trigonometria func trig_numeros_reales_marzo_27_2012

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Contenido Trigonometr´ ıa: Funciones Trigonom´ etricas de N´ umeros Reales Carlos A. Rivera-Morales Prec´ alculo 2 Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometr´ ıa: ´ Angulos Estandarizados

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Page 1: Trigonometria func trig_numeros_reales_marzo_27_2012

Contenido

Trigonometrıa: Funciones Trigonometricasde Numeros Reales

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo 2

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

Page 2: Trigonometria func trig_numeros_reales_marzo_27_2012

Contenido

ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Tabla de Contenido

ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas deNumeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Contenido

ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Objetivos:

Discutiremos:

la circunferencia unitaria

funciones trigonometricas de numeros reales

dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales

identidades trigonometricas fundamentales

otras identidades trigonometricas

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Contenido

ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Objetivos:

Discutiremos:

la circunferencia unitaria

funciones trigonometricas de numeros reales

dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales

identidades trigonometricas fundamentales

otras identidades trigonometricas

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Contenido

ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Objetivos:

Discutiremos:

la circunferencia unitaria

funciones trigonometricas de numeros reales

dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales

identidades trigonometricas fundamentales

otras identidades trigonometricas

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Contenido

ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Objetivos:

Discutiremos:

la circunferencia unitaria

funciones trigonometricas de numeros reales

dominios y rangos de las funciones trigonometricas denumeros reales

identidades trigonometricas fundamentales

otras identidades trigonometricas

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Circunferencia Unitaria

Definicion: La circunferencia unitaria es la circunferenciacon centro en el origen del plano cartesiano y radio r = 1.

Figura: Ecuacion de la circunferencia unitaria: x2 + y2 = 1Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Nota: Para definir las funciones trigonometricas denumeros reales, tambien llamadas funciones circulares, acada numero real t le asignaremos un punto P (t) = (x, y) de lacircunferencia unitaria. Dado t ∈ R, recorremos t unidadessobre (a lo largo) de la circunferencia unitaria, comenzando enel punto (1, 0), en sentido contrario de las manecillas del reloj,si t es positivo. Si t es negativo, entonces nos movemos a favorde las manecillas del reloj. Usaremos las coordenadas del puntoP (t) = (x, y) para definir las funciones trigonometricas delnumero t.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Figura: Movimiento a lo largo de la circunferencia unitaria

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Definicion: Sea t un numero real y sea P (x, y) el punto de lacircunferencia unitaria correspondiente al numero t. Si lafuncion esta definida, entonces

sen(t) = y csc(t) = 1y

cos(t) = x sec(t) = 1x

tan(t) = yx cot(t) = x

y

Nota: Si el punto correspondiente al numero t esta en uno delos ejes de coordenadas, entonces habra dos funcionestrigonometricas que no estan definidas.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Definicion: Sea t un numero real y sea P (x, y) el punto de lacircunferencia unitaria correspondiente al numero t. Si lafuncion esta definida, entonces

sen(t) = y csc(t) = 1y

cos(t) = x sec(t) = 1x

tan(t) = yx cot(t) = x

y

Nota: Si el punto correspondiente al numero t esta en uno delos ejes de coordenadas, entonces habra dos funcionestrigonometricas que no estan definidas.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Figura: En el contexto de la circunferencia unitaria, los valorestrigonometricos del numero real t se definen en terminos de las

coordenadas x y y del punto P .Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Dominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas deNumeros Reales

Funcion Dominio Rango o Imagen

sen < [-1, 1]

cos < [-1, 1]

tan <− {π2 + nπ, n entero} <cot <− {nπ, n entero} <sec <− {π2 + nπ, n entero} (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

csc <− {nπ, n entero} (−∞,−1] ∪ [1,+∞)

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Figura: Relacion entre los diferentes tipos de funcionestrigonometricas

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Nota: Las funciones trigonometricas del angulo estandarizado θcon medida t en radianes, que esten definidadas, corresponden alas mismas funciones trigonometricas definidas en terminos delpunto sobre la circunferencia unitaria determinado por elnumero real t.

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: Calcule los valores trigonometricos de t = 5π3 .

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: Calcule los valores trigonometricos de t = −3π4 .

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: Calcule las coordenadas exactas del punto P (29π6 ) dela circunferencia unitaria.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: En los ejercicios del 1 al 8, para el numero real tdado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en lacircunferencia unitaria y (b) determine las coordenadas exactasdel punto P (t). No use la calculadora.

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: En los ejercicios del 9 al 16, para el numero real tdado (a) localice el punto P (t) = (cos(t), sen(t)) en lacircunferencia unitaria y (b) use la calculadora para aproximarlas coordenadas exactas del punto P (t).

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: En los ejercicios del 17 al 24 determine el valorexacto de cada funcion trigonometrica dada en el contexto de lacircunferencia unitaria.

