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CONTENIDO:

GRAVITACIÓN MOVIMIENTO OSCILATORIO MOVIMIENTO ONDULATORIO

MECÁNICA DE FLUIDOS TEMPERATURA DILATACIÓN Y CALOR

AUTOR:

MSc. RICARDO ROMERO LOAIZA

UNA - PUNO 2015

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INDICE

PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA

GRAVITACIÓN

Pág.

1.1 GRAVITACIÓN 1

1.2 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON 1

1.3 MIDIENDO LA MASA DE LA TIERRA: EL EXPERIMENTO DE GAVENDISH 1

1.4 MASA Y PESO 2

1.5 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (g) 3 1.5.1 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD LA SUPERFICIE DE UN PLANETA 3 1.5.2 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD A UNA ALTURA “H” DE LA SUPERFICIE DEL PLANETA (g). 4 1.5.3 VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA 4 1.5.4 VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA TIERRA 4 1.5.5 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIO 5 1.5.6 LA GRAVEDAD COMO FUERZA FUNDAMENTAL 5 1.6 LEYES DE KEPLER 6 1.6.1 PRIMERA LEY: (Ley de las orbitas) 6 1.6.2 SEGUNDA LEY: (Ley de las áreas) 7 1.6.3 TERCERA LEY: (Ley delos periodos) 8 1.7 VELOCIDAD DE ESCAPE 8

PROBLEMAS APLICATIVOS 13

SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA

MOVIMIENTO OSCILATORIO

2.1 ELASTICIDAD Y LE DE HOOKE 15 2.1.1 TENSIÓN Y COMPRESIÓN 15 2.1.2 DEFORMACIÓN 16 2.1.3 ESFUERZO O FATIGA 16 2.1.4 LEY DE HOOKE 17 2.2 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 19 2.3 CINEMÁTICA Y DINÁMICA DEL MAS 20 2.4 ENERGÍA DEL OSCILADOR 24 2.5 ASOCIACIÓN DE RESORTES 25 2.6 PÉNDULO SIMPLE Y PÉDULO FÍSICO 27 2.7 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO 31 2.7.1 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO 31 2.7.2 OSCILACIONES FORZADAS 32

PROBLEMAS APLICATIVOS 39

TERCERA UNIDAD DIDÁCTICA

MOVIMIENTO ONDULATORIO

3.1 ONDAS MECÁNICAS 43 3.2 ONDAS VIAJERAS 46 3.3 MOVIMENTO ONDULATORIO ARMÓNICO 47 3.4 ONDAS TRANSVERSALES 49 3.5 ONDAS ESTACIONARIAS 50 3.6 EXPLICACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA 51 3.7 ONDAS LONGITUDINALES EN UNA BARRA ELÁSTICA 52 3.8 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA BARRA 54 3.9 ONDAS LONGITUDINALES EN UN FLUIDO 55

3

3.10 ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO 59 3.11 ONDAS LONGITUDINALES ARMÓNICAS DEL SONIDO 60 3.12 ESPECTRO ACÚSTICO 62 3.13 INTENSIDAD DEL SONIDO 62 3.14 NIVEL DE INTENSIDAD SONORA 63 3.15 CONTAMINACÍÓN ACÚSTICA Y CALIDAD DE VIDA 64 3.16 APLICACIONES DE LOS ÚLTRAZONIDOS 65 3.17 EFECTO DOPPLER EN ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS 65

PROBLEMAS APLICATIVOS 66

CUARTA UNIDAD DIDÁCTICA

MECÁNICA DE FLUIDOS

4.1 DEFINICIÓN DEL FLUIDO 69 4.2 DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO 69 4.3 PRESIÓN DE FLUIDOS Y VARIACIÓN DE PRESIÓN 71 4.4 PRESIÓN BAROMÉTRICA Y MANOMÉTRICA 73 4.5 EQUILIBRIO DE LOS LIQUIDOS NO MISCIBLES EN TUBOE EN “U” 78 4.6 PRINCIPIO DE PASCAL 78 4.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES 80 4.8 FLOTACIÓN DE CUERPOS 82 4.9 DINÁMICA DE FLUIDOS 85 4.10 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD 86 4.11 ECUACIÓN DE BERNOULLI 87 4.12 VISCOCIDAD 94

PROBLEMAS APLICATIVOS 96

QUINTA UNIDAD DIDÁCTICA

TEMPERATURA, DILATACIÓN Y CALOR

5.1 CONCEPTO DE TEMPERATURA 96 5.2 ESCALAS DE TEMPERATURA 97 5.3 CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECÍFICO 98 5.4 DETERMINACIÓN DE CALOR ESPECÍFICO DE UN LÍQUIDO Y SÓLIDO 99 5.5 EQUIVALENTE MECÁNICO DE CALOR 102 5.6 CAMBIOS DE ESTADO 103 5.7 EVAPORACIÓN 105 5.8 DILATACIÓN 109 5.9 FUNDAMENTOS BÁSICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR 112 5.10 ABSORCIÓN DE LA RADIACIÓN SOLAR 122

PROBLEMAS APLICATIVOS 127

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PRIMERA UNIDAD DIDÁCTICA GRAVITACIÓN, ELASTICIDAD, FLUIDOS Y DENSIDAD.

Gravedad viene del latín "gravis" que significa pesado.

La gravitación es la fuerza de atracción mutua que experimentan los cuerpos por el hecho de tener una masa determinada. La existencia de dicha fuerza fue establecida por el matemático y físico inglés Isaac Newton en el siglo XVII, quien, además, desarrolló para su formulación el llamado cálculo de fluxiones (lo que en la actualidad se conoce como cálculo integral).

La interacción gravitatoria es la responsable de los movimientos a gran escala en todo el Universo y hace, por ejemplo, que los planetas del Sistema Solar sigan órbitas predeterminadas alrededor del Sol.

Isaac Newton fue la primera persona en darse cuenta de que la fuerza que hace que los objetos caigan con aceleración constante en la Tierra y la fuerza que mantiene en movimiento los planetas y las estrellas es la misma, y a él se debe la primera teoría general de la gravitación, expuesta en su obra Philosophiae Naturalis Principia Mathematica.

1.1 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL DE NEWTON

La Ley de la Gravitación Universal de Newton establece que la fuerza que ejerce una partícula puntual con masa m1 sobre otra con masa m2 es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa:

1 212 122

m mˆF = - G r

r

Siendo 12r el vector unitario que va de la partícula 1 a la 2, y donde G es la Constante de gravitación universal,

siendo su valor 6,67 × 10-11 Nm²/kg²

1.2 MIDIENDO LA MASA DE LA TIERRA: EL EXPERIMENTO DE CAVENDISH

En 1797 y 1798, Henry Cavendish confirmó la teoría de Newton y determinó la constante de la proporcionalidad en la Ley de Gravedad Universal de Newton. Su ingenioso experimento, basado en el trabajo de John Michell, tuvo éxito en los dos aspectos. Para alcanzar esto, Cavendish creó la "balanza de torsión," que consistía en dos masas a cada lado de una barra que estaba suspendida del techo con un delgado cable (ver Figura).

La balanza de torsión, inventada por Michell y Cavendish para

determinar la constante de la proporcionalidad en La Ley de

Gravedad Universal de Newton.

Atado al cable, había un espejo sobre el cual se reflejaba un rayo de luz. Cavendish puso una tercera masa cerca de una de las masas en la balanza de torsión. A medida que la tercera masa atraía una de las extremidades de la balanza de torsión, el aparato entero, incluido el espejo, rotaba ligeramente y el rayo de luz se desviaba. A través de cuidadosas medidas del desvío angular del rayo de luz, Cavendish era capaz de determinar la magnitud con la que la masa conocida atraía la masa nueva. Cavendish no sólo confirmó la teoría de Newton, sino que también determinó el valor de la constante gravitacional con una exactitud de aproximadamente 1%.

5

2-11

2NmG = 6.67×10

Kg

Cavendish se refirió a su investigación como “Midiendo la masa de la tierra.” Ya que él había determinado el valor de G, podía realizar simples cálculos para determinar la masa de la tierra. De acuerdo a la Segunda Ley de Newton, la fuerza entre un objeto y la tierra es igual al producto de la aceleración (g) y la masa del objeto (m):

F = mg

A principios de los años 1600, Galileo determinó que la aceleración de todos los objetos cerca de la superficie de la tierra, como g = 9.8 m/s2.

Por consiguiente, poniendo esta ecuación igual a la Ley de la Gravitación Universal de Newton ya descrita, Cavendish encontró:

2

E

E

GmmF mg

r

Donde m es la masa del objeto, mE es la masa de la tierra, y rE es el radio de la tierra. Resolviendo, la masa de la tierra tiene el siguiente resultado:

2 2 6 2

EE -11 2 2

g.r (9.8m/s )(6.38×10 m)m = =

G 6.67×10 Nm /Kg

24

Em =5.98×10 Kg

Cavendish determinó la masa de la tierra con gran exactitud.

También podemos usar esta relación para calcular la fuerza de atracción entre dos personas en extremos opuestos de un cuarto. Para hacer esto, simplemente necesitamos usar la Ley de Gravedad Universal de Newton con la constante gravitacional de Cavendish. Asuma que dos personas tienen un peso de 75 y 100 kilogramos, respectivamente, y que están separadas por cinco metros. La fuerza de gravedad entre ello es:

1 2

2

Gm mF=

r

-11 2 2

2

(6.67×10 Nm /Kg )(75Kg)(100Kg)F=

(5m)

-8F=2.00×10 N

A pesar de que es pequeña ¡es una fuerza!

1.3 MASA Y PESO

La masa de un cuerpo es una propiedad característica del mismo, que está relacionada con el número y clase de las partículas que lo forman. Se mide en kilogramos (kg) y también en gramos, toneladas, libras, onzas, etc.

El peso de un cuerpo es la fuerza con que lo atrae la Tierra y depende de la masa del mismo. Se mide en Newtons (N) y también en kg-fuerza, dinas, libras-fuerza, etc.

Si modelamos la tierra como un cuerpo esférico simétrico con radio ER y masa Em , el peso w de un cuerpo

pequeño de masa m en la superficie (a una distancia ER del centro) es:

2

Eg

E

Gm mw F

R , (Peso de un cuerpo de masa m en la superficie de la tierra)

DIFERENCIA ENTRE MASA Y PESO

Si a una persona cualquiera le preguntaran cuánto pesa, seguramente diría, yo peso 60 kg. Si le preguntaran cuanto pesaría en la Luna, y dicha persona supiera que la gravedad lunar es seis veces menor que la terrestre, contestaría sin dudar, pesaría 10 kg. Y si le preguntaran por la fuerza de empuje de los motores de un determinado avión, y

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supiera la respuesta, diría que la fuerza de empuje es de 20 toneladas (por ejemplo). Y sin embargo, estas respuestas son incorrectas. No por las cifras, sino por las unidades.

En la definición de masa mencionamos que los kilogramos, las toneladas y demás múltiplos y submúltiplos (gramos, miligramos, etc.) son unidades de masa, no de peso. ¿Y no es lo mismo? Pues no, ya que el peso es una fuerza, concretamente la fuerza con la que un objeto es atraído por la gravedad, y por tanto se mide en unidades de fuerza. La fuerza y la masa están relacionadas mediante la Segunda Ley de Newton. De hecho, una definición muy habitual de fuerza es la de todo aquello capaz de ejercer una aceleración sobre cuerpo, y matemáticamente se expresa

como el producto entre la masa del cuerpo y la aceleración producida: F ma ; por tanto el peso w mg .

MASA

Cantidad de materia que posee un objeto.

Mide la tendencia que tienen los objetos a conservar su estado de movimiento o de reposo. Se mide con la balanza.

Su unidad en el S.I. es el Kg. Es una magnitud escalar.

PESO

Es la fuerza con que la Tierra interacciona con los objetos.

Depende del lugar en el que está situado el objeto.

Se mide con el dinamómetro o sensor de fuerza.

Su unidad en el S.I. es el N.

Es una magnitud vectorial.

1.4 INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO (g)

Es la aceleración que produce una masa generatriz (M) sobre una masa prueba (m) en virtud a la fuerza de atracción gravitacional. También es llamada aceleración de la gravedad.

g: aceleración de “m” debido a la atracción gravitacional de “M”.

De la segunda ley de Newton:

F ma F mg

2

GMmmg

r

2

GM g=

r

Observe que “g” es independiente de “m”, por eso se dice que en la caída libre de los cuerpos caen con la misma aceleración.

1.4.1 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE UN PLANETA ( sg )

2s

GMg

R

7

1.4.2 ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD A UNA ALTURA “H” DE LA SUPERFICIE DEL PLANETA (g)

2( )

GMg

R H

1.4.3 VARIACIÓN DE LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD CON LA ALTURA

Dividiendo las dos fórmulas anteriores: 22

2

( )s

s

g R Rg g

g R H R H

1.4.4 VARIACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA TIERRA

El punto P está en el interior de la esfera de radio R. (r<R)

Fuerza que ejerce la esfera interior

La fuerza que ejerce la distribución de masa contenida en la esfera maciza de radio r sobre la unidad de masa situada en el punto P a una distancia r del centro es:

3

rg GM

R

Si tenemos en cuenta que el vector g apunta hacia el centro de la Tierra

3

, r<Rr

g GMR

La aceleración de la gravedad g aumenta linealmente de 0 a GM/R2, en el interior de una distribución esférica y uniforme de masa M y radio R. En el exterior de dicha distribución, la aceleración de la gravedad disminuye en proporción inversa al cuadrado de la distancia al centro de dicha distribución GM/r2

En la figura, se muestra la gráfica del módulo de la aceleración de la gravedad g en función del cociente r/R para el planeta Tierra, G=6.67·10-11 Nm2/kg2, R=6.37·106 m, M=5.98·1024 kg. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra vale g=9.83 m/s2

La gravedad es máxima en la superficie. Tiende a disminuir al alejarse del planeta, por aumentar la distancia r entre las masas implicadas. Sin embargo, también disminuye al adentrarse en el interior de la Tierra, ya que cada vez una porción mayor de planeta queda por "encima", y cada vez es menos la masa que queda por "debajo". En el centro de la Tierra, hay una enorme presión por el peso de todo el planeta, pero la gravedad es nula.

La gravedad en el centro de la tierra es "nula", porque se equiparan todas las fuerzas de atracción. Pero sí que existe la fuerza gravitacional.

8

Así mismo, aumenta con la latitud debido a dos efectos: el achatamiento de la Tierra en los polos hace que la distancia r se reduzca a medida que la latitud aumenta, y la rotación terrestre genera una aceleración centrífuga que es máxima en la Línea ecuatorial y nula en los polos.

Los valores de g en el ecuador y en los polos son respectivamente:

gec = 9,7303 m/s²

gpolo = 9,8322 m/s²

Antiguamente se creía que los cuerpos más densos caían con mayor aceleración, pero Galileo y, después, Isaac Newton se encargaron de demostrar lo contrario. Un experimento realizado en una cámara de vacío demuestra que todos los cuerpos caen hacia la Tierra con la misma aceleración, independientemente de su masa.

1.4.5 ENERGÍA POTENCIAL DE UN CAMPO GRAVITATORIO

La energía potencial puede definirse solamente cuando la fuerza es conservativa, es decir, que cumpla con alguna de las siguientes propiedades:

El trabajo realizado por la fuerza entre dos puntos es independiente del camino recorrido.

El trabajo realizado por la fuerza para cualquier camino cerrado es nulo.

Cuando el rotor de F es cero.

Vamos a intentar calcular el trabajo W que se realiza para llevar la masa m del punto A al B dentro del campo gravitatorio.

180B B B

ABA A A

W F dr FdrCos Fdr

2 2

1 BB

AA

rB r

ABA r

r

Mm MmW G dr G dr GMm

r r r

1 1

AB

A B

W GMmr r

Sabemos que W = - ΔU = UA - UB

UA - UB = -G.M.m.(1/rA - 1/rB). Es la variación de la U que ha sufrido el cuerpo cuando ha pasado del punto A al B

Para obtener la U relativa a un punto del campo hay que fijar un sistema de referencia que asigne 0 al valor de la U.

Se elige el ∞. Si llevo B al infinito rB = ∞ ® 1/rB = 0

UA= -GMm/rA Trabajo que hay que realizar para llevar la masa desde A al ∞ y al revés (desde ∞ al punto A). También expresa la U de la masa m en el punto A.

W > 0 si:

La masa se desplaza por acción de las fuerzas del campo gravitatorio

La masa m disminuye su energía potencial gravitatoria

Se acercan dos masas

W < 0 si:

La masa m se desplaza por acción de una fuerza exterior al campo gravitatorio

La masa m aumenta su energía potencial gravitatoria

Se separan dos masas

1.4.6 LA GRAVEDAD COMO FUERZA FUNDAMENTAL

La gravedad es una de las cuatro fuerzas fundamentales de la Naturaleza, junto al electromagnetismo, la interacción nuclear fuerte y la interacción nuclear débil.

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La gravedad es una fuerza de atracción que una porción de materia ejerce sobre otra, y afecta a todos los cuerpos. Su intensidad es mínima entre las partículas que intervienen en los procesos atómicos, pero es esencial a gran escala porque su alcance es infinito, aunque decrece de forma inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, según la ley de Newton. Su importancia reside en que siempre es atractiva y, por tanto, se acumula, aumentando con el número de partículas en juego. De este modo, la gravitación es la fuerza preponderante a escala macroscópica, a pesar de que se trata de la más débil de todas las interacciones. Es la responsable de la atracción universal entre los cuerpos, de la cohesión de los astros (planetas, estrellas, satélites...) y regula sus movimientos. Podemos afirmar que es la fuerza que mantiene el orden y el equilibrio en el universo y la que provoca, al mismo tiempo, la colisión entre galaxias vecinas y la creación de nuevas estrellas.

Físico Cuestiona la existencia de la Gravedad.

http://creationrevolution.com/2011/01/physicist

Publicado el 17 de enero de 2011

Por Brian Thomas, M.S., por el Institute for Creation Research

1.5 LEYES DE KEPLER

Cuando Nicolás Copérnico desechó la platónica idea de que "la Tierra es el centro y los demás astros orbitan a su alrededor", todavía, durante bastantes años, se mantuvo la platónica idea de que las órbitas planetarias alrededor del Sol habrían de ser exactamente circulares. Johannes Kepler tardó largos años en superar tal falacia, pero, cuando lo logró, formuló tres leyes del movimiento planetario que representaron uno de los grandes logros de la Ciencia.

Johannes Kepler, fue un astrónomo alemán (Württemberg, 1571-Ratisbona, 1630), trabajó con datos cuidadosamente recogidos por Tycho Brahe sin la ayuda de un telescopio. Partidario de la teoría heliocéntrica de Copérnico, Kepler en principio supuso que las órbitas planetarias eran perfectamente circulares, y se propuso perfeccionar el sistema de Copérnico ayudándose de las observaciones de Marte que había hecho, durante más de 20 años el danés Tycho Brahe (1546-1601), así como en sus propias observaciones. Durante varios años realizó prolijos cálculos sobre la manera de obtener parámetros de las orbitas planetarias, hasta llegar al convencimiento de que había de desecharse la idea de que fueran circulares. En resumen, descubrió tres hechos fundamentales en el movimiento planetario alrededor del Sol que podrían describirse de la manera que se expone a continuación.

1.5.1 PRIMERA LEY: (Ley de las orbitas)

Todos los planetas se deslazan alrededor del Sol siguiendo una trayectoria elíptica, una elipse, en uno de cuyos focos se encuentra emplazado el Sol.

Kepler obtuvo esta ley de forma empírica, mediante observación de los movimientos aparentes de los planetas. Es válida, pues para objetos de gran tamaño orbitando alrededor del Sol siguiendo órbitas cerradas: planetas, asteroides, etc.., pero si se tiene en cuenta el movimiento general de los cuerpos celestes habría que enunciar esta primera ley kepleriana de la siguiente manera:

Bajo la fuerza de atracción gravitacional de un objeto astronómico el movimiento de otro objeto a su alrededor sigue una trayectoria cónica (círculo, elipse, parábola, hipérbola).

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En la figura se representa con color amarillo la posición del sol en el foco de la elipse. El planeta está representado por un punto azul y su trayectoria es la elipse.

Perihelio: Es la distancia más cercana al sol, se produce cuando el ángulo de la figura es de cero grados.

Afelio: Es la distancia más lejana entre el sol y el planeta se produce cuando el ángulo de la figura es de ciento ochenta grado.

Velocidad Areolar: El área barrida por el radio vector por unidad de tiempo.

Excentricidad (Fuera del centro): La excentricidad se denota con e. la excentricidad de una elipse se puede definir como la proporción entre las medidas de la distancia entre focos respecto al eje mayor de la elipse. La excentricidad es cero para un círculo. En las orbitas planetarias, solo Plutón tiene una excentricidad grande.

(1 )aR a e , (1 )pR a e

Ejemplo: Excentricidad de elipses

1.5.2 SEGUNDA LEY: (Ley de las áreas)

El radio vector de origen en el Sol y extremo en el punto de posición de cada planeta recorre áreas iguales en tiempos iguales.

Esta ley empírica descubierta por Kepler, surge de la conservación del momento angular. Cuando el planeta está más cerca del Sol, se mueve más rápido, barriendo, la misma área sobre un camino más largo en un determinado tempo.

Si el tiempo que tarda un planeta en ir desde P1 hasta P2 es el mismo que en ir desde P3 hasta P4, el área A1 será igual al área A2. Pero, ¿por qué ocurre esto?. Johannes Kepler se basó en los datos astronómicos de su coetáneo Tycho Brahe antes de que Isaac Newton estableciese su Ley de la Gravitación Universal.

DEMOSTRACIÓN:

Primero vamos a demostrar esta ley en los casos particulares del afelio y perihelio. Si consideramos un diferencial de tiempo (dt), el área barrida por el planeta se asemeja a un triángulo de base ds y de altura la distancia al Sol:

11

Calculemos el área de las zonas celestes (dA) como si fuesen triángulos:

adA área del afelio

ar radio del afelio

av velocidad en el afelio

1

2a adA r ds

1

2a a a

dscomo v dA r v dt

dt

2

a a adA r v

dt

En el caso del perigeo procederemos del mismo modo:

pdA Área del perihelio

pr Radio del perihelio

pv Velocidad en el perihelio

1

2p pdA r ds

1

2p p p

dscomo v dA r v dt

dt

2

p p pdA r v

dt

Ahora vamos a calcular el momento de fuerza de la fuerza gravitatoria del Sol al planeta con respecto al propio Sol.

Por definición: M r F

Entonces el momento será (modularmente):

M rFsen

Siendo el ángulo que forma r y F (0°)

Por tanto, M=0. El momento también puede escribirse de la siguiente forma;

dLM

dt

Como 0 .M L cte

Deducimos que el momento angular es constante (en dirección, sentido y módulo) a lo largo de toda la trayectoria. El momento angular se define como:

cos( ^ p)

L r p

L mrv r

Como hemos dicho que el momento angular es constante, el momento angular en el afelio será igual al del perihelio:

a p

a a p p a a p p

L cte L L

mr v mr v r v r v

Finalmente llegamos a que la velocidad areolar en el perihelio es igual a la velocidad areolar en el afelio:

2 2

p p p a a adA r v r v dA

dt dt

Para cualquier otro punto de la órbita procedemos igual:

12

El área (dA):

1

2 2 2

rv dt dA rvdA r ds

dt

L

Como L mrv rvm

Entonces: 2

dA L

dt m

Y como tanto L como m son constantes, la velocidad areolar también será constante y queda demostrada la Segunda Ley de Kepler.

1.5.3 TERCERA LEY: (Ley de los Periodos)

Los cuadrados de los periodos siderales de revolución de los planetas alrededor del Sol son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.

2 3

aT r

22 3 2 3 2 34

, a aT r T Kr ó T KrGM

T: Con esta letra se designa el periodo que es el tiempo que un planeta tarda en recorrer una órbita, por ejemplo en el caso de la Tierra es de aproximadamente 365 días. M: Masas solares.

r: Es la distancia entre el sol y el planeta.

