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SECRETARIA DE EDUCACION PÚBLICA
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA NACIONAL
UNIDAD 153 ECATEPEC
"LAS ESTRATEGIAS UTILIZADAS POR LOS ALUMNOS DE CUARTO
GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA PARA RESOLVER PROBLEMAS
MATEMÁTICOS VINCULADOS CON EL EJE LOS NÚMEROS SUS
RELACIONES y SUS OPERACIONES"
T E SIN A
QUE PARA OPTAR POR TITULO DE:
LICENCIADO EN EDUCACIÓN
PRESENTA:
YGNACIA SANCHES YSLAS
ASESOR:
SARA JARAMILLO POLITRÓN
ECATEPEC, EDO. DE MEXICO, DICIEMBRE 2003.
ÍNDICE.
INTRODUCCIÓN
CAPITULO I: LOS PROBLEMAS MATEMATICOS EN EL CUARTO
GRADO DE EDUCACIÓN PRIMARIA
1.1 La construcción del conocimiento matemático según la teoría de Jean
Piaget.
1.2 Los libros de texto de matemáticas para el alumno y su relación con la
teoría.
1.3 La estructura de los problemas matemáticos de cuarto grado de acuerdo
a los programas de estudio.
CAPITULO II: LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS y SU RESOLUCIÓN
2.1 Cómo resuelven los niños los problemas matemáticos
2.2 Análisis de resultados
CAPÍTULO III: COMO RESUELVEN LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS
LOS ALUMNOS DE CUARTO GRADO
3.1 El enunciado del problema y su resolución
3.2 La estrategia más utilizada por los alumnos y sus implicaciones en la
comprensión de las matemáticas
3.3 Sugerencias para trabajar problemas matemáticos en la escuela
CONCLUSIONES
FUENTES DE CONSUL TA
INTRODUCCIÓN
En el aprendizaje de las matemáticas, el resolver problemas desempeña un
papel muy importante ya que es el medio a través del cual el alumno desarrolla su
pensamiento lógico, es decir adquiere la capacidad para coordinar las relaciones
que crea entre los objetos y las acciones que realiza, y esto no sólo en el ámbito
del conocimiento matemático sino que se convierte en toda una forma de concebir
la realidad.
Dada su importancia, la resolución de problemas es ahora la meta principal
en el área de las matemáticas en la educación básica. Por ello, en la propuesta
matemática (SEP-1993), la resolución de problemas constituye uno de los ejes
más importantes de proceso enseñanza aprendizaje. En ella se señala que:
"Se espera que el alumno aplique los conocimientos de la matemática que
va construyendo durante su paso por la escuela"1
La presente investigación se limita a los alumnos de cuarto grado de
educación primaria porque es el grado en que formalmente los alumnos ya
emplean de manera práctica las operaciones básicas, elemento fundamental para
la resolución de problemas, y por ello ya son capaces de adentrarse en este tema.
El reconocer que resolver problemas es una actividad esencial en el
desarrollo y aprendizaje de las matemáticas en la escuela primaria, presenta la
necesidad de plantear y descubrir la manera como los alumnos de cuarto grado
trata de encontrar respuestas correctas a los problemas que se les plantean.
1 ISEP. Plan Programas de Estudio 1993 Educación Básica Primaria. p. 51
Tomé en cuenta sólo el eje temático Los números sus relaciones y sus
operaciones, porque el tema a investigar se encuentra allí ubicado y porque creo
que si este tema no es revisado con claridad y formalidad, se perjudicará todo el
posterior proceso de aprendizaje del alumno.
Es evidente que el aprendizaje de Ia resolución de problemas es compleja en
función del tipo de la práctica didáctica del docente pues si éste hace difícil lo fácil,
lógico que para el alumno será difícil.
Surgió en mí el interés por investigar en torno al área de matemáticas, y
específicamente en la resolución de problemas porque a través de 11 años de
práctica docente, de los cuales 5 han sido trabajados en el cuarto grado de
educación primaria, me he dado cuenta de que el alumno se ve en serias
dificultades al resolver problemas matemáticos. Muchos de los alumnos no
identifican el tipo de operación que deben realizar, o les resulta difícil formular un
planteamiento que los lleve a la solución, esto lo lleva a recurrir a su sentido
común el cual no les permite desarrollar un razonamiento lógico sobre los
procedimientos que debe utilizar correctamente o, dicho de otra forma, no puede
hacer explícito el procedimiento utilizado o, no es capaz de solucionar el problema.
Un problema es una situación en la cual se presenta un obstáculo o reto a
vencer para los alumnos, en la cual los alumnos continuamente tienen que
desarrollar diversas habilidades y utilizar diferentes estrategias en su aprendizaje
matemático.
Los procedimientos o estrategias que el programa de la materia plantea
como comunes a realizar por los alumnos al resolver problemas matemáticos son
el tanteo, ensayo y error o bien probar varias hipótesis o ideas que les permitirán
construir ciertas relaciones a partir de las que elaborarán procedimientos
sistemáticos, sin embargo cada posibilidad implica un planteamiento específico del
problema, además de que esto no permite saber si los niños han relacionado el
algoritmo con la naturaleza del problema.
A medida en que los alumnos vayan ejercitando la resolución de problemas
mediante procedimientos convencionales irán hacía una evolución tanto de
procedimientos como de conceptualizaciones propias de las matemáticas.
Esta investigación se fundamenta en la teoría psicogenética, que estudia las
características en torno a la clasificación del desarrollo cognoscitivo durante la
infancia, la etapa en que se ubican los alumnos seleccionados es la de las
operaciones concretas que comprende de los 7 a los 11 años de edad.
La concreción de las operaciones depende tanto de las acciones efectuadas
en la mente sobre la base de un conocimiento previo, como de las manipulaciones
concretas. Así, en una nueva situación de aprendizaje es probable que sea
importante la actividad física con objetos reales, en la etapa de las operaciones
concretas, pero sólo hasta el momento en que el niño sea capaz de sustituir tales
manipulaciones físicas por las actividades mentales.
Los objetivos que se pretenden alcanzar en esta investigación son los
siguientes:
1. Describir los procedimientos que desarrolla el alumno para llegar a la
solución de los problemas matemáticos.
2. Analizar las formas de trabajo en el aula en cuanto a la resolución de
problemas matemáticos.
3. Identificar la relación que existe entre el enunciado del problema y la
operación realizada.
4. Analizar los procesos de resolución de los problemas matemáticos en
relación con el desarrollo del niño según la teoría psicogenética , el plan y
programas y la práctica docente.
En la parte metodológica, primeramente realice una revisión bibliográfica en
textos con relación a la teoría psicogenética, sobre el pensamiento matemático del
niño en educación primaria, en torno al contenido programático en los libros de
texto y planes y programas, con el fin de delimitar la investigación y fundamentarla
teóricamente.
Posteriormente, realice una investigación, de campo mediante la aplicación
de dos cuestionarios con problemas matemáticos para ser resueltos a través de
las cuatro operaciones básicas, con la finalidad de indagar las formas o
procedimientos que emplean los alumnos al resolverlos, una vez aplicados procedí
a diseñar una guía de entrevista donde se analizan las estrategias o
procedimientos que utilizan los alumnos para resolver los problemas matemáticos.
En la presente investigación, el aspecto observacional cobra relevancia sin
que la teoría deje de tener gran importancia. Durante el proceso de construcción
se debe tener en cuenta que debe haber un equilibrio entre la teoría y los datos
empíricos, se trata de utilizar la teoría a modo de poder conceptualizar lo
observado sin ocultar los datos empíricos.
El esquema general de este trabajo es el siguiente:
En el primer capítulo se presenta un breve resumen de cómo se construye el
conocimiento matemático según la teoría psicogenética de Jean Piaget, y que se
recupera en la escuela primaria como el argumento sobre el cual el maestro puede
sustentar en su práctica docente. Así como la estructura de los libros de texto de
matemáticas para cuarto grado editados por la SEP para la educación primaria y
la estructura de los problemas matemáticos de acuerdo a los programas de la
materia.
En el segundo capítulo. se expone y se desarrolla la parte medular de este
trabajo de investigación que es el cómo resuelven los niños los problemas
matemáticos. se hace la presentación de los dos cuestionarios planteados a los
alumnos, la realización del análisis de resultados que arrojaron los problemas
planteados a través de la elaboración de gráficas con las variables de ejecución y
solución. Así como las entrevistas realizadas con el fin de que la interpretación y
análisis de los resultados sea claro y específico.
En el tercer capítulo se expone el tratamiento del enunciado del problema y
su resolución. Citando principalmente la propuesta de George Polya "Cómo
plantear y resolver problemas". También se establecen las estrategias más
utilizadas por los alumnos en la comprensión de las matemáticas.
Finalmente se emiten algunas sugerencias y conclusiones como resultado
del proceso que llevó la investigación.
CAPITULO I
LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN EL CUARTO GRADO DE
EDUCACIÓN PRIMARIA.
1.1LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICO SEGÚN LA
TEORIA DE JEAN PIAGET.
Kamii Constance, en su obra ¿Como se construye el conocimiento
matemático? menciona que con respecto a la construcción del conocimiento,
Piaget afirmó que hay tres tipos de conocimiento que son: el físico, lógico-
matemático y social.2
El conocimiento físico: es el conocimiento que se da a través de las
características físicas de los objetos de la realidad externa, es decir lo que se
conoce empíricamente mediante la observación.
El conocimiento lógico-matemático: consiste en la relación creada por cada
individuo, este tipo de conocimiento no es empírico porque sus fuentes se
encuentran en la mente. El niño progresa en la construcción de su conocimiento
lógico-matemático coordinando las relaciones simples que crea entre los objetos.
El conocimiento social: este conocimiento es posible tomando como base las
convenciones establecidas por las personas, una característica de este tipo de
conocimiento es su naturaleza eminentemente arbitraria, es decir sí aun objeto se
le da un nombre, no se hace reflexión del por qué se le llama de esa manera.
2 Cfr. KAMII. Constante "¿Cómo se Construye el Conocimiento Matemático?, en UPN,
Construcción del conocimiento matemático en la escuela. Antología Básica, México 1985. Pp.7-9
El desarrollo intelectual del niño es un proceso continuo de construcción de
estructuras cognitivas las cuales no se encuentran preformadas en el sujeto, sino
que deben ser desarrolladas y reconstruidas en diferentes planos y en períodos
subsecuentes. Dicho desarrollo depende, tanto de la maduración física, es decir
del sustrato biológico adquirido por la especie humana en su evolución, como por
la interacción con el medio ambiente que rodea al sujeto.
"El desarrollo del conocimiento es un proceso espontáneo, porque va
llevando una secuencia de sucesos en el.,"desarrollo del intelecto, la cual es
temporal, a medida que las estructuras cognitivas crecen se van modificando,
sirviendo siempre como base para desarrollar otras mas complejas".3
Para Piaget el aspecto más importante de la psicología reside en la
comprensión de los mecanismos del desarrollo de la inteligencia para la
construcción del pensamiento.
Según Piaget, el individuo recibe dos tipos de herencia intelectual: por un
lado, una herencia estructural y por otro, una herencia funcional.
"La herencia estructural parte de las estructuras biológicas que determinan
al individuo en su relación con el medio ambiente"4
Por ejemplo nuestro sistema visual solo percibe ciertas partes de un objeto y
otras no, otro ejemplo sería el del sonido, no todos los sonidos se alcanzan a
percibir en un mismo tiempo. Todos recibimos la misma herencia estructural, todos
tenemos capacidad de recordar es decir de memorizar, de atender, de conocer.
Pero es gracias a la herencia funcional que se van a producir distintas estructuras
mentales, que parten de un nivel muy elemental hasta llegar aun estadio máximo.
3 RICHMOND P. G. Introducción a Piaget. Colección Ciencia serie Psicología. p.20.
4 GOMEZ Palacio Margarita. El niño v sus primeros años en la escuela. p. 26
"Este desarrollo se llama génesis, y por esto la teoría que estudia el
desarrollo de las estructura mentales se le denomina psicología genética".5
La originalidad de la psicología gen ética es estudiar cómo se realiza este
proceso (el desarrollo de las estructuras mentales), cómo podemos propiciarlo y,
en cierto sentido estimularlo.
Gracias a la herencia funcional se organizan las distintas estructuras. La
función más conocida, tanto biológica como psicológica, es la adaptación. La
adaptación forma lo que se denominan las invariantes funcionales, llamadas así
porque son funciones que no varían durante toda la vida, ya que
permanentemente tenemos que organizar nuestras estructuras para adaptarnos.
Piaget postula que el intelecto se desarrolla mediante la adaptación, la cual
está comprendida por dos fases que son la asimilación y acomodación.