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Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales

Sea t un numero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacionestan definidos, entonces:

Identidades recıprocassen(t) = 1

csc(t) cos(t) = 1sec(t) tan(t) = 1

cot(t)

csc(t) = 1sen(t) sec(t) = 1

cos(t) cot(t) = 1tan(t)

Identidades cocientetan(t) = sen(t)

cos(t) cot(t) = cos(t)sen(t)

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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales

Sea t un numero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacionestan definidos, entonces:

Identidades recıprocassen(t) = 1

csc(t) cos(t) = 1sec(t) tan(t) = 1

cot(t)

csc(t) = 1sen(t) sec(t) = 1

cos(t) cot(t) = 1tan(t)

Identidades cocientetan(t) = sen(t)

cos(t) cot(t) = cos(t)sen(t)

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales

Sea t un numero real cualquiera. Si ambos lados de la ecuacionestan definidos, entonces:

Identidades recıprocassen(t) = 1

csc(t) cos(t) = 1sec(t) tan(t) = 1

cot(t)

csc(t) = 1sen(t) sec(t) = 1

cos(t) cot(t) = 1tan(t)

Identidades cocientetan(t) = sen(t)

cos(t) cot(t) = cos(t)sen(t)

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)

Identidades pitagoricassen2(t) + cos2(t) = 1 1 + tan2(t) = sec2(t)cot2(t) + 1 = csc2(t)

Identidades Par/Imparsen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t) tan(−t) = − tan(t)csc(t) = − csc(t) sec(−t) = sec(t) cot(−t) = − cot(t)

Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.

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ObjetivosCircunferencia UnitariaFunciones Trigonometricas de Numeros RealesDominios y Rangos de las Funciones Trigonometricas de Numeros realesIdentidades Trigonometricas FundamentalesEjerciciosOtras Identidades Trigonometricas

Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)

Identidades pitagoricassen2(t) + cos2(t) = 1 1 + tan2(t) = sec2(t)cot2(t) + 1 = csc2(t)

Identidades Par/Imparsen(−t) = − sen(t) cos(−t) = cos(t) tan(−t) = − tan(t)csc(t) = − csc(t) sec(−t) = sec(t) cot(−t) = − cot(t)

Nota: coseno y secante son funciones pares; las restantes sonfunciones impares.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)

Identidades de Cofuncionessen(π2 − t) = cos(t) tan(π2 − t) = cot(t) sec(π2 − t) = csc(t)cos(π2 − t) = sen(t) cot(π2 − t) = tan(t) csc(π2 − t) = sec(t)

Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre lasidentidades de cofunciones .

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Funciones Trigonometricas

Identidades Trigonometricas Fundamentales (Continuacion)

Identidades de Cofuncionessen(π2 − t) = cos(t) tan(π2 − t) = cot(t) sec(π2 − t) = csc(t)cos(π2 − t) = sen(t) cot(π2 − t) = tan(t) csc(π2 − t) = sec(t)

Nota: En el ejercicio que sigue se le pide que demuestre lasidentidades de cofunciones .

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: Identidades de Cofunciones En el triangulorectangulo que se muestra, explique por que α = π

2 − β.Ademas, explique como se pueden obtener las seis identidadesde cofunciones a partir de este triangulo para 0 < α < π

2 .

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: Exprese cada una de las siguientes expresionestrigonometricas en terminos de seno y coseno y luegosimplifique:

1 tan(t) sen(t) + cos(t)

2 sen(−u) + cot(−u) cos(−u)

3sen(x)csc(x) + cos(x)

sec(x)

4cot(t)

csc(t)−sen(t)

5cos2(t) + 4 + sen2(t)

5 sec2(−t)

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Identidades Trigonometricas

Muchas identidades provienen de las identidades fundamentales.Para comprobar que una ecuacion trigonometrica es unaidentidad, transformamos un lado de la ecuacion en el otromediante una serie de pasos, cada uno de los cuales da lugar auna identidad. Sin embargo, no se puede efectuar lasmismas operaciones en ambos lados de la igualdad. Porejemplo, si comenzamos con una ecuacion que no es unaidentidad, como

sen(x) = − sen(x)

y elevamos cada lado al cuadrado, obtenemos la ecuacion

sen2(x) = sen2(x)

la cual es una identidad.Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Identidades Trigonometricas

Sugerencias para demostrar identidades trigonometricas

1 Comenzar con una lado de la ecuacion y transformarlo enel otro lado. Generalmente, se recomienda comenzar con ellado mas complicado.

2 Use algebra e identidades que conozca para tranformar ellado con el que comenzo. Combine fracciones usandodenominadores comunes, factorice y simplifique.

3 Si llega a un punto de tranque, exprese todas las funcionesen terminos de senos y cosenos.

4 Siempre tenga en mente lo que desea obtener. Eso ayudapara decidir pasos posteriores.

Rivera-Morales, Carlos A. Trigonometrıa: Angulos Estandarizados

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Funciones Trigonometricas de Numeros Reales

Ejercicio: Demuestre las identidades trigonometricassiguientes.

1cot(x) sec(x)

csc(x) = 1

2 tan2(x)(1 + cot2(x)) = 11−sen2(x)

3sec(x)+csc(x)tan(x)+cot(x) = sen(x) + cos(x)

41+sen(x)1−sen(x) −

1−sen(x)1+sen(x) = 4 tan(x) sec(x)

5cos(u)

1−sen(u) = sec(u) + tan(u)

6sec(t)+tan(t)sec(t)−tan(t) = 1+2 sen(t)+sen2(t)

cos2(t)

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