Suponiendo un movimiento aproximadamente circular, la velocidad circular de un objeto que se desplaza alrededor

del sol seria:2

wT

y la aceleración centrífuga vendría dada por: 2

2

2

4ca w r r

T

Siendo T el periodo de traslación. Para que se equilibre con la fuerza de la gravitación, ha de ser: 2

2

2 2 2

( ) 4 ( )M m rm M mmw r G m G m

r T r

3

2 2( ) 4

r Gcte

T M m

Si en lugar de considerar el movimiento circular, lo suponemos elíptico, la expresión anterior sería la misma, solo que r representaría al semieje mayor de la elipse.

Supongamos, entonces, dos objetos de masas m1 y m2, que se mueven orbitando en trayectoria elíptica alrededor del sol, de masa M. Se tendrían:

3 3

1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

; ( ) 4 ( ) 4

r rG G

T M m T M m

Por lo que, igualando y ordenando: 3 3 2 3

1 2 2 2 2

2 2 2 3

1 1 2 2 1 1 1

( )

( ) ( ) ( )

r r T M m r

T M m T M m T M m r

Esta es ya la tercera ley de Kepler de forma general, y si hacemos la aproximación de que la masa del objeto que orbita es despreciable en comparación con la del Sol, se obtiene exactamente la expresión deducida por Kepler:

2 3

2 2

2 3

1 1

T r

T r

13

Ejemplo:

En la siguiente tabla se muestran las distancias de los planetas al Sol (medidas en Unidades Astronómicas) y su período (medido en años terrestres). Una Unidad Astronómica es la distancia media de la Tierra al Sol y vale aproximadamente 150,000,000 Km

Cuando se generaliza la tercera ley de Kepler se escribe

2 3T Kr , donde k es una constante de proporcionalidad (constante de Kepler) que depende de la masa del astro central. Para el Sistema Solar

19 2 33 10 /K s m r coincide con el valor del semieje mayor para órbitas elípticas.

Ejemplo: La Tierra orbita alrededor del Sol con un periodo de 365,25 días. Calcular la distancia media entre la Tierra y el Sol.

Datos: La constante de Kepler para el Sistema Solar vale:

19 2 33 10 /K s m

Partimos de la tercera ley de Kepler: 2 3T Kr y

despejamos la incógnita (r):

1.6 VELOCIDAD DE ESCAPE

La velocidad de escape, es la velocidad mínima con la que debe lanzarse el cuerpo para que escape de la atracción gravitatoria de la Tierra o de cualquier otro astro. Esto significa que el cuerpo o proyectil no volverá a caer sobre la Tierra o astro de partida, quedando en reposo a una distancia suficientemente grande (en principio, infinita) de la Tierra o del astro.

La velocidad de escape es aplicable tan solo a objetos que dependan únicamente de su impulso inicial (proyectiles) para vencer la atracción gravitatoria; obviamente, no es aplicable a los cohetes, lanzaderas espaciales u otros artefactos con propulsión propia.

La velocidad de escape depende de la forma del potencial gravitatorio en que se encuentra el proyectil, por lo que el planteamiento sería ligeramente distinto si el punto de partida está situado en el interior o en el exterior del astro. En el exterior del astro, sobre la superficie de éste, la velocidad de escape depende solamente de la altura del punto de lanzamiento, si se desprecian las fuerzas de fricción en la atmósfera, si la hubiere (como es el caso de la Tierra).

La velocidad de escape desde la superficie de la Tierra es 11.2 km/s, lo que equivale a 40320 km/h. La velocidad de escape no depende de la masa del proyectil; tampoco depende de la dirección del lanzamiento, como se verá luego en su deducción en términos puramente energéticos

Para calcular la velocidad de escape, se usan las siguientes fórmulas relacionadas con la energía cinética y potencial:

21

2c P

MmE mv E G

r

El principio de conservación de la energía, al que imponemos la condición de que el objeto se aleje hasta una distancia infinita ( ) y quede en reposo, nos permite escribir:

210

2e

Mmmv G

R

14

De modo que: 2

2e

GMv gR

R

Dónde:

ev es la velocidad de escape.

G es la Constante de gravitación universal (6,672×10−11 N m2/kg2).

M es la masa del astro.

m es la masa del proyectil.

R es el radio del astro.

g es la intensidad del campo gravitatorio en la superficie del astro. En la Tierra, g = 9.81 m/s2.

Ejemplo:

Velocidad de escape desde la superficie de la Tierra:

2ev gR

Como 29.81 /g m s , 6400R Km

22(9.81 / )(6400 )ev m s Km

11.2 /ev Km s

Así, una lanzadera espacial que quiera escapar del campo gravitatorio debe tener la velocidad de escape que es aproximadamente de 11,2 Km/s.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. El peso de una persona en la supere terrestre es 72 kgf. ¿A qué altura sobre la superficie terrestre, el peso de la persona será 8 kg-f?.

Solución

1 272 , 8w kgf w kgf

1 1 2

mGMw mg

R (1)

2 2 2( )

mGMw mg

R x

(2)

Dividiendo (1)/(2):

2

1

2

2

( )w R x

w x

272

8

R x

x

2 2 6400 3200 x R x Km x Km

2. Calcule la gravedad a nivel del lago Titicaca. Solución

Por definición:

2

s

Rg g

R H

Donde: 29.8 /sg m s , a nivel del mar

6400 3809 R Km y H msnm 2

32 2

3 3

6400 10 (9.8 / ) 9.788 /

6400 10 3.809 10g m s m s

2 9.788 /g m s

3. Hallar la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta desconocido. Suponga que la masa de la tierra es 64 veces más grande que la masa del planeta y que el radio de la tierra es el doble.

Solución

Por Definición: 2

GM

gR

15

Para el Planeta: 2

p

GMg

R (1)

Para la Tierra: 2 2

(64 ) 16

(2 )T T

G M GMg g

R R (2)

Remplazando (1) en (2): 2 16 (9.8 / ) 16T P Pg g m s g

2 =0.6125 /Pg m s

4. Cuando un avión vuela horizontalmente, muy cerca de la superficie de la tierra, un cuerpo desprendido del techo del avión cae al piso de la nave en 4s. Pero cuando el avión vuela paralelamente a la superficie terrestre a una altura “H”, el cuerpo desprendido cae al piso del avión en 8s. Calcular la altura “H”.

Solución

Para cuerpos desprendidos usamos Definición de caída libre: 21

h2

gt (*)

h: altura pequeña del avión (distancia entre el techo y el piso del avión), Vuelo de la nave cerca de la superficie:

1 h=

2g

16

SEGUNDA UNIDAD DIDÁCTICA

MOVIMIENTO OSCILATORIO

2.1 INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS

Hasta ahora se han considerado los cuerpos como sólidos rígidos (que no se deforman al aplicarles fuerzas externas) pero esto es una idealización que no ocurre en los cuerpos reales que sí se deforman.

Un cuerpo se deforma cuando al aplicarle fuerzas externas éste cambia de forma o de tamaño, o de ambos. Esos cambios dependen del arreglo de los átomos y su enlace en el material.

La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas aplicadas a los cuerpos y las correspondientes deformaciones.

Cuerpo elástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos exteriores recuperan su forma o tamaño original.

Cuerpo inelástico: Aquél que cuando desaparecen las fuerzas o momentos no retorna perfectamente a su estado inicial.

Comportamiento plástico: Cuando las fuerzas aplicadas son grandes y al cesar estas fuerzas el cuerpo no retorna a su estado inicial (no recupera su forma original, parcialmente o totalmente) y tiene una deformación permanente.

Los cuerpos reales pueden sufrir cambios de forma o de volumen (e incluso la ruptura) aunque la resultante de las fuerzas exteriores sea cero.

La deformación de estructuras (estiramientos, acortamientos, flexiones, retorceduras, etc.) debido a la acción de fuerzas implica la aparición de esfuerzos que pueden llevar hasta la ruptura.

En resumen: La Elasticidad estudia la relación entre las fuerzas y las deformaciones, sobre todo en los cuerpos elásticos.

La deformación está íntimamente ligada a las fuerzas existentes entre los átomos o moléculas pero aquí se ignorará la naturaleza atómica o molecular de la materia considerando el cuerpo como un continuo y tendremos en cuenta las magnitudes medibles: fuerzas exteriores y deformaciones.

Las fuerzas de masa están asociadas con el cuerpo considerado (afectan a todas las partes del mismo) y no son consecuencia de un contacto directo con otros cuerpos y entre ellas podemos citar las fuerzas gravitacionales, las de inercia, las magnéticas, etc. Se especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen. Las componentes de la intensidad de estas fuerzas según los ejes coordenados, son Fx, Fy, Fz.

Las fuerzas de superficie son debidas al contacto físico entre dos cuerpos. Si ampliamos el concepto podríamos incluir en dicho concepto las fuerzas que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy práctico para establecer ecuaciones de equilibrio y otras.

Si un cuerpo, como el de la figura, está en equilibrio, si aislamos una de las partes en que el plano divide al cuerpo, por ejemplo la porción izquierda, para restituir el equilibrio debemos aplicar sobre la sección producida una distribución de fuerzas idéntica a la que la porción eliminada (la de la derecha) ejercía sobre la otra. O sea, las fuerzas de superficie P1 y P2, de la parte I, se mantienen en equilibrio con las fuerzas que la parte II del cuerpo ejerce sobre la parte I, fuerzas repartidas sobre toda la superficie del corte, de forma que cualquier área elemental está sometida a una fuerza . Por tanto, la fuerza “media” por unidad de área es

media

FP

A

17

El esfuerzo (o tensión) en un punto se define como el valor límite de la fuerza por unidad de área, cuando ésta tiende a cero:

El esfuerzo en un elemento diferencial de área dA, es un vector en la misma dirección que el vector de fuerza dF. La fuerza dF, o lo que es lo mismo, el esfuerzo P, NO está dirigido según una dirección preestablecida, como puede ser la normal al plano de la superficie.

2.1.1 TENSIÓN Y COMPRESIÓN Los materiales sólidos responden a fuerzas externas como la tensión, la compresión, la torsión, la flexión o la cizalladora. Los materiales sólidos responden a dichas fuerzas con: Una deformación elástica (en la que el material vuelve a su tamaño y forma originales cuando se elimina la

fuerza externa) Una deformación permanente Una fractura

La tensión es una fuerza que estira; por ejemplo, la fuerza que actúa sobre un cable que sostiene un peso. Cuando un material está sometido a tensión suele estirarse, y recupera su longitud original (deformación elástica), si esta fuerza no supera el límite elástico del material. Bajo tensiones mayores, el material no vuelve completamente a su situación original (deformación plástica), y cuando la fuerza es aún mayor, se produce la ruptura del material.

“Si el sentido de las fuerzas es el de alejarse de la barra, es un estado de Tensión”

(Deformación por Tracción)

La compresión es una fuerza que prensa, esto tiende a causar una reducción de volumen. Si el material es rígido la deformación será mínima, siempre que la fuerza no supere sus límites; si esto pasa el material se doblaría y sobre él se produciría un esfuerzo de flexión.

Si el material es plástico se produciría una deformación en la que los laterales se deformarían hacia los lados.

“Si el sentido de las fuerzas es hacia la barra, se dice que es un estado de Compresión”

(Deformación por Compresión)

La flexión es una fuerza en la que actúan simultáneamente fuerzas de tensión y compresión; por ejemplo, cuando se flexiona una varilla, uno de sus lados se estira y el otro se comprime.

Si estas fuerzas no superan los límites de flexibilidad y compresión de del material este solo se deforma, si las supera su produce la ruptura del material.

18

La torsión es una fuerza que dobla el material, esto se produce cuando el material es girado hacia lados contrarios desde sus extremos. En este tipo de fuerza también actúan simultáneamente tensión y compresión. Si no se superan sus límites de flexión este se deformara en forma de espiral, si se superan el material sufrirá un ruptura.

La cizalladura es una fuerza que corta, esto se produce cuando el material presionado (en dos partes muy cercanas) por arriba y por abajo. En este tipo de fuerza también actúan simultáneamente tensión y compresión. Si esta fuerza no supera los límites de flexión y compresión del material este se deformara, si los supera la fuerza producirá un corte en este.

2.1.2 ESFUERZO NORMAL O FATIGA

El esfuerzo es una medida de la fuerza por unidad de área (en la que se aplica) que causa la deformación.

Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos tal que siempre una sea normal y la otra paralela a la superficie considerada.

Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan normalmente como σ (sigma) y se denominan como esfuerzo de tracción o tensión cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado, y como esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado.

sup

Fuerza FEsfuerzo o fatiga

areadela erficiesobrelaqueactua A , F A

F

A

El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte ya que este esfuerzo trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel.

Las unidades de los esfuerzos son las de fuerza dividida por área (las mismas que para la presión), pero el esfuerzo no es un vector sino un tensor.

Las unidades que más se utilizan son: N/ m2, (S.I.); din/ cm2 (c.g.s.); Kp/m2, (s. Técnico); atmósfera técnica (Kp/cm2); atmósfera (atm); bar.

19

2.1.3 DEFORMACIÓN UNITARIA LONGITUDINAL

Si sobre una barra de longitud 0l le aplicamos una fuerza de tracción F en su propia dirección, y la barra sufre un

alargamiento l , se define la deformación unitaria longitudinal como:

Deformación unitaria longitudinal var

,

iacion de longitud

longitud inicial

0

0 0

o, f

l

l ll

l l

La deformación unitaria longitudinal es la variación relativa de longitud, por ende es adimensional.

La relación entre la fuerza F y el alargamiento l viene dada por el coeficiente

de rigidez sK :

sF K l

El coeficiente de rigidez depende de la geometría del cuerpo, de su temperatura y presión y en algunos casos, de la dirección en la que se deforma (anisotropía).

2.1.4 LEY DE HOOKE

Cuando estiramos (o comprimimos) un muelle, la fuerza recuperadora es directamente proporcional a la

deformación x (al cambio de longitud x respecto de la posición de equilibrio) y de signo contraria a ésta. F Kx ,

Siendo K una constante de proporcionalidad, denominada constante elástica del muelle. El signo menos en la ecuación anterior se debe a que la fuerza recuperadora es opuesta a la deformación.

La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza F se formula:21

( )2

pE x kx c

La ley de Hooke es solo aplicable a deformaciones unitarias pequeñas, hasta que se alcanza el límite de proporcionalidad (ver figura).

LEY DE HOOKE:

La cantidad de estiramiento o de compresión (cambio de longitud), es directamente proporcional a la fuerza aplicada.

F=Kx

En las curvas esfuerzo - deformación de un material hay un tramo de comportamiento perfectamente elástico en el que la relación esfuerzo – deformación es lineal (punto A). De ahí hasta otro punto B (de límite elástico) el material sigue un comportamiento elástico (sigue habiendo una relación entre esfuerzo y deformación, aunque no es lineal, y si se retira el esfuerzo se recupera la longitud inicial). Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto b hasta el punto B’ ), el material se deforma rápidamente y si se retira el esfuerzo no se recupera la longitud

20

inicial, quedando una deformación permanente y el cuerpo tiene un comportamiento plástico. Si se sigue aumentando la carga (por encima del punto B’), el material llega hasta un estado en el que se rompe (punto C).

Cuerpos frágiles: Los que se rompen al superar el límite elástico.

Cuerpos dúctiles: Los que se siguen deformando al superar el límite elástico, siguiendo un comportamiento plástico.

Fatiga elástica: Alteración de las características elásticas tras muchas deformaciones.

EXPERIENCIA: LEY DE HOOKE

Objetivo General: Estudiar experimentalmente el comportamiento de los resortes.

Objetivos Específicos:

Calcular la constante elástica k de el resorte Verificar la existencia de fuerzas recuperadoras.

Equipo PASCO ME-9827

En el dispositivo, se lee en la regla la posición del indicador y se anota: 0mm (posición inicial del resorte)

Se determina la longitud del resorte sin carga (5,7 cm), luego se inicia a colocar las pesas y se compara la variación del peso (g) con la variación de la longitud del resorte.

Se colocó la 1º pesa en el gancho del resorte. Se volvió a leer en la regla. Anotando:…8mm…….. ¿Qué sucedió con la longitud del resorte?

El resorte se estiró hasta 65 mm, teniendo en cuenta que la longitud inicial de este era de 5,7 cm. Esto sucedió ya que al colocarle una pesa de 5,8g esta ejerció una fuerza hacia el centro de la Tierra y provocó el estiramiento del resorte.

Se Realizó este procedimiento ocho veces y los datos son anotados en la siguiente tabla:

Con los datos obtenidos se realizó un gráfico con el peso de las pesas (5,8g) en función de la longitud del resorte (mm).

21

Conclusión:

Para poder determinar el valor de la constante de proporcionalidad (K), Se halla el cociente entre el peso de las pesas y la longitud correspondiente, obtenida en cada medición.

Como: P

P KL KL

Se comprueba que, en este resorte: K = 0,7505 g/mm, lo que significa que; por cada 0,7505 g de peso, la longitud del resorte varía 1 mm.

Este valor se obtuvo promediando los valores parciales (P/L), ya que en cada medición están presentes las incertezas o errores debido a las imperfecciones de los instrumentos de medición utilizados (regla), a la elasticidad y tipo de material del resorte.

2.1.5 MÓDULO DE YOUNG

Si un material es sometido a tracción, es decir si el mismo es solicitado desde sus extremos en direcciones opuestas, de modo similar a como se ilustra en la figura, la longitud del mismo aumenta y eventualmente, si la fuerza es grande, el material puede romperse.

Veamos una muestra cilíndrica de material, de sección transversal S, y longitud inicial 0l es sometida a tracción,

mediante una fuerza F que actúa a lo largo de su eje, la misma sufrirá un estiramiento de magnitud l . Si

0

1l

l

, se encuentra experimentalmente que para un rango limitado de las fuerzas aplicadas, l es

proporcional a la fuerza aplicada (F), a su longitud original ( 0l ) e inversamente proporcional al área de su sección

transversal (S), es decir:

0.

F ll

S

Esta relación, la noto primero Robert Hooke (1635 – 1703), un contemporáneo y rival de Newton. Esta expresión fenomenológica, válida para una gran variedad de materiales, pero no de carácter universal (como leyes de Newton o la Ecuaciones de Maxwell), se puede escribir como:

22

0

.F L

EA L

Donde E es una constante característica del material que forma el objeto y que se denomina módulo de Young o módulo de elasticidad, al módulo de elasticidad también se los suele designar con la letra Y.

Módulo de Elasticidad = esfuerzo necesario para producir una deformación unitaria,

esfuerzoE Y

deformacion unitaria

Se consideran tres tipos de deformaciones y se definirá un módulo elástico para cada uno:

1. Módulo de Young. Mide la resistencia de un sólido a un cambio en su longitud.

2. Módulo de corte. Mide la resistencia de los planos de un sólido a moverse deslizándose uno sobre otro.

3. Modulo volumétrico. Mide la resistencia que sólidos o líquidos presentan a los cambios en su volumen.

Tabla. Módulo de Young, límite de elasticidad y resistencia de algunos sólidos corrientes.

Sustancia Módulo de Young

9 210 /N m

Limite elasticidad rot ,

7 210 /N m

Resistencia a la tracción, 7 210 /N m

Resistencia a la compresión 7 210 /N m

Aluminio 70 18 20

Hueso: Tracción Compresión

16 9

12 17

Ladrillo 20 4

Cobre 120 20 40

Vidrio 70 5 110

Granito 50 20

Hierro Forjado 190 17 33

Mármol 50 20

Poliestireno 3 5 10

Cuarzo 70

Acero 200 30 50

Madera 10 10

Ejemplo 2.1: ¿Cuánto se estira un alambre de acero de longitud 0 0.5 L m y diámetro 32 10d m al serle

aplicada una tensión de 450 N?

Solución

El área de la sección transversal del alambre:

232

6 22 10

104 4

mdA m

Calculando esfuerzo:

6 2

6 2

450 143 10 /

10

T NN m

A m

De la tabla, Modulo de Young para acero (alambre): 9 2200 10 /N m

Calculando variación de la longitud del alambre:

6 2 5 30

11 2

0.5 143 10 / 35.75 10 0.357 10

2 10 /

L T mL N m m m

E A N m

L=0.357 mm

23

2.2 MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

Existen diversos tipos de movimiento, pero uno de los más importantes observados en la naturaleza es el movimiento oscilatorio o vibratorio.

De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (M.A.S), debido a que además de ser más simple de escribir matemáticamente, constituye una aproximación muy cercana de muchos oscilaciones encontradas en la naturaleza.

El estudio de los movimientos sísmicos tiene como base precisamente el M.A.S, la construcción de los puentes y edificios, tienen que estar prevenidos.

2.2.1 CONCEPTOS IMPORTANTES

Para entender con mayor claridad el movimiento armónico simple daremos algunas definiciones previas:

1. MOVIMIENTO PERIODICO

Un movimiento se dice que es periódico cuando a intervalos iguales de tiempo, todas las variables del movimiento (velocidad, aceleración, etc.) toman el mismo valor. Ejm. La Tierra alrededor del Sol.

2. MOVIMIENTO OSCILATORIO Es aquel movimiento en el cual el cuerpo se mueve hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio, o se efectúa un movimiento de vaivén. Ejm. Un péndulo.

3. MOVIMIENTO VIBRATORIO: Es un movimiento oscilatorio que tiene su origen en el punto medio y en cada vibración pasa por él. Las

separaciones a ambos del centro se llaman amplitud y son iguales. Ej. una varilla que sujeta por un extremo a la

que damos un impulso en el otro. La varilla vibra.

4. FUERZA DEFORMADORA ( DF )

Es Toda aquella fuerza que al actuar sobre un cuerpo, consigue deformarlo. En la practica todas las fuerzas al

actuar sobre un cuerpo lo deforman y cuando la deformación se produce en la dirección en que se aplica la

fuerza se cumple la LEY DE HOOKE, que establece lo siguiente: “La fuerza deformadora es directamente

proporcional a la deformación”.

5. FUERZA RESTAURADORA ( RF )

Es aquella fuerza que actúa sobre un cuerpo y trata que este recrece a su posición de equilibrio

6. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE (M. A. S)

Es aquel movimiento en el cual un cuerpo tiene movimiento periódico y oscilatorio, y además se mueve a través

de una línea recta y se encuentra sometido a la acción de una fuerza recuperadora cuya magnitud es

directamente proporcional al desplazamiento pero de sentido contrario a dicho desplazamiento.

¿Cómo se origina el MAS?

24

Cuando separamos un resorte de su posición de equilibrio, estirándolo o comprimiéndolo, adquiere un M.A.S al soltarlo. La fuerza recuperadora de ese resorte, que varia según la distancia al centro, es la que genera una aceleración, proporcional también a la elongación, la cual le confiere ese movimiento de vaivén llamado M.A.S.

NOTA: Al soltar el cuerpo del posición D, acelerara y su velocidad aumentara conforme se acerque al punto de

equilibrio; y a medida que el cuerpo se aleja del punto D, el valor de F disminuye, anulándose cuando llega al punto O.

7. AMPLITUD (A) Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y cualquiera de las posiciones externas.

8. ELONGACION (x) Es la distancia existente entre la posición de equilibrio y el cuerpo en un instante cualquiera. Convencionalmente

se le asigna el signo (+) si se encuentra a la derecha de la posición de equilibrio y (-) a la izquierda.

9. PERIODO (T) Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizar una oscilación completa.

10. FRECUENCIA ( f )

Es el número de oscilaciones completas que realiza un cuerpo en cada unidad de tiempo. La frecuencia es la

inversa del periodo, se mide en Hertz (Hz) o 1s ;

1f

T

f = ciclos/s; oscilaciones/s; 1s o Hz.

11. PULSACION O FRECUENCIA ANGULAR ( )

( )t : Ángulo de fase que describe el estado de movimiento de la partícula, se mide en radianes.

22 f

T

se mide en radianes/segundo.

2.3 CINEMATICA Y DINAMICA DEL MAS

2.3.1 CINEMATICA DEL MAS

Veamos la interpretación geométrica del Movimiento Armónico Simple (M. A. S.), relacionándolo con el movimiento

circular uniforme.

