El Valor del Dinero en el Tiempo

Evaluación de Inversiones

LIC. ECONOMÍA GLORIA LUY MEDINA

Valor del Dinero en el Tiempo• El valor del dinero en el tiempo (Time Value of

Money, TVM) es un concepto basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo monto en una fecha futura.

• El dinero tiene valor en el tiempo, porque, si se recibe hoy una suma de dinero, se puede obtener interes sobre ese dinero. Alternativamente, con el dinero se puede lograr un rendimiento. Adicionalmente, debido al efecto de inflacion (si esta es positiva), en el futuro esa misma suma de dinero perdera poder compra.

Costo de Capital• Luego, el dinero tiene valor en el tiempo porque genera

intereses o rendimientos. En tal sentido distingamos: el costo del capital (o precio del capital), para el capital propio es conocido como su costo de oportunidad y, para el capital ajeno obtenido en préstamo, es la tasa de interés. Mientras que la tasa de interés, mide el pago que exige el prestamista por cada unidad de capital prestado, el costo de oportunidad mide el rendimiento del capital propio en los mejores usos alternativos.

• En tal sentido podemos decir que el costo de capital es el promedio ponderado de los costos de oportunidad y tasa de interés de los componentes del capital utilizado por la empresa o unidad productiva en cada operación.

Diferencia entre Interés Simple y Compuesto

• El interés simple se calcula sobre el principal o deuda original, que permanece invariable, en consecuencia el interés que se obtiene en cada intervalo de tiempo es siempre el mismo.

• El interés compuesto se calcula a una tasa constante durante el plazo de la deuda, pero el principal es aumentado en cada periodo unitario de tiempo, agregandole el interés acumulado durante cada intervalo de tiempo pasado.

• Cuando los intereses de una deuda se pagan periódicamente, no puede haber interés compuesto. Solo cuando los pagos por interés, no se hacen a su vencimiento empieza el incremento del principal.

Interés Compuesto• Debido al interés compuesto, el principal de la deuda

crece al final de cada periodo de tiempo y en consecuencia, el interés ganado se hace mayor en cada periodo sucesivo.

• Si dejamos que se acumule el dinero gana intereses sobre el principal y también sobre el interés previamente ganado;

• Como resultado, un dólar invertido hoy puede crecer a un dólar mas intereses e intereses sobre intereses a una fecha futura;

Valor Futuro o Compuesto (ejemplo)

• Efectuamos un depósito bancario de $1,000 por tres (3) años a la tasa de interés de 8% anual. ¿A cuanto ascenderá el deposito a los 3 años?

• S = P (1 + r)n

• Donde S es el valor futuro o compuesto, P el valor presente (el depósito hoy), r la tasa de interés y n el número de periodos anuales.

• S = $1,000 (1 + 0.08)3 = $ 1,259.7

• Ver en Excel efecto en el tiempo.

Capitalización

• Cuando un capital se impone a una tasa de interés determinada y el monto de intereses resultante se añade al principal periódicamente, se esta produciendo un proceso de capitalización.

• El interés puede capitalizarse semestralmente, trimestralmente, mensualmente, diariamente, etc.

• Cualquiera que sea la frecuencia de este proceso de capitalización, el intervalo correspondiente recibe siempre el nombre de “Periodo de Capitalización”.

Capitalizaciones dentro del año• Una cantidad presente tal como P equivale

financieramente a una cantidad futura tal como S, dada una tasa de interés tal como r, y un proceso de acumulación periódica de interés al capital de m veces al año, durante n años.

Valor Futuro c/capitalización < al año

• Si el depósito bancario de $1,000 por tres (3) años a la tasa de interés de 8% anual, pudiera capitalizarse mensualmente. ¿A cuanto ascenderá el deposito a los 3 años?

• S = P (1 + j/m)m.n

• Donde S es el valor futuro o compuesto, P el valor presente (el depósito hoy), j la tasa nominal de interés anual y m el número de capitalizaciones por año y n el numero de años.

• S = $1,000 (1 + 0.08/12)12.3 = $1,270.24

Actualización

• Cuando a una cantidad que habrá que pagar o recibir en el futuro, se le disminuye en el monto de los intereses que, al acumularse periódicamente, la constituirán, hasta identificar el capital inicial que le daría origen, se realiza una operación de actualización y la tasa empleada se denomina de actualización o de descuento.

