VALOR DEL DINERO EN EL

TIEMPO

CAPÍTULO 2

INTRODUCCIÓN

El interés es el costo del uso del capital. Su historia se

extiende desde las primeras transacciones registradas

de la humanidad. En tiempos antiguos, antes que se

acuñara el dinero, el capital estaba representado por

la riqueza en forma de posesiones personales, y el

interés se pagaba en especie. El concepto de interés

no cambio mucho al correr de los siglos, pero la

estructura moderna del crédito difiere de la antigua.

Los prestamos o las inversiones eran relativamente

inconvenientes en la antigüedad porque las transacciones se

hacían de manera directa entre las personas, no habían

instituciones bancarias que actuaran como intermediarias. Hoy

en día, existen muchos instrumentos de créditos, y la mayoría de

la gente los usa. Las empresas y los gobiernos son los

prestatarios más importantes, las empresas buscan usar los

bienes de capital para aumentar su productividad y los gobiernos

piden prestado sobre futuros ingresos fiscales para financiar

carreteras, programas de bienestar social, etc. Así mismo las

familias piden prestamos para realizar las compras que superan

sus recursos en efectivo actuales.

Conceptos:

DINERO: Es todo medio de intercambio común y generalmente

aceptado por una sociedad que es usado para el pago de

bienes (mercancías), servicios, y de cualquier tipo de

obligaciones (deudas).

INTERÉS: Interés es un índice utilizado para medir la rentabilidad

de los ahorros o también el costo de un crédito. Se expresa

generalmente como un porcentaje.

El interés y el valor del dinero en el tiempo

En ocasiones casi todos estamos expuestos de modo directo a las transacciones de interés y nos vemos afectados indirectamente de manera regular.

Las tarjetas de crédito son un soporte del comercio. Tienen una carga de interés por pagos retrasados. Las partes principales en un contrato para adquirir un automóvil o una casa son las estipulaciones de interés.

Para apreciar los cargos por interés, uno debe entender las razones de los cargos, comprender la manera en que se calculan y percatarse de su efecto en los flujos de efectivo.

El interés y el valor del dinero en el tiempo

Una tasa r de interés nominal de

8% compuesta trimestralmente,

por ejemplo, indica un cargo de

2% por trimestre compuesto

cuatro veces por año. Si m es el

número de plazos de

composición por año, veremos

que la tasa de interés efectiva

equivalente, o el interés anual

real ganado o pagado, i de una

tasa nominal es:

El interés y el valor del dinero en el tiempo

• El interés continuo es la tasa de interés efectiva conforme m se acerca al

infinito, y su tasa de interés efectiva equivalente es:𝒾∞=ℯ𝓇−1

Los factores de interés están simbolizados por notaciones basadas en el

interés , el numero de periodos N, P = valor presente, F = valor futuro y A = 𝒾anualidades. Una anualidad ordinaria es una serie de pagos iguales, a

intervalos iguales, con el primer pago al final del primer periodo.

Interés Simple

En la muy rara circunstancia en que se cotice una tasa de interés simple, el interés ganado es directamente proporcional al capital implicado en el préstamo.

𝐼=𝑃 𝒾𝑁 Donde:

P = Valor presente o capital.

𝒾= Tasa de interés por el periodo.

N = Número de periodos de interés (por lo general años).

• La cantidad total que un prestatario se obliga a pagar al prestamista o la suma futura de dinero a pagar es:

• Ejemplo: el costo de alquiler de dinero es un préstamo de $1000 durante 2 meses al 10%. Con el interés simple ordinario la cantidad a pagar es:

F= P(1 + N)𝒾Donde N es 2/12 de año, dando como resultado:

F = $1000(1+0,01667) = $1016,67

F= P +I = P + PN= P(1 + N)

Interés Compuesto

• La ecuación clave es F = P(1+, generalizado para cualquier número

de periodos de interés N.

• (1+ se conoce como el factor de cantidad compuesta.