En la figura siguiente, se observa la interpretación de un M.A.S. como proyección sobre el eje x, del extremo de un

vector rotatorio de longitud igual a la amplitud A, que gira con velocidad angular w igual a la frecuencia angular

del M.A.S, en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Dicha proyección vale 0x = Acos(wt + φ )

El ángulo 0wt + φ que forma el vector rotatorio con el eje de las x se denomina fase del movimiento. El ángulo 0

que forma en el instante t=0, se denomina fase inicial.

El movimiento rectilíneo de m sobre el eje x se denomina movimiento armónico simple (MAS), entonces la

posición del móvil que describe un MAS en función del tiempo viene dada por la ecuación

25

x = Acos(ωt + φ)

También la posición del móvil que describe un MAS, se representa por la ecuación ( )x Asen t

Derivando esta última ecuación con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

cos( )v Aw wt

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración del móvil 2 2( )a Aw sen wt w x

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial 2

2

20

d xw x

dt , w : Frecuencia angular o circular.

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un

desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Puede comprobarse fácilmente que la solución de esta ecuación diferencial es:

( )x Asen wt o cos( )x A t , también la suma.

Discusión de las formulas:

VELOCIDAD

cos( )v Aw wt

v wA , 1

( )1

Cos wt Cos

La mínima velocidad se presenta en los extremos del MAS (x = A)

0v

Velocidad es máxima, en el valor absoluto , maxv A , en el punto de equilibrio (x = 0).

Expresión de la velocidad en función de la elongación, x:

2 2v A x

ACELERACION 2 2( ) ( )a A sen t Asen t

2a A , 1

( ) ( )1

sen t sen

O 2 , .a x x A

26

La aceleración es mínima en el punto de equilibrio (x = 0)

min 0a

Aceleración es máxima en valor absoluto2

maxa A , en los extremos del MAS (x = A)

En conclusión:

Debemos recordar que la velocidad tangencial y aceleración centrípeta es:

También 2 2, , , :c cv wR a w R a w A hacemos R A

Condiciones iniciales

Como: ( )x Asen wt

La posición inicial 0x y la velocidad inicial

0v determinan la amplitud A y la fase inicial . Para t=0,

0x Asen

0 0 cosv Aw

En este sistema de ecuaciones se despeja A y a partir de los datos 0 0 x y v

Ejemplo 2.2: Sea un MAS de frecuencia angular 0 100 /rad s , sabiendo que la partícula parte de la posición

0 5 x cm con velocidad inicial nula. 0 0v . Escriba la ecuación del movimiento.

0 100 /rad s

Condición del problema:

0 00 5 0t x cm v

Por def. 0 0( )x Asen t

0 ´0 0 x ( ) 1A como sen t

A=5 cm

0 0 0 0 0 0

dx cos( ) cos( )

dtA t v A

00 100(5)cos( )

0 0( ) 0 2

Cos

, por consiguiente la ecuación del MAS es:

( ) 5 (100 ) ( )2

x t sen t cm

27

2.3.2 DINAMICA DEL MAS

Tal como hemos visto en la definición del MAS, para que un cuerpo oscile desarrollando un movimiento armónico simple, debe actuar sobre el una fuerza recuperadora de la forma:

F Kx , que indica que la fuerza es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ella (-)

También hemos visto que la fuerza elástica de los resortes, tiene dicha forma xF Kx para pequeñas valores

de x donde K = constante del resorte. Además por la segunda ley de Newton:

x xF ma

Entonces de los dos resultados anteriores tenemos: 2

x 2 y a = x

d xKx ma

dt

2 2

2 2

d d -Kx=m 0

x x Kx

dt dt m (1)

Por el movimiento circular uniforme podemos expresar de la siguiente forma: 2

2

020

d xw x

dt (Ecuación diferencial del MAS) (2)

Dónde: 2

0

Kw

m

0w Se denomina frecuencia propia o natural del oscilador armónico.

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidráulicos, etc. La solución de esta ecuación diferencial del MAS es:

1 0( )x Asen w t

2 0cos( )x A w t

También la suma será solución 1 2 0 0( ) cos( )x x Asen w t A w t

Nota: 0

m 1, T=2 , f=

K 2

K K

m m

Ejemplo 2.3: Una partícula de masa 12 m kg se fija al extremo de un resorte cuya constante es 41.3 10 /K N m . Cuando t = 0, el resorte esta estirado 35 cm y la partícula parte del reposo. Describa la

ecuación del movimiento. Solución

12 m kg 41.3 10 /K N m

0 35 t x cm

La posición se describe de la siguiente forma:

0 0( ) cos( )x t A t

0 0?, ?, ?.A

La frecuencia angular es: 4

3 2

0

1.3 10 /1.1 10 ( ) 33 /

12

K N m radrad s

m kg s

28

Determinando 0 A y , igualando t = 0, en las ecuaciones:

0 0( ) cos( )x t A t

0( 0) cos( ) 0.35 x t A m (1)

0 0 0( ) ( )v t A sen t

0 0 0 0 0 0( 0) ( ) 0=- ( ), 0, 0v t A sen Asen A (2)

0 0 sen( ) 0 0 asi o

En la ecuación (1), como x es positivo cuando t = 0 y A es positivo por definición 0 0 , por consiguiente

amplitud 0.35 A m

La posición de la partícula es:

( ) 0.35cos(33 ) ( ).x t t m

2.4 ENERGIA DEL OSCILADOR

Cuando una masa oscila con MAS, las energías cinética y potencial del sistema varían con el tiempo. Su suma, la

energía total c pE E E es constante. Consideremos una masa a una distancia x del equilibrio, sobre el que

actúa una fuerza de restitución Kx . La energía potencial del sistema es

21

2pU E Kx

Considerando para MAS, cos( )x A t y sustituyendo en la ecuación anterior

2 21cos ( )

2U KA t

La energía cinética del sistema es

21

2cE mv

Como la velocidad del MAS es ( )v A sen t , sustituyendo resulta

2 2 21( )

2cE mA sen t

Teniendo en cuenta que 2 /K m resulta

2 21( )

2cE KA sen t

La energía total es la suma de las energías potencial y cinética:

2 2 2 21 1cos ( ) ( )

2 2total cE U E KA t KA sen t

=2 2 21

cos ( ) ( )2

KA t sen t

Como 2 2( ) cos ( ) 1sen t t

21

2totalE KA , o

2 21

2totalE m A

CURVAS DE ENERGÍA POTENCIAL En la simulación (Física con ordenadores en Internet), se interpreta gráficamente las relaciones energéticas mediante la representación de la curva de la energía potencial de una partícula de masa m unida a un muelle

elástico de constante K, 21

2PE Kx . Esta función representa una parábola cuyo vértice está en el origen, que

tiene un mínimo en x=0 cuyo valor es 0PE .

La región donde se puede mover la partícula está determinada por la condición de que la energía cinética ha de ser mayor o igual a cero Ek>=0. En otras palabras, que la energía total sea mayor o igual que la energía potencial

29

E>=Ep. Si la partícula tiene una energía total E, la partícula solamente se podrá mover en la región comprendida entre -A y +A, siendo A la amplitud de su M.A.S.

En la simulación applet se observa cómo cambian los valores de la energía cinética y potencial a medida que se mueve la partícula a lo largo del eje X.

El módulo y el sentido de la fuerza vienen dados por la pendiente de la recta tangente cambiada de signo. Por tanto, la fuerza que actúa sobre la partícula es negativa a la derecha del origen y positiva a la izquierda. En el origen la pendiente es nula, la fuerza es nula, una situación de equilibrio, que por coincidir con un mínimo de la energía potencial es de carácter estable.

Ejemplo 2.4: Un automóvil que tiene una masa de 2500 kg se dirige hacia un muro de ladrillos en una prueba de

seguridad. El parachoques se comporta como un resorte de constante igual a 68 10 /N m y se comprime 5 cm

cuando el auto se lleva al reposo. ¿Cuál fue la velocidad del auto antes del impacto, suponiendo que no se pierde energía durante el impacto con la pared?.

Solución

Por conservación de la energía, toda la energía cinética KE que poseía el automóvil antes de detenerse se

convierte en energía potencial PE del parachoques que se comporta como resorte, por consiguiente,

K PE E

Como: 2 21 1

2 2K PE mv y E Kx

Entonces igualando, se tiene:

2 21 1

2 2

Kmv Kx v x

m

Remplazando valores, se tiene:

628 10 /

(5 10 ) 2.83 /2500

N mv m v m s

kg

2.5 ASOCIACION DE RESORTES

Los resortes dan lugar al movimiento armónico simple, la ley para el resorte es la Ley de Hooke que dice: “La fuerza ejercida por un resorte cuando se deforma (Comprimiéndolo o estirándolo) es proporcional a dicha deformación”. El movimiento en una dimensión en el eje x, se escribe,

F Kx

Donde K es la llamada constante de elasticidad del resorte, cuyo valor depende del material que lo constituye. El signo menos de la ecuación hace que la fuerza sea fuerza de restauración. La segunda ley de Newton nos da la relación entre la fuerza y la aceleración,

F Kx ma

Donde m es la masa de la partícula sujeta al resorte y a su aceleración. Así, la aceleración de una masa en el extremo de un resorte es proporcional a su desplazamiento del punto de equilibrio,

Ka x

m

Como ya vimos anteriormente la ecuación F Kx , realiza un movimiento armónico simple, por lo tato los

resortes originan este tipo de movimiento (si despreciamos la fricción).

30

2.5.1 EN SERIE Un sistema de resortes esta en serie cuando la deformación del resorte equivalente es igual a la suma de las deformaciones de cada resorte.

1 2x x x (1)

1 1 2 2; F=K xF K x

La fuerza F se transmite por igual a ambos resortes

1 2

1 2

; xF F

xK K

Para el sistema equivalente tenemos: F Kx

Remplazando en (1): 1 2 1 2

1 1 1

K

F F F

K K K K K

2.5.2 EN PARALELO

Un sistema de resortes esta en paralelo

cuando ellos tienen la misma deformación

1 2

1 2

Kx=K x + K x

K=K +K

Ejemplo 2.5: Calcular la frecuencia con la que oscilara el carrito de 1 kg de masa, considerando que todos lo

resortes son iguales y de constante 240 /K N m , además la superficie es totalmente lisa.

Solución

Datos. m=1 kg.

K=240 N/m

De la figura K’ es el resultado de dos resortes en paralelo:

' 240 240 480 /K K K N m

' 240 240 480 /K K K N m

Después K” es el resultado de dos resortes en

serie (figura, el lado derecho K’ y K)

31

' 480 240160 / 160 /

' 480 240

K KK N m K N m

K K

Por ultimo K y K están en paralelo:

160 240 400 / 400 /eq eqK K K N m K N m

Por definición la frecuencia es: 1 1 400 10

2 2 1

eqKf Hz

m

2.6 PÉNDULO SIMPLE Y PÉNDULO FÍSICO.

2.6.1 PÉNDULO SIMPLE Un péndulo es un sistema físico ideal constituido por un hilo inextensible y de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual en su extremo inferior que oscila libremente en el vacío.

Algunas aplicaciones del péndulo son la medición de la gravedad, el metrónomo y la plomada. Otra aplicación se conoce como Péndulo de Foucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la Tierra. Se llama así en honor del físico francés Léon Foucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.

Cuando se separa a un lado de la posición de equilibrio y se suelta el péndulo oscila en un plano vertical bajo la influencia de le gravedad.

En el tiempo t, la cuerda forma un ángulo con la vertical y el sistema de fuerzas aplicadas lo constituyen: el peso

propio (mg) , y la tensión (T) de la cuerda. De la figura, el lugar de la masa en el arco de círculo esta expresado por:

S l (1)

Para obtener la velocidad a lo largo del arco del círculo, diferenciamos S con respecto al tiempo (t), como l es constante, tenemos que:

dS dv l

dt dt

(2)

La aceleración tangencial, componente de la aceleración total a lo largo del arco del círculo: 2

2

dv da l

dt dt

(3)

En la figura, la fuerza tangencial esta expresad por:

TF mgsen (4)

Aplicando la segunda ley de Newton y teniendo en cuenta la ecuación (3), se tiene:

T TF ma

2

2

dmgsen ml

dt

2

2

d gsen

dt l

Si el ángulo es pequeño ( <15°) sen

32

2

2

d g

dt l

(5)

Si comparamos esta ecuación con la ecuación diferencial del MAS:

2

2

02

d xx

dt

Por consiguiente: 2

0

g

l para el péndulo simple.

Lo cual nos indica que el movimiento de un péndulo simple, es un Movimiento Armónico Simple para pequeñas oscilaciones. El periodo de oscilación (T) viene dado por:

0

22

lT

g

Así mismo la solución de la ecuación (5) (Ecuación diferencial del periodo simple) será:

0 0 0( ) ,g

sen t conl

(6)

Donde 0 es la amplitud angular del movimiento.

Ejemplo 2.6: La longitud de un péndulo que bate segundos en el ecuador terrestre es 0,9910 m, y la del que bate segundos en el polo es 0,9962 m. ¿Cuánto pesará un cuerpo situado en el ecuador terrestre si en el polo pesa 10 Kg?

Solución Un péndulo que bate segundos es aquél cuyo periodo de oscilación es 2 s. A partir de los datos del problema podemos calcular el valor de g en el ecuador y en el polo:

22

2

4 (0.9910 )9.781 m /

(2 )ecuador

mg s

s

;

22

2

4 (0.9962 )9.832 /

(2 )polo

mg m s

s

Como el peso del cuerpo viene dado por w = mg y el cuerpo dado en el polo, pesa 98,1 N, su masa será:

98.19.978

9.832

polo

polo

wm kg

g

El peso de esta masa situada en el ecuador será: 9.978(9.781) 97.59ecuador ecuadorw mg N

2.6.2 PÉNDULO FÍSICO

Se denomina péndulo físico a un cuerpo rígido capaz de pivotar en torno a un eje horizontal fijo, como se ilustra en la figura. La figura muestra la orientación de equilibrio del péndulo, con el centro de gravedad a una distancia vertical

33

h del eje de rotación. En esta configuración, la componente del torque de la fuerza en torno al eje de rotación es igual a cero.

Sí el péndulo se desplaza de su posición de equilibrio, un como lo ilustra la figura, “aparece” un torque ejercido

por la fuerza de gravedad en la dirección del eje que pasa por punto de suspensión, que tiende a hacer girar el

péndulo en dirección contraria a su desplazamiento angular y de ésta forma llevar al péndulo de nuevo a su

posición de equilibrio (torque recuperador), posición que no logra obtener debido a su inercia.

La ecuación de movimiento que describe ésta situación física es la siguiente:

( )M mgsen h (Sentido positivo, contrario al movimiento de mansillas del reloj)

Siendo h la distancia del eje al centro de gravedad del cuerpo.

Teniendo en cuenta que: M I ………. (*)

Dónde: I = Momento de Inercia del cuerpo con respecto al eje de giro

2

2

d

dt

, aceleración angular

Remplazando en (*)

2

2( )

dmg sen h I

dt

2

2

d ( )

mghsen

dt I

Si el ángulo es pequeño ( 15º ) sen

2 2

2 2

d d ( ) ( ) 0

mgh mgh

dt I dt I

(**)

En donde 2 mgh

o w=I

mghw

I

22

2

d 0w

dt

Análogo a la ecuación del MAS.

El periodo del péndulo físico será:

22

IT

w mgh

NOTA:

Del curso de Física I sabemos que (Teorema de Steiner)

2

cmI I mD

Que nos dice que el momento de inercia I con respecto a un eje paralelo al que pasa por el centro de masa es igual

al momento de inercia del cuerpo con respecto al centro de masa cmI más el producto de la masa m del cuerpo por

el cuadrado de la distancia que separa dichos ejes D. Por tanto, se establece la siguiente formula:

2

2

12 y f

2

cm

cm

I mD mgh

mgh I mD

Ejemplo 2.7: Una varilla delgada y uniforme (Figura) de longitud L=2.00 m y masa M=250 g está sostenida por uno de sus extremos. (a) ¿Cuál es su periodo?, (b) ¿Cuál será longitud de un pendulo simple que tenga el mismo periodo?.

Solución

El momento de inercia de una varilla delgada alrededor de un eje que pase por uno de sus extremos es:

34

21,

2 3

Lh I mL

Donde L es la longitud de la varilla y m es su masa. El centro de gravedad de una varilla uniforme se encuentra a la mitad de su longitud.

(a) Por definición:

21

232 2 23

( )2

mLI L

TLmgh g

mg

, remplazando valores, se tiene:

2

2(2 )2 2.32

3(9.76 / )

mT s

m s

(b) Utilizando ecuación del periodo se tiene: 2

2 L=2

L TT g

g

Entonces, remplazando valores se tiene: 2

22.32 L= (9.76 / ) 1.33

2

sm s m

Ejemplo 2.8: Un péndulo físico en forma de un cuerpo plano efectúa un movimiento armónico simple con una frecuencia de 0.450 Hz. Sí el péndulo tiene una masa de 2.20 kg y el pivote se localiza a 0.350 m del centro de masa, determine el momento de inercia del péndulo.

Solución

Por definición: 2 2

1f

2 4

mgh mghI

I f

Entonces:

2

2 2

(2.20 )(9.76 / )(0.350 )

4 (0.450 / )

kg m s mI

s

2 0.945 I kgm

Nota: Determinación de la gravedad en la UNA-Puno (en el Laboratorio Física), utilizando como péndulo la varilla oscilación, y comparar con el experimento de caída libre de los cuerpos. Utilizar los Sensores, Fotopuerta, y el equipo Discover Freefall System, código: ME-9889.

2.7 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO Y FORZADO

2.7.1 OSCILADOR ARMÓNICO AMORTIGUADO

Dejado libremente así mismo, un muelle o péndulo finalmente deja de oscilar, pues la energía mecánica se disipa por fuerzas de rozamiento. Tal movimiento se denomina amortiguado.

35

La fuerza neta ejercida sobre un oscilador amortiguado, tal como se indica en la figura, la masa esta sometida a la fuerza recuperada del resorte y otra fuerza de rozamiento debido al liquido que la rodea.

yF ky bv o y

dyF ky b

dt

Donde K e constante elasticidad, b es constante empírica.

De la segunda ley de Newton y yF ma

2

2

d y dym ky b

dt dt

La ecuación diferencial que describe las oscilaciones amortiguadas es 2

20

d y b dy ky

dt m dt m Ec. Dif. De un oscilador armónico

22

022 0, (*)

2

d y dy by donde

dt dt m

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden y homogénea. Tiene tres tipos de soluciones

según el valor de kmb 42 :

Si 042 kmb ó 0( ) , el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o

subcrítico)

Si 042 kmb ó 0( ) el sistema tiene amortiguamiento crítico.

Si 042 kmb ó 0( ) el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)

1. OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO DÉBIL

Cuando kmb 42 ó 0( ) , en este nivel no es fácil de resolver este tipo de ecuaciones, por lo tanto,

asumiendo las soluciones siguientes como ciertas,

0( ) ( )amort amorty t A Sen w t

0( ) ( )amort amorty t A Cos w t

Donde,

22 2

0 24amort

K bw

m m

0

t

amortA A e

La ecuación amortw indica que el efecto del amortiguamiento es disminuir la frecuencia de las oscilaciones:

Debido al exponente negativo, la amplitud amortA decrece a medida que el tiempo aumenta, resultante un

moviendo amortiguado (Figura anterior).

36

2. OSCILADOR CON AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

kmb 42

La solución única es:

tm

bt

m

b

eAeAy 22

21

Como antes, 1A y

2A son constantes que dependen de las condiciones iniciales.

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio sin sobrepasar esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente de la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición (oscila en torno a ese punto, tomando valores positivos y negativos).

3. OSCILADOR SOBRE AMORTIGUADO

Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado. En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

1 2

1 2

t ty Ae A e

Donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación): 2

1

4

2

b b km

m

, y

2

2

4

2

b b km

m

También de ecuación (*) es igual a:

2 2

1 0 , y 2 2

2 0

Las dos soluciones son las mismas.

Dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de

las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña 11/ y corresponde a la rápida

cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda 21/ es más grande y describe la lenta tendencia

hacia la posición de equilibrio.

4. VELOCIDAD Y ACELERACIÓN La velocidad viene dada por la primera derivada con respecto del tiempo de la ecuación:

0 0( ) ( )t

amorty t A e Sen w t

0 0( )t

amort

dv A e Sen w t

dt

0 0 0( ) ( )t

amort amort amortv A e w Cos w t Sen w t

O también:

2

2

0

t

amortv y A e y

La aceleración viene dado por:

37

2

2

d x dva

dt dt

0 0 0( ) ( )t

amort amort amort

da A e w Cos w t Sen w t

dt

2 2

0 0 02 ( ) ( ) ( )t

amort amort amort amorta A e w Cos w t w Sen w t

O también:

2

2 2 2

0( ) 2 t

amort amorta w y w A e y

Ejemplo 2.9: Una masa en un resorte con frecuencia angular natural 0 38 /w rad s , se coloca en un

ambiente en el cual hay una fuerza de amortiguamiento proporcional a la velocidad de la masa. Si la amplitud se reduce a 0.82 veces su valor inicial en 9.9s. ¿cuál es la frecuencia angular del movimiento amortiguado?

Solución

Como dato: 00.82 , 9.9amortA A y t s

Entonces de la ecuación: 9.9

0 0 00.82t s

amortA A e A A e

1ln(0.82) 0.02

9.9

rad

s s

Ahora usando la ecuación: 2 2

0amortw

2 2

38 0.02amort

rad radw

s s

37.999995 /amortw rad s

2.7.2 OSCILACIONES FORZADAS

Este movimiento se produce, cuando además de la fuerza elástica del resorte y la fuerza de amortiguamiento de

líquido, se aplica una fuerza oscilatoria externa con diferente frecuencia f .

Entonces: 0 cosy f

dyF ky b F t

dt

De la segunda ley de newton y yF ma

2

0

2

d y cos( )

dtf

Fb dy ky t

m dt m m (**)

Un proceso de solución nos lleva a una solución complementaria (o solución homogénea) 2

20

d y b dy ky

dt m dt m

1 0 1 0coscy Asen t B t

Y una solución particular: 2

0

2cos f

Fd y b dy ky t

dt m dt m m

2 2 cosp f fy A sen t B t

Y la solución general:

( )c p fy y y Asen t

Donde: 0

1/ 22 2 2 2 2

0

( / )

( ) 4f f

F mA

38

2 2

0 tan

2

f

f

y

La amplitud y la fase expresadas pueden expresarse también en la siguiente forma:

0

2

2

f

f

f

F

A

km b

,

f

f

km

tagb

Se observa: Solución oscilatoria armónica con el mismo periodo de la fuerza

La amplitud presenta un máximo cuando: 2 2

0 2f (*)

Que obtenemos al hacer mínimo el denominador de la ecuación. Cuando se verifica la ecuación (*) se produce resonancia en amplitud. Cuando el amortiguamiento es pequeño g cercano a cero La resonancia se da cuando la frecuencia de la

fuerza coincide con la frecuencia natural w0 y, en este caso, la amplitud tiende a infinito.

39

Amplitud y fase de la velocidad. Se acaba de ver que para un oscilador forzado por una fuerza:

)cos(0 tFF f

La posición viene dada por la expresión:

( )fy Asen t

Y la velocidad

cos( )f f

dyv A t

dt

Tiene un retraso de fase a respecto a la fuerza.

La amplitud de la velocidad fA viene dada por:

0

22/

f

f f

FA

m k b

Esta amplitud es máxima cuando el denominador sea mínimo, y esto sucede cuando

/f fm k

0/f k m

Es decir cuando la frecuencia de la fuerza coincide con la del oscilador no amortiguado.

Resonancia en la energía.

Cuando0/f k m la amplitud de la velocidad es máxima y con ello la energía cinética del oscilador. Por

ello se dice que hay resonancia en la energía

En este la diferencia de fase entre la velocidad y la fuerza aplicada es:

2

0 0 0/ /

0f fm k m m

tagb b

Es decir la fuerza está en fase con la velocidad.

Impedancia de un oscilador

La amplitud de la velocidad viene dada por:

00

2 2( / )f

f f

FV A

m k b

El denominador de dicha expresión recibe el nombre de impedancia Z. La impedancia es el cociente entre las amplitudes de la fuerza aplicada y de la velocidad.

