Ecuaciones Diferenciales ParcialesUnidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden

Ecuaciones Diferenciales Parciales

Unidad 2: El problema de Cauchy para EDPs de segundo orden

Andrs Fraguela Collar

ContenidoUnidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden4Presentacin de la unidad4Propsitos de la unidad4Competencia especfica de la unidad42.1. Clasificacin de las EDP cuasilineales de segundo orden42.1.1. El problema de Cauchy para alguno ejemplos de EDP de segundo orden.42.1.2. Formas cannicas y clasificacin.42.1.3. EDP con coeficientes constantes.42.1.4. Problema de Cauchy y superficies caractersticas.42.2. El Problema de Cauchy para la ecuacin de onda en dimensiones espaciales uno, dos y tres.52.2.1. La ecuacin de onda en dimensin uno: La frmula de DAlembert.52.2.2. La ecuacin de onda en dimensin espacial tres: Mtodo de las medias esfricas.92.2.3. El problema de Cauchy en dimensin espacial dos: Mtodo de descenso de Hadamard.152.2.4. La ecuacin de onda no homognea.172.2.5. Energa y unicidad de solucin del problema de Cauchy.192.2.6. Propiedades de la solucin de la ecuacin de onda de acuerdo a la dimensin espacial.212.3. El problema de Cauchy para la ecuacin de calor.242.3.1. Ncleo de Gauss. Solucin del problema de Cauchy.252.3.2. El principio del mximo. Resultados clsicos de unicidad.342.3.3. El problema de Cauchy no homogneo.372.3.4. Comparacin entre las soluciones del problema de Cauchy para la ecuacin de onda y la ecuacin de calor.43Autoevaluacin44Evidencia de aprendizaje. Resolucin de ejercicios44Autorreflexiones45Cierre de la unidad45Para saber ms45Referencias bibliogrficas45

Unidad 2. El problema de Cauchy para EDP de segundo orden

Presentacin de la unidad

En esta segunda unidad se presenta una forma de clasificacin de las EDP cuasilineales de segundo orden y se introduce el llamado problema de Cauchy para estas ecuaciones como una extensin del problema de Cauchy, presentado en la unidad 1, para las ecuaciones de primer orden. Daremos el planteamiento general del problema de Cauchy para ecuaciones de segundo orden y estudiaremos su relacin con el concepto de superficie caracterstica. En el caso de las ecuaciones clsicas de ondas y difusin del calor se estudian versiones particulares del problema de Cauchy y se obtienen frmulas para la solucin de los respectivos problemas que dependen de la dimensin espacial. Dichas frmulas muestran las diferencias entre los procesos de propagacin de ondas de acuerdo a la dimensin espacial y permiten explicar ciertas caractersticas particulares que distinguen los procesos de difusin del calor de los de propagacin de ondas como son las propiedades de regresin en el tiempo, la conservacin de energa y la velocidad de propagacin en ambos procesos.

Propsitos de la unidad

Clasificar las EDP cuasilineales de segundo orden de acuerdo a su reduccin a la llamada forma cannica. Presentar el llamado problema de Cauchy para una EDP cuasilineal de segundo orden y estudiar su relacin con la nocin de superficie caracterstica y la clasificacin vista previamente. Presentar un planteamiento particular para el problema de Cauchy para la ecuacin de ondas y estudiar las propiedades de su solucin de acuerdo a la dimensin espacial. Presentar un problema particular con condiciones iniciales para la ecuacin del calor que puede ser considerado como una generalizacin del problema de Cauchy.

Competencia especfica de la unidad

Obtener las soluciones del problema de Cauchy para las ecuaciones de ondas y de calor en dimensiones uno dos y tres mediante la aplicacin de las correspondientes frmulas para resolver los modelos asociados a problemas clsicos de la fsica matemtica.

2.1. Clasificacin de las EDP cuasilineales de segundo orden

Tras el estudio del problema de Cauchy para las ecuaciones de primer orden que se ha hecho en temas anteriores, parece natural plantear el mismo problema para ecuaciones de orden superior. Se limitar a dar algunos resultados de carcter cualitativo general, para ecuaciones de segundo orden y slo en lo referente a la estructura algebraica de la ecuacin, que es lo que permitir la clasificacin en tipos.

2.1.1. El problema de Cauchy para algunos ejemplos de EDP de segundo orden.

Se comienza por estudiar algunos ejemplos que ayudan a ver los diferentes comportamientos del problema de Cauchy segn las ecuaciones.

Todos ellos tienen en comn que se trata de ecuaciones de orden dos en y que, por tanto, fijando dos datos; el valor de la funcin y de la derivada respecto a la direccin normal en una recta, se espera obtener una solucin de la respectiva ecuacin que satisfaga estos datos de Cauchy.

Ejemplo 1.Considera el siguiente problema

Se supondrn los datos regulares, por ejemplo, con segunda derivada continua. Sea una solucin clsica, es decir, una funcin con segundas derivadas continuas que verifica la ecuacin puntualmente. Entonces, en particular, se verifica

es decir, necesariamente es constante. En consecuencia el problema no es soluble para cualquier dato; pero, adems, si se supone la condicin de compatibilidad, , donde es constante, por integracin elemental se tiene

por lo que todas las funciones verificando la ecuacin son de la forma

De esta manera si tomamos una funcin con arbitrario,

es solucin

Tenemos as una alternativa extremai) El problema no es soluble si no es constante.ii) Si es constante, el problema tiene infinitas soluciones.

Como puedes notar la eleccin de slo requiere que y . Por ejemplo, , son elecciones vlidas.

Ejemplo 2.Considera el siguiente problema para la ecuacin para la ecuacin de calor

con datos regulares. Entonces en particular

Es decir, es un problema sobredeterminado. En este caso es ms natural el resultado pues respecto a la variable , la ecuacin del calor es solo de orden .

Ejemplo 3.El problema que sigue requiere el uso de algunos resultados bsicos de variable compleja. (Si fuese necesario, puedes encontrarlos en L.V. Ahlfors, "Complex Analysis)

Una funcin con segundas derivadas continuas y verificando la ecuacin es llamada armnica y se verifica que para funcin analtica en .

El principio de reflexin de Schwarz prueba que en estas hiptesis la funcin

donde es la funcin conjugada de , es analtica. Adems donde

y por tanto es analtica real. Pero en particular, y son analticas reales. En consecuencia, si no es analtica no hay solucin, o dicho de otra forma el problema es sobredeterminado. Se puede enunciar entonces que el problema de Cauchy para la ecuacin de Laplace es sobredeterminado.

Ejemplo 4.Por ltimo se va a analizar otro problema de valores iniciales. Se trata de la ecuacin de ondas

Si se hace el cambio de coordenadas

la ecuacin se transforma en

(revisa el tema 2.2.1 para encontrar todos los detalles).

Como se vio en el Ejemplo 1 la solucin general de (2.1.1.5) es

o bien en las coordenadas primitivas

Si se imponen los datos se obtiene de manera nica que la solucin de es

que es la conocida como frmula de D'Alambert. (Ve el tema 2.2.1)

El problema de Cauchy respecto a existencia y unicidad de la solucin depende de alguna misteriosa relacin entre la ecuacin en derivadas parciales y la superficie donde se prescriben los datos. Se estudiar este problema en detalle en los siguientes subtemas de esta Unidad.

2.1.2. Formas cannicas y clasificacin.

Un problema tpico en las EDP consiste en hallar la solucin de una ecuacin o sistema sujetos a condiciones iniciales y de contorno.

Para estudiar este sistemticamente se necesita un esquema de clasificacin que caracterice a las ecuaciones por clase con propiedades comunes. El tipo de una ecuacin determina la naturaleza de las condiciones iniciales y de contorno que le pueden ser impuestas para que tenga solucin, el tipo de soluciones que puede tener y sus propiedades y los mtodos que se pueden usar para obtener dichas soluciones.Se ver cmo se clasifican las ecuaciones en derivadas parciales de 2 orden cuasilineales, es decir, que son lineales con respecto a las derivadas de 2 orden:

el tipo de la ecuacin se define en una vecindad de cada punto, es decir, la clasificacin es local.

Se comenzar viendo cmo se transforma la ecuacin ante un cambio de variable no singular con el objetivo de ver qu cambio se debe hacer para que en las nuevas variables simplifique la ecuacin

esto ltimo es el determinante de la matriz Jacobiana .Supondremos en una vecindad del punto donde se quiere estudiar el tipo de ecuacin. Entonces por el teorema de la funcin inversa en un entorno de ese punto se puede invertir la transformacin o expresar en funcin de .

Se denota , de modo que .Se tiene:

y por lo tanto

Sustituyendo esto en la expresin del operador diferencial se tiene:

Denotando se obtiene

Fijando ahora un punto , poniendo , , .Entonces en el punto se puede escribir que es la frmula de transformacin para los coeficientes en el punto .