"La asimilación es el resultado de incorporar el medio al organismo y de las
luchas o cambios que el individuo tiene que hacer sobre el medio para poder
incorporarlo"6
Por ejemplo al comer se mastica la comida, luego se digiere y se toma de
ella lo que el cuerpo necesita. Psicológicamente, al leer un texto se analiza, se
comprende y se asimila en la medida en que es comprendido. Lo que no es
importante del texto, se olvida. A medida en que el ser humano realice lecturas de
fácil comprensión a mayor grado de dificultad, su intelecto irá creciendo y podrá
entender lecturas más complicadas. Así la mente se irá acomodando a lenguajes,
ideas, argumentos más y más difíciles. Toda la vida estaremos adaptándonos a
través de las funciones de asimilación y acomodación.
5 Gómez Palacio Margarita. Op. Cit. p. 27 6 Ibid. P.29
Estos movimientos de asimilación y acomodación se pueden repetir
constantemente. Esa repetición tiene como resultado facilitar la adaptación. A la
incidencia de invariantes funcionales se les llama esquemas de acción.
Los esquemas de acción se pueden modificar y, de hecho, cada modificación
de un esquema de acción provoca una acomodación que permite la asimilación de
situaciones más complejas.
"Las acciones responsables de una estructura son la asimilación y la
acomodación, éstas no se dan de una manera aislada o separadas, sino que se
complementan a través de coordinaciones recíprocas desencadenando ajustes
activos, llegando aun equilibrio. Dentro de la teoría de Piaget el equilibrio es un
estado relativo de permanencia de las estructuras" 7
Durante el aprendizaje, la creación y modificación de esquemas de acción
será lo que determine su aplicación y progreso, finalmente la generalización de los
esquemas de acción se traducirá en un aprendizaje real y significativo.
En el texto "El niño y sus primeros años en la escuela", Margarita Gómez
Palacio señala que una de las aportaciones mas importantes de Piaget ala
psicología ya la educación en general fue estudiar los esquemas de acción que
caracterizan los diferentes estadios o etapas de desarrollo del individuo.
Las etapas de desarrollo intelectual que propuso Jean Piaget con base en el
texto de Margarita Gómez Palacio son:8
7 Ibid. p. 29
8 Cfr. Ibid. p. 29
1. La inteligencia sensorio-motora que se da hasta los 24 meses de vida. En
el curso de este período el niño forma el concepto de objeto como algo distinto al
"yo", partiendo de percepciones fragmentarias y de la manipulación de la realidad.
2. El estadio preoperatorio hasta los 6-7 años. En este período se produce un
gran desarrollo de la función simbólica. Por medio del lenguaje y del juego se da
una progresiva interiorización de la acción. El pensamiento es todavía plenamente
egocéntrico e intuitivo.
3. El período de las operaciones concretas, de los 7 a los 11-12 años. A
través de las operaciones de clasificación y seriación realizadas sobre los objetos
concretos y posibilidades por la reversibilidad del pensamiento el niño llega a
adquirir nociones tales como cantidad, número, espacio, tiempo, causalidad y
conservación.
4. El período de las operaciones formales de los 12 a los 15 años. En este
período aparece ya el pensamiento formal, que hace posible una coordinación de
operaciones que antes no existía. El adolescente opera ya en lo abstracto, formula
hipótesis y las verifica mediante un sistema reversible de operaciones lógicas.
Una de las grandes aportaciones de Piaget fue el poner de manifiesto que el
crecimiento intelectual no consiste en una adición de conocimientos, sino en
grandes períodos de reestructuración y, en muchos casos, reestructuración de las
mismas informaciones anteriores, dichas informaciones cambian de naturaleza al
entrar en un nuevo sistema de relaciones.
"En su teoría, Piaget señala que el conocimiento objetivo aparece como un
proceso de desarrollo. El camino hacia este conocimiento objetivo no es lineal, no
nos aproximamos a él paso a paso agregando piezas de conocimiento una sobre
otra, sino por grandes reestructuraciones globales, algunas de las cuales son
erróneas con respecto al punto final, pero constructivas en la medida en que le
permiten acceder a él. Entre sujeto y objeto de conocimiento existe una relación
dinámica y no estática, el sujeto es activo frente a lo real, e interpreta la
información proveniente del entorno".9
Según Piaget, toda nueva adquisición de conocimiento implica construir, el
aprendizaje es pues construcción. Cada nueva construcción es relacionada por el
niño, fundamentalmente, con los esquemas que ya posee, es decir con sus
saberes ya construidos en función de su experiencia cotidiana. La construcción del
conocimiento la realizamos todos los días y en casi todos los contextos en los que
se desarrolla nuestra actividad y que depende de dos aspectos a, saber:
1. De la representación inicial que tengamos de la nueva información.
2. De la actividad externa o interna que desarrollamos al respecto.
Para comprender el proceso a través del cual los niños construyen el
concepto de número, podemos decir que el concepto de número es el resultado de
la síntesis de las operaciones de clasificación y seriación, número es la clase
formada por todos los conjuntos que tienen la misma propiedad numérica y que
ocupa un rango en una serie, y para comprenderlo será necesario analizar en qué
l consisten esas operaciones.
"Clasificación: es una operación lógica fundamental en el desarrollo del
pensamiento, cuya importancia no se reduce a su relación con el concepto de
número, sino que interviene en la construcción de todos los concepto que
constituyen nuestra estructura intelectual. Podríamos decir en términos generales
que clasificar es juntar por semejanzas y separar por diferencias"
Hay que aclarar que cuando decimos juntar o separar, nos referimos a
acciones que generalmente no se realizan en forma efectiva o visible, no juntamos
9 Ibid. p. 26-27
ni separamos concretamente esos elementos, lo hacemos pensándolo, es decir en
forma inte riorizada.
Cuando los niños no han construido mentalmente las relaciones Lógico
matemáticas de los números, todo lo que perciben son las características físicas
de la realidad externa de los objetos y es en este momento cuando son capaces
de utilizar la correspondencia biunívoca empírica para construir conceptos
numéricos.
La clasificación se fundamenta en las cualidades de los objetos, es decir, en
sus propiedades cualitativas.
"Seriación: al igual que la clasificación la seriación es una operación que
además de intervenir en la formación del concepto de número constituye uno de
los aspectos fundamentales del pensamiento lógico" 10
Seriar es establecer relaciones entre elementos que son diferentes en algún
aspecto y ordenar esas diferencias que se podrán efectuar en dos sentidos
creciente y decreciente, por ejemplo 1 ,2 y 3 ó 3,2 y 1.11
Las seriaciones, al igual que las clasificaciones, las realizamos siempre en
forma interiorizada, pero podemos además, en algunos casos, realizarlas en forma
efectiva sobre los objetos.
10 PIAGET. Jean y SZEMINSKA, Alina. Génesis del número en el niño. p.59
11 Ibid. p.59
En síntesis, puede decirse que el número es a l mismo tiempo clase y relación
asimétrica, se deriva tanto de la clasificación como de la seriación. Esto implica
que está íntimamente relacionado con ambas operaciones lógicas, pero no puede
reducirse a ninguna de ellas aisladamente, ya que es el resultado de la fusión de
esas operaciones.
Para establecer la equivalencia: entre dos conjuntos es necesario usar la
operación de la correspondencia.
La correspondencia término a término o correspondencia biunívoca es la
operación a través de la cual se establece una relación uno a uno entre los
elementos \ de dos conjuntos o más a fin de compararlos cuantitativa mente.
La operación de correspondencia representa una fusión de clasificación y
seriación ya que:
-Mientras se está clasificando con base en cualidades, la clasificación es una
operación j centrada en las semejanzas, los elementos se reúnen precisamente
con base en los parecidos que guardan entre si y se consideran equivalentes en
función y criterio, independientemente de sus diferencias. Mientras se está
seriando con base en criterios cualitativos, la seriación se centra en s diferencias,
ya que consiste precisamente en ordenar esas diferencias.
"Es decir que, en el terreno de lo cualitativo, clasificación y seriación se
mantienen separadas. Pero cuando se trata de establecer equivalencia numérica
entre dos conjuntos, es decir, cuando prescinde de las cualidades, los elementos
son considerados al mismo tiempo como equivalentes y como diferentes:
-Equivalentes, porque a cualquier elemento de un conjunto le puede
corresponder cualquier elemento en el otro; son considerados como unidades
intercambiables.
-Diferentes en el sentido de que pueden ordenarse: si, al establecer la
correspondencia." 12
Dado que se hace abstracción de las cualidades, lo único que se puede
diferenciar en cada unidad de las demás es el orden, es decir, la posición en que
se coloca cada elemento. El único orden admitido...es el que se establece en el
acto mismo de establecer la correspondencia.
Es en este sentido que puede decirse que la noción de número resulta de
una .Síntesis de las operaciones de clasificación y seriación.
Sólo a partir de la comprensión y asimilación de este principio básico
(concepto de número) los alumnos podrán consolidar su capacidad para operar
con los conocimientos nuevos que el medio escolar les proporciona.
El medio escolar resulta un espacio en donde el sujeto que aprende puede
tener la posibilidad de construir y utilizar esquemas de conocimiento para
comprender, los contenidos que se encuentran es tablecidos en los libros de texto .
12 Idem.
4.2 LOS LIBROS DE TEXTO DE MATEMÁTICAS PARA EL ALUMNO y
SU, RELACION CON LA TEORIA.
El plan y programas tienen la función de organizar la enseñanza y diseñar
formas de trabajo en las escuelas primarias a nivel nacional, además el
proporcionar los libros de texto gratuitos y la producción de otros materiales
educativos.
En la vida cotidiana de la escuela, los libros de texto son parte de la cultura
pedagógica entre el alumno y el profesor y es a través de ellos se efectúan
diferentes vivencias académicas.
En la elaboración de los libros de texto se puso en marcha un nuevo enfoque
sobre la enseñanza de las matemáticas que consiste en que los alumnos
aprendan matemáticas mediante la resolución de problemas.
En los libros de texto se pretende relacionar los contenidos temáticos con
otras asignaturas y de interrelacionar los contenidos temáticos de las distintas
asignaturas con la finalidad de que las herramientas que los alumnos van
construyendo puedan I encontrar relación con las otras asignaturas.
En la estructura de los libros de texto podemos observar que el número de
lecciones se consideraron con base en el calendario escolar dado por la SEP.
Cada una de las lecciones está comprendida en dos páginas, es decir, el
tema está elaborado de tal manera que el alumno vea que no es extenso, además;
para facilitar el trabajo, la primera página se puede abordar en forma de
introducción al tema en una primera clase y la segunda como reafirmación del
tema.
Cada una de las lecciones inicia con una situación problemática, a partir de
la cual se desarrollan diversas actividades, comentarios y discusiones para que se
vayan abordando durante la clase, estas actividades tienen una secuencia ya
medida que se avanza, el grado de dificultad del contenido temático irá creciendo.
Al investigar sobre la función del libro de texto de matemáticas para el cuarto
grado de educación primaria. Se obtuvo un audio cassette de Hugo Balbuena y
Alicia Ávila. Autores del libro de texto de matemáticas para cuarto grado en el que
mencionan que las funciones del libro de texto son:
1. Ampliar las estrategias, como el desarrollo de las investigaciones
2. Reafirmación de los contenidos temáticos.
3. Promover la reflexión de los alumnos.
4. La comprensión para ampliar el lenguaje oral-escrito.
5. Promover el desarrollo de la imaginación así como la maduración de la
percepción y la abstracción" 13
"En el plan y programas se menciona que su fuente de apoyo es la teoría
piagetana .donde se establece que el conocimiento se construye mediante la
actividad del sujeto sobre los objetos"14
Los contenidos escolares son considerados como objetos de conocimiento
con una identidad y unas características propias y, a partir de la interpretación de
los ,progresos cogniti vos que proporciona la teoría gen ética, se analizan los
momentos por los que pasa su elaboración y los procedimientos que utilizan para
ello los alumnos. Para que el contenido de aprendizaje sea potencialmente
significativo es necesario que
13 BALBUENA, Hugo y Alicia . Los libros de texto de matemáticas, para tercero y cuarto grado de educación primario. Audio cassette. 14 SEP,Plan y programas de estudio. Op. Cit..p.14.
-La naturaleza del problema a resolver tenga sentido para el alumno y que
exista una organización y significación adecuada.
Que existan en la estructura cognitiva del alumno contenidos previos, es
decir que se puedan relacionar con el nuevo conocimiento.
El aprendizaje significativo se da cuando se ponen en relación los elementos
que ya existen como conocimiento en el sujeto (saberes, creencias, certidumbre,
etc.,) con lo que va a aprender de manera sustancial, no arbitraria.
Lo arbitrario se refiere aun material que no tiene una organización y
significación adecuadas. Lo sustancial, cuando lo aprendido no es impuesto
arbitrariamente.
