VALOR DEL DINERO EN EL

TIEMPO IIngeniería Económica

Primavera 2015

Temario

• Valor del dinero en el tiempo

• Concepto de interés

• Tasas de interés

• Interés simple

• Interés compuesto

• Monto o valor futuro

• El dinero tendrá el mismo valor a lo largo del tiempo?

• La respuesta es un no en absoluto

• Una cantidad de dinero (hoy ) vale más que la misma cantidad en el futuro

$ 1,000.oo pesos que recibes hoy vale más que la misma cantidad en el futuro

• Sin son invertidos en un negocio, en una cuenta bancaria, en otros, pueden tener una ganancia que llamamos Interés

• El dinero tiene un poder de adquisición que se deteriora a medida que transcurre el tiempo y esto es debido a la inflación

Valor del dinero

• El valor real del dinero es el número de bienes que pueden ser comprados

por una cantidad determinada, mientras que el valor nominal del dinero es el

número impreso en el billete o moneda, mismo que no cambia al pasar el

tiempo.

• En presencia de la inflación, mientras el dinero conserva su valor nominal, en

términos reales el dinero va perdiendo valor con el tiempo.

• El problema ahora es saber como cambiar el valor nominal del dinero en el

tiempo para que se mantenga su valor real.

Esta relación entre el tiempo, el interés y el poder de

compra del dinero se conoce con el valor del

dinero en el tiempo

El concepto más importante de la matemática financiera y de la ingeniería

económica es : el valor del dinero en el tiempo

Debido a ellos dos o más cantidades de dinero que se colocan en distintas fechas no se

pueden sumar o restar. Por ejemplo

Si tengo una deuda de $ 20,000 .00 dentro de tres meses y $ 50,000.00 dentro de 6

meses del mismo acreedor, no puedo decir que si quisiera pagar esta deuda en este

momento el total de la deuda deberá entregar el total $ 70,000.00 ya que si lo hace no

estaría considerando el valor del dinero en el tiempo.

Cuando una persona usa un bien que no le pertenece, debe pagar por lo general una

renta por su uso.

En el caso del dinero se trata de un bien que se puede comprar, vender y por supuesto

prestar.

Cuando se pide dinero prestado se debe ´pagar una renta por su uso. En este caso la

renta recibe el nombre de interés, intereses o rédito.

El interés se define como el dinero que se paga por el uso de

dinero ajeno

El interés es el rendimiento que se tiene cuando se invierte el

dinero en forma productiva

El interés se simboliza mediante la letra I

MONTO O VALOR FUTURO (1)

F = P + I

Se define como la suma del capital más el interés ganado y se expresa

mediante la letra F

Donde:

P = Capital o Principal es la cantidad de dinero que se toma en préstamo o

se invierte

I = Interés o rédito

Los intereses y la tasa de interés

• Los intereses son los pesos o la cantidad de dinero que está dispuesta a

pagar aquella persona que pide un préstamo (prestatario) por hacer uso del

dinero del prestamista

• Un inversionista deposita su dinero en instituciones financieras con la promesa de que se le

devolverá una cantidad mayor, cantidad que estará basada en una tasa de interés

• En el caso de un préstamo se devuelve una cantidad mayor a la prestada, la diferencia

entre ellas son los intereses que está dispuesto a pagar el prestatario

• La tasa de interés es el porcentaje que se paga por peso invertido o prestado

en un periodo determinado

La tasa de interés indica el costo que representa obtener el dinero en préstamo y se expresa

como un porcentaje del capital por unidad de tiempo.

Por lo general la unidad de tiempo que se utiliza para expresar las tasa de interés es de un

año. Sin embargo, también suele expresarse en unidades de tiempo menores.

Si la tasa de interés se da sólo como un porcentaje, sin especificar la unidad de tiempo, se

sobreentiende que se trata de una tasa anual

La tasa de interés se simboliza mediante la letra i

Ejemplo 3

¿qué significa una tasa de interés de

a) 25%

b) 1.8 % mensual

Solución

a) Quiere decir 25% anual y que por cada $ 100 prestados, el deudor debe pagar $25 de

interés al final de cada año, hasta que pague el capital que solicitó en préstamo

b) Significa que por cada $ 100 pesos que recibió, debe pagar $ 1.80 de interés al final de

cada mes, hasta que devuelva el capital que solicitó en préstamo

La TIIE (tasa de interés interbancaria de equilibrio) es la tasa de interés que

corresponde al punto de equilibrio entre las tasas pasivas y activas y se determina

