VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPOEl valor del dinero cambia con el tiempo y mientras ms largo sea este, mayor es la evidencia de la forma como disminuye su valor. Tomemos como referencia el valor de la matrcula en una universidad. Si el valor relativo va a permanecer constante en el tiempo, es necesario que sta se incremente anualmente en un valor proporcional a la tasa de inflacin, que en el fondo indica que el valor de cada peso disminuye en el tiempo.De otra manera, si una persona realiza una inversin, lo que se pretende es que la suma invertida genere una rentabilidad por encima de la inflacin. La diferencia entre esta rentabilidad y la tasa de inflacin se convierte en la renta generada por el dinero que se invirti.El dinero tiene entonces un valor diferente en el tiempo, dado que est afectado por varios factores. Enunciemos algunos de ellos: La inflacin que consiste en un incremento generalizado de precios hace que el dinero pierda poder adquisitivo en el tiempo, es decir que se desvalorice.El riesgo en que se incurre al prestar o al invertir puesto que no tenemos la certeza absoluta de recuperar el dinero prestado o invertido.La oportunidad que tendra el dueo del dinero de invertirlo en otra actividad econmica, protegindolo no solo de la inflacin y del riesgo sino tambin con la posibilidad de obtener una utilidad. El dinero per se, tiene una caracterstica fundamental, la capacidad de generar ms dinero, es decir de generar ms valor.Los factores anteriores se expresan y materializan a travs de la Tasa de Inters. Por ejemplo, si un par de zapatos vale hoy $1.000 y la inflacin proyectada para el ao entrante es de un 7%, esto quiere decir que para adquirir los mismos zapatos dentro de un ao, ser necesario disponer de $1.070.El clculo puede efectuarse de la siguiente manera:Nuevo valor = 1.000 + 1.000 x 0,07 = 1.000 x (1 + 0,07) = 1.000 x 1,07Nuevo valor = 1.070