"Lo que dice Piaget en torno a la construcción del conocimiento matemático
es que toda elaboración cognitiva supone un proceso largo, gradual, hasta llegar
ala noción de número; por ejemplo, primero hay que tener una lógica de la acción,
manipular cosas, luego hay que clasificar, agrupar, por categorías, establecer ¡
relaciones seriales, luego hay que establecer correspondencias unívocas entre I
conjuntos y sólo hasta el final, después de muchos tropiezos, el conocimiento se
construirá progresivamente" 15
La vinculación que se da entre el plan y programas, la teoría de Piaget y los
libros de texto, es que en todos ellos se determina que los contenidos de
aprendizaje se basan en el desarrollo cognoscitivo del niño y que los procesos que
siguen en la adquisición de nuevos conocimientos, mediante las abstracciones
sucesivas que va realizando, deban ser significativas para él.
15 -Secretaría de Educación, Cultura y Bienestar Social. Revista Educativa No.17 .p.60
Aprender un contenido, desde la Teoría Psicogenética quiere decir que a
partir de las ideas preexistentes respecto al nuevo aprendizaje, se permita
entonces que el , conocimiento anterior, general y estable pueda avanzar, lo que
implicaría entonces un ,proceso de elaboración, en el sentido de que del conjunto
de informaciones que llegan ,alumno, de toda una serie de fuentes de información,
(entre ellas el profesor), el ,alumno seleccione algo de esa información, la organice
de una forma determinada y ,establezca relaciones entre los datos; esto quiere
decir que construye un modelo o una representación. De aquí se desprende que
uno de los factores decisivos en la construcción del conocimiento es el
conocimiento previo con que cuenta el alumno para acercarse aun nuevo
contenido de aprendizaje.
En su texto "Los Problemas Matemáticos", Romeo Froylán Caballero Ramos,
menciona que los contenidos curriculares del plan y programas se clasifican en
tres ejes: matemático, psicológico y pedagógico. En el eje matemático se genera
la necesidad de un análisis y reflexión previa respecto a qué y cuánto es necesario
que el maestro tenga claro en el ámbito de las nociones matemáticas para, a su
vez, \ manejarlas en su grupo sin errores conceptuales que desvirtúen la noción
misma. I Respecto al eje psicológico, implica al igual que el anterior, una
delimitación de los requisitos o elementos que son necesarios que el maestro
conozca para adecuar su quehacer docente a las características y posibilidades
del pensamiento de los alumnos".16
En este caso el propósito sería un cambio de actitud en el maestro que
amplíe sus posibilidades de ver y oír lo que el alumno hace y dice otorgando
validez y significado a estas acciones.
16 CABALLERO, Ramos Romeo Froylán., Los Problemas Matemáticos. p.81
De los dos ejes anteriores se podría derivar el eje didáctico, es decir que por
un lado habría criterios o enfoques didácticos que nos interesa propiciar, los
cuales enriquecidos por los dos ejes anteriormente citados, darían lugar a la
posibilidad de elaborar situaciones didácticas que puedan fundamentarse en los
criterios que sostenemos respecto ala didáctica de la matemática.
La didáctica matemática es aquella que permite que entre el sujeto y el
medio (maestro, compañeros y saber) se establezca una interacción constante
para que el alumno construya su propio conocimiento.
Dicha interacción permitirá el intercambio y confrontación de opiniones que
ayudarán a conocer la estructura de los problemas matemáticos, además de
generar actitudes de cooperación y colaboración para resolver problemas.
1.3 LA ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS DE
CUARTO GRADO DE ACUERDO A LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO.
El objetivo en la enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria es
que, los alumnos, a partir de los conocimientos con que llegan a la escuela,
comprendan más cabalmente el significado de los números y de los símbolos que
representan y que: puedan utilizarlos como herramientas para solucionar diversas
situaciones problemáticas. La resolución de problemas es entonces, a lo largo de
la escuela primaria, el sustento de los nuevos programas. A partir de las acciones
que el alumno realiza al resolver un problema (agregar, unir, igualar, quitar, buscar
un faltante, sumar repetidamente, repartir, medir, etc.) el alumno construye
significados de las, operaciones. La dificultad de los problemas que se plantean,
va aumentando en los grados. El aumento de dificultad no radica solamente en el
uso de números, mayores, si no también en la variedad de los problemas que se
resuelven con cada una de las operaciones y en las relaciones que se establecen
entre los datos.
"Las operaciones básicas son concebidas como instrumentos que permiten
resolver problemas; el significado y sentido que los alumnos puedan darles deriva,
precisamente, de las situaciones que resuelven con ellas"17.
Si queremos que nuestros alumnos adquieran la habilidad para plantear y
resolver problemas, es necesario que desarrollen un pensamiento reflexivo, lógico
y critico por lo que se recomienda que el planteamiento del problema sea a través
de '; textos, imágenes u otro. Por ello, a lo largo de la escuela primaria se
proponen; contenidos que tiendan a desarrollar en los alumnos la capacidad para
tratar la información de un problema.
"Por eso, los problemas matemáticos que se presenten a los alumnos, deben
estar ideados para fomentar la reversibilidad de pensamiento, propiciando tanto la
realización de acciones directas, como las inversas a éstas, para que el alumno:
reflexivamente al punto de partida. Se recomienda también, presentar de; forma
simultánea problemas que se puedan resolver por medio de las operaciones ',
básicas de tal manera que el alumno se entrene mentalmente para enriquecer sus;
estructuras de pensamiento"18
El entrenamiento mental se considera importante porque el pensamiento de
los alumnos se volverá ágil y flexible, así al tener que realizar un conjunto de
acciones el alumno puede cambiar el orden de realización o la forma de asociar
las mismas; o también, puede descomponer una acción en subacciones y
conmutar o asociar éstas de manera diferente, Por ejemplo en las entrevistas
realizadas podemos observar que s alumnos son capaces de sintetizar, comparar
y al mismo tiempo comentar las acciones realizadas en el trayecto de la resolución
de problemas, En este sentido el estro deberá guiar y fomentar la realización de
dichas acciones para resolver problemas matemáticos, utilizando caminos
17 SEP. Plan v Programas de Estudio. Op. Cit. p.53
18 CABALLERO, Ramos Romeo Froylán. Op, Cit.-p.87
diferentes; también deberán estar diseñados para que la matemática se convierta
en un ejercicio mental, por ejemplo la conmutatividad y la asociatividad, son,
propiedades básicas de las operaciones aritméticas y pueden ser una ejercitación
para desarrollar la agilidad mental.
La relación todo-parte es fundamental para dominar el planteamiento y
resolución de problemas matemáticos; puesto que solamente comprendiendo la;
estructura que forman los datos, las condiciones y las relaciones, se puede
establecer ;Un planteamiento adecuado para su resolución; es decir, que todo
elemento solamente se podrá comprender significativamente si se le ubica dentro
de dicha estructura. "El aprendizaje significativo se logra mediante la actividad que
tiene un objetivo para quien la realiza y surge cuando el niño; para responder una
pregunta de su interés o resolver un problema motivante, tiene la necesidad de
construir una solución, un Problema no es un enunciado escrito que deba
completar un dato, son más bien situaciones que permiten desencadenar
actividades, reflexiones, estrategias y discusiones que llevarán a la solución
buscada, mediante la construcción de nuevos conocimientos"19
La construcción de esos nuevos conocimientos tienen que estar relacionados
con las experiencias de aprendizaje que el niño ya comprende, o bien todo nuevo
aprendizaje ha de basarse en aprendizajes previos.
"La resolución de problemas se concibe como la acción generadora de un
proceso a través del, cual quien aprende combina elementos del conocimiento
reglas, técnicas, destrezas y conceptos previamente adquiridos para dar una
solución a una ,8ituación nueva".20
El plan y programas para la escuela primaria se menciona que todo
problema matemático debe cumplir con dos requisitos:
19 SEP. Libro Para el Maestro. Matemáticas Cuarto Grado. P.9.
20 Idem.
a) Que tenga una estructura lógica; es decir que tenga una coherencia, una
Estructura interna y una organización.
b) Que cumpla con una estructura psicológica, lo que quiere decir es que
realmente el alumno que va a aprender tenga elementos, tenga conocimientos
previos pertinentes, el contenido de aprendizaje debe contemplar los
conocimientos previos.
El libro para el maestro de matemáticas para cuarto grado de educación
primaria editado por la SEP (1998) señala que existen al menos dos tipos de
problemas para el aprendizaje de las matemáticas:
Los problemas para descubrir:
"Este tipo de problemas promueven la búsqueda de soluciones y la
instrucción de nuevos conocimientos, formalizaciones y habilidades, en este tipo
de problemas se pide a los alumnos que utilicen sus propias estrategias y
recursos, Después se les pide que comparen y comenten cuáles fuero n las
estrategias que Favorecieron el planteamiento para llegar al resultado. De acuerdo
a lo anterior, para; llegar al procedimiento de solución de un problema los alumnos
elaboran respuestas 'creativas que impliquen la búsqueda de caminos, ensayos y
errores, esto ayudará a los alumnos a desarrollar su capacidad de
razonamiento" 21.
Por ejemplo la preparación para salir a una excursión. ¿Cuántos compañeros
asistirán?, ¿Cuánto costará el boleto del camión? Como podemos observar, el
planteamiento de este problema requiere de una búsqueda de datos y de un
razonamiento amplio para contestar a todas las interrogantes que se puedan
desprender de el.
21 Idem.
Los problemas para aplicar:
"Este tipo de problemas no son propiamente creativos en el sentido de que
no mueven la construcción de soluciones novedosas sino más bien son
situaciones ,que tienen como característica promover la ampliación y afirmación
de aprendizajes".22
Por ejemplo un problema de sucesión de números. Sí hoy día 12 salimos de
vacaciones y tenemos 10 días de vacaciones. ¿Qué día será cuando regresemos?
Los problemas que cobran relevancia para el presente trabajo, son los
problemas por descubrir, ya que por medio de estos se podrá observar cómo los
alumnos desarrollan sus habilidades y destrezas al encontrar diferentes
soluciones.
Trabajar desde el enfoque de la solución de problemas implica buscar y
diseñar situaciones lo suficientemente abiertas, como para inducir a los alumnos a
una: búsqueda y apropiación de estrategias adecuadas para encontrar respuestas
a preguntas no sólo escolares, sino también de su realidad cotidiana.
Enseñar a resolver problemas no consiste sólo en dotar a los alumnos de
destrezas eficaces, sino también crear en ellos el hábito y la actitud de enfrentarse
al aprendizaje como problema al que hay que encontrar una respuesta.
Los problemas matemáticos no son rutinarios; cada uno constituye, en mayor
o menor grado una novedad para el que aprende, su solución eficaz depende de
que el alumno no sólo posea el conocimiento y las destrezas requeridas sino
también que sea capaz de utilizarlos y que de esa manera establezca sus
procedimientos.
22 Ibid
Para favorecer la construcción de los conocimientos matemáticos en
alumnos es necesario plantear situaciones problemáticas que cumplan con
características fundamentales:
1. Que realmente sean problemas para los alumnos; es decir que presenten
un reto o dificultad que los motive a la búsqueda de estrategias para resolverlos.
2. Que sean susceptibles de resolver con los recursos con los que cuentan
los alumnos en el momento en el que se plantee, es decir que la dificultad del
problema no rebase las posibilidades de los alumnos.
Es importante que el maestro tome en cuenta estas características en el
planteamiento de resolución de problemas, así como tomar el papel de mediador
del diálogo para darse cuenta de cómo resuelven los alumnos los problemas
matemáticos.
CAPiTULOII
2.1 CÓMO RESUELVEN LOS NIÑOS LOS PROBLEMAS MATEMÁTICOS
Si bien un trabajo de tesina no exige de investigación documental, por la
naturaleza del tema se consideró necesario recuperar a la experiencia; no basta
con explicar la resolución de problemas matemáticos desde la teoría , es necesario
ubicar su concreción en la realidad.
Para el desarrollo de la investigación se consideró oportuna la aplicación de
dos cuestionarios, cada uno con cuatro problemas cuya resolución favorece el
empleo de las operaciones básicas, esto con la intención de contrastar la teoría
psicogenética, con los programas de estudio y con la realidad.
En este caso, se consideró a los alumnos de la escuela primaria Licenciado
Benito Juárez, ubicada en Avenida México sIn Col. Olímpica 68 del Municipio de
Ecatepec de Morelos, Estado de México., porque forman parte de la comunidad
escolar espacio en que labora quien escribe.
Cabe mencionar que los problemas presentados a los alumnos no pueden
ser definidos como fáciles o difíciles de resolver ya que el grado de dificultad
depende no sólo de la complejidad del cálculo numérico (operaciones aritméticas),
sino de la l percepción de quien resuelve y, sobre todo, de la forma en que este
planteado el problema.
Lo que permite explicar las diferencias de dificultad en los distintos
problemas, es el establecimiento de las relaciones que existen entre los datos y la
comprensión sobre el tema del alumno.
