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A

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E

M

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I

C

A

S

Tema 2. Ecuaciones cuadráticas Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Por ejemplo: 85 =x , yy 274 −=+ . Una ecuación es una balanza que siempre está en equilibrio. Si se modifica la expresión algebraica de algún extremo se tiene que hacer exactamente igual del otro.

Por ejemplo, en la ecuación 52 =+x si se suma -2 a ambos lados entonces se tiene: 2522 −=−+x 3=x

Un valor de la incógnita (x) es solución de una ecuación si hace cierta la ecuación, por ejemplo:

a) En la ecuación 1314 =+− y la solución es 3−=y , pues

13112131)3(41314

=+=+−−=+− y

b) En la ecuación 32

31=+m la

solución es 31

=m , ya que

32

31

31

=+

Generalmente, para resolver ecuaciones se elaboran ecuaciones cada vez más sencillas, terminando con una ecuación cuya solución es fácil de hallar. Hay que recordar las siguientes propiedades de las igualdades para resolver ecuaciones:

1. Si ba = , entonces

−=−+=+

cbcacbca

para cualquier número c .

Sea la ecuación 7.143.3 =−x , se suma 3.3 en ambos lados de la ecuación: 3.37.143.33.3 +=+−x

180 =−x 18=x

52

2. Si ba = , entonces

≠=

=0si c

cb

ca

bcac

Se tiene la ecuación 75=

m , se multiplica por 5 en ambos lados:

)7(55

5 =

m 35=m .

3. Si ba = , entonces

==

mm

nn

baba

a) Sea la ecuación 83 =a . Se obtiene la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación:

33 3 8=a , luego 2=a .

b) Sea la ecuación 5=b . Se elevan al cuadrado ambos lados de la ecuación:

( ) 225=b luego 25=b .

Otros ejemplos: a)

4

0304

0)4(3

−=

==+

=+

x

x

x

b)

711

113878)2(437

24

37

−=

−=−−=−=−=+

−=+

x

xx

x

c)

66

10416154161015416)23(5

=−=−−=−+=++=+

xxxx

xxxx

d) 0)21(8)65()72(3 =−−−−++− xxx

016865216 =+−−−−− xxx Se reducen los paréntesis.

086211656 =−−−+−− xxx Se agrupan términos semejantes y se reducen.

0355 =−x Se simplifica. 7=x

53

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e) Tres veces un número, más dos unidades es igual a ocho unidades. ¿Cuál es el número? La ecuación a resolver es 3x + 2 = 8, el resultado es x = 2. Las ecuaciones cuadráticas son de la forma 02 =++ cbxax , donde a , b y c son cualquier número (diferente de cero). Este tipo de ecuaciones tienen dos soluciones, pueden ser iguales y en ocasiones no son números reales, por ejemplo: a) Las soluciones de 062 =−− xx son 21 −=x y 32 =x , pues 06246)2()2( 2 =−+=−−−− 06396332 =−−=−− .

b) Luisa tiene un pedazo de cartón cuadrangular que mide 25 cm2 de área. ¿Cuánto medirá de lado? Si mide “x” de lado el cartón, entonces la ecuación a resolver, que implica el área, será x2 = 25. ¿Qué número elevado al cuadrado da como resultado 25? Los números son 5 y -5. Pero como no existen distancias negativas, la respuesta a la pregunta es 5 cm. c) ¿Cuál es el valor de “x” que resuelve la ecuación (x + 1)2 = 36? Existen dos números tales que su cuadrado es igual a 36, 6 y -6. Entonces x + 1 = 6 ó x + 1 = -6. Luego x = 5 ó x = -7. d) Sea la ecuación (x + 2)(x - 4) = 0. Cuando el producto de dos números es cero, uno de ellos debe ser igual a cero. Así que x + 2 = 0 ó x – 4 = 0; entonces x = -2 ó x = 4.

x

x 25 cm 2

54

Solución de cuadráticas por medio de la factorización Al encontrar las soluciones de una ecuación por medio de factorización hay que tener cuidado de que la ecuación esté igualada a cero. Caso I Trinomio cuadrado perfecto La factorización de un trinomio cuadrado perfecto es el producto de dos binomios exactamente iguales (un binomio al cuadrado). Por ejemplo: 22 )4()4)(4(168 +=++=++ aaaaa . Para resolver la ecuación 01682 =++ aa se factoriza y se obtiene

0)4( 2 =+a . ¿Qué número al cuadrado es cero? Sólo el cero, por lo que si 0)4( 2 =+a , entonces 04 =+a , de aquí que 4−=a . Las soluciones son iguales 41 −=a , 42 −=a . Caso II Trinomio de la forma baxx ++2 Sea la ecuación 01072 =+− xx , el primer miembro se factoriza:

0)2)(5(1072 =−−=+− xxxx Cuando el producto de dos números es cero, uno de ellos debe ser igual a cero. Así que como 0)2)(5( =−− xx , entonces 05 =−x ó

02 =−x . Las soluciones son 51 =x , 22 =x . Caso III Ecuación de la forma 02 =+ bxax Resolver 0486 2 =− xx , el término común es x6 , al factorizar se tiene 0)8(6486 2 =−=− xxxx . Ahora 06 =x ó 08 =−x , es decir, 01 =x , 82 =x . Caso IV Ecuación de la forma 02 =+ cax

Sea 0753 2 =−x , es necesario despejar primero a 2x : 253

752 ==x .

La solución es un número que elevado al cuadrado da como resultado 25. Hay dos números con esta propiedad: 5 y –5. Las soluciones son 51 −=x y 52 =x .

