transformaciones isometricas
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GeometríaTRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS
Plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por
los ejes cartesianos X e Y,
perpendicularmente entre sí y el
origen (0,0) que corresponde al
punto de intersección entre ellos. El
eje X es el eje de las abscisas, el
eje Y de las ordenadas.
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Los ejes cartesianos dividen el plano en
cuatro regiones llamados cuadrantes,
numerados I, II, III y IV. Se ubican
partiendo de arriba a la derecha y
siguiendo el sentido contrario a las
agujas del reloj
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Notación de un punto en el plano cartesiano La notación de un punto en plano
cartesiano se escribe P(X, Y).
Donde P (o cualquier otra letra) es el
nombre del punto. X es el desplazamiento del punto en
el eje X, medidos a partir del origen. Y es el desplazamiento del punto
sobre el Eje Y, medidos a partir del origen.
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Todo punto que se ubica en el eje X es
de la forma (X, 0) y todo punto que se
ubica en el eje Y, es de la forma (0,Y).
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Actividad:
I. Dibuja en tu cuaderno el plano cartesiano considerando para ambos ejes desde -8 hasta 8, y ubica los siguientes puntos.
1. A(5,8)2. B(-3,6)3. D(4,4)4. E(-1,-8)5. G(6,-7)6. H(-8,0)7. J(-3,-4)8. K(-0,5; -2,5)
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II. Indica en que cuadrante se ubica un punto, según las siguientes condiciones
1. Su abscisa es negativa y su
ordenada es
positiva___________________
2. Su abscisa es positiva y su ordenada
negativa.____________________
3. Ambas coordenadas son negativa
__________________
4. Ambas coordenadas son
positivas___
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Vectores en el Plano Cartesiano Un vector es un segmento con
magnitud, dirección y sentido definidos.
Este se denota por o .
Magnitud: distancia entre el punto
inicial y final del vector.
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A B
𝑢 𝐴𝐵
Dirección: se puede interpretar como la inclinación de la fecha con respecto a la horizontal.
Valdivia
Osorno
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Sentido: hacia donde se realiza el desplazamiento, indicado por el extremo que corresponde a la cabeza de la flecha.
Sentido hacia la izquierda
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Representación de Vectores en el plano Cartesiano
Para representar un vector en el plano
Cartesiano se utiliza un par ordenado (X,
Y), llamados componentes del vector.
La componente X representa el
desplazamiento horizontal positivo
hacia la derecha y negativo hacia la
izquierda.
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X-X
Hacia la derecha positivo
Hacia la izquierda negativo
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• La componente Y representa el
desplazamiento vertical, positivo
hacia arriba y negativo hacia abajo.
Hacia Arriba Positivo
Hacia Abajo negativo
Y
-Y
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Ejemplo:
Graficar el vector v=(4,3)
x
y
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A
BD
C
Determina las componentes de los vectores: AB, BC, AC,AD 16
Transformación Isométrica
Una transformación Isométricas es
aquel movimiento que solo modifica
la orientación y/o posición de una
figura, pero mantiene su forma y sus
medidas. Algunas Transformaciones
Isométricas que estudiaremos en
este capitulo son:
Traslación Rotación
Simetría
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Traslaciones en el Plano Cartesiano
Se puede considerar una traslación como el
movimiento que se hace al deslizar una
figura, en línea recta, manteniendo su
forma y tamaño.
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Ejemplo:
El triángulo ABC de la figura se traslado según el vector de traslación , obteniéndose como imagen el triángulo A´B´C´.
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𝑢=(−3,3)
Vértices ABC
Traslación respecto a
Vértices A´B´C´
A(1,-2) A’(1+-3,-2+3) A’(-2,1)
B(4,-1) B’(4+-3,-1+3) B’(1,2)
C (3,2) C’ (3+-3,2+3) C’(0,5)
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𝑢=(−3,3)
En síntesis
En el plano cartesiano, la
imagen de un punto P(x,y)
que se traslada según un
vector
corresponde a
P’( x + a, y + b)
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𝑣=(𝑎 ,𝑏)
Actividad Dibuja el triangulo ABC de vértices A(-
4,-3), B(-4,2) y C(-1,2) en el plano cartesiano y trasládalo según los siguientes vectores.
1)
2)
3)
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𝑎=(1,2)
𝑏=(−4,5)
𝑐=(6,5)
Simetrías en el plano cartesiano
La simetría es la exacta correspondencia de todas las partes de una figura respecto de un centro, un eje o un plano, sin cambiar su forma ni su tamaño.
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□Algunos ejemplo de simetría en la vida cotidiana.
Eje de Simetría
El eje de simetría de una figura es la recta que divide a la figura en dos partes iguales, de modo que define una simetría axial entre una parte y otra.
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Simetría axial
Simetría Axial:
En la simetría axial cada punto de una figura se refleja respecto de una línea recta llamada eje de reflexión o simetría.
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Simetría con respecto al eje Y
En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al eje Y corresponde a P´(-X, Y).
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A(5, 1) A’ (-
5, 1)
B(4, 5) B’ (-
4, 5)
C( 1, 5) C’ (-
1, 5)
Simetría con respecto al eje X
En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al eje X corresponde a P´(X, -Y).
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A( 5, 1) A’’ (5,
-1)
B( 4, 5) B’’
(4,-5)
C( 1, 5) C’’ (1,
-5)
Actividad
Determina la simetría de cada punto respecto al eje indicado.
P(3,2) respecto al eje X.
Q(0,2) respecto al eje X.
R(-3,0) respecto al eje X.
S(-5,-2) respecto al eje Y.
T(-3,0) respecto al eje Y.
U(0, -7) respecto al eje Y.
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Simetría central
La simetría central es una transformación isométrica en que un punto se refleja con respecto a otro punto fijo, llamado Centro de simetría. En las figuras siguientes se observan simetrías central.
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En el plano cartesiano, la imagen de un punto P(X, Y) que se refleja con respecto al origen es P’(-X, -Y). 30
Al triángulo ABC se le ha realizado una simetría central
Ejemplo:
A( 2, 2) A’ (-2,
-2)
B( 4, 2) B’ (-
4,-2)
C( 2, 5) C’ (-2,
-5)
Actividad Dadas las coordenadas de una figura,
encuentra las coordenadas de su simétrica con respecto al origen, en cada uno de los siguientes ejercicios.
a) A(1,2) ; B(2,4); C(3,5)
b) A(-1,3) ; B(0,-3) ; C(-2,-4)
c) A(0,1) ; B(-3,4) ; C(4,2); D(4,2)
d) A(-1,1) ; B(-2,3); C(-5,2); D(-1,2)Profesora Practicante: Carmen Gloria Martinez
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Rotaciones
La rotación es un movimiento en el que cada punto de una figura gira en torno a otro punto fijo, llamado centro de rotación, en cierto ángulo dado, como se muestra en las siguientes figuras. Además la figura no cambia ni la forma ni el tamaño en dicho movimiento.
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Ejemplo:
Observa la siguiente rotación hecha en el plano cartesiano, con centro de rotación en el origen.
El triangulo A’ B’ C’ resulta de rotar el triángulo ABC en un ángulo de 90°.
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En síntesis Al rotar una figura con centro de rotación en el
origen del plano cartesiano, en los ángulos 90°, 270° y 180°, encontramos ciertas regularidades que nos sirven para generalizar estas rotaciones.
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Rotación en 90° Rotación en 270° Rotación en 180°
En el plano
cartesiano, la
imagen de un punto
P(X,Y) que rota en
90° con centro en
el origen
corresponde a
P’(-Y, X).
En el plano
cartesiano, la
imagen de un punto
P(X,Y) que rota en
270° con centro
en el origen
corresponde a
P’(Y, -X).
En el plano
cartesiano, la
imagen de un punto
P(X,Y) que rota en
180° con centro
en el origen
corresponde a
P’(-X, -Y).
Actividad35
1. Dado el triángulo de la figura, realiza las transformaciones siguientes indicando, en cada caso, las coordenadas de los vértices de la imagen.
a) Rota el triángulo ABC en 180°.
b) Rota el triangulo ABC en 270°.
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Fin