Se nota que la frmula de transformacin de los coeficientes coincide con la frmula de transformacin de la forma cuadrtica

la cual es conocida como Smbolo de la Ecuacin Diferencial en .Cuando se hace un cambio lineal de variables

que cambia la forma cuadrtica en

Entonces para simplificar la ecuacin original en mediante un cambio de variables basta con simplificar la forma cuadrtica por una transformacin no singular del tipo .

Del lgebra Lineal es conocido que existe una transformacin lineal no singular que cambia la forma cuadrtica en la forma cannica:

y que segn el teorema de la Ley de Inercia para la forma cuadrtica y no dependen del tipo de transformacin y son iguales a la cantidad de valores propios positivos y negativos de la matriz con sus multiplicidades algebraicas.

Esto permite clasificar la ecuacin en cada punto :(E)Si en la forma cuadrtica se tiene y si o se dice que la ecuacin es de tipo elptico en (en este caso todos los trminos en son del mismo signo)

(H)Si , pero existen trminos en con diferente signo, es decir, se dice, que la ecuacin es de tipo hiperblico en . En el caso cuando o se dice que es de tipo hiperblico normal. En otro caso se llama ultrahiperblica.

(P)Si la ecuacin se dice que es de tipo parablico en . Si y o se dice que es de tipo parablico normal.

Observaciones:En el caso (E) todos los cuadrados son del mismo signo, es decir, (La forma cuadrtica estrictamente definida).En el caso (H) hay cuadrados pero tienen diferente signo (La forma cuadrtica indefinida).En el caso (P) hay menos de cuadrados (La forma cuadrtica es degenerada).

Ejemplo. En todos los puntos: La ecuacin de Laplace es elptica. La ecuacin de onda es hiperblica normal. La ecuacin del calor es parablica normal.En los ltimos dos casos las variables son todas las espaciales y el tiempo.

2.1.3. EDP con coeficientes constantes.

Sea

Se considera por ahora ecuaciones de 2 orden con variables independientes:

y de estas se tomarn solo ecuaciones cuasilineales:

Un caso particular de estas son las lineales:

Donde si se trata de una ecuacin homognea, si es una ecuacin no homognea.Adems una ecuacin lineal con coeficientes constantes es aquella en que son constantes.

Es posible pasar de las variables a mediante un cambio de variables

El problema que no planteamos es: Cmo elegir y de manera que en las nuevas variables la ecuacin adquiera la forma ms simple posible?

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin cuasilineal se tiene:

donde:

y la funcin no depende de segundas derivadas.

Se nota que si la ecuacin inicial fuera lineal la transformada tambin resulta lineal.Se toman ahora y como funcin de e de manera que el coeficiente sea igual a cero, eso quiere decir que debe ser solucin de la ecuacin parcial no lineal de primer orden:

Se probarn algunos resultados necesarios para continuar.

1. Si es solucin de la ecuacin entonces la relacin es una primera integral para la ecuacin diferencial ordinaria

(Ecuacin de las curvas caractersticas).

2. Recprocamente, si es una primera integral de la ecuacin ordinaria , entonces la funcin satisface la ecuacin , entonces se tiene: es solucin de es primera integral de la ecuacin . Luego, las soluciones de la ecuacin parcial son constantes sobre las caractersticas.

Demostracin 1.Del hecho que es solucin de la ecuacin entonces

Para que sea una primera integral de basta ver que si la funcin obtenidad de la relacin implcita satisface .Sea , entonces

Pero entonces:

2.Sea ahora una primera integral de . Entonces por lo tanto:

Si se pone donde es una primera integral de , entonces y si es otra primera integral independiente y se pone entonces se hace .

La ecuacin de las caractersticas se descompone en dos ecuaciones ordinarias de 1er orden

El signo de la expresin bajo el radical determina el tipo de ecuacin en cada punto de la regin de definicin de los coeficientes:

La relacin que es posible obtener, nos dice que el tipo de ecuacin no cambia ante un cambio de variables.

En el caso hiperblico por cada punto de hiperbolicidad de la regin pasan dos caractersticas reales diferentes, por los puntos de elipticidad pasan dos caractersticas complejas diferentes y por los puntos de parabolicidad una sola caracterstica real doble.

Reduccin a la forma cannicaa) En la regin de hiperbolicidad tomando dos primeras integrales y de la ecuacin y haciendo se reduce a:

donde

Haciendo , es decir, se obtiene:

y por lo tanto la ecuacin se puede expresar tambin en la forma:

b) En la regin de parabolicidad se tiene una sola primera integral y entonces se hace el cambio donde es cualquier funcin independiente con .

En este caso y adems como y por lo tanto

ya que .

Si se divide a cada lado por el coeficiente de , se obtiene la forma cannica

Si no aparece en la parte derecha entonces se tiene una ecuacin ordinaria con como parmetro.

c) En la regin de elipticidad, sea una primera integral compleja de

Entonces sea una primera integral de la ecuacin conjugada

se introducen las nuevas variables

Entonces:

es decir, en el cambio se tiene:

Entonces la ecuacin toma la forma:

En fin se tienen tres modelos cannicos:

Forma cannica de ecuaciones lineales de 2 orden en 2 variables con coeficientes constantes.

Primero de acuerdo al signo del discriminante se reduce a uno de los tipos:

En este caso las curvas caractersticas son rectas:

y ahora se introduce una nueva funcin en lugar de :

Entonces:

Sustituyendo en la ecuacin del tipo elptico queda:

Se seleccionan y de manera que los coeficientes de y se anulen y queda de la forma:

Actuando de manera anloga para los otros tipos resulta:

Observacin. En el caso de varias variables se tiene la ecuacin lineal de 2 orden con coeficientes constantes:

primero con un cambio lineal de coordenadas se reduce a la forma cannica y despus se hace el cambio: y se seleccionan los de manera conveniente obteniendo una forma similar a para el caso .

Clasificacin de las Ecuaciones de 2 orden con varias variables.

Consideremos la ecuacin lineal

Si introducimos las nuevas variables independientes:

Entonces:

Sustituyendo en la ecuacin inicial se tiene:

Donde y son las mismas pero en las nuevas variables y:

Nota que si se tiene la forma cuadrtica:

entonces haciendo el cambio lineal de variables

se obtiene la nueva expresin:

Es decir, los coeficientes de las segundas derivadas se transforman como los coeficientes de una forma cuadrtica bajo una transformacin lineal.

Como la matriz es simtrica, se sabe que se puede seleccionar el cambio de variables de manera que la forma cuadrtica se reduzca a la forma diagonal:

Adems la cantidad de elementos de la diagonal nulos, iguales a o a no vara independientemente de la transformacin lineal que reduzca la forma cuadrtica a la forma .

Definicin. La ecuacin original en el punto es de tipo elptico, si los coeficientes son distintos de y del mismo signo; del tipo hiperblico normal si coeficientes son del mismo signo y el que falta es de signo opuesto; de tipo ultrahiperblico si todos los coeficientes son distintos de , siendo de ellos del mismo signo y del signo opuesto, donde y , o de tipo parablico si alguno de los coeficientes es igual a (este ltimo tiene muchas subdivisiones: elpticamente parablico, hiperblicamente parablico, etc.).

Se deben seleccionar las nuevas variables tales que en se cumpla que la transformacin lineal asociada a reduzca la forma cuadrtica a la forma cannica, si se pone .

Entonces en cada punto se reduce la ecuacin a cada una de las formas cannicas:

Se ver el problema de cuando la ecuacin puede ser reducida a una forma cannica en toda una vecindad de un punto , mediante un nico cambio de variables, suponiendo que en cada punto de una vecindad la ecuacin produzca el mismo tipo.

En primer lugar es necesario que las funciones satisfagan las ecuaciones diferenciales:

que son . Pero (nmero de funciones ) para , es decir, hay ms ecuaciones que funciones a determinar y por esta razn puede no haber solucin para , por lo que puede no existir el cambio de variables que haga cero los elementos no diagonales.

Adems, para los elementos no diagonales pueden hacerse iguales a cero pero entonces quedan fijados los que pueden cambiar de regin muy arbitrariamente.

Luego para en general no se puede reducir la ecuacin a una forma cannica en una vecindad de un punto con un nico cambio de variable aunque en toda la vecindad sea del mismo tipo. En el caso esto es posible, como ya se ha visto.

En el caso de coeficientes constantes se puede reducir mediante un cambio de variables a una forma cannica en todo y despus mediante el cambio:

se reduce a una forma muy simple pues se pueden generalmente eliminar los trminos en primeras derivadas (salvo en el caso parablico).

2.1.4. Problema de Cauchy y superficies caractersticas.

A la vista de las consideraciones anteriores se vuelve al problema inicial de intentar entender la diversidad de comportamiento de los ejemplos de los que se parti el estudio. Por claridad considera slo el caso .

Se tiene que la ecuacin que define las caractersticas asigna un cono de direcciones a cada punto ,

al cual se llamar cono caracterstico.

