MECÁNICA

Cinemática

Cinemática

La Mecánica es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos, para ello consideraremos a los cuerpos como partículas.

Una partícula será todo cuerpo en el que puedo despreciar sus dimensiones para describir su movimiento. Esto dependerá del problema que estemos tratando, así la Tierra la podemos considerar una partícula cuando describimos su movimiento alrededor del …

Cinemática

… Sol, pero no se puede considerar una partícula cuando estudiamos su movimiento de rotación sobre su eje, ya que en este problema si interesan sus dimensiones y la situación es diferente en el ecuador que en una latitud, digamos de 42°.

Para describir su movimiento necesitamos ubicar la partícula en el espacio y esto depende de nuestro sistema de referencia.

Cinemática

Por sistema de referencia consideramos al conjunto de cuerpos que permanecen en reposo respecto a nosotros. Para operar con este concepto introducimos un sistema de coordenadas (normalmente un sistema cartesiano, pero dependiendo de la simetría del problema se toman otros sistemas de coordenadas como el cilíndrico o el esférico). Se necesita además un sistema de relojes para medir el tiempo.

Cinemática

El movimiento de una partícula se conoce por completo si la posición de la partícula en el espacio se conoce en todo momento. La posición de una partícula es la ubicación de la partícula respecto a un punto de referencia elegido que se considera el origen de un sistema coordenado. Otra herramienta indispensable para avanzar en la descripción del movimiento es su representación con gráfico de funciones.

Cinemática

No basta saber donde está la partícula, sino además saber para donde se mueve, noción que se representa con el concepto de velocidad.

Las sucesivas posiciones tomadas por el cuerpo, determinan una línea que puede ser curva o recta y a la que llamamos trayectoria del cuerpo puntual.

Cinemática

En síntesis, el movimiento es relativo porque “depende” del sistema de referencia elegido y para poder describirlo correctamente es conveniente considerar un sistema de referencia fijo.

Considere un automóvil que se mueve a lo largo del eje 𝑥. Cuando se comenzó a recopilar datos de posición, el automóvil está a 30 m a la derecha de una señal del camino, que usará para identificar la posición de referencia 𝑥 = 0. Aplique el modelo de partícula para identificar la posición del automóvil en diferentes instantes.

Cinemática

Las magnitudes físicas pueden ser escalares o

vectores.

Las primeras necesitan únicamente un número

para quedar completamente determinadas, por

ejemplo la temperatura, el tiempo, la masa

Otras neceitan más que un simple número y

para ello hay que determinar su magnitud, su

dirección y sentido, por ejemplo la fuerza, la

velocidad, la cantidad de movimiento

Cinemática

Magnitud Vectorial: es aquella que para quedar

completamente definida es necesario dar su

magnitud, dirección y sentido.

La representación gráfica de un vector es dada

por un segmento de recta dirigido.

Figura. Representación gráfica de un vector.

Cinemática

La magnitud del vector se relaciona con la longitud de la flecha. La dirección es dada por el ángulo con respecto a la horizontal. El sentido se relaciona con la punta de la flecha.

Suma gráfica 𝐴

𝐵

𝐶 = 𝐴 + 𝐵

Cinemática

Suma gráfica 𝐴

𝐵

𝐶 = 𝐴 + 𝐵

Cinemática

Propiedades geométricas

Ley de los senos

Cinemática

Propiedades geométricas

Ley del coseno

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠𝛾

Cinemática Propiedades algebraicas

Se denomina vector unitario al que tiene magnitud uno. Los vectores unitarios más usados son los que indican la dirección de los ejes cartesianos en el espacio, y en el plano, se denotan por:

𝑖, para la dirección positiva del eje 𝑥,

𝑗, para la dirección positiva del eje 𝑦,

𝑘, para la dirección positiva del eje 𝑧.

Figura 5. Vectores unitarios en el espacio.

Cinemática Propiedades algebraicas

En el plano cartesiano se tienen solamente el eje 𝑥 y el eje 𝑦.

Figura 6. Vectores unitarios en el plano cartesiano

Cinemática Propiedades algebraicas

En muchos sistemas se tienen varios vectores actuando sobre

él y el resultado de todos los vectores sobre el sistema es

importante, por lo que es necesario sumar todos estos

vectores, y el vector resultante es el que hace el mismo efecto

de todos los vectores juntos. Todos los vectores que actúan

sobre el sistema se denominan componentes del vector

resultante.

Las componentes rectangulares de un vector son aquellas que

están a lo largo de los ejes cartesianos.

Cinemática Propiedades algebraicas

Para un vector 𝑉en el plano, sus componentes

rectangulares vienen dadas por las relaciones:

𝑉𝑥 = 𝑉cos𝜃, 𝑉𝑦 = 𝑉sin𝜃

Siendo 𝑉 la magnitud del vector y θ el ángulo con

respecto al sentido positivo del eje x, estas componentes

también se denominan proyecciones del vector sobre los

ejes cartesianos.

