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CONTROL 1 | ANÁLISIS DE ERROR

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE

TANTOYUCA

UNIDAD VI: “ANÁLISIS DE ERROR” ING. ELECTRONICA

MATERIA: CONTROL I

V SEMESTRE

M.C. RAÚL HERNÁNDEZ RIVERAINTEGRANTES:

ANTONIO MORALES ANA GABRIELA

DEL ANGEL DEL ANGEL FERNANDO

JUAN FERNANDEZ SOLEDAD

SOLIS DIAZ LUIS ENRIQUE

03 de diciembre de 2010




UNIDAD VI: ANÁLISIS DE ERROR

INTRODUCCION

Los controladores automáticos como parte esencial en el desarrollo dela industria, han ido evolucionando tanto en la tecnología utilizada para sufabricación, como en la búsqueda de criterios y métodos que optimicen elfuncionamiento de estos en los distintos procesos de producción.

El método de sintonización de un controlador, requiere el estudioprevio de los factores que puedan afectar o beneficiar la planta de producción y las

condiciones que se requieran para el proceso.En el diseño de los parámetros que rigen el comportamiento de los

controladores, es común prestar especial atención al comportamiento del error, elcual es la diferencia entre la respuesta de la planta y el valor deseado deoperación.

El error en un sistema de control se ve afectado por las modificacionesen el valor deseado o por perturbaciones del proceso, imperfecciones en loscomponentes del sistema y deterioro del equipo.

En los sistemas de control se tienen dos tipos de error:

Error estacionario.

Error dinámico.

El error estacionario es la diferencia entre la salida y el valor deseadoen régimen permanente, esto es, cuando t → ∞ . Este error e s causado por laincapacidad de un sistema de seguir diferentes tipos de entradas, generalmenteentradas tipo escalón o rampa. El error es utilizado como criterio de diseño paramedir la exactitud de un sistema de control. Así, un sistema puede tener error nuloante una entrada tipo escalón.

El error dinámico representa la variación del error cuando se presentaun cambio en la entrada o cuando se produce una perturbación en el sistema.




DESARROLLO

6.1 ERROR ESTATICO Y DINAMICO

Errores aditivos y errores multiplicativos: Los errores estáticos puedenser constantes con respecto a la magnitud de entrada, o puede que varíen conesta. En el primer caso se denomina errores aditivos; El segundo caso sedenomina multiplicativo, si son directamente proporcionales a la entrada, y notienen nombre específico si no lo son. Otros nombres equivalentes son:respectivamente errores de cero y errores de ganancia (o de factor de escala).

6.1.1 ERROR ESTÁTICO:

Los sistemas de control se pueden clasificar de acuerdo a su

capacidad de seguir entradas escalón, rampa, parabólica y otras. Este esquemade clasificación es razonable, ya que las entradas reales se suelen considerarcomo combinaciones de tales entradas. Los valores de lo errores estacionariosdebidos a esas entradas individuales son indicativos de la” bondad” del sistema.

Considere las siguiente función de transferencia de lazo abierto G(s)H(s):

Esta ecuación incluye el termino sN en el<denominador representandoun polo de multiplicad N en el origen. El esquema de clasificación que sepresenta aquí está basado en la entidad de integraciones indicadas por la funciónde transferencia de lazo abierto. Un sistema se denomina tipo 0 tipo 1, tipo2…., si

N=0 , N=1,N=2,….., respectivamente. Nótese que esta clasificación que es

diferente a la orden de un sistema.

Constante KP de error estático de posición. El error estacionario del sistema ,para una entrada escalón unitario, es : formula

)1()1)(1(

)1()1)(1()()(

21

sT sT sT s

sT sT sT K s H sG

p

N

mba

)0()0(111

)()(1lim

0 H Gss H sGse

ses




La constante Kp de error estático de posición se define como: formula

Así, el error estático en términos de la constante Kp de error estáticode posición esta dado por: formula:

Para un sistema tipo 0, formula

Para un sistema tipo 1 o superior, formula

Por lo tanto, para un sistema tipo 0, la constante K p de error estáticode posición es finito, mientras que para uno de tipo 1, Kp es infinito.

