X Y X 1 Y X Y X Y X2 Y X Y X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Solucin: Polinmica: y = x2 Solucin: Exponencial: y = 2x Solucin: Irracional: y = x Solucin: Racional: y = 1 x Solucin: Logartmica: y = Lx Solucin: Polinmica: y = 3 Solucin: Trigonomtrica: y = cos x Solucin: Trigonomtrica: y = sen x Solucin: Irracional: y = x 1 Solucin: Racional: y = 2 4 x 3 Solucin: Polinmica: y = x2 4x + 3 Solucin: Polinmica : y = 1 3x 2 Solucin: Exponencial: y = ex Solucin: Polinmica: y = 2x + 3 Solucin: Racional: y = 3 1 x + 2 Solucin: Logartmica: y = log2 x Solucin: Polinmica:y = 3x2 + 6x + 1 Solucin: Racional: y = + 1 2 x + 3 Solucin: Irracional: y = 2 x Solucin: Polinmica:y = 2x2 + 4x Solucin: Trigonomtrica: y = tg x Funciones elementales que hay que conocer Halla el tipo de cada una de las siguientes funciones y calcula mentalmente su frmula
  14. 14. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 189 Ejercicios y problemas 1. Funciones polinmicas 32. Analiza de qu grado pueden ser las funciones polin- micas siguientes. Qu signo tiene el coeficiente prin- cipal? a) b) 33. Representa las siguientes rectas,halla la pendiente y la or- denada en el origen. a) y = x b) y = c) y = + 1 d) y = 2x 1 34. Escribe las frmulas de las siguientes rectas: a) b) 35. Haz un dibujo aproximado de las funciones siguientes: a) y = x3 b) y = x4 Solucin: 2x a) y = 3 5x b) y = + 4 3 c) 3 m = , ordenada en el origen: 1 2 d) m = 2, ordenada en el origen: 1 Solucin: a) m = 1, ordenada en el origen: 0 b) 1 m = , ordenada en el origen: 0 2 3x 2 x 2 Solucin: a) De 2 grado. El coeficiente principal es positivo. b) De 3er grado. El coeficiente principal es negativo. GrupoEditorialBruo,S.L. Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X
  15. 15. 190 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. 2. Funcin cuadrtica 36. Representa la parbola y = 2x2; a partir de ella, las si- guientes: a) y = 2(x 1)2 b) y = 2x2 3 c) y = 2(x + 2)2 d) y = 2(x + 1)2 + 2 37. Representa las siguientes parbolas: a) y = x2 4x + 2 b) y = x2 2x + 1 c) y = x2 + x 3 d) y = 2x2 + 4x + 3 Solucin: a) b) c) 1 2 c) d) Solucin: a) b) Solucin: a) b) Y X y = x3 Y X y = x4 Y Xy = 2x2 y = 2(x 1)2 Y X y = 2x2 y = 2x2 3 Y X y = 2x2 y = 2(x + 2)2 Y X y = 2x2 y = 2(x + 1)2 + 2 V(2, 2) x=2 Y X V(1, 2) Y X x=1 V(1, 7/2) Y X x=1
  16. 16. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 191 GrupoEditorialBruo,S.L. 38. Escribe las frmulas de las siguientes parbolas: a) b) c) d) 3. Interpolacin y extrapolacin 39. Calcula la recta que pasa por los puntos A(1, 3) y B(3, 1). Interpola el valor de la funcin para x = 2 y ex- trapola el valor de la funcin para x = 4 40. Calcula la parbola que pasa por los puntos A(4, 7), B(2, 9) y C(2, 1). Interpola el valor de la funcin para x = 0 y extrapola el valor de la funcin para x = 4 41. En la tabla siguiente se recogen los pesos ideales en fun- cin de las estaturas: a) Calcula por interpolacin lineal el peso para una esta- tura de 165 cm b) Calcula por extrapolacin lineal el peso para una es- tatura de 180 cm 42. Una empresa, que cotiza en bolsa, tiene un cierre sema- nal segn se recoge en la siguiente tabla: a) Calcula la ecuacin de la parbola que pasa por los tres puntos. b) Determina el valor de cierre de la accin en la quinta semana. Solucin: a) y = ax2 + bx + c 9a + 3b + c = 3 49a + 7b + c = 6 64a + 8b + c = 7 a = 1/20, b = 1/4, c = 9/5 y = x2/20 + x/4 + 9/5 b) Para x = 5 y = 4,3 Solucin: y = mx + b 160m + b = 64 170m + b = 72 4 4 m = , b = 64 y = x 64 5 5 a) x = 165 cm y = 68 kg b) x = 180 cm y = 80 kg Solucin: y = ax2 + bx + c 16a 4b + c = 7 4a 2b + c = 9 4a + 2b + c = 1 a = 1/2, b = 2, c = 7 y = 1/2x2 2x + 7 x = 0 y = 7 x = 4 y = 9 Solucin: y = mx + b m + b = 3 3m + b = 1 m = 2, b = 5 y = 2x 5 x = 2 y = 1 x = 4 y = 3 Solucin: a) y = x2 4x + 1 b) y = x2 4x c) y = 2x2 + 8x 4 d) y = 3x2 + 6x d) V(1, 5) Y X x=1 Y X Y X Y X Y X x: semana y: cierre () 3 3 7 6 8 7 x: estatura (cm) y: pesos (kg) 160 64 170 72
  17. 17. 4. Funciones racionales e irracionales 43. Dibuja las siguientes hiprbolas y sus asntotas. Halla la constante, k, de proporcionalidad inversa. a) y = b) y = 44. Dibuja las siguientes hiprbolas y sus asntotas. Halla la constante k a) y = b) y = c) y = d) y = 45. Escribe las frmulas de las siguientes hiprbolas: a) b) c) d) b) 1 y = + 3 x + 2 k = 1 c) 4 y = 2 x + 1 k = 4 d) 3 y = 2 x k = 3 Solucin: a) 2 y = + 2 x k = 2 2x + 3 x 2x 6 x + 1 3x + 7 x + 2 2x + 2 x Solucin: a) k = 3 b) k = 2 2 x 3 x 192 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. Y X x = 0 y = 0 3 Y X y = 0 x = 0 2 Y X x=0 y = 2 2 Y X x=2 y = 3 1 Y X x=1 y = 2 4 Y Xx=0 3 y = 2 Y X Y X Y X Y X
  18. 18. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 193 GrupoEditorialBruo,S.L. 46. Dibuja las siguientes funciones irracionales: a) y = b) y = 3 + c) y = d) y = 2 5. Funciones exponenciales y logartmicas 47. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = 4x b) y = log4 x Respecto a qu recta son simtricas? 48. Dibuja en los mismos ejes las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = ( ) x b) y = log1/4 x Respecto a qu recta son simtricas? 49. Dibuja la grfica de las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = 3x 2 b) y = 1 + ( ) x 1 2 Solucin: Son simtricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cua- drantes; y = x, por lo tanto, una es inversa de la otra. 1 4 Solucin: Son simtricas respecto de la bisectriz del 1er y 3er cua- drantes; y = x, por lo tanto, una es inversa de la otra. Solucin: a) b) c) d) x 3 x 3 x + 2 x + 2 Solucin: 3 5 a) y = + 2 b) y = x 1 x + 1 2 1 c) y = + 3 d) y = 3 x 1 x + 2 Y X Y X Y X Y X Y X y = 4x y = log4x y = x Y X y = log1/4 x y = 1 4( ) x
  19. 19. 50. Dibuja la grfica de las siguientes funciones y sus asntotas: a) y = log2 (x 1) b) y = 3 + log1/2 x 51. Escribe las frmulas de las siguientes grficas: a) b) c) d) 6. Funciones trigonomtricas 52. Dibuja las siguientes funciones a partir de la funcin y = sen x a) y = 2 + sen x b) y = sen (x ) 53. Dibuja las siguientes funciones a partir de la funcin y = cos x a) y = 1 + cos x b) y = cos (x + ) 2 Solucin: a) b) 2 Solucin: a) y = 1 + 3x b) y = log1/3 (x + 2) c) y = ex d) y = log3 (x 1) Solucin: a) b) Solucin: a) b) 194 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. Y X y = 0 Y X y = 1 Y X x=1 Y X x=0 Y X Y X Y X Y X Y X y = sen x y = 2 + sen x Y X y = sen x y = sen x 2( )