Es por ello que en el primer cuestionario se hace un análisis de resultados de
problemas; el segundo cuestionario fue empleado para analizar los procedimientos
realizan los alumnos para resolver los problemas matemáticos.
El aspecto del área de matemáticas que se tomó fue el de "Los números, sus
relaciones y operaciones", abordé específica mente el trabajo de investigación con
este eje temático porque es importante ubicar al alumno en los contenidos del
programa de Cuarto grado de educación primaria.
Para elevar la calidad del aprendizaje se considera que es indispensable que
alumnos se interesen y encuentren significado y funcionalidad en el conocimiento,
Matemático, que lo valoren y hagan de él un instrumento que les ayude a
reconocer, plantear y resolver problemas presentados en diversos contextos.
Los contenidos que se manejan en este grado se basan en situaciones
propias de la cultura infantil, presentando una matemática más cercana al niño.
Los animales y plantas, los juegos, la lectura, los libros y el periódico infantil, son
soporte y contexto de los contenidos matemáticos. El objetivo es que
paralelamente al aprendizaje de las matemáticas, los niños manejen información
diversa y la relacionen con otras asignaturas.
Los problemas que se plantearon a los alumnos fueron tomados de dos
textos, "Lo que cuentan las cuentas de sumar, restar y multiplicar y dividir" ambos
de la colección de los Libros del Rincón, editados por la Secretaría de Educación
Pública. Lo anterior, porque se pretendió evitar la dispersión o el riesgo de
plantear equivocadamente el problema.
Cada problema se presentó en una sola hoja, con la finalidad de que los
alumnos no se distrajeran con otro planteamiento, además de darles la posibilidad
de emplear el espacio de acuerdo con las necesidades de cada uno.
A continuación se describen los problemas considerados para el cuestionario
cuyo propósito es el análisis de la ejecución de los resultados de cada uno de
ellos. Cabe aclarar que los textos originales (Lo que cuentan las cuentas de
sumar, restar y multiplicar y dividir de la colección libros del rincón) al término de
cada problema se; incluye el algoritmo con el que se supone debe ser resuelto,
dato que, no se les dio a conocer a los alumnos.
PROBLEMA 1
David hace juguetes de madera: bicicletas, coches y autobuses. Cada uno
lleva un número diferente de ruedas:
Las bicicletas, 2 ruedas
Los coches, 4 ruedas
Los autobuses, 6 ruedas
a) Debe entregar 8 coches a una tienda.
¿Cuántas ruedas tiene que hacer?
b) ¿Cuántas necesita para 9 bicicletas?
c) Para 4 coches.
d) Para 2 coches y 6 autobuses
e) ¿Cuántas ruedas tuvo que hacer en total?
Algoritmo de la suma.
PROBLEMA 2
Lupe vende ropa en el mercado. En su puesto tenía 29 suéteres y 17
pantalones. Si vende cada vez un suéter y un pantalón. ¿Cuántos suéteres le
quedaron por vender cuando se le acaben los pantalones?
Algoritmo de la sustracción.
PROBLEMA 3
Un depósito de agua tiene 5 llaves iguales por las que sale el agua. Si se
abre una sola durante una hora salen 60 litros de agua. ¿Cuánta agua sale si se
abren las 5 llaves durante 3 horas?
Algoritmo de la multiplicación.
PROBLEMA 4
Toño y sus amigos recibieron 45 dulces diariamente durante 5 días. Después
se partieron el total de dulces entre los cuatro amigos en partes iguales. ¿Cuántos
dulces le tocaron a cada quien?
Algoritmo de la división.
Las indicaciones que se dieron para la resolución de los problemas fueron:
-No es un examen, simplemente es un ejercicio, que me ayudará a realizar
un trabajo de investigación para la escuela donde estudio.
-Conforme terminen de resolver el problema pongan sus hojas en el
escritorio.
-No importa si utilizan sólo lápiz.
Lean con atención y calma, si algo necesitan o no comprenden de los que se
pide en, problema, pueden preguntarme.
El tiempo fijado en la resolución de los problemas fue de 15 minutos, ya que
con base en la experiencia se ha estimado, que durante este tiempo promedio, los
alumnos pueden resolverlos sin sentirse presionados.
La escuela que sirvió como muestra para la investigación cuenta con tres
grupos de 40 alumnos cada uno, de los cuales únicamente se eligieron 5 alumnos
de 28 a grupo, esta selección fue al azar (40 papelitos doblados y colocados en
una bolsa plástico y el maestro del grupo sacó 5 de ellos).
En el problema 1 de las ruedas y el problema 2 del mercado, el 80% de los
alumnos tienen ideas firmes sobre el significado de la adición y la sustracción que
¡plantean los problemas, en porcentaje puedo mencionar que el 60% de los
alumnos pudo resolverlos. En estos problemas además realizaron un
procedimiento más corto, el algoritmo de la multiplicación, obteniendo un resultado
correcto.
En el problema 3 del depósito de agua, el 60% de los alumnos identificaron
que el problema implicaba realizar una multiplicación, puede afirmarse que los
alumnos han concebido el algoritmo de la multiplicación.
En el problema 4 de los dulces, los alumnos identificaron que el problema se
resolvía mediante la división, pero la mayoría no pudo resolverlo, sólo el 10% lo
resolvió haciendo el comentario que el problema estaba difícil, esto determina que
deben trabajarse más los problemas que impliquen el algoritmo de la división.
Para aportar una mayor información de los resultados que fueron arrojados
en el cuestionario 1 el siguiente apartado "análisis de resultados" abordará este
asunto.
.2 ANALISIS DE RESULTADOS
"La utilización de los conocimientos ya asimilados es imprescindible para la
solución de problemas que se plantean a los alumnos, el alumno debe recordar
qué (, conceptos y nociones tiene que utilizar para resolver el problema dado, así
como qué conexiones establecería, qué operaciones mentales tendría que
ejecutar"23
El alumno debe construir por sí mismo tanto a nivel conceptual como a nivel
de presentación gráfica, las nociones matemáticas y la función del maestro debe
ser la proponer las situaciones adecuadas para avanzar en cada momento del
proceso.
"Piaget, en su obra Epistemología Gen ética señala que el conocimiento no
puede concebirse como si estuviera predeterminado. ni por las estructuras
internas del sujeto, puesto que son el producto de una construcción efectiva y
continua; ni por los caracteres preexistentes del objeto, ya que sólo son conocidos
gracias a la mediación "necesaria de estas estructuras, las cuales se enriquecen al
encuadrarlos. En otras, palabras todo conocimiento supone un aspecto de
elaboración nueva" 24
Lo característico de la epistemología gen ética es tratar de descubrir las
raíces de los distintos tipos de conocimiento desde sus formas más elementales y
seguir su desarrollo en los niveles ul teriores inclusive hasta el pensamiento
científico.
El problema especifico de la epistemología gen ética es el del incremento de
conocimientos, es decir del paso de un conocimiento menos complejo a uno ,con
mayor complejidad englobado así también el del p rogreso de todo conocimiento.
23 GOMEZ, Carmen y LlBORI, Áurea."Inventar. Descubrir...; Es Posible. En Matemáticas?".
GOMEZ, Carmen y Libori Inventar, descubrir.En UPN. La Matemática en la Escuela Antología
Básica. p. 192
24 PIAGET, Jean. "La epistemología Genética", En UPN, Metodología de la Investigación I.
p. 158
Es por ello que para acceder a la construcción del conocimiento, el alumno
requiere de tiempo para llevar a cabo las acciones (cambio, combinación,
comparación e igualación que son básicamente las acciones o relaciones
semánticas que caracterizan los cuatro problemas de cada uno de los
cuestionarios) que son constitutivas de todo conocimiento, la adquisición de los
sistemas operatorios relacionados con los números tienen su fundamento en la
experiencia (Iógicomatemática) como proceso personal. Sí el alumno no actúa y
reflexiona sobre las acciones y los resultados que éstos producen, no podrá
comprender las operaciones fundamentales.
teoría de la psicología gen ética, se encarga de estudiar estruc turas mentales
del individuo, consideró que el problema del e estudiarlo desde cómo se pasa de
un estado de menor o de mayor conocimiento"25
Sus trabajos de investigación se orientaron hacia la formación de los
conocimientos en el niño, menciona que el conocimiento no es copia de datos
presentados, sino fruto de una construcción activa que el sujeto selecciona la
información del medio a diferentes niveles de complejidad.
El niño conoce la realidad a través de la acción y muchas de esas acciones
forman parte de las matemáticas aun cierto nivel, de algunos aspectos de esa
realidad, primero estas acciones son puramente manipulables y posteriormente
son .interiorizadas, de forma que pueden ser imaginadas o anticipadas
mentalmente, de esta forma se va coordinando y diferenciando progresivamente
en función de los múltiples objetos y situaciones a las que se aplican hasta
convertirse en operaciones en las estructuras cognoscitivas, es decir no importa
cuantas veces intente desarrollar los procedimientos de tanteo o ensayo y error, lo
importante es que llegue ala auténtica comprensión de los contenidos.
25 Gómez. Carmen y LIBORI Áurea. Op. Cit. p. 192
"Puesto que las acciones del sujeto presentan desde el comienzo una
estructura, las reacciones al medio serán por una parte, reacciones de asimilación
que tienden a incorporar los objetos a estas estructuras y, por la otra reacciones
de acomodación que tienden a modificar, esto es a diferenciar las mismas
estructuras en función de las situaciones que desarrolla. Por ello y desde el punto
de partida, es necesario un proceso de equilibración que conduzca a
combinaciones diversas de asimilación y acomodación" 26
La equilibración consiste así en compensar las perturbaciones exteriores
hasta que se incorporen a las estructuras iniciales o en vías de transformación.
De donde resulta que las construcciones sucesivas resultantes de estas
interacciones de asimilación y acomodación se apoyarán en regulaciones cada
vez más comple jas que intervienen en la coordinación de las acciones. Orientadas
desde el comienzo hacia una reversibilidad aproximada, estas regulaciones se
traducirán, al fin de cuentas, en sistemas de operaciones o acciones interiorizadas
coordinándose de modo reversible y la sucesión de las diversas etapas de la
inteligencia será el resultado de esta construcción de operaciones.
Para describir los resultados del cuestionario 1 consideré las categorías de
ejecución y solución, ya que por medio de estas podré analizar si los resultados
fueron los Correctos.
EJECUCIÓN: Lo hizo completo.- hizo operaciones y lo anotó el resultado.Lo
hizo incompleto.- hizo operaciones y lo dibujos pero no llegó a expresar el
resultado de manera correcta y clara.
No lo hizo.- la hoja se presentó en blanco, no hubo intento sobre el papel.
26 PIAGET.Jean e Inheler Barbel Psicología del niño, en UPN La matemática en la escuela. Antología Básica p.269.
SOLUCION
A) Correcto.- Dio un resultado que corresponde al esperado.
B) Incorrecto.- Presentó un resultado que no corresponde al esperado.
A continuación presento resultados y gráficas con estas categorías las cuales
nos permiten ubicar el trabajo que están realizando los alumnos, con el fin de
identificar las estrategias empleadas.
En el cuestionario 1 que resolvieron los alumnos se plantearon cuatro temas,
cuya resolución involucraba el desarrollo de las operaciones básicas, según
avance programático (SEP-1994) para el alumno que cursa el cuarto grado de
educación primaria.
Con base en la categoría ejecución con las variables "lo hizo completo o
incompleto" incluí las gráficas que sirven de indicadores para comparar de
acuerdo a cada problema la manera de actuar de los alumnos (gráficas 1 ,2 ).
Como puede observarse, la variable "no lo hizo" (gráficas 2 a 4) quedó
desierta, que indica que todos los alumnos respondieron los problemas. En la
variable "lo hizo completo", se presenta una diferencia notable entre los problemas
1 y 4 con los: problemas 2 y 3, ya que el problema (gráficas 1 y 4 ) el 20% lo
realizaron completo y el 60% logró resolver los problemas 2 y 3 (gráficas 2 y 6 ).
Ahora, con las gráficas de solución veremos hasta qué grado la respuesta de
los alumnos fue la esperada.
En la gráfica se puede observar que en los problemas 1 ,2 y 3 el 60%
(gráficas 5, 6 y 7) presentaron una respuesta considerada como correcta y sólo el
40% presentó una respuesta incorrecta, porcentaje que es arrojado en la solución
del problema 4 gráfica 8) el cual se resolvía a través de una división.
Los alumnos que integran estos grupos de cuarto grado pueden ubicarse en
la etapa de las operaciones concretas, donde según la teoría psicogenética, se
desarrolla iun pensamiento que se limita a la solución de problemas, que se
conocen en el ‘presente de la realidad del niño Puedo señalar que el pensamiento
está limitado al contenido, que debe ser sencillo y sin conjuntas varias
operaciones.