Si se toma una direccin y la caracterstica con tal direccin como normal, el cambio de variables que se hizo antes resulta que:

La ecuacin no es de orden dos en la direccin .

Como consecuencia:

Si se fijan datos sobre una caracterstica el problema de Cauchy resultante es sobredeterminado.

Ejemplos.

1. La ecuacin tiene como cono caracterstico a

Las direcciones caractersticas son y y las curvas caractersticas son

El Ejemplo (1) del Tema 2.1.1 tiene fijados los datos sobre la caracterstica y es sobredeterminado.

2. La ecuacin tiene como cono caracterstico a

Las direcciones caractersticas son y las curvas caractersticas son

En el Ejemplo (2) del Tema 2.1.1 se tiene fijos los datos sobre la caracterstica y es sobredeterminado.

Se ver en el subtema correspondiente a la ecuacin del calor, que en este caso tiene sentido considerar el problema de Cauchy con nico dato .

3. La ecuacin tiene como cono caracterstico a

es decir, el cono es degenerado. No hay caractersticas reales. El ejemplo 3) del Tema 2.1.1 tiene fijados los datos sobre y es sobredeterminado.

En este caso se necesitaran consideraciones de otro tipo, que se harn ms adelante

4. La ecuacin tiene como cono caracterstico a

Las direcciones caractersticas son y y las curvas caractersticas son

En este caso el problema 4 tiene fijos los datos sobre , que no es caracterstica y el problema tiene solucin nica.

Considera el problema de Cauchy con datos en la superficie

es decir

donde significa la derivada de en direccin de la normal . Como resumen de este subtema se tiene:

El comportamiento del problema de Cauchy depende de si la curva sobre la que se fijan los datos es solucin o no de

es decir, si es caracterstica o no.

Si S es caracterstica la ecuacin no es genuinamente de orden dos en la direccin de su normal y, en consecuencia, el problema es sobredeterminado.

En el caso en que no hay caractersticas reales, es decir, cuando la ecuacin es de tipo elptico el problema es sobredeterminado, pero en este caso el comportamiento est determinado por la propia ecuacin.

Su estudio se har ms adelante.

2.2. El Problema de Cauchy para la ecuacin de ondas en dimensiones espaciales uno, dos y tres.

Nos ocupa ahora el problema de valores iniciales para la ecuacin de ondas. Ya se ha visto que la condicin necesaria para que el problema de Cauchy no caracterstico este bien planteado, es que se verifique la condicin de Hadamard. Tal condicin se verifique en particular para la ecuacin de ondas en cualquier dimensin, como se puede comprobar de manera elemental.

Se demostrar que, en el caso particular de la ecuacin de ondas, el problema de Cauchy no caracterstico est bien planteado. Es decir, en este caso particular, la condicin de Hadamard resulta ser tambin suficiente.

Aunque queda fuera de los lmites de este texto, hay que decir que, en general para una ecuacin con coeficientes constantes de segundo orden, la condicin de Hadamard es necesaria y suficiente para que el problema no caracterstico de Cauchy est bien planteado.

El contenido de este tema se reduce a estudiar el caso ms clsico y tambin el ms concreto e interesante de la ecuacin de ondas en una, dos y tres dimensiones espaciales respectivamente. Precisamente, se plantea el problema de Cauchy

(2.2.1)

donde

La organizacin del tema 2.2 es la siguiente, en el subtema 2.2.1 se estudiar la frmula de D'Alembert para la ecuacin de ondas homognea en una dimensin espacial. Consecutivamente se estudia el mtodo de medias esfricas para resolver la ecuacin de ondas en tres dimensiones espaciales, y el mtodo de descenso de Hadamard para resolverla en dos dimensiones espaciales, en los subtemas 2.2.2 y 2.2.3, respectivamente. El tema 2.2.4 se dedica a resolver la ecuacin no homognea por la formula de Duhamel. El tema final estudia resultados de unicidad mediante la integral de energa, la velocidad de propagacin y el comportamiento que segn cada dimensin se observa en la ecuacin de ondas.

2.2.1. La ecuacin de onda en dimensin uno: La frmula de DAlembert.

Considera el problema(2.2.1.1)

donde se suponen los datos con regularidad suficiente para que podamos efectuar todos los clculos. Al final se precisan las condiciones de regularidad que se requieren.

Observacin. Si se tiene la ecuacin de ondas con velocidad de propagacin , es decir, , haciendo un cambio de escala en la variable espacial se reduce a la ecuacin (2.2.1.1). (Hgase ).

El mtodo que sigue es debido a DAlembert y puede resumirse en las siguientes etapas

1) Mediante un cambio de variables se obtienen todas las soluciones de la ecuacin.2) Se determina una solucin que satisfaga los datos. Se comprueba que hay una nica solucin.

La idea del cambio de variable a realizar viene sugerida por una sencilla observacin.Si supones , se tiene

(2.2.1.2)

la idea es considerar nuevas variables de forma que se verifique

(2.2.1.3)

con lo que la ecuacin (2.2.1.2) se convierte en

(2.2.1.4)

Para conseguir (2.2.1.3) basta tomar el cambio variable

(2.2.1.5)

o bien,

(2.2.1.6)

Se te deja comprobar que se obtiene (2.2.1.4) haciendo los cambios de haciendo los cambios de variable anteriores

En resumen, si se parte de la ecuacin de onda

en el cambio (2.2.1.6) se pasa a

(2.2.1.7)

que tiene por soluciones aquellas funciones tales que

o bien

Es decir, las soluciones de (2.2.1.7) son de la forma

(2.2.1.8)

con y funciones arbitrarias. Deshaciendo el cambio de variables obtenemos

(2.2.1.9)

soluciones de la ecuacin de ondas. La expresin (2.2.1.9) es una suma de ondas planas. De se dice que es una onda plana progresando a la izquierda con velocidad , mientras que es una onda plana progresando hacia la derecha, tambin con velocidad . Con esta nomenclatura lo que se obtiene en (2.2.1.9) es la expresin de las soluciones de la ecuacin de ondas como suma de ondas planas.

Para determinar la solucin del problema (2.2.1.1) hemos de determinar y tales que

(2.2.1.10)

o bien

(2.2.1.11)

es decir

(2.2.1.12)

Sustituyendo en (2.2.1.9) obtenemos la frmula de DAlembert

(2.2.1.13)

Como puede observarse la frmula (2.2.1.13) no depende de la primitiva de que se tome, por tanto, y quedan determinadas de forma nica por los datos.

Como consecuencia de los clculos y consideraciones anteriores es posible formular el siguiente resultado.

2.2.1.1 TeoremaSean , entonces la nica solucin del problema (2.2.1.1) viene expresada por la frmula de D'Alembert

(2.2.1.14)

Adems y depende continuamente de los datos iniciales con respecto a la convergencia uniforme sobre compactos.

Demostracin.Es clara la regularidad de por las hiptesis sobre los datos y la formula (2.2.1.14).

Que es solucin del problema (2.2.1.1) resulta del clculo que se ha hecho para obtenerla. Puede comprobarse tambin derivando directamente y sustituyendo en la ecuacin. La unicidad es consecuencia de estar determinadas y de forma nica a partir de los datos.

Se establecer la dependencia continua respecto a los datos. Supongamos que se tienen datos tales que

(2.2.1.15)

Y

(2.2.1.16)

Consideremos las correspondientes y dadas por la formula de D'Alembert se tiene

(2.2.1.17)

Que es lo que se quera.

Observacin. Resulta del teorema (2.2.1.1): La solucin no mejora la regularidad de los datos.

De otra parte, si se fija punto del espacio-tiempo, la frmula de D'Alembert establece que el valor de la solucin en dicho punto, , depende exclusivamente de los valores de los datos en el intervalo cerrado del eje A se le llama dominio de dependencia del punto . Si ahora se considera el intervalo cerrado del eje , los puntos del espacio-tiempo en los cuales el valor de la solucin de la ecuacin de ondas depende del valor de los datos sobre , esta dado por

La regin es llamada dominio de influencia del intervalo . La frontera de en esta formada por las semirrectas y . Siendo simtrico el dominio de influencia respecto al eje , la frontera en resulta ser . Es decir, la frontera la podemos escribir como . Dicha frontera est formada por rectas caractersticas, de acuerdo con lo estudiado en el tema 2.1.4.

La forma que tiene el dominio de influencia se traduce en que la velocidad de propagacin de las ondas es finita, ms precisamente, en nuestro caso es uno.

Para entender mejor esta afirmacin supongamos que se reduce a un punto, es decir, . Entonces en unidades de tiempo, la seal producida por los datos en ha llegado a los puntos del intervalo de la recta comn al dominio de influencia del punto , es decir, . Pero segn la frontera obtenida para el dominio de influencia, tal intervalo es hacia la izquierda y hacia la derecha . Entonces

Estas observaciones sobre la frmula de D'Alembert concuerdan con la experiencia fsica en el estudio de la luz y el sonido.