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Caso V Completar cuadrados Se debe recordar que un trinomio cuadrado perfecto es de la forma 222 )(2 bababa +=++ , por ejemplo:

a) Sea 5129 2 =+ xx . Al primer miembro de la ecuación ( xx 129 2 + ) le falta un término equivalente a 2b para ser un trinomio cuadrado perfecto.

Se debe observar que xa 3= (raíz cuadrada de 29x ) y

xab 122 = . Sustituir en ab2

xxbbx 126)3(2 == entonces 2=b y 42 =b .

Hay que sumar a ambos lados de la ecuación el valor de 2b , es decir 4, y factorizar. Existen dos números tales que su cuadrado es 9 : 3 y –3. 3923

9)23(

9)23(9454129

5129

2

2

2

2

±==+

=+

=+

=+=++

=+

x

x

xxxxx

Luego se resuelve.

323 =+x ó 323 −=+x 13 =x ó 53 −=x

31

1 =x ó 35

2 −=x

b) Sea 084 2 =+ xx , xa 2= y xab 82 = . Sustituir en ab2

xxbbx 84)2(2 == , entonces 2=b y 42 =b . Resolviendo 084 2 =+ xx

24)22(

4)22(40484

2

2

2

±==+

=+

+=++

x

xxx

222 =+x ó 222 −=+x 01 =x ó 22 −=x A continuación se presentan otros ejemplos: a) El área del rectángulo es de 156 cm2, sus dimensiones están dadas en la figura de la izquierda, ¿cuánto mide su ancho y su largo? La ecuación del área es x (25 – x) = 156,

25- x

x 156 cm 2

56

es decir, x2 – 25x + 156 = 0, factorizando (x – 12)(x – 13) = 0, de aquí x = 12 ó x = 13.

Al sustituir 12 ó 13 el resultado es el mismo, el rectángulo mide 12 cm y 13 cm de lado.

b) Una cancha de voleibol mide 162 m2, si de largo es 9 metros mayor que el ancho, ¿cuáles son sus dimensiones? Sea “y” la medida del ancho de la cancha, entonces de largo mide “y + 9”. El área está dada por y (y + 9) = 162. Para resolver esta ecuación se hace el siguiente procedimiento: Se realizan las multiplicaciones y se iguala a cero la ecuación, al factorizar se encontraron dos soluciones, -18 y 9. Se toma la distancia positiva, las dimensiones son 9 y 18 m.

0)9)(18(016291629162)9(

2

2

=−+=−+

=+

=+

yyyy

yyyy

Solución de cuadráticas por medio de la fórmula general Existe una fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

Ejemplos: Sea 0583 2 =++ xx . En este caso 3=a , 8=b , 5=c

)3(2)5)(3(4648

242

−±−=

−±−=

aacbbx

628

648

660648 ±−

=±−

=−±−

=

166

628

1 −=−

=+−

=x

321

610

628

2 −=−

=−−

=x .

Sea 0652 =+− xx . En este caso 1=a , 5−=b , 6=c

)1(2)6)(1(425)5(

242

−±−−=

−±−=

aacbbx

215

215

224255 ±

=±

=−±

=

326

215

1 ==+

=x

224

215

2 ==−

=x .

Sea la ecuación 02 =++ cbxax entonces a

acbbx2

42 −±−=

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M

A

T

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Para encontrar la gráfica de 122 ++= xxy primero se llena una tabla de valores y las coordenadas se ubican el plano cartesiano.

x 122 ++= xxy -3 4 -2 1 -1 0 0 1 1 4 2 9

La gráfica de cbxaxy ++= 2 es una parábola, las soluciones son la intersección de la gráfica con eje x. En el caso anterior la soluciones son iguales, 11 −=x y 12 −=x . Cuando se tiene una ecuación de la forma 02 =++ cbxax se le llama discriminante a la expresión acbD 42 −= , ésta se obtiene de la fórmula general, las soluciones de una ecuación cuadrática son: a) Reales e iguales si

042 =−= acbD .

b) Reales y diferentes si 042 >−= acbD .

c) No reales si 042 <−= acbD .

58

Sucesiones numéricas y figurativas Si el triángulo rectángulo de la imagen 1 mide 0.5 cm de base y de altura, el triángulo 2 mide 1 cm de base y de altura, el triángulo 3 mide 1.5 cm de base y de altura y así sucesivamente. ¿Cuál es el área del triángulo número 1?

Ya que ( )( ) 125.0225.0

25.05.0

== , el área es

0.125 cm 2. ¿Cuál es el área del triángulo número 4?

La base y la altura miden 4(0.5) = 2, ya que ( )( ) 22

22= , el área es

2 cm2. ¿Cuál es el área del triángulo enésimo? La base y la altura del enésimo triángulo miden 0.5 n, luego el

área será ( )( )8

125.02

25.02

5.05.0 22

2 nnnnn=== .

Todo lo anterior lo representa la siguiente tabla: Triángulo Área (cm2)

1 0.125 2 0.5 ... …

n 8

2n

Se considera la siguiente sucesión de números: Lugar 1 2 3 4 5 … Sucesión 2, 4, 8, 16, 32, … A partir de esta información se obtuvo la siguiente tabla: Lugar 1 2 3 4 5 6 … n Número 2 4 8 16 32 64 … Relación 2 22 32 42 52 62 … n2

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M

A

T

E

M

Á

T

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C

A

S

Para la siguiente sucesión:

Se obtuvo la siguiente tabla donde se logró saber el enésimo término. Número total de cuadrados 932 = 1642 = 2552 = … 2n

Número de cuadrados sombreados

1 422 = 932 = … 2)2( −n

Número de cuadrados blancos

8132 =− 1224 22 =− 1635 22 =− … 22 )2( −− nn