0 0max

0

,F F

V ZZ V

Reactancia y resistencia de un oscilador. (Diagrama de impedancia)

Resistencia R= l

Reactancia /f fX m k

40

/f fm kXtag

R b

Como puede observarse el ángulo a del diagrama es el mismo que el de desfase entre la fuerza y la velocidad.

Cuando hay resonancia en la energía 0 , 0f , la reactancia es cero / 0f fm k y la

impedancia es igual a la resistencia.

Potencia transmitida por la fuerza al oscilador. La potencia instantánea viene dada por la expresión:

dW F.drP= = =F.v=Fv

dt dt

(La fuerza y la velocidad llevan la misma dirección)

En la resonancia la fuerza y la velocidad están en fase y, como veremos más adelante la potencia transmitida por la fuerza al oscilador es máxima.

Potencia media transmitida.

0 0 ( )f fP Fv F v Cosw tCos w t

220 ( )f f f

FP Cos w tCos Cosw tSenw tSen

z

La potencia media en un periodo se define como: T

0

1P = Pdt

T

En nuestro caso 2

T T20

f f f0 0

F1P = Cosα Cos w tdt+Senα Cosw tSenw tdt

T Z

teniendo en cuenta que T

2

f0

1 1Cos w tdt=

T 2

T

f f0

1Cosw tSenw tdt=0

T

queda para la potencia media en un periodo 2

cos2

oFP

Z

En la resonancia 0 , ( 0v es máxima) la potencia media transmitida al oscilador es máxima:

2 2

2 2

o oF FP

Z R

Ancho de banda. Factor de calidad.

La potencia transmitida al oscilador varía con la frecuencia de la fuerza aplicada. En la resonancia, la potencia transmitida es máxima. Se puede comprobar fácilmente que la relación que hay entre la potencia media y la potencia media en la resonancia es:

2 2

22( ) /

med

med res f f

P R b

P Z m k

Una representación gráfica de esta es de la siguiente forma.

41

Cuanto más aguda sea esa curva más definida será la resonancia.

La agudeza de esa curva nos la da el ancho de banda 2 1 2 (diferencia de frecuencias para las cuales la

potencia media es la mitad de la potencia en la resonancia), que está relacionado con el factor de calidad Q ,

0 0 0

2 12

mQ

b

Cuanto mayor sea el factor de calidad, más aguda será la curva de resonancia.

Ejemplo 2.10: El peso unido a un resorte vertical esta forzado a vibrar de acuerdo a la ecuación 2

216 12

d xx sen t

dt , donde x es el desplazamiento de la posición de equilibrio y 0 es una constante, si

para 0, 0 0dx

t x ydt

, hallar: a) x como función del tiempo t , b) el periodo de la fuerza externa para la cual

resonancia ocurre.

Solución

b) Utilizando el método de la solución complementaria y otro particular tenemos: Solución complementaria:

0 0coscx A t Bsen t (1)

.La ecuación del movimiento amortiguado forzado es: 2

2 002

cos f

Fd x b dxx t

dt m dt m (2)

Para solución complementaria hacemos ec. (2) igual a cero. 2

2

020

d x b dxx

dt m dt , comparamos en la ecuación dada igualando también a cero

2

216 0

d xx

dt

2

0 00, 16 4 /b rad s , remplazando en la ecuación (1) se obtiene:

cos4 4cx A t Bsen t (3)

Solución particular:

cospx Csen t D t (4)

Y tenemos que hallar las constantes C y D , para lo cual derivamos dos veces:

cospdx

C t D sen tdt

2

2 2

2cos

pd xC sen t D t

dt

42

Entonces remplazando en la ecuación dada 2

216 12

d xx sen t

dt , se tiene:

2 2 cos 16 16 cos 12C sen t D t Csen t D t sen t 2 2( 16 ) ( 16 )cos 12C C sen t D D t sen t

2 2 2

2 2

16 12 (16 ) 12 12 /(16 )

16 0 (16 ) 0 0

C C C C

D D D D

Luego remplazando en la ecuación (4): 2

12

16px sen t

(5)

Entonces la solución general es:

2

12cos 4 4

16c px x x A t Bsen t sen t

(6)

Falta conocer las constantes A y B, se determina usando condiciones iniciales, dadas

0, 0 0dx

t x ydt

:

Condición inicial 0 0t x en ec. (6), se tiene:

2

120 cos0º 0º 0º 0

16A Bsen sen A

Velocidad 2

124 4 4 cos cos

16

dxAsen t B t t

dt

(7)

Remplazando condición inicia 0, 0dx

tdt

2

120 4 0º 4 cos0º cos0º

16Asen B

2

3

16B

Por consiguiente: 2 2

3 124

16 16x sen t sen t

(solución general).

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Bajo la acción de una masa de 2000 gramos, un resorte se alarga 10 cm. ¿cuál es la frecuencia de oscilación de este resorte con esta masa?

Solución

Datos: 2 , 10 0.1 , ?m kg x cm m f

Por ley de Hooke: 22 (10 / ) (0.1 )F Kx mg Kx kg m s K m

200 /K N m

22 2

200 5

mT T s

K

1 5 f f Hz

T

2. Un oscilador armónico de 20 cm de amplitud, tiene una velocidad de 4 m/s cuando pasa por su posición de de equilibrio ¿Cuál es el periodo y la aceleración máxima?

Solución

Datos: A 20 cm=0.2 m, v=4m/s x=0

Por definición, posición de equilibrio: maxx 0 4 /la velocidad es máxima o sea v m s

43

Pero: max 4 / (0.2 ) 20 /v wA m s w m w rad s

2 2

20 / 10T T s

w rad s

2 2 2(20 / ) (0.2 ) 80 /máx máxa w A rad s m a m s

3. Un sistema oscila armónicamente con una frecuencia de 10 Hz y una amplitud de 4 m. Determinar la ecuación del movimiento con respecto a su posición en cualquier instante “t” segundos. Considerar una constante de fase de 30º.

Solución

Datos: 10 , 4 , 30º6

f Hz A m

Por definición de oscilación armónica: x ( ) Asen wt cm

Como. 2 2 (10 ) 20 /w f w Hz w rad s

x 4 (20 ) 6

Cos t m

4. Sea el movimiento 4cos10y t encontrándose las distancias en cm y los tiempos en s. hallar: elongación

para / 20 s , tiempo mínimo para x=0, y la aceleración máxima.

Solución

Del problema: 4cos10 4cos10( ) 020

y t y cm

De la ecuación dada: 10 , 4w Hz A cm 2(10 / ) (4 ) 400 /máx máxa rad s cm a cm s

5. Se aplica una fuerza 20F x sobre un cuerpo de 3 kg de masa, donde x es la posición en metros y F se

mide en newton. Calcular el periodo del movimiento resultante.

Solución

Por definición: F Kx

Comparando por condición del problema dado: 12 12 /F x K m

Como: 12 2 2

2 / 3 2 /

Kw rad s T

m w rad s

.T s

6. En el oscilador horizontal sin fricción de la figura, hallar la amplitud máxima para que la masa superior no resbale. El coeficiente de fricción entre “m” y “M” es μ.

Para hallar la amplitud máxima, se halla la máxima aceleración:

( )DF m M a (1)

DF Kx (2)

Igualando (1) y (2), se tiene:

( )( )

m M aKx m M a x

K

(3)

Del D.C.L:

, ( ) f ma como f N mg ma a g

( ) (3) :

m M gen x

K

Finalmente hallando periodo de oscilación: 3 3

2 2 4E

m m mT T

K K K

44

7. La escala de una balanza de resorte que registra de 0 a 200 N, tiene una longitud de 10 cm. Un bloque suspendido de dicha balanza oscila verticalmente dando 120 vibraciones por minuto. Calcular la masa del

bloque (considerar 2 10 ).

Solución

Datos: x=10 cm, 1min

120 120 2min min 60 2

rev rev revf

s

Por Def: F Kx

200 (10 ) 20 / 2000 /N K cm K N cm N m

Calculando periodo de oscilación: 1

2T s

Por Def:

2

2

2

12000 / )

22 12.5

4 4(10)

s N mm T K

T m m m kgK

8. Determinar la ecuación de la aceleración para una masa de 10 kg que se encuentra atada a un resorte de K=3 N/m realizando un MAS; se sabe que el valor máximo de la fuerza que actúa sobre ella es de 16 N y partió

con una velocidad ( 0) 1 /v t i m s .

Solución

Datos: 10 , 3 / , 16 , ( 0) 1 /m kg k N m F N v t i m s

Para el MAS: 0( )x ACos wt

2

0( )a w ACos wt

3 /0.547 /

10

K N mw w rad s

m kg

16 3 5.33 .máxF KA N A A m

Determinando: 0 ? , 0( )v wASen wt ,

Remplazando: 0 1, t v en dirección i ,

se tiene:

01 (0.547)(5.33) ( ), 0Sen wt t

0 0 0 0.343 ( ) ( ) 20º9 9

Sen Sen

21.59 (0.547 ) /9

a Cos t m s

9. Un cuerpo de masa 0.5 kg fijado a un resorte de constante de elasticidad 2 N/m oscila con una energía de 0.25 Julios. ¿Con que velocidad pasa por un punto situado a 0.3 m del punto de equilibrio?.

Solución Datos: m=0.5 kg, K=2 N/m, E=0.25 J, x=0.3 m, V=?

Calculando: 2 /

2 /0.5

K N mw w rad s

m kg

Por definición: 2 21 1

0.25 (2 / ) 0.5 2 2

E KA J N m A A m

Como: 2 2 0.8 /v w A x v m s

45

10. Un reloj pendular tiene un período de 2 segundos en un lugar donde g = 10 m/s2 . Si se lleva dicho péndulo a un planeta “x”, su nuevo período es de 4 segundos. ¿Cuánto vale la aceleración de la gravedad en ese planeta?

Solución

Datos: 22 10 / , : 4 ?T s g m s planeta x T s g

Según la formula de péndulo simple: 2L

Tg

En la Tierra: 2 2T

L

g (1)

En el Planeta x: 4 2P

L

g (2)

Comparando (1) y (2): 210 /

2 4 4 4

T T TP P

P P

g g g m sg g

g g 22.5 /Pg m s

11. Una masa M está unida al extremo de una barra uniforme de masa M y longitud L que puede girar en su parte superior (figura). Calcule el periodo de oscilación para desplazamientos pequeños desde la posición de equilibrio, y determine este periodo para L=2 m.

Solución

Para desplazamientos pequeños: Sen

Por definición: 2

0 0 2

dM I

dt

22 2

2

1

2 3

L dMg Sen MgLSen ML ML

dt

2 2

2

4 30

3 2

ML dMgL

dt

2

2

90

8

d g

dt L

, comparando con ecuación diferencial del MAS, se tiene:

8 4 22

9 3

L LT

g g

46

TERCERA UNIDAD DIDÁCTICA

MOVIMIENTO ONDULATORIO

3.1 ONDAS MECANICAS

Se denomina onda a toda perturbación que se origina en un estado de equilibrio y que se mueve o propaga con el tiempo de una región del espacio a otra.

Una onda mecánica es aquella perturbación en los medios elásticos o deformables. Es transportadora de energía; pero es incapaz de desplazar una masa en forma continua, toda onda al propagarse da lugar a vibraciones.

Es importante notar que el medio mismo no se mueve en conjunto en la dirección en que avanza el movimiento ondulatorio. Las diversas partes del medio oscilan únicamente en trayectorias limitadas.

Por ejemplo la superficie de un líquido en equilibrio es plana y horizontal. Supongamos que arrojamos un objeto a un estanque. Cuando el objeto entra en contacto con la superficie del agua se produce una perturbación de su estado físico. Una perturbación de la superficie produce un desplazamiento de todas las moléculas situadas inmediatamente debajo de la superficie. Teniendo en cuenta las fuerzas que actúan sobre los elementos de fluido: peso del fluido situado por encima del nivel de equilibrio y la tensión superficial, se llega a una ecuación diferencial, a partir de la cual se puede calcular la velocidad de propagación de las ondas en la superficie de un fluido. El análisis de esta situación es complicado, pero veremos con detalle una más simple la propagación de las ondas transversales en una cuerda.

Las ondas electromagnéticas no necesitan un medio para propagarse, ya que la perturbación que se mueve es campo electromagnético. El gran volumen de información que se ha acumulado sobre las ondas electromagnéticas (cómo se producen, propagan, y absorben) ha posibilitado el mundo de las comunicaciones que conocemos hoy en día.

3.1.1 CLASIFICACION DE LAS ONDAS

a) Las ondas se pueden clasificar, según el medio en que se desplazan en mecánicas y electromagnéticas:

Ondas mecánicas: las ondas mecánicas necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

Ondas electromagnéticas: las ondas electromagnéticas se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad de 300000 Km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.

Ondas gravitacionales: las ondas gravitacionales son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

b) De acuerdo a la relación de la dirección de la propagación y de la perturbación:

1) ONDAS TRANSVERSALES Si el movimiento de las partículas del medio oscila perpendicularmente a la dirección de propagación. Por Ejemplo las ondas en el agua, o en otros líquidos (debido a las fuerzas de la tensión superficial), las partículas oscilan verticalmente mientras que la onda se propaga en un plano horizontal.

47

También, si hacemos oscilar el extremo libre de una cuerda tensa, la onda avanza a lo largo de la cuerda, pero las moléculas de la cuerda vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda; lo mismo sucede si golpeamos transversalmente una barra de acero, en uno de sus extremos.

2) ONDAS LONGITUDINALES Si el movimiento de las partículas del medio oscilan paralelamente a la dirección de propagación.

Las ondas sonoras, son longitudinales porque al emitir un sonido las moléculas del aire se mueven hacia adelante y hacia atrás en la misma dirección de las ondas, produciendo regiones alternas de compresión y enrarecimiento.

3) ONDAS TORSIONALES

Producidos por un par o momento de torsión, no son paralelas o perpendiculares al eje de la barra, si no a rotaciones alrededor del eje de la barra.

Simulador de ondas Se dispone de un dispositivo que está compuesto por un alambre vertical en el cual se encuentran adheridas varillas horizontales. Por medio de la torsión del alambre central se puede simular una onda. Este dispositivo es útil para ilustrar y explicar el concepto de onda mecánica.

4) ONDAS CIRCULARES Cuando la perturbación se produce en un punto de la superficie y esto se propaga en todas las direcciones con la misma velocidad.

Ondas circulares y oscilación en el agua

Se coloca un pequeño trozo de corcho en una cubeta con agua. En dicha cubeta se producen ondas circulares al dejar caer gotas de agua. Se puede observar que el pedacito de corcho oscila en la misma posición y no se desplaza radialmente con la propagación de la onda.

48

c) De acuerdo con el número de dimensiones en que se propagan :

1. ONDAS UNIDIMENSIONALES

Las ondas unidimensionales son aquellas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.

2. ONDAS BIDIMENSIONALES O SUPERFICIALES

Son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.

3. ONDAS TRIDIMENSIONALES O ESFÉRICAS Son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas

Nota: Ondas atmosféricas, que son las causantes de los cambios del tiempo y el clima. Entre estas ondas tenemos las ondas Rossby y las ondas Kelvin.

d) De acuerdo con el comportamiento de una partícula de la materia.

1) PULSO O UNA SOLA ONDA Se produce un pulso cuando el extremo de una cuerda tensa le damos un solo movimiento transversal rápido, las partículas de la cuerda se mueven solo cuando el pulso llega a ellas y regresan al reposo.

2) TREN DE ONDAS Si movemos varias veces con movimiento armónico simple el extremo de la cuerda, se obtiene el tren de ondas llamado: onda armónica simple a la que denominamos simplemente onda.

e) En función de su periodicidad

1) ONDAS PERIÓDICAS La perturbación local que las origina se produce en ciclos repetitivos por ejemplo una onda senoidal.

2) ONDAS NO PERIÓDICAS La perturbación que las origina se da aisladamente o, en el caso de que se repita, las perturbaciones

sucesivas tienen características diferentes. Las ondas aisladas se denominan también pulsos.

3.1.2 ELEMENTOS DE UNA ONDA

1) Crestas.- Son los puntos más altos de la onda. 2) Valles.- Son los puntos más bajos de la onda.

3) Longitudes de onda ( ).- Es la distancia entre dos crestas o dos valles consecutivos.

4) Amplitud (A).- Es la altura de una cresta en relación al nivel de equilibrio. También es la profundidad de un valle.

49

5) Periodo (T).- Es el tiempo que emplea la onda en propagarse una longitud de onda. Se mide en segundos.

6) Frecuencia (f).- Es el número de longitudes de onda (número de ondas) que pasan por un punto en un

segundo. Se mide en Hertz. 1/f T 1f s Hz

3.2 ONDAS VIAJERAS

Consideremos una función =f(x), que represente una curva arbitraria:

Si reemplazamos x por x-a, obtenemos la función =f(x-a). La forma de la curva no cambiado, los mismos valores

de se obtienen para x aumentados en a. En otras palabras, la curva se ha desplazado hacia la derecha una

distancia “a”.

Del mismo modo =f(x+a) corresponde a un desplazamiento de la función hacia la izquierda, en la cantidad a.

Sí “a” remplazamos por a=vt, donde v es la velocidad y t es el tiempo, obtenemos una curva “viajera” esto es:

( )f x vt

Representa una curva que se mueve hacia derecha con velocidad v, llamada “velocidad de fase”. Del mismo modo,

( )f x a

Representa una curva que se mueve hacia la izquierda con velocidad v.

La expresión matemática de la propagación es de la forma:

( , ) ( )x t f x vt

Esta ecuación se llama “movimiento ondulatorio”

Ejemplo 3.1: Un pulso se mueve hacia la derecha a lo largo del eje x, se representa por medio de la función de onda

2

1( , )

( 2 ) 1x t

x t

Donde , x , se mide en centímetros, y t en segundos. Graficar la función de onda en t=0, t=1,t=2 segundos.

Solución

50

Esta función tiene la forma ( , ) ( )x t f x vt , luego la velocidad de la onda es 2 cm/s.

En t=0 seg. 2

1( ,0)

1x

x

X 0 1 2 3 4 5 1 0.5 0.2 0.1 0.06 0.04

En t=1seg. 2

1( ,1)

( 2) 1x

x

X 0 1 -1 2 -2 3 -3 0.2 0.5 0.1 1 0.06 0.5 0.04

En t=2 SEg. 2

1( ,2)

( 4) 1x

x

X 0 1 -1 2 -2 3 -3 0.06 0.1 0.04 0.2 0.03 0.5 0.02

Gráfica:

3.3 MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO

Como se ha descrito en la sección anterior, =f(x-vt) describe la propagación de una perturbación representada

por la función f(x), sin distorsión, a la largo del eje X, hacia la derecha, con velocidad v.

Estudiamos un caso particular importante, aquél en el que la función f (x) es una función armónica (seno o coseno);

sin embargo no podemos usar la forma sencilla ( )sen x vt , porque el argumento de un seno debe ser

adimensional, para hacerlo adimensional, multiplicamos x vt por el número de onda k, así:

0 0( , ) [ ( )] ( )x t sen k x vt sen kx kvt , representa una onda armónica viajera.

Ha ( , )x t hallado su segunda derivada con respecto al tiempo t, se tiene:

22 2

02( )k v sen kx kvt

t

(A)

Ha ( , )x t hallado su segunda derivada con respecto al desplazamiento x, se tiene:

22

02( )k sen kx kvt

x

(B)

Remplazando (B) en (A) se tiene: 2 2

2

2 2v

t x

O

2 2

2 2 2

1

x v t

Llamado Ecuación Diferencial del Movimiento Ondulatorio.

Las soluciones generales de esta ecuación tiene la forma:

1 2( , ) ( ) ( )x t f x vt f x vt .

51

La ecuación 0( , ) ( ), cuando t=0, grafiquemosx t sen kx kvt :

0 ( , ) ( )x t sen kx

Las características de esta función de dos variables, son las siguientes:

1. La función seno es periódica y se repite cuando el argumento se incrementa en 2 . La función ( , )x t se

repite cuando x se incrementa en 2

k

.

22k x vt kx vt

k

Se trata de una función periódica de periodo espacial o longitud de onda 2

k

. La magnitud k se

denomina número de onda. 2. Cuando se propaga un movimiento ondulatorio armónico, un punto x del medio describe un Movimiento

Armónico Simple de amplitud 0 y frecuencia angular w kv .

0( , ) ( )x t sen kx wt

El periodo de la oscilación en cada punto viene dado por 2

Tw

, y la frecuencia por

1f

T .

3. La igualdad w kv , nos permite relacionar el periodo espacial o longitud de onda y el

periodo de la oscilación T de un punto del medio. 2 2

w kv v vTT

v f .

De los anteriores resultados ( , )x t podemos expresar de la siguiente forma:

0( , ) ( )x t senk x vt , 0( , ) 2 ( )x t

x t senT

, 0( , ) 2 ( )x

x t sen ft

0( , ) ( )x t sen kx wt , 0( , ) 2 ( )x

x t sen f tv

Ejemplo 3.2:

Dada la ecuación: ( , ) 2 2 (0.1 5 )x t sen x t , donde x esta en cm y t en segundos, determinar: a) amplitud, b)

frecuencia, c) longitud de onda, d) el número de onda, e) el periodo, f) la frecuencia angular, g) velocidad de propagación y su dirección.

Solución

Tenemos la ecuación 0( , ) 2 ( )x

x t sen ft

Ecuación dada en el problema 1

( , ) 2 2 ( 5 )10

x t sen x t

Comparando las dos ecuaciones tenemos: a) La amplitud: A = 2 cm

b) La frecuencia: 5 f Hz

c) Longitud de onda: 10 cm

52

d) El número de onda: 2

k

,

2 2 /

10 5k rad cm

e) El periodo: 1 1

5

T T sf

f) La frecuencia angular: 2

10 /rad sT

g) Velocidad de propagación: (10 )(5 ) 50 /v f v cm Hz cm s , dirección positiva en el

eje x..

3.4 ONDAS TRANSVERSALES

Consideremos una cuerda cuya tensión es T. En el equilibrio, la cuerda está en línea recta. Suponiendo que un pulso en forma de arco se desplaza sobre la cuerda, con una velocidad v

Consideremos un pequeño segmento de la cuerda de longitud S , que forma un arco de radio R (figura) y de

ángulo , la fuerza resultante sobre el elemento de la cuerda será:

2 ( )2

RF Tsen

Pero ( )2 2

sen

por ser muy pequeño

2 ( ) , ( )2

S SF T T donde F T

R R

(3)

Esta fuerza F es la fuerza centrípeta actuando sobre el elemento de cuerda; luego: 2

c

vF ma m

R (4)

Igualando (3) y (4): 2

2 T S mv

T S mvR R

Considerando 2 2 2 ( ) ,

T m TS L un pulso TL mv v si v

m L

L

T

v

T es la tensión de la cuerda en N es la densidad lineal en kg/m

Entonces: 2 2 2 2

2

2 2 2 2( ) T

vt x t x

Ejemplo 3.3: Una cuerda de 6m de longitud y 600 gramos de masa, tiene un extremo fijo y el otro pasa por una polea de la cual pende un bloque de 4 Kg. De masa (figura). a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales que se producen en ella? b) ¿Qué tiempo emplea un pulso en recorrer la cuerda en su tramo horizontal?

53

c) ¿Cuál es la longitud de onda, de una onda de periodo 0.2 seg. que recorre la cuerda? Solución

a) D.C.L. del bloque

2

0

(4 )(10 / ) 40

F T mg

T Kg m s N

0.6 0.1 /

6

m KgKg m

L m

T

v

. 40

20 /0.1 /

Nv m s

kg m

3.5 ONDAS ESTACIONARIAS

Se empleó un vibrador que producía un tren de ondas senoidales a una cuerda de longitud L, en donde

estas se reflejaban en el extremo opuesto produciendo ondas estacionarias siempre y cuando la tensión, la

frecuencia y la longitud de la cuerda tuvieran valores apropiados.

Para lo cual en el extremo derecho se ponen pesas.

Los modos de vibración de la cuerda va depender cuanta pesa colocamos en la parte derecha, la velocidad de propagación de las ondas calculamos utilizando la fórmula:

Tv

, donde T es la tensión de la cuerda y la densidad lineal de la cuerda.

Una vez establecida la velocidad de propagación, o la tensión de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda.

