2.1 transformaciones isometricas

Capitulo 2 Unidades Temáticas

2.1 Transformaciones Isométricas

Contenido

- Traslación, simetría y rotación de figuras planas.

- Construcción de figuras por traslación, por simetría y por rotación en 60°, 90°,

120° y 180°.

Aprendizaje Esperado

- Caracteriza la traslación, la simetría y la rotación de figuras en un plano.

- Describe los cambios que observan entre una figura y su imagen por traslación,

rotación o simetría.

- Construye, utilizando escuadra y compás o un programa computacional, figuras

simétricas, trasladadas y rotadas.

17

Actividades para el aprendizaje, indicaciones al estudiante.

Isometrías

Hay varios tipos de transformaciones y comenzaremos a estudiarlas ahora:

I Simetría Axial.

Actividad 1

1.1 Con el botón , dibuja 3 puntos no colineales que

representaran los vértices de un triángulo cualquiera, asígnales

las letras A, B y C.

1.2 Selecciona el botón y selecciona los puntos ABC.

1.3 Selecciona el botón y dibuja 2 puntos en la región exterior del ABC,

asígnale las letras D y E.

1.4 Selecciona el botón y marca los puntos D y E.

18

Una isometría es una transformación que experimentan las figuras en

el plano de modo que las figuras transformadas resultan congruentes

con las figuras originales.

1.5 Selecciona el botón y haz clic en el polígono

y luego sobre la recta. Debes obtener un nuevo

polígono.

1.6 Selecciona el botón y haz clic en el polígono

creado en el punto 1.5, asígnale el color verde.

Observa las figuras creadas y responde:

a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados de los triángulos originales y

transformado?

b) ¿Qué ocurre con los ángulos de los triángulos originales y transformado?

Utilizando la herramienta , selecciona uno de los vértices del polígono ABC y

desplázalo por la pantalla.

c) ¿Qué ocurre con los triángulos?

Actividad 2

2.1 Selecciona el menú Archivo y luego la opción Guardar

2.2 Repite los pasos desde 1.1 a 1.6 del procedimiento anterior pero con un

cuadrilátero.

a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y de los ángulos del nuevo

cuadrilátero?

19

Actividad 3

3.1 Dibuja un ABC y una recta, utilizando el procedimiento anterior.

3.2 Selecciona la herramienta y haz clic en la recta

y luego en el vértice A del triángulo, utilizando el

botón marca el punto de intersección entre las dos

rectas.

3.3 Selecciona la herramienta y haz clic en el

punto de intersección de las rectas y luego en el

vértice A del triángulo (de esta manera se fija el radio

de la circunferencia); a continuación marca el punto

de intersección de la circunferencia con la recta que

pasa por A, asignándole la letra A'.

3.4 Dibuja 2 rectas paralelas a la recta AA’, que

pasen por los vértices B y C del ABC,

3.5 Repite el paso 3.3 con las dos rectas restantes,

hasta obtener los puntos B' y C', tal como muestra la

figura.

3.6 Utilizando la herramienta , selecciona los pun-

tos A', B' y C' (de esta manera se visualiza el polí-

gono).

20

3.7 Selecciona el botón y haz clic en la primera

circunferencia creada, y en la sección visibilidad,

selecciona ocultar y luego presiona cerrar.

3.8 Repite el paso 3.7 con las circunferencias

restantes y las rectas AA' ; BB' ; CC'.

3.9 Selecciona el botón y haz clic en el ABC, cambia el color.

3.10 Repite el paso 3.9 con el A'B'C'.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados correspondientes de los ABC y

A'B'C'?

Sugerencia: Puedes utilizar la herramienta para determinar la medida de los

lados.

b) ¿Qué relación tienen los ángulos de los ABC y A'B'C'?

Sugerencia: Puedes utilizar la herramienta para determinar la medida de los

ángulos.

3.11 Selecciona uno de los vértices del ABC y desplázalo por la pantalla

c) ¿Qué ocurre con el A'B'C'?

