INSTITUCIÓN EDUCATIVA EXALUMNAS DE LA PRESENTACIÓN – IBAGUÉ

TALLER DE ALGEBRA GRADO NOVENO

ALGEBRA Y POLINOMIOS

“Los símbolos son visibles, pero los conceptos son invisibles y abstractos...A. Bell, 1976

INTRODUCCIÓNEl álgebra es una rama de las matemáticas que estudia todas las cantidades numéricas de una manera general en sus operaciones, representaciones y aplicaciones, por medio del uso de letras que las llamamos variables. Comprende básicamente tres partes: expresiones algebraicas, ecuaciones y polinomios.En el siglo III D.C. Diofanto utilizo una letra para representar una incógnita, marcando de esta manera la “distancia” entre aritmética y álgebra (la palabra árabe al- jabru que significa “reducción” es el origen de la palabra álgebra.).Según los historiadores se conoce a Diofanto, matemático griego perteneciente a la famosa escuela de Alejandría, como el Padre del álgebra por cuanto en su obra: “La aritmética”, plantea y resuelve diversos problemas cuya resolución actual utiliza ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas de ecuaciones, a la cual en el mundo islámico se la llamo “ciencia de la reducción y el equilibrio". La música, el deporte, la ciencia y la religión son actividades humanas que tienen su propio lenguaje o código fácilmente identificable por quienes se interesan en su estudio. No hay ninguna actividad humana que pueda prescindir del lenguaje. La matemática por supuesto no es la excepción. Ella misma es dueña de todo un sistema de signos y símbolos que vienen a ser el lenguaje a través del cual se da a conocer. Es de vital importancia interpretar y utilizar el lenguaje algebraico, y así convertir una situación de la vida diaria en una expresión matemática, para buscarle una soluciónEl estudio de las expresiones algebraicas te posibilitará conocer, caracterizar y operar elementos matemáticos simbólicos. DefiniciónUna expresión algebraica es una combinación de números, variables, operaciones matemáticas y signos de agrupación.Ejemplo1: Son expresiones algebraicas

x+5 y; x

2

; √ x+ y ; x2+5 x−6 ,

x−64 y etc.

DefiniciónUn símbolo que representa un número o elemento que puede tomar cualquier valor en general

se denomina variable, por ejemplo: x , x2

, etc. Un símbolo que representa cualquier valor

particular se denomina constante, por ejemplo, 2, 15 ,..-.

Definición

En una expresión algebraica cada uno de las partes que están separadas por un signo más (+) o por un signo menos (-), se denomina término.Ejemplo 2:Recordemos algunas expresiones algebraicas sobre áreas y volúmenes:

A=bh2 A=x2

A=a . b A=πx2

V=x3

V=πr2 h

Nota: Cuando en una expresión algebraica aparecen radicales o cocientes, estos se consideran como un solo términoEjemplo 3:

En la expresión x2 y−3 x3 z−2 x+1−√5 x4

hay 5 términos: x2 y ;3 x3 z ;2 x ;1 ;√5 x4

En la expresión 3 x+2 y−5 hay 3 términos

En un término se distinguen los siguientes elementos:Parte numérica: es la parte que expresa valores fijos (coeficientes) Parte literal: son las letras o variables del término.Signo: puede ser positivo (+) o negativo ()Grado: máximo exponente de la variableEjemplo 4:

a) −5 x4

: signo (), parte numérica: 5; parte literal: x ; grado: 4

b) x2 y3

: signo (+), parte numérica: 1; parte literal: xy ; grado: 5Clasificación de las expresiones algebraicasDe acuerdo con el número de términos que tenga una expresión algebraica estas toman diferentes nombres:Monomio: expresión algebraica que costa de un solo términoBinomio: expresión algebraica que costa de dos términosTrinomio: expresión algebraica que costa de tres términosPolinomio: expresión algebraica que costa de tres o más términos.Ejemplo 5:

3 x2 y3: monomio

x2+5 y : binomio

3 x2+2 x−5 ; x2 y−3 x3 z

y2 −2 x: son trinomios

x2−3x3−2 x+1−5 x4 : polinomio.Definición

Un Polinomio en la variable x es una expresión de la forma:p( x )=an xn+an−1xn−1+an−2 xn−2+.. .+a1 x1+a0 ,

, donde n , es un entero no negativo y an , an−1 , an−2 ,. . ., a1 , a0 son los coeficientes del polinomio

(números reales). an es el coeficiente principal (CP) y

a0 es el término independiente (TI) y a n se le llama grado del polinomioEjemplo 6:

x2+5 y , x2−9 ; x2+3 x−4 ; 2 x2+3 x−2 ; 5 x4−3 x2−2 x+1 son polinomios; mientras que x2

y4

; x−3 son expresiones algebraicas.Valor numérico de una expresión algebraicaPara hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza cada variable por el valor que se le haya asignado y luego se efectúan las operaciones indicadas.Ejemplo 7: Hallar el valor numérico de cada una de las siguientes expresiones

x2−9 : cuando x=2⇒22−9=4−9=−5

x2−9 : cuando x=−4⇒ (−4 )2−9=16−9=8

x2+3 x−4 cuando x=3⇒32+3(3)−4=9+9−4=14

ab+3a−b Cuando a=−2 y b=−3⇒ (−2)(−3)+3 (−2 )−(−3 )=6−6+3

Grado de un polinomio El grado absoluto de un polinomio es la mayor suma de los exponentes de las variables

de cada uno de los términos. El grado relativo de un polinomio, respecto a una variable, es el mayor exponente de

dicha variable. Ejemplo 8:

5 x4−3 x2−2 x+1: grado absoluto 4- Coeficiente principal: 5- término independiente: 1. 2 x2 y3+3 x3 y4 z−2 z2 y : Grado absoluto: 8—grado relativo con respecto a x: 3--.grado

relativo con respecto a y: 4--.grado relativo con respecto a z: 2

Definición

Se dice que dos o más Términos son Semejantes si tienen la misma parte literal y sus exponentes iguales, es decir, cuando tienen las mismas letras elevadas al mismo exponente. Los términos semejantes se diferencian sólo en los coeficientes. Ejemplo 9:

x2 , 3 x2 , -3

4x2 ,−2 x2

son términos semejantes x2 y3 ,3 x3 y2

No son términos semejantes

x2 y ,3 yx 2 , -3

4yx 2 ,−2 yx 2

son semejantes

−x ,3 x ,-3

4x ,2 x

son términos semejantesDefiniciónReducir significa reunir en uno solo, varios términos. Para reducir términos semejantes, se suman algebraicamente los coeficientes y se coloca la misma parte variableDefinición Los signos de agrupación se utilizan para clasificar y facilitar el manejo de las expresiones algebraicas: los signos de agrupación más utilizados son: ( ) paréntesis, [ corchetes, y {} llaves: para suprimir los signos de agrupación se debe tener en cuenta lo siguiente:

1. Si el signo de agrupación esta precedido del signo mas(+), todos los términos dentro del signo de agrupación conservan el mismo signo

2. Si el signo de agrupación esta precedido del signo menos (-), todos los términos dentro del signo de agrupación se les cambia el signo.

3. Cuando dentro de un signo de agrupación, están incluidos otros, la supresión de ellos se hace de adentro hacia afuera

4. Por último, se reducen los términos semejantes para simplificar la expresión dada.Ejercicio 1:Realizar las siguientes operaciones:a. −3 x+ {7 x−[5 x−(−2 x−6 x ) ] } b. 12 y−{−8 y−[5 y−2 (6 y−11 y ) ] }

c. −4 z+3. {−6 z−2 [5 z−3 (−36 z2÷12 z ) ]} d. 5 a−{3a−[8 a−(2a−10 a ) ] }

d. {(3 x−2 y+z )−[ x−(−2 x+2 y−z ) ] }

OPERACIONES BÁSICASDefinición (Adición)Para sumar expresiones algebraicas inicialmente se suprimen los signos de agrupación y luego se reducen los términos semejantes para reducir la expresión.Ejerecicio2: Sumar los siguientes polinomios

a) 3 x2+2 x−5 ;2 x−x2−3 ;b) 3 x5−4 x2+2 x ; 5 x3−6x2+3x−2; 3 x5−5 x3−5 x−1 ; 4 x2+2x−3

Nota Si se trata de restar se cambia los signos de la expresión sustraendo y se procede como el caso anterior.

Ejercicio 3:

De x2+2 x−5 ; restar −3 x2−x−2

Restar (−2 x4+3 x2−x+1 ) De 4 x2−4 x3−2x+1−2 x4

Definición (Producto)Para multiplicar dos o más expresiones algebraicas, primero se multiplican los coeficientes, teniendo en cuenta la ley de los signos a continuación se multiplica la parte literal teniendo en cuenta la ley de los exponentesRecuerde que:

xn⋅xm=xn. m (Ley de exponentes) (a+b) (c+d )=a .c+a . d+b . c+b . d (Propiedad distributiva)

Ejercicio 4: Efectuar los siguientes productos

1. 2 x (1−3 x2 )2. ( x+ y ) (x− y )

3. (x2+2 x−5 ) (3 x2−x−4 )

4. (x2 y+2 x) (3 x3 y2+xy 2 )

Definición (División)Para dividir dos expresiones algebraicas:

Si son monomios, primero se hace el cociente de los coeficientes, teniendo en cuenta la ley de los signo, y a continuación el cociente de la parte literal teniendo en cuenta la ley de los exponentes (xn÷xm=xn−m )

Si el dividendo es una expresión algebraica con dos o más términos y el divisor es un monomio, se debe hacer el cociente de cada término del dividendo entre el divisor

Si tanto el dividendo como el divisor son más de dos términos, se organizan en forma decreciente de potencias, respecto a una variable, luego dividimos el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, obteniendo el primer término del cociente; multiplicamos este término del cociente por cada uno de los términos del divisor, su resultado se resta del dividendo; el resultado un nuevo dividendo y se repite este procedimiento hasta obtener en el dividendo una expresión algebraica, que sea de grado estrictamente menor que el grado del divisor. Esta expresión, del dividendo se llama residuo.

Ejercicio 5: Efectuar los siguientes cocientes

1. (20 x2 y5)÷(−4 x2 y )

2. (18 x2 y5−30 x 4 y2+6 y3 x3 )÷(−6 x2 y2 )

3. (x2−5 x+6 )÷( x−3 )

4. (x4−16 )÷( x−2 )

5. (x6− y6 )÷(x3+ y3)

PRODUCTOS NOTABLES

Definición

Se denomina producto notable a las expresiones que involucran operaciones matemáticas cuyos resultados pueden ser escritos por simple inspección o de forma directa, es decir aplicando reglas fijas que agilizan la obtención del resultado.