  20. 20. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 195 GrupoEditorialBruo,S.L. 54. Dibuja las siguientes funciones a partir de la funcin y = tg x a) y = 1 + tg x b) y = tg (x ) 55. Dibuja las siguientes funciones: a) y = sen 3x b) y = cos Solucin: a) b) x 3 b) Solucin: a) 2 Solucin: a) b) Y X y = 1 + cos x y = cos x Y X y = cos x + 2( ) y = cos x Y X y=tgx y=1+tgx Y X y=tgx y=tg(x/2) Y X Y X 56. Analiza de qu grado pueden ser las funciones polinmicas siguientes.Qu signo tiene el coeficiente principal? a) b) 57. Dibuja la recta que pasa por los puntosA(2,3) y B(6,1), y halla su frmula. Solucin: a) Es de grado cuatro. El coeficiente principal es negativo. b) Es de grado dos. El coeficiente principal es negativo. Para ampliar Y X Y X
  21. 21. 58. Representa la parbola f(x) = x2; a partir de ella, las si- guientes funciones: a) f(x 2) + 1 b) f(x + 1) 2 59. Calcula la funcin cuadrtica que pasa por los puntos si- guientes: a) A(0, 1), B(2, 5) y C(5, 4) b) A(3, 4), B(4, 2) y C(1, 4) 60. Calcula la parbola que pasa por los puntos A(2, 2), B(3, 5) y C(6, 17). Interpola el valor de la funcin para x = 4 y extrapola el valor de la funcin para x = 2 61. Se sabe que la masa de un metal determinado y su volu- men se relacionan de la siguiente forma: a) Calcula por interpolacin lineal la masa para un volu- men de 6 cm3 b) Calcula por extrapolacin lineal la masa para un volu- men de 18 cm3 62. La demanda que hacen los consumidores de un produc- to depende de su precio.En el estudio de mercado de un determinado producto se ha determinado que las uni- dades que se venden en funcin del precio son las que se recogen en la tabla siguiente: a) Calcula la parbola que pasa por los tres puntos. b) Calcula las unidades que se venderan a un precio de 3 Solucin: a) y = ax2 + bx + c 4a + 2b + c = 3 16a + 4b + c = 7 25a + 5b + c = 6 a = 1, b = 8, c = 9 y = x2 + 8x 9 b) y = 32 + 8 3 9 y = 6 Solucin: a) y = mx + b 3m + b = 23,1 8m + b = 61,6 m = 7,7; b = 0 y = 7,7x Comprobacin de que para x = 10, y = 77 y = 7,7 10 = 77 x = 6 cm3 y = 46,2 g b) x = 18 cm3 y = 138,6 g a = 1/4, b = 7/4, c = 5/2 y = x2/4 + 7x/4 5/2 Para x = 4 y = 8,5 Para x = 2 y = 5 Solucin: y = ax2 + bx + c 4a + 2b + c = 2 9a + 3b + c = 5 36a + 6b + c = 17 Solucin: a) y = x2 4x 1 b) y = 2x2 + 12x 14 Solucin: a) b) Solucin: 196 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. Y X y = x/2 + 2 B(6, 1) A(2, 3) Y X y = x2 y = (x 2)2 + 1 Y X y = x2 y = (x + 1)2 2 Volumen (cm3) Masa (g) 3 23,1 8 61,6 10 77 x: precio () y: unidades en miles 2 3 4 7 5 6
  22. 22. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 197 GrupoEditorialBruo,S.L. 63. Calcula la funcin cuadrtica que pasa por los puntos si- guientes: a) A(2, 0), B(3, 1) y C(4, 4) b) A(1, 2), B(3, 2) y C(5, 2) 64. Escribe las frmulas de las siguientes hiprbolas: a) b) c) d) 65. Escribe las frmulas de las siguientes grficas: a) b) c) d) 66. Dibuja las siguientes funciones: a) y = 2 sen x b) y = sen 2x c) y = sen x d) y = sen Solucin: a) b) c) x 2 1 2 Solucin: a) y = 2x 1 1 b) y = ()x + 2 2 c) y = log2 (x + 3) d) y = log1/2 x Solucin: 1 a) y = 1 x + 1 4 b) y = 1 x 3 c) y = + 1 x 1 d) y = + 2 x 3 Solucin: a) y = x2 4x + 4 b) y = x2 + 6x + 7 Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X
  23. 23. 67. Dibuja las siguientes funciones: a) y = 3 cos x b) y = cos 3x c) y = cos x d) y = cos 68. Dibuja las siguientes funciones a partir de y = sen x: a) y = sen x b) y = 2 sen x 69. Dibuja las siguientes funciones a partir de y = cos x: a) y = cos x b) y = 1 cos x Solucin: a) Solucin: a) b) d) Solucin: a) b) c) x 3 1 3 d) 198 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. Y X Y X Y X Y X Y X Y X y = sen x y = sen x Y X y = 2 sen x y = sen x Y X y = cos x y = cos x