Actividad 4

4.1 Selecciona el menú Archivo y luego la

opción Guardar

21

4.2 Repite el procedimiento anterior pero con un

pentágono, tal como muestra la figura.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulos de los polígonos?

Actividad 5

5.1 Selecciona el menú Editar y luego la opción Mostrar u ocultar la rejilla, o

bien, presionando las teclas Control + G.

5.2 Crea un polígono que tenga por vértices los

puntos: (-4,2);(-5,4);(-3,5);(-2,3)

5.3 Determina la figura simétrica con respecto al

eje X y luego al eje Y.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los cuadriláteros

construidos?

b) ¿Qué puedes concluir respecto de la ubicación de los vértices de los

cuadriláteros creados con respecto a los ejes del plano cartesiano?

Sugerencia: Desplaza el cuadrilátero original.

22

c) ¿Qué ocurre con los cuadriláteros de los cuadrantes I y III?

II Simetría Central.

Actividad 6

6.1 Con el botón , dibuja 4 puntos que representaran

los vértices de un cuadrilátero cualquiera.

6.2 Utilizando el botón apariencia asígnale los

nombres A, B, C y D a los puntos creados.

6.3 Selecciona el botón y haz clic en los puntos

A, B, C y D.

6.4 Con el botón correspondiente dibuja un punto

cualquiera (fuera del polígono)

6.5 Asígnale el nombre CS(Centro de Simetría)

6.6 Selecciona la herramienta y haz clic en

el polígono y luego sobre el punto CS

23


a) ¿Qué ocurre con las medidas de sus lados y los ángulos de los polígonos?

b) ¿Qué ocurre si desplazas algún vértice del polígono ABCD?

c) ¿Qué ocurre si desplazas el centro de simetría (CS)?

Actividad 7

7.1 Con el botón , dibuja 4 puntos y asígnale las

letras A, B, C y D.

7.2 Con el botón , selecciona los puntos A, B, C y D.

7.3 Con el botón correspondiente dibuja un punto

cualquiera (fuera del polígono), asígnale el nombre

CS(centro de simetría).

7.4 Selecciona el botón Semirrecta. Haz clic en el

punto A y luego en el punto CS.

7.5 Dibuja una circunferencia seleccionando el botón

, haz clic en el punto CS y luego en el punto A, marca

el punto de intersección entre la circunferencia y la

semirrecta, asignándole el nombre A'.

24

7.6 Repite el paso 7.5 con los puntos B, C y D.

7.7 Dibuja un polígono con los puntos A'B'C'D'.

7.8 Oculta las circunferencias y las rectas, tal como

muestra la figura.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos ABCD

y A'B'C'D'?

b) ¿Qué ocurre si se desplaza el punto CS por la pantalla?

c) ¿Qué ocurre si desplazas algún vértice del polígono ABCD?

Actividad 8


8.2 Construya un polígono siguiendo los pasos 7.1 a 7.8 y luego su figura

simétrica utilizando un vértice como punto de simetría central.


a) ¿Qué ocurre si se desplaza el punto CS(vértice) por la pantalla?

b) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?

25

Actividad 9

9.1 Selecciona el menú Editar y luego la opción

Mostrar u ocultar la rejilla, o bien, con las

teclas Control + G.

9.2 Dibuja un pentágono que tenga por vértices

los puntos: (4,4);(7,3);(6,1);(5,2);(3,2)

9.3 Determina la figura simétrica con respecto al

Centro de Simetría (0,0).


a) ¿ Qué ocurre si desplazas algún vértice del pentágono?

b) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?

III Traslación.

Actividad 10

10.1 Dibuja un polígono con 3 vértices A, B y C.

10.2 Con el botón correspondiente dibuja 2 puntos (en el exterior del ABC),

asignándoles las letras D y E.

10.3 Selecciona el botón y haz clic en los

puntos D y E.

10.4 Selecciona el botón y haz clic en el

ABC y luego en el vector .

26


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?

10.5 Selecciona el punto E del vector y desplázalo por la pantalla.

b) ¿Qué ocurre con los triángulos construidos?