1.- INTERESEl inters juega un papel fundamental en la determinacin de equivalencias financieras. El inters constituye una cuota que se paga por el uso del dinero de otra persona durante un determinado perodo. Ese pago se hace con el fin de compensar a esa persona por haber sacrificado la oportunidad de utilizar ese dinero para otros fines. Reconoce, por ejemplo, que ese dinero habra podido invertirse, lo cual le habra generado a su dueo un rendimiento financiero.Alternativamente, se habra podido utilizar para consumir algo, lo cual le habra generado alguna satisfaccin. El inters le compensa al dueo del dinero el retorno o el placer que hubiese percibido de haber optado por utilizar ese dinero en la mejor alternativa.As, se puede considerar el inters como una compensacin financiera por aplazar en el tiempo el uso del dinero. Es una retribucin al dueo del dinero por renunciar, durante un tiempo determinado, a utilizarlo en alternativas que le generaran beneficios financieros o de otra ndoleEl pago de inters a un prestatario o a un inversionista le incentiva a depositar, ubicar o prestar su dinero, sacrificando sus utilizaciones alternativas. As, se puede entender el inters como el mecanismo mediante el cual el inversionista o prestatario siente indiferencia entre tener (y utilizar) un dinero hoy y tener (y utilizar) otra suma en el futuro. Al acordar participar en el prstamo o inversin, el dueo del dinero acepta que el inters le compensa el tener que aplazar en el tiempo el uso del dinero.El inters, entonces, constituye el mecanismo que podra hacer equivalente una suma presente y otra suma, a ser recibida en el futuro. Para que el inversionista sienta indiferencia o equivalencia entre $P en la actualidad y $F en el futuro, el monto de $F tendra que ser igual a $P ms los intereses que generara $P durante todo el tiempo en que tiene el dinero comprometido. As, podemos entender una equivalencia financiera como una expresin de indiferencia entre una suma en un momento, Y otra suma, en otro momento, donde la indiferencia se genera mediante el pago de un inters, o una recompensa por aplazar en el tiempo el uso del dinero.En este captulo se hace referencia a una tasa de inters financiera, que ser denominada "i". Tpicamente "i" ser utilizada para referirse a una tasa anual. Esta definicin no debe considerarse como limitante, ya que las referencias a anual o ao podrn ser sustituidas por cualquier otro perodo: da, mes, trimestre, semestre, etc. Es importante, sin embargo acordar que la tasa de inters debe referirse a la longitud del perodo utilizado en la evaluacin financiera.Por convencin, las equivalencias financieras se definen con base en una, tasa efectiva y vencida, o sea, una que se capitaliza al acabar el perodo de inters que se ha definido Sin embargo, suelen presentarse otras formas de citar tasas o de pagar los intereses. Como consecuencia, en los siguientes acpites se detallan las estrategias de pago de intereses.Cualquier bien es susceptible de ser entregado en arrendamiento a otra persona y por ello se debe cobrar un canon de alquiler. Por ejemplo es posible dar una casa en arrendamiento y cobrar una suma mensual por el uso de ella. As mismo es posible arrendar una mquina, un vehculo o un dinero. El canon de alquiler del dinero recibe el nombre de Inters y lo denotaremos por i. El inters puede interpretarse financieramente como la retribucin econmica que le devuelve el capital inicial al inversionista de tal manera que se compense la desvalorizacin de la moneda en el periodo de tiempo transcurrido, se cubra el riesgo y se pague el alquiler del dinero.2.- LAS TASAS DE INTERSLa tasa de inters se define como la relacin entre la renta obtenida en un perodo y el capital inicialmente comprometido para producirla. Esta relacin se expresa universalmente en trminos porcentuales .Por ejemplo, si alguien invierte hoy un milln de pesos y al final de un ao recibe $1.200.000, la tasa de inters fue del 20%, es decir:I = 1.200.000 1.000.000 = 200.000La suma de $1.200.000 equivale a $1.000.000 que fue el capital inicialmente invertido y $200.000 de intereses que corresponden a una rentabilidad del 20%.Existen diferentes formas de pactar el pago de intereses. Cada decisin en cuanto al pago incide sobre el monto del inters, o sea, sobre la tasa de inters que efectivamente se paga o se recibe. Hay tres aspectos del pago de intereses que determinan el monto que verdaderamente se pagar, a saber:- la capitalizacin de intereses: tasas simples y compuestas.- la frecuencia de la capitalizacin: tasas nominales y efectivas.- el momento del pago de intereses: tasas vencidas y anticipadas.A continuacin, se detallarn las diferentes modalidades de pagar los intereses y se aclarar su relevancia para el establecimiento de equivalencias financieras.En general existen dos clases de intereses y estas son: Inters Simple: Se aplica en operaciones de corto plazo (Mximo un ao) y el inters se calcula sobre el importe que se debe, o sea el capital primitivo. Inters Compuesto: Se utiliza en convenios financieros a largo plazo o ms de un ao. El capital al final de cada periodo de tiempo se va incrementando por lo que los intereses ganados se convierten a su vez en capital, para producir mayores intereses y a esto se le llama CAPITALIZACION.