  24. 24. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 199 GrupoEditorialBruo,S.L. 70. Dibuja las siguientes funciones: a) y = cos x b) y = sen (x + /2) Qu observas? b) Se observa que son la misma grfica, luego: cos x = sen (x + /2) Solucin: a) b) Y X y = 1 cos x y = cos x Y X Y X 71. La dosis habitual recomendada de un determinado anti- bitico para nios es de 20 mg por kilogramo de peso al da, sin sobrepasar los 1000 mg al da. Escribe la funcin que da la cantidad de antibitico que se debe suministrar en funcin del peso. Representa la grfica. 72. Un taxi cobra 2 por bajada de bandera y 0,06 por cada salto de contador. Escribe la frmula de la funcin que da el precio de una carrera, en funcin de los saltos del contador, y representa su grfica. Solucin: D(x) = 2 + 0,06x Solucin: D(x) = 20 x si 0 x 50 1000 si x > 50 Problemas Y X 200 504030 Peso (kg) Dosis(mg/da) 2010 400 600 800 1000 Y X 1 50 604030 N de pasos Precio(euros) 2010 2 3 4 5 6
  25. 25. 73. Una empresa ha realizado un estudio para determinar las funciones de oferta y de demanda de un producto en funcin del precio de venta, x. La funcin de oferta es y = x 2,y la de demanda es y = 4x + 18.Representa di- chas funciones y halla el punto de equilibrio. 74. Se depositan 1000 a un 3% de inters simple durante un ao.Escribe la frmula que da los intereses en funcin del tiempo. 75. Halla el rea de un cuadrado en funcin del lado. Repre- sntala grficamente. 76. Expresa la frmula que da el producto de dos nmeros que se diferencian en 4 unidades. Representa su grfica. 77. Con 12 metros de moldura se desea decorar una puer- ta formando un rectngulo. a) Escribe la frmula que expresa el rea de dicho rec- tngulo en funcin del lado x b) Representa la funcin. c) Determina las dimensiones del rectngulo que hacen el rea mxima. 78. El beneficio, en miles de euros, que se obtiene al vender a x una unidad de un determinado producto viene da- do por la frmula B(x) = x2 + 8x 12 a) Representa la funcin B(x) b) Determina el precio al que hay que vender el produc- to para obtener el mximo beneficio. Solucin: a) b) A 4 Solucin: a) A(x) = x(6 x) A(x) = 6x x2 b) c) Un cuadrado de 3 m de lado con un rea de 9 m2 Solucin: Solucin: Solucin: Solucin: 200 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. Y X Precio (euros) Cantidaddeproducto y = 4x + 18 y = x 2 Oferta Demanda P(4, 2) 2 4 6 8 10 10 8 6 4 2 0 Y X Tiempo (aos) 1 30 60 90 2 3 4 5 6 7 8 910 Intereses(euros) y = 30x Y X Longitud del lado (m) readelcuadrado(m2) A(x) = x2 Y X y = x2 + 4x Y X Longitud de la base (m) rea(m2) y = x2 + 6x Y X Precio () Beneficio(milesde) y = x2 + 8x 12