• El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad

de un capital Inicial (CI) o principal a una tasa de interés (i) durante un

período (t),en el cual los intereses que se obtienen al final de cada

período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al

capital inicial, es decir, se capitalizan.

TASA DE INTERÉS NOMINALPor lo general, las tasa de interés se cotizan con base anual. Sin embargo los

contratos pueden especificar que el interés se compondrá varias veces durante

el año: mensual, trimestral, semestral, etc.

Ejemplo: 1 año dividido entre cuatro trimestres con interés al 2%, el valor futuro

al final del año es $200 que gane un interés al 8% compuesto trimestralmente

se desarrolla así:

TASAS DE INTERÉS EFECTIVAS

• Ejemplo: para un préstamo de $1000 donde F= $1196

Tasa de interés anual efectiva = = =

La confusión acerca del interés real ganado se elimina al expresar el cargo

como una tasa de interés efectiva. Las tasas efectivas son las que capitalizan o

actualizan un monto de dinero.

Equivalencia Valor - Tiempo

• Dos cosas son equivalentes cuando producen el mismo efecto. La

tasa de interés efectiva calculada para una tasa de interés

nominalmente declarada es una expresión equivalente del cargo

de interés. Ambos cargos de interés producen el mismo efecto en

una inversión. Al considerar la conversión valor – tiempo, están

determinados los valores numéricos equivalentes del dinero, no los

valores con poder adquisitivo equivalente. La cantidad de bienes

que pueden adquirirse con una cierta suma de dinero varía a la

alza y a la baja como una función de circunstancias particulares y

condiciones económicas nacionales e internacionales.

• El concepto de equivalencia es la piedra angular para las

comparaciones valor – tiempo de dinero. Para tener un

significado preciso, los ingresos y gastos deben

identificarse con el tiempo, así como con la cantidad.

Equivalencia Valor - Tiempo

2.6 FACTORES DE INTERES COMPUESTO

2.6.1 Símbolos de Conversión (F/P , i%, N)

Factor

• Cantidad compuesta• Valor presente• Fondo decreciente• Cantidad compuesta de serie• Recuperación de capital• Valor presente de serie• Conversión de gradiente

aritmético

A encontrar

• Valor futuro (F)• Valor presente (P)• Cantidades de anualidad (A)• Valor futuro (F)• Cantidades de anualidad (A)• Valor presente (P)• Cantidades de anualidad (A)

Dado

• Cantidad presente• Cantidad futura• Cantidad futura• Cantidades de anualidad• Cantidad presente• Cantidades de anualidad• Cambio uniforme en

cantidad

Símbolo

• (F/P , i%, N)• (P/F , i%, N)• (A/F , i%, N)• (F/A , i%, N)• (A/P, i% , N)• (P/A , i%, N)• (A/G , i%, N)

2.6.2 Desarrollo de fórmulas de interés Los símbolos empleados en el siguiente análisis de siete factores de interés son los mismos que los descritos anteriormente: i= tasa de interés por periodo , N= es el número de periodos de composición.

2.6.2.1 Factor de cantidad compuesta

Uso: encontrar F, dado P.

Símbolos: (F/P , i%, N)

Fórmula: F= P(1+i)^N

La razón de valor futuro a la cantidad presente entonces se expresa como :

F/P= (1 + i)^N

2.6.2..2 Factor del valor presente

Uso: encontrar P, dado F.

Símbolos: (P/F , i%, N)

Fórmula: P= F{ 1/(1+i)^N }

La razón de valor futuro a la cantidad presente entonces se expresa como :

P/F = 1 / (1+ i)^N

2.6.2.3 Factor de fondo decreciente

Uso: encontrar A, dado F.

Símbolos: (A/F , i%, N)

Fórmula: A= F{ i/{(1+i)^N -1}}

Un fondo establecido para acumular una cantidad futura dad por medio de la

recolección de una serie uniforme de pagos se denomina un fondo decreciente.

Cada pago tiene un valor constante(A) y se realiza al final de un periodo de interés.

