DEDUCCIN DE LA ECUACIN DE CALOR EN TRES SISTEMAS DE COORDENADAS.1. Resumen: Se presenta la deduccin de la ecuacin de transferencia de calor en tres sistemas de coordenadas (rectangulares, cilndricas y esfricas. En esta ocasin se presenta La Ecuacin del Calor de Fourier, que analiza la transferencia de calor en el interior de cuerpos slidos y cuyo modelo matemtico consiste en una Ecuacin Diferencial Parcial de segundo orden. La Ecuacin del Calor es especialmente rica en aplicaciones de la fsica matemtica y adems su contexto histrico es sumamente interesante, pues permite al estudiante apreciar la forma en que se fueron construyendo los cimientos de la Teora Analtica del Calor y cmo destacados matemticos y fsicos de la poca (Siglos XVIII y XIX) fueron haciendo sus aportes. As mismo se hace la simulacin con la ayuda del software Matlab. 2. Palabras Clave: transferencia de calor, Ecuacin diferencial parcial, Simulacin.

3. Abstract:The derivation of the equation of heat transfer in three coordinate systems (rectangular, cylindrical and spherical. On this occasion arises Heat Equation Fourier analyzing heat transfer inside solids and whose mathematical model is a partial differential equation of second order. The Heat Equation is particularly rich in applications of physics - mathematics and also its historical context is extremely interesting as it allows the student to appreciate the way they were building the foundations of Analytical Theory of Heat and how prominent mathematicians and physicists the time (XVIII and XIX) were making their contributions. Also the simulation with the aid of Matlab software becomes.4. Keywords: heat transfer, partial differential equation, simulation.

5. Objetivos:5.1. Objetivo General: Deducir la ecuacin del calor y hacer una simulacin en el programa Matlab, en tres sistemas de coordenadas.5.2. Objetivos Especficos: Deducir la ecuacin del calor en coordenadas rectangulares. Deducir la ecuacin del calor en coordenadas cilndricas. Deducir la ecuacin del calor en coordenadas esfricas.6. Fundamento Terico:

6.1. Introduccin:El proyecto tiene como principal objetivo la deduccin de la Ecuacin del Calor en diferentes sistemas de coordenadas, en la cual se plantea un modelo fsico matemtico para la conduccin del calor en cuerpos slidos y al cual se refiere esta presentacin.Uno de los principales objetivos en un anlisis de conduccin de calor es determinar el Campo De Temperatura en un medio que resulta de las condiciones impuestas sobre sus fronteras. Es decir, deseamos conocer la distribucin de temperaturas, que representa como varia la temperatura con la posicin en el medio. Una vez que se conoce esta distribucin, el flujo de calor por conduccin en cualquier punto en el medio o en la superficie se calcula a partir de la Ley De Fourier.La transferencia de calor tiene direccin y magnitud. La razn de la transferencia de calor por conduccin en una direccin especfica es proporcional al gradiente de temperatura, el cual es la razn del cambio de la temperatura con respecto a la distancia, en esa direccin. En general, la conduccin de calor en un medio es tridimensional y depende del tiempo, y la temperatura en un medio vara con la posicin y con el tiempo; es decir, T =T(x, y, z, t). Se dice que la conduccin en un medio es estacionaria (algunos autores emplean el trmino estable) cuando la temperatura no vara con el tiempo, y no estacionaria o transitoria, cuando lo hace. Se dice que la conduccin de calor en un medio es unidimensional cuando la transferencia de calor por conduccin es significativa slo en una dimensin y despreciable en las otras dos direcciones primarias, bidimensional cuando la conduccin en la tercera dimensin es despreciable y tridimensional cuando la conduccin en todas las dimensiones es significativa.Se empieza este trabajo con el contexto histrico y luego se aborda una descripcin de la conduccin de calor estable, no estable y multidimensional. A continuacin se deduce la ecuacin diferencial que rige la conduccin de calor en una gran pared plana, un cilindro largo y una esfera, y se generalizan los resultados hacia los casos tridimensionales en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas.