Una vez que encontramos la frecuencia del

primer modo de vibración, se pueden buscar

rápidamente los restantes: la frecuencia del

segundo modo es el doble que la del modo

fundamental, la frecuencia del tercer modo es

triple, y así sucesivamente...

f1 modo fundamental

f n=nf1 armónicos n=2, 3, 4....

Antes de realizar esta "experiencia" se sugiere volver sobre los modos de vibración de un sistema de partículas unidas por muelles elásticos.

54

3.6 EXPLICACIÓN DE LAS ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA

En este apartado obtenemos la fórmula que nos da las frecuencias de los modos de vibración de una cuerda de longitud L, fija en sus extremos. Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos movimientos ondulatorios armónicos de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha

( )i Asen kx wt )

y otra que se propaga de derecha a izquierda.

( )j Asen kx wt )

La onda estacionaria resultante es:

i j 2A·sen(kx)·cos(w t).

Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y una amplitud 2A·sen(kx).

Se denominan nodos a los puntos x que tienen una amplitud mínima, 2A·sen(kx)=0, por lo que kx n con n=1,

2, 3, .... o bien, / 2x , , 3 / 2 , ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda,

/ 2 .

Considérese ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos.

El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda

/ 2L

Para el segundo modo de vibración, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L .

Para el tercer modo, 3 / 2L , y así sucesivamente.

En consecuencia, las longitudes de onda de los diferentes modos de vibración se puede expresar como

Para hallar las frecuencias empleamos la relación vT , o bien /v f .

En la experiencia simulada que se ha realizado anteriormente, la cuerda tiene una unidad de longitud, las frecuencias de los distintos modos de vibración son por tanto, v/2, v, 3v/2, 2v, Siendo v la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda.

Ejemplo 3.4: Una cuerda de 4m de longitud y 0.8 Kg de masa, vibra con una frecuencia de 20 Hz. Si la distancia entre los nodos es 25 cm. ¿Cuál es la tensión de la cuerda?

Solución

Sabemos que: / 2

/ 2 =25 2 25 50 0.50cm m 1.50 (20 ) 10 m/sv f m s

55

Pero: m 0.8 Kg

, donde: = = =0.2 Kg/m L 4 m

Tv

Despejando la tensión T, tenemos: 2T v =

210 0.2 =20 N.

3.7 ONDAS LONGITUDINALES EN UNA BARRA ELÁSTICA

Si provocamos una perturbación golpeando el extremo de una barra elástica con un martillo, la perturbación se propaga a lo largo de la barra.

La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en una barra elástica en términos de las propiedades mecánicas (módulo de elasticidad y densidad del material del que está hecha la barra).

A medida que se propaga la perturbación los elementos de la barra se deforman (se alargan y se contraen) y se desplazan

F

Esfuerzo o fatigaS

, FF

SS

En el anterior capitulo se vio el módulo de elasticidad de un material.

Existe una relación de proporcionalidad entre el esfuerzo (fuerza por unidad de área) y deformación unitaria (deformación por unidad de longitud).

0

L FE

L S

o

0

L FY

L S

, siendo: , S=AE Y (área transversal)

Donde E es una constante característica del material que forma el objeto y que se denomina modulo de Young o módulo de elasticidad, al módulo de elasticidad también se los suele designar con la letra Y.

Módulo de Elasticidad = esfuerzo necesario para producir una deformación unitaria,

esfuerzoE

deformacion unitaria

Consideremos un elemento de la barra de sección S en la posición x, que tiene una anchura 0L dx . A

causa de la perturbación el elemento se traslada , y se deforma d , de modo que la nueva anchura del

elemento es L dx d .

Podemos calcular la fuerza necesaria para producir esta deformación viene dado por:

56

A efectos de notación (derivada parcial) recuérdese que el desplazamiento , es una función de dos variables x

(posición) y t (tiempo).

Desplazamiento del elemento

La parte izquierda de la barra ejerce una fuerza F sobre la el elemento, la parte derecha de la barra ejerce una fuerza F’ sobre dicho elemento

2

'

2F F dF SY dx

x

La segunda ley de Newton afirma que la fuerza sobre el elemento es igual al producto de la masa (densidad por volumen) por la aceleración (derivada segunda del desplazamiento)

2

2: , dF= Sdx

dmComo dm Sdx

dV t

Igualando ambas expresiones obtenemos la ecuación diferencial de un movimiento ondulatorio 2 2

2 2

Y

t x

La fórmula de la velocidad de propagación es:

Yv

Y es el módulo de la elasticidad del material o módulo de Young (expresado en N/m2) es la densidad (expresada en kg/m3).

Material v. de las ondas longitudinales (m/s)

Material v. de las ondas longitudinales (m/s)

Acero al carbono 5941 Hielo 3280

Aluminio 6420 Hierro 5170

Cinc 3810 Latón 3490

Cobre 3710 Plomo 2640

Corcho 500 Vidrio de cuarzo 5370

Estaño 2730 Granito 6000

Ejemplo 3.5: Un alambre de acero que tiene una longitud de 2m y un radio de 0.5 mm cuelga del techo. Si un cuerpo de 100 kg de masa se suspende del extremo libre, hallar la elongación del alambre y la velocidad de las ondas longitudinales que se propagan a lo largo del alambre.

Solución La fuerza que actúa sobre el alambre es el peso, el cual es F=mg

2100 (9.76 / ) 976 F kg m s N

El módulo de Young para el acero es 11 22 10 /Y N m

.11 2 3 2

0

976 2 10 / (0.5 10 ) L

LF YA N N m m

L

3 3

0

6.21 10 (2 )(6.21 10 )L

LL m

L

57

1.24 L cm

La velocidad de la onda longitudinal: 11 2

3 3

2 10 // 5096 /

7.7 10 /

N mv Y v m s

kg m

3.8 ONDAS TRANSVERSALES EN UNA BARRA

El proceso es análogo al de las ondas longitudinales en una barra.

Si en algún momento se hace vibrar la barra golpeándola transversalmente, en este caso se deforma la barra tomando la forma de la línea curva continua, donde se puede suponer que las deformaciones de la misma son en forma vertical mas no en forma horizontal.

Si tomamos , como el desplazamiento transversal de una pequeña sección dx en un instante de tiempo, este desplazamiento es una función de la posición por cuanto cada uno de los puntos de la barra sufre un desplazamiento diferente, en este caso la deformación unitaria es transversal y por tal motivo recibe el nombre de

deformación unitaria transversal, d

dx

, y la ley de Hooke en este caso es:

c

dM M

dx

Donde c , es el esfuerzo cortante y M es el módulo de torsión del material, la fuerza es entonces:

dF AM AM

dx

Donde A es el área transversal de la barra, la ecuación del movimiento de la barra de acuerdo con la segunda ley de Newton es:

2'

2

FF F dF dx dm

x t

Donde , en :dm Adx remplazando la ecuación anterior se tiene

2

Fdx Adx

x t

Remplazando la expresión de la fuerza en la ecuación

2

2

F dAM AM

x x dx x

, y esta última

remplazando en la ecuación anterior se tiene:

2 2 2 2

2 2 2 2

MAM dx Adx

x t t x

Por analogía se obtiene la ecuación de ondas para el campo de fuerzas,

58

2 2

2 2

F M F

t x

De donde, la velocidad con la que se propagan tanto el campo de desplazamientos como el campo de fuerzas

Mv

3.9 ONDAS LONGITUDINALES EN UN FLUIDO

Consideremos un tubo de sección recta constante S, que contiene el fluido. Sean 0 0 P y la presión y la densidad,

en condiciones de equilibrio, y consideremos que todas las partículas de una sección recta sufren el mismo

desplazamiento con la perturbación. Al variar la presión el elemento de volumen Sdx (Figura), se desplaza de tal

forma que la cara situada en x va a x+s y la situada en x+dx va a x+s+dx+ds, variando el espesor.

Como la masa debe conservarse en el tubo, entonces:

0 ( )m Sdx S dx ds

Siendo la densidad del fluido perturbado. Simplificando podemos escribir:

0 (1 )s

x

Donde se ha escrito derivada parcial ya que s no es solo función de x sino también una función del tiempo t, pero

0 , por lo tanto:

0 0 0( ) 1s s s

x x x

Que, despreciando el último término frente a los dos anteriores (ya que ambos factores son generalmente pequeños), resulta:

0

s

x

De esta manera la variación de presión provoca una variación de densidad.

Por otro lado, la presión está relacionada con la densidad mediante una expresión del tipo ( )P P , que recibe el

nombre de ecuación de estado, cuya forma explícita no conocemos. Sin embargo, podemos desarrollarla en serie de Taylor (suponiendo que las variaciones de la densidad son pequeñas) en torno a la posición de equilibrio

0 ,y quedando con la aproximación de primer orden

0

0

PP P

59

Pero como m

m VV

, diferenciando:

0 dV Vd

De donde: dV d

V

Modulo elástico para un fluido que se denomina módulo de compresibilidad B, el cual relaciona el esfuerzo (sobrepresión) y la deformación (variación unitaria de volumen), y por lo tanto también la variación unitaria de densidad:

0 0

0 0

P PB V

V

Remplazando en ecuaciones anteriores, se tiene:

0

0

BP P

Esta ecuación relaciona la presión y la densidad en cualquier punto, como 0

s

x

, resulta:

0

sP P B

x

Esta ecuación relaciona la presión en cualquier punto con la deformación.

Además, si aplicamos la segunda ley de Newton a la masa 0Sdx , cuya diagrama es mostrado en la siguiente

figura:

2 2

0 02 2 ( )

s sdF dma PS p dP S Sdx SdP Sdx

t t

0 también: 2

0 2

P s

x t

Ecuación que relaciona las presiones y el desplazamiento.

Por último, para obtener la variación con el espacio y el tiempo de s, P, o , basta eliminar las otras variables. Así,

derivando la expresión 0

sP P B

x

respecto a x (teniendo presente que 0P es constante) se obtiene:

2

2

P sB

x x

Que al sustituir en la ecuación anterior se tiene: 2 2

2 2

0

s B s

t x

Donde esta ecuación es análoga a la ecuación de onda, de la cual por comparación podemos identificar:

0

Bv

Donde B, podemos escribir también como:

/

PB

V V

60

Es decir, el cociente (con signo negativo) entre el cambio en la presión y el correspondiente cambio en el volumen por unidad de volumen. En el caso particular de las ondas (sonido) en un gas, la velocidad viene dada por:

RTv

M

Dónde: 1. T es la temperatura absoluta medida en Kelvins (K), T=273 + ºC

2. es una constante que depende del tipo de gas. Para moléculas diatómicas como el 2 2 O y N , tiene el

valor de 1.4 y como el 2O y el

2N constituyen el 98% de la atmósfera, éste es el valor que

corresponde también al aire (para moléculas monoatómicas como el eH tiene un valor de 1.67).

3. R es la constante universal de los gases:

8.314.

JR

mol K

4. M es la masa molar del gas, es decir, la masa de 1 mol de gas. Para el aire es:

329 10kg

Mmol

Otra fórmula usual en el caso de Velocidad del sonido en un medio gaseoso es:

dPv

d , como

dP P

d

,

Pv

Donde P es la presión no perturbada y es igual a /p Vc c , la razón de los calores específicos del gas a presión

constante y a volumen constante. Para gases diatómicas tales como el oxígeno, el nitrógeno y el aire, es igual a

7/5, o sea 1,4.

Ejemplo 3.6: Hallar la velocidad del sonido en la ciudad universitaria UNA-Puno.

1.4 365.12 10UNAP Pa ,

30.77 /aire kg m

3

3

65.12 101.4 344 /

0.77 /

UNA a

aire

P Pv m s

Kg m

Ejemplo 3.7: Calcular la velocidad del sonido en el agua utilizando los datos de las tablas y comparar.

Solución

El módulo de compresibilidad del agua, 9 22.2 10 /N m y la densidad

3996 /Kg m

9 23

3

2.2 10 / 1.49 10 /

996 /

N mv m s

Kg m

Tabla 1. Los valores recogidos aquí son representativos de cada material. Los valores reales para una muestra particular pueden diferir mucho de estos

Material Módulo de Young 910 N/m

Material Módulo de compresión

. 910 N/m

Aluminio 70 Líquidos:

Ladrillo 20 Etanol 0.9

Cobre 120 Mercurio 25

Vidrio cuarzo 70 Agua 2.2

Granito 50 Sólidos:

Hierro forjado 190 Cobre 120

Mármol 60 Aluminio 70

Poliestireno 3 Vidrio, cuarzo 36

61

Cuarzo 70 Granito 47

Acero 200 Hierro 80

Madera 10 Acero 158

Tabla 2. Densidad de algunas sustancias comunes a 1 atm (760 mmHg.)

Sustancia Temperatura (ºC) Densidad (3/g cm ) Densidad (

3/Kg m )

Sólidos: Aluminio 20 2.7 2700

Hueso 20 1.6 1600

Cobre 20 8.5 8500

Vidrio 20 2.6 2600

Granito 20 2.7 2700

Hierro 20 7.7 7700

Plomo 20 11.3 11300

Acero 20 7.7 7700

Agua ( hielo) 0 0.917 917

Líquidos: Aire (liquido) -183 1.14 1140

Sangre 27 1.05 1050

Etanol 20 0.791 791

Glicerina 0 1.26 1260

Mercurio 0 13.6 13600

Agua pura 4 1 1000

Agua pura 30 0.996 996

Agua pura 100 0.958 958

Agua de mar 15 1.025 1025

Gases: Aire 0 0.00130 1.30

Aire 10 0.00125 1.25

Aire 20 0.00120 1.20

Aire 30 0.00116 1.16

Argón 0 0.00178 1.78

Dióxido de carbono 0 0.00198 1.98

Helio 0 0.000178 0.178

Hidrogeno 0 0.0000899 0.0899

Nitrógeno 0 0.00125 1.25

Oxigeno 0 0.00143 1.43

Agua (vapor) 100 0.000596 0.596

Tabla 3. Velocidad del sonido en algunos medios gaseosos, líquidos a 1 atm (760 mmHg.) y ºC.

Medio Velocidad (m/s)

Aire (0 ºC) 331

Aire (20 ºC) 343

Helio 965

Hidrógeno 1284

Agua (0 ºC) 1402

Agua (20 ºC) 1482

Agua de mar a 20 ºC y 3.5 % de salinidad. 1522

3.10 ENERGÍA TRANSPORTADA POR UN MOVIMIENTO ONDULATORIO ARMÓNICO

Veamos las ondas viajeras transversales en una cuerda bajo la tensión T, que tenga masa por unidad de longitud

. Podemos obtener la energía cinética de un segmento de longitud x y masa x . Su desplazamiento del

equilibrio es la función de onda 0( , ) ( )x t sen kx wt . Su velocidad es d

dt

, en donde x se considera fijo.

La energía cinética cE del segmento es, por tanto, 21

( )2

cE m v ,

62

Como: m x y vt

21( )

2cE x

t

Como 0 0( , ) ( ) ( )x t senk x vt sen kx wt

Será 0 cos( )d

kx tdt

y la energía cinética del segmento será:

2 2 2

0

1cos ( )

2cE x kx t

La energía potencial del segmento es el trabajo realizado al estirar la cuerda y depende de la pendiente d

dx

. Para

pequeñas pendientes puede demostrarse que depende de la pendiente y de la tensión T por la expresión

21

( )2

dU T x

dx

Como 0 cos( )d

k kx tdx

y

22

2T v

k

, entonces energía potencial es:

2

2 2 2

02

1( ) cos ( )

2U k x kx t

k

, o sea.

2 2 2

0

1cos ( )

2U x kx t

Que coincide con el valor de la energía cinética. La energía total de un segmento de cuerda que transporta una onda armónica es

2 2 2

0 cos ( )cE E U x kx t

Como vemos, la energía de un segmento varía con el tiempo. Como el valor medio de 2cos ( )kx t en cualquier

punto es ½, la energía media es

´2 2 2 ´2 2

0 0

1cos ( )

2mE E x kx t x

Como x v t , 2 2

0

1

2E v t

La energía transmitida por unidad de tiempo es la potencia media:

2 2

0

1

2

EP v

dt

Ejemplo 3.8:

Ondas de longitud de onda 35 cm y amplitud 1.2 cm se mueven a lo largo de una cuerda de 15 m que tiene una masa de 80 gramos y esta sometida a una tensión de 12 N. (a) Determinar la velocidad y la frecuencia angular de las ondas. (b) ¿Cuál es la energía total media de las ondas en la cuerda?.

Solución

a) v=?. T

v

, pero densidad lineal es 3

380 80 105.33 10 /

15 15

m g KgKg m

L m m

Tv

=

3

1247.4 m/s

5.33 10 /

N

Kg m

Frecuencia angular 47.4 m/s

2 2 2 851 /0.35 m

vf rad s

63

b) La energía total media de las ondas en la cuerda viene dada 2 2

0

1

2E x , con

80 gx m 2 2

0

1( )

2E m

4.17 JE

c) Calculando la energía total media transmitida por unidad de tiempo a lo largo de la cuerda es:

13.2 wP

3.11 ONDAS LONGITUDINALES ARMONICAS DEL SONIDO

Consideremos un pistón que al oscilar armónicamente produce ondas sonoras armónicas unidimensionales en un tubo largo y delgado que contiene un fluido. Entonces se observa que el pistón oscila armónicamente en función de Seno o Coseno, las regiones de compresión y rarefacción son formadas continuamente. Como estas se regiones viajan a través del tubo, cualquier elemento pequeño del medio se mueve con movimiento armónico simple paralelo a la dirección de la onda. Si s(x,t) es la posición del pequeño elemento en relación a su posición de equilibrio, podemos escribir:

0( , ) ( )s x t s Cos kx wt

Donde 0s es la amplitud de la oscilación del pequeño elemento, denominado con frecuencia amplitud de

desplazamiento de la onda, k es el número de onda y w es la frecuencia angular del pistón, x dirección de propagación de la onda de sonido.

La variación en la presión del fluido p medida desde su valor en el equilibrio es también periódica. En efecto del

resultado de ondas longitudinales 2

0 2

P s

x t

, se tiene:

2

2

0 0 0 02os( ) ( )

Ps C kx wt w s Cos kx wt

x t

De aquí que: 2

0 0 ( )w s

P Sen kx wtk

Tomando el resultado que w kv , se tiene:

0 0 ( )P wvs Sen kx wt

64

Que también podemos escribir como:

0 ( )P P Sen kx wt

Donde 0 0 0P wvs

Así, podemos ver que la onda sonora puede ser considerada como una onda de desplazamiento de amplitud 0s o

como una onda de presión de amplitud 0P .

Ejemplo 3.9:

o ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 85 Hz y amplitud

de presión 310

atm?

o La amplitud del desplazamiento correspondiente a una onda sonora de frecuencia 233 Hz es 610 m

, ¿Cuál

es la amplitud de presión de esta onda?. Tomar como velocidad del sonido 340 m/s y densidad del aire 31.29 /kg m y tener presente que 1atm=101.3 KPa.

Solución

a) como 00

0

Ps

wv

, además 2w f

3 34

0 1 3

10 (101.3 10 )4.32 10

2 (85 )(1.29 / )(340 / )

Pas m

s kg m m s

b) Remplazando en el resultado 0 0 0P wvs , se tiene:

3 6

0 0 0(2 ) 2 (1.29 / )(233/ )(340 / )(10 ) 0.64 .P f vs kg m s m s m Pa

3.12 ESPECTRO ACÚSTICO

Se describe el espectro acústico, (sonoro) de sonido: El oído humano sano puede detectar ondas entre límites aproximados de 20 a 20000 Hz. Las ondas que poseen una frecuencia inferior a los 20 Hz se denominan infrasónicas y las superiores a 20000 Hz ultrasonidos, se usan en medicina para formar imagines y detectar movimientos. Las notas musicales van desde unos 30 Hz hasta 4000 Hz. El patrón actual para afinar instrumentos musicales asigna 440 Hz a la nota La.

La sensación de sonoridad es la percepción sonora que el hombre tiene de la intensidad de un sonido. La sonoridad se mide mediante una magnitud llamada fonio, que utiliza una escala arbitraria cuyo cero (el llamado umbral de

audición) corresponde a 12 2

0 1 10 /I W m .

Ejemplo 3.10: ¿Cuál es el intervalo de longitud de onda de sonido audible sobre nivel del mar?

Solución El intervalo de frecuencia es de 20 a 20000 Hz.

Velocidad del sonido en el aire (a 20 ºC) es:

5

3

1.013 101.4 343.78 /

1.20 /

P Pav m s

Kg m

, de modo que el

intervalo de longitudes de onda audibles se extiende desde

343 /0.0171

20000 Hz

v m sm

f

Hasta 343 /

17.1 20

m sm

Hz

65

3.13 INTENSIDAD DEL SONIDO Se define intensidad I de una onda es la energía transportada por unidad de área y por unidad de tiempo. Se determina experimentalmente midiendo la energía E que incide sobre un detector ( por ejemplo un micrófono) en un tiempo t. Entonces la intensidad es igual a esta energía dividida por el tiempo y por el área A del

detector: En el SI, la unidad de intensidad es joules por metro cuadrado por segundo (2/ .J m s ), o (

2/W m).

Supongamos una fuente puntual de ondas situada en un

medio homogéneo. El movimiento ondulatorio se propaga

en todas las direcciones de forma isótropa. La energía

fluye radialmente desde la fuente en todas las direcciones

del espacio. Así pues, la intensidad del movimiento

ondulatorio a una distancia r de la fuente emisora vale,

Siendo P la potencia de la fuente emisora.

Ejemplo 3.11:

Durante un intervalo de 5 segundos un micrófono de área efectiva de 32cm recibe

111.5 10 J de energía

sonora. ¿Cuál es la intensidad del sonido? Solución

La intensidad del sonido es

118 2 8 2

4 2

1.5 1010 / 10 /

(3 10 )(5 )

E JI J m s W m

At m s

Esta es más o menos la intensidad del sonido en una conversación normal.

En una onda sinusoidal la intensidad esta relacionado con la amplitud de la presión 0P por

2

0

2

PI

v

En donde es la densidad del medio y v es la velocidad de la onda en el medio.

Ejemplo 3.12:

¿Cuál es la amplitud de presión del sonido con una intensidad de 6 210 /W m

?.

Solución

De la tabla, la densidad del aire y la velocidad del sonido en el aire son, respectivamente, 31.2 /Kg m y 343 m/s,

de modo que la amplitud de la presión:

3 6 2

0 2 2(1.2 / )(343 / )(10 / )P vI Kg m m s W m

2 2

0 2.86 10 /P N m

Esta es la diferencia que existe entre la presión máxima en la onda y la presión del aire no perturbado.

Ejemplo 3.13: Cierta fuente puntual emite ondas sonoras de 80 W de potencia. a) Calcula la intensidad de las ondas a 3,5 m de la fuente. B) ¿A qué distancia de la fuente el sonido es de 40 dB?

Solución

a) I = 222

51,0)5,3(4

80

4 m

w

r

P

b) Β = 10 log 0I

I

0

log10 I

I

0

log10

40

I

I

66

4 = log0I

I 104 =

0I

I I = 104 ·I0 = 104 ·10-12 = 10-8 w/m2

R = mI

P 4

810·52,2

10·4

80

4

Expresión general para la intensidad de un movimiento ondulatorio armónico de frecuencia angular y de

amplitud 0 que se propaga en un medio de densidad con velocidad v.

2 2

0

1

2I v

(Unidad de medida W/m2)

3.14 NIVEL DE INTENSIDAD SONORA.

Como el rango de intensidades del oído humano es muy amplio 10-12 W/m2, para la medida de la intensidad suele utilizarse una escala logarítmica que se llama escala de nivel de intensidad.

Se define nivel de intensidad de una onda sonora como β = 10 log0I

I. Se mide en decibelios dB. I; intensidad de

la onda sonora. I0; nivel de referencia de la intensidad, umbral 12 210 /W m

.

Si 12 210 / I W m β = 0 dB umbral de audición.

Si 2I=1 / W m β = 120 dB umbral del dolor.