10.6 Selecciona el punto E y hazlo coincidir con el punto D.

c) ¿Qué ocurre con los triángulos construidos?

Actividad 11

11.1 Selecciona el menú Archivo y luego la opción Guardar.

11.2 Inventa un hexágono y repite desde el paso 10.1 al 10.4 pero con un sentido

(opuesto del vector con respecto al de la actividad 10).


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los ángulos y lados homólogos de estos

hexágonos?

b) ¿Qué diferencia tiene en relación a la construcción anterior?

27

Actividad 12

12.1 Dibuja un triángulo que tenga por vértices los puntos A, B y C.

12.2 Con el botón correspondiente dibuja 2 puntos

(en el exterior del ABC), asígnale las letras D y E

12.3 Selecciona el botón Vector y haz clic en los

puntos creados en 12.2

12.4 Dibuja rectas paralelas al vector que pasen por

los vértices A, B y C del polígono.

12.5 Mide la longitud del vector utilizando el

botón

12.6 Selecciona el botón circunferencia y haga clic

en un vértice del ABC y luego en la medida del

vector.

12.7 Marca el punto de intersección entre la

circunferencia y la recta que pasa por A,

asignándole el nombre A’

28

12.8 Repite el paso anterior con el resto de los

vértices del polígono.

12.9 Marca los puntos de intersección entre las

rectas y las circunferencias, asignándoles los

nombres B' y C', según corresponde el vértice

del ABC.

12.10 Con los puntos obtenidos en el paso

anterior dibuja un polígono.

12.11 Utilizando el botón Apariencia, oculta las

rectas y las circunferencias.

12.12 Selecciona el punto E del vector y desplázalo por la pantalla.


a) ¿Qué ocurre con el A'B'C'?

12.13 Selecciona el punto E y hazlo coincidir con el punto D.

b) ¿Qué ocurre con los ABC y A'B'C'?

29

Actividad 13

13.1 Repite los pasos 12.1 a 12.11 pero con un

hexágono no convexo, tal como muestra la figura.


a) ¿Qué relación tienen las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?

Selecciona un punto del vector y desplázalo por la pantalla.

b) ¿Qué ocurre con los polígonos?

c) ¿Qué ocurre con las circunferencias?

Actividad 14

14.1 Selecciona el menú Editar y luego la opción Mostrar u ocultar la rejilla, o

bien, con las teclas Control + G.

14.2 Dibuja un polígono que tenga por vértices los

puntos: (1,1);(1,4);(3,2)

14.3 Traslada la figura en 3 unidades y con dirección

horizontal.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los polígonos?

b) ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del nuevo triángulo?

30

IV Rotación.

Actividad 15

15.1 Dibuja un pentágono que tenga por vértices los puntos A, B, C, D y E

15.2 Dibuja 3 puntos cualquiera (en el exterior del

pentágono) F, G y H.

15.3 Utilizando el botón Segmento une los puntos

FG y GH.

15.4 Con el botón Angulo, selecciona los puntos F, G y H.

15.5 Mueva uno de los puntos de tal manera que el ángulo mida 60°.

15.6 Dibuja un punto y asígnale el nombre CG

(Centro de Giro).

15.7 Utilizando el botón , selecciona el pentágono

ABCDE, el punto CG y el FGH.

15.8 Selecciona el punto H y desplázalo por la

pantalla


a) ¿ Qué ocurre con las medidas de los lados y ángulos de los pentágonos?

15.9 Desplaza el punto H de tal manera que el ángulo quede en 0.

b) ¿Qué ocurre con los polígonos?

31

Actividad 16


16.2 Crea un polígono y repite los pasos 15.1 a 15.8 pero con un ángulo de 90°.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?

Actividad 17

17.1 Dibuja 4 puntos, asígnale los nombres A, B, C y D,

luego dibuja un polígono con estos puntos.

17.2 Dibuja un punto y asígnale el nombre CG(Centro

de Giro).

17.3 Con el botón circunferencia haz clic en CG y luego en A.

17.4 Repite el paso 17.3 con todos los vértices

del polígono. Utilizando el botón , mide los

lados del polígono.