Tiempo de pago

(final del año)

• 1• 2• 3• 4• 5

Cantidad A

De pago, $

• 1000• 1000• 1000• 1000• 1000

Valor futuro al

Final de cada año, $

• 1000 (1.08)^4 = 1360• 1000 (1.08)^3 = 1260• 1000 (1.08)^2 = 1166• 1000 (1.08)^1 = 1080• 1000 (1.08)^0 = 1000

Valor F de la anualidad al final del año 5 = 5866

Datos: i = 8% compuesto anualmente N= 5 años

El factor del fondo decreciente ahora puede expresarse como :

(A/F , i , N)= i / ( 1+ i)^(N) -1

2.6.2.4 Factor de cantidad compuesta de serie

Uso: encontrar F, dado A.

Símbolos: (F/A , i%, N)

Fórmula: F= A{ (1+i)^N -1 / i }

El factor de cantidad compuesta de serie para usarse en el calculodel valor futuro de una anualidad es:

(F/A , i , N)={ (1 + i)^(N) -1 / i }

El valor futuro de la anualidad compuesta de cinco pagos anuales de$ 1000, cada uno invertid al 8% compuesto anualmente, como se mostró en la tabla anterior, es: F= 1000 {(1+0.08)^(5) -1 / 0.08 } F= $5866.60

2.6.2.5 Factor de recuperación de capital

Uso: encontrar A, dado P.

Símbolos: (A/P , i%, N)

Fórmula: A= P{ i(1+i)^(N) / (1+i)^(N) -1}

El factor de recuperación de capital se usa para determinar la cantidad de cada

pago anual futuro requerido para disipar un cierto valor presente cuando la tasa

de interés y el numero de pagos se conoce. Por ejemplo, la cantidad de cada

pago anual hecho durante 5 años a fin de pagar una deuda de $3993 que causa

un interés anual de 8%puede determinarse por medio del uso del factor de

recuperación de capital. La siguiente tabla muestra que se necesitarían cinco

pagos de $1000 para liquidar la deuda de $3993.

Tiempo de pago

(final del año)

• 1• 2• 3• 4• 5

Cantidad A

De pago, $

• 1000• 1000• 1000• 1000• 1000

Valor presente de pagos

al principio del año 1, $

• 1000 (1.08)^(-1) = 926• 1000 (1.08)^(-2) = 857• 1000 (1.08)^(-3) = 794• 1000 (1.08)^(-4) = 735• 1000 (1.08)^(-5) = 681

Valor presente P de la anualidad de 5 años= 3993

2.6.2.6 FACTOR DE VALOR PRESENTE DE UNA SERIE

Uso: encontrar P, dado A.

Símbolos: (P/A , i%, N)

Fórmula: P= A{ (1+i)^(N) -1 / i(1+i)^(N) }

La relación reciproca entre el factor de recuperación de capital y el factor de valor presente de una serie se demuestra con los datos de la tabla anterior : P= 1000{ (1+0.08)^(5) -1 / 0.08(1+0.08)^(5)}P= 3992.71

que indica la equivalencia de tener 3992.71 a mano y un contrato en firmepara recibir cinco pagos de 1000 cada uno a fin de año cuando la tasa deinterés es de 8%.

2.6.2.6 Factor de conversión de gradiente aritmético

Uso: encontrar A, dado G.

Símbolos: (A/G, i%, N)

Fórmula: A= G{ 1/i - N /(1+i)^(N) -1 }

DIAGRAMAS DE FLUJO DE EFECTIVO

Los diagramas de flujo de efectivo son medios para ayudar al tomador decisiones y resolver

problemasPor lo general, es ventajoso primero definir el tiempo en

que ocurren los flujos de efectivo. Esto establece la

escala horizontal, que se divide en periodos, por lo general en

años. Si un flujo de efectivo es positivo o negativo

depende del punto que se representa

En esta figura representa la transacción de un préstamo liquidado en tres pagos parciales

Desde el punto de vista del prestatario, la recepción del préstamo es un flujo de efectivo positivo hacia el interior, mientras que los

pagos subsecuentes representan flujos negativos hacia el exterior. Los flujos se convierten cuando se ve desde la perspectiva del

prestamista.