1. Producto de dos binomios que tienen un término en común

El producto de dos binomios ( x+a ) y ( x+b ) es un trinomio El primer término es el cuadrado del término en común El segundo término tiene por coeficiente la suma o la resta de los términos no comunes y

por parte literal el término en común El tercer término es igual al producto de los términos no comunes

2. Cuadrado de la suma de dos términos: El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

3. Cuadrado de la diferencia de dos términos:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primero, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado del segundo

4. Suma por diferencia de un binomio

El producto de una suma por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término

5. Cubo de la suma de Un binomio

El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de primer término, más tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, más el cubo el segundo término.

6. Cubo de la diferencia de Un binomio

El cubo de la diferencia de dos cantidades es igual al cubo de primer término, menos tres veces el cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo el segundo término.

(a+b )2=(a+b )⋅(a+b )=a2+2 .a .b+a . b

(a−b )2=( a−b )⋅(a−b )=a2−2 .a. b+a .b

(a−b )⋅(a+b )=a2−b2

(a+b )3=(a+b ) (a+b )⋅(a+b )=a3+3 . a2 .b+3a . b2+b3

( x+a )⋅(x+b )=x2+( a+b ) x+a .b

(a−b )3=( a−b ) (a−b )⋅(a−b )=a3−3 . a2 . b+3 a . b2−b3

7. Triángulo de Pascal

Un método práctico para desarrollar potencias de la suma o la resta de dos cantidades consiste en construir el llamado triángulo de Pascal. Observa los coeficientes de los términos del desarrollo de cada potencia y los números que conforman cada fila de dicho triángulo:

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

De los desarrollos obtenidos de la potencia del Binomio de Newton se puede concluir:

El polinomio tiene un término más que el exponente al que esta elevado el binomio El exponente del primero y último término del polinomio es igual al exponente del

binomio El exponente de la parte literal a va disminuyendo de uno en uno, a partir de la

potencia del binomio, mientras que b a partir del segundo término y va aumentado de uno en uno hasta el exponente del binomio.

El coeficiente numérico del primero y último término del polinomio es uno; las otras partes numéricas son el producto de los coeficientes de las variables por los números obtenidos del triángulo de Pascal.

Cuando el binomio tiene signo negativo, los signos del polinomio se van alternando, de la siguiente forma (+,-,+ ,-,+,-, . .. )

Ejemplo 10:

1 . (x+2 )4=1x4+4 x3 2+6 x2 22+4 x 23+24

2 . (2x+3 )5=1 (2 x )5+5 (2 x )4 3+10 (2 x )3 32+10 (2 x )233+5 (2 x )34+35

COCIENTES NOTABLES

Los cocientes notables se deducen de los mismos productos notables

1.a2−b2

a−b=a+b

2. a2−b2

a+b=a−b

3. a3+b3

a+b=a2−ab+b2

4. a3−b3

a−b=a2+ab+b2

En general:

an−bn siempre es divisible por a−b , siendo n un entero positivo

(a+b )0=1(a+b )1=1 a+1b

( a+b )2=1a2+2ab+b2

(a+b )3=1 a3+3a2 b+3ab2+b3

(a+b )4=1a4+4a3 b+6a2b2+4 ab3+b4

(a+b )5=1 a5+5 a4 b+10 a3 b2+10 a2 b3+5 ab4+b5

Observ

an−bn siempre es divisible por a+b , siendo n un entero positivo par

an+bn siempre es divisible por a+b , siendo n un entero positivo impar

an+bn NUNCA es divisible por a+b y a−b , siendo n un entero positivo par

FACTORIZACIÓN

Definición

Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas cuyo producto da como resultado la expresión original.

Ejemplos: La expresión x

2+xy se puede expresar como x (x+ y ) entonces x y ( x+ y ) son factores de x

2+xy La expresión x

2+3 x−4 se puede expresar como ( x+4 ) (x−1 ) entonces ( x+4 ) y ( x−1 ) son factores de x

2+3 x−4

Definición

Factorizar una expresión algebraica significa descomponerla como un producto de sus factores primos

En esta sección se estudiará los casos más generales de factorización, comenzando por el más elemental

Factor común: Una expresión algebraica puede factorizarse utilizando la técnica de factor común, si todos los términos que la componen posen una parte en común, sea esta numérica o literal. El factor común es el máximo común divisor de los términos que componen la expresión

Diferencia de cuadrados: Para factorizar una diferencia de cuadrados se extrae la raíz cuadrada de cada uno de los términos de la expresión, y luego se indica el producto de la suma por la diferencia de las raíces, es decir:

x2− y2= (x+ y ) ( x− y )

Definición: Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, esto es, cuando es el producto de dos factores iguales.

Ejemplo: 16 x2 y4 es un cuadrado perfecto porque 16 x2 y4=(4 xy2 )2

Trinomio Cuadrado Perfecto: Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio.

Ejemplos:

x2+6 x+9 es un trinomio cuadrado perfecto porque: ( x+3 )2=x2+6 x+9

9 x2−12 x+4 es un trinomio cuadrado perfecto porque: (3 x−2 )2=9 x2−12 x+4

En general, un trinomio es cuadrado perfecto si Dos de los tres términos son cuadrados perfectos y con el mismo signo El torcer término es el doble producto de las raíces cuadradas de los dos términos

anteriores con cualquier signo

Trinomio de la forma x2+bx+c

Dada la expresión x2+bx+c se debe encontrar valores p y q tales que:

( x+p ) (x+q )=x2+bx+c ,

En este caso los primeros términos de los binomios son la raíz cuadrada del binomio original, el signo de operación del primer factor es mismo del segundo término del trinomio, el signo del segundo factor es el producto del segundo y tercer término del trinomio. Para obtener los segundos términos de los binomios, se buscan dos números cuya suma algebraica den el segundo término del trinomio y que multiplicados den el tercer término del mismo. Simbólicamente p+q=b y p⋅q=c

Trinomio de la forma ax 2+bx+cPara factorizar expresiones de este tipo, primero multiplicamos y dividimos por a ; esto es:

ax 2+bx+c= (ax )2+b (ax )+aca

Y buscamos dos números que sumados den b y que multiplicados den a⋅c y se hace el procedimiento del anterior caso.