Como parte de este trabajo apliqué una breve entrevista a los alumnos y así
poder analizar los procedimientos o estrategias que desarrollan al enfrentarse ala
resolución de situaciones problemáticas. A continuación describo los cuatro
problemas planteados a los alumnos en el cuestionario
2. PROBLEMA 1
El domingo hubo partido de fútbol en el campo deportivo y asistieron 71
personas como público, de los cuales 26 eran niños y todos los demás eran
adultos, también fueron 3 vendedores de paletas, 5 de aguas frescas, 2 de frutas y
5 de papas fritas.
¿Cuántos vendedores hubo en el partido?
¿Cuánta gente del público eran adultas?
Algoritmo de la suma.
PROBLEMA 2
Pepe tenía 11 luchadores y Juan tenía 9 luchadores. Entonces Juan le ganó
3 luchadores a Pepe. Ahora, ¿Cuántos luchadores tiene más Juan que Pepe?
Algoritmo de la sustracción.
PROBLEMA 3
Se consiguieron 25 tubos de 3 metros de largo cada uno para llevar agua de
un pozo a una colonia. El pozo esta a 60 metros de la colonia.
¿Alcanzarán los tubos para llevar el agua a la colonia?
Algoritmo de la multiplicación 40
PROBLEMA 4
Sí Luis se comió 36 uvas, de un racimo que tenía 9 uvas en cada ramita.
¿Cuántas ramitas tenía el racimo de uvas?
Algoritmo de la división.
Presenté cada problema del cuestionario en una sola hoja con el fin de evitar
distractores y proporcionar espacio suficiente- para realizar los procedimientos
necesarios. El tiempo que se empleó en su resolución fue aproximadamente de 15
minutos.
De acuerdo con la información obtenida y al comparar los procedimientos
utilizados por los alumnos, se hace un breve análisis cualitativo señalando que:
PROBLEMA 1
Del partido de fútbol el 60% de los alumnos indicó que el problema estaba
fácil y que lo que se tenía que realizar era una suma y una resta. El 40% realizó un
procedimiento en el que primero sumaron todos los vendedores para contestar la
primera pregunta y luego restaron el número de niños al total de las personas. En
este problema se pueden observar las propiedades de la conmutatividad y
asociatividad.
PROBLEMA 2
De los luchadores, el 100% de los alumnos señalaron que primero tenían
que realizar una resta de 11 menos 3 que eran los luchadores que tenía Pepe y
que después sumaron 9 más 3 que eran los de Juan más los que le ganó Pepe y
que para sacar la diferencia tuvieron que restar 12 menos 8 para saber que Juan
tiene 4 luchadores más que Pepe. En este procedimiento los alumnos también
realizan las propiedades de conmutatividad y asociatividad en sus operaciones.
PROBLEMA 3
De los tubos de agua, el 80% de los alumnos realizó el mismo procedimiento,
en el cual mencionaron que lo que se tenía que hacer era una multiplicación de 25
tubos por 3 metros y que si alcanzaban los tubos porque el resultado de la
multiplicación fue de 75 metros y que sólo se necesitaban 60 metros. El 20%
mencionó que era necesario sumar 25 veces el 3 para saber si alcanzaban.
PROBLEMA 4
De las uvas, el 60% de los alumnos realizó una representación gráfica para
poder saber que el racimo tenía 4 ramitas y el 40% identificaron que lo que se
tenía que realizar era una división de 36 entre 9 y que el resultado eran 4 ramitas.
No se presentan gráficas por que es otro el análisis que desea hacerse a
partir de estos ejercicios.
Los procedimientos que los niños desarrollan a través de las propiedades de
conmutatividad y asociatividad de los algoritmos para resolver problemas se
apoyan en conteo, que es aquel que lleva a una cuantificación precisa de los
conjuntos sin importar el tamaño de estos, implicando la habilidad de señalar el
objeto y decir las palabras (nombre de los números), a partir de su conocimiento
de la serie numérica, dichos procedimientos podrán ser construidos poco a poco a
partir de sus conocimientos sobre los principios de base y posición del sistema
decimal de numeración.
De entre los procedimientos que los alumnos utilizan para la resolución de
problemas que implican la multiplicación, uno de ellos es hacer la suma repetida
de uno de los factores, otro procedimiento es el de la duplicación que consiste en
calcular el valor del doble, el doble del doble y así sucesivamente, otro
procedimiento consiste en descomponer el multiplicador, obteniendo así varias
multiplicaciones cuyo resultado ya se conoce, o que son más fáciles de calcular.
En los problemas de reparto los alumnos suelen utilizar el procedimiento de
la correspondencia término a término entre el objeto y el número. Un
procedimiento muy práctico es el arreglo rectangular, por ejemplo en el problema 4
dibujaron las 4 ramitas, después colocaron las uvas que correspondían en cada
una de ellas.
De acuerdo a lo anterior cabe señalar que los alumnos recuperan el cálculo
relacional que es donde se hace referencia a las operaciones de pensamiento
necesarias para evidenciar las relaciones que hay entre los elementos de la
situación problema.
"Y es precisamente el cálculo relacional el que permite explicar las
diferencias de dificultad en los problemas que se resuelven con el mismo cálculo
numérico. Podemos decir entonces que, no siempre que dos problemas lleven un
mismo cálculo serán igualmente difíciles".27
27 Cfr. Á VILA. Alicia .Problemas fáciles v problemas difíciles'..., en UPN, Construcción del
conocimiento matemático en la escuela. Antología Básica, México 1985. p. 56
El cálculo relacional es el que hace referencias a las operaciones de
pensamiento necesarias para evidenciar las relaciones que hay entre los
elementos de la situación-problema.
Para poder identificar los procedimientos que utilizan los alumnos fue
necesario realizar una serie de preguntas que guiaron la entrevista.
Las consignas que se emplearon en la entrevista son las siguientes:
1.-Lee este problema Enunciado, sin más aclaración, donde el
alumno elige la modalidad de la lectura.
2.- ¿De que trata el problema? El niño emitió su propia explicación del
texto, se pretende conocer su nivel de
comprensión.
3. ¿El problema es claro o confuso? El alumno expresó si el texto del problema
es claro o confuso
4.-bueno, ahora resuelvo El alumno desarrollo un procedimiento de
resolución.
5.- ¿que vas hacer? Se le cuestionó para que definiera el rumbo
de sus acciones
6.- ¿crees que no necesitas hacer algo
más por que?
Se buscó que el alumno pusiera en juego
sus conocimientos, se mostrara seguro o
dudara
7.-¿porque te salio este resultado’ Deberá aportar fundamentos que avalen su
estrategia
8.- ¿estas seguro que es el resultado
correcto?
Se conflictua al niño para que asegure su
respuesta o la ratificara
9.- ¿crees que puedes hacerlo de otra
manera?
Se le retó a emplear su creatividad y los
conocimientos previamente adquiridos
10.- ¿el problema que resolviste, te resulto
fácil o difícil?
Expresaría si fue fácil, es decir si fue
comprendido o no
A continuación presento el registro de algunas de las entrevistas realizadas a
los alumnos de cuarto grado de educación primaria, con la finalidad de describir el
procedimiento que siguió en la solución de los problemas planteados.
PROBLEMA 1 JESUS
ENTREVISTADOR ALUMNO
Lee este problema, lee en silencio
¿De que trata el problema?
Se trata de sumas y restas para saber
cuantas vendedores hubo en el partido y
cuanta gente era adulta
¿El problema es claro o confuso? Si esta claro porque si lo entiendo
Bueno ahora resuelvelo Se tomo un tiempo aproximado de 10
minutos
¿Qué vas hacer? Primero debo sumar contando todos los
vendedores, y me dio igual a 15
vendedores, para la segunda le reste al
total de personas, contando adultos y niños
que eran 71 personas y 26 que eran los
niños y lo que me quedo eran los adultos
¿Crees que ya no necesitas hacer algo
más ¿Porque?
No, porque creo hice lo correcto
¿Por qué te salio este resultado? Por lo que sume y reste
Estas seguro de que este es el resultado Pues si, estoy seguro
Crees que puedas hacerlo de otra manera Si el resultado que me dio la segunda
operación, lo sumaria con lo que hay de
niños
El problema que resolviste te resultó fácil o
difícil.
Fácil.
PROBLEMA 2 MANUEL
ENTREVISTADOR ALUMNO
Lee este problema Lee en voz alta
¿de que trata el problema De que pepe tenia 11 luchadores y Juan le
gano 3 entonces ahora cuantos tiene Juan
más que pepe
El problema es claro o confuso No esta confuso por que si lo entiendo bien
Bueno ahora resuelvelo Vuelve a leer el problema.
¿Qué vas hacer?
¿Crees que ya no necesitas hacer algo
más?
Restarle 3 a 11 que son 8 después Juan
tenía 9 más los 3 que ganó, entonces tiene
12 luchadores, después hice una resta de
12 o menos 8, entonces tiene 4 luchadores
más.
No porque nada más busque la diferencia a
través de la resta
PROBLEMA 4 JACQUELINE
ENTREVISTADOR ALUMNA
Lee este problema Lee en silencio
De que trata el problema De uvas y ramitas
El problema es claro o confuso, ahora
resuelvelo
Si lo entiendo bien
¿Qué vas hacer? Voy hacer una multiplicación de 4 por 9 y
me salen36
¿Crees que no necesitas hacer algo más? Si necesitaba hacer las ramitas
Después de haber realizado el análisis de las entrevistas diseñé un pequeño
ejercicio con operaciones básicas, las cuales me ayudarían a observar si los
alumnos tienen bien establecidos los conocimientos de los algoritmos para la
solución de la suma, sustracción y multiplicación.
Los resultados que arrojó el ejercicio fueron satisfactorios, porque los
alumnos contestaron acertadamente las operaciones, con este resultado puedo
mencionar que los alumnos ponen en juego sus habilidades de pensamiento
inductivo deductivo, esto quiere decir que están preparados para adquirir el
aprendizaje del concepto de la división y partiendo de estos saberes estarán
preparados para construir el conocimiento de cualquier otro eje temático de los
grados posteriores.
Una operación es un tipo especial de acción mental, especial en el sentido
de que se puede deshacer realizando otra acción.
Al decir formación del pensamiento, se dice formación de operaciones, y al
decir formación de operaciones se dice construcción de operaciones. La
construcción de operaciones se efectúa durante el curso de la resolución de
problemas todos estos procesos constituyen en el fondo un solo y único complejo
de fenómenos psicológicos.
Según la teoría psicogenética, los estadios de desarrollo del individuo en su
camino hacia la madurez intelectual se definen por la presencia o la ausencia de
ciertas operaciones. Decir que el alumno debe conocer determinadas operaciones
básicas es decir que debe aprender a ejecutar determinadas operaciones, que son
la clasificación, seriación y la correspondencia.
La clasificación la realiza juntando o separando los elementos de un conjunto
de acuerdo a sus semejanzas o diferencias, la seriación la establece a través de
un orden creciente o decreciente de acuerdo a las diferencias de los elementos del
conjunto, una vez establecidas estas dos operaciones realiza la operación de la
correspondencia, para lograr el objetivo que se persigue en la construcción de un
nuevo conocimiento, una vez que el alumno logra esto puede decirse que es
capaz de realizar una operación mental de análisis.
La psicogenética nos enseña que un esquema anticipador, es decir un
bosquejo esquemático de una operación a hallar, es parte de un sistema de
operaciones. Si se logra conducir al alumno a construir una operación partiendo de
un problema claramente concebido, se puede suponer que han comprendido no
sólo los elementos del nuevo acto intelectual sino también su estructura de
conjunto.
En conclusión, es posible afirmar que los alumnos de cuarto grado son
capaces de analizar y deducir, es decir si han desarrollado el pensamiento lógico y
logran hacer el ejercicio de la inducción.
CAP ITUL O III
COMO RESUELVEN LOS PROBLEMAS MATEMATICOS LOS ALUMNOS
DE CUARTO GRADO.
3.1 EL ENUNCIADO DEL PROBLEMA y SU RESOLUCIÓN
"El enunciado de un problema suele plantearse en términos de una pregunta
cuya respuesta requiere la aplicación de alguna operación matemática, aunque el
procedimiento que se debe utilizar ha de extraerse antes de las frases que
constituyen dicho enunciado; esas frases pretenden proporcionar un contexto real
del problema, aunque es frecuente que los maestros piensen que confunden a los
alumnos. Por ejemplo: Sara tenía 5 dulces. Su padre le dio 3 dulces ¿Cuántos
dulces reunió Sara? Es un enunciado sencillo que exige utilizar el procedimiento
5+3=8 para encontrar la solución".28
Con frecuencia, los enunciados de los problemas no son nuevos, sino que
son otro modo empleado por el maestro para obligar al alumno a practicar
algoritmos sencillos. Un enunciado puede proporcionar nuevas oportunidades de
resolver problemas si estos son planteados con claridad.
"Las variables que deben tomarse en cuenta para realizar el enunciado de un
problema son las siguientes:
-Analizar cómo se expresan las relaciones entre las cantidades dadas y
desconocidas y, en concreto, el grado en el que se hacen explícitas.