2.2.2. La ecuacin de onda en dimensin espacial tres: Mtodo de las medias esfricas.

Se estudia el problema de Cauchy

(2.2.2.1)

donde a se les supone por el momento regularidad suficiente para que los clculos puedan llevarse a cabo. Al final se precisarn las hiptesis de regularidad de los datos para que la solucin sea clsica.

Seguramente la experiencia fsica de que las ondas se propagan esfricamente, sugiri a Poisson el mtodo para resolver el problema (2.2.2.1) que se estudia detalladamente a continuacin. La idea conductora del mtodo es buscar una expresin de la solucin que permita usar la frmula de DAlembert unidimensional estudiada en el subtema previo.

Supongamos que es una solucin de (2.2.2.1) y fijemos y .Integrando la ecuacin en la bola centrada en y con radio , es decir, en ,(2.2.2.2)

Utilizando el teorema de la divergencia obtenemos

(2.2.2.3)

ya que la medida sobre la esfera de radio , viene expresada por , donde es el elemento de rea en la esfera unidad y es la normal exterior.

Por otro lado, el trmino de la izquierda en (2.2.2.2) se calcula pasando a coordenadas polares(2.2.2.4)

De (2.2.2.3) y (2.2.2.4) se obtiene que (2.2.2.2) puede escribirse

(2.2.2.5)

Derivando en (2.2.2.5) respecto a resulta

(2.2.2.6)

de donde

(2.2.2.7)

Llamado

(2.2.2.8)

media sobre la esfera de radio de , en el punto y el instante , la expresin (2.2.2.7) se traduce en

(2.2.2.9)

que es la ecuacin de ondas en una dimensin. Es decir, fijado el producto del radio por las medias esfricas, , de una solucin de (2.2.2.1), verifica la ecuacin de ondas respecto a las variables y . Por consiguiente, podemos expresar como suma de ondas planas de acuerdo con lo estudiado en el tema anterior, es decir,

(2.2.2.10)

En particular, si tomamos lmites para (2.2.2.11)

o bien

(2.2.2.12)

por lo que (2.2.2.10) se convierte en

(2.2.2.13)

Derivando en (2.2.2.13) respecto a la variable resulta

(2.2.2.14)

y tomando lmites de nuevo para en (2.2.2.14), se obtiene

(2.2.2.15)

Pero si se supone que es continua se tiene tambin

luego (2.2.2.15) nos permite recuperar la solucin en trminos de la onda plana , es decir,

(2.2.2.16)

La idea que se sugiere ahora de forma natural es intentar determinar a partir de los datos iniciales del problema (2.2.2.1). Pero de (2.2.2.13), se concluyen las dos identidades siguientes

(2.2.2.17)

o bien,

(2.2.2.18)

Pero si ahora se toman lmites en (2.2.2.18) para , resulta

(2.2.2.19)

Como determina en funcin de los datos iniciales y (2.2.2.16) expresa en trminos de , podemos escribir

(2.2.2.20)

A la vista de la anterior expresin es natural requerir que y si se quiere obtener , en este sentido podemos enunciar el resultado central de ese tema.

Teorema 2.2.2.1 Sean y entonces la funcin definida por (2.2.2.20) tiene segundas derivadas continuas y es la solucin del problema de Cauchy (2.2.2.1).

Adems la solucin del problema (2.2.2.1) depende continuamente de los datos con respecto a la convergencia uniforme sobre compactos de los datos y de sus primeras derivadas.

Denostacin.Una vez hecha la construccin de por la formula (2.2.2.20), slo queda comprobar que, en efecto, es solucin del problema (2.2.2.1). En primer lugar se tiene que satisface los datos iniciales pues

(2.2.2.21)

por la regularidad de y . Y tambin

(2.2.2.22)

por la continuidad de los datos iniciales y de sus derivadas parciales y porque

ya que las componentes de la normal en la esfera son funciones impares y entonces su integral se anula.

Para ver que es solucin basta notar que si y se define

donde(2.2.2.23)

entonces, es solucin de la ecuacin de ondas. Pero

(2.2.2.24)

Calcularemos ahora para ello se observa que

(2.2.2.25)

donde se ha aplicado el teorema de la divergencia y que .

Pero el primer trmino de (2.2.2.25) se calcula tambin pasando a coordenadas polaresy resulta

(2.2.2.26)

Por lo tanto, de (2.2.2.25) y de (2.2.2.26) se concluye

(2.2.2.27)

Entonces sustituyendo (2.2.2.25) y (2.2.2.27) en (2.2.2.24) se tiene

como se quera demostrar.

La conclusin de que es solucin de ecuacin de ondas es consecuencia de ser suma de medias esfricas, como .

La dependencia continua resulta como sigue. Supongamos datos y , y sean y las respectivas soluciones. Supondremos quea) y en b) Para dado

Entonces partir de (2.2.2.20), obtenemos

2.2.3. El problema de Cauchy en dimensin espacial dos: Mtodo de descenso de Hadamard.

Una vez resuelto el problema de Cauchy para la ecuacin de ondas en dimensin espacial 3, nos ocupamos en esta seccin de obtener formulas explicitas para la solucin del problema

(2.2.3.1)

La idea para obtener la solucin de (2.2.3.1) en funcin de los datos es sencilla y debida a J. Hadamard. De forma precisa es la siguiente.

Se consideran los datos en (2.2.3.1) como funciones definidas en , independientes de , es decir,

(2.2.3.2)

y se calcula la solucin de la ecuacin de ondas en tres dimensiones espaciales con los datos (2.2.3.2). Tal solucin viene dada por la expresin(2.2.3.3)

La no dependencia de y de la variable, motiva que sea independiente de , en particular entonces . Por tanto, es solucin de la ecuacin del problema (2,2.3.1).

Con estas ideas, la solucin de (2.2.3.1) viene expresada por

(2.2.3.4)

y vamos a expresar las medias esfricas tridimensionales en trminos bidimensionales. Para ello observemos que, por ejemplo,

(2.2.3.5)

En consecuencia hemos de integrar sobre la esfera

Por tanto, escribiendo

el element de rea es

Llamado se tiene que (2.2.3.5) se transforma

(2.2.3.6)

Con este planteamiento podemos formular el teorema de existencia y unicidad para dimensin espacial dos que se obtiene gratuitamente del teorema (2.2.2.1).

Teorema 2.2.3.1 Sean y entonces la solucin nica del problema (2.2.3.1) viene dada por la expresin siguiente

(2.2.3.7)

Adems la solucin depende continuamente de los datos en el mismo sentido que en el teorema (2.2.2.1).

El mtodo de Hadamard que hemos estudiado se conoce como mtodo de descenso, nombre que resulta ahora transparente. Lo que quiere decir es que resolviendo la ecuacin en dimensin 3, se puede "descender" a dimensin dos por simple reinterpretacin de las formulas explicitas. Este mtodo se aplica en todas las dimensiones pares. De hecho, se resuelve el problema de Cauchy en las dimensiones impares y a partir de dichas soluciones se obtiene la solucin en dimensiones pares por el mtodo de Hadamard. Las dems propiedades que pueden concluirse de (2.2.3.7) se estudian en la seccin 2.2.5.

2.2.4. La ecuacin de onda no homognea.

Se considera el problema

(2.2.4.1)

donde y o .Es evidente que si se resuelve el problema (4.4.1), con los resultados de las secciones anteriores y la linealidad de la ecuacin, se habr resuelto el problema general

(2.2.4.2)

La idea de como obtener la solucin de (4.4.1) es sugerida por el mtodo de variacin de las constantes de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, que se ve complicado aqu por el hecho de que el espacio de soluciones de la ecuacin homognea no es de dimensin finita. Desde un punto de vista fsico se puede obtener el mtodo por la siguiente idea: Puesto que el impulso, es decir, la fuerza por unidad de tiempo, es igual a la masa por la velocidad, o cantidad de movimiento, entonces la solucin del problema (2.2.4.1) parece que debe poder expresarse como una "suma" de soluciones de los problemas.

(2.2.4.3)

Esta estrategia es la seguida por Duhamel y la recogemos en el siguiente resultado.

Teorema 2.2.4.1Sea , entonces la solucin de (2.2.4.1) es (2.2.4.4)

Demostracin. Se tiene que y (2.2.4.5)

por ser solucin de (2.2.4.3), entonces tambin se tiene que . Por otro lado, derivando respecto a en (2.2.4.5) resulta

(2.2.4.6)

es decir, es solucin .