En muchos casos se sugiere encontrar los números por ensayo error

Suma y diferencia de CubosUna suma o diferencia de cubos esta compuesta por un binomio por un trinomio: El

binomio esta formado por la suma o diferencia de la raíces cúbicas de cada uno de los términos: El trinomio esta formado por el cuadrado de la primera raíz, menos (Mas) el producto de la raíces, mas el cuadrado de la segunda raíz

x3+ y3=( x+ y ) (x2−xy+ y2 )x3− y3=( x− y ) ( x2+xy+ y2)

Agrupación de términos por factor común

Algunas veces, aun cuando los términos de una expresión no tengan un factor común, puede ser posible agrupar los términos de manera que cada grupo tenga un factor común.

TALLER

1. Realizar las operaciones respectivas a) Sumar: 5 x3−6x2+3x−2; 3 x5−5 x3−5 x−1 ; 4 x2+2x−3 ;x

5−4 x2+2 x−4b) De 4 x3+3 x2+5 x4−2x−4 restar 3 x2+4 x3−2 x+1−3 x4

c) De la suma de −x3+5 x4−3 x2−2 x+1 con 2 x2+3 x−2−x3 restar la suma de

5 x3−6 x2+3 x−2 con 2 x4−3 x2+2 x−1d) (3a−5 b−2c )− (4 a+3 b−4 c )+(−2a−b+5 c )

e) 4 a−{−3 a+ [2a−(a−5 b )+4b ]−(7 b+a ) }

f) (x2+2 x−3 )×(2 x−5 )

g) ( x+ y ) ( x2−xy+ y2 )

h) (x6− y6 )÷(x2− y2)

2. PRODUCTOS NOTABLESResuelva los siguientes productos notables

1. ( x+5 ) ( x+3 ) 8. (3 x2−2 ) (3 x2+5 ) 15. ( x+b+c )2

2. (x+ 1

2 )(x+23 )

9. (2 x+ 1

3 )2

16.( x+1 ) ( x−2 )

3. ( x+8 ) ( x−15 ) 10. (4 x−7 ) (4 x−3 ) 17. ( yn−9 )( yn+12 )4. (3 x+8 ) (3 x−2 ) 11. (a2−5 ) (a2−6 ) 18. (4 x+3 y−2 a ) (4 x+3 y+2 a )

5. (x3−5) (x3+2 )12. (4 x2+9 )2 19.(9 x−1 )2

6. ( x−1 )3 13. (2+3 x ) (5+3 x ) 20. (a−3 )4

7. (4 x−5 ) (4 x+3 ) 14. (2 x2−3 )(2x2−1 ) 21. (a3−6b ) (6b+a3 )

3. Efectúa las divisiones utilizando los cocientes notables

a) (16 x2−25 )÷ (4 x−5 ) b) (x6−81 )÷(x3+9 ) c) (x3−125 )÷( x−5 )

d) (8 x6+27 )÷ (2x2+3 ) e) (32 x5−1 )÷(2 x−1 ) f) (x4+1 )÷ (x2−1 )

g) (x7+ y7)÷( x+ y ) h) (x6− y6 )÷(x2− y2) i) (x3+1 )÷( x+1 )

4. Factorizar cada expresión si es posible

a)10 x2+11 x+3 b) a6+a3−6 c) 2 x4+3 x2−2 d) 25 x2−10 x+1

e)x4−6 x2+1 f) 81 x4−1 g) x

2+13 x−30 h) 27 x3−8

i) 5 x2−20 j) 8 x2−14 x−15 k)4+x2 j) 3 x3+6 x2+2 x+4

l) x3+4 x2+x−6 m) x4−25 x2

n) x8−x2

o) x3−10 x2−24 x

p) x4+2 x3−9 x2−18 x q) x

3−12 x2+48 x−64 r) x4+4 x3−9 x2−16 x+20 s) x

2+6 x+9− y4

t) 1+x9 u)

425 x2− 1

9 v) a3−5 a2+10 a−50 w) mx+m−x−1

x) x2−20 x+96 y) 16−( x−3 )2 z) (a+b )2−(a+b ) (a−b )

POLINOMIOS

DefiniciónUna expresión de la forma:

P( x )=an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+.. .+a1 x1+a0 , an≠0

, donde n , es un entero no negativo y an , an−1 , an−2 ,. . ., a1 , a0 constantes, se lama un polinomio en

x de grado n DefiniciónUn número real r, es un cero del polinomio P ( x ) , o una raíz de la ecuación P ( x )=0 sii: P (r )=0De acuerdo al grado del polinomio, se tiene:

1.Si el grado del polinomio es 1, P( x )=a1 x+a0 , a1≠0 , un cero de P ( x ) es

Ejemplo 1:

Sea P( x )=2 x−3 , entonces se dice que r=3

2 , es un cero del polinomio2.Si el gado del polinomio es 2,P( x )=a2 x2+a1 x+a0 ,a2≠0 , o en su forma conocida