Para una entrada escalón unitario, el error estacionario e ss como

sigue:

Para un sistema tipo 0

:

Para sistemas tipo 1 o superiores

Si se pueden tolerar pequeños errores para entradas en escalón , sepueden admitir un sistema tipo 0, siempre que la ganancia K sea suficientementeelevada. Sin embargo, si la ganancia es excesivamente grande es difícil lograruna estabilidad relativa razonable. Si se deseará un error estacionario nulo parauna entrada en escalón el sistema debería ser de tipo 1 o superior.

)0()0()()(lim0

H Gs H sGK s

P

P

esK

e

1

1

K eK

sT sT

sT sT K K es

ba

sP

1

1

)1)(1(

)1)(1(lim

210

0)1)(1(

)1)(1(lim

210

es N

ba

sP

esT sT s

sT sT K K




Constante Kv de error estático de velocidad. El error estacionario del sistema,parauna entrada rampa unitaria esta dado por. Formula:

El constante Kv de error estático de velocidad se define como: formula

Así, el error estático en términos de la constante Kv de error estáticode velocidad esta dado por formula

El termino error de velocidad se ha utilizado aquí para expresar elerror estacionario ante una entrada rampa unitaria. La dimensión del error develocidad es la misma que el error del sistema. Es decir, el error de velocidad noes en la velocidad, si no en la posición debido a una entrada rampa.

El error en estado estacionario ess para la entrada rampa unitaria sepuede resumir como sigue:

Para un sistema tipo 0:

Para un sistema tipo 1

Para un sistema tipo 2 o superior.

El análisis anterior indica que un sistema tipo 0 es incapaz de a tenderuna entrada rampa en estado estacionario. El sistema tipo 1 con retroalimentación

)()(

1lim

1

)()(1lim

02

0 s H ssGss H sG

se

ssss

)()(lim0

s H ssGK s

V

V es K e

1

V

es

ba

sV

K e

sT sT

sT sT sK K

10

)1)(1(

)1)(1(lim

210

K K eK

sT sT s

sT sT sK K

V

esba

sV

11

)1)(1(

)1)(1(lim

210

01

)1)(1(

)1)(1(lim

210

V

es N

ba

sV

K e

sT sT s

sT sT K K




unitaria puede seguir la entrada rampa con error finito. El estado estacionario, lavelocidad de salida es exactamente igual a la velocidad de entrada, pero hay unerror de posición. Este error es proporcional a la velocidad de entrada einversamente proporcional a la ganancia k.

Constante ka de error estático de aceleración. El error en estado estacionariodel sistema con una entrada parabólica unitaria (entrada aceleración), que estadefinida por. : formulas

La constante ka de error estático de aceleración está definida por la ecuación:

Entonces el error en estado estacionario es:

Nótese que el error de aceleración, que es el error en estadoestacionario causado por una entrada parabólica, es un error en posición.

Los valores ka se obtienen como siguen, de tipo:




6.1.2 ERROR DINÁMICO:

Es la diferencia entre las señales de entrada y salida durante elperíodo transitorio, es decir el tiempo que tarda la señal de respuesta enestablecerse.

En la respuesta de un sistema a una señal de entrada, se puededistinguir entre dos etapas o fases: la transitoria y la estacionaria. La primera es laque media desde que se aplica la entrada hasta que la salida abarca su valor final,mientras que la segunda se cuenta a partir de dicho momento. Cuando se hablade error dinámico suele sobreentenderse en la fase estacionaria, pero antes demedir la salida hay que asegurarse de que a acabado la fase transitoria.

El error dinámico depende de la forma concreta de la entradaaplicada, si bien en el acondicionamiento de señal suelen considerarse entradassenoidales. No hay que olvidar entonces que la función de transferencia no recogela respuesta transitoria a dichas entradas.

Cuando la operación realizada es lineal los errores se pueden dividiren aditivos y multiplicativos, aparte del posible error de linealidad. Por ejemplo el

ruido de un amplificador es una fuente de error aditivo típica, mientras que lalimitación del ancho de banda produce un error multiplicativo. El error total puedeexpresarse también como error absoluto o como error relativo.