17.5 Dibuja un punto en la circunferencia,

asígnale el nombre C'.

32

17.6 Active la herramienta Circunferencia y

haz clic en el punto C' y luego en la medida CD,

marca los puntos de intersección, asígnale el

nombre D'.

17.7 Determina todos los puntos de intersección

que determinaran los vértices del nuevo polígono,

para esto, repite el procedimiento.

17.8 Utilizando el botón apariencia oculta todas

las circunferencias.

17.9 Una con segmentos los puntos C-CG y CG-C'

17.10 Con el botón ángulo selecciona los puntos

C-CG-C'

17.11Utilizando el botón movimiento, desplaza el punto C', hasta que el ángulo

quede en 90°.


a) ¿Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?

b) ¿Qué relación tienen los ángulos C-CG-C' y A-CG-A'?

Sugerencia: Utilice el botón Angulo para determinar la medida de los ángulos.

c) Desplaza el punto C' de tal manera que el ángulo quede en 0.

d) ¿Qué ocurre con los polígonos?

33

Actividad 18

18.1 Dibuja un pentágono no convexo que

tenga por vértices los puntos A, B, C, D y E, y

un Centro de Giro CG.

18.2 Con el botón Semirrecta haz clic en A y

luego en CG,

18.3 Dibuja una circunferencia de centro CG y

radio .

18.4 Marca la intersección de la semirrecta con

la circunferencia, asignándole el nombre A'.

18.5 Repite los pasos 18.2 a 18.4 con el

resto de los vértices.

18.6 Dibuja un polígono que tenga por

vértices los puntos A', B', C', D' y E'

18.7 Oculta las circunferencias y semirrectas.


a) ¿Cuál es el ángulo de Giro?

b) ¿Qué propiedades cumplen estos polígonos?

34

Actividad 19

19.1 Selecciona el menú Editar y luego la

opción Mostrar u ocultar la rejilla, o bien,

presionando las teclas Control + G.

19.2 Crea un polígono que tenga por vértices

los puntos: (2,2);(5,2);(4,3);(5,4);(3,4)

19.3 Rota el polígono en 90°, 120°, 180°.Con

respecto al punto (0,0)


a) ¿ Qué ocurre con las medidas de los lados y los ángulo de los polígonos?

b) ¿Qué Puedes concluir respecto a la ubicación de los vértices de los polígonos

creados con respecto a los ejes del plano cartesiano?

35

Teselación.

Actividad 20

20.1 Dibuja un triángulo equilátero ABC.

20.2 Utilizando el botón , marca el punto medio del

lado AB, asignándole el nombre SC.

El primer paso es determinar el polígono simétrico al polígono creado con respecto

al punto medio del lado de este.

20.3 Dibuja una semirrecta que tenga como extremo el punto C y que pase por el

punto SC.

36

Según la Real Academia Española, edición XIX del diccionario, la palabra tesela

(del latín, tessella) significa "Cada una de las piezas cúbicas de mármol, piedra,

barro cocido o cualquier otra material, con que los antiguos formaban los

pavimentos de mosaico"

Simetría Central: Son aquellas transformaciones isométricas que invierten los

puntos y figuras del plano. Esta reflexión es respecto a un punto

20.4 Dibuja una circunferencia cuyo centro sea el punto

SC y que pase por C.

20.5 Determina el punto de intersección entre la

semirrecta y la circunferencia, asignándole la letra C’.

20.6 Utiliza la herramienta polígono para unir los puntos

A, C´ y B.

20.7 Determina los puntos medios de los lados AC y BC

del triángulo y utilízalos como simetría central repitiendo

los pasos 20.3 a 20.6.

20.8 Repite los pasos20.2 a 20.20.6 tantas veces como

polígonos quieras crear.


a) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción? ¿Por qué?

b) ¿Es posible identificar las transformaciones isométricas utilizadas?¿Cuál(es)?

20.9 Repite los pasos 20.1 a 20.8 pero con un cuadrado y luego con un hexágono.


a) ¿Es posible cubrir el plano con estas construcciones?