P( x )=ax2+bx+c con a , b , c∈ℜ , sus raíces están dadas por la formula

x=−b±√b2−4 ac2 a

Si b2−4ac>0 , la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes b2−4ac=0 , la ecuación tiene dos raíces reales e iguales Si b2−4 ac<0 , la ecuación tiene dos raíces complejas y diferentes

Ejemplo 2:

P( x )=x2−3 x−4 , Como el discriminate es positivo el polinomio tiene dos raíces reales diferentes y son: r=4 y r=−1

P( x )=x2−2 x+1 , Como el discriminate es cero el polinomio tiene dos raíces reales e iguales y es: r=1

P( x )=x2−4 x+5 , Como el discriminate es negativo el polinomio tiene dos raíces complejas y son: r=2+ i y r=2−i

Nota:

La expresión b2−4ac se llama discriminante de la ecuación cuadrática Para polinomios de grado mayor que dos se estudiara primero otros aspectos y se los

analizará más adelanteDIVISIÓN SINTÉTICA

r=−a0

a1

La división sintética es un método rápido para dividir polinomios, y se puede utilizar cuado el divisor es de la forma x−c : en esta forma de dividir sólo escribimos los coeficientes del polinomio.

Para dividir an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+. ..+a1 x+a0 por x−c procedemos como sigue:

a⃗n an−1 an−2 . .. a1 a0 c. cbn−1 cbn-2 . ..cb1 cb0

bn-1 bn−2 cbn-3 .. .cb0 r

Aquí bn-1=an

y cada número del renglón inferior se obtiene sumando los números que están por encima de él. El residuo es r y

el cociente es bn−1 xn−1+bn−2 xn−2+. ..+b1 x+b0

De acuerdo con lo anterior se procede así:1. Se escriben los coeficientes numéricos del dividendo en el mismo orden en que están

después de ordenar el polinomio: si faltan términos se completan con ceros2. Se cambia el signo del segundo término del divisor3. Se baja el primer coeficiente del dividendo4. Este coeficiente se multiplica por el divisor y se suma al segundo coeficiente5. El anterior resultado se multiplica por el divisor y se suma al tercer coeficiente6. Se repite el proceso anterior para todos los coeficientes7. Se escribe el coeficiente literal restando a su exponente 1, y a partir de este resultado se

disminuye de 1 en 1 cada parte literal.Ejemplo 3:

1. Determine el cociente y el residuo si P ( x )=3 x5+5 x4−4 x3+7 x+3 si se divide por x+2

3⃗ 5 −4 0 7 3 . −2. -6 2 4 .−8 2 3 −1 ..−2. . . 4 −1 5

Es decir que el residuo, r=5 y el cociente es c ( x )=3 x4−x3−2 x2+4 x−1

2. Determine el cociente y el residuo si P ( x )=3 x4+x3−14 x2−4 x+8 si se divide por x−2

3⃗ 1 −14 -4 8 . 2. 6 14 .. . 0−8 3 .7 . .. . .0 . ..−4 . . 0

Es decir que el residuo, r=0 y el cociente es c ( x )=3 x3+7 x2−4

ALGORITMO DE LA DIVISIÓN

Para cada polinomio P ( x )

y cada número real r, existe un único polinomio C ( x )

un grado menor

que P ( x )

y un número real R que puede ser cero, tales que:

P ( x )=( x−r ) C ( x )+R

C ( x ) se llama polinomio cociente y R es el residuo

Ejemplo 4:Teniendo en cuenta el ejemplo 3 y aplicando el algoritmo de la división:

1. P ( x )=( x+2 ) (3 x4−x3−2 x2+4 x−1 )+5

2. P ( x )=( x−2 ) (3 x3+7 x2−4 )+0

TEOREMA DEL RESIDUO

Si el polinomio P ( x )

se divide por x−r , entonces el residuo es P (r )

Ejemplo 5:

Si P ( x )=3 x5+5 x4−4 x3+7 x+3

calcule P (−2 )

P (−2 )=3 (−2 )5+5 (−2 )4−4 (−2 )3+7 (−2 )+3=3 (−32 )+5 (16 )−4 (−1 )+7 (−1 )+3=−3+5+4−7+3P (−2 )=3 (−32 )+5 (16 )−4 (−8 )+7 (−2 )+3=−96+80+32−14+3

P (−2 )=5

De manera directa y teniendo en cuenta el ejemplo 3.1, aplicando el teorema del residuo se

tiene que: P (−2 )=5

TEOREMA DEL FACTOR

Dado un polinomio P ( x )

, un número real r es un cero deP ( x )

si solo si x−r , es un factor de P ( x )

Ejemplo 6:

Sea P ( x )=x3−7 x+6

demuestre que P (2 )=0

y utilice este hecho para factorizar completamente P ( x )

Solución:P (2 )=(2 )3−7 (2 )+6=8−14+6=0

: según el teorema del factor x−2 es un factor de de P ( x )

: utilizando la división sintética

1⃗ 0 −7 6 . 2. 2 4 .−6 1 . 2 .. .−3 . .. 0 ..