Tiempo0 1 2

30 1 2

3

Pagos (gastos)

Pagos (egresos)Préstamos

Préstamos

Punto de vista del prestatario Punto de vista del prestamista

Tiempo+

+

Aunque los diagramas de flujo de efectivo son simples representaciones

graficas de los ingresos y egresos, deben exhibir tanta información

como sea posible.

Es útil mostrar la tasa de interés, y podría ayudar a identificar que

debe resolverse en un problema.

Los requisitos obvios del diagrama son:Información completa

ExactitudLegibilidad

La forma de saber si un diagrama esta bien hecho es que alguien mas pueda entender el

problema con claridad .

CÁLCULO DE LAS EQUIVALENCIAS VALOR - TIEMPO El propósito en sumas equivalentes de los cálculos es desarrollar las destrezas para

convertir los patrones de flujo de efectivo en sumas equivalentes, que son mas útiles para

comparar las inversiones.

El propósito de los cálculos valor – tiempo es traducir los ingresos y los desembolsos de

diversas cantidades que ocurren en diferentes momentos en un patrón de flujo efectivo que

ayude a la evaluación económica.

Flujo de efectivo de pago único

Tasa de interés desconocida

¿A que tasa de interés anual se invertirán 1000 dólares hoy para que tengan un valor de 2000 dólares en 9 años?Solución:

P =$1000F =$2000N = 9añosi= ?

$1000

$2000

años

Con i =?

0 9

𝐹= 𝑃(1+ 𝑖)𝑁 2000 = 1000(1+ 𝑖)9 (1+ 𝑖)9 = 2

𝑖 = 219 − 1 = 0.08

Flujo de efectivo de pagos múltiples

Más periodos de composición que pagos

Hoy es el 30 de junio de 1994. se deberán recibir 3 pagos de 500 dólares cada 2 años, comenzando dentro de 2 años, y depositados en un banco donde ganaran intereses al 7% anual. ¿Cuánto dinero habrá en la cuenta bancaria al 30 de junio del 2002?

Solución:

$500 $500 $500

Con i = 7%

1994 1996 2000 2002

𝐹= $500(𝐹/𝑃,7,6) + $500(𝐹/𝑃,7,4) + $500(𝐹/𝑃,7,2)

= $500(1.50073 + 1.31080 + 1.14490) = $500(3.95643) = $1978

Anualidad vencida

¿Cuál es el valor presente de una serie de 15 pagos a fin de año de 1000 dólares cada uno, cuando el primer pago se vence hoy y la tasa de interés es de 5%?Solución:

0 2 4 6 8 10 12 14

años

A = $1000 $1000

𝑃= 𝐴+ 𝐴(𝑃/𝐴,5,14)

= $1000 + $1000(9.89864) = $1000 + $9899 = $10899

Anualidad diferida

Con un interés de 6%, ¿Cuál es el valor al 31 de diciembre de 1994, de una serie de pagos a fin de año de 317.17 dólares hechos desde el año 2000 hasta el 2004?

Solución: 𝑃(1999) = 𝐴(𝑃/𝐴,6,5) 𝑌 𝑃(1999) = 𝑃(1999)(𝑃/𝐹,6,5) Al reunir los términos, tenemos que

Comenzando con los valores conocidos de A, i, N

𝑃(1994) = 𝐴(𝑃/𝐴,6,5)(𝑃/𝐹,6,5)

1994 1999 2000 2004

Con 6%

Con 6%

= $317.70(4.21236)(0.74726) = $1000

Función de composición continua en los estudios de ingeniería

económicaAlgunas instituciones de ahorro anuncian la composición continua como un atractivo para los ahorradores. Un ejemplo de composición continua discreta es atraer a los inversionistas a pagar un interés efectivo mas alto que los competidores, mientras se adhieren a la tasa de interés nominal establecida por los reglamentos.