Discusión, del resulta 0

10 logI

I , donde

12 2

0 10 /I W m es la intensidad de referencia estándar. El

oído humano puede detectar sonidos con intensidades que van desde 1210

a 21 /W m . En la escala decibelica

este intervalo se extiende desde 12 2

12 2

0

10 /10log 10log 10log(1) 0

10 /

I W mdB

I W m

Hasta: 2

12

12 2

1 /10log 10log10 120

10 /

W mdB

W m

A niveles de intensidad por encima de 120 dB la sensación cambia de sonido a dolor; es decir, la onda se siente más que se oye.

Tabla 4. Niveles e intensidades sonoras de algunos sonidos comunes

Nivel sonoro (dB) Intensidad(2/W m ) Sonido

0 1210 Umbral de audición

10 1110 Susurro de las hojas

20 1010 Cuchicheo (a 1 m de distancia

30 910 Casa tranquila

40 810 Casa normal, oficina tranquila

50 710 Oficina normal

60 610 Conversación normal, trafico normal

70 510 Oficina ruidosa

80 410 Trafico intenso

90 310 Dentro de un ferrocarril subterráneo

100 210 Taller de maquinaria

120 010 Taladro neumático (a 2 m), umbral del dolor

140 210 Avión a reacción (a 30 m)

67

3.15 CONTAMINACIÓN ACÚSTICA Y CALIDAD DE VIDA.

Los órganos internacionales en materia acústica recomiendan que el sonido ambiental no supere los 55 dB de día y 35 dB de noche. Se considera que hay contaminación sonora cuando el sonido supere los 70 dB durante prolongados intervalos de tiempo.

La exposición prolongada a niveles de alta sonoridad puede acarrear problemas auditivos (perdida irreversible de la capacidad auditiva), irritabilidad, falta de concentración, estrés, fatiga, alteraciones del ritmo respiratorio, problemas digestivos.

El problema es mayor en áreas urbanas (densidad de tráfico elevada) o cerca de los aeropuertos, locales de ocio (discotecas), centros de trabajo (industrias). La contaminación acústica viene contemplada en las normativas de seguridad e higiene en el trabajo.

Medidas contra la contaminación acústica:

Pasivas o Paliativas: tratan de amortiguar la propagación del sonido o su impacto. Ej. Insonorización de locales o viviendas, muros de apantallamiento localizados en vías urbanas, barreras verdes, empleo de cascos antirruido.

Por ejemplo la legislación española obliga a los locales de ocio a aislar su recinto de los locales colindantes por medio de materiales absorbentes para evitar la contaminación acústica que producen. Locales que tienen una I=100 dB transmiten al exterior 65 dB.

Activas (preventivas): actúan contra los focos emisores del ruido. Silenciadores y filtros para los motores, reducción del tráfico en algunas zonas de los cascos urbanos.

Educativas: formación de los ciudadanos de actitud favorable al mantenimiento de un entorno sin contaminación sonora (fomento del transporte público).

3.16 APLICACIONES DE LOS ULTRASONIDOS. Loa ultrasonidos, Son ondas de frecuencia superior a 20000 Hz. No pueden ser detectados por el oído humano. Sonar: Es un instrumento que utilizan los barcos para detectar la profundidad a la que se encuentra el fondo marino o algún objeto que esté debajo de la superficie del agua. Emite ultrasonidos que se reflejan en el fondo o en el obstáculo (irregularidades del fondo, submarinos, bancos de peces) . Por el tiempo que tarda en captar el eco se puede determinar la distancia que separa el sonar ( el barco) del obstáculo que lo produce. Se utiliza en estudios oceanográficos ( fondo marino), barcos de pesca ( bancos de peces), militar ( detección de submarinos), estudio geológico del suelo ( encontrar petróleo). Radar: Similar al sonar pero utiliza ondas electromagnéticas ( microondas). Ambos permiten determinar la posición de los objetos, su trayectoria y su velocidad. El radar tiene uso militar, en la navegación aérea y marítima y en el tráfico terrestre. Ecografía: Consiste en registrar los ecos ultrasónicos producidos por los distintos órganos corporales. Se hace incidir los ultrasonidos en una zona concreta del cuerpo y a medida que penetran en él son reflejados en aquellos puntos en los que cambia la densidad del cuerpo (zona que separa dos órganos). Los ultrasonidos reflejados se recogen en un aparato electrónico que analiza la posición de los tejidos , visualizándolos en un monitor en forma de puntos de diferente brillantez. La imagen obtenida puede ser estática, o si se reproducen toma sucesiva puede simular el movimiento del interior del cuerpo. Ej: el seguimiento de los embarazos. Se pueden visualizar múltiples zonas internas sin producir ningún daño, lo que no ocurre con los rayos X.

La ecografía es útil en el estudio de la cavidad abdominal, el hígado, el bazo, el páncreas, los riñones, el útero, los vasos sanguíneos. Adquirió popularidad la ecografía del feto, que permitía conocer el sexo del futuro niño o niña, pero su interés fundamental radica en que con ellas se puede detectar precozmente enfermedades o anomalías del feto.

Litotricia consiste en utilizar ultrasonidos de alta energía pero corta duración (ondas de choque) para fragmentar cálculos renales y biliares, evitando intervención quirúrgica. También se utiliza para acelerar la recuperación de lesiones traumáticas ya que aumentan la vascularización de la zona inflamada facilitando su curación.

En el mundo animal los murciélagos emiten y escuchan ultrasonidos. Su sistema de navegación es similar a un sonar que les permite volar en la oscuridad. También las ratas, delfines y langostas utilizan ultrasonidos para obtener información del medio y comunicarse. Elefantes, ballenas y algunas aves usan infrasonidos.

68

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Cuál de las siguientes funciones describe ondas viajeras. Donde P, Q, R son Constantes:

3 2 2 2

1 2 3( , ) ( ) ; ( , ) ( ); ( , ) cos( )Y x t P x t Y x t P x t B Y x t P x Rt ; 4 2( , )

( )

RY x t

Qx t

Solución 3

1( , ) ( )Y x t P x t , si corresponde a una onda viajera es de la forma (x+vt), con v=1.

2

2( , ) ( )Y x t P x t B , no es una onda viajera, porque no es de la forma (x+vt)

2 2

3( , ) ( )Y x t PCos x Rt , 2 2( ) ( )( )Cos x Rt Cos x Rt x Rt

Se ve se trata de una onda

viajera, hacia la derecha y hacia la izquierda simultáneamente, y no puede ser una onda. 2 2

4( , ) / ( )Y x t R ax t , no es forma de onda viajera.

2. Una cuerda con ambos extremos fijos vibra con su modo fundamental. Las ondas tienen una velocidad de 32 m/s y una frecuencia de 20 Hz, la amplitud de la onda estacionaria en su antinodo es 1.20 cm. calcular la amplitud del movimiento de los puntos de la cuerda a distancias de a) 80 cm, b) 40cm, c) 20cm del extremo izquierdo de la cuerda.

Solución

La onda resultante es: 2 ( ) ( )i rY Y Y ASen Kx Cos wt

La amplitud en un antinodo es la máxima A=1.20 cm.

Datos: 32 / , 20 v m s f Hz

Calculando longitud de la onda: 1 32 /

1.6 160 20 /

m svT v m cm

f s

Calculando velocidad angular: 2 2

(3200) 40 /160

w kv w v rad s

La ecuación de la onda es: 2.40 40 ,( , )80

Y Sen x Cos t x cm t s

a) x=80 cm 0 02.40 (80) 2.40 ( ) 0 80

Y Sen Sen Y cm

b) x=40 cm 0 02.40 (40) 2.40 2.40

80 2Y Sen Sen Y cm

3. La ecuación de una onda transversal que avanza por una cuerda está dada por

4 s2 (0.0005 8 )Y Co x t cm. Escribir la ecuación de la onda que, al agregarle ala onda dada,

produzca ondas estacionarias en la cuerda. Solución

Una onda estacionaria debe propagarse a la derecha y hacia la izquierda, Como la ecuación dada es:

4 os2 (0.0005 8 )Y C x t se propaga hacia derecha, se necesita una onda que se propague al

izquierdo, debe ser de la forma: 4 os2 (0.0005 8 )Y C x t

Comprobando, usando: 22 2

A B A BCosA CosB Cos Cos

4cos2 (0.0005 8 ) 4cos2 (0.0005 8 )Y x t x t

8 (16 )1000

Y Cos x Cos t

4. La función de una onda estacionaria en una cuerda de 4 m. de longitud y 0.4 kg de masa es:

0.3 (40 ) os(2 )Y sen t c x m, donde x en m y t en segundos. Hallar tensión en la cuerda.

Solución Datos: L=4 m, m=0.4 kg, T=?,

69

Como: 2 0.4, 0.1 /

4

m kgT v y kg m

L m

0.3 (40 ) os(2 )Y sen t c x , comparando con: ( ) os( )Y Asen wt c kx

Se tiene: 40 / , 2 /w rad s k m

40 /20 /

2 /

w rad sv v m s

k m

2 (0.1 / )(20 / ) 40 T kg m m s T N

5. Un hilo de longitud L=3 m y de masa m=300g tiene un extremo fijo y el otro pasa por una polea y sostiene un cuerpo de masa M=9 kg. ¿Qué tiempo gasta un pulso para recorrer todo el hilo?

Solución Datos: L=3 m, m=300 g, M=9 kg, t=?

Como , L T

t además vv

9(9.76) 87.84 T Mg N

0.30.1 /

3

mkg m

L

Remplazando se tiene: 30 / , 0.1 v m s t seg

6. Un vibrador de amplitud 3 cm y de periodo 0.5 segundos produce en un medio, ondas de 2 cm de longitud de onda. Escriba la ecuación de la onda, ¿si para t=0, la elongación es cero?

Solución

Datos: 3 , 0.5 , 2 , ? 0 0A cm T s cm Y si para t x

Ecuación de la onda: ( )Y Asen Kx wt

2 4 /Como w w rad s

T

Además 2 2

/2

K K K cmcm

3 ( 4 ) Y sen x t cm

7. Dada la función de onda ( )b x vtY e es una solución de la ecuación diferencial de la onda, donde b es una

constante. Solución

Primero derivando la ecuación ( )b x vtY e con respecto a x:

22 ( )

2

bx bvt b x vty ybe b e

x x

(1)

Luego derivando con respecto a t: 2

2 2 ( )

2

bx bvt b x vty ybve b v e

t t

(2)

Comparando (1) y (2) se tiene: 2 2

2 2 2

1y y

x v t

Lqqd.

8. El oído humano percibe sonidos cuyas frecuencias están comprendidas entre 20 y 20000 Hz. Calcular la longitud de onda de los sonidos extremos, si el sonido se propaga en el aire con la velocidad de 330 m/s.

Solución

Como: 1 1

1

330 / 16.5

20 /

v m sv f m

f s

70

2 2

2

330 / 0.0165

20000 /

v m sm

f s

9. Dos ondas difieren en el nivel de sonido por 1dB. Determine la razón entre las intensidades.

11

0 1 2 11 2

0 0 222

0

10 0

10 log log 10log( )

10 0

IB l g

I I I IB B

I I IIB l g

I

Del problema: 1 11 2

2 2

1 1 10log( ) 0.1 log( )I I

B B dBI I

0.11

2

10I

I

71

CUARTA UNIDAD DIDÁCTICA

MECÁNICA DE FLUIDOS

4.1 DEFINICION DEL FLUIDO

ESTADOS DE LA MATERIA. Generalmente se clasifica de acuerdo a algunos de los cuatro estados en que se encuentra: sólido, líquido, gaseoso y plasma. Un sólido tiene forma y volumen definidos. Un líquido tiene un volumen definido pero no una forma definida. Un gas no tiene ni volumen ni forma definidos. El plasma consiste en núcleos atómicos y electrones libres, es un gas ionizado con igual número de cargas positivas y negativas, sólo existe a altas temperaturas (> 2000 K); a pesar de ser poco común en la vida cotidiana, es el estado predominante de la materia en el universo. El Sol, las estrellas, el gas de la luz en un tubo fluorescente están en estado de plasma.

Un sólido se comprime bajo la acción de fuerzas externas, pero si estas fuerzas dejan de actuar, tiende a retomar su forma y tamaño original, por esto se dice que tiene elasticidad. Según el tiempo de respuesta del cambio de la forma ante una fuerza externa o presión, la materia puede comportarse como un sólido, como un fluido u otro estado, por ejemplo plásticos, asfalto, grasa, miel, masilla, etc.

FLUIDO: Se conoce como fluido, cualquier sustancia que no tiene forma propia y se adapta a la forma del recipiente que lo contiene. Son fluidos los gases y los líquidos. Son sustancias capaces de "fluir"; aún con sus grandes diferencias en su comportamiento se describen con las mismas ecuaciones básicas. La diferencia entre uno u otro está en su compresibilidad.

Un fluido: - Cambia su forma según el envase. - Se deforma continuamente bajo fuerzas aplicadas. - La atmósfera y el océano son fluidos. - El 97% de nuestro cuerpo es fluido, el manto de la tierra, etc.

Para cualquier sustancia el estado líquido existe a una temperatura mayor que la del estado sólido, tiene mayor agitación térmica y las fuerzas moleculares no son suficientes para mantener a las moléculas en posiciones fijas y se pueden mover en el líquido. Lo común que tiene con los sólidos es que si actúan fuerzas externas de compresión, surgen grandes fuerzas atómicas que se resisten a la compresión del líquido. En el estado gaseoso las moléculas tienen un continuo movimiento al azar y ejercen fuerzas muy débiles unas con otras; las separaciones promedios entre las moléculas de un gas son mucho más grandes que las dimensiones de las mismas.

4.2 DENSIDAD Y PESO ESPECÍFICO

La densidad está relacionada con el grado de acumulación de materia (un cuerpo compacto es, por lo general, más denso que otro más disperso), pero también lo está con el peso. Así, un cuerpo pequeño que es mucho más pesado que otro más grande es también mucho más denso. Esto es debido a la relación w mg existente entre masa y

peso. No obstante, para referirse al peso por unidad de volumen la física ha introducido el concepto de peso

específico eP que se define como el cociente entre el peso w de un cuerpo y su volumen; en resumen:

La densidad es la concentración de la masa por unidad de volumen que ocupa.

masa m

volumen V

La unidad de medida en el S.I. de Unidades es kg/m3, también se utiliza frecuentemente la unidad g/cm3

El peso específico representa la fuerza con que la Tierra atrae a un volumen unidad de la misma sustancia considerada (Peso de la sustancia a la unidad de volumen), esta definición es considerada hoy en día como obsoleta y reprobable, siendo su denominación correcta la de densidad de peso.

volumen de dicha sustancia e

Peso de la sustacia wP g

V

La unidad del peso específico en el SI es 3/N m .

Ejemplo 4.1: El peso específico (densidad de peso) del agua es:

2

3 2 3(1000 / )(9.8 / ) 9800 /H O Kg m m s N m

72

Tabla 4.1 Densidad de sólidos y líquidos a (20ºC)

Sustancia Densidad (g/cm3) Sustancia Densidad (g/cm3)

Acero 7.7-7.9 Oro 19.31

Aluminio 2.7 Plata 10.5

Cinc 7.15 Platino 21.46

Cobre 8.93 Plomo 11.35

Cromo 7.15 Silicio 2.3

Estaño 7.29 Sodio 0.975

Hierro 7.88 Titanio 4.5

Níquel 8.9 Volframio 19.34

Sustancia Densidad (g/cm3) Sustancia Densidad (g/cm3)

Aceite 0.8-0.9 Bromo 3.12

Ácido sulfúrico 1.83 Gasolina 0.68-0.72

Agua 1.0 Glicerina 1.26

Agua de mar 1.01-1.03 Mercurio 13.55

Equivalencias:, L = Litro, 31 1ml cm

Ejemplo 4.2: Un frasco de 200ml esta lleno de agua a 4 ºC. Cuando el frasco se calienta a 80 ºC, se derraman 6 gramos de agua. ¿Cuál es la densidad del agua a 80 ºC?, (suponer que la dilatación del frasco es despreciable).

Solución

1. Calcular la masa original de agua en el frasco a 4 ºC utilizando 31 /g cm

3 3(1 / )(200 ) 200m V g cm cm g

2. Calcular la de agua remanente, m’ después de derramar 6 g.

' 6 200 6 194m m g g g g

3. Utilizar este valor de m’ para determinar la densidad del agua a 80 ºC.

3

3

' 194' 0.97 /

200

m gg cm

V cm

4.2.1 DENSIDAD RELATIVA

Para sustancias líquidas se suele tomar como sustancia patrón el agua cuya densidad a 4 ºC es igual a 1000 kg/m3.

Para gases la sustancia de referencia la constituye con frecuencia el aire que a 0 ºC de temperatura y 1 atm de

presión tiene una densidad de 1,293 kg/m3. Como toda magnitud relativa, que se obtiene como cociente entre dos

magnitudes iguales, la densidad relativa carece de unidades físicas.

2

tan

Cr

H O

Densidad de la sus cia

densidad del agua

Ejemplo 4.3:

Densidad relativa del agua 1r

Densidad relativa del aceite del algodón 0.926r

Como: 2

2

aceite0.926 0.926Cr H O

H O

3 30.926(1000 / ) 926 /aceite Kg m Kg m

73

4.2.2 PRESIÓN DE FLUIDOS

La presión es la magnitud que mide el efecto deformador de una fuerza sobre un sólido, a la vez es una magnitud escalar. La presión ejercida por una fuerza F sobre una superficie S es igual al cociente entre la intensidad componente normal de la fuerza y la superficie

nPP

S

La unidad de medida recibe el nombre de pascal (Pa).

La fuerza que ejerce un fluido en equilibrio sobre un cuerpo sumergido en cualquier punto es perpendicular a la superficie del cuerpo.

En la figura, se muestran las fuerzas que ejerce un fluido en equilibrio sobre las paredes del recipiente y sobre un cuerpo sumergido. En todos los casos, la fuerza es perpendicular a la superficie, su magnitud y el punto de aplicación se calculan a partir la ecuación fundamental de la estática de fluidos.

UNIDADES DE MEDIDA PRESIÓN Y SUS FACTORES DE CONVERSIÓN La presión atmosférica es de aproximadamente de 101325 pascales (101,3 KPa), a nivel de mar.

Unidades de presión y sus factores de conversión

Pascal Bar N/mm² kp/m² kp/cm² atm Torr

1 Pa (N/m²)= 1 10-5 10-6 0.102 0.102×10-4 0.987×10-5 0.0075

1 bar (daN/cm²) = 100000 1 0.1 10200 1.02 0.987 750

1 N/mm² = 106 10 1 1.02×105 10.2 9.87 7500

1 kp/m² = 9.81 9.81×10-5 9.81×10-6 1 10-4 0.968×10-4 0.0736

1 kp/cm² = 98100 0.981 0.0981 10000 1 0.968 736

1 atm (760 Torr) = 101325 1.013 0.1013 10330 1.033 1 760

1 Torr (mmHg) = 133 0.00133 1.33×10-4 13.6 0.00132 0.00132 1

También se utilizan los milímetros de columna de agua (mm c.d.a.): 1 mm c.d.a. = 10 Pa

4.3 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN EN UN FLUIDO EN REPOSO

a) LIQUIDOS Consideremos una porción de fluido en equilibrio de altura dy y de sección S, situada a una profundidad y del recipiente que se toma como origen.

dw = (dm)g = ( ( )dV g gdV gSdy

Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son las siguientes:

74

El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la intensidad de la

gravedad, ( gSdy ).

La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior, PS

La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior, ( )P dP S

La condición de equilibrio establece que

( ) 0P dP S PS gSdy

dPg

dy , cambio de presión es positivo (+), para dy positivo.

En consecuencia la presión aumenta al aumentar la profundidad

o0

P=Po

P y

PdP g dy gy

Ejemplo 4.4: ¿Cuál es la presión a una profundidad, 1m, 10m, 100m, 273m en el lago Titicaca?, suponga que

3 31.03 10 /Kg m , como densidad del agua de lago Titicaca y que 50.6512 10oP Pa es la presión

atmosférica en la superficie del lago. Solución

Por definición tenemos: oP P gy

5 3 3 20.6512 10 (1.03 10 / )(9.76 / )P Pa Kg m m s Y 5 50.6512 10 0.10053 10 PaP Pa Y

En: 51 es P=0.752 10 y m Pa

10 es P=y m 51.66 10 Pa .

b) GASES (LA PRESIÓN ATMOSFERICA) Se procede de forma análoga y se obtiene:

dP=- gdy

dPg

dy

Cambio de presión es negativo. Es decir la presión disminuye al aumentar la altura. Considerando que la densidad varía con la presión, es proporcional a P, se considera que la temperatura no varía.

o

o

=( )Po o

PP

P

o

dP dP=-g( ) ( )

P P

o o

o

Pdy gdyP

0

00 0

lnPo o

yPP y

o

P Po

dPg dy gy

P P P

oo

o

P=P donde = y =0.116/KmP

ye g

Ejemplo 4.5: Calcular la presión atmosférica en la ciudad universitaria UNA y la densidad del aire que existe.

Solución

Por definición: , =0.116/Kmy

oP Pe

Ciudad universitaria se encuentra a 3814m snm, entonces y = 3.814 Km y 5 21.013 10 /oP N m Snm, por

consiguiente

0.116( )(3.814 )

5 21.013 10 /Km

KmUNAP N m e

50.6425 10 64.25UNAP Pa KPa

Calculando la densidad de aire en la ciudad universitaria:

75

oo

0

= P

UNAPcomo g

g

3

o 0.764 /Kg m

NOTA: Resultado de una Tesis, podemos tomar también para calcular la presión atmosférica

41.2 10

0

h(m) h en metros.hPe

P

4.4 PRESIÓN BAROMÉTRICA Y MANOMETRICA

4.4.1 EXPERIENCIA DE TORRICELLI

Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo de 1 m de longitud, abierto por un extremo, lo llenó de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de mercurio. Comprobó que el mercurio bajó hasta una altura de 760 mm sobre el líquido de la cubeta. Puesto que el experimento se hizo al nivel del mar, decimos que la presión atmosférica normal es de 760 mm de Hg. La explicación de este resultado es que la atmósfera ejerce una presión que impide que todo el mercurio salga del tubo. Cuando la presión atmosférica iguala a la presión ejercida por la columna de mercurio, el mercurio ya no puede salir por el tubo.

Dado que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi al vacío P=0, y sabiendo la densidad del mercurio es 13.55

g/cm3 ó 13550 kg/m3 el valor de la presión atmosférica es 5(13550)(9.81)(0.76) 101023 1.01 10P gh Pa Pa Pa

Si fuese el experimento en la UNA-Puno, entonces la altura h de mercurio es:

De la definición: ( ) (vacio), P 0UNA vacioP P gh

3 3 2

64.25

13.6 10 / (9.76 / )

UNAP KPah

g Kg m m s

0.4840 m=48.40 cm=484.0 mmHgh

EXPERIENCIAS TOMADAS DE LA PRESIÓN ATMOSFÉRICA El hecho de estar rodeados por una masa gaseosa (aire), y al tener este aire un peso actuando sobre la tierra, quiere decir que estamos sometidos a una presión (atmosférica), la presión ejercida por la atmósfera de la tierra, se mide normalmente por medio del barómetro (presión barométrica). Al nivel del mar el valor de la presión es cercano a 760 mmHg (101,35Kpa), disminuyendo estos valores con la altitud.

Tabla 4.2 variación de presión con la altura H (m) P (mmHg) P (mbar) T (ºC) Humedad relativa

20,000 41.4

12,000 145.0 -55

10,000 198.2 -55

8,000 266.9 356 -37

6,000 353.8 472 -24 5%

5,000 405.1 540 -17.5 10%

4,000 462.3 616 -11.0 20%

3,000 525.8 701 -4.5 30%

2,000 596.2 795 2.0 40%

1,500 634.2 840 5.2

1,000 674.1 900 8.5 60%

500 716.0 952 11.8

0 760.0 1013 15.0 80%

76

4.4.2 PRESION MANOMETRICA O PRESION RELATIVA

La presión absoluta es toda la presión que se aplica en una superficie. Se mide en pascales. Equivale a la presión atmosférica más la presión manométrica.

abs o manP P P , oP presión atmosférica

MEDIDA DE LA PRESIÓN. MANÓMETRO

Para medir la presión empleamos un dispositivo denominado manómetro. Como A y B están a la misma altura la presión en A y en B debe ser la misma. Por una rama la presión en B es debida al gas encerrado en el recipiente. Por la otra rama la presión en A es debida a la presión atmosférica más la presión debida a la diferencia de alturas del líquido manométrico.