a partir de la información que sobre el tema los bancos presentan al Banco de

México (Banxico). Las tasas de interés activas son las que las instituciones

bancarias cobran por los distintos tipos de crédito a los usuarios que los solicitan;

las tasa de interés pasivas son aquellas que las instituciones bancarias pagan a

ahorradores e inversionistas

La TIIE, introducida por el banco de México en 1995, es una tasa de interés a

distintos plazos (28 días es el plazo más común) que se utiliza como tasa de

referencia en transacciones e instrumentos financieros. Se calcula diariamente con

cotizaciones que proporcionan a las 12:00 PM, hora de la Ciudad de México, no

menos de seis bancos, las tasas sometidas son los precios reales a los cuales las

instituciones bancarias están dispuesta a prestar o pedir al Banco de México. Éste

usa una fórmula con las tasas sometidas, que da como resultado una tasa

equilibrada

BANCO DE MÉXICO

El Banco de México (en

español: Banco de

México), abreviado BdeM

o Banxico, es el banco

central, la autoridad

monetaria y prestamista

de última instancia. El

Banco de México es

autónomo en el ejercicio

de sus funciones, y su

principal objetivo es lograr

la estabilidad del poder

adquisitivo de la moneda

nacionalhttp://www.banxico.org.mx/

http://www.banxico.gob.mx/sistema-

financiero/index.html#IG

El CPP (costo porcentual promedio de captación) es la tasa de referencia que fija el

Banco de México desde agosto de 1975, que promedia el costo del dinero en el sistema

financiero mexicano y que se publica en el Diario Oficial de la Federación (DOF) entre los

días 21 y 25 de cada mes.

Con el fin de reflejar la existencia de nuevos instrumentos en el mercado financiero

mexicano, el Banco de México inicio el 13 de febrero de 1996 el cálculo mensual del costo

de captación a plazo (CCP). Con esta variable se determina mensualmente cuál es el costo

promedio ponderado en que incurrieron las instituciones de banca múltiple que operan el

país por la captación de recursos en moneda nacional provenientes del público en general,

en sus diversos instrumentos a plazo de un día o más. Se publica entre los días 20 y 25 de

cada mes en el DOF y se refiere al costo del mes inmediato anterior al de su publicación en

los principales diarios de circulación nacional.

http://www.cetesdirecto.com/servlet/cetes/inicio

CETES

Los Cetes (Certificados de

Tesorería de la Federación) son

títulos de crédito al portador

denominados en moneda

nacional, emitidos por el

Gobierno Federal, en muchas

ocasiones, la tasa de interés de

los Cetes a 28 días se utiliza

como tasa de referencia.

Mexibor es una tasa de interés interbancaria de referencia mexicana que se determina

diariamente con base en cotizaciones que proporcionan 12 bancos mexicanos,

calculada y difundida por Reuters de México. Esta es una tasa privada en la que no

participa en Gobierno

Mexibor fue aprobada por el Banco de México el 26 de julio de 2002 para utilizarla como

tasa de referencia oficial para celebrar operaciones pasivas y activas que opera a plazos

de 1, 3, 6, 9 y 12 meses y de forma continua

http://www.banxico.org.mx/SieInternet/consult

arDirectorioInternetAction.do?accion=consulta

rCuadro&idCuadro=CF113&sector=18&locale

=es

http://mx.reuters.com/

Cuando se tienen dos números que expresan un porcentaje, la diferencia entre ambos

recibe el nombre de puntos porcentuales. Por ejemplo, en el caso de la tasa de interés que

se paga por usar la tarjeta de crédito

Las tasas de interés que utilizan en sus cálculos las instituciones financieras y las

empresas comerciales se determinan en la mayoría de los casos, sumando puntos

porcentuales a las tasas de referencia

Ejemplo 4.

Suponga que la tasa de interés aplicable a los clientes que compran a crédito en cierta

tienda departamental es igual a TIIE más 25 puntos porcentuales. Si la TIIE es de 7.32%,

calcule la tasa de interés aplicable.