La respuesta de un sistema en régimen transitorio se analizará alfinal de este capítulo; por ahora sólo diremos que para estudiar este tipo de




respuesta se utilizan señales de prueba, el siguiente cuadro muestra lastransformadas de “Laplace” de las mismas:

El siguiente grafico muestra la respuesta de un sistema ante una

entrada escalón y el error así generado:

Características de un instrumento de medida

» DINÁMICAS

Los instrumentos de medida, como todos los sistemas, tienen uncomportamiento dinámico que puede evaluarse en términos de tiempo de




respuesta, tiempo de subida, constante de tiempo, factor de amortiguamiento,frecuencia natural, respuesta en frecuencia.

6.2 SENSIBILIDAD

Propiedad de los sistemas con posibilidad de alterar la sensibilidad detoda la función de transferencia variando parámetros específicos del sistema. Si lavariable transformada S se fija a cero, la función de transferencia Y/R describeentonces la razón de transferencia que es aplicable bajo condiciones delcontrolador estático y la planta son finitas, entonces

Y si K1K2H>>1, entonces

Por lo tanto con una ganancia de lazo grande, toda la función detransferencia es sensible a variaciones en el factor de ganancia de larealimentación, pero relativamente insensible a variaciones en las funciones detransferencia que describen la ganancia del camino directo. Normalmente loscomponentes de la planta incluyen actuadores y otros elementos que debenproporcionar una elevada ganancia en potencia y las características de lasensibilidad están a menudo en conflicto con otras variaciones. Sin embargo, la




ganancia de realimentación esta generada por dispositivos de monitorización debaja potencia, que generalmente son susceptibles a técnicas de diseño queproporcionan un comportamiento casi invariante. Por lo tanto, la transferencia desensibilidad desde los parámetros del camino directo al camino de realimentaciónes un intercambio deseable. Para un análisis más preciso se introduce una

expresión que se puede utilizar para calcular la sensibilidad. La sensibilidad S deuna función de transferencia T a variaciones de los parámetros (designados pora) es

La expresión describe la variación normalizada en T (debido a un

cambio en a) debido por el cambio normalizado en a. Dada una expresiónmatemática que relacione a con T, normalmente es de alguna forma más simpleevaluar el limite cuando ∆a tiende a cero. La expresión de la sensibilidad es

entonces:

Una evaluación de la sensibilidad con magnitud igual a 1, 0 indica unacorrespondencia uno a uno en la variación normalizada de a y T. Una magnitud

menor que la unidad indica que la variación normalizada en a esta produciendouna variación normalizada menor en T y un número real negativo indica que existeuna relación inversa entre un cambio en a y el correspondiente cambio en T.

Si en el cálculo de la sensibilidad se aplica la ec. 7.83 (con T= Y/R) entonces

La sensibilidad a variaciones de K1 es obviamente pequeña si laganancia del lazo es grande. Si se determina la sensibilidad con respecto a K2, elresultado final no varía. Si se considera la sensibilidad con respecto a lasvariaciones de H, entonces




Si la ganancia de lazo es grande, la sensibilidad de T con respecto alas variaciones en H es aproximadamente igual a –1. L a aparición del signonegativo se debe a la relación inversa entre T y H.

En el ejemplo de la fig. 7.33 representa la situación estática, pero el

concepto básico se puede extender a situaciones dinámicas considerando lasensibilidad como función de la frecuencia. Hay dos técnicas ligeramentediferentes que se pueden aplicar a este proceso. Una opción consiste en sustituir spor jω en la función de transferencia y después formular las expresiones para la

magnitud, M (ω) y la fase, φ(ω). Ambas son funciones reales y la sensibilidad de la

ganancia (ó desplazamiento de fase) frente a variaciones de los parámetros delsistema se puede calcular como función ω.

Otra técnica consiste en aplicar el cálculo de la sensibilidaddirectamente a la función de transferencia (sin convertir a una función de magnitud

o fase). L diferenciación se hace con respecto a un parámetro del sistema, pero lapresencia de una variable de frecuencia compleja jω produce una función de

sensibilidad que es compleja. L a variación de la magnitud y del ángulo se venreflejadas en la magnitud de la función sensibilidad y el resultado normalmente sepresenta dibujando la magnitud de la sensibilidad frente a la frecuencia.