37

b) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?

c) ¿Qué tienen en común estas construcciones?

20.10 Repite los pasos 20.1 a 20.8 pero con un pentágono regular


a) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción?

b) ¿Qué diferencia tienen estos polígonos?

c) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?

20.11 Repite los pasos 20.1 a 20.8 pero con un triángulo a tu elección.


a) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción?

b) ¿Es posible cubrir el plano con cualquier triángulo?¿Por qué?

Actividad 21

21.1 Dibuja 4 puntos, asígnale los nombres A, B, C y D y

luego dibuja un polígono con estos puntos.

38

Traslaciones: Son aquellas transformación que permiten desplazar en línea

recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una

determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda

definida por lo que se llama su vector de traslación.

21.2 Dibuja una Semirrecta que pase por los puntos C y A.

21.3 Activa la herramienta Circunferencia.

21.4 Selecciona con un clic el punto A como centro

de la circunferencia y el punto C para determinar la

longitud del radio de la circunferencia, determinando

los puntos de intersección entre la circunferencia y

la semirrecta.

21.5 Dibuja una nueva circunferencia tomando

como centro el nuevo punto y longitud para el radio

la distancia al punto A.

21.6 Repite los pasos 21.3 a 21.5 tantas veces

como polígonos quiera crear.

21.7 Oculta las circunferencias utilizando la

herramienta Apariencia.

39

21.8 Dibuja una recta paralela a la semirrecta CA

que pase por el punto D.

21.9 Selecciona la herramienta Medida y luego haz

clic en los puntos A y C

21.10 Utilizando la herramienta Circunferencia haz

clic en el punto D y luego en la medida del

segmento AC.

21.11 Determina los puntos de intersección de la

circunferencia y la recta y utilícelo como centro de

una circunferencia que tenga por radio la medida

del segmento AC.

21.12 Repite el procedimiento anterior tantas

veces como circunferencias creó en la semirrecta

que pasa por los puntos AC.

21.13 De manera similar traslada el punto B.

21.14 Dibuja los Polígonos en los puntos

trasladados.

40

21.15 Determina el punto medio del segmento AB y

asígnale el nombre SC.

21.16 Dibuja una semirrecta que tenga como extremo el

punto C y que pase por el punto SC.

21.17 Activa la herramienta Circunferencia, selecciona

con un clic el punto SC como centro de la circunferencia

y el punto C para determinar la longitud del radio de la

circunferencia.

21.18 Determinar el punto que esta fuera del polígono y

es la intersección entre la semirrecta y la circunferencia,

asígnale la letra C’.

41

Rotaciones: Son aquellas transformación que permiten girar todos los puntos

del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo

bien determinado, por lo que toda rotación queda definida por su centro de

rotación y por su ángulo de giro.

21.19 Oculta la circunferencia y la semirrecta.

21.20 Repetir los pasos 21.15 a 21.19 con el punto D y

asígnale la letra D’.

21.21 Dibuja el polígono en los puntos A, B, C´ y D.

21.22 Dibuja una recta paralela a la semirrecta CA que pase por el punto D’

21.23 Activa la herramienta Circunferencia.

21.24 Selecciona con un clic el punto D’ como

centro de la circunferencia y la medida AC como

longitud para el radio de la circunferencia,

determinando los puntos de intersección entre la

circunferencia y la recta.

21.25 Oculta las circunferencias utilizando la

herramienta Apariencia.

21.26 Dibuja los Polígonos.

21.27 Repite los pasos 21.23 a 21.26 tantas veces como polígonos quiera dibujar.


a) ¿Qué diferencia tiene esta construcciones de las anteriores?

b) ¿Qué transformaciones isométricas utilizo?

c) ¿Es posible cubrir el plano con esta construcción? ¿Por qué?

42

Actividad 22

a) ¿Es posible cubrir el plano con el siguiente polígono?

b) ¿Qué diferencia tiene con las construcciones anteriores?


Actividad 23

a) ¿Es posible cubrir el plano combinando polígonos regulares?