Los estudios de ingeniería económica en principio se basan en la composición discreta porque en general se enfocan a los pagos totales que se suponen ocurrirán en fechas especificas

Ejercicio 1:

• ¿Qué cantidad debe prestarse al 8% de interés simple

para que gane $350 en 4 años?

F = P(1+

350 = P(1 + 0,08*4)

350 = P(1,320)

P = 350/1,320

P = 265,15151515

Ejercicio 2:

• ¿En cuanto tiempo $800 Rendirá $72 con un

interés simple de 4%?

n =

n =

n = 2,250

Ejercicio 3:

• ¿ A que tasa de interés simple $ 65,07 rendirán,

$8,75 en 3 años 6 meses?

* 100

Ejercicio 4:

• Ejemplo: el costo de alquiler de dinero es un préstamo de $1000 durante 2

meses al 10%. Con el interés simple ordinario la cantidad a pagar es:

F= P(1 + N)𝒾Donde N es 2/12 de año, dando como resultado:

F = $1000(1+0,01667) = $1016,67

Ejercicio 5:

1 año dividido entre cuatro trimestres con interés al 2%, el valor futuro al final del

año es $200 que gane un interés al 8% compuesto trimestralmente se desarrolla

así:

Ejercicio 6:• Se dispone de 1'000.000 de dólares el cual se deposita

en una entidad financiera que le pagará un interés

mensual del 2.5% sobre la cantidad inicial acumulada

cada mes. ¿Cuánto se tendrá al final de 1 año?

DATOS :P=1'000.000i= 2.5% mensualn= 12 mesesF= ?

F = P * ( 1+i F=1'000.000 (1+0.025)^12F = 1'344.888,82

Ejemplo 7:

Solución:

P = 10.000

i = 2.5%

n = 4

I = $10.000 x 2.5% x 4

I = $1.000

I =P* i* n

Un banco presta $10.000 a un interés del 2.5% mensual a un plazo de 4

meses. ¿Al cabo de los 4 meses cuánto es el interés ganado por el

banco?

Ejercicio 8:

• Un depósito de $5.000.000 se mantiene por cuatro años en

una fiducia, que rinde el 1,5% mensual, capitalizando los

intereses. ¿Cuánto se retira al final del contrato de fiducia?

Datos:

P = $5.000.000

n = 4 x 12 = 48 meses

i = 1,5% = 0,015

F = 5.000.000 x (1 + 0,015 = $ 10.217.391

F = P (1+i

9. Está programado un préstamo de $5000 para liquidarse en pago mensuales equitativos durante 2 ½ años .La tasa de interés nominal es 6%. ¿De cuánto es el pago?

P=5000

N=30 meses

I=0.06

A=5000 { 0.06(1+0.06)^30 / (1+0.06)^30-1}

A=363

10. ¿En cuánto se reduce liquidar un préstamo de $3000 en 1 año con 12 pagos equivalentes cuando el interés es de 12% compuesto mensualmente , en comparación con un solo pago cuando la tasa de interés efectiva es de 12%