A. CAPITALIZACION:La operacin que consiste en invertir o prestar un capital, producindonos intereses durante el tiempo que dura la inversin o el prstamo, se llama Capitalizacin. Por el contrario, la operacin que consiste en devolver un capital que nos han prestado con los correspondientes intereses se llama Amortizacin. Estudiaremos las leyes matemticas que regulan las dos operaciones. El capital que se invierte se llama capital inicial C, el beneficio que nos produce se llama inters I y la cantidad que se recoje al final, sumando el capital y el inters, es el capital final, F. En la prctica, el inters se puede percibir dividido en periodos de tiempo iguales. La capitalizacin puede ser simple o compuesta segn que el inters no se acumule (simple) o se acumule al capital al finalizar cada periodo de tiempo (compuesta). En la capitalizacin simple el inters no es productivo y podemos disponer de l al final de cada periodo. En la compuesta, el inters es productivo -se une al capital para producir intereses en el siguiente periodo- pero no podemos disponer de l hasta el final de la inversin.a. CAPITALIZACIN SIMPLE.Una operacin de capitalizacin simple es aqulla en la que hay una cantidad de dinero inicial (capital C0) que genera unos intereses de forma peridica, pero esos intereses no se acumulan al capital; es decir no son productivos. El capital final es el resultado de sumar al capital inicial los intereses que ste genera peridicamente. La caracterstica fundamental de la Capitalizacin Simple es: Los intereses que se generan a lo largo de un perodo de tiempo dado no se agregan al Capital para el clculo de los intereses del siguiente periodo. Una consecuencia elemental es que los intereses generados en cada uno de los periodos iguales son tambin iguales. En definitiva, la Ley de Capitalizacin Simple no es Acumulativa.Llamamos Intereses a los rendimientos que produce un Capital. Estos sern proporcionales al volumen del Capital, a la duracin o vencimiento de la inversin y al Tipo de Inters.La Capitalizacin simple se utiliza para operaciones con vencimientos cercanos o de corto plazo. Repasemos sus elementos fundamentales: C0 = Capital inicial n = nmero de perodos que dura la operacin.i = Tipo de inters anual, el rendimiento que se obtiene por cada sol invertido en un periodo, generalmente un ao. I = Inters total, la suma de los intereses de cada ao o de cada perodo. Cn = Capital final. La suma del capital inicial ms los intereses.Clculo de los interesesI = I1 + I2 + I3 + + InEn rgimen de Capitalizacin Simple el Inters total es la suma de los intereses de cada periodo y estos se calculan de la siguiente manera: I1 = Co i para el primer periodo I2 = Co i para el segundo periodo I3 = Co i para el tercer periodo In = Co i para el n periodo Por lo tanto:I = Co i + Co i + Co i + + Co i = Co i n Si conocemos el valor de Cn y Co podemos obtener la cuanta de los inters totales despejando de la frmula Cn = Co + I, de tal forma que los intereses totales seran igual a I=Cn-CoClculo del Capital finalLlamamos as a la suma del capital inicial ms los intereses correspondientes a cada uno de los perodos, todos ellos iguales entre s, al final de un periodo de tiempo n. Cn = Co + I Ya hemos comprobado que el valor del inters total I = Co i n, as que sustituyendo obtenemos: Cn = Co + Co i n = Co (1+in)Gracias a estas dos sencillas frmulas el resto de los conceptos relacionados con la capitalizacin simple son fcilmente accesibles.Clculo del Capital InicialSi a partir de la frmula del Capital Final Cn = Co ( 1 + in ) despejamos Co obtendremos Co = Cn / ( 1 + i *n)y si lo hacemos a partir de la frmula del inters total I = Co *1*n obtendremosCo = I / i * n Como hemos visto anteriormente Cn = Co + I. Por lo tanto despejando Co: Veamos un ejemplo:Depositamos en un banco 3000 , a un inters simple del 3% anual, durante 5 aos. Cul es capital final? C0= Capital inicial= 3000 C1= Capital al final del primer ao = 3000 + 3% de 3000 = 3000 + 0,033000 = 3000(1+0,03). C1=3090C2= Capital al final del segundo ao = 3000 + 0,033000 + 0,033000 = 3000(1 + 0,03 + 0,03)= 3000(1 +20,03) .C2=3180C3= 3000 + 0,033000 + 0,033000 +0,033000 = 3000(1 + 30,03). C3=3270C4=3000(1 + 40,03) C4=3360C5= 3000 (1 + 50,03) C5=3450.