P ( x )=( x−2 ) (x2+2 x−3 ), factorizando el trinomio

P ( x )=( x−2 ) ( x−1 ) ( x+3 )

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA

Todo polinomio P ( x )

de grado n≥1 , con coeficientes reales o complejos, tiene al menos un cero real o un cero complejo.Teorema

Todo polinomio P ( x )

de grado n≥1 , con coeficientes reales o complejos, se puede expresar como producto de n factores lineales, no necesariamente distintos, por lo tanto tiene exactamente n raíces no necesariamente distintas

P ( x )=a (x−r1) (x−r 2) (x−r 3) . .. (x−r n)

Definición

Si P ( x )

se expresa como producto de factores lineales de la forma ( x−r )

y este factor se repite

m veces en el polinomio P ( x )

, se dice que la raíz r tiene multiplicidad m.Ejemplo:

Sea P ( x )=3 ( x−2 )2 ( x+1 )3 ( x+2 i ) . ( x−2 i )

, entonces 2 es una raíz de multiplicidad 2, -1 es una raíz de multiplicidad 3, y 2i y -2i de multiplicidad 1.Ejemplo:

Exprese P ( x )=x4−7 x2+4 x+20

como producto de factores lineales sabiendo que -2 es un cero de

multiplicidad 2 de P ( x )

Solución

Como -2 es un cero de multiplicidad 2 entonces, ( x+2 )2

es un factor del polinomio

P ( x )=( x+2 )2C ( x )⇒C ( x )= P ( x )(x+2 )2

1⃗ 0 −7 4 20 . - 2. -2 4 . .. .6 .−201−2. ..−3 .. 10. . .. . 0. .

1⃗ -2 −3 10 . - 2. -2 8. . .−. 10.1 .−4 . .. .. . .5 .. . .. .. 0 . .

de donde C ( x )=x2−4 x+5

y sus raíces son 2+i y 2−i Así:

P ( x )=( x+2 )2 [x−(2+ i ) ] [ x−(2−i) ]

CEROS REALES DE POLINOMIOS CON COEFICIENTES REALESDefinición

SeaP ( x )

un polinomio con coeficientes reales ordenado en forma decreciente de potencias:

decimos que enP ( x )

ocurre una variación de signo si dos términos consecutivos tienen signos contrarios, los términos que no aparecen se ignoran.

Para determinar las variaciones de signo se debe mirar P ( x )

yP (−x )

Ejemplo:

Sea P ( x )=x4−7 x2+4 x+20 , tiene dos variación de signoP (−x )=(−x )4−7 (−x )2+4 (−x )+20=x4−7 x2−4 x+20

tiene dos variación de signo

Sea P ( x )=2x3+x2−13 x+6 , tiene dos variaciones de signoP (−x )=2 (−x )3+(−x )2−13 (−x )+6=−2 x3+x2+13 x+6

, tiene una variación de signoREGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES

SeaP ( x )

un polinomio con coeficientes reales:

1. El número de ceros reales positivos de P ( x ) es igual al número de variaciones en el signo de P ( x ) o menor que este en un número entero par

2. El número de ceros reales negativos de P ( x ) es igual al número de variaciones en el signo de P (−x ) o menor que este en un número entero par

Ejemplos:

P ( x )=3 x6+4 x5+3 x3−x−3El polinomio tiene una variación de signo y por lo tanto tiene un cero positivo. Ahora:

P (−x )=3 (−x )6+4 (−x )5+3 (−x )3−(−x )−3=3 x6−4 x5−3 x3+x−3

Entonces P (−x )

, tiene 3 variaciones de signo. Entonces P ( x )

una o tres raíces negativas, lo cual hace un total de dos o cuatro raíces reales; las restantes son números imaginarios

P ( x )=x4−3 x2+2 x−5El polinomio tiene tres variaciones de signo y por lo tanto tiene uno o tres ceros

positivo. Ahora:

P ( x )=(−x )4−3 (−x )2+2 (−x )−5=x4−3 x2−2 x−5

Entonces P (−x )

, tiene una variación de signo. Entonces P ( x )

una raíz negativas, lo cual hace un total de dos o cuatro raíces realesTEOREMA DE LOS CEROS RACIONALES

Si P( x )=an xn+an−1 xn−1+an−2 xn−2+.. .+a1 x1+a0 tiene coeficientes enteros, entonces todo cero

racional de P ( x )

es de la forma p/q

, donde p es un factor del coeficiente constante a0 y

q es un factor del coeficiente principal an

Ejemplo: factorice el polinomio P ( x )=2 x3+x2−13 x+6

Según el teorema de los ceros racionales, si p/q

es un cero de P ( x )

entonces p divide a 6

y q divide a 2, por lo que p/q

es de la forma: factor de 6/ factorde 2

Los factores de 6 son: ±1 ,±2 ,±3 ,±6

y los de 2 son ±1 ,±2

.Entonces, los posibles valores de p/q

son:

±11

,±21

,±31

,±61

,±12

,± 22

,± 32

,± 62

Simplificando las fracciones y eliminando términos repetidos

±1 ,±2 ,±3 ,±6 ,±12

,±32

Ahora se verifica para cuales de estos posibles ceros lo son realmente, sustituyendo uno por

uno en el polinomio P hasta determinar uno que haga P ( x )=0

,

P (1 )=2 (1 )3+(1 )2−13 (1 )+6=−4 . 1 o es un cero de

P ( x )

P (2 )=2 (2 )3+(2 )2−13 (2 )+6=0 . 2 es un cero de

P ( x )

Puesto que x=2 es un cero de P, se concluye que ( x−2 )

es un factor de P ( x )

. Utilizando la división sintética se tiene:

2⃗ 1 −13 6 . 2. 4 10. ..−6 .2. .. . 5. . .−3 .. . .. 0 ..

