s1 func varias variab

7/25/2019 s1 Func Varias Variab

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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Figura 1

Las funciones de dos variablesse pueden visualizar por medio de curvas de nivel, que

enlazan puntos donde la funcin toma un valor determinado. La presin atmosfrica a

una hora dada es una funcin de longitud y latitud y se mide en milibaras. Aqu las

curvas de nivel se llaman isobaras y las que se presentan unen puntos que tenan la

misma presin. Las curvas marcadas 1028, por ejemplo, conectan puntos con presin de

1028mb)

EJEMPLOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

En muchos casos, encontramos funciones que dependen de dos variables.

1. El volumen de un cilindro circular recto est dada por la siguiente formula2

. .r h

donde h es su altura y r es el radio de la base circular, es decir para determinar el

volumen de un cilindro debemos conocer los valores de su altura y radio, por eso

podemos decir que el volumen de un cilindro depende de los valores de su altura y

radio. En otras palabras podemos expresar el volumen del cilindro como una


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funcin de dos variables h y r , a las cuales llamaremos variables independientes.

Dicha funcin puede quedar representada como hrhrV ..),( 2 .

2. Para determinar el rea de un rectngulo es necesario conocer su largo )( l y ancho

)(a , es decir el rea del rectngulo depende del largo y ancho. Es decir podemos

representar el rea de un rectngulo mediante la siguiente funcin alalA .),(

3. Dados dos nmeros cualesquiera, x e y su media aritmtica es el nmero

intermedio entre ambos, es decir:

2x y

En general, dados n nmeros1 2

, , ,n

x x x , su media aritmtica es el nmero:

1 2

1 2( , , , )

n

n

x x xM x x x

n

La media aritmtica es, pues, una funcin1 2( , , , )nM x x x de n variables.

4. Dados dos nmeros positivos x e y , su media geomtrica es :

( , )g x y x y .

En general, dados n nmeros positivos1 2

, , ,n

x x x , su media geomtrica se

define como:1

1 2 1 2 1 2( , , , ) ( ) .n

n n nG x x x x x x x x x

5. Supongamos que tenemos una placa metlica de grandes dimensiones. La

temperatura(en grados centgrados) de placa es funcin de las coordenadas dcada

uno de sus puntos y viene dada por (Figura 1):

2 2( , ) 500 0.6 1.5T x y x y

6. La media de tiempo que un cliente espera en una cola para ser atendido viene dada

por :

1( , ) ,g x y y x

x y

,


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donde y es la razn media de llegada, expresada como el nmero de clientes por

unidad de tiempo y x es la razn media de servicio, expresada en las mismas

unidades. (Figura 2)

Figura 1 Figura 2

Empezaremos nuestro estudio con las funciones de dos variables.

DEFINICINUna funcin f de dos variables es una regla de correspondencia que

asigna a cada par ordenado de nmeros reales ( , )x y de un conjunto D un nmero real

nico que se denota por ( , )f x y . El conjunto D es el dominio de fy su rango es el

conjunto de valores que toma f, es decir, ( , ) ( , )f x y x y D .

A menudo,se escribe ( , )z f x y para hacer explicito el valor que toma f en el punto

( , )x y . Las variables xe yson variables independientesy zes la variable dependiente

Figura 2


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GRFICAS

Un modo de representar el comportamiento de una funcin de dos variables es

considerar su grfica.

Definicin Si f es una funcin de dos variables con dominio D, entonces la grfica

de f es el conjunto de todos los puntos ( , , )x y z en3 tal que ( , )z f x y y ( , )x y

est enD.

Figura 3

A continuacin se ilustran algunas funciones de varias variables hechas por computador

con sus respectivos dominios.

Figura 4. 2 2( , ) 1 ( )f x y x y

( , , )0x y

f


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Figura 5. 2 2 2 2( , ) 1 ( )f x y x y x y

Las grficas presentadas a continuacin tienen como dominio 2 .

Figura 6

Para el caso de las funciones con ( 3)n n variables, el concepto de dominio se

mantiene pero la grfica de las funciones ya no se puede visualizar.

La formalizacin de lo dicho anteriormente, se describe a continuacin

1 2 1 2

:

, ,..., ( , ,..., )

n

n n

f D

x x x z f x x x

Alos nmeros realesn

xxxx ,...,,, 321 se les llama variables independientes y forman lo

que se llama la n ada 1 2 3( , , ,..., )nx x x x , que es un punto que pertenece al dominio de

f , mientras que la imagen correspondiente 1 2 3( , , ,..., )nz f x x x x se le llama variable

dependiente y pertenece al rango de f .