i= 0.12

P=3000

N=12

A=3000 { 0.12(1+0.12)^(12) / (1+0.12)^(12)-1 }

A=484

TIEMPO DE PAGO CANTIDADA DE PAGO

VALOR PRESENTEDE PAGOS AL PRINCIPIO DEL MES

1 484 484(1.12)^(-1)=432.14

2 484 484(1.12)^(-2)=385.84

3 484 484(1.12)^(-3)=344.50

4 484 484(1.12)^(-4)=307.59

5 484 484(1.12)^(-5)=274.63

6 484 484(1.12)^(-6)=245.20

7 484 484(1.12)^(-7)=218.93

8 484 484(1.12)^(-8)=195.48

9 484 484(1.12)^(-9)=174.54

10 484 484(1.12)^(-10)=155.84

11 484 484(1.12)^(-11)=139.14

12 484 484(1.12)^(-12)=124.23

VALOR PRESENTE P DE L A ACTUALIDAD DE 1 AÑO =3000

A=300 {0.12(1+0.12) / (1+0.12)-1}

A=3360

* 5808-3360

SE REDUCE EN : 2448

11. Los registros se servicio de una pieza de equipo de producción indica que una maquina de reemplazo tendrá costos de mantenimiento durante el primer año aproximadamente $1000 y estos costos se incrementaran $200 por año durante cada año adicional de servicio .Suponiendo que el equipo debe estar en servicio 10 años y utilizando una tasa de interés de 15% ,determine la cantidad máxima que debe pagarse por un contrato de mantenimiento por toda la vida en el momento en que se adquiere el equipo .

G= 2000

A’= 1000

N= 10 años

i = 0.15

A= A`+G{(1/i)-(N/(1+i)^(N) – 1)}A=1000+676.639

A=1677

12. Se espera que los costos de mantenimiento de una pieza seleccionada de equipo de producción sean de $1.000 el primer año de operación y probablemente se incrementen en una tasa de 20% anual durante una vida útil de 10 años .Usando una tasa de interés de 15% ,calcular el valor presente de los costos esperados.

g =0.2

I =0.15

N =10

A` =1000P= A` { 1-(1+g)^(n) (1+i)^(-n) / i-g}P =1000{1-(1.2)^(10)(1.15)^(-10) /0.15-0.2}

P=10610.05096

P= 10610

13. Compare las respuestas obtenidas en el problema 2.19 con las del problema 2.20. ¿A que se debe la diferencia significativa en las cifras del valor presente?

La diferencia esta en que el problema 2.19 los $200 de incremento serán constantes todos los años y en el 2.20, nos dan una tasa del 20% anual la cual afecta al monto final de cada periodo y el incremento en este casa es variable

14. Los ingresos netos por una pieza de equipo de construcción recientemente adquirida se espera que sean $12000 el primer año y que disminuyan en $1500 cada año como un incremento de costos de mantenimiento .El equipo se usara durante 4años .¿ Que anualidad producirá un ingreso equivalente , cuando la tasa de interés es de 8%?

A`=12000

G=1500

N=4

i=8%

A= A`-G{(1/i)-(N/(1+i)^(N) – 1)}A=12000-1500 { (1/0.08) - (4 / (1+0.08)^4-1}

A`=9894

15. El precio actual de los materiales utilizados en un proceso de producción se espera que se mantenga constante durante este año en $100.000 . Encuentre el valor presente del suministro de 5 años para la misma cantidad de material utilizado cada año ,cuando la tasa de interés es 8% , si el precio cambia a una tasa constante anual de :

a)g=-5%

P= { 1-(1+(-0.05)^(5)(1+0.08)^(-5) / 0.08-(-0.05)

P=364137

b) g=0%

P=100000 {1-(1)^(5)(1.08)^(-5) /0.08}

P=399271

C)g=5%

P=100000 {1-(1+0.05)^(5)(1+0.08)^(-5) /0.08-0.05 }

P=437947

16. Se vendieron los derechos de una patente según un contrato en el que los pagos anuales a fin de año de $10.000 se deben hacer durante los siguientes 10 años ¿Cuál es el valor presente de la anualidad a un tasa de interés de 7%?

TIEMPO DE PAGO

CANTIDADA DE PAGO

VALOR PRESENTEDE PAGOS AL PRINCIPIO DEL MES

1 10000 10000(1.07)^(-1)=9346

2 10000 10000(1. 07)^(-2)=8734

3 10000 10000(1. 07)^(-3)=8163

4 10000 10000(1. 07)^(-4)=7629

5 10000 10000(1. 07)^(-5)=7130

6 10000 10000(1. 07)^(-6)=6663

7 10000 10000(1. 07)^(-7)=6227

8 10000 10000(1. 07)^(-8)=5820

9 10000 10000(1. 07)^(-9)=5439

10 10000 10000(1. 07)^(-10)=5083

Valor presente de P de la anualidad de 10 años :

70236

¿Cuánto dinero estaría una persona dispuesta a pagar ahora por una inversión cuyo retorno garantizado será de $600 anual durante 9 años empezando el año próximo a una tasa de interés del 16% anual?