28 0RTÓN Anthony. Didáctica de las Matemáticas Cuestiones Teoría v Práctica en el Aula,
p.178
-El orden de los elementos de información.
-El grado de atracción de algunas palabras, como prioridad de los números
son las palabras o el uso de palabras clave, como "más o menos", relacionadas
con operaciones aritméticas, que puedan funcionar bien como distractores, bien
como claves." 29
La redacción en el enunciado del problema debe permitir que las relaciones
semánticas se hagan explícitas y que faciliten la representación adecuada del
problema. Es evidente que el orden de la información, las relaciones entre lo
conocido y desconocido y la transición de lo conocida.. a lo desconocido, influyan
en la comprensión del enunciado de un problema. En consecuencia, es posible
mejorar la actuación de los alumnos respecto a los enunciados de los problemas
modificando la redacción.
Con base en el texto de Anthony Ortón30 se dan las siguientes sugerencias
para mejorar la actuación de los alumnos ante los enunciados de problemas:
1. Hacer más comprensible el lenguaje.
2. Los maestros deben tomar en cuenta la importancia que tiene el pensar la
redacción y de que hay fórmulas que les permitan plantear los problemas de
manera que la construcción lingüística no obstaculice la comprensión del
enunciado.
3. Procurar basarse más en los métodos informales que utilizan los alumnos
antes de que la instrucción formal modifique y posiblemente confunda sus
procesos de pensamiento.
29 ORTON Anthony. Op. Clt., p. 179
30 Cfr. Ibid. p. 179
Para resolver un problema no es necesario recibir previamente información
acerca de cómo se resuelve, los alumnos siempre tienen recursos adquiridos en
su experiencia para abordar un problema significativo para ellos.
El proceso para resolver un problema incluye un procedimiento de rectificar
errores y adaptar creativamente recursos conocidos. Si se indica previamente
cómo se resuelve el problema, se impide la realización de este proceso.
Un problema puede ser resuelto con distintos procedimientos y no con uno
solamente, además se ponen en juego varios conocimientos matemáticos.
En cuanto al interés por analizar los pasos que se deben llevar acabo en la
resolución, me di ala tarea de revisar algunos...autores que hablan de este tema y
obtuve como conclusión que estos en su mayoría hacen referencia a la propuesta
de "Cómo Plantear y Resolver Problemas" de George Polya(1999), es por ello que
a continuación hago mención de dicha propuesta.
La propuesta de Polya 31 comprende las siguientes etapas o pasos para
resolver un problema matemático:
1. Comprender el problema.
2. Concebir un plan para resolver el problema.
3. Ejecución del plan.
4. Examinar la solución obtenida.
Primero, tenemos que comprender el problema, es decir saber con claridad
lo que se pide. Segundo tenemos que captar las relaciones que existen entre los
diversos elementos, ver lo que liga a la incógnita con los datos a fin de encontrar
la idea de la solución y poder trazar un plan. Tercero, poner en ejecución el plan.
31 Cfr. POL y A, George. Cómo Plantear y Resolver Problemas. p.29.
Cuatro volver atrás una vez encontrada la solución, revisarla y discutirla. Una vez
descrita la propuesta que hace George Polya de Cómo plantear y resolver
problemas, quiero agregar la fase del Entendimiento del problema que hace Alan
Schoenfeld en su propuesta para la resolución de problemas, y que podemos
utilizar como primer paso en la resolución de los problemas. La fase del
entendimiento se refiere a comprender qué es lo que se desea, resolver,
identificando los datos, ordenándolos o presentarlos como elementos para
entenderlos y usarlos como posibles para la resolución del problema.
A continuación describo cada una de las etapas:
COMPRENDER EL PROBLEMA:
"El alumno debe comprender el problema. Pero no sólo debe comprenderlo,
sino también debe desear resolverlo. Sí hay falta de comprensión o de interés por
parte del alumno no siempre es su culpa, el problema debe escogerse
adecuadamente, ni muy fácil, ni muy difícil, y debe dedicarse un cierto tiempo a
exponerlo de un modo natural e interesante."32
Ante todo, el enunciado del problema debe ser comprendido, el maestro
puede comprobarlo, hasta cierto punto, pidiendo al alumno que explique el
enunciado, lo cual deberá hacer sin titubeos.
El alumno debe considerar las partes principales del problema atentamente,
repetidas veces. Si hay alguna figura relacionada con el problema, debe dibujar la
figura y destacar en ella la incógnita y los datos.
Para lograr y estar seguros de que los alumnos comprendieron el problema
el maestro puede ayudar a sus alumnos realizando las siguientes preguntas:
32 POL y A. George. Op. Cit., p.29.
¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son los datos?
CONCEPCIÓN DE UN PLAN:
"Tenemos un plan cuando sabemos al menos qué cálculos, qué
razonamientos o construcciones habremos de efectuar para determinar la
incógnita. Lo esencial en la solución de un problema es el concebir la idea de un
plan. Esta idea puede tomar forma poco a poco o bien después de ensayos
aparentemente infructuosos y de un periodo de duda, se puede tener de pronto
una idea brillante. Lo mejor que puede hacer el maestro por su alumno es
conducirlo a esa idea brillante ayudándole, pero sin imponérsele."
Las ideas se basan en la experiencia y en los conocimientos adquiridos
previamente, tales como los problemas resueltos anteriormente. Por ello con
frecuencia es adecuado abordar un trabajo planteándose las siguientes preguntas:
¿Conoces algún problema relacionado con éste?
¿Has visto el mismo problema planteado de forma ligeramente diferente?
¿Puedes hacer uso del problema relacionado?
EJECUCIÓN DEL PLAN:
"Poner en pie un plan, concebir la idea de la solución no es nada fácil. Hace
falta, para lograrlo el concurso de toda una serie de circunstancias; conocimientos
ya adquiridos, buenos hábitos de pensamiento, concentración y lo que es más,
buena suerte. Es mucho más fácil llevar a cabo el plan. Para ello lo que se
requiere sobre todo es paciencia."33
33 Ibid. p. 30
El plan proporciona una línea general. Nos debemos de asegurar de
examinar los detalles uno tras otro, hasta que todo esté perfectamente claro.
Lo esencial es que el alumno esté seguro de los pasos que realiza y así
poder demostrar que su resultado es el correcto. El maestro puede ayudar a su
alumno haciendo algunas preguntas como:
¿Puedes verificar cada paso que seguiste?
¿Puedes demostrar que el paso seguido es correcto?
EXAMINAR LA SOLUCION OBTENIDA O VISION RETROSPECTIVA:
"Reconsiderando la solución, reexaminando el resultado y el cambio que
condujo a ella, los alumnos pueden considerar sus conocimientos y desarrollar sus
aptitudes para resolver problemas. Un buen maestro debe comprender y hacer
comprender a sus alumnos que ningún problema puede considerarse
completamente terminado. Siempre queda algo por hacer mediante un estudio
cuidadoso y una cierta concentración, se puede mejorar cualquier solución y en
todo caso siempre podemos mejo rar nuestra comprensión de solución." 34
El alumno que ha llevado a cabo su plan y ha redactado la solución,
verificando cada paso del razonamiento, tiene buenos motivos para creer que su
solución es correcta. No obstante, puede haber errores sobre todo si el
procedimiento es largo y dudoso. Por lo tanto es recomendable verificar el
resultado del problema.
De acuerdo a las etapas que establece Polya, se puede suponer que este
proceso es utilizado por cualquier alumno al estar resolviendo un problema. Esta
suposición no implica que se crea que todos los alumnos de cualquier nivel
educativo, sean capaces de realizar correctamente este proceso. Pero si se puede
34 Ibid.
señalar que entre más conocimientos concretos tengan los alumnos mejor podrán
comprender y planificar. Además se pueden enseñar determinadas técnicas que
ayuden a que este proceso sea más certero en cualquier campo de resolución de
problemas. Si se toma el hábito de enseñar a los alumnos este proceso
obtendremos mejores resultados en la resolución de problemas matemáticos.
3.2 LA ESTRATEGIA MÁS UTILIZADA POR LOS ALUMNOS y SUS
IMPLICACIONES EN LA COMPRENSIÓN DE LAS MATEMÁTICAS.
Para que un niño sea capaz de construir una estrategia al resolver un
problema, es necesario que haya construido, primero, el concepto de número.
Cuando el alumno ha adquirido la noción de número es porque ha establecido las
bases de las operaciones de clasificación, seriación y correspondencia, puesto
que estas operaciones las hemos desarrollado todos los seres humanos al
construir el concepto de número aunque la edad puede variar de un sujeto a otro,
de una comunidad a otra dependiendo de las experiencias que cada uno tenga,
sin embargo el orden de las tres operaciones se conserva.
"El concepto de número es el resultado de la fusión de las operaciones de
clasificación y seriación, ya que un número es la clase formada por todos los
conjuntos que tienen la misma propiedad numérica y ocupa un lugar o rango en
una serie, también numérica."35
Estas nociones de clasificación y seriación, implícitas en la formación del
concepto de número, dan una idea del proceso psicológico que deben pasar los
niños para adquirirlo y poder servirse de él.
35 Gómez, Palacio Margarita. Op. Cit. p. 114
El concepto de clasificación, en su sentido general, es el de una actividad
mental, aunque puede ser también una actividad concreta, que permite agrupar o
separar por semejanzas y por diferencias, actividad que se realiza utilizando
diversos criterios sobre uno o varios universos.
Esta operación implica, ala vez el establecimiento, por parte del sujeto que la
realiza, de las relaciones de pertenencia e inclusión de los elementos en las
clases. Así, un elemento pertenece a una clase cuando se parece o comparte
semejanzas con loS otros elementos que la forman.
En su sentido particular, aplicado a la formación del concepto de número, la
clasificación permite agrupar o desagrupar todos los conjuntos posibles que
comparten la misma característica.
La relación de inclusión corresponde a la manera en que es posible
determinar la dimensión mayor de la clase, frente alas sub. clases que tienen
siempre menos elementos que la primera. Por ejemplo en la clase del cuatro
estarán incluidas las sub. clases de uno, dos y tres.
La otra operación implícita en la formación del concepto de número es la
seriación, que constituye uno de los aspectos fundamentales del pensamiento
lógico. La seriación consiste en establecer las relaciones entre los elementos que
son diferentes en algún aspecto y en ordenarlos de cierta manera, descendente o
ascendente, creciente o decreciente.
Esta operación posee dos propiedades:
a. La transitividad o relación que se establece entre un elemento de una serie
con el siguiente, entre éste y el posterior, para deducir la relación que existe entre
el primero y el último de los elementos cons iderados. Por ejemplo: si A es mayor
que S, y S es mayor que C, podemos deducir que A es mayor que C.
b. La reciprocidad, que consiste en el establecimiento de las relaciones entre
los elementos de tal manera que al invertir el orden de la comparación, el orden de
la relación también se invierta. Así, por ejemplo podemos pensar que si A es
mayor que S, e invertimos la comparación comenzando por S, obtenemos que S
es menor que A. Lo característico es que la afirmación posee igual significado; es
la forma de referirse a la relación lo que varia, dependiendo de la dirección que se
siga al recorrer la serie.
Al incorporar estos conceptos y operaciones implícitas en la formación del
concepto de número, podemos plantear una definición que la incluya, y decir que
el número es al mismo tiempo clase y relación asimétrica que se deriva de la
clasificación y la seriación fusionadas.
Por otra parte, y para establecer la equivalencia de dos conjuntos, se recurre
a la operación de correspondencia, que es el cálculo más simple y directo para la
comparación cuantitativa.
La importancia de la correspondencia radica en que, al realizarla de manera
biunívoca (relación de uno a uno entre los elementos de dos conjuntos), se
pueden comparar los conjuntos y decidir si son o no equivalentes, y por lo tanto
formar clases con los equivalentes. Después se pueden ordenar dichas clases
mediante su puesta en correspondencia biunívoca, así como construir la serie
numérica considerando la relación más uno y menos uno. Así, la fusión de la
clasificación y la seriación se realiza por medio de la correspondencia.
Los procesos de construcción de las tres operaciones son simultáneos, esto
significa que el niño no las construye en forma sucesiva sino aun mismo tiempo.
Para abordar la estrategia más utilizada por los alumnos de cuarto grado de
educación primaria es necesario que se defina lo que son las estrategias en la
resolución de problemas.
En el texto Estrategias Docentes para un Aprendizaje Significativo, Frida
Díaz Barriga Arceo y Gerardo Hernández Rojas, definen las estrategias como
procedimientos (conjunto de pasos, operaciones o habilidades) que se emplean en
forma consciente, controlada e intencional como instrumentos flexibles para
aprender significativamente y solucionar problemas.
"Rasgos característicos de las estrategias:
-Requieren de una toma de decisiones, de una actividad previa de
planificación y de un control de su ejecución.