El dominio y rango tambin se pueden describir como sigue:

Para el dominio

f


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1 2 1 2( , , , ) ( , , , )nf n nD x x x x z z f x x x

y para el rango

1 2( , , , ) ( )n

f nR z x x x x z f x

Nota.- Para el caso 3n , solo se puede visualizar su dominio.

Valor de una funcin de varias variables:

Para determinar el valor de una funcin ),...,,,( 321 nxxxxfz sustituimos los

valores de las variables independientesn

xxxx ,...,,, 321 en la regla de correspondencia

de la funcin.

Ejemplo:

Dada la funcin hrhrV ..),( 2 ; deseamos calcular el valor del volumen del

cilindro cuando su altura es 5 y su radio es 9; entonces debemos sustituir en la regla

de correspondencia,

4055.)9(.)5,9( 2

V . Obteniendo un volumen de 3405 u

OBTENCIN DEL DOMINIO DE UNA FUNCINDE VARIAS VARIABLES:

Empezaremos nuestro estudio recordando para el caso de una funcin de una variable

y despus generalizaremos al caso de varias variables.

1. Si )(xf es un cociente, este no existe si el denominador se hace cero, por lo que

se deben eliminar del dominio aquellos valores x en lo que esto sucede.

2. Si )(xf es una raz cuadrada, est existir slo si el radicando es mayor o igual

que cero.

3. Si )(xf es un logaritmo natural, est existir si su argumento es mayor que cero.

Ejemplos:


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1. Hallar el dominio de la funcin: ( )f xx

1

2

Solucin:Cundo existe ( )y f x ?

yexiste si 2x . Por lo tanto , , { } 2 2 2f

D

Figura 7

2. Hallar el dominio de la funcin: 1)( xxf


Si 01x , es decir, 1x .Por lo tanto [1,f

D

Figura 8

3. Hallar el dominio de la funcin: )1ln()( xxf


Si 01 x es decir: 1x

Por lo tanto 1,fD


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Figura 9

Ahora, para determinar el dominio de una funcin real de varias variables, utilizamos

los mismos criterios de las funciones de una variable; es decir excluyendo los valores

que conducen a nmeros complejos o a la divisin entre cero.

EJEMPLOS

1. Hallar el dominio de la funcin: ( , )f x yx y

2 2

1

Solucin:

Cundo existe ( , )z f x y ?; z existe s 022 yx . Por lo tanto

( , )2 0 0 fD

Grfica del dominio

Figura 10


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2. Hallar el dominio de la funcin: )ln(),( yxyxf

Solucin

Como la funcin es un logaritmo natural, entonces 0 yx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es ( , ) /2 0 fD x y x y y su grfica es

3. Hallar el dominio de la funcin: ( , )f x y y x 2

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 02 xy . Por lo tanto el

dominio de la funcin es ( , ) /2 2 0 fD x y y x

Grfica del dominio:

Figura 11

Figura 12


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4. Hallar el dominio de la funcin: 221),( yxyxf

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 01 22 yx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es ( , ) /2 2 2 1 fD x y x y

Grfica del dominio:

5. Hallar el dominio de la funcin: yxyxf .ln),(

Solucin:

Como la funcin es un logaritmo, entonces 0. yx . Por lo tanto el dominio de la

funcin es ( , ) / .2 0 fD x y x y

Grfica del dominio:

Figura 13

Figura 14


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6. Hallar el dominio de la funcin: 2 2( , , ) ln 1f x y z x y z

Solucin:Como la funcin es un logaritmo, entonces 01 22 zyx . Por lo tanto el

dominio de la funcin es 3 2 2( , , ) / 1 0fD x y z R x y z

Grfica del dominio:

7. Hallar el dominio de la funcin: 2221),,( zyxzyxf

Solucin:

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces 01 222 zyx . Por lo tanto

el dominio de la funcin es 3 2 2 2( , , ) / 1 0fD x y z x y z

Grfica del dominio: esfera unitaria

Figura 15

Figura 16


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8. Hallar el dominio de la 2 2( , , ) 1f x y z x y .

Solucin

Como la funcin es una raz cuadrada, entonces2 2

1 0x y . Por lo tanto el dominiode la funcin es 3 2 2( , , ) / 1 0fD x y z x y el cual es un cilindro de radio 1.

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 17

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