Solución:

𝑷=𝑨 [ (𝟏+𝒊)𝑵−𝟏𝒊 (𝟏+𝒊)𝑵 ]𝑷=𝟔𝟎𝟎 [ (𝟏+𝟎 .𝟏𝟔)𝟗−𝟏

𝟎 .𝟏𝟔 (𝟏+𝟎 .𝟏𝟔)𝟗 ]𝑷=$𝟐𝟕𝟔𝟑 .𝟗𝟑

¿Cuánto dinero tuvo que haber invertido una persona hace 1 año para tener $2500 disponibles hoy, cuando la inversión gaño interés a la tasa nominal de 12% compuesto mensualmente ?

Solución: Primero es necesario convertir

la tasa nominal a su tasa periódica correspondiente: 12% compuesto mensual, significa que una inversión

gana 1% por mes

𝑷=𝑭 [ 𝟏(𝟏+𝒊)𝑵 ]

𝑷=𝟐𝟓𝟎𝟎 [ 𝟏(𝟏+𝟎 .𝟎𝟏)𝟏𝟐 ]

𝑷=𝟐𝟐𝟏𝟖 .𝟔𝟐

¿Qué pago anual a fin de año debe hacerse cada año para tener $20000 disponibles 5 años después? La tasa de interés anual compuesta es de 6%Solución:

LA ANUALIDAD A 5 AÑOS ES UN FONDO DECRECIENTE QUE TIENE UN VALOR DE VENCIMIENTO DE $20000

𝑨=𝑭 [ 𝒊(𝟏+𝒊)𝑵−𝟏 ]

𝑨=𝟐𝟎𝟎𝟎𝟎 [ 𝟎 .𝟎𝟔(𝟏+𝟎 .𝟎𝟔)𝟓−𝟏 ]

𝑨=𝟑𝟓𝟒𝟕 .𝟗𝟐

Si usted deposita $10000 hoy, ¿Qué cantidades equivalentes se puede retener al final de cada trimestre durante los siguientes 4 años, cuando la tasa de interés nominal es de 10%?

Solución:

N=16i= 10/4%P=$10000

𝑨=𝑷 [ 𝒊 (𝟏+𝒊)𝑵

(𝟏+𝒊)𝑵−𝟏 ]𝑨=𝟏𝟎𝟎𝟎 [ 𝟐 .𝟓(𝟏+𝟐 .𝟓)𝟏𝟔(𝟏+𝟐 .𝟓)𝟏𝟔−𝟏 ]𝑨=𝟕𝟔𝟔 Las retenciones

forman una anualidad, donde el capital invertido se recupera por pagos

de $766

Se vendieron los derechos de una patente según un contrato en el que los pagos anuales de fin de año de $10000 se deben hacer durante los siguientes 10 años ¿Cuál es el valor presente de la anualidad , usando una tasa de interés de 12%?

1 11

VP 10 años

Solución:

𝑷=𝑨 [ (𝟏+𝒊)𝑵−𝟏𝒊 (𝟏+𝒊)𝑵 ]𝑷=𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎 [ (𝟏+𝟎 .𝟎𝟕 )𝟏𝟎−𝟏

𝟎 .𝟎𝟕(𝟏+𝟎 .𝟎𝟕 )𝟏𝟎 ]𝑷=𝟕𝟎𝟐𝟑𝟓

Un ahorrador emprendedor planea depositar $2000 en una cuenta de mercado de dinero que comienza dentro de 1 año y desea incrementar los depósitos anuales en $1000 cada año durante los seis años siguientes. Suponiendo que los depósitos ganan 9%anual, determine que anualidad de pago equitativo acumularía la misma cantidad durante un periodo de 7 años.