Valor Presente o Actual (ejemplo)

• Una entidad tiene un contrato que le da derecho a recibir $10,000, dentro de 12 años. Si el precio del dinero es 8% capitalizado anualmente. ¿Cual es el valor presente del contrato?

• P = S / (1 + r)n

• Donde P es el valor presente (el contrato hoy), S el valor futuro, r la tasa de interés y n el número de periodos.

• P = $10,000 / (1 + 0.08)12 = $ 3,971.14

Valor presente c/capitalización< al año

• Si quisieramos cancelar hoy el valor de un pagare por $ 27,500, que vence dentro de 2 y 1/2 años y que el Banco cobra la tasa de interés de 4% anual, capitalizable semestralmente. ¿Cuanto habria que pagar?

• P = S / (1 + j/m)m.n

• Donde P es el pago (valor presente del pagare), S el valor facial del pagare (valor futuro), j la tasa nominal de interés anual, n el número años, m el numero de capitalizaciones p/año.

• P = 27,500 / (1 + 0.04/2)2 x 2.5= $ 24,907.60

Ejercicios de Valor Futuro

• (1) Una fundación X deja que se acumule un fondo de $ 10,000; suponiendo una tasa del 6% que se capitaliza anualmente ¿a cuanto ascenderá al fondo al cabo de 20 años? Resp. $32,071

• (2) Calcular el monto de un préstamo de $ 10,000 a interés compuesto del 8% capitalizando trimestralmente, durante 15 años. Resp. $32,810.

• (3) Se deposito $ 5,000 en un banco. Ocho años mas tarde este deposito ascendía a $ 7,110.50 ¿Cual es la tasa de interés, capitalizando anualmente, que dio lugar a esta cantidad?. Resp. 4.49%

Ejercicios de Valor Actual

• (1) Una entidad X tiene un contrato que le da derecho a recibir $ 10,000 de aquí a 12 años. Si la tasa de interés es 8% capitalizado anualmente, ¿Cual es el valor actual del contrato?. Resp. $3,971.

• (2) Una cía. X firma un contrato para vender dentro de 2 años y 3 meses un equipo por $100,000. Suponiendo que el precio del dinero es el 12% capitalizable trimestralmente, ¿Cual es el valor actual de ese contrato?. Resp. $ 76,641.67

Tasa Nominal de Interés

• Cuando el interés se capitaliza mas de una vez por año, la tasa de interés anual declarada recibe el nombre de tasa nominal.

• Si un banco dice pagar 4% anual por depósitos y los capitaliza trimestralmente, la tasa nominal de interés para los depositantes es de 4% anual. Sin embargo, en realidad reciben un poco mas del 4%, ya que cada tres meses se aumenta algo al saldo al abonarle el interés sobre el mismo.

Ejemplo de Tasa Nominal• Un capital esta colocado a la tasa efectiva

del 5% en un sistema de capitalización mensual ¿Cual es la tasa nominal de interés anual?.

• j = [{(1+ r)(1/m)} - 1] * m

• J es la tasa nominal, m es el numero de capitalizaciones en el año y r la tasa efectiva.

• j = [{(1+ 0.05)(1/12)}- 1] x 12= 0.0489 = 4.89%

Tasa Anual Efectiva de Interés

• Puede definirse como aquella a la que efectivamente esta colocado el capital, debido a no ser anual el periodo de capitalización.

• El hecho de capitalizar el interés en determinado numero de veces al año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal.

Ejemplo de Tasa Efectiva

• ¿Cual es la tasa efectiva ganada por un deposito en un banco, cuando la tasa nominal es el 4%, capitalizable trimestralmente?

• r = { (1+ j/m)m} - 1

• J es la tasa nominal, m es el numero de capitalizaciones en el año y r la tasa efectiva.

• r = { (1+ 0.04/4)4} - 1 = 0.0406

Anualidades o Rentas

• Una anualidad es una serie de pagos iguales efectuados a intervalos regulares de tiempo.

• Intervalo de Pago es el tiempo transcurrido entre cada pago periodico de la anualidad.

• Plazo es el tiempo desde el principio del primer intervalo de pago hasta el final del ultimo.

• Anualidades ciertas, son aquellas en las que los pagos empiezan y terminan en fecha fija y determinada.

• Anualidad vencida, son pagos al final de cada intervalo.

• Anualidad anticipada, son pagos al inicio de cada intervalo.

• Anualidad diferida, son pagos que empiezan a correr hasta alguna fecha futura.