Factorizando:

P ( x )=2 x3+x2−13 x+6

P ( x )=( x−2 ) (2x2+5x−3 ), de la división sintética

P ( x )=( x−2 ) (2x−1 ) ( x+3 ), se factoriza

(2 x2+5 x−3 )

Ejercicios1. Determine todas las soluciones de la ecuación

a) x3+2 x2+4 x+8=0

b) x3−3 x2+3x−8=0

c) 2 x5+3 x4−24 x3−13 x2+84 x−36=0

d) x4−1=0

e) x4−10 x2+9=02. Determine la factorización completa de

a) P ( x )=x3+27

b) P ( x )=x4−x3+7 x2−9 x−18

c) P ( x )=x6−64

d) P ( x )=4 x6+4 x5−3 x4−4 x2−4 x+16

e) P ( x )=x3−x−6

3. Utilice la regla de Descartes para determinar cuántos ceros reales, positivos, reales negativos o imaginarios que puede tener el polinomio

a) P ( x )=3 x4+2 x3+x2+5

b) P ( x )=x6+x4−3 x3−x2+10

c) P ( x )=2 x 4−4 x3+ x2−5 x+12

d) P ( x )=x3−6 x2+11 x−6

4. En los siguientes ejercicios efectué la división de P ( x ) entre Q ( x ) : escriba la respuesta en la forma P ( x )=Q (x ) C ( x )+R

a) P ( x )=x2−7 x+4 ; Q ( x )=x+4

b) P ( x )=12 x4−13 x3+ x2−x+2 ; Q ( x )=x−3

c) P ( x )=6 x5−4 x3+2 x2+x−2 ; Q ( x )=x−1

5. Utilice el teorema del residuo para hallar P (c )

a) P ( x )=12x5−10 x4−3 x3+2 x2−3 x−1 ; c=1

b) P ( x )=x4+2 x3+x2+ x−1 ; c=2

c) P ( x )=5 x6−6 x5+ x−5 ; c=4

POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN

LA POTENCIACIÓNLa potenciación se emplea para representar el producto reiterado de un mismo número. Por

ejemplo: x3=x . x . x

Ejemplo: Se desea suministrar cierta cantidad de medicamento en el cuerpo, después de t horas de haber ingerido una dosis inicial de 20mg. Está dada por la expresión 20 . (0. 7 )t mg . Después de conocer esta información, se desea saber cuánto medicamento el cuerpo de una persona al cabo de 5 horas

20 . (0. 7 )5=20 . (0 .7 ) (0 .7 ) (0 .7 ) (0 . 7 ) (0 .7 )=3 .36 mgExponentes enteros y positivos

Para n∈Ζ y, el producto de n veces a lo denotamos por an y lo llamamos “potencia n-ésima de

a ”an=a .a. a .a .. .a⏟

n−veces

, donde n es el exponente,a es la base. Por ejemplo a5 es la quinta potencia de a . Cuando un símbolo se escribe sin exponentes, se sobreentiende que su exponente es 1, es decir que, a1=a

Teniendo en cuenta el ejemplo anterior ¿Qué cantidad de medicamento permanece en el cuerpo de la persona?

Una bacteria se duplica cada 2 minutos. ¿Cuántas bacterias habrán al cabo de 10 minutos?

Propiedades de los exponentesSi x , y∈ℜ y m , n∈Ζ se cumplen las siguientes propiedades:

1. Producto de potencias de igual base xm . xn=xm+n

2. Potencia de una potencia (xm )n=xm . n

3. Potencia de un producto xm . ym=( x . y )m

4. Potencia de un cociente ( xy )

m= xm

ym , y≠0

5. Cociente de potencias de igual base

xm

xn=¿ {a ) xm−n , si m>n ¿ {b) 1 , m=n¿ ¿¿¿

6. Exponente cero x0=1, x≠0

7. Exponente negativox−m= 1

xm, x≠0

Nota: la potenciación no es distributiva con respecto a la suma o a la resta, es decir que:

(a±b )n≠an±bn

Ejercicios

1. Teniendo en cuenta las propiedades de los exponentes, escriba la expresión de manera que la variable aparezca una sola vez y todos los exponentes sean positivos:

a)2−4 . 22 . (23)−2

b) 4 a5 b−4

5 a−3 b c) (2√3 )4

d) (x2− y2 )−1

2

e) 2−3+2−1

2−2

f) (x−2− y−2)−1

x− yg)( x−2 y−3 z 4

z−1 x5 y2 )−2 h) (2−2 . 3−1 )0 i)

81 x3 y−2

9 x5 y−3

j) ( 2

3 )−3−(− 3

2 )+ 35

k)((−2 )2−5 )2 l.

( 1x+1 )

−1 ( x+3 )−2

x+1

(x−1+. y−1)2 n)x−2+ y−2

0)(2−2+3−1)3

p) (12 x8n−18 x9n )/6 x7 n

2. Una varilla toma su forma a una temperatura aproximada de 105°C y se enfría expuesta al

aire a 20°C. Después de t minutos, la temperatura es 20+81(3 )−t¿Cuál es la temperatura de la

varilla después de 5 minutos? ¿Después de 12 hora? ¿Qué sucede con la temperatura de la varilla

cuando el tiempo transcurre indefinidamente?

RADICALES Y EXPONENTES RACIONALESLa radicación es un caso particular de la potenciación, con exponente racional; si a∈ℜy m , n∈Ζ se define:

amn=

n√am=( n√a )m

, donde a n se le denomina índice y a cantidad subradical o radicando

Ejemplo: Se desea construir una fuente circular en un área de 5m2, si la fuente en su base, debe tener un área de 3m2. ¿Cuál debe ser el radio del círculo?