-Requieren de una reflexión profunda sobre el modo de emplearlas. Es
necesario que se dominen las secuencias de acciones e incluso las técnicas que
las constituyen y que se sepa además cómo y cuándo aplicarlas fiexiblemente.
-Implica que el alumno las sepa seleccionar inteligentemente de entre varios
recursos y capacidades que tenga a su disposición".36
El uso de estrategias implica que el alumno sea inminentemente activo,
tratando de indagar, explorar y sobre todo, establecer conexiones internas y
externas siempre guiado por el maestro quien proporciona diversas formas de
ayuda.
36 DIAZ, Barriga Arceo Frida y Hernández Rojas Gerardo.Estrategias docentes para un aprendizaje significativos.33.
El plan y programas 1993 mencionan que se debe promover el desarrollo de
una serie de actividades, reflexiones, estrategias y discusiones que permitirán al
alumno construir conocimientos o la búsqueda de soluciones a problemas
matemáticos a partir de los conocimientos que ya poseen.
Al analizar los propósitos de dicho plan se pueden observar las siguientes
sugerencias:
.Utilizar procedimientos convencionales en la resolución de problemas.
-Comparar resultados.
.Anticipar y verificar resultados.
.Utilizar sus propias estrategias.
Con base en lo anterior, cabe señalar que el plan y programas no establecen
las estrategias usuales en la resolución de problemas. Creo que es de vital
importancia que para que los alumnos tengan conocimiento de cómo utilizar una
estrategia, el plan y programas debe orientar a los maestros y alumnos para tener
un mejor conocimiento de ellas.
Romeo Froylán Caballero Ramos37, menciona que existen las estrategias
cognoscitivas que consisten en descomponer el problema en partes, establecer
metas relacionadas, invertir el problema, el uso de tablas y dibujar diagramas. Las
estrategias metacognitivas son aquellas que se relacionan con el monitoreo
empleado al resolver el problema, y que para la aplicación del control del uso de la
estrategia depende de:
-La motivación del alumno frente a un problema.
.Las decisiones acerca de la importancia que se le de a la resolución del
problema planteado.
37 38 Cfr. CABALLERO, Ramos Romeo Froylán. Op. Cit. p. 79
-La manera de administrar el éxito o los fracasos.
-Reconocer las causas de fracasos y de éxitos.
El propósito de una estrategia es: aprender, enseñar, estudiar, resolver
problemas, comunicar, actuar, pensar, extraer conclusiones, tomar decisiones,
explicar, resumir, descubrir pistas, innovar, aplicar conocimientos, identificar
errores o fallas lógicas de procedimientos y corregir errores.
EJEMPLOS DE ESTRATEGIAS EN LA SOLUCION DE PROBLEMAS:
USO DE DIAGRAMAS: De un conjunto de datos que pueden presentarse
agrupados dentro de un conjunto. Por ejemplo sería el uso del plano cartesiano.
COMPARACIONES: Circuito entre dos señales en donde se establece la
Concordancia o discordancia entre los elementos de un conjunto. Se plantea una
relación estática entre sus entidades.
CALCULAR Y PROBAR RESULTADOS: Se realiza cuando el alumno da un
resultado aproximado sin utilizar loS recursos gráficos, después de predecir su
resultado lo demuestra realizando su ejecución.
TANTEO O ENSAYO -ERROR: Procedimiento o estrategia en la cual el
alumno pone a prueba varias hipótesis e ideas hasta que, casualmente, ejecuta la
respuesta Correcta.
OPERACIONES ARITMÉTICAS: El alumno llega a la expresión numérica
mediante el empleo de las relaciones entre conjuntos ya la comprensión del
número como una propiedad de aquellos. El número es el resultado simbólico de
un proceso que, partiendo de la observación, tiene a su vez una expresión verbal y
recorre un camino que exige ordenar datos informativos y crear estructuras
formales que los resuman.
REPRESENTACIÓN SIMBOLICA: Característica de cualquier lenguaje, se
establece en un conjunto de símbolos que constituyen el material de ciertos
contenidos. Para Piaget la representación constituye la capacidad de evocar por
medio de un signo o una imagen simbólica, el objeto ausente o la acción aún no
realizada. La representación comienza cuando hay simultáneamente
diferenciación y coordinación entre significantes y significados.
Significado es el concepto ola idea que un sujeto ha elaborado sobre algo y
existe en él sin necesidad de que lo exprese gráficamente.
Significante es una forma a través de la cual el sujeto puede expresar
gráficamente dicho significado.
Las estrategias de solución de problemas serían entonces formas
conscientes de ordenar y determinar los recursos y habilidades de que
disponemos para la solución de un problema matemático determinado.
Aprender a aprender implica la capacidad de reflexionar en la forma en que
se aprende y actuar en consecuencia, autorregulando el propio proceso de
aprendizaje mediante el uso de estrategias flexibles y apropiadas, que se
transfieren y adaptan a nuevas situaciones problemáticas.
Para poder determinar qué estrategia fue la más utilizada, realicé una
revisión de los cuestionarios aplicados a los alumnos. Y el texto de Arturo Bazán
Zurita y Antonio Chalini Herrera39, me permitió identificar que las estrategias más
usuales por los alumnos de cuarto grado de educación primaria, en la resolución
de problemas fueron: ensayo -error, dibujar un diagrama, usar operaciones
aritméticas, calcular y probar.
El instrumento diseñado para el estudio estuvo conformado por dos partes, la
primera formada por cuatro problemas de carácter aritmético, donde se le solicitó
al alumno que resolviera los problemas de la mejor manera posible. La segunda
parte la integraron cuatro problemas donde se le solicitó al alumno que escribiera
el procedimiento utilizado y determinara los cálculos realizados.
Los problemas de ambos cuestionarios a resolver por los alumnos poseen en
general las siguientes características:
1. Corresponden a contenidos del eje temático de los números sus
relaciones y operaciones del Plan y Programas 1993.
2. Son susceptibles de ser resueltos de diferentes maneras.
3. Son de estructura simple.
4. Se requiere más de una operación para su resolución.
5. Son multicondicionados, es decir los enunciados contienen más de una
condición. :
6. Hacen referencia a contextos familiares para los alumnos.
7. Involucra números pequeños para reducir lá posibilidad de errores de
cálculo. 8. Son similares a los que se encuentran en los libros de texto.
9. Para evitar el riesgo de una incorrecta redacción, los problemas fueron
tomados de los textos "Lo que cuentan las cuentas de sumar, restar, multiplicar y
dividir" de la colección de los libros del Rincón editados por la SEP.
En lo concerniente a la segunda parte del instrumento (cuestionario dos), se
presentaron cuatro problemas en los cuales también se requería de las cuatro
operaciones básicas, pero además se debía señalar los procedimientos o
estrategias de solución.
Las razones para incluir esta segunda parte son entre otras:
-El conocimiento de la tendencia de los alumnos a explicar sus
procedimientos o estrategias para abordar los problemas.
-Obtener de los alumnos una identificación de su forma de solución.
El procesamiento de la información se realizó en dos etapas: en la primera,
los registros fueron analizados por el tipo de resultado, las modalidades de
resolución y sus variantes de ejecución y solución; en la segunda etapa se llevó
acabo una contratación entre las respuestas de los alumnos, con el propósito de
conocer en qué medida el alumno, identifica correctamente la estrategia que utiliza
en la resolución de los problemas.
En lo que concierne a las formas de representación de la estructura de las
relaciones entre los elementos de los problemas, se observa una cierta variedad
de formas o maneras: usan operaciones aritméticas, se realizan agrupamientos, el
ensayo-error, esto quiere decir que el alumno propone una solución, tal vez
verificando las condiciones del problema ya sea en forma sistemática o no, y de
esa manera llega a un resultado.
El análisis realizado muestra que existen, en general, diferencias entre
quienes consignan el resultado correcto y quienes en cambio dan uno incorrecto,
esto es en la primera etapa; y para ello se pueden observar las gráficas de
ejecución y solución que se encuentran en el apartado de análisis de resultados. Y
en la segunda parte se comportan en su gran mayoría como simples postuladores
de resultados al no escribir sus procedimientos de resultados.
En cuánto a la utilización de las estrategias empleadas por los alumnos se
obtuvo que el 50% de los alumnos utilizar la de tanteo o ensayo-error, el 30%
utiliza operaciones aritméticas y el 20% utiliza dibujos o diagramas.
De acuerdo al estudio relativo a la forma en que los alumnos resuelven
problemas matemáticos han llevado a la explicación con base a la teoría
psicogenética, que dice que todo conocimiento se construye progresivamente,
dicho conocimiento se construye a través de ensayar procedimientos, rectificar
errores y adaptar creativamente recursos conocidos.
Cabe señalar que todas las estrategias llegan a servir para señalizar u
orientar al alumno sobre qué debe y qué no debe recuperar para el aprendizaje
como actividad con la finalidad de servir para otros fines, también sirven para
demostrarles cómo las cosas que han venido aprendiendo con anterioridad han
mejorado sus niveles de comprensión.
Cuando las estrategias son enseñadas, el desempeño de los alumnos
aumenta significativamente. Es esencial que una variedad de estrategias para
estimar y verificar resultados en la resolución de los problemas matemáticos, se
enseñe sistemática mente dentro de los programas de matemáticas. Iniciando
desde luego con las más importantes como la de ensayo -error y que además esta
es una de las estrategias que servirá de base para poder desarrollar otras mas
avanzadas. Al aumentar el repertorio de estrategias a través de la enseñanza y la
práctica los alumnos se dan más y más cuenta de las opciones disponibles para
resolver un problema.
Junto con la adquisición de una variedad de estrategias, se puede reconocer
que varias de ellas pueden ser aplicadas al mismo problema.
3.3 SUGERENCIAS PARA TRABAJAR PROBLEMAS MATEMÁTICOS EN
LA ESCUELA.
"Con base en el texto "La Enseñanza de las Mate máticas y sus Fundamentos
Psicológico" de Lauren B. Resnick y Wendy W. Ford, donde se afirma que una de
las dificultades en la resolución de problemas matemáticos en la escuela primaria
es la forma en que los profesores los plantean, es que se hace necesario revisar
este asunto"38
Entender cómo plantean los maestros un problema implica conocer los
modelos, parámetros o decisiones que consideran en el planteamiento y además
deben asegurarse de que estén familiarizados con las vivencias cotidianas de los
alumnos.
"Los problemas deben basarse en situaciones cotidianas que los niños
puedan visualizar fácilmente, sería adecuado hablar de dulces, las ruedas de los
carros, y no lo sería al hablar de una mina de diamantes, como primer paso en la
resolución de problemas. Aunque también debe reconocerse útil en cierto grado
de práctica con situaciones poco familiares, para que los alumnos aprendan a
reconocer que las operaciones numéricas son aplicables de forma general."39
La dificultad relativa de los problemas matemáticos no es más que uno de los
factores que hay que tomar en cuenta a la hora de formular los planteamientos. El
conocimiento que los alumnos tienen de las operaciones se enriquece en la
medida en que van reconociendo los procedimientos o estrategias, mediante la
resolución de problemas. "Además de decidir que problemas se deben plantear
primero y cuáles después, también se debe decidir cuando se deben presentar y
cuando se debe avanzar aun nuevo nivel de dificultad.40
38 RESNICK.Lauren B Y FORD, Wendy. La enseñanza de las matemáticas y sus fundamentos. 39 Ibid. 40 Ídem.
Para que los alumnos logren comprender y usar las operaciones en la
resolución de problemas es necesario que los alumnos resuelvan problemas
desde el principio y, poco a poco mejorar la manera de hacer las operaciones para
resolver los problemas con mayor facilidad.
Los Textos del Programa Nacional de Actualización Permanente de la
enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria señalan que en el plan y
programas anteriores a 1994 los maestros primero enseñaban los procesos para
resolver una operación, y después de que era aprendida dicha operación el
maestro ya podía plantear problemas; en la propuesta actual se pretende que se
invierta ese orden, primero es necesario que se introduzca la resolución de
problemas que ayuden al alumno a descubrir el tipo de operación que debe utilizar
para poder obtener un resultado, Ante dicha propuesta fueron elaborados por el
Departamento de Investigaciones Educativas de acuerdo con el Consejo Nacional
de Fomento Educativo y la Unidad de Publicaciones Educativas de la Secretaría
de Educación Pública, Los Textos "Lo que cuentan las cuentas de sumar, restar,
multiplicar y dividir" de Irma Fue labrada, en los cuales se le brinda al maestro un
sin número de actividades referentes a la solución de problemas matemáticos, que
servirán de apoyo para introducir e l conocimiento de las operaciones básicas.
"Con las actividades que se sugieren en estos textos se pretende, además
de proporcionar conocimientos específicos propiciar una formación duradera que
permita a los alumnos:
1. Utilizar de manera flexible y creativa conocimientos aritméticos para
resolver problemas.