Banco A Banco B Diferencia porcentual

34% 38% 4 puntos

Solución

La tasa de interés aplicable a los clientes se obtiene simplemente al sumar los puntos

porcentuales a la tasa de referencia. Esto es,

Tasa de interés = i = 7.32 + 25 = 32.32% anual

Un punto base es la centésima parte de un punto porcentual; por tanto, un punto

porcentual consta de 100 puntos base. Así, por ejemplo, si la tasa de interés de una

inversión aumentó de 9% anual a 9.75% anual, se dice que aumentó 0.75 puntos

porcentuales o 75 puntos base

Existen dos tipos de interés: simple y

compuesto

TRABAJO POR EQUIPOS

• SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

Interés Simple

Este tipo de interés se utiliza principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de

un año o menos.

El interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo

Suponga que se invertirán $100,000 a un plazo de 3 meses y a una tasa de interés simple

del 1.2% mensual. Con base en el significado de tasa de interés, el interés que se cobrará

por esta inversión será 1.2% de $ 100,000, por cada mes que transcurra, es decir,

1.2% de 100,000 = (0.012) (100,000) = $ 1,200 cada mes

Si en lugar de retirar cada mes el interés, se conviene en que éste se pagará al final del

plazo establecido, entonces el interés total que se cobrará al final de los 3 meses será

I= (1,200) (3) = $ 3,600

De lo anterior se deduce que el interés simple se puede calcular por medio de la

siguiente fórmula:

I = Pit (2)

Donde

I = es el interés simple que se paga o se recibe por un capital P y

t = es el tiempo transcurrido (plazo) durante el cual se utiliza o invierte el capital

i = es la tasa de interés

Al utilizar la ecuación (2) se debe de tener en cuenta lo siguiente:

1. En los cálculos, la tasa de interés no debe utilizarse en forma de porcentaje, sino en

forma de decimal. Para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre

100

2. La tasa de interés y el plazo deben expresarse en las mismas unidades de tiempo. Si

en un problema la unidad de tiempo asociada a la tasa de interés no coincide con la

unidad de tiempo que se utiliza en el plazo, uno de los dos, la tasa de interés o el

plazo, tienen que convertirse para que ambas unidades de tiempo coincidan. Así por

ejemplo, si en un problema el plazo se expresa en meses, la tasa de interés también

deberá ser mensual. Asimismo, es importante reiterar que si la tasa de interés se da

sin especificar explícitamente la unidad de tiempo, se trata de una tasa de interés

anual

MONTO O VALOR FUTURO

F = P + I (1)

INTERÉS SIMPLE

I = Pit (2)

Si la ecuación (2) se substituye en la (1) se obtiene una forma alterna de

calcular el monto o valor futuro de un capital P

F = P + I = P + Pit

Si se factoriza la expresión anterior obtenemos

F = P(1 + it) (3)

Suponga que hoy usted recibe un préstamo de $ 30,000 a 10 meses de plazo y con una

tasa de interés simple de 2.5 % mensual. El monto de la deuda será:

F= 30,000 [1+(.025)(10)] = 37,500

Por el capital que le prestaron usted debe pagar $ 37,500 dentro de 10 meses.

En este caso $ 37,500 es el monto o valor futuro de $ 30,000. Recíprocamente, se dice

que $30,000 es el valor presente o valor actual de $ 37,500. Esto significa que $ 30,000

hoy son equivalentes a $ 37,500 dentro de 10 meses a tasa de interés simple de 2.5%

mensual.

El valor presente simbolizado por VP, o simplemente P, de un monto o valor futuro F que

vence en fecha futura, es la cantidad de dinero que invertida hay a una tasa de interés

dada, producirá el monto F.

Obtener el valor presente de una cantidad equivale a responder esta pregunta ¿qué

cantidad invertida hoy a una tasa de interés y un tiempo dados, producirá un monto

conocido? El valor presente se calcula al despejar P de la ecuación (3)

VP = P = __F__

1 + it

Encuentre el valor presente de $ 26, 450 que vencen dentro de 6 meses, si la tasa de

interés es de 30%

VP = __F___

1 + it

Al sustituir,

VP = 26,450

1 + 0.30 (6)

12

= $ 23,000

Es decir $ 23,000 que se invierten hoy, durante 6 meses, a una tasa de interés de 30%

anual, se convierten en $ 26,450. también se dice que $ 23,000 son equivalentes a

$26,450 si el tiempo es de 6 meses y la tasa de interés es de 30% anual simple. Los $

23,000 no necesariamente corresponden al capital original, prestado o invertido:

simplemente es el valor del dinero 6 meses antes de su vencimiento.