Encontramos el radio del círculo al despejar y calcular r en la formula A=πr 2, así:

r2= Aπ ⇒

r=√ Aπ , por tanto

r=√ 3π=0 . 98 m

Teniendo en cuenta lo anterior se puede formular una nueva definición para los radicales

Ejemplo:

1. √25=5 y √25=−5 porque 52=25 y (−5 )2=25

2. 4√81=3 porque 3

4=81

3. 3√−512=−8 porque (−8 )3=−512

4. √−64∉ℜ (no existe)Es importante recordar que los radicales de índice par y radicando negativo no tienen raíces reales.

Si n∈Ζ+, y x , y∈ℜ tal que x

n= y , entonces x es la raíz n-

ésima de y . Es decirn√ y=x si y sólo si x

n= y

1. Todo radical de índice par y radicando positivo, tiene dos raíces reales de igual valor absoluto y signo contrario.

√64=±8 porque 82=64 y (−8 )2=64

2. Un radical de índice par y radicando negativo, no tiene raíces reales

√−64∉ℜ ; 4√−16∉ℜ

3. Todo radical de índice impar tiene una sola raíz. Esta raíz es del mismo signo que el radicando

5√−32=−2 porque (−2 )5=−32

EXPONENTES FRACCIONARIOS

Hasta el momento se ha estudiado la potenciación cuando el exponente es un entero positivo, negativo o cero. Pero surge una pregunta ¿Cómo debemos definir los símbolos 3

12 , 5

22 de manera

que todas las leyes de los exponentes sigan cumpliéndose?. Esta pregunta puede ser resuelta con la ayuda de la radicación y los exponentes fraccionarios.

Ejemplos:

a) 312=√3 b) 8

23=(8

13 )2=3√8 . 3√8=(2 ) . (2 )=4

Toda potencia con exponente fraccionario, puede escribirse utilizando radicales; y toda expresión con radicales puede escribirse con exponente fraccionario, mientras la expresión exista:

Ejemplos:

Escribir la expresión (18 x6 y3 )23 en forma de radical

(18 x6 y3 )23=

3√(18 x6 y3 )2

Escribir la expresión 4√ (a+b )3 en forma de exponente fraccionario

4√ (a+b )3=(a+b)43

Ejercicios:

1. Escribir con radicales las expresiones siguientes

a. x35 b. 8

−23 c. (4 xy2 )

12

d. ( x+ y )12

e. x12

+ y12

2. Escribir las expresiones siguientes con exponente fraccionario:

a. 3√ x2

b. √ x2+ y2c.

3√ x9 y12d.

4√a+b e. 5√32 x5 y15

3. Simplificar y expresar el resultado con exponente positivo

a) x35 x

13 b)

(x−34 )−

12

c) 4√ x

3√ x−1 d)

( 3 x−12

y−12

x−12− y−

12 )

−2

e) 3√ ( x+ y )5 ( x+ y )

−23

Para n∈ℵ y n 1, con x∈ℜ , x1n=n√ x si y sólo si

n√ x∈ℜ

Para todo m ,n∈Ζ+,x∈ℜ , y n√ x número real x

mn=(x

1m)n= n√xm ¿ ( n√x )m

f) (x

32+x

12 )(x

32−x

12 )

g) (16−2 x

12 y−

3

81−1a−

12

y3 )− 1

4

h) √ (x−2+ y−2 )−2

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

Si x , y∈ℜ y m , n∈Ζ+ se cumplen las siguientes propiedades:

1. Raíz de un producton√ x . y=n√ x . n√ y

2. Raíz de un Cocienten√ x

y=n√xn√ y

, y≠0

3. Raíz de una raízn√m√x=n. m√x

4. Propiedad fundamentaln√ xm=

n. p√xm . p , p∈ℵ

5. Propiedad de exponentes fraccionarios ( n√x )m=n.√xm=xmn

Siempre que los radicales sean reales

Recuerde que la radicación no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta√a+b≠√a+√b

SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

Caso 1: El exponente del radicando es divisible por el índice del radical

Ejemplos:

1. 3 .√ x3=x

33=x 2. √a8=a

82=a4

3. 4 .√x12 y 4=x

124 y

44=x3 y1

4.

3√ a6

b9=a

63

b93

=a2

b3

Caso 2: El exponente del radicando no es divisible por el índice del radical

Cuando el exponente del radicando es mayor que el índice (pero no divisible) se descompone el radicando en dos factores, de modo que el exponente de uno de ellos, sea divisible por el índice:

Si n .√ xm=xmn , y , m=n+ p entonces

n .√ xm=xn+ p

n =xnn x

pn=x n√ x

Ejemplos:

3 .√16 x4

: se decompone 16 en factores primos⇒16=24=23+1 y x

4=x3+1. Esto es:

3 .√16 x4=3√24 x4=

3√23+1 x3+1=3√23 x3 3√2x=2 x 3√2 x

√50=√2∗25=√25√2=5√2

Ejercicios

1 Teniendo en cuenta las propiedades de los radicales, resuelva cada uno de los siguientes ejercicios:

a. 3√512 a8

64 a2 b. 3√√√4096 c.

3√ x9 y12d.

4√ ( a+b )7

(a+b )3 e. 5√32 x5 y15

f. √864 g. √ (a+b )2 h. √32+42k. √450 l.

3√−1728

m. √ (x−1+ y−1 )2 n. 6√a9 b15 o. √ ( a+b )−1

(a+b ) p. 3√9 x2 y .

3√3 xy 5