Utilizando sus componentes el vector será dado por la

relación:

𝑉 = 𝑉𝑥 𝑖 + 𝑉𝑦 𝑗

Cinemática Propiedades algebraicas

Si se tienen las componentes sobre los ejes, 𝑉𝑥, 𝑉𝑦, la

magnitud 𝑉 del vector está dada por:

𝑉 = 𝑉𝑥2 + 𝑉𝑦

2

La dirección, el ángulo con respecto al sentido positivo del eje 𝑥, está dada por:

𝜃 = arctan𝑉𝑦

𝑉𝑥 Ejemplo: Encontrar las componentes rectangulares

de los siguientes vectores.

a) La magnitud del vector es 25.

Cinemática Propiedades algebraicas

b) El vector se encuentra en el tercer cuadrante del plano cartesiano.

Cinemática Propiedades algebraicas

Cuando se tienen diferentes vectores actuando sobre un mismo sistema, la forma más precisa de encontrar el vector resultante consiste en descomponer cada vector en sus componentes y luego sumar, algebraicamente, las componentes en la dirección 𝑥, y las componentes en la dirección 𝑦.

Si se tienen 𝑛 vectores, dados por: 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, … , 𝑉𝑛.

Encontrando sus componentes en la dirección “𝑥” se tienen: 𝑉1𝑥 , 𝑉2𝑥 , 𝑉3𝑥 , … , 𝑉𝑛𝑥

Las componentes en la dirección “𝑦” son dadas por: 𝑉1𝑦 , 𝑉2𝑦 , 𝑉3𝑦 , … , 𝑉𝑛𝑦

Obteniéndose la resultante 𝑉𝑅𝑥 en la dirección “𝑥” por la suma escalar de las componentes, así:

𝑉𝑅𝑥 = 𝑉1𝑥 + 𝑉2𝑥 + 𝑉3𝑥 + ⋯+ 𝑉𝑛𝑥

Cinemática Propiedades algebraicas

La resultante 𝑉𝑅𝑦, en la dirección “𝑦” se obtiene sumando

escalarmente las componentes en la dirección “y”, así:

𝑉𝑅𝑦 = 𝑉1𝑦 + 𝑉2𝑦 + 𝑉3𝑦 + ⋯+ 𝑉𝑛𝑦

El vector resultante será dado por la relación

𝑉𝑅 = 𝑉𝑅𝑥 𝑖 + 𝑉𝑅𝑦 𝑗

Cinemática Propiedades algebraicas

Ejemplo: Encontrar el vector, magnitud y dirección, resultante para los vectores dados en la figura siguiente:

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵, se escribe como 𝐴 ∙ 𝐵 (Debido al símbolo punto, con frecuencia al producto escalar se le llama producto punto.)

El producto escalar de dos vectores cualesquiera 𝐴 y 𝐵 es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo 𝜃 entre ellos:

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵cos𝜃

Como es el caso con cualquier multiplicación, 𝐴 y 𝐵 no necesitan tener las mismas unidades.

La figura 11 muestra dos vectores 𝐴 y 𝐵 y el ángulo 𝜃 entre ellos, que se aplica en la definición del producto punto.

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

En la figura 11, 𝐵cos𝜃 es la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.

Debido a eso, 𝐴 ∙ 𝐵 es el producto de la magnitud de 𝐴

y la proyección de 𝐵 sobre 𝐴.

Fig. 11. Producto escalar de los vectores 𝐴 y 𝐵

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

El producto escalar es conmutativo

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐵 ∙ 𝐴.

El producto escalar obedece la ley distributiva de la multiplicación,

𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 = 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶

El producto punto es simple de evaluar cuando 𝐴 es

perpendicular o paralelo a 𝐵. Si 𝐴 es perpendicular a 𝐵 𝜃 =

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 y los dos apuntan en la misma

dirección (𝜃 = 0), 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝐵. Si el vector 𝐴 es paralelo al vector 𝐵 pero

los dos apuntan en direcciones opuestas (𝜃 = 180°), 𝐴 ∙ 𝐵 = −𝐴𝐵. El producto escalar es negativo cuando 90° < 𝜃 ≤ 180°.

Los vectores unitarios 𝑖, 𝑗 y 𝑘, que se encuentran en las direcciones 𝑥, 𝑦 y 𝑧 positivas, respectivamente, de un sistema coordenado de mano derecha. Por lo tanto, de la definición del producto punto, los productos escalares de estos vectores unitarios son

𝑖 ∙ 𝑖 = 𝑗 ∙ 𝑗 = 𝑘 ∙ 𝑘 = 1.

𝑖 ∙ 𝑗 = 𝑗 ∙ 𝑘 = 𝑘 ∙ 𝑖 = 0.

Cinemática Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

Como los vectores 𝐴 y 𝐵 pueden expresarse como

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘

el producto escalar de 𝐴 y 𝐵 se reduce a

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧

En el caso especial en el que 𝐴 = 𝐵, se tiene 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐴𝑥

2 + 𝐴𝑦2 + 𝐴𝑧

2 = 𝐴2

Cinemática

Propiedades algebraicas

Producto escalar de dos vectores

Ejemplo.

Se tienen los vectores 𝐴 = 2 𝑖 + 3 𝑗 y 𝐵 = − 𝑖 + 2 𝑗. Determine el producto escalar de estos vectores y

encuentre el ángulo entre ellos.