Solución: El primer paso para usar el factor de conversión de gradiente aritmético es identificar la anualidad base A’ y el gradiente G

El cambio periódico es el gradiente G: $1000El pago al final del primer periodo es el valor de la anualidad base A’(valor anual): $2000N es la duración de la serie

𝑨=𝑮[ 𝟏𝒊 − 𝑵(𝟏+𝒊)𝑵−𝟏 ]

𝑨=𝟏𝟎𝟎𝟎 [ 𝟏𝟎 .𝟎𝟗

−𝟕

(𝟏+𝟎 .𝟎𝟗)𝟕−𝟏 ]𝑨=𝟏𝟎𝟎𝟎(𝟐 .𝟔𝟓𝟕𝟖)𝑨=𝟐𝟔𝟓𝟕 𝐀=𝐀′+𝐆(

𝐀𝐆, 𝐢 ,𝐍)

𝐀=𝟐𝟎𝟎𝟎+𝟐𝟔𝟓𝟕𝐀=𝟒𝟔𝟓𝟕

Un huerto de cítricos creado recientemente tendrá plena producción después de 6 años. Comenzando en el séptimo año y continuando durante una vida productiva de 20 años , se espera que el huero produzca un rendimiento neto promedio de $80000 por año. ¿Cuál es el valor presente equitativo en efectivo de la inversión, si el dinero vale 7% anual?Solución:

0 6 7 27

VP 20 años

𝑷=𝑨 [ (𝟏+𝒊)𝑵−𝟏𝒊 (𝟏+𝒊)𝑵 ]𝑷=𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 [ (𝟏+𝟎 .𝟎𝟕 )𝟐𝟎−𝟏

𝟎 .𝟎𝟕(𝟏+𝟎 .𝟎𝟕 )𝟐𝟎 ]

)

𝑷=𝟖𝟒𝟕𝟓𝟐𝟏 .𝟏𝟑𝟗𝟒

Una tarjeta de crédito tiene una tasa de crédito de 2% mensual sobre el saldo no pagado.a) Calcule la tasa efectiva por periodo semestralb) Si la tasa de interés se expresa como 5% por

trimestre, encuentre las tasas efectivas por periodos semestrales y anuales.

Solución: a) En esta parte del ejemplo, el periodo de capitalización es mensual. Dado que se desea obtener la tasa de interés efectiva por periodo semestral, la “r” debe ser la tasa nominal por 6 meses

La “m” es igual a 6, puesto que el interés estaría compuesto 6 veces en un periodo de 6 meses. Por lo tanto la tasa efectiva semestral es:

r = 2% mensual * 6 meses(periodo semestral) = 12% por periodo semestral

𝒊𝒆𝒇=(𝟏+𝟎 .𝟏𝟐𝟔

)𝟔

−𝟏

i * 6 meses(periodo semestral)

𝒊𝒆𝒇=𝟎 .𝟏𝟐𝟔𝟐

𝒊𝒆𝒇=𝟏𝟐 .𝟔𝟐%

b) Para una tasa de interés del 5% por trimestre, el periodo de capitalización es trimestral. Entonces, en un periodo semestral, m =2 y r =10%

i * 6 meses(periodo semestral)

𝒊𝒆𝒇=(𝟏+𝟎 .𝟏𝟎𝟐

)𝟐

−𝟏

𝒊𝒆𝒇=𝟎 .𝟏𝟎𝟐𝟓𝒊𝒆𝒇=𝟏𝟎 .𝟐𝟓%

La tasa de interés efectiva anual puede determinarse utilizando r = 20% y m = 4

i * cada año

𝒊𝒆𝒇=(𝟏+𝟎 .𝟐𝟎𝟒

)𝟒

−𝟏

𝒊𝒆𝒇=𝟎 .𝟐𝟏𝟓𝟓

𝒊𝒆𝒇=𝟐𝟏 .𝟓𝟓%