2. Calcular mentalmente resultados aproximados de los problemas cuando
no hace falta el resultado exacto o cuando éste se puede calcular sin necesidad
de hacer operaciones escritas
3. Comunicar y explicar los procedimientos que utilizan al resolver los
problemas y verificar si sus procedimientos o los de sus compañeros son correctos
o incorrectos.
4. Disfrutar y hacer matemáticas, tener ideas probarlas y corregirlas.41
Con base en los textos "Lo que cuentan las cuentas" de la colección de los
Libros del Rincón dan las siguientes sugerencias para trabajar la solución de
problemas:
Pedir a los alumnos que antes de que resuelvan el problema aproximen el
resultado mediante tanteos.
Permitir a los alumnos que resuelvan problemas con frecuencia en equipos o
por parejas.
Cuando el problema resulta difícil y no logren resolverlo, se debe plantear
nuevamente usando cantidades más pequeñas en el caso de que las cantidades
sean grandes, y si es posible apoyarse con objetos o dibujos.
Organizar siempre la revisión de los resultados en grupo para que cada
alumno pueda ver las distintas maneras con las,"que sus compañeros resolvieron
el problema y para que aprendan a identificar errores.
Para que la presentación de un problema sea interesante es recomendable
que se presente una dificultad o reto en su resolución de acuerdo al grado que
este cursando el alumno, será un reto si el alumno se interesa por resolver el
problema, y no lo será para el alumno si este deja el espacio de solución en
blanco, es decir no hizo intento alguno por resolver el problema presentado.
Cualquier problema interesante para los alumnos puede repetirse varias
veces con pocas modificaciones mientras el problema les siga presentando un
reto o dificultad. Cuando los alumnos encuentren una forma sistemática de
resolver un problema, por ejemplo, cuando descubren la operación que lo
resuelve, ese problema deja de presentar dificultades y por lo tanto ya no es
interesante.
41 BLOCK David, Fuenlabrada Irma, balbuena, Hugo y ortega leove.Lo que cuentan las cuentas de multiplicar y dividir
Otras variables que permiten generar una mayor diversidad de problemas
son: la cantidad de datos con la que se cuenta, dependiendo de la pregunta que
se haga, la respuesta puede concentrarse con un número o con palabras; puede
implicar comparaciones u ordenamientos sin que necesariamente se tenga que
hacer una operación.
Es recomendable plantear en ocasiones problemas que no tengan preguntas
para que los alumnos las formulen, o bien operaciones para que ellos inventen
problemas.
El maestro puede plantear problemas incompletos es decir, problemas en los
que la información que se da es insuficiente para resolverlos. Los alumnos tendrán
que decir en qué problemas falta información y cuál es la información que falta.
En su propuesta, George Polya nos dice 4ue las actitudes que deben tomar
en cuenta los maestros con respecto al planteamiento y la resolución de
problemas matemáticos deben procurar:
"Ser promotores de creatividad.
No resolver los problemas a los alumnos, debemos guiarlos, estimularlos y
permitirles llegar a la solución por ellos mismos.
No dejar los problemas únicamente como tarea extra-aula.
Plantear problemas que impliquen un reto para el alumno, pero siempre
acorde con sus capacidades. Ni tan fácil que aburra, ni tan difícil que frustre.
Tomar en cuenta las diferencias individuales de los alumnos.
Previo planteamiento de problemas, indagar sobre el desarrollo intelectual de
nuestros alumnos para determinar sus potencialidades.
Resolver él también un problema matemático diario, con gusto y decisión;
siempre de acuerdo con su preparación y formación académica.
-Trabajar en equipo42
42 POLYA, George, Op.Citp.38.
Otras sugerencias para trabajar el planteamiento y resolución de problemas
dentro del salón de clases según Romeo Froylán Caballero en su texto "Los
Problemas Matemáticos
Motivar diariamente a los alumnos para enfrentar con gusto y decisión los -
problemas que se les presenten; con la idea fundamental de que todos podemos
resolverlos.
-Presentar diariamente un problema a los alumnos o al menos uno cada
tercer día. -Utilizar los problemas como punto de partida para que los alumnos
aprendan -matemáticas.
-Pedir a los alumnos, que nos planteen problemas así como nosotros les
planteamos problemas a ellos; y que nos vean enfrentados a dichos problemas
con gusto. -Pedir a los alumnos que inventen y redacten problemas nuevos.
-Trabajar colegiadamente y crear una antología de problemas para el grupo y
grado escolar correspondiente.
-Vincular los problemas planteados con otras asignaturas.
Al manejar dichas sugerencias he obtenido mejores resultados, puesto que
me han servido para despertar el interés de los alumnos al aprender matemáticas
a través de la resolución de problemas.
CONCLUSIONES
Los alumnos que cursan el cuarto grado de educación primaria son capaces
de resolver problemas matemáticos, cuya estructura exige un razonamiento y un
conocimiento del funcionamiento de las operaciones básicas.
Para resolver problemas matemáticos los alumnos abordan caminos o bien
procedimientos que se han trabajado en clase y otros intentan desarrollar
estrategias diferentes como conteo, tanteo ensayo-error, el uso de diagramas,
comparaciones, calcular y probar resultados, operaciones aritméticas y la
representación simbólica.
En el planteamiento del problema se formuló la pregunta ¿cómo están
resolviendo los problemas matemáticos los alumnos de cuarto grado de educación
primaria? .Al concluir el trabajo puedo señalar primero que los alumnos son
capaces de resolver problemas, porque a través de la aplicación de los dos
cuestionario, pude observar que la mayoría de los alumnos lee el problema,
después piensa que es lo que debe realizar, desarrolla diferentes estrategias de
solución y por último establece un resultado.
Y, en segundo, que para resolver problemas matemáticos los alumnos
abordan procedimientos o estrategias como por ejemplo cuando decide el tipo de
algoritmo que debe utilizar de acuerdo al problema, cuando puede explicitar la
secuencia en que encontró la solución y cuando elige la forma en que debe ser
resuelto el problema, en este caso, la forma mas común fue tanteo y ensayo-error.
De acuerdo con la propuesta de George Polya, respecto al procedimiento
para plantear y resolver problemas, puedo mencionar que los alumnos desarrollan
los pasos a seguir que son comprender el problema, concebir un plan, ejecución
del plan y examinar, examinar y verificar el resultado.
Piaget, en la teoría pasicogenética, establece que entre una situación nueva
el alumnos activa su capacidad de adaptación cognitiva, dónde se rompe el
equilibrio mantenido hasta entonces, se da lugar a un desequilibrio, una ruptura en
la estructura cognitiva. Es necesario que a los alumnos se les conflictué con
situaciones problemáticas para permitirles alcanzar un nuevo equilibrio y
consecuentemente un nivel intelectual superior.
Un problema bien comprendido por los alumnos actúa como autorregulador,
anticipando en forma general la operación que constituirá la meta; y permitiendo
ala clase apreciar por sí misma si las preguntas y proposiciones sirven para llegar
al fin previsto. La anticipación esquemática de la solución contenida en todo
problema, tiende así evocar los actos necesarios para su solución.
La edad que tienen los alumnos de cuarto grado oscila entre los 8 y 11 años
y conforme a lo que señala Piaget, estos alumnos se encuentran en la etapa de
desarrollo de las operaciones concretas, edad en la que los alumnos son capaces
de imaginar que realizan las operaciones y que las deshacen, saben pensar en
términos de más de una dimensión al mismo tiempo, y al aplicar cada vez más
estas capacidades ampliadas de razonamiento lógico, sus concepciones
matemáticas y científicas se van acercando a las concepciones de los adultos. Sin
embargo, en esta etapa las acciones están todavía sujetas al entorno y se dan
ante la presencia de objetos físicos.
Cuando el alumno emprende la tarea de buscar la respuesta a una situación
problemática, el primer acercamiento lo realiza con el texto, con su estructura
sintáctica y semántica. Todos los términos (palabras, símbolos, cantidades y
dibujos) empleados en el planteamiento, constituyen el cuerpo gráfico que lo lleva
a comprender el problema en su conjunto, es por eso que puedo señalar que a
partir de una lectura clara del texto de un problema, que lleve a la comprensión de
todas las relaciones entre los datos, el alumno pondrá en juego diversas
estrategias para llegar a una solución satisfactoria que responderá a las
expectativas del problema planteado.
Piaget, menciona que un aspecto esencial en la resolución de problemas es
el tiempo que se le debe proporcionar al alumno de acuerdo a sus necesidades y
según su nivel cognitivo para resolver convenientemente situaciones
problemáticas. Así, durante el proceso, el alumno según los caminos que decida
tomar, va a emplear un tiempo determinado.
Cuando el alumno se decide a concluir una estrategia y el resultado final 10
satisface, elabora argumentos para obtener una evaluación certera de la
estrategia desarrollada en la solución del problema planteado.
De acuerdo a los resultados obtenidos, ubiqué las siguientes dificultades:
La mayoría de los alumnos que resolvieron los cuestionarios lograron
comprender el texto e identificaron el significado de los términos empleados en el
planteamiento, sin embargo existen alumnos que no leen bien y que repiten el
texto pero sin comprender lo que se pide en el problema. Cabe señalar que si las
proposiciones relacionales no son claras no será posible esperar una solución
acertada.
Los problemas presentados, no fueron extraños a los alumnos ya que se
basaron en su vida cotidiana. Puedo afirmar que mientras más próximos se
encuentren a su realidad, más fácil le será obtener una respuesta correcta,
además de ser significativos para ellos.
Ninguna actividad mecánica y memorística contribuye a la formación de las
estructuras lógico-matemáticas, si se memorizan los datos numéricos antes de
construir conceptos, no se logrará la comprensión.
Para sustituir las operaciones básicas considero importante que el alumno
desarrolle estrategias como tanteo ensayo-error, la utilización de diagramas, las
comparaciones a través de dibujos o la representación simbólica.
A continuación quiero formular algunas sugerencias que favorecen el
desarrollo lógico-matemático en la resolución de problemas:
• .Presentar a los alumnos las diferentes estrategias de solución de
problemas matemáticos.
• Que los problemas tengan relación con los contenidos temáticos
correspondientes al grado escolar, así como en la cotidianidad del
alumno y con sentido práctico. .Presentar situaciones conflictivas que
propicien la búsqueda de equilibrio y con ella una nueva estructura
cognitiva.
• Presentar problemas bajo una forma accesible, tanto en su lenguaje
como en su nivel de concepción. Evitar que estos provoquen fatiga y
la falta de interés.
• .Establecer entre los alumnos períodos de tiempo para su resolución,
que les permita al externar su creatividad y poner en juego sus
conocimientos.
• .Deben poderse resolver por medio de las diferentes estrategias.
• .Enseñarles a leer de forma que comprendan el problema.
Ya en el proceso de solución el trabajo puede orientarse de la siguiente
manera:
.Organizar al grupo en equipos, un miembro del equipo puede realizar una
lectura oral del problema y entre todos instrumentar las estrategias de solución.
.El maestro puede pedir a los alumnos un resultado aproximado, esto
permitirá realizar un análisis y reflexión sobre la relación que existe entre los
datos, antes de centrar la atención en los cálculos que se realizarán para obtener
el resultado.
.Si el trabajo se realiza en forma grupal, se permitirá la participación de los
alumnos, para reflexionar y corregir sus procedimientos.
.El maestro debe actuar como modificador mientras los alumnos discuten el
problema. A un cuando los alumnos son motivados a seleccionar y tratar ideas
que ellos consideran, el moderador puede proveer directrices que sean de valor
para la resolución.
.El maestro debe dar libertad a sus alumnos para que elaboren problemas
matemáticos cotidianos. El inicio siempre será difícil, pero en la medida en que se
proponga, mejorará sus redacciones y tomará en...Cuenta todos los elementos
que le den sentido al problema.
Si dichas sugerencias son trabajadas dentro del salón de clases lograremos
desarrollar las siguientes habilidades al resolver problemas:
a) Un pensamiento no algorítmico. Es decir, aquél en el que no existe un
camino determinado a seguir y éste se pueda anticipar.
b) Un pensamiento en el que el individuo tenga que contemplar varias formas
de solución las cuales presentan ventajas y desventajas vinculadas directamente
con el problema o situación de estudio.
c) Un pensamiento que involucre el uso de diversos criterios los cuales
algunas veces están en el conflicto.
d) Un pensamiento que algunas veces implica cierta incertidumbre. Es decir,
no siempre lo que se tiene al alcance en una situación problemática es conocido.
Con este trabajo aprendí que podemos lograr resultados satisfactorios en la
resolución de problemas matemáticos siempre y cuando: enseñemos a nuestros
alumnos a expresar sus procedimientos y estrategias, tanto en forma verbal como
escrita, ya través de esas expresiones plantearla resolución de problemas y
resolverlos en forma grupal y después de manera individual.
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