b. CAPITALIZACION COMPUESTASe conoce como tal al proceso mediante el cual los intereses se acumulan al capital para producir conjuntamente nuevos intereses al final de cada periodo de tiempo. As sucesivamente, tiene lugar la capitalizacin peridica de los intereses. Esto en la prctica se traduce por ejemplo en el acuerdo entre las partes para que al final de cada perodo los intereses producidos por un prstamo en lugar de liquidarse al prestamista se incorporen al capital para que la suma de ambos produzca intereses en el perodo siguiente.Seguira el siguiente esquema:Capital al final de un periodo: Capital al inicio + Intereses generados en ese periodo Recibe el nombre de Capitalizacin compuesta la operacin de prestacin mltiple y contraprestacin nica con vencimiento posterior. La operacin de constitucin tiene por objeto la formacin o constitucin de un capital mediante la realizacin de un plan de ahorro de un plan de inversin.Elementos fundamentales para el clculo de la Capitalizacin Compuesta: C0 = Capital inicial n = nmero de perodos (aos generalmente) que dura la operacin. i = Tipo de inters anual, rendimiento por cada peseta invertida en un periodo. I = Inters total, suma de los intereses de cada ao o de cada perodo. Cn = Capital final. La suma del capital inicial ms los intereses.Clculo del Capital finala. Operacin de constitucin de prestacin y contraprestacin nica.El capital final es la suma del capital inicial ms los intereses generados durante el periodo de vida de la operacin financiera.Es decir, estamos calculando el capital final Cn, sobre un capital inicial C0 a un tipo de inters anual "i" para "n" perodos.Capital al final del primer ao: C1 = C0 + ( C0 i ) = C0 ( 1 + i ) Capital al final del segundo ao: C2 = C1 + (C1 i ) = C1( 1+i ) = C0( 1+i )(1+i ) = C0( 1+i)2 Capital al final del tercer ao: C3 = C2 + (C2 i ) = C2( 1+i ) = C0(1+i )2( 1+i ) = C0(1+i)3 De este modo, al final de n aos el capital final ser: Cn = C0 ( 1 + i )nb. Operacin de constitucin de prestaciones mltiples y contraprestacin nica.El capital final ser las sumas de todos los trminos invertido con los intereses generados por cada trmino. Estamos calculando el capital final formado por los trminos que invertimos a un tipo de inters anual "i" durante "n" perodos. Capital creado hasta 1: C1=a1Capital creado hasta 2: C2= C1(1+i)+a2 =a2(1+i)+a3Capital creado hasta 3: C3= a1(1+i)2+a2(1+i)+a3De este modo, en el periodo n el capital final ser: Cn=a1(1+i)n-1+a2(1+i)n-2+....+an-1(1+i)+anClculo del capital inicialEl clculo del capital inicial es para el caso de prestacin y contraprestacin nicas.Despejando el capital inicial C0 en la frmula ya vista Cn = C0 (1 + i )n nos queda lo siguiente: C0 = Cn / ( 1 + i )n= Cn( 1 + i )-nPor otro lado tambin sabemos que Cn= C0 + I por lo que si despejamos el valor del capital inicial C0 nos queda: C0= Cn IVeamos un ejemplo:Depositamos en un banco 3000 , a un inters compuesto del 3% anual , durante 5 aos. Cul es capital final? C0= Capital inicial= 3000 C1= Capital al final del primer ao= 3000 + 3% de 3000 = 3000 + 0,033000 = 3000(1+0,03) C1=3090C2= Capital al final del segundo ao= 3000(1+0,03) + 3% de 3000(1+0,03)=3000(1+0,03) + 0,033000(1+0,03)= 3000(1 + 0,03)(1+0,03)=3000(1+0,03)2C2=3182.70C3=3000(1+0,03)2 + 0,033000(1+0,03)2 =3000(1+0,03)2 (1+0,03)= 3000(1+0,03)3C3=3278.18C4=3000(1+0,03)4 C4=3376.53C5= 3000(1+0,03)5 C5= 3477,82 c. TASA NOMINAL:La Tasa Nominal Anual, o en su forma abreviada TNA, es el dato ms utilizado por los clientes de entidades financieras para contrastar las diferentes rentabilidades que ofrecen los productos bancarios desde depsitos a plazo fijo hasta hipotecas ya que puede utilizarse para medir tanto el ahorro como el costo de uno de estos productos.La tasa de inters nominal es aquella que se da para un ao plazo.Enunciados de tasas de inters nominalEl 20% convertible trimestralmente para dos aosEl 24% convertible semestralmente, yEl 25% convertible cuatrimestralmenteLa frmula para encontrar una tasa de inters nominal es:(j)= Representa la tasa de inters nominal, la cual debe ser convertida en efectiva para poder aplicar la formula.j = (i) (m)Dnde:i = Tasa efectivam =Nmero de periodos de capitalizacin en el ao.