  26. 26. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 201 GrupoEditorialBruo,S.L. 79. Un empleado cobra en su sueldo una cantidad fija y una parte variable que depende de las horas trabajadas. Un mes que ha trabajado 140 horas,ha cobrado 1050 . Otro mes que trabaja 115 horas, cobra 960 Cunto cobrar si trabaja durante un mes 125 horas. 80. En la siguiente tabla se recogen las temperaturas corpo- rales que una persona tiene,en funcin del tiempo trans- currido, despus de tomar 600 mg de paracetamol: a) Calcula la frmula de la parbola que pasa por los tres puntos. b) Calcula el valor de la temperatura corporal a las tres horas de tomar el medicamento. 81. Una mquina envasa un pedido de latas de tomate en 8 horas. Se ponen varias mquinas idnticas a trabajar. a) Halla la funcin que expresa el tiempo de envasado en funcin del nmero de mquinas. b) Identifica la funcin obtenida. c) Representa grficamente dicha funcin. 82. Para recoger los higos de una finca,una persona tarda 60 horas. a) Halla la funcin que expresa el nmero de personas en funcin del nmero de horas. b) Identifica la funcin obtenida. c) Representa grficamente dicha funcin. 83. Un cultivo de bacterias se reproduce de forma que el n- mero de bacterias se duplica cada minuto.Expresa la fun- cin que representa el nmero de bacterias en funcin del tiempo. 84. Se deposita un capital de 6 000 al 10% anual, de ma- nera que los intereses se acumulan al capital. Expresa la funcin que da el capital acumulado en funcin del tiempo. Solucin: C = 6000 1,1t Solucin: Suponiendo que inicialmente haya una bacteria y siendo x el tiempo en minutos: y = 2x Solucin: 60 a) y = x b) Funcin de proporcionalidad inversa. c) c) Solucin: 8 a) y = x b) Funcin de proporcionalidad inversa Solucin: a) y = ax2 + bx + c c = 39 4a + 2b + c = 37 16a + 4b + c = 39 a = 1/2, b = 2, c = 39 y = x2/2 2x + 39 b) x = 3 y = 37,5 C Solucin: y = mx + b 140m + b = 1050 115m + b = 960 m = 18/5, b = 546 y = 18x/5 + 546 x = 125 h y = 996 x: tiempo (horas) y: temperatura (C) 0 39 2 37 4 39 Y X N de mquinas Tiempo(horas) y = 8 x Y X Tiempo (horas) 20 2 4 1086 40 60 80 100 Ndepersonas y = 60 x
  27. 27. Para profundizar 85. Puede tener una funcin polinmica de cuarto grado so- lo un mnimo? Pon un ejemplo. 86. Puede existir una funcin polinmica de tercer grado que no tenga ni mximo ni mnimo? Pon un ejemplo. 87. Se sabe que la poblacin de una localidad ha evoluciona- do segn los datos de la tabla: a) Calcula por extrapolacin lineal el nmero de habi- tantes en el ao 2003 b) Si result que en el ao 2003 la poblacin real fue de 3900 habitantes, cul fue el error cometido? 88. Un rectngulo tiene 6 m2 de rea. a) Halla la funcin que expresa uno de los lados en fun- cin del otro. b) Identifica la funcin obtenida. c) Representa grficamente dicha funcin. Solucin: 6 a) x y = 6 y = x b) Funcin de proporcionalidad inversa. c) Solucin: y = mx + b 1999m + b = 4 050 2001m + b = 3 900 m = 75, b = 153975 y = 75x + 153975 a) x = 2003 y = 3750 habitantes. b) Error = 3900 3750 = 150 habitantes. Solucin: S, la funcin potencial: y = x3 Solucin: S, la funcin potencial: y = x4 202 SOLUCIONARIO Ejercicios y problemas GrupoEditorialBruo,S.L. Tiempo (aos) N de habitantes 1999 4050 2001 3900 Y X Longitud de la base (m) Longituddelaaltura(m) y = 6 x