6.2. Contexto histrico La Ecuacin del Calor es apropiada para el abordaje de una Matemtica Aplicada al contexto de carreras de Ingeniera pues involucra conceptos inherentes a disciplinas como Fsica y Termodinmica; de manera que es terreno frtil para presentar la Matemtica vinculada a reas propias de la Ingeniera; adems los conceptos matemticos asociados al planteo y resolucin de esta ecuacin, son de una riqueza y un nivel de complejidad interesantes, ya que entran en escena Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO), Ecuaciones Diferenciales Parciales (EDP). Ahora vamos a hacer un breve recorrido por la Historia de las Matemticas, para ver cmo se fue gestando la Ecuacin del Calor y los aportes que hicieron los matemticos y fsicos ms destacados de la poca (Siglos XVIII y XIX). No estara completa la gnesis de la Ecuacin del Calor si no hiciramos referencia a su gran predecesora: La Ecuacin de la Cuerda Vibrante (o Ecuacin de Onda), que plantea la forma que adoptar la funcin y(x,t) que representa el desplazamiento vertical en funcin del tiempo de cada punto (ubicado en la abscisa x) de una cuerda de longitud L fija en ambos extremos, siendo dicha cuerda apartada en el instante inicial de su posicin de equilibrio y adquiriendo as la forma de una funcin continua y(x,0) = f(x). Encontrar el modelo matemtico que resuelva el Problema de la Cuerda Vibrante data de principios del Siglo XVIII y de l se han ocupado matemticos y fsicos clebres. Uno de los primeros en trabajar en el tema ha sido el afamado matemtico suizo Johann Bernoulli (1667-1748) quien en 1727 propuso una solucin, que si bien no era del todo incorrecta, careca de la generalidad necesaria; en 1746 el matemtico francs Jean le Rond DAlembert (1717-1783) encontr el modelo matemtico que representaba este fenmeno, consistente en la EDP: donde a es una constante que depende de las caractersticas fsicas de la cuerda. DAlembert adems propuso una solucin para esta ecuacin, de la forma: y(x,t) = [ f(x-at) + f(x+at) ]; esta solucin consiste en la superposicin de dos ondas viajeras a travs de la cuerda, en direcciones opuestas. En 1749, el destacado matemtico suizo Leonhard Euler (1707-1783) tambin present sus aportes y coincidi en gran parte con la solucin de DAlembert, pero aadiendo un carcter ms general a la solucin y admitiendo que la funcin f(x) podra presentar puntos no diferenciables incluso discontinuidades finitas, es decir continua a tramos. La solucin de DAlembert tiene un carcter netamente matemtico, pero no aporta demasiado acerca de la cuestin fsica del fenmeno; es as que los fsicos y matemticos de la poca continuaron trabajando para hallar una solucin ms satisfactoria. As dando continuidad a los trabajos de su padre, Daniel Bernoulli (1700-1782) en 1753 present otra solucin a la Ecuacin de la Cuerda, de la forma: , donde los coeficientes bk dependen de las condiciones iniciales. As, segn Bernoulli la cuerda oscila simultneamente con varias frecuencias, mediante la superposicin de ondas senoidales y cosenoidales, planteando de esta manera la posibilidad de desarrollar funciones en series trigonomtricas. Esta solucin es mucho ms significativa desde el punto de vista fsico que la de DAlembert y explica los distintos armnicos que se producen en la vibracin de las cuerdas de los instrumentos musicales; sucede que Bernoulli adems de ser matemtico, tambin se dedicaba a la Fsica y a la Msica. Aun siendo correcta la solucin de Bernoulli, gener varias crticas por parte de sus colegas, en particular de DAlembert y Euler, que se rehusaban a admitir que una funcin general pudiera ser expresada en trminos de series infinitas de funciones trigonomtricas. A pesar de todas las crticas, Bernoulli estaba en lo correcto y su propuesta de desarrollar en series trigonomtricas funciones arbitrarias, sera retomada ms tarde por Fourier y Dirichlet, en cuyos trabajos constan las bases analticas que demuestran la posibilidad de dichas expansiones. El matemtico y fsico francs Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830) fue pionero en el estudio de la transferencia del calor en slidos y fue quien dedujo la denominada Ecuacin del Calor, que consiste en una EDP cuya versin tridimensional es: donde u(x,y,z,t) representa la temperatura en cada punto del interior del slido en cada instante de tiempo y es una constante que depende del material. Fourier present en 1807 los resultados de sus investigaciones a la Academia de Ciencias de Pars y fue evaluado por destacadas personalidades, entre ellos Pierre Simon Laplace (1749-1827) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813); pero el trabajo no tuvo buena aceptacin y recibi muchas crticas, entre ellas la falta de rigurosidad en los fundamentos analticos - a pesar que los resultados coincidan con las observaciones empricas- y otra cuestin muy controversial fue la propuesta de Fourier de expandir en series trigonomtricas una funcin arbitraria; l afirmaba que una funcin f(x) poda desarrollarse como: y encontr tambin las expresiones para calcular los coeficientes ak y bk; son las que actualmente se conocen como Series de Fourier. Si bien la expansin en series trigonomtricas no fue una idea original de Fourier (ya hemos visto que Daniel Bernoulli varias dcadas antes ya las haba propuesto) el verdadero mrito de Fourier ha sido encontrar el modelo matemtico correcto para la conduccin del calor, desarrollar el Mtodo de Separacin de Variables para resolver una EDP y encontrar su solucin mediante la aplicacin de series trigonomtricas. Pese a las controversias generadas por el trabajo de Fourier, los integrantes de la Academia de Pars no pudieron dejar de reconocer la relevancia del campo de estudio y as decidieron que la temtica para el Gran Premio de la Academia para 1812 sera la propagacin del calor en cuerpos slidos; por supuesto Fourier se present y gan el Premio, pero decidieron que su trabajo no sera publicado en las Memorias de la Academia, por las razones citadas anteriormente. A pesar del traspi, Fourier continu trabajando tenazmente, mejorando y ampliando su teora y en 1822 public su obra Thorie Analytique de la Chaleur; al poco tiempo fue nombrado Secretario de la Academia y entonces consigui publicar su trabajo de 1807 - prcticamente sin cambio alguno- en las Memorias de la Academia de 1826. Fourier inaugur un campo frtil de trabajo para fsicos y matemticos a principios del Siglo XIX con su Teora Analtica del Calor y sus desarrollos en series trigonomtricas; varias personalidades de la ciencia continuaron sus trabajos, entre los cuales cabe destacar al matemtico alemn Johann P. Lejeune Dirichlet (1805-1859), quien en 1829 dio una demostracin rigurosa de la convergencia de las Series de Fourier para funciones generales, an las continuas por tramos. Recin entonces los trabajos de Fourier y D. Bernoulli fueron reconocidos y aceptados plenamente. Joseph Fourier es considerado uno de los ms grandes matemticos aplicados de la historia y su Teora Analtica del Calor es reconocida como uno de los pilares de la Fsica Terica; adems los aportes de las Series y las Transformadas de Fourier a distintas ramas de la Ingeniera son indiscutibles.