A o B oP P gh P P gh

4.4.3 PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE LA HIDROSTATICA

Es un hecho experimental conocido que la presión en el seno de un líquido aumenta con la profundidad. Para calcular consideremos una superficie imaginaria horizontal S, ubicada a una profundidad h como se muestra en la figura.

La presión que ejerce la columna de líquido sobre la superficie S será:

w gV gSh

P ghS S S

Es decir que la presión que ejerce un líquido en reposo depende del peso específico ( g ) del líquido y de la distancia (h) a la superficie S.

La diferencia entre las presiones de dos puntos de un mismo líquido es igual a:

Como. B P Ag P gh

Siendo: Pr B

Pr

B

A

P esión en el punto

P esión en el punto A

Densidad del liquido

Este resultado constituye el teorema fundamental de la hidrostática.

77

4.4.4 LA PARADOJA HIDROSTÁTICA

Si se ponen en comunicación varias vasijas de formas diferentes, se observa que el líquido alcanza el mismo nivel en todas ellas. A primera vista, debería ejercer mayor presión en su base aquel recipiente que contuviese mayor volumen de fluido.

La fuerza debida a la presión que ejerce un fluido en la base de un recipiente puede ser mayor o menor que el peso del líquido que contiene el recipiente, esta es en esencia la paradoja hidrostática.

Como se ha demostrado, en el principio fundamental de la hidrostática, la presión solamente depende de la profundidad por debajo de la superficie del líquido y es independiente de la forma de la vasija que lo contiene. Como es igual la altura del líquido en todos los vasos, la presión en la base es la misma y el sistema está en equilibrio.

4.5 EQUILIBRIO DE LOS LIQUIDOS NO MISCIBLES EN TUBOS EN “U”

Una aplicación de la ecuación fundamental de la estática de fluidos es la determinación de la densidad de un líquido no miscible con agua mediante un tubo en forma de U, comparando las diferentes alturas de las columnas de fluido sobre la capa de separación.

Fundamentos físicos En esta experiencia aplicamos la ecuación fundamental de la estática de fluidos

Se comparan dos líquidos inmiscibles, el agua, cuya densidad es conocida (1.0 g/cm3).y un líquido de densidad desconocida. Dado que A y B están a la misma altura sus presiones deben ser iguales: La presión en A es debida a la presión atmosférica más la debida a la

altura h2 de la columna de fluido cuya densidad 2 queremos

determinar.

2 2oÄP P gh

La presión en B es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura h1 de la columna de agua cuya densidad conocemos

1 1B oP P gh

Igualando las presiones en A y B, A BP P , obtenemos 1 2

2 1

h

h

Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U.

4.6 PRINCIPIO DE PASCAL (LA PRENSA HIDRÁULICA) La ecuación fundamental de la estática de fluidos afirma que la presión depende únicamente de la profundidad. El principio de Pascal afirma que cualquier aumento de presión en la superficie de un fluido se transmite a cualquier punto del fluido. Una aplicación de este principio es la prensa hidráulica. Se tiene dos émbolos de sección circular de radio r1 a la izquierda y de radio r2 a la derecha, si ponemos pesas en uno de los émbolos este bajará y subirá el otro émbolo. Émbolos a la misma altura Se aplica una fuerza F1 a un pequeño émbolo de área S1. El resultado es una fuerza F2 mucho más grande en el émbolo de área S2. Debido a que la presión es la misma a la misma altura por ambos lados, se verifica que

1 2 22 1

1 2 1

F F SP F F

S S S

2

1

S

S: Ventaja mecánica

78

Además si V es el volumen del líquido desplazado, entonces

1 2

11 1 2 2 2 1

2

S e ( )e e

SV V e S e e

S

Para mantener a la misma altura los dos émbolos, tenemos que poner un número de pesas sobre cada émbolo de modo que se cumpla la relación dada en el apartado anterior.

Donde n1 y n2 es el número de pesas que se ponen en el émbolo izquierdo o derecho respectivamente, r1 y r2 son sus radios respectivos, m es la masa de cada pesa.

Ejemplo 4.6: Si r2 es el doble de r1, el área S2 del émbolo de la derecha es cuatro veces mayor que el área S1 del émbolo de la izquierda. Para que los émbolos estén a la misma altura, a la derecha tenemos que poner cuatro veces más de pesas que a la izquierda.

r2=2r1 entonces S2=4S1 luego, n2=4n1

Émbolos a distinta altura Un ejercicio interesante, es el de determinar la altura de ambas columnas de fluido cuando se ponen n1 pesas en el émbolo de la izquierda y n2 pesas en el émbolo de la derecha.

Sean A y B dos puntos del fluido que están a la misma altura. El punto A una profundidad h1 por debajo del émbolo de área S1 y el B situado h2 por debajo del émbolo de área S2.

La presión en cada uno de dichos puntos es la suma de tres términos La presión atmosférica La presión debida a la columna de fluido La presión debida a las pesas situadas sobre el émbolo

1 20 1 22 2

1 2

A B o

n mg n mgP P gh y P P gh

r r

Para determinar h1 y h2 en función de los datos n1 y n2, precisamos de dos ecuaciones

La primera ecuación es A BP P

La segunda ecuación, nos indica que el fluido incomprensible pasa de un recipiente al otro, pero el volumen V de fluido permanece invariable. Por ejemplo, si h1 disminuye, h2 aumenta. Como consecuencia, el fluido pasa del recipiente izquierdo al derecho, hasta que se establece de nuevo el equilibrio.

2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 0( )r h r h r r h , donde h0 es la altura inicial de equilibrio.

Ejemplo 4.7: Ponemos tres pesas en el émbolo de la izquierda, y ninguna pesa en el émbolo de la derecha, n1=3, n2=0. El émbolo izquierdo baja y sube el émbolo derecho. Sea el radio del émbolo de la izquierda r1=5 cm =0.05 m El radio del émbolo de la derecha r2=10 cm =0.1 m La altura inicial de equilibrio es h0=20 cm =0.2 m La densidad del agua es ρ=1000 kg/m3 La masa m de cada una de las pesas es 250 g=0.25 kg.

La presión atmosférica 0P se simplifica en la primera ecuación

Para hallar las alturas de equilibrio h1 y h2 tenemos que plantear el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Igualdad de presiones a la misma altura A BP P

79

1 22

(3)(25)1000( ) 1000( )

(0.05)

ggh gh

El agua pasa del recipiente izquierdo al recipiente derecho, pero el volumen total de fluido permanece invariable

2 2 2 2

1 2(0.05) (0.1) (0.05) (0.1) (0.2)h h

La solución es h1=0.124 m=12.4 cm y h2=0.219 m=21.9 cm

4.7 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Resulta evidente que cada vez que un cuerpo se sumerge en un líquido es empujado de alguna manera por el fluido. A veces esa fuerza es capaz de sacarlo a flote y otras sólo logra provocar una aparente pérdida de peso. Pero, ¿cuál es el origen de esa fuerza de empuje? ¿De qué depende su intensidad?

Se sabe que la presión hidrostática aumenta con la profundidad y conocemos también que se manifiesta mediante fuerzas perpendiculares a las superficies sólidas que contacta. Esas fuerzas no sólo se ejercen sobre las paredes del contenedor del líquido sino también sobre las paredes de cualquier cuerpo sumergido en él.

Imaginemos diferentes cuerpos sumergidos en agua y representemos la distribución de fuerzas sobre sus superficies teniendo en cuenta el teorema general de la hidrostática. La simetría de la distribución de las fuerzas permite deducir que la resultante de todas ellas en la dirección horizontal será cero. Pero en la dirección vertical las fuerzas no se compensan: sobre la parte superior de los cuerpos actúa una fuerza neta hacia abajo, mientras que sobre la parte inferior, una fuerza neta hacia arriba. Como la presión crece con la profundidad, resulta más intensa la fuerza sobre la superficie inferior. Concluimos entonces que: sobre el cuerpo actúa una resultante vertical hacia arriba que llamamos empuje.

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES El principio de Arquímedes afirma que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de fluido desalojado.

liquido desalojado WE

liq S SE V gV

: volumen sumergidoSV

: E: empuje hidrostaticoEF

Ejemplo 4.8: EL PROBLEMA DE LA CORONA DEL REY El rey Hierón le entregó 2,5 kg de oro a su joyero para la construcción de la corona real. Si bien ése fue la masa total corona terminada, el rey sospechó que el artesano lo había estafado sustituyendo oro por plata en el oculto interior de la corona. Le encomendó entonces a Arquímedes que dilucidara la cuestión sin dañar la corona. Con sólo tres experiencias el sabio pudo determinar que al monarca le habían robado casi un kilo de oro. Veamos cómo lo hizo.

En primer lugar, Arquímedes sumergió una barra de medio kilo de oro puro y comprobó que desplazaba 325.3 cm .

Por lo tanto, la densidad del oro es:

80

3 3500 / 25.3 19.76 /oro g cm g cm

Si el joyero hubiera hecho las cosas como le habían indicado, el volumen de líquido desplazado por la corona real, de 2,5 kilogramos, debería haber sido:

3 32500 /19.76 / 126.5 coronaV g g cm cm

A continuación, sumergió la corona real y midió que el volumen de agua desplazado era de 3166 cm , o sea, mayor

del esperado. ¡Hierón había sido estafado! ¿En cuánto? Para saber qué cantidad de oro había sido reemplazado por plata, Arquímedes repitió la primera experiencia sumergiendo una barra de un kilo de plata para conocer su

densidad. Como el volumen desplazado resultó 395.2 cm , se tiene que:

3 31000 / 95.2 / 10.5 /plata g g cm g cm

Sabemos que la masa total de la corona es 2500 g. (el joyero tuvo la precaución de que así fuera) y su volumen total, de 166 cm3. Entonces:

Vcorona=Voro+Vplata=166 cm3

166plata oroV V

mcorona=moro+mplata=2500 g. Si reescribimos la última ecuación en función de la densidad y el volumen, nos queda que:

3 319.76 / ( ) 10.5 / ( ) 2500 oro platag cm V g cm V g

Tenemos dos ecuaciones con dos incógnitas (Voro y Vplata). Sustituyendo una ecuación con la otra, se tiene que: 3 3 319.76 / ( ) 10.5 / (166 ) 2500oro orog cm V g cm cm V g

de donde se despeja la incógnita: 381.75 oroV cm

con lo que se deduce que: 3 319.76 / (81.75 ) 1615.38 oro oro orom V g cm cm g

2500 1615.38 884.62 plata corona orom m m g g g

De esta manera, Arquímedes pudo comprobar que al rey le habían cambiado 884.62 g. de oro por plata. Cuenta la leyenda que el joyero no pudo disfrutar del oro mal habido.

4.8 FLOTACION DE CUERPOS Cuando un cuerpo se apoya o se sumerge en un líquido (o en un fluido) recibe de éste una fuerza vertical de abajo

hacia arriba llamada empuje (E). El empuje puede ser mayor, menor o igual al peso del cuerpo; no depende del

peso del cuerpo, no tiene nada que ver con el peso del cuerpo. ¿De qué depende el empuje? El empuje es igual al

peso del líquido desplazado por el cuerpo.

Todo cuerpo sumergido total o parcialmente en un fluido recibe de éste una fuerza hacia arriba llamada

empuje que es igual al peso del fluido desalojado. ( LiqE W).

Se presentan básicamente tres posibilidades: que el cuerpo esté reposando en el

fondo, que el cuerpo esté buceando y que el cuerpo esté flotando.

Luego, si el empuje es mayor que el peso del cuerpo extraño, el cuerpo

ascenderá y terminará flotando. Si el empuje resulta menor que el peso del

cuerpo extraño, entonces se irá al fondo.

Cuerpo flotando en la superficie

Cualquier canoa, cualquier cuerpo que flote, tiene un volumen propio al que podemos dividir mentalmente en dos: una parte sobre la línea de flotación y otra parte debajo de la línea de flotación.

El volumen de la parte inferior, el que queda bajo la línea de flotación, no es otro que el volumen de líquido desalojado. Según el principio de Arquímedes, el empuje que recibe para poder flotar es igual al peso de ese líquido desalojado. No olvidarse, que la flotación es un equilibrio, por lo tanto

81

( L )LiqE W Peso iquido desalojado

Ahora volvemos a la situación en la que el cuerpo estaba totalmente sumergido pero no sabemos cuál va a ser su destino. Y es así: si el empuje es mayor que el peso del cuerpo, entonces flotará; y si el empuje es menor que el peso del cuerpo, se hundirá.

E W → se hunde

E W → flota

Pero cuando el cuerpo está sumergido, su volumen es igual al del líquido desalojado, de modo que podemos dividir ambos miembros por el volumen y se obtiene

Liq c → se hunde

Liq c → flota

Con lo cual arribamos a la conclusión de que la flotabilidad de los cuerpos depende exclusivamente de la densidad relativa entre el cuerpo y el líquido en el cual nada. Y eso vale para todos los cuerpos, sean sólidos o líquidos: el aceite flota en agua porque su densidad es menor.

APLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE ARQUIMEDES Un globo de goma tiene 8 g de masa cuando está vacío. Para conseguir que se eleve se infla con gas de ciudad. Sabiendo que la densidad del aire es de 1,29 kg/m3 y la del gas de ciudad 0,53 kg/m3 determinar el volumen que, como mínimo, ha de alcanzar el globo para que comience a elevarse. Para que el globo inicie el ascenso, la fuerza

del empuje ha de ser superior a la del peso: E W

En virtud del principio de Arquímedes:

aireE gV

En este caso el fluido desalojado es el aire. Por otra parte, el peso W será la suma del peso del globo más el peso del gas ciudad que corresponde

al volumen V, es decir: 38 10 ( ) gasW kg g gV

Entonces aplicado E W 38 10 ( )aire gasV g kg g V g

33 8 10

( ) 8 10( )

aire gas

aire gas

kgV kg V

33 3

3

8 1010.5 10

(1.29 053) /

kgV m

kg m

El volumen minino será, por tanto, de 10.5 litros.

EJERCICIOS

1. En la figura se muestra un pistón de masa despreciable de área 21 A m acoplado a un resorte de constante

55 10 /K N m . Si el recipiente contiene aceite y agua como se indica, determine la deformación, en cm,

del resorte. 3 2800 / , 10 /Aceite Kg m g m s .

Solución La presión hidrostática total sobre el pistón será:

3 2 3 2(800 / )(10 / )(2 ) (1000 / )(10 / )(4 )P Kg m m s m Kg m m s m 256000 / P N m Pa

2 256000 / (1 ) 56000 F PA N m m N

82

556000 5 10

11.2

F Kx

x

x cm

2. Determinar la densidad en 3/g cm del liquido x (

313.6 /Hg g cm ).

Solución

A BP P

2 2H O H O x x hg Hggh gh gh

2 2H O H O x x hg Hgh h h

3 310 0.2 (0.048) 13.6 10 (0.05)x

200 0.048 680x

3 310000 / 10 /x Kg m g cm

3. ¿Cuál debe ser el valor de 1F , en N, para frenar la faja que se mueve con velocidad v, si se debe desarrollar

una fuerza de fricción de 100N sobre dicha faja. Se sabe que 2 1/ 10, 0.5.A A

Solución

100

0.5

f N

200f

f N N N

2 F 200N N

Aplicando prensa hidráulica

1 1 11 2

2 2 2

F A AF F

F A A

1 200(1/10) 20F N

4. ¿Qué volumen de Agua en litros se debe añadir a un litro de lejía de cloro de densidad relativa al densidad del agua , 1.3; para que su densidad sea 1.2?.

Solución 3

1

3

2

1.3 k / ( )

1 k / ( )

g dm legia

g dm agua

3

1 1 1 1 V 1 litro(dm )m V

2 2 2 2 ?m V V

3 =1.2 kg/dmm V

1 2m m m

1 1 2 2 1 2( )V V V V

2 21.3 1 1 1.2 1 1.2V V

2 20.1 0.2 0.5 V V litros

5. Un bloque de madera cuyas dimensiones son 20 cm, 10 cm y 6 cm, flota en el agua con su superficie mayor

horizontal, si su densidad es 30.7 /g cm ¿Qué altura (en cm) emerge fuera del agua?

Si flota 0 E=WF

liq s c cgV gV

1 (20 10 ) 0.7 (20 10 6)x

4.2 x cm

Emerge: h=6cm-4.2cm=1.8 cm.

83

6. ¿Cuál es la mínima área, en 2m , que deberá tener un bloque de hielo de 50 cm de espesor para que una

alumna de 500N de peso, no se moje los pies?, 30.9 /hielo g cm .

Solución E = Peso total

alumna hieloE W W , a la vez 2H O sE gV , .sV Vol sumergido

2500H O s hielo hielogV gV , , 0.5 s hieloV V A h h m

3 2 3 21000 (10 )( )(0.5 ) 500 900 (10 ) (0.5 )

Kg m Kg mA m N A m

m s m s

2 2(5000 ) 500 (4500 )

N NA N A

m m

21 A m

7. Un cuerpo pesa 100 N en el aire, 80 N en el agua y 60 N en un liquido X. Calcular la densidad de X en el sistema internacional.

Solución

Datos: 2

100 , 80 , 60a H O xw N w N w N

Calculando empuje: 1 100 80 20E N

2 100 60 40E N

Por definición: 2

20H OE gV gV N (1)

40xgV N (2)

Dividiendo las ecuaciones (1) (2) , se tiene.

2

2

32, 1000 /xH O

H O

como kg m

3 2000 /x kg m

8. Estudiantes de Agronomía para su aniversario preparan un globo aerostático llenado con 3 4 m de helio,

además debe llevar banderola de la Escuela. ¿qué peso debe tener la banderola para que despegue el globo

sin problemas?, 3 0.160 /helio kg m .

Solución

Datos: 34 V m , densidad de aire en la UNA

3 0.77 /aire kg m

De la figura. E-w 0globo xw

E-wx globo x aire globo helio heliow w gV gV

( )x helio aire heliow gV

2 3 39.76 / (4 )(077 0.160) /xw m s m kg m

23.8 m 2.5 kgxw N

4.9 DINÁMICA DE FLUIDOS

Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos:

a) Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria uniforme y estas no se cruzan, es un

flujo ideal. Por ejemplo el humo de cigarrillo justo después de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la

velocidad del fluido permanece constante en el tiempo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento.

84

b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos. Por ejemplo el humo de cigarrillo

en la parte superior alejada del cigarro es turbulento.

El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está presente en los fluidos y surge cuando

un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él desplaza a otra porción de fluido; se nota por ejemplo

cuando corres en el agua. La fricción interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a

moverse respecto a otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente de

viscosidad η. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se transforma en energía térmica,

similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de un fluido real es muy complejo, consideraremos un

modelo de fluido ideal con las siguientes restricciones:

Fluido incompresible. La densidad del fluido permanece constante con el tiempo

Flujo estacionario, laminar. La velocidad en cada punto es constante.

Rotacional. No presenta torbellinos, es decir, no hay momento angular

4.9.1 FLUJO

Es la masa del fluido que atraviesa la sección recta en la unidad de tiempo. El flujo de fluidos puede ser permanente o no permanente, uniforme o no uniforme.

4.9.2 FLUJO PERMANENTE El flujo uniforme tiene lugar cuando el modulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido.

4.9.3 TIPOS DE MOVIMIENTO

1) MOVIMIENTO O RÉGIMEN LAMINAR

El flujo es uniforme, de tal manera que capas vecinas de fluido se deslizan entre sí suavemente. Cada partícula

sigue una trayectoria lisa (LINEA DE CORRIENTE),de tal manera que las trayectorias de dos partículas son siempre

paralelas entre sí y paralelas a la velocidad del fluido.

2) MOVIMIENTO O RÉGIMEN TURBULENTO

Existen círculos erráticos (remolinos),llamados corrientes secundarias o

parásitas, de tal manera que las líneas de corriente se cruzan entre sí.

Estas corrientes secundarias absorben mucha energía y generan una

mayor cantidad de fricción interna (rozamiento) que en el movimiento

laminar. El movimiento del fluido es muy complicado y muy variable con

el tiempo.

85

4.10 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD.

4.10.1 CAUDAL

En dinámica de fluidos, caudal es el volumen de fluido que pasa por un área dada por una unidad de tiempo. Normalmente se identifica con el flujo volumétrico. Menos frecuentemente, se identifica con el flujo másico o masa que pasa por un área dada en la unidad de tiempo.

El caudal de un río puede calcularse a través de la siguiente fórmula:

Dónde: Q: Caudal m3/s A: Es el área m2 : Es la velocidad linear promedio m/s.

Dada una sección de área A atravesada por un fluido con velocidad uniforme v , si esta velocidad forma con la

perpendicular a la superficie A un ángulo θ, entonces el flujo se calcula como

cosA v

En el caso particular de que el flujo sea perpendicular al área A (por tanto θ = 0 y cosθ = 1) entonces el flujo vale

Av

4.10.2 ECUACIÓN DE LA CONTINUIDAD Cuando una masa de un fluido ingresa por el extremo de un tubo debe salir por el otro. Por lo tanto, en una porción de tubo

Fig. Si la masa del fluido que entra por 1A con velocidad 1v

es:

1 1( ) ( )m V Av t (1)

La masa que sale por 2A con velocidad 2v es:

2 2( )m V A v t (2)

Entonces de la ecuación (1) y (2) tenemos: 1 1 2 2 1 1 2 2 Av t A v t Av A v cte

Ecuacion de continuidadAv cte

Esta ecuación expresa la conservación de la masa y nos indica que si la sección del tubo del flujo disminuye la velocidad del fluido aumenta.

4.11 ECUACIÓN DE BERNOULLI

Fue descubierto por Daniel Bernoulli en 1783 y dice: “en un fluido perfecto (no viscoso) y en régimen estacionario, la suma de las energías, de Presión, Cinética, Potencial en cualquier punto del fluido es constante” (conservación de la Energía).

21

2

mP mv mgh cte , su equivalente es:

21

2P v gh cte

Prueba del Teorema:

De la ecuación del movimiento

x xF ma , se tiene:

dwPdA-PdA-dPdA- g(dAdx)sen (

g )

dv

dt

86

( ) ( ) xPdA P dP dA g dAdx sen ma ( )dx

dP gdxsen dvdt

Como: y dxsen =dydx

vdt

-dP- gdy= vdv

Integrando: 1

0dP

vdv dyg g

2

2

P vy cte

g g

21

2P v gy cte

Conocido como ecuación de Bernoulli

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2P v gy P v gy

PROBLEMAS

1) El caudal de un fluido que circula por una tubería es de 18 litros/segundo; la velocidad y cuya sección transversal es de 200 cm2. ¿Cuál es la velocidad en m/s del fluido en un punto dado?