Compruébalo combinando polígonos de 4 y 8 lados.

b) ¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?

43

Actividades para la evaluación, indicaciones al estudiante.

Isometrías

I Simetría Axial.

Actividad 1

¿En cual de los siguientes casos se verifica una simetría axial con respecto a L?

a) b) c) d)

Actividad 2

Crea un triángulo ABC que tenga por vértices los puntos: A(-3,2), B(-1,4) y C(-2,6).

Encuentra el triángulo simétrico A’B’C’ al triángulo ABC con respecto al eje .

¿Cuáles son las coordenadas que determinan los vértices del triángulo A’B’C’?

44


Actividad 3

Encuentra la figura simétrica central con respecto al punto O en cada uno se los

siguientes casos:

a)

b)

c)

Actividad 4

A todos los puntos del plano cartesiano se les aplica una simetría central con respecto al

punto P de coordenadas (2,1). ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)

verdadera(s)?

I) El único punto invariante(que no se mueve) es el

punto P

II) Las coordenadas del punto homologo de B son

B’(-5,-2)

45

III Traslación.

Actividad 5

Dibuja en tu cuaderno el triángulo T y los vectores , ; traslada el triángulo T,

según el vector y luego la figura obtenida trasládala, según el vector .

Actividad 6

Luego de aplicar una determinada traslación en el plano cartesiano, el de

vértices A(-4,2); B(-1,1) y C(1,5) se transforma en el . Si sabemos que la

abscisa de A’ es 1 y la ordenada de B’ es –3 ¿Cuáles son las coordenadas de C’?

IV Rotación.

Actividad 7

Copia la siguiente figura en tu cuaderno y aplícale una rotación con centro O y de

ángulo 180° en el sentido contrario de las manecillas del reloj.

46

Actividad 8

Al rotar el con centro en el origen O y un ángulo de 90°, se obtendrá un

¿cuyas coordenadas de los vértices son?

Teselación.

Actividad 9

a) ¿Es posible cubrir el plano con el siguiente polígono?

b) ¿Qué diferencia tiene con las construcciones anteriores?


Actividad 10

Crea una teselación combinando polígonos regulares.

a)¿Qué transformaciones isométricas se utilizan?

47

Actividades para el aprendizaje, indicaciones al docente.

El profesor apoya los procesos de reflexión y análisis de los estudiantes.

Incentivar a los alumnos y alumnas para que organicen sus argumentos y así

desarrollar correctamente las actividades propuestas.

Una vez trabajadas las actividades, los alumnos y alumnas comparten las

conjeturas, en una instancia para complementar y comprobar los resultados

obtenidos, mientras el profesor escribe en la pizarra las ideas relevantes.

Isometrías

I Simetría Axial.

Actividad 1 - 2 - 3 - 4 - 5

Una vez terminada la puesta en común por parte de los estudiantes el profesor

formaliza:

Dada una recta fija del plano, se llama simetría axial con respecto a , a aquella

isometría, tal que, si y son puntos homólogos con respecto a ella, y,

además, el punto medio de pertenece a . La recta recibe el nombre de eje

de simetría.

48

Observaciones

- En una simetría axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las

manecillas del reloj.

- No es posible superponer, mediante traslación y/o rotación, los triángulos

congruentes y

- Los puntos de la recta permanecen invariantes ante esta reflexión.

- Todo punto del plano cartesiano tiene un simétrico con

respecto al eje de las abscisas y un simétrico con respecto al eje de las

ordenadas.


Actividad 6 - 7 - 8 - 9


formaliza:

Una vez terminada esta instancia el profesor formaliza:

49

Dado un punto fijo del plano, se llama simetría central con respecto a a

aquella isometría que lleva cada punto del plano a una posición de modo

que esta en la recta , a distinto lado con respecto a , y . El punto

se llama centro de simetría y , puntos correspondientes u homólogos de la

simetría.

Observaciones:

- Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homologos de la

figura transformada.

- El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj.

- Todo punto del plano cartesiano tiene un simétrico con

respecto al origen

III Traslación.