Como tenemos frmulas precisas para los problemas (2.2.4.3) en dimensiones y , podemos obtener explcitamente la solucin de (2.2.4.1). Haremos una primera observacin que implicara los clculos posteriores. Como la ecuacin de ondas es invariante por traslaciones, si se define , entonces se verifica

(2.2.4.7)

Por lo tanto, en virtud de (2.2.1.14), (2.2.3.7) y (2.2.2.20), respectivamente, se tiene

(2.2.4.8)

Segn el teorema (2.2.4.1) ha de ser

y entonces la frmula para la solucin de (2.2.4.1) de acuerdo con la dimensin es

(2.2.4.9)

2.2.5. Energa y unicidad de solucin del problema de Cauchy.

Se considera el problema (2.2.5.1)

y supongamos que y verifican las hiptesis de regularidad de los teoremas de existencia probados en las secciones anteriores, y que tienen soporte compacto, es decir, son cero fuera de una bola .De acuerdo con las frmulas explcitas obtenidas para la solucin de (2.2.5.1) el soporte de satisface para cada fijo

Si se multiplica la ecuacin por se tiene

(2.2.5.2)

donde denota el gradiente respecto a las variables espaciales. Integrando (2.2.5.2) sobre una bola con para fijado

(2.2.5.3)

llamando a la frontera de la bola y a su normal exterior, por el teorema de la divergencia obtenemos

(2.2.5.4)

en efecto, la integral es cero si . Por tanto, a partir de (4.5.3) y (4.5.4) se concluye

(2.2.5.3)

La expresin

representa la energa, de forma que (4.5.5) se traduce diciendo que la energa es constante en el tiempo, o bien que

(2.2.5.3)

Es evidente que el resultado que acabamos de obtener sobre la conservacin de la energa, implica la unicidad de solucin del problema de Cauchy

(2.2.5.1)

y segn (2.2.5.6)

de donde, y , es decir, es constante y como ,, o bien, Observamos que el argumento anterior sigue siendo vlido en cualquier dimensiny para cualquier solucin con energa finita.

2.2.6. Propiedades de la solucin de la ecuacin de onda de acuerdo a la dimensin espacial.

Por el mismo tipo de tcnica que hemos usado para establecer la unicidad, vamos a analizar lo relativo a la velocidad de propagacin de las ondas. Este estudio nos dar las bases para estudiar tambin el comportamiento de la propagacin de las ondas segn la dimensin.

Teorema.2.2.6.1 Sea y tal que sobre la regin .Supongamos que sobre

Entonces sobre la regin canonca

Demostracin. Para se considera el tronco de cono como

Se integra la identidad sobre , es decir

(2.2.6.1)

y aplicando el teorema de Gauss se tiene

(2.2.6.2)

siendo el circulo superior del tronco de cono, S es la superficie lateral, es el elemento de rea en y es la normal unitaria exterior a . Se observa que la base del tronco de cono no aparece en (2.2.5.9) por suponerse los datos nulos en

Se calcula la integral sobre la superficie lateral . En primer trmino se tiene Que y entonces en segundo lugar si designa la integral sobre en (2.2.6.2) se tiene

(2.2.6.3)

como resulta por ser suma de cuadrados. De esta forma (2.2.6.2) y (2.2.6.3) permiten concluir

(2.2.6.4)

La regularidad de y (2.2.6.4) implican que y para cualquier y cualquier . Por tanto es constante en la regin cnica y como en la base de , es decir, sobre y , resulta .

2.2.6.1 Definicin

i) Dada una bola el dominio de determinacin es el conjunto de puntos para los que se determina de manera nica la solucin del problema de Cauchy para la ecuacin de ondas con datos en .

ii) Dada una bola en el plano llamamos dominio de influencia de al conjunto de puntos en en los que el valor de la solucin del problema de Cauchy para la ecuacin de ondas depende de los datos en . Lo notaremos por .

2.2.6.2 Definicin.

Dado un punto el dominio de dependencia es el conjunto de puntos tales que la solucin del problema de Cauchy para la ecuacin de ondas en el punto depende de los valores de los datos en

El teorema anterior junto con las frmulas (2.2.1.14), (2.2.2.20) y (2.2.3.7), permiten determinar como el doble cono

A las superficies cannicas

se les llama conos caractersticos por coincidir con las caractersticas de la ecuacinde ondas estudiadas en la tema 2.2.3. En otras palabras, los conos caractersticos sonlas fronteras de los dominios de determinacin.De esta forma dada una bola en el plano el dominio de anuencia esel conjunto de tal que los conos caractersticos con vrtice en cortan a.

El mismo calculo hecho para la ecuacin de ondas en una dimensin en la tema2.2.1, demuestra en general que la

De nuevo consideramos las frmulas (2.2.1.14), (2.2.2.20) y (2.2.3.7). Se aprecia una diferencia sustancial entre lo que ocurre en dimensiones y y lo que ocurre en dimensin 3. En efecto, en el caso de dimensiones 1 y el dominio de dependencia de un punto es

Mientras que en dimensin el dominio de dependencia es

En dimensin espacial tres resulta que el dominio de dependencia es la interseccin del cono caracterstico con el plano , es decir, si tomamos el cono caracterstico con vrtice en , se tiene

(2.2.6.5)

Por el contrario en dimensiones y el dominio de dependencia es toda la bola y la interseccin del cono caracterstico con es slo la frontera de y en , respectivamente.La propiedad que expresa (2.2.5.12) se refiere diciendo que la ecuacin de ondas en dimensin satisface el principio fuerte de Huygens. As pues la ecuacin de ondas en dimensiones y no satisface el principio fuerte de Huygens.

Analizaremos que significa el principio fuerte de Huygens. Supongamos los datos en el problema de Cauchy (2.2.6.5) soportados en una bola .

En el caso de no verificarse el principio fuerte de Huygens, el dominio de influencia de una bola es el tronco de cono con base y superficie lateral generada por las caractersticas pasando por la frontera de . Esto quiere decir que si tomamos un punto existe un tiempo en el cual el dominio de determinacin corta a en . Pero entonces es claro que a partir de ese instante continua verificndose que corta a si . En este sentido una propagacin de ondas en dimensiones y con seal inicial de soporte compacto, tiene la propiedad que cuando la perturbacin alcanza un punto permanece perturbndole para todo tiempo posterior. Pinsese en las ondas de agua de un estanque como ejemplo. Si el agua vuelve al reposo es por rozamiento y otras perturbaciones externas.

Si se verifica el principio fuerte de Huygens, es decir si estamos en , y se toma un punto entonces los tiempos que verifican que el cono caracterstico con vrtice en interseca es un intervalo acotado.Esto quiere decir que el dominio de influencia de una bola es el tronco de cono con base , menos un cono interior.

Es decir, en tres dimensiones espaciales una perturbacin de soporte compacto, llega a cada punto y despus de un tiempo desaparece. El principio de Huygens fuerte permite que puedan emitirse sonidos y que posteriormente se vuelva al silencio.

Puede imaginar el lector un espacio fsico sin principio de Huygens?, Cmo podran comunicarse los individuos en un espacio fsico sin principio de Huygens?

2.3. El problema de Cauchy para la ecuacin de calor.

La ecuacin de calor,

es el modelo ms sencillo de ecuacin de difusin y fue obtenida en el subtema con detalle. Se ha visto en el tema cmo el problema de Cauchy para la ecuacin de calor con los datos en es un problema caracterstico.

A diferencia de la ecuacin de ondas que permanece inalterable al cambiar por , en la ecuacin del calor aparece un signo menos delante de la derivada con respecto al tiempo. Esto dice que la ecuacin del calor describe fenmenos irreversibles. Por otra parte, como se ver en la Unidad 3, al efectuar este cambio de variables en la ecuacin del calor el decaimiento exponencial de la solucin con respecto al tiempo se convierte en crecimiento exponencial.

En este tema se proyecta estudiar el problema de Cauchy en comprobando que es compatible, si bien es necesaria una condicin unilateral para obtener solucin nica, por ser caracterstico.

Al fin de poder demostrar resultados de unicidad se establecer el principio del mximo para la ecuacin del calor.

Se empezar este tema con el estudio de algunos resultados bsicos relativos a la transformada de Fourier de funciones integrables definidas en todo el espacio. Estos resultados sern indispensables para obtener la solucin fundamental de la ecuacin del calor que es el objeto del segundo subtema.

La obtencin de la solucin fundamental es el objeto del subtema . Con ella se obtendr una solucin del problema de Cauchy homogneo. Se estudia tambin un contraejemplo de Tychonoff que pone de manifiesto la no unicidad. Al final del segundo subtema se expondr sin demostracin el resultado general de unicidad de Widder.

El subtema se dedica a estudiar el principio del mximo en dominios acotados y a los teoremas de unicidad ms simples.

La solucin del problema no homogneo ser el objeto del subtema . El subtema se dedica a un anlisis comparativo de las propiedades de la solucin del problema de Cauchy para la ecuacin de ondas y la ecuacin del calor.

2.3.1. Ncleo de Gauss. Solucin del problema de Cauchy.

Se tratar de obtener las soluciones de la ecuacin del calor que son singulares en el origen.