Solución

Por definición Q Av

Del problema 3 3 3

3 3

3

18 L 18 dm 1018 10 m /s

mQ

s s dm

4 22 2 2

2

10200 ( ) 2 10

mA cm m

cm

Como: 3 3

2 2

18 10 / 0.9 /

2 10

Q m sQ av v v v m s

A m

2) En una tubería Horizontal fluye agua con una velocidad de 4m/s bajo una presión de 54 10 Pa . La tubería

se estrecha hasta la mitad de su diámetro. ¿Cuál es la presión, en KPa, del agua en este caso? Solución

Por definición 1 1 2 2 Av cte Av A v

2

11

2 1 2 1 2 1212

4 16 / , =4 m/s

( )4 2

DA

v v v v v m s por que vDA

Aplicando Bernoulli, para 1 2 0 h h Nivel de referencia

2 2 2 2

1 1 2 2 2 1 1 2

1 1 1( )

2 2 2P v P v P P v v

5 2 3 2 2

2

14 10 / (1000 / ) (4 / ) (16 / )

2P N m kg m m s m s

5

2 2.8 10 280P Pa KPa

3) La tubería de la figura tiene un diámetro de 8 cm en la sección 1 y de 4 cm en la sección 2. y la diferencia de alturas entre ambas secciones es de 60 m. Suponiendo que circula un fluido de peso específico

30.0098 N/cm , a razón de 30.2 m / s . Calcular la presión de bombeo en la sección 1.

87

Solución

Por definición 1 1 2 2 Q Av Q Av Q A v

3

12 21

0.2 / 2000/ 39.79 /

16(8 10 )

4

Q m sv m s m s

Am

3

22 22

0.2 / 2000/ 159.15 /

4(4 10 )

4

Q m sv m s m s

Am

Aplicando Bernoulli: 2 2

1 1 1 2 2 2 1

1 1, 0( )

2 2P v gY P v gY Y NR

Considerando 2 65.12P KPa , presión atmosférica a nivel del lago titicaca

2 2

1 2 2 1 2

1( )

2P P v v gy

Como peso específico es: 3 30.0098 / 1000 /g N cm kg m

3 3 2 2 2

1 3 3

165.12 10 10 (159.15 / ) (39.79 / ) 1000 (9.76 / )(60 )

2

kg kgP Pa m s m s m s m

m m

1 664.176P KPa

4) Se desea bombear agua desde el Lago Titicaca hasta localidad de Cancharani a través de una tubería de 4” de diámetro. La diferencia de altura entre el Lago y Cancharani es 500m.

a) ¿Cuál es la presión mínima con que debe bombearse el agua para que llegue hasta Cancharani?

b) Si se bombea 34500 m diarios, ¿Cuál es la velocidad del agua en la tubería?

c) ¿Cuál es la presión adicional necesaria para entregar este flujo? Solución

Aplicando Bernoulli:

2 2

1 1 1 2 2 2 1

1 1, 0( )

2 2P v gY P v gY Y NR

Ecuación de continuidad: 1 2 1 2 A A v v

a) min 0 2 2 0 0, 500 , y y YanamayoP P gY Y m P P

0 61.44 , (3810 500 )yP KPa para Y m m

min 61.44 (1000)(9.76)(500) 4941.44P KPa Pa KPa

b) Ecuación de continuidad 3

34500 ( ) 0.052 /

24 3600

V V m hQ Av m s

t t h s

2 2 3 2(0.10116) 8.037 104 4

A d m

3

3 2

0.052 /6.47 / 6.47 /

8.037 10

m sv m s v m s

m

c) 2

2 21 1(1000)(6.47) 20.93

2 2ad H OP v Pa KPa

5) En la figura se representa un tubo de venturi para la medida del caudal, con el típico manómetro diferencial de mercurio. Hallar el gasto de agua sabiendo que la diferencia entre las alturas alcanzadas por el mercurio en las dos ramas vale 35 cm. Densidad de mercurio es 13.6g/cc.

Solución Aplicando Bernoulli:

88

2 21 1

2 2

0( )

A A A B B B

A B

P v gY P v gY

Y Y NR

2 2 2 21 1 1( )

2 2 2A A B B A B B AP v P v P P v v

EC. De continuidad A A B BA v A v

2 2

2 2 15 1

4 4 30 4

BA A B B A B A B A B

A

d cmd v d v v v v v v v

d cm

2 2 2 21 1 15 15( ) (*)

2 16 32 32A B B B B A B BP P v v v P P v

En la gráfica lectura del manómetro del Hg.

(0.35 ) (0.35 )C D A B HgP P P g m P g m

(0.35 )( ) 9.76(0.35)(13600 1000)A B HgP P g m Pa

43041.6 (**)A BP P Pa

Ec. (**) Remplazando en (*)

2 21543041.6 / 303 /

32B BN m v v m s

2 3 3 Caudal Q=Av Q= (0.15) (303) / 5.35 /4

m s Q m s

6) Un tanque cilíndrico de 30cm de altura y un área de 4002cm se encuentra lleno de agua. Cual es el tiempo

que demora en quedar completamente vació por un orificio en el fondo del tanque de 1 2cm de área.

Solución

Def. de caudal 2 2 2 2 1 2 2

dVS v dV S v dt S dy S v dt

dt

1 2 1 22 2S dy S gydt S dy S gydt

02 2

01 1

2 2t

H

S Sdy dygdt g dt

S Sy y

02 2

1 10

2 2 2 2

t

H

S Sy gt H gt

S S

2

1

2 22

1 400 12 ( )( ) 2 0.30 ( )( )

12 2(9.76) /

S cmt H t m

S cmg m s

7) Por una tubería horizontal de sección variable circula agua en régimen permanente. En un punto en que la presión es de 200 KPa la velocidad es de 10 m/s. Calcular la presión en otro punto del conducto en el que la velocidad es de 20 m/s.

Solución

Aplicando Bernoulli a los puntos (1) y (2):

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2P v P v

3 3 3

2200 10 0.5 10 100 0.5 10 400Pa Pa P Pa 2 50 .P KPa

89

8) Supongamos que se tiene un balde abierto y grande conteniendo agua de paredes verticales, el agua alcanza una altura de 1.20m. Además el balde descansa sobre una plataforma situada 2.40m por encima del suelo. Si

se hace un orificio de 21 cm en una de las paredes laterales y justamente encima del fondo. ¿Donde golpea

al suelo, el chorro de agua que sale del orificio? Solución

Por Bernoulli: 2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2P v gh P v gh

Considerando: 1 2 1 0A A v

Además tomando nivel de referencia en punto 2, 2 0h

2 1 22 2(9.76)(1.20) / 4.84 /v gh v m s m s

Calculando alcance de chorro de agua al piso:

Por definición: 2 vR v t (*)

21 2 2(2.40) 0.7

2 9.76v v v

yComo y gt t s t s

g

Remplazando los valores en (*), se tiene:

(4.84 / )(0.7 ) 3.388 , 3.388 R m s s m R m

90

QUINTA UNIDAD DIDÁCTICA

TEMPERATURA, DILATACIÓN Y CALOR

5.1 CONCEPTO DE TEMPERATURA

La temperatura es la sensación física que nos produce un cuerpo cuando entramos en contacto con él. En la

práctica, es una medida de que tan caliente o frío está un cuerpo.

Desde un punto de vista microscópico, la temperatura se considera una representación de la energía cinética interna media de las moléculas que integran el cuerpo considerado. Esta energía cinética se manifiesta en forma de agitación térmica, que resulta de la colisión entre las moléculas del cuerpo y puede llegar a ser muy energética.

En el plano macroscópico, el incremento de la temperatura produce diversos efectos perceptibles o mensurables, como un aumento del volumen del cuerpo, la disminución de la densidad, el cambio de estado o la modificación del color (por ejemplo, enrojecimiento). La temperatura se mide con termómetros y sensores de temperatura.

Pensemos en los termómetros que consisten en un pequeño depósito de mercurio que asciende por un capilar a medida que se incrementa la temperatura.

Cuando un sistema de masa grande se pone en contacto con un sistema de masa pequeña que está a diferente temperatura, la temperatura de equilibrio resultante está próxima a la del sistema grande.

EQUILIBRIO TÉRMICO Cuando dos cuerpos A y B que tienen diferentes temperaturas se ponen en contacto térmico, las moléculas que se encuentran en la frontera entre ambos experimentan colisiones hasta que las temperaturas respectivas de los cuerpos se equiparan. Finalmente, se alcanza una situación de equilibrio térmico, en el sistema aislado térmicamente (no hay transferencia de calor hacia el ambiente) el resultado se denomina “Ley cero de la Termodinámica”.

CONCEPTO DE CALOR

Energía producida por la vibración acelerada de las moléculas, que se manifiesta elevando la temperatura y dilatando los cuerpos y llega a fundir los sólidos y a evaporar los líquidos.

Suponemos que la temperatura del cuerpo A es mayor que la del cuerpo B (TA>TB), el calor es una forma particular de transferencia de energía por virtud de una diferencia de temperatura y que se aplica en procesos dinámicos.

El concepto de calor ésta muy ligada al concepto de temperatura, sin embargo no es lo mismo, describen dos situaciones bastante diferentes. La temperatura mide la energía interna de un cuerpo o energía cinética molecular

91

media; mientras que el calor es la energía en tránsito de un cuerpo (es la energía transferida de un sistema a otro debido a una diferencia de temperaturas entre los sistemas).

Si los cuerpos A y B son los dos componentes de un sistema aislado, el cuerpo que está a mayor temperatura transfiere calor al cuerpo que está a menos temperatura hasta que ambas se igualan

Si TA>TB

El cuerpo A cede calor: ( ), 0A A A AQ C T T entonces Q .

El cuerpo B recibe calor: ( ), 0B B B BQ C T T entonces Q .

Como: 0A BQ Q

La temperatura de equilibrio, se obtiene mediante la media ponderada

A A B B

A B

C T + C TT =

C + C

UNIDADES DE CALOR Caloría Gramo: Se le llama también simplemente caloría (cal) y es la cantidad de calor que necesita para elevar la temperatura de 1 gramo de agua en 1ºC de 14.5 ºC a 15.5 ºC. 1 cal = 4.186 J, J = 0.24 cal Kcal = 1000 cal

31 1 252 1.054 10 .BTU Btu cal J BTU: (Unidad Térmica Inglesa)

5.2 ESCALAS DE TEMPERATURA

Los diferentes termómetros que existen se basaron en ideas con apariencia distinta, al usar diferentes puntos de partida en sus mediciones, pero como todos miden la agitación térmica de las moléculas, lo único que cambia es la escala empleada por cada uno de sus inventores. La temperatura se expresa en grados, por lo general en una de las dos escalas relativas: Centígrado (Celsius) Y

Fahrenheit, o en una de las escalas absolutas: Kelvin y Ranking.

Se cumple: º º 32 º 273 º 492

5 9 5 9

C F K R

Una de las primeras escalas de temperatura, todavía empleada en los países anglosajones, fue diseñada por el físico alemán Gabriel Daniel Fahrenheit. Según esta escala, a la presión atmosférica normal, el punto de solidificación del agua (y de fusión del hielo) es de 32 °F, y su punto de ebullición es de 212 °F. La escala centígrada o Celsius, ideada por el astrónomo sueco Anders Celsius y utilizada en casi todo el mundo, asigna un valor de 0 °C al punto de congelación del agua y de 100 °C a su punto de ebullición. En ciencia, la escala más empleada es la escala absoluta o Kelvin, inventada por el matemático y físico británico William Thomson , lord Kelvin. En esta escala, el cero absoluto, que está situado en -273,15 °C, corresponde a 0 K, y una diferencia de un kelvin equivale a una diferencia de un grado en la escala centígrada.

92

EFECTOS DE LA TEMPERATURA

La temperatura desempeña un papel importante para determinar las condiciones de supervivencia de los seres vivos. Así, las aves y los mamíferos necesitan un rango muy limitado de temperatura corporal para poder sobrevivir, y tienen que estar protegidos de temperaturas extremas. Las especies acuáticas sólo pueden existir dentro de un estrecho rango de temperaturas del agua, diferente según las especies. Por ejemplo, un aumento de sólo unos grados en la temperatura de un río como resultado del calor desprendido por una central eléctrica puede provocar la contaminación del agua y matar a la mayoría de los peces originarios.

Los cambios de temperatura también afectan de forma importante a las propiedades de todos los materiales. A temperaturas árticas, por ejemplo, el acero se vuelve quebradizo y se rompe fácilmente, y los líquidos se solidifican o se hacen muy viscosos, ofreciendo una elevada resistencia por rozamiento al flujo. A temperaturas próximas al cero absoluto, muchos materiales presentan características sorprendentemente diferentes (véase Criogenia). A temperaturas elevadas, los materiales sólidos se licúan o se convierten en gases; los compuestos químicos se separan en sus componentes.

La temperatura de la atmósfera se ve muy influida tanto por las zonas de tierra como de mar. En enero, por ejemplo, las grandes masas de tierra del hemisferio norte están mucho más frías que los océanos de la misma latitud, y en julio la situación es la contraria. A bajas alturas, la temperatura del aire está determinada en gran medida por la temperatura de la superficie terrestre. Los cambios periódicos de temperatura se deben básicamente al calentamiento por la radiación del sol de las zonas terrestres del planeta, que a su vez calientan el aire situado por encima. Como resultado de este fenómeno, la temperatura disminuye con la altura, desde un nivel de referencia de 15 °C en el nivel del mar (en latitudes templadas) hasta unos -55 °C a 11.000 m aproximadamente. Por encima de esta altura, la temperatura permanece casi constante hasta unos 34.000 m.

5.3 CAPACIDAD CALORIFICA Y CALOR ESPECIFICO

CAPACIDAD CALORIFICA

Decimos que una cantidad de calor Q se transfiere desde el sistema de mayor temperatura al sistema de

menor temperatura.

La cantidad de calor transferida es proporcional al cambio de temperatura T . La constante de proporcionalidad C se denomina capacidad calorífica del sistema.

Q T Q C T

, unidades: cal/ºC, cal/K, J/ºC, J/KdQ

CdT

CALOR ESPECIFICO ( )eC c

Si a dos cuerpos de igual masa pero de diferentes materiales se les suministra la misma cantidad de calor, la temperatura final de los dos cuerpos es diferente debido a una propiedad que caracteriza a cada material denominada Calor específico, denotado por c y se define como la cantidad de calor que se le debe entregar a 1 gramo de sustancia para aumentar su temperatura en 1 grado Celsius. Matemáticamente, la definición de calor específico se expresa como:

/, / º , / ºe

dQ dT dQC c cal g C J kg C

m mdT , /J kgK

Ejm: Calor especifico del agua

2 0 1 / º 4186 / ºHc cal g C J kg C

0.5 / º 2093 / ºhieloc cal g C J kg C , a (-10 ºC).

0.5 / º 2093 / ºvaporc cal g C J kg C

Tabla 5.1 Sustancia Calor específico (J/kg·K) Sustancia Calor específico (J/kg·K)

Acero 460 Oro 130

Aluminio 880 Plata 235

Cobre 390 Plomo 130

Estaño 230 Sodio 1300

Hierro 450 Alcohol 2513

Mercurio 138 Alpaca 398

93

Aceite de oliva 1675 Azufre 750

Carbón mineral 1300 Carbón vegetal 840

Éter etílico 2261 Vidrio 838

5.4 DETERMINACIÓN DE CALOR ESPECÍFICO DE UN LÍQUIDO Y SÓLIDO.

El calorímetro es un instrumento que sirve para medir las cantidades de calor suministradas o recibidas por los

cuerpos. Es decir, sirve para determinar el calor específico de un cuerpo, así como para medir las cantidades de

calor que liberan o absorben los cuerpos. El tipo de calorímetro de uso más extendido consiste en un envase

cerrado y perfectamente aislado con agua, un dispositivo para agitar y sensor de temperatura. Se coloca una fuente

de calor en el calorímetro, se agita el agua hasta lograr el equilibrio, y el aumento de temperatura se registra con el

sensor de temperatura.

La fórmula para la transferencia de calor entre los cuerpos se expresa en términos de la masa m del calor específico c y del cambio de temperatura.

f iΔQ = m.c.(T - T )

Donde fT es la temperatura final y iT es la temperatura inicial.

El calor específico de un objeto se puede medirse convenientemente calentando a una cierta temperatura conocida, y midiendo la temperatura final de equilibrio. Si el sistema esta aislado térmicamente en su totalidad de su entorno, el calor que sale del cuerpo tiene que ser igual al calor que entra en el agua y en el recipiente. Este procedimiento se denomina Calorimetría y el recipiente aislado que contiene el agua, calorímetro.

Sea m la masa del cuerpo, c su calor especifico y ioT su temperatura inicial. Si fT es la temperatura final del cuerpo

dentro de su baño de agua, el calor que sale del cuerpo vale sale io fQ = mc(T - T )

Análogamente, si iaT es la temperatura inicial del agua y su recipiente, y fT su temperatura final (la temperatura

final del cuerpo y del agua serán la misma, puesto que finalmente alcanzaran el equilibrio), el calor absorbido por el

agua y el recipiente es ( ) ( )entra a a f ia c c f iaQ m c T T m c T T

Igualando estas cantidades de calor, puede obtenerse el calor especifico c del objeto:

sale entraQ Q

( ) ( ) ( )io f a a f ia c c f iamc T T m c T T m c T T

Ejemplo 5.1: Para medir el calor especifico del plomo se caliente a 600g de perdigones de este metal a 100 ºC y se colocan en un calorímetro de aluminio de 200g de masa que contiene 500g de agua inicialmente a 17.3 ºC. El calor específico del aluminio del calorímetro es 0.900KJ/KgK. La temperatura final del sistema es 20 ºC. ¿Cuál es el calor específico del plomo?

94

Solución Calor cedido por el plomo

( ) (0.6 ) (100º 20º )Pb Pb io f PbQ mc T T Kg c C C

Calor absorbido por el agua

( ) (0.5 )(4.18 / º )(20º 17.3º )a a a f iaQ m c T T kg KJ Kg C C C

Calor absorbido por el calorímetro

( ) (0.2 )(0.900 / º )(20º 17.3º )c c c f iaQ m c T T Kg KJ Kg K C C

Pb Rpta: c 0.128 / º .Pb a cQ Q Q KJ Kg K

5.5 EQUIVALENTE MECANICO DE CALOR

En el experimento de Joule se determina el equivalente mecánico del calor, es decir, la relación entre la unidad de

energía joule (julio) y la unidad de calor caloría. Mediante esta experiencia simulada, se pretende poner de

manifiesto la gran cantidad de energía que es necesario transformar en calor para elevar apreciablemente la

temperatura de un volumen pequeño de agua.

DESCRIPCIÓN.

Un recipiente aislado térmicamente contiene una cierta cantidad de agua, con un termómetro para medir su temperatura, un eje con unas paletas que se ponen en movimiento por la acción de una pesa, tal como se muestra en la figura anterior.

La pesa, que se mueve con velocidad prácticamente constante, pierde energía potencial, como consecuencia el agua agitada por las paletas se calienta debido a la fricción. Si el bloque de masa M desciende una altura h, la energía potencial disminuye en Mgh, y ésta es la energía que se utiliza para calentar el agua (se desprecian otras pérdidas).

Joule encontró que la disminución de energía potencial es proporcional al incremento de temperatura del agua. La constante de proporcionalidad (el calor específico de agua) es igual a 4.186 J/(g ºC). Por tanto, 4.186 J de energía mecánica aumentan la temperatura de 1g de agua en 1º C. Se define la caloría como 4.186 J sin referencia a la sustancia que se está calentando.

1 4.186 Cal J

En la simulación de la experiencia de Joule, se desprecia el equivalente en agua del calorímetro, del termómetro, del eje y de las paletas, la pérdida de energía por las paredes aislantes del recipiente del calorímetro, y otras pérdidas debidas al rozamiento en las poleas, etc.

95

Sea M la masa del bloque que cuelga, y h su desplazamiento vertical

m la masa de agua del calorímetro

T0 la temperatura inicial del agua y T la temperatura final

g=9.8 m/s2 la aceleración de la gravedad.

La conversión de energía mecánica íntegramente en calor se expresa mediante la siguiente ecuación:

0( )Mgh mc T T

Se despeja el calor específico del agua que estará expresado en J/(kg ºC).

0( )

Mghc

m T T

Como el calor especifico del agua es por definición 1 cal/(g ºC), obtenemos la equivalencia entre las unidades de calor y de trabajo o energía.

Ejemplo 5.4: (APLET)

Masa del bloque M=50 kg

Masa del agua en g, (o volumen del agua en ml), m=100 g=0.10 kg.

Se apunta:

Altura h=1 m

Temperatura inicial T0=20ºC, y la temperatura final T=21.2ºC

0

50 9.8 14083.3

( ) 0.10 (21.2 20) º

Mgh Jc

m T T Kg C

Tenemos aumentar la diferencia de temperaturas para obtener un mejor resultado. En la experiencia real se consigue haciendo caer varias veces el bloque. El trabajo total es nMgh, siendo n el número de veces que se suelta el bloque. En la experiencia simulada conseguimos el mismo efecto aumentando la masa M del bloque

5.6 CAMBIOS DE ESTADO

Normalmente, una sustancia experimenta un cambio de temperatura cuando absorbe o cede calor al ambiente que le rodea. Sin embargo, cuando una sustancia cambia de fase absorbe o cede calor sin que se produzca un cambio de su temperatura, se denomina Calor de transformación o calor latente L.

El calor Q absorbido (o cedido) por una masa m durante el cambio de fase es:

Q=mL

Donde L se denomina calor latente de la sustancia y depende del tipo de cambio de fase.

El calor Latente de fusión fL es la cantidad de calor necesaria para que la unidad de masa de una sustancia pase

de la sólida a la fase liquida a temperatura y presión constantes.

El calor Latente de vaporización vL es la cantidad de calor que requiere la unidad de masa de la sustancia para

pasar de la fase liquida a vapor.

El calor latente de sublimación sL es el calor absorbido por la unidad de masa de la sustancia para pasar de la

fase sólida a la fase de vapor.

Por ejemplo, para que el agua cambie de sólido (hielo) a líquido, a 0ºC se necesitan 334·103 J/kg. Para que cambie de líquido a vapor a 100 ºC se precisan 2260·103 J/kg.

En la siguiente tabla, se proporcionan los datos referentes a los cambios de estado de algunas sustancias.

96

Tabla 5.3 Sustancia T fusión ºC Lf ·103 (J/kg) T ebullición ºC Lv ·103 (J/kg)

Hielo (agua) 0 334 100 2260

Alcohol etílico -114 105 78.3 846

Acetona -94.3 96 56.2 524

Benceno 5.5 127 80.2 396

Aluminio 658.7 322-394 2300 9220

Estaño 231.9 59 2270 3020

Hierro 1530 293 3050 6300

Cobre 1083 214 2360 5410

Mercurio -38.9 11.73 356.7 285

Plomo 327.3 22.5 1750 880

Potasio 64 60.8 760 2080

Sodio 98 113 883 4220

Los cambios de estado se pueden explicar de forma cualitativa del siguiente modo:

En un sólido los átomos y moléculas ocupan las posiciones fijas de los nudos de una red cristalina. Un sólido tiene en ausencia de fuerzas externas un volumen fijo y una forma determinada.

Los átomos y moléculas vibran, alrededor de sus posiciones de equilibrio estable, cada vez con mayor amplitud a medida que se incrementa la temperatura. Llega un momento en el que vencen a las fuerzas de atracción que mantienen a los átomos en sus posiciones fijas y el sólido se convierte en líquido. Los átomos y moléculas siguen unidos por las fuerzas de atracción, pero pueden moverse unos respecto de los otros, lo que hace que los líquidos se adapten al recipiente que los contiene pero mantengan un volumen constante.

Cuando se incrementa aún más la temperatura, se vencen las fuerzas de atracción que mantienen unidos a los átomos y moléculas en el líquido. Las moléculas están alejadas unas de las otras, se pueden mover por todo el recipiente que las contiene y solamente interaccionan cuando están muy próximas entre sí, en el momento en el que chocan. Un gas adopta la forma del recipiente que lo contiene y tiende a ocupar todo el volumen disponible.

Ejemplo 5.5: Determinar el calor que hay que suministrar para convertir 10 gramos de hielo a -20 ºC en vapor a 85 ºC. Los datos son los siguientes:

1. Calor específico del hielo ch=2090 J/(kg K) 2. Calor de fusión del hielo Lf=334·103 J/kg , Lf=80 cal/g=80 kcal/kg 3. Calor específico del agua c=4180 J/(kg K) 4. Calor de vaporización del agua Lv=2260·103 J/kg, Lv=540 cal/g=540 kcal/kg

Etapas:

1. Se eleva la temperatura de 10 g de hielo de -20ºC a 0ºC

1 ( ) (0.01)(2090) 0 ( 20) 418 hielo f iQ mc T T J

2. Se funde el hielo

97

3

2 (0.01)(334 10 ) 3340 fQ mL J

3. Se eleva la temperatura del agua de 0º C a 85 ºC

23 0( ) (0.01)(4180)(85 0) 3553 H f iQ mc T T J

4. Se convierte 10 g de agua a 85 ºC en vapor a la misma temperatura

3

4 (0.01)(2260 10 22600 vQ mL J

El calor total Q=Q1+Q2+Q3+Q4=29911 J.

En la figura, se muestra cómo se va incrementando la temperatura a medida que se aporta calor al sistema. La vaporización del agua requiere de gran cantidad de calor como podemos observar en la gráfica (no está hecha a escala