6.3. Sistema de coordenadas:Se define la conduccin del calor como la transferencia de energa trmica de las partculas ms energticas de un medio hacia las menos energticas adyacentes. As mismo se expresa que la conduccin puede tener lugar en los lquidos y los gases as como en los slidos, siempre que no se tenga un movimiento masivo.Aun cuando la transferencia de calor y la temperatura estn ntimamente relacionadas, son de naturaleza diferente. A diferencia de la temperatura, la transferencia de calor tiene direccin as como magnitud y, por tanto, es una cantidad vectorial. Por consiguiente, se debe especificar tanto la direccin como la magnitud con el fin de describir por completo la transferencia de calor en un punto. Por ejemplo, al decir que la temperatura en la superficie interior de una pared es de 18C, se describe en su totalidad la temperatura en ese lugar. Pero si se dice que el flujo de calor sobre esa superficie es de 50 W/m, de inmediato se propone la pregunta: "en qu direccin?" Se responde a esta pregunta al decir que la conduccin de calor es hacia el interior (indicando ganancia de calor) o hacia el exterior (con lo que se indica prdida de calor). Con el fin de evitar esas preguntas, se recomienda trabajar con un sistema de coordenadas e indicar la direccin con los signos ms o menos. La convencin en general aceptada es que la transferencia de calor en la direccin positiva de un eje de coordenadas es positiva y en la direccin opuesta es negativa. Por lo tanto, una cantidad positiva indica la transferencia de calor en la direccin positiva y una cantidad negativa indica transferencia de calor en la direccin negativa.La fuerza impulsora para cualquier forma de transferencia de calor es la diferencia de temperatura, y entre mayor sea esa diferencia, mayor es la razn de la transferencia. Esto se puede hacer al elegir un sistema adecuado de coordenadas, como las rectangulares, cilndricas o esfricas, dependiendo de la configuracin geomtrica que intervenga, y un punto conveniente de referencia (el origen).