L a segunda técnicas relativamente directa y se puede demostrarconsiderando un ejemplo que utiliza el<sistema descrito en la figura 7.34.Considerar la determinación de la sensibilidad de T con respecto a las variacionesde K0. Aunque no afecta a los cálculos la notación es más simple si T se expresa

inicialmente en términos de s. Entonces

Y la sensibilidad calculada es

Sustituyendo s por jω y figando K0=10 obtenemos




Y la magnitud de la sensibilidad es

Este resultado se presenta en la fig. 7.35 y las curvas adicionales quemuestran la magnitud de la ganancia en lazo abierto y en lazo cerrado se presentaen la fig. 7.36. Puesto que la función de la magnitud de la ganancia en lazo abiertoes muy elevada en el rango de frecuencia 0 y 1 rad/s, la sensibilidad devariaciones K0 es muy baja en este rango. La presencia de un integrador en elcamino directo produce ganancia infinita en ω igual a cero. Por lo tanto, la

sensibilidad de variaciones de K0 es cero bajo condiciones de estado estacionariocon una entrada constante. Si se aplica una entrada escalón a este sistema, elvalor de T bajo condiciones de estado estacionario es insensible a variaciones de

K0.

Criterios de comportamiento y algunos ejemplos de realimentación,




La alta sensibilidad que se produce cerca de ω= 3,12 es una

consecuencia de introducir un valor de K0 que produce un coeficiente deamortiguamiento muy bajo. Una sensibilidad que es mayor que 1, 0 es unfenómeno que normalmente está asociado con la realimentación positiva. En estasituación se representa un pico tanto en sensibilidad como en ganancia en lazocerrado por que el coeficiente de amortiguamiento es pequeño. Si se introduceuna entrada escalón la salida incluirá una componente oscilatoria amortiguadaque produce aproximadamente un 60% de sobre elongación y presenta una

variación de frecuencia aproximada de 3,12 rad/s. la magnitud de la respuestatransitoria será altamente sensible a variaciones en el factor de ganancia del lazo.

Sin embargo, los síntomas de una situación inferior con respecto a laestabilidad se corrigen fácilmente incrementando el coeficiente deamortiguamiento a un nivel razonable. Un aumento del coeficiente deamortiguamiento producirá un pico en la función de sensibilidad y la función deganancia del lazo disminuye o desaparece.




ANEXOS

EJEMPLO DE ERROR ESTÁTICO

Ejemplo 1

Sea el sistema de control automático de realimentación unitaria definido por la

función de transferencia:

Determinar

1. El coeficiente estático de error de posición Kp el de velocidad Kv y el de

aceleración Ka así como los errores estáticos de posición essp de velocidad essv de

aceleración essa.

2. Si el error permitido es essa = 5 seg2

determinar la nueva función de

transferencia G`(s) manteniendo los polos del origen -1 ±

Solución

1. Determinación de KP Y essp.

El coeficiente de estático de error de posición Kp es:

El error estático de posición es:

En la siguiente figura se muestra la grafica y se observa como el error estático de

posición vale cero.




El error estático de aceleración es:

Ejemplo 2




EJEMPLO DE ERROR DINÁMICO




CONCLUSIONES

Se utilizan distintos criterios para proporcionar medidas del comportamiento

del sistema el criterio de comportamiento incluye medidas delcomportamiento transitorio (tanto en respuesta relativa como en respuesta

temporal); selectividad espectral; error en estado estacionario; rechazo a

perturbación y sensibilidad de la función de transferencia a variaciones de

los parámetros del sistema.

Un error dinámico afecta a las señales rápidas, y es una consecuencia de la

presencia de elementos que almacenan energía. Dado que en la respuesta

dinámica se consideran dos fases, la respuesta transitoria y la respuestaestacionaria, se habla de error dinámico transitorio y error dinámico

estacionario.

El error dinámico de un sistema depende de su orden y de la forma de la

señal de entrada. Las señales consideradas habitualmente son el escalón,

la rampa y las senoidales.

Los sistemas de orden cero no tienen error dinámico. Los sistemas de

primer y de segundo orden tienen un error dinámico para las entradas en

rampa y senoidales, incluso en régimen estacionario, y tienen un error

dinámico para las entradas en escalón sólo durante la fase transitoria.

En los sistemas de segundo orden la fase transitoria dura tanto más cuanto

menor sea el amortiguamiento. El error dinámico para entradas senoidales

incluye un retardo y un error de amplitud, pero normalmente al hablar de

error dinámico se suele sobrentender el error de amplitud.




BIBLIOGRAFÍA

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