  28. 28. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 203 89. Dada la parbola: y = x2 4x + 1 a) calcula mentalmente el eje de simetra y repre- sntalo. b) calcula el vrtice. c) dibuja la parbola y comprueba el eje y el vrtice. 90. En la tabla siguiente, se recogen los beneficios que se obtienen en funcin del tiempo que est abierto un restaurante: Calcula la frmula de la parbola que pasa por los tres puntos y represntala. 91. Internet. Abre: www.editorial-bruno.es, elige Matemticas, curso y tema. Solucin: Resuelto en el libro del alumnado. Solucin: Resuelto en el libro del alumnado. Paso a paso 92. Representa las siguientes funciones potenciales, ob- serva cules tienen mximo o mnimo relativo y cu- les tienen punto de inflexin. a) y = x2 b) y = x3 c) y = x4 d) y = x5 93. En las siguientes parbolas, halla el eje de simetra, el vrtice y el punto de corte con el eje Y. Luego re- presntalas para comprobarlo: a) y = x2 6x + 5 b) y = 3x2 6x + 2 c) Tiene un mnimo relativo en O(0, 0) d) Tiene un punto de inflexin en O(0, 0) Solucin: a) Tiene un mnimo relativo en O(0, 0) b) Tiene un punto de inflexin en O(0, 0) Practica GrupoEditorialBruo,S.L. x: tiempo en horas y: beneficio en miles de euros 2 4 3 5 5 1 Windows DeriveLinux/Windows
  29. 29. 94. Calcula la recta que pasa por los puntos A(3, 2) y B(3, 4). Interpola el valor de la funcin para x = 1 y extrapola el valor de la funcin para x = 5 95. Calcula la parbola que pasa por los puntos A(4, 1), B(1, 2) y C(1, 6). Interpola el valor de la funcin para x = 2 y extrapola el valor de la fun- cin para x = 4 96. En las siguientes hiprbolas, halla el valor de la constante k y las asntotas; luego, representa las hi- prbolas con sus asntotas para comprobarlo. a) y = b) y = Solucin: 1 a) y = 3 + x 2 k = 1 Asntotas - Vertical: x = 2 - Horizontal: y = 3 3 b) y = 2 + x 1 k = 3 Asntotas - Vertical: x = 1 - Horizontal: y = 2 2x 5 1 x 3x 5 x 2 Solucin: y = ax2 + bx + c 16a 4b + c = 1 a b + c = 2 a + b + c = 6 a = 1, b = 4, c = 1 y = x2 + 4x + 1 a) x = 2 y = 3 b) x = 4 y = 33 Solucin: f(x) = mx + b 3m + b = 2 3m + b = 4 m = 1, b = 1 y = x + 1 a) x = 1 y = 2 b) x = 5 y = 6 Solucin: a) Eje: x = 3, V(3, 4), P(0, 5) b) Eje: x = 1, V(1, 5), P(0, 2) 204 SOLUCIONARIO GrupoEditorialBruo,S.L. Linux/Windows
  30. 30. TEMA 7. FUNCIONES ALGEBRAICAS Y TRASCENDENTES 205 GrupoEditorialBruo,S.L. Windows Derive Identifica las siguientes grficas y calcula mediante ensayo- acierto su frmula: 97. 98. 99. 100. 101. 102. 103. 104. Solucin: trigonomtrica, y = tg 2x Solucin: 2 racional, y = + 3 x 1 Solucin: logartmica, y = 3 + log2 (x + 1) Solucin: 3x polinmica, y = + 4 2 Solucin: irracional, y = x + 3 Solucin: trigonomtrica, y = 2 + sen 3x Solucin: polinmica, y = 3x2 + 6x 2 Solucin: exponencial, y = 3 + 2x + 1
  31. 31. 206 SOLUCIONARIO Plantea el siguiente problema y resulvelo con ayuda de Wiris o DERIVE. 105. El nmero de bolgrafos vendidos viene dado por la funcin f(x) = 6 x, siendo x el precio en euros. Calcula: a) La funcin de ingresos, I(x) b) El nmero de bolgrafos que hay que vender pa- ra que los ingresos sean mximos. 106. Un instalador de redes informticas determina que puede ofertar instalaciones de 100 m, 200 m y 300 m a 500 , 800 y 900 , respectivamente, con un tope de 300 m de longitud. a) Calcula la frmula de la parbola que pasa por los tres puntos. b) Determina qu instalacin hara por 400 euros. Solucin: a) f(x) = ax2 + bx + c 10000a + 100b + c = 500 40000a + 200b + c = 800 90000a + 300b + c = 900 a = 1/100, b = 6, c = 0 y = x2/100 + 6x b) x2/100 + 6x = 400 x = 76,39 m; x = 523,61 m La solucin x = 523,61 m no sirve por ser superior a 300 m Solucin: a) I(x) = (6 x)x I(x) = 6x x2 b) Representacin grfica: El mximo beneficio se alcanza para x = 3 GrupoEditorialBruo,S.L. Windows DeriveLinux/Windows