Figura 3-1: Diversas distancias y ngulos que intervienen al describir la ubicacin de un punto en los diferentes sistemas de coordenadas.

La ubicacin de un punto se especifica como (x, y, z), en coordenadas rectangulares, como (r, , z), en coordenadas cilndricas, y como (r, , ), en coordenadas esfricas, en donde las distancias x, y, z y r, y los ngulos y son como se muestran en la figura 3-1. Entonces, la temperatura en un punto (x, y, z) en el instante t, en coordenadas rectangulares, se expresa como T(x, y, z, t). El mejor sistema de coordenadas para una configuracin geomtrica dada es la que describe mejor las superficies en dicha configuracin. Por ejemplo, un paraleleppedo se describe de la mejor manera en coordenadas rectangulares, ya que cada una de las superficies se puede describir por un valor constante de las coordenadas x, y o z. Un cilindro es lo ms apropiado para las coordenadas cilndricas, ya que su superficie lateral se puede describir por un valor constante del radio. De modo anlogo, toda la superficie exterior de un cuerpo esfrico se puede describir del mejor modo por un valor constante del radio en coordenadas esfricas. Para un cuerpo con forma arbitraria, lo normal es usar coordenadas rectangulares, ya que es ms fcil tratar con distancias que con ngulos. La notacin que acaba de describirse tambin se usa para identificar las variables que intervienen en un problema de transferencia de calor. 6.4. Ecuacin Unidimensional De La Conduccin De Calor:Considere la conduccin de calor a travs de una pared plana grande, como la de una casa, el vidrio de una ventana de una sola hoja, la placa metlica de la base de una plancha, un tubo para vapor de agua de hierro fundido, un elemento cilndrico de combustible nuclear, una resistencia elctrica de alambre, la pared de un recipiente esfrico o una bola metlica que est siendo templada por inmersin o revenida. La conduccin de calor en estas y muchas otras configuraciones geomtricas se puede considerar unidimensional, ya que la conduccin a travs de ellas ser dominante en una direccin y despreciable en las dems. Enseguida, se desarrollar la ecuacin unidimensional de la conduccin de calor en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas.

Ecuacin de la conduccin de calor en una pared plana grande

Figura 4-1: Conduccin unidimensional de calor a travs de un elemento de volumen en una pared plana grande.

Considere un elemento delgado de espesor fu en una pared plana grande, como se muestra en la figura 4-1. Suponga que la densidad de la pared es , el calor especfico es C y el rea de la pared perpendicular a la direccin de transferencia de calor es A. Un balance de energa sobre este elemento delgado, durante un pequeo intervalo de tiempo t, se puede expresar como

O bien,

(4.1)

Pero el cambio en el contenido de energa interna del elemento y la velocidad de generacin de calor dentro del elemento se pueden expresar como

Al sustituir la ecuacin 4.1, se obtiene

Al dividir entre Ax da

Al tomar el lmite cuando 0 y se obtiene

Por la definicin de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conduccin de calor,

Dado que el rea A es constante para una pared plana, la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en rgimen transitorio en una pared de ese tipo queda

Conductividad variable: (4.8)

En general, la conductividad trmica k de un material depende de la temperatura T (y, por lo tanto no de x) y, por consiguiente, no se puede extraer la derivada. No obstante, en la mayor parte de las aplicaciones prcticas se puede suponer que la conductividad trmica permanece constante en algn valor promedio. En ese caso, la ecuacin antes dada se reduce a

Conductividad constante: (4.9)

Donde la propiedad es la difusividad trmica del material y representa la velocidad con que se propaga el calor a travs del mismo. En condiciones especficas, se reduce a las siguientes formas:

1) Rgimen estacionario:

2) Rgimen transitorio, sin generacin de calor:

3) Rgimen estacionario, sin generacin de calor:

Notamos que se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de conduccin unidimensional y estable de calor, ya que son idnticas cuando dicha funcin depende de una sola variable [T = T(x), en este caso].

Ecuacin de la conduccin del calor en un cilindro largo

Figura 4-2: Conduccin unidimensional del calor a travs de un elemento de volumen en un cilindro largo.