Para empezar se presentan algunos resultados de la teora de la transformada de Fourier para funciones integrables en ya que es necesaria para poder dar la estructura del ncleo de Gauss. Se comienza con la definicin siguiente:

2.3.1.1. Definicin. [Transformada de Fourier]Sea una funcin integrable en , es decir, tal que

Se define la transformada de Fourier de por

En calidad de ejemplo y, como se ver ms adelante, por su importancia para la obtencin de la transformada inversa de Fourier en la clase de las funciones temperadas, calcularemos la transformada de Fourier de la funcin gaussiana, es decir, la transformada de Fourier de

Escribiendo la frmula para la funcin se tiene

poniendo

resulta

Calculando la integral que se tiene en usando variable compleja. Fijado y para cada consideramos la trayectoria definida por el segmento del eje real que va de a , el segmento vertical que une el punto y el punto , el segmento horizontal uniendo el punto con el punto y por ltimo, el segmento vertical uniendo el punto con . El interior de es un rectngulo que se denotar , donde la funcin de variable compleja , es analtica. El teorema de Cauchy implica entonces que

Como adems

resulta que

Dado que

sustituyendo en obtenemos

que muestra como la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana.

Dado el xito obtenido con la gaussiana, se destacan algunas de sus propiedades; fundamentalmente en las dos siguientes:1) Toda gaussiana, .2) Dada una gaussiana y dados enteros no negativos y se verifica

donde es una constante dependiendo de y .

Ambas propiedades se obtienen por clculo directo. Es posible agrupar en una familia a todas las funciones verificando las propiedades 1) y 2) de la gaussiana. Tal clase de funciones se suele designar como por en honor a Laurent Schwartz, quien por primera vez la introdujo, llamndola clase de las funciones temperadas. El nombre es bastante afortunado pues quiere decir que est en si ella y cualquier derivada suya tiende a cero en el infinito ms rpidamente que cualquier polinomio. Formalmente la clase se da de la siguiente forma:

De la propia definicin de se sigue que:a) Si y , entonces .b) Si , entonces .

Adems si es una funcin temperada, tomando en y se tiene que

por lo tanto,

es decir, es integrable.

La observacin anterior implica, en particular, que la transformada de Fourier de sta bien definida pues

y la integral es finita. De y se concluye

es que la transformada de Fourier de una funcin integrable es acotada y entonces, en particular, esto es cierto si .

Las propiedades ms elementales de la transformada de Fourier de funciones temperadas ponen de manifiesto cmo sern las aplicaciones de ella a las ecuaciones en derivadas parciales. El siguiente teorema da algunas de estas propiedades.

2.3.1.2. Teorema.Sea , entonces1) y adems

2) , adems

3) Si se supone tambin que es una funcin integrable y se define

integral de convolucin de y , se tiene que es integrable y que

4) .

La demostracin de este teorema puede hacerse de manera directa realizando la transformada de Fourier, integrando por partes y aplicando el teorema de Fubini.

Se puede resumir el teorema anterior como sigue:a) La transformada de Fourier aplica en , es decir, .b) La transformada de Fourier transforma derivacin en multiplicacin por monomios como se indica en .c) La derivacin de la transformada por Fourier es la transformada de Fourier del producto de un monomio por la funcin, como precisa la frmula .d) El producto de convolucin es transformado en el producto de las transformadas de Fourier, como expresa .

Observaciones.1) La transformada de Fourier se extiende a por la frmula

donde es el producto escalar en .

2) La transformacin de Fourier permite que un problema diferencial se convierta en un problema algebraico, por ejemplo, si se quiere resolver el problema

se transforma en

Para que la estrategia expuesta culmine con xito el clculo de una solucin de , es necesario saber si es posible recuperar una funcin a partir de su transformada de Fourier, es decir, necesitamos saber invertir la transformada de Fourier. A esta importante cuestin dedicamos lo siguiente parte del contenido.

El apartado 4) del teorema tiene como caso particular que

que puede verse como una extensin a la transformada de Fourier del teorema de Riemann-Lebesgue demostrado para series de Fourier, es decir, tenemos un resultado de localizacin. Realmente el resultado, que es conocido tambin como teorema de Riemann-Lebesgue, es para funciones integrables y puede obtenerse de (2.3.1.18) por un argumento de densidad de en las funciones integrables.

2.3.1.3 Teorema [Riemann-Lebesgue]Sea funcin integrable en , es decir, , entonces

Demostracin.Para funcin integrable y existe tal que

Entonces

que teniendo en cuenta , implica que para todo .

Lo que prueba el resultado.

A continuacin se presenta un resultado importante.

2.3.1.4 LemaSean . Entonces

Demostracin.Basta utilizar el teorema de Fubini,

que prueba el resultado.

Este resultado y el hecho que la transformada de Fourier de una gaussiana es otra gaussiana sern los ingredientes fundamentales de la prueba del teorema de inversin.

Si se tiene que , entonces tiene sentido la siguiente definicin.

2.3.1.5 Definicin [Transformada inversa de Fourier]Sea transformada de Fourier de se define:

La conjetura es que . El resultado siguiente prueba esta conjetura.

2.3.1.6 Teorema [Inversin de la transformada de Fourier]Si , entonces .

La demostracin del teorema puede hallarse en cualquier libro de teora de transformaciones integrales, el resultado importante de esto es que es posible regresar a la funcin original dada la transformada de Fourier, por lo que dadas las propiedades de continuidad de la transformada es posible resolver una ecuacin diferencial respecto de su transformada y luego aplicar la transformada de Fourier inversa para obtener la funcin que es la solucin buscada.El teorema tiene una consecuencia interesante que se presenta en el siguiente teorema.

2.3.1.7 Teorema [Identidad de Plancherel]Si i se verifica:

DemostracinSea ) y, por tanto, . Las propiedades de la transformada de Fourier demostradas en el teorema permiten escribir la siguiente cadena de identidades

Observacin.La densidad de en y el teorema anterior, permite definir la transformada de Fourier obre . En efecto, sea y supongamos tal que

Se define:

De esta manera la transformada de Fourier es inversible en verificndose adems que es una isometra en pues e tiene la extensin de la identidad de Plancherel a , es decir,

Continuando con el Ncleo de Gauss, el trabajo de realizar la transformada de Fourier permitir resolver las dimensiones para las cuales no es posible aplicar el mtodo de obtener el ncleo, esto se explica adelante.

Se empieza por el caso dimensional espacial uno que es ms sencillo de describir y en el que usaremos un argumento de homogeneidad fuerte al cambio de escala, que reduce el problema a una ecuacin ordinaria.

El uso de la transformacin de Fourier permitir obtener la solucin fundamental en dimensiones mayores.

A) En el caso de dimensin , hay un camino muy elemental para obtener la solucin fundamental.

Se buscan soluciones autosemejantes, es decir, soluciones que al cambiar la escala convenientemente permanecen invariantes. Ms precisamente, la escala conveniente queda determinada observando que en la ecuacin del calor hay una derivada en el tiempo y dos en el espacio. Con esta observacin, se hace el cambio de escala y consideramos para una solucin ,

Para que sea solucin se debe tener,

al calcular,

de manera que si se tiene que,

Como consecuencia, parece natural buscar soluciones que respeten la homogeneidad observada, es decir, soluciones que dependen de la variable . La forma de una de estas funciones es:

Imponiendo que verifique la ecuacin, , se debe tener,

Donde . Desde el punto de vista fsico se sabe que hay que imponer la conservacin de la cantidad de calor. Normalizando se tiene que:

es decir,

por lo tanto, necesariamente se debe tener . La ecuacin ordinaria puede escribirse como

Tomando en particular las soluciones de

que para que tenga integral uno, debe ser,

ncleo de Gauss, que es la solucin fundamental buscada. La justificacin del nombre quedar clara en unas cuantas lneas. El mtodo es sensible a ms dimensiones. Se omiten ms detalles, pues se tiene un mtodo alternativo que se estudia a continuacin

B) Consideremos el problema

Donde es el espacio de funciones temperadas que se introdujo al empezar el subtema, en el cual la transformacin de Fourier se comporta bien. Si se aplica la transformacin de Fourier en las variables espaciales, es decir,

se tiene

Integrando la ecuacin ordinaria en , considerando como parmetro, se obtiene:

Como se trata de una funcin gaussiana podemos calcular su transformada de Fourier, como se hizo anteriormente, resultando otra gaussiana a la que llamamos ncleo de Gauss. Ms precisamente

Por lo tanto, por el apartado 3) del teorema se tiene

que al ser , esta bien definida.

Llamando

y definiendo

es decir,

se verifica1) , para todo ,2) 3)

Las tres propiedades se comprueban de forma inmediata por clculo directo.

A es llamada solucin fundamental de la ecuacin del calor. El siguiente resultado justica esta denominacin.

Nota que la frmula tiene sentido tambin si, por ejemplo, se supone que y est acotada. Por eso se formula el resultado en el contexto de las funciones continuas.