Ejemplo de tasa de inters nominal:Para una tasa de inters de 0.50% mensual, determine la tasa de inters nominal para un aoDatos:i = 0.5m = 12 mesesj =? anualAplicando la formula encontraremos la tasa de inters nominal de la siguiente manera:j = (i) (m)j = (0.5) (12)j = 6% annualEn esta unidad, ha conocido informacin importante sobre el clculo de cuotas, tasas normales de inters e inters por mora.d. TASA EFECTIVA:Cuando hablamos de tasa de inters efectiva, nos referimos a la tasa que estamos aplicando verdaderamente a una cantidad de dinero en un periodo de tiempo. La tasa efectiva siempre es compuesta y vencida, ya que se aplica cada mes al capital existente al final del periodo.La tasa efectiva es aquella tasa que se calcula para un perodo determinado y que puede cubrir perodos intermedios. Se representa por (i).Enunciados de tasas de intersLos enunciados de tasa de inters efectiva son:El 12% anual, compuesto mensualmenteEl 12% anual, compuesto trimestralmente, yEl 3% compuesto trimestralmenteLa frmula para encontrar una tasa de inters efectiva es:i= (1+j/m)n -1Dnde:i= Tasa de inters anualm = Nmero de periodos de capitalizacin en el aon = Nmero total de periodosEjemplo de tasa de inters efectivaCalcule la tasa efectiva de un depsito que gana una tasa de inters nominal anual de 9.53%, que se capitaliza diariamente.Para ello tenemos los siguientes datos:j= 0.0953 9.53%m = 360n = 1ief = ?Aplicando la formula encontraremos la tasa efectiva de la siguiente manera: i= (1+j/m)n -1i= (1+0.000265)360 - 1i= 1.10 - 1i= 0.10 x 100 = 10% anualR/ La tasa efectiva que ganar el depsito al cabo de un ao ser de 10%.

B. VALOR FUTURO El Concepto de Valor Futuro se entiende como aquella idea que persigue un inversionista de invertir el da de hoy para obtener un rendimiento en el futuro. Es lo que ms utilizamos en el medio, Si hago un prstamo hoy cuanto debo pagar a futuro? Con un plazo estipulado o sea Cuando me cuesta el obtener ese dinero hoy? Funcin en Excel Fx VFEjemplo:

C. VALOR PRESENTE Tambin se le llama valor actual, muchas veces nos interesa conocer, en virtud del valor del dinero a travs del tiempo, a cunto equivale hoy una suma de dinero que vamos a recibir o cancelar en un tiempo futuro determinado. Valor Actual. Es el que corresponde a un bien, una inversin, cantidad de dinero o un valor en un instante considerado como presente, lo que permite evaluar su equivalencia con otros bienes, valores o inversiones. Funcin en Excel Fx VAEjemplo:

ECUACIONES DE VALORSon aquellos que se utilizan para la resolucin de problemas matemticas financiera las cuales se remplazan un conjunto de obligaciones, con diferentes fechas de vencimiento por una o varios valores con otras fechas de referencia previo acuerdo entre el creedor y el deudor. Se emplean para considerar o remplazar dos o ms deudas por una sola. Tambin se utiliza para el clculo del monto de una serie de depsitos y para calcular el valor actual de una serie de pagos, para la resolucin de los problemas las ecuaciones de valor relacionan las diferentes fechas de vencimiento con una denominada fecha focal, una ecuacin de valor es simplemente una igualdad entre entradas y salidas de capitales financieros, una vez que su vencimientos han sido homogeneizados por un tiempo comn.IMPORTANCIA Revise el tema de las ecuaciones de valor para comprender el concepto del valor del dinero en el tiempo, los factores de las matemticas financieras, los sistemas de amortizacin de deudas y los criterios para evaluar proyectos de inversin y alternativas operacionales.CASO 1:

El 18/5 se compra una mquina industrial cuyo valor es de $42000, abonado el 30% al contado y el resto en dos pagos iguales a los 90 das y a los 120 das de la fecha de compra, respectivamente. Calcular el valor de cada pago, si la financiacin se calcula al 15% nominal mensual de inters simple.

0 90 120

$42000 P P$12600

En el rgimen simple la eleccin de la fecha focal influye en el clculo, ya que la ecuacin de balance planteada en una fecha no es equivalente a la ecuacin de balance planteada en otra. CASO 2:Una persona se comprometi a pagar $1.000.000 dentro de seis meses, $1.500.000 dentro de doce meses y $2.000.000 dentro de diez y ocho meses. La persona manifiesta ciertas dificultades para pagar y solicita el siguiente sistema de pagos: $1.200.000 hoy, $1.200.000 dentro de 10 meses y el resto dentro de 20 meses. Cunto deber pagar en el mes 20? Suponga que la tasa mensual es 1,5%.

1.500.0000601.200.00012181.200.0001.000.0002.000.000X1020Las ecuaciones de valor permiten calcular en cualquier instante del tiempo (fecha focal) el valor de todas las cuotas de tal manera que la suma de las cuotas positivas sea igual a la suma de las cuotas negativas. Planteemos como fecha focal el instante cero:1.000.000/1,0156 + 1.500.000/1,01512 + 2.000,000/1,01518 = 1.200.000 + 1.200.000/1,01510 + X/1,015203.698.946,50 = 2.234.000,68 + X / 1,01520X= 1.973.069,61Realmente cualquier fecha se puede considerar como fecha focal y el resultado es el mismo. Consideremos ahora el mes 12 como fecha focal. La ecuacin de valor es la siguiente:1.000.000*1,0156 + 1.500.000 + 2.000.000/1,0156 = 1.200.000 x 1,01512 + 1.200.000*1,0152 + X/1,01584.422.527,65 = 2.671.011,81 + X/1,0158X= 1.973.069,61Como podemos observar el resultado es exactamente el mismo a pesar de haber cambiado la fecha focal para plantear la ecuacin de valor.CASO 3: Una persona debe pagar $1.000.000 dentro de tres meses, $1.500.000 dentro de diez meses y $2.000.000 dentro de un ao. La persona desea efectuar un solo pago de $4.500.000 para cancelar las tres obligaciones. Si la tasa de inters es del 18% anual nominal liquidada mensualmente, hallar la fecha en que debe efectuarse el pago.La tasa de peridica es: i = 0,18 / 12 = 0,015 = 1,5%Miremos el diagrama del flujo de caja para este caso:

n31.000.000101.500.0004.500.000122.000.0000Tomemos como fecha focal el instante cero:1.000.000/1,0153+1.500.000/1,01510+2' 000.000/1,01512 = 4' 500,000 / 1,015n3.921.592,69 = 4.500.000 / 1,015n1,015n = 4.500.000 / 3.921.592,691,015n = 1,14749296log(1,015)n = 1,14749296n x log 1,015 = log(1,14749296)n = 9,240587619Dentro de 9,24 meses se dar la equivalencia financiera de los pagos. Si reducimos este tiempo a das considerando que un mes tiene 30 das, 0,24 x 30 = 7,2 das, es decir, el pago de los $4.500,000 debe hacerse dentro de nueve meses y siete das.