Considere ahora un elemento delgado con forma de casco cilndrico, de espesor r, en un cilindro largo, como se muestra en la figura 4-2. Suponga que la densidad del cilindro es , el calor especfico es C y la longitud es L. El rea del cilindro, normal a la direccin de transferencia de calor en cualquier lugar, es A = 2rL, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que el rea A de la transferencia de calor depende de r en este caso y, por tanto, vara con el lugar. Un balance de energa sobre este elemento delgado con forma de casco cilndrico, durante un pequeo intervalo de tiempo t, se puede expresar como

O bien,

El cambio en el contenido de energa del elemento y la velocidad de generacin del calor dentro del mismo se puede expresar como

Al sustituir en la ecuacin 4.13, se obtiene

Donde A=2rL. Luego dividimos la ecuacin 4.16 entre Ar y da

Si se toma el lmite cuando , se obtiene

Por la definicin de derivada y a partir de la ley de Fourier de la conduccin del calor,

Puesto que el rea de transferencia de calor en este caso es A=2rL, la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en rgimen transitorio en un cilindro quedaConductividad variable: Para el caso de conductividad trmica constante, la ecuacin 4.20 se reduce a Conductividad constante: Donde una vez ms la propiedad es la difusividad trmica del material. En condiciones especficas, se reduce a las siguientes formas:1) Rgimen estacionario:

2) Rgimen transitorio, sin generacin de calor:

3) Rgimen estacionario, sin generacin de calor: Se observa que, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de la conduccin unidimensional y estacionaria del calor, ya que son idnticas ncuando dicha funcin depende de una sola variable [T = T(r), en este caso].Ecuacin de la conduccin de calor en una esfera

Figura 4-3: Conduccin unidimensional de calor a travs de un elemento de volumen en una esfera.

Considere ahora una esfera con densidad , calor especfico C y radio exterior R. El rea de la esfera normal a la direccin de transferencia de calor, en cualquier lugar, es A = 4r, en donde r es el valor del radio en ese lugar. Note que, en este caso, el rea de transferencia de calor, depende de r y, por tanto, vara con la ubicacin. Al considerar un elemento con forma de casco esfrico delgado de espesor r y repetir el procedimiento descrito con anterioridad para el cilindro, usando A = 4r en lugar de A = 2rL, la ecuacin unidimensional de conduccin de calor en rgimen transitorio para una esfera se determina que esConductividad variable: La cual, en el caso de conductividad trmica constante, se reduce aConductividad constante: En donde, la propiedad es la difusividad trmica del material. En condiciones especficas, se reduce a las formas siguientes:1) Rgimen estacionario :

2) Rgimen transitorio sin generacin de calor:

3) Rgimen estacionario, sin generacin de calor:

Donde, se reemplazan las derivadas parciales por derivadas ordinarias en el caso de la conduccin unidimensional y estacionaria del calor.

Ecuacin unidimensional combinada de la conduccin de calorUn examen de las ecuaciones unidimensionales de conduccin de calor en rgimen transitorio, para la pared plana, el cilindro y la esfera, revela que las tres se pueden expresar en una forma compacta como

Donde n = O para una pared plana, n = 1 para un cilindro y n = 2 para una esfera, en el caso de una pared plana se acostumbra reemplazar la variable r por x, Esta ecuacin se puede simplificar para los casos de rgimen estacionario o sin generacin de calor como se describe con anterioridad.

6.5. Ecuacin general de conduccin de calorEn la seccin anterior se consider la conduccin unidimensional de calor y se supuso que la conduccin en otras direcciones era despreciable. La mayor parte de los problemas de transferencia de calor que se encuentran en la prctica se pueden aproximar como si fueran unidimensionales, pero, ste no siempre es el caso y a veces se necesita considerar la transferencia de calor tambin en otras direcciones. En esos casos se dice que la conduccin de calor es multidimensional; en esta seccin se desarrollar la ecuacin diferencial que rige tales sistemas, en coordenadas rectangulares, cilndricas y esfricas.

6.6. Ecuacin general de la conduccin de calorCoordenadas rectangulares:Considere un pequeo elemento rectangular de longitud x, ancho y y alturaz, como se muestra en la figura 6-1. Suponga que la densidad del cuerpo es y el calor especfico es C. Un balance de energa sobre este elemento, durante un pequeo intervalo de tiempo t, se puede expresar como

Figura 6-1: Conduccin tridimensional del calor a travs de un elemento rectangular de volumen.