2.3.1.7 TeoremaSea tal que si . Entonces, definida por verifica1) ,2) si ,3) siendo la convergencia uniforme,4)

Demostracin.La demostracin es una consecuencia de que es una aproximacin de la identidad. En efecto, los apartados 1) y 2) resultan de la deduccin de y pueden comprobarse tambin por clculo directo sin grandes dificultades. La conclusin 4) resulta directamente de la propiedad 2) para el ncleo de Gauss .

En cuanto a 3) para , se tiene

Por la continuidad de , dado existe tal que si ; entonces en resulta

esto debido a las propiedades del ncleo .

Como se estudi en el subtema , el problema es caracterstico, por lo que sin condiciones adicionales no es de esperar unicidad. As lo pone de manifiesto el ejemplo debido a Tychonoff que se analiza a continuacin sin demostracin.Consideremos el problema

este tiene la solucin cero. La idea es usar el problema no caracterstico,

para buscar soluciones de .

Se puede demostrar que si se toma

para , entonces la correspondiente solucin del problema no caracterstico es una solucin no nula del problema caracterstico, con lo cual se obtiene la no unicidad mencionada. Es posible mostrar que la solucin obtenida del problema de Cauchy no es acotada en . Este hecho sugiere que para obtener resultados de unicidad de solucin del problema de Cauchy, es conveniente imponer condiciones al crecimiento de la solucin en infinito.

Un importante resultado del propio Tychonoff dice que si la solucin del problema de Cauchy homogneo con condicin inicial nula satisface la acotacin para , entonces ella tiene que ser identicamente nula en este dominio.

Sin embargo, hay un resultado de D. Widder, mucho ms interesante, no slo desde el punto de vista matemtico sino tambin por su significado fsico.

Una de las consecuencias del Segundo Principio de la Termodinmica es que la temperatura absoluta es siempre positiva. Este hecho sugiere que la condicin natural a verificar por las soluciones de la ecuacin del calor es la condicin unilateral .

Evidentemente es lo mismo suponer , pues el cambio en la escala de temperaturas , conduce al caso . Widder prueba que con la condicin fsicamente natural de que la temperatura sea positiva, el problema de Cauchy para la ecuacin del calor tiene una nica solucin.

2.3.2. El principio del mximo. Resultados clsicos de unicidad.

Se comenzara esta seccin estableciendo el principio del mximo dbil para el problema de Dirichlet. Como consecuencia, se tiene la prueba de unicidad para el problema que se estudiar en .

Sea un dominio acotado con frontera regular , y sea . Se define y la frontera parablica de

2.3.2.1 TeoremaSea , tal que y

Entonces

Demostracin Si se hace la hiptesis adicional

el resultado es inmediato. En efecto, si se tuviese que el mximo se alcanza en un punto , habra de verificarse que

con lo cual se contradice . Por consiguiente, en la hiptesis el mximo no se puede alcanzar en , para cualquier . Si el mximo se alcanzase en se tendra

que contradice tambin . Por lo tanto, en la hiptesis el mximo se alcanza en .

Se trata ahora de quitar la hiptesis adicional. Para ello se considera para cada la funcin

La funcin tiene la misma regularidad que la funcin , verificndose adems

de acuerdo con las hiptesis sobre . Entonces puesto que v verifica la hiptesis concluimos que

Pero entonces,

Como esto es para arbitrario, se tiene

que con la desigualdad obvia

prueba el resultado.

Observamos que el principio del mximo para la ecuacin del calor excluye parte de la frontera, justamente la frontera temporal en la direccin del tiempo creciente.

Este principio de mximo se llama dbil porque no excluye que el mximo se tome en un punto interior.

Se tiene un enunciado ms fuerte debido a L. Nirenberg, el cual se ver sin demostracin. Para los detalles te remitimos al libro: M.H. Protter, H.F. Weinberger, "Maximum Principles in Differential Equations" Ed. Springer Verlag 1984

Principio del mximo fuerteSea verificando las hiptesis del teorema en . Si existe tal que

entonces .

A continuacin se aplica el principio del mximo dbil a la obtencin de algunos resultados de unicidad.

Sea como antes un dominio acotado con la frontera regular . Consideremos el problema

Por aplicacin directa del principio del mximo se tiene el siguiente corolario, el cual establece la unicidad para el problema .

2.3.2.2 CorolarioSea , tal que solucin del problema . Entonces .

Menos obvia es la segunda consecuencia del principio del mximo dbil.

Como se ha visto en subtema anterior el problema de Cauchy , en general, puede tener ms de una solucin. No obstante, si se restringe a ciertas clases de funciones, se va a poder demostrar la unicidad. Este subtema se limita al ejemplo, muy interesante, de funciones acotadas.

Se demostrar que dentro de la clase de funciones acotadas, el problema tiene una nica solucin.

La prueba de este resultado, se basa en el principio del mximo; la dificultad est en que en el problema de Cauchy se tiene todo y no un dominio acotado. En otras palabras, sobre la "frontera lateral" de la frontera parablica, no se tienen condiciones. Esta dificultad se resolver con el conocimiento de ciertas soluciones explcitas de la ecuacin del calor, con las cuales se har un proceso de comparacin.

Es claro que cualquier funcin de la forma

es una solucin de la ecuacin del calor en . Estas son las soluciones de la ecuacin del calor que se usarn para comparar.

Es posible pasar a establecer el resultado de unicidad con precisin.

2.3.2.3 TeoremaSean soluciones acotadas del problema

Entonces .

Demostracin.si y , llamamos . La funcin verifica el problema

La idea es aplicar a el principio del mximo como en el corolario . Directamente esto no es posible dado que el dominio es todo ; para resolver esta dificultad se considera para cada la bola y la funcin

que como se ha visto satisface la ecuacin de calor, en particular en .

Adems

Aplicando el principio del mximo en el cilindro , a y a , resulta que

para cada tal que , .

Dejando fijo , la desigualdad es vlida si . Entonces tomando lmite para se tiene

Como es arbitrario se concluye que

como se quera.

Como consecuencia inmediata podemos formular el importante resultado que sigue.

2.3.2.4 Corolario.La nica solucin acotada del problema con dato acotado, es dada por la frmula

2.3.3. El problema de Cauchy no homogneo.

Nos vamos a ocupar del problema

donde la regularidad de los datos y la suponemos, por el momento, suficiente para que sean ciertos los clculos que vamos a realizar. Ms tarde se estudiaran cuales son las condiciones de regularidad suficientes.Se ver que un papel importante lo jugar la solucin fundamental. Ahora vamos a escribir la solucin fundamental con la singularidad desplazada, es decir, consideramos , es decir

Por clculo directo, o bien, por los argumentos en el tema 2.3.1 se tiene el siguiente resultado.

Lema 2.3.3.1 Sea definida por (2.3.3.2), entonces, si si

El apartado i) se puede traducir diciendo que fuera de la singularidad la solucin fundamental verifica la ecuacin del calor respecto a y a , mientras que el apartado ii) establece que la funcin vrica la ecuacin del calor "retrgrada" como funcin de , y, lo cual es claro por tener s el signo contrario a t. Obsrvese, por ltimo, que el laplaciano se puede tomar tambin con respecto a y se sigue cumpliendo el lema.

Un cambio de coordenadas y lo visto en el tema 2.3.1 permiten escribir la siguiente propiedad importante de la funcin .

Lema 2.3.3.2 Sea definida por (2.3.3.2), entonces

Lema 2.3.3. Sean definida por y un dominio, entonces

Verifica

(Basta aplicar el teorema (2.3.1.1) a la funcin caracterstica de ).

Supongamos ahora que es una solucin regular del problema (2.3.3.1) y sea la bola de centro el origen y radio . Se observa que llamando las variables de espacio y tiempo respectivamente, se tiene

De acuerdo con el apartado el apartado ii) del lema 2.3.3.1.Teniendo en cuenta (6.3.3), integrando en y utilizando la frmula deGreen en la integral de espacio, obtenemos la siguiente identidad

donde es la normal exterior a y el elemento de superficies sobre .

Si se supone, por ejemplo, que es acotada, como y decaen exponencialmente cuando , pasando al lmite en (2.3.3.4) se obtiene

(6.3.3.5)

Se observa que segn el teorema 2.3.1.7

(2.3.3.6)

Y tambin, por el mismo resultado,

(2.3.3.7)

sustituyendo (2.3.3.6) y (2.3.3.7) en (2.3.3.5) obtenemos:Si u es solucin regular del problema (2.3.3.1), entonces

(2.3.3.8)

Sustituyendo el valor de se tiene

(2.3.3.9)

Una vez hecha la conjetura de cmo escribir la solucin slo falta un resultado de regularidad en funcin de la regularidad de y que nos permita concluir que la funcin definida por (2.3.3.9) es solucin clsica del problema (2.3.3.1).