Se llama flujo de efectivo a las entradas (ingresos) o salidas (gastos o egresos) de

dinero. Cuando el flujo de efectivo es un ingreso, sea una persona o una empresa, se

escribe con signo positivo. Si el flujo de efectivo es una salida, se escribe con signo

negativo.

Se llama flujo de efectivo neto a la diferencia entre las entradas menos las salidas que

se tienen en un periodo determinado.

El diagrama de flujo de efectivo también conocido como diagrama de tiempo

$32,700

0 1 2 3 4 5 6 meses

$ 30,000

18% anual de interés simple

La ingeniería económica basa sus cálculos en el tiempo monto y dirección de flujos de

efectivo

Los flujos de entrada de efectivo son las recepciones, ganancias, ingresos y ahorros

generados por los proyectos y actividades de negocios. Un signo positivo o más indica un

flujo de entrada de efectivo

Los flujos de salida de efectivo son los costos, desembolsos, gastos e impuestos

ocasionado por los proyectos y actividades de negocios. Un signo negativo o menos indica

un flujo de salida de efectivo. Cuando un proyecto sólo implica costos, pude omitirse el

signo negativo para ciertas técnicas, como análisis beneficio/costo

Una vez que se han concluido las estimaciones (o determinadas para un proyecto

terminado) de entradas y salidas de efectivo, es posible determinar el

flujo neto de efectivo de cada periodo.

Flujo neto de efectivo = flujo de entradas de efectivo – flujos de

salida de efectivo

FNE = I - E

Donde FNE es el flujo efectivo neto, I son los ingresos y E son

los egresos

La convención del final del periodo implica la suposición de

que todos los flujos de entrada y de salida de efectivo ocurren

al final de un periodo de interés. Si varios ingresos y

desembolsos se llevan a cabo dentro de un periodo de interés

determinado, se da por supuesto que el flujo de efectivo neto

ocurre al final del periodo

Puntos de vista

32,700.00$

0 mes1 mes2 mes3 mes4 mes5 mes6

30,000.00$

18% anual de interés simple

0 1 2 3 4 5 6 meses

30,000.00$

0 mes1 mes2 mes3 mes4 mes5 mes6

32,700.00$

18% anual de interés simple

32,700

30,000

Suponga que el señor López desea ahorrar $1,800 cada quincena a partir de hoy. Si

efectúa 8 depósitos quincenales y retira el monto obtenido, que consisten en $ 14, 672.75,

una quincena después del último depósito, elaborar el diagrama de flujo de efectivo desde

el punto de vista del señor López

0 mes1 mes2 mes3 mes4 mes5 mes6 mes 7 mes8

-$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 -$ 1,800.00 $ 14,672.65

PRÁCTICA EN EXCEL

• Anexo hoja excel

Problemas

1. Una inversión inicial de $ 125,000 produce en un año un

monto de $ 135,400.00. Calcule el interés que gano el

inversionista en ese tiempo

2. Gustavo obtiene un préstamo de $ 55,000 y se

compromete a devolver al cabo de 8 meses, más $ 6.600

de intereses. ¿qué monto deberá pagar?

3. La tasa de interés aplicable a las personas que compran a

crédito en una tienda departamental es igual ala TIIE

vigente más 30 puntos porcentuales. Calcule la tasa de

interés aplicable.

4. La tasa de interés aplicable a los usuarios de tarjeta de

crédito es igual a la TIIE vigente a la fecha de corte más 22

puntos porcentuales. Calcule la TIIE.

5. Qué interés produce un préstamo de $ 18,700.00 a 13

meses de plazo, a una tasa de 25.6% de interés anual?

6. Una firma de consultoría en ingeniería invierte $ 45,000

dólares en un fondo de inversión que le garantiza un

rendimiento de 0.87% mensual. Cuánto recibirá la empresa

cada mes por concepto de intereses?

7. Cual es el valor presente de $ 23,400.00 que vencen dentro

de 10 meses, si la tasa de interés es de 1.86% mensual

8. Cuánto tiempo debe de transcurrir para que un capital de

6,000 pesos alcance un monto de 9,280, si la tasa de interés

es de 32%

9. Una fábrica de automóviles acaba de lanzar el nuevo auto

deportivo Arrow 310 que cuesta 54,300 dólares al contado. La

agencia que lo ende ofrece, por promoción, no pagarlo en su

totalidad hasta dentro de 4 meses. La misma campaña de

promoción ofrece un descuento de 5% a quienes pagan al

contado. De cuánto es el financiamiento.