O bien, Dando que el volumen del elemento es , el cambio en el contenido de energa en dicho elemento y la velocidad de generacin de calor dentro del mismo se puede expresar como

Si se sustituye en la ecuacin 6-1 se obtiene

Al dividir entre da

Dado que la reas de transferencia de calor del elemento para la conduccin de ese calor en las direcciones x, y y z son , respectivamente, y tomando el lmite cuando , se obtiene

Por la definicin de derivada y a partir de la Ley de Fourier de la conduccin del calor,

La ecuacin general de conduccin de calor en coordenadas rectangulares es la 6.3. En el caso de conductividad trmica constante, se reduce a

Donde, la propiedad es la difusividad trmica del material. La ecuacin 6.4 se conoce como ecuacin de Fourier-Biot y, en condiciones especficas, se reduce a estas formas:1) Rgimen transitorio (llamada ecuacin de Poisson):

2) Rgimen transitorio, sin generacin de calor (llamada la ecuacin de difusin):

3) Rgimen transitorio, sin generacin de calor (llamada ecuacin de Laplace):

Se observa que en el caso especial de transferencia de calor unidimensional en la direccin x, las derivadas con respecto a y y a z se cancelan y las ecuaciones antes dadas se reducen a las desarrollas en la parte anterior para un pared plana. Coordenadas cilndricas: Se puede obtener la ecuacin general de conduccin de calor en coordenadas cilndricas a partir de un balance de energa sobre un elemento de volumen en coordenadas cilndricas, el cual se muestra en la figura 6-2, siguiendo los pasos que acaban de describirse. Tambin se puede obtener directamente de la ecuacin 2-38, por transformacin de coordenadas, usando las relaciones siguientes entre las coordenadas de un punto en los sistemas de coordenadas rectangulares y cilndricas:

Figura 6-2: Conduccin tridimensional del calor a travs de un elemento de volumen de control en coordenadas cilndricas.

Balance de Energa sobre este elemento durante un pequeo intervalo de tiempo t se puede expresar como:

O bien,

Siendo el volumen del elemento . El contenido de energa en dicho elemento y la velocidad de generacin de calor dentro del mismo se pueden expresar como:

Si se sustituye en la ecuacin 6.8 se obtiene

Al dividir entre da

Dado que las reas de transferencia de calor del elemento para la conduccin de ese calor en las direcciones r, y z son , respectivamente, y tomando el lmite cuando , se obtiene

Por la definicin de derivada y a partir de la Ley de Fourier de la conduccin del calor,

La ecuacin general de conduccin de calor en coordenadas rectangulares es la 6.10.Coordenadas esfricas:Se puede obtener la ecuacin general de conduccin de calor en coordenadas esfricas a partir de un balance de energa sobre un elemento de volumen en coordenadas esfricas, el cual se muestra en la figura 6-3, siguiendo los pasos que acaban de describirse. Tambin se puede obtener directamente de la ecuacin 2-38, por transformacin de coordenadas, usando las relaciones siguientes entre las coordenadas de un punto en los sistemas de coordenadas rectangulares y esfricas:

Figura 6-3: Conduccin tridimensional del calor a travs de un elemento de volumen de control en coordenadas esfricas.

= Polar, cenital o colatitud= azimutal o longitudr = radial

Balance de Energa sobre este elemento durante un pequeo intervalo de tiempo t se puede expresar como:

O bien,

Siendo el volumen del elemento . El contenido de energa en dicho elemento y la velocidad de generacin de calor dentro del mismo se pueden expresar como:

Si se sustituye en la ecuacin 6.11 se obtiene

Al dividir entre da

Dado que las reas de transferencia de calor del elemento para la conduccin de ese calor en las direcciones r, y son , respectivamente, y tomando el lmite cuando , se obtiene

Por la definicin de derivada y a partir de la Ley de Fourier de la conduccin del calor,

La ecuacin general de conduccin de calor en coordenadas rectangulares es la 6.13.6.7. Conduccin Bidimensional

Placa plana:Sea: Y

X

Condiciones de frontera:a) b) c) d) e) De:

Tenemos:

Queda:

Solucin: Mtodo analtico de separacin de variables:Sea:

Puesto que el lado derecho es slo funcin de y, y el izquierdo es slo funcin de x, ambos pueden variarse independientemente, la igualdad siempre se mantendr y sern iguales a una constante.