Equivalentes Financieros

• El valor presente (P), el valor futuro (S) y el conjunto de pagos iguales (R), son equivalentes financieros, y es posible deducir cualquiera de ellos conociendo alguno de los otros, dados la tasa efectiva de interés anual (r), la tasa nominal de interes anual (j), el número de capitalizaciones por año (m) y número de años (n), usando las fórmulas, que para tal fin ofrecen las matematicas financieras.

Valor Futuro de una renta

• ¿A cuanto ascenderá el monto de una anualidad de $10,000, durante 8 años si se invierte a la tasa del 6% de interés anual?.

• S = R{[ (1 + r)n]-1} / r• Donde R es la anualidad, S es el monto futuro a

acumular, r la tasa de interés y n el número de años.

• S = $10,000 {[ (1 + 0.06)8] - 1} / 0.06 = $98,974.68

Renta necesaria para valor futuro

• Una empresa desea establecer un fondo para redimir una obligación por $ 30,000, que vence dentro de 8 años. ¿Cual es el pago a colocar en un fondo de amortización, e invertirse al 5% capitalizable anualmente, para cumplir con la obligación?

• R = S [ r / {(1 + r)n} – 1]• Donde R es la renta, S es el valor futuro (el fondo

amortización), r la tasa de interés y n el número de periodos.

• R = $30,000 [ 0.05 / {(1 + 0.05)8} – 1] = $3,141.65

Valor Actual de una renta• Se compro una maquina con $10,000 de pago al

contado y $500 trimestralmente, durante 12 años, a la tasa de interés del 8%, capitalizable trimestralmente. ¿Cual fue el precio al contado?.

• P = R{[ (1 + j/m)n.m]-1} / {(j/m)(1 + j/m)n.m}• Donde R es el pago trimestral, P es el precio de la

maquina (la deuda), j la tasa de interés, m numero de capitalizaciones y n el número de años.

• P = $500 {[ (1 + 0.02)48] - 1 / [0.02(1 + 0.02)48]} = $15,336.56

• Añadiendo $ 10,000 por el pago contado el Precio realmente es $ 25,336.56

Renta necesaria para valor actual

• Una empresa adquiere una maquina por $ 13,000. Paga al contado $3,000 y se compromete a pagar el resto con interés al 4% capitalizable anualmente en 6 pagos anuales iguales. ¿Cual es el valor de cada cuota anual? El vendedor se pregunta: ¿cuánto cobrare cada año, para recuperar mi capital de $ 10,000 en 6 años?

• R = P [ r (1 + r)n / {(1 + r)n} – 1]• Donde R es el pago anual, P es el saldo del precio de

la maquina (la deuda), r la tasa de interés y n el número de pagos.

• R = $10,000 [ 0.04 (1 + 0.04)6 / {(1 + 0.04)6} – 1] = $1,907.62

Amortización• Significa muerte de una deuda, es decir es

la extinción de una deuda, por su cancelación o pago.

• Existen dos métodos, que me interesa que conozcan, para proveer progresivamente el pago de una deuda a largo plazo.

• (1) Fondo de Amortización;

• (2) Amortización – Cuota constante y Cuota decreciente.

Método del Fondo de Amortización

• Un fondo de amortización es la cantidad que se va acumulando mediante pagos periódicos, que devengan interés, y que se destina para pagar una deuda a su vencimiento o para hacer frente a otra clase de compromiso futuro.

• Así por ejemplo, se crean fondos de amortización para cancelar una hipoteca, para proveer dinero para pensiones de vejez y para reemplazar activos desgastados.

Ejercicio de Fondo de Amortización

• Se desea formar un fondo de amortización de $1,000,000, en 6 años al 4%.

S = 1,000,000

r = 4%

n = 6 años

R = $ 150,761.90

• Ver desarrollo en Excel adjunto.

Método de Amortización• La amortización puede definirse como el proceso

mediante el cual se extingue gradualmente una deuda, mediante una serie de pagos periódicos al acreedor, que se conocen como el servicio de deuda.

• Cada pago incluye el interés sobre la deuda pendiente y un pago parcial sobre el capital de aquella. Si el servicio de deuda es de igual importe, se conoce como cuota constante y forman una anualidad cuyo valor actual es igual al valor actual de la deuda, esto es del capital de la misma. Cuando el capital es devuelto en partes iguales, mas el interés correspondiente, el servicio de deuda resulta en cuota decreciente .

Ejercicio de Amortización

• Construir un cuadro de amortización, siendo el capital $ 3,149.95; r=8.5%; n=7 años.