El resultado que se presenta a continuacin da condiciones suficientes para la existencia de solucin clsica del problema no homogneo (2.3.3.1). Al igual que ocurre en la ecuacin de Laplace la sola continuidad del segundo miembro de la ecuacin no es suficiente para que la solucin tenga derivadas segundas.

Recordamos que la solucin fundamental para la ecuacin del calor es

(2.3.3.10)

El siguiente teorema requiere de algunos resultados sobre diferenciacin de funciones definidas por integrales a los que no haremos mencin explcita. El lector interesado puede tratar de deducir estos resultados a partir de los que se encuentran en el libro de Anlisis Matemtico de Tom Apostol.

Teorema 2.3.3.5 Sea una funcin continua y acotada en y sean y , funciones continuas y acotadas en , para algn .Entonces la funcin definida para por

(2.3.3.11)

Verifica(1) (2) (3) es la nica solucin acotada del problema (2.3.3.1)

Demostracin

Lamamos

y (2.3.3.12)

Por el teorema 2.3.1.7 la funcin u1 verifica 1) y 2). En particular, de 1) resulta que, y por tanto es solucin del problema homogneo,

Basta entonces demostrar que verifica 1) y 2) y es solucin del problema

Haciendo el cambio de variables espaciales en la integral (2.3.3.12) resulta

El integrando, ), es continuo en y verificando adems que es continuo y que

(6.3.3.14)

Siendo tambin

donde se ha sustituido el valor de . Es decir, tanto como su gradiente respecto a estn mayorados por funciones integrables. Se puede comprobar a partir de estas propiedades que la funcin definida por la integral.

(2.3.3.16)

Resulta que es continua y acotada en , ms concretamente.

Adems aplicar el teorema 2.3.1.7 para , resulta .Por consiguiente se tiene,

La funcin es acotada, siendo

Se tiene que la funcin tiene derivadas primeras continuas verificndose

Integrando por partes resulta

(2.3.3.17)

Por (2.3.3.15) se puede demostrar que es posible que es posible derivar la expresin (2.3.3.17) obtenindose que tiene derivadas segundas respecto a continuas en y en particular se verifica

(2.3.3.18)

Por otro lado, para calcular la derivada con respecto al tiempo escribimos

Por el teorema fundamental del clculo (2.3.3.19)

la funcin tiene derivada respecto a ya que tiene derivadas parciales respecto a , adems

y por lo tanto, por (2.3.3.15) se concluye que

(2.3.3.20)

De las igualdades (2.3.3.18), (.2.3.3.19) y (2.3.3.20), se concluye que verifica la ecuacin del calor no homognea, es decir,

Como se quera demostrar.

2.3.4. Comparacin entre las soluciones del problema de Cauchy para la ecuacin de onda y la ecuacin de calor.

Las ecuaciones de ondas y del calor son sin duda dos de los modelos ms simples y fundamentales en la teora de EDP. El anlisis anterior de los mismos indica que se trata de modelos con propiedades cualitativas muy distintas o, incluso, contrapuestas. Se mencionan aqu algunas de ellas:

Reversibilidad temporal.

La ecuacin de ondas es reversible en tiempo. Basta para ello hacer el cambio de variable temporal . Se comprueba que el operador de dAlembert se mantiene invariante por incluir trminos en los que slo aparece un nmero par de derivadas. Esto no es as en el caso de la ecuacin del calor. Por otra parte, la frmula de dAlembert para la solucin de la ecuacin de ondas es tambin perfectamente reversible en tiempo. En particular, predice que las soluciones son igualmente regulares en el pasado que en el futuro. Esto es exactamente lo contrario de lo que ocurre con la ecuacin del calor en la que, a causa de un efecto regularizante sumamente fuerte, basta que el dato inicial sea integrable para que en todos los tiempos la solucin pertenezca a .

Conservacin de energa.

Las diferencias antes mencionadas se observan tambin el comportamiento temporal de la energa de las soluciones.

En efecto mientras que en la ecuacin de ondas de energa

se conserva, en la ecuacin del calor la energa correspondiente

se disipa, tal y como se ve, segn la ley

Velocidad infinita de propagacin.

En la ecuacin de ondas la velocidad de propagacin es finita. Esto queda claramente de manifiesto en la frmula de dAlembert para la solucin:

De esta frmula se deduce que el valor de la solucin en el punto depende exclusivamente del valor de los datos iniciales en el intervalo denominado dominio de dependencia.

Del mismo, el valor de los datos iniciales en el punto en el instante se perciben exclusivamente en el cono: , denominado regin de influencia.

Estos dos hechos confirman que la velocidad de propagacin en la ecuacin de ondas considerada es de hecho la unidad.

Sin embargo, en la ecuacin del calor, el hecho de que la solucin fundamental o ncleo de Gauss sea estrictamente positivo en todos los puntos hace que la velocidad de propagacin sea infinita de modo que una perturbacin del dato inicial en cualquier punto es instantneamente percibida en todos los puntos de la recta real.

Autoevaluacin

Para reforzar los conocimientos relacionados con los temas que se abordaron en esta unidad del curso, es necesario que resuelvas la autoevaluacin.

Evidencia de aprendizaje. Resolucin de ejercicios

Es momento de realizar tu evidencia de aprendizaje, donde tendrs que aplicar tus conocimientos sobre aproximacin de funciones continuas.

Instrucciones:

1. Descarga el documento EA. Resolucin de ejercicios :

2. Lee las instrucciones y resuelve los problemas que se plantean, tomando en cuenta el contenido de la unidad.

3. .Guarda y enva tu reporte al portafolio de evidencias con la nomenclatura MEDP1_U1_EA_XXYZ.

4. Enva tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentacin de tu Facilitador(a). Una vez que la tengas, atiende sus comentarios y reenva la nueva versin de tu evidencia.

Nota: No olvides consultar la Escala de evaluacin para conocer los criterios con que ser evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Como parte de cada unidad, es importante que ingreses al foro Preguntas de autorreflexin y leas los cuestionamientos que formul tu Facilitador(a), ya que a partir de ellos debes elaborar tu Autorreflexin y enviarla mediante la herramienta Autorreflexiones. No olvides que tambin se toman en cuenta para la calificacin final.

Cierre de la unidad

La Unidad que acabas de ver es de una gran importancia conceptual en el contexto de la teora clsica de ecuaciones en derivadas parciales ya que en ella se efecta la clasificacin de las ecuaciones cuasilineales de segundo orden en parablicas, hiperblicas y elpticas las que a su vez corresponden a la descripcin de los modelos ms simples de difusin, propagacin de ondas y procesos estacionarios que aparecen en la Fsica Matemtica. La clasificacin se basa en la nocin de superficie caracterstica la cual est ntimamente relacionada con el planteamiento correcto de los problemas de contorno que aparecen al utilizar las ecuaciones diferenciales para modelar procesos fsicos. Los conocimientos adquiridos en esta unidad resultan indispensables para la comprensin de la unidad 3.

Para saber ms

Para una mejor comprensin de los resultados de esta Unidad se recomienda revisar algunos temas relacionados con:

1. Transformaciones lineales de matrices y reduccin a la forma cannica con aplicaciones a formas cuadrticas para lo que pueden consultarse los textos:a. David XC. Lay, Linear Algebra and its applications, Addison Wesley 1994.b. Gene H. Golub, Charles F. van Loan, Matrix Computation, Third Ed. John Hopkins Univ. Press, 1996.

2. Teora elemental de curvas y superficies con resultados bsicos de las integrales de lnea, superficie y volumen, que pueden consultarse en la Parte 2 del libro:a. Tom Apostol, Calculus T. 2, 2nd Ed. John Wiley, 1969.

3. El Teorema de Cauchy - Kovalevskaya sobre la existencia y el Teorema de unicidad de Holmgrem para la solucin del problema de Cauchy para ecuaciones con coeficientes y datos analticos sobre una superficie analtica no caracterstica, que se pueden consultar en:a. Fritz John, Partial Differencial Equations, Third Ed. Serie Applied Math. Sciences 1, Springer Verlag, 1978.

Referencias bibliogrficas

Kurmyshev, E.V. (2003). Fundamentos de mtodos matemticos para fsica e ingeniera. Mxico. Editorial Limusa.

Mauch, S. (2003). Introduction to Methods of Applied Mathematics or Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers.[Versin electrnica] Recuperado de http://maji.utsi.edu/courses/06_690_perturbations_2/ref_math_advmathmethods_sean_mauch.pdf

Myint-U, T. (1973). Partial differential equations of mathematical physics.Editado por American Elsevier Publishing.

Peral Alonso, I. (2004). Primer curso de ecuaciones en derivadas parciales. [Versin electrnica]. Recuperado de http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ireneo/libro.pdfZuazua, E. Ecuaciones en derivadas parciales. [Versin electrnica] Recuperado de http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/ecudepa.pdfEducacin Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenieras y Tecnologas1