Actividad 10 - 11 - 12 - 13 - 14


formaliza:


50

Las traslaciones, son aquellas isometrías que permiten desplazar en línea recta

todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una

determinada dirección, sentido y distancia, por lo que toda traslación queda

definida por lo que se llama su vector de traslación.

Observaciones:

- Bajo traslación una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como

angulares.

- Bajo traslación una figura jamás rota; es decir, el ángulo que forma con la

horizontal no varia.

- No importa el numero de traslación que se realicen, siempre es posible

resumirlas en una única.

IV Rotación.

Actividad 15 - 16 - 17 - 18 - 19


formaliza:


Las rotaciones, son aquellas isometrías que permiten girar todos los puntos del

plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ángulo bien

determinados, toda rotación queda definida por su centro de rotación y por su

ángulo de giro. Si la rotación se efectúa en sentido contrario a como giran las

51

manecillas del reloj, se dice que la rotación es positiva o antihoraria; en caso

contrario, se dice que la rotación es negativa u horaria.

Observaciones:

- Si rotamos el punto con respecto al origen en un ángulo de giro de

90°, 180°, 270° o 360°, las coordenadas de los puntos obtenidos están dados en la siguiente

tabla.

Punto inicial R(0,90°) R(0,180°) R(0,270°) R(0,360°)

Teselación.

Actividad 20


formaliza:

Es muy probable que los estudiantes acepten que con triángulos equiláteros,

isósceles y rectángulos se pueda embaldosar una superficie plana. Generalmente

anticipan que esto no es posible con triángulos escálenos.

Importa que los estudiantes se den cuenta que el valor de la suma de los ángulos

interiores de un triángulo es una propiedad determinante para que este

embaldosamiento sea posible.

52

Actividad 21 - 22 - 23


formaliza:

Los estudiantes generalmente aceptan que es posible embaldosar una superficie

plana con paralelogramos. La tendencia es a conjeturar que no es posible con

algunos cuadriláteros cóncavos. Seria recomendable que los propios estudiantes

muestran la falsedad de esta conjetura. Con este propósito el profesor puede

sugerir a los estudiantes que visiten las siguientes paginas en Internet:

- http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Teselaciones.htm Teselaciones

- http://mathforum.org/sum95/suzanne/whattess.html What Is a Tessellation?

- http://www.geocities.com/SiliconValley/Vista/2212/tesela.html La página de las teselas

- http://roble.pntic.mec.es/~jarran2/cabriweb/Mosaicos/mosaicos.htm MOSAICOS

Es interesante analizar con que polígonos se puede embaldosar una superficie

plana y con cuáles no. En el caso de los polígonos regulares la medida de cada

ángulo interior debe ser divisor de 360° propiedad que cumple el cuadrado, el

triángulo equilátero, el hexágono regular, pero no el pentágono regular.

Las figuras geométricas con las cuales es posible embaldosar el plano, se

conocen con el nombre de tesela.

53

Actividades para la evaluación, indicaciones al docente.

Isometrías

I Simetría Axial.

Actividad 1- 2

Interesa observar:

- Que tipo de manipulación, de dibujo o esquema hacen en la figura.

- Que proposiciones surgen y por qué.

- Si comprueban su resultado en el programa Dr. Geo.


Actividad 3 - 4

Interesa observar:


- Que tipo de discusión se produce, que proposición surge y por qué.


III Traslación.

Actividad 5

Interesa observar:

54

- Que tipo procedimiento y herramientas utilizan para copiar las figuras en su

cuaderno.



Actividad 6

Interesa observar:

- Si dibujan la figura para luego trasladarla.


IV Rotación.

Actividad 7 - 8

Interesa observar:

- Si mueven la figura o si la dejan fija cambiándose de lugar.

- Que tipo de discusión se produce, que proposición surge y por qué.


Teselación.

Actividad 9 - 10

Interesa observar:

- Que tipo de análisis realizan, si copian la figura, lo intentan con dibujos o

utilizando el programa Dr. Geo.

- La forma en que realizan el proceso de embaldosar.

55

2.1 transformaciones isometricas

Documents