• Considere Cuota Constante y Cuota Decreciente por el Servicio de Deuda. Ver desarrollo en Excel adjunto

Diferencia entre Fondo de Amortización y la Amortización

• Si bien ambos métodos sirven para pagar a plazos un préstamo o liquidar una obligación, en el primero, el importe de los pagos sirve únicamente para el pago del capital prestado.

• En el segundo método, los pagos son suficientes para cancelar el capital y el interés, que ganara este interés.

• Otra diferencia entre ambos métodos, es que en el Fondo de Amortización la deuda permanece constante hasta que se completa el fondo; en cambio en el caso de la amortización propiamente dicha, la deuda va siendo cada vez mas pequeña con cada pago sucesivo.

• El método de amortización es el mas usado.

Depreciación• Por depreciación se entiende la perdida de valor de los bienes de capital,

maquinarias, edificios, etc, debido al uso y desgaste, que conducen a dichos bienes a la extinción de sus vidas como unidades de servicio.

• Es evidente que al terminar la vida de un activo, este tiene que ser reemplazado. Para ello, se ponen aparte, periódicamente (Normalmente una vez al año) ciertas sumas y el fondo así creado se conoce como para Reserva para Depreciación o Reserva para reemplazo.

• Las contribuciones anuales a este Fondo reciben el nombre de Cargos de Depreciación. Estos cargos no son transacciones de dinero. Se trata de asientos de contabilidad, cuyo cargo se realiza contra los ingresos del periodo.

• Valor en libros, es la diferencia del costo del activo menos la reserva puesta aparte para cubrir la depreciación. Valor residual, es el precio de reventa como material de desecho.Valor de Uso, es la diferencia entre costo inicial y valor de desecho. ¿qué es agotamiento?.

•

Métodos de Depreciación

• Mas empleados:– Método uniforme o de línea recta;

– Método de porcentaje fijo del valor decreciente en libros.

• Otros métodos:– Método de Fondo de amortización; y

– Método del Interés sobre la Inversión.

Notaciones

• P= Precio de compra del activo

• L= Valor residual o de deshecho del activo

• W= Valor de uso del activo

• n= Numero de años de vida estimada del a.

• h= Años transcurridos desde su compra.

• r= Coeficiente de depreciación (calculado sobre el valor en libros de cada año)

• D= Cargo periódico por depreciación; según el método empleado: Di y Dii.

Método Uniforme o de Línea Recta• Una empresa compro un equipo mecánico en $ 32,000.

Estimando la vida probable en 5 años y un valor de deshecho de $ 3,200, hallar el cargo periódico de depreciación.

• Di= (P - L) / n = (32,000-3,200) / 5 = 5,760

• Ver desarrollo del cuadro en excel adjunto.• Es el método mas usado por su simplicidad;• No toma en cuenta que las reparaciones del equipo

pueden hacerse frecuentes hacia el final de la vida probable.

• Seria prudente mayores cargos los primeros años y mas ligeros los últimos años.

Método de porcentaje fijo del valor decreciente en libros

• Por este método se carga cada año la depreciación en cierto porcentaje fijo del valor con que figura en libros el activo. La constante disminución en los cargos de depreciación, permite destinar mayores cantidades a reparaciones.

• Resolver el ejercicio anterior.

Perpetuidades• Una perpetuidad es una anualidad (R) cuyo pago se

inicia en una fecha fija y continúa para siempre. Es decir, se puede considerar que tiene un infinito número de pagos constantes y por ello no se puede determinar su monto.

• La fórmula se puede derivar de esta definición, aplicándola en la fórmula de valor presente, así:VPp = Lim R [1-(1+i)-n / i] , donde n llega a infinito.

• Lo cual sugiere, que a medida que n tiende al infinito, el valor de (1+i)-n, tiende a 0 (cero). Queda entonces:VPp = R [1- 0 / i] , resulta VPp = R / i

Ejemplo de Perpetuidad• Hallar el valor presente de una perpetuidad de $ 780,

pagaderos al final de cada año, suponiendo un interés efectivo de 6% capitalizable trimestralmente.

• Resp. Primera pregunta:

• VPp= R/i = 780/0.06 = 13,000; Luego el Valor Presente de esta perpetuidad es: $13,000

• Resp. Segunda pregunta:

• 1+i = (1 + 0.06/4)4 ; i= (1.015)4 ; VPp= R/i = 780/(1.015)4-1

• 780/0.06136=12,711.13; entonces el Valor Presente de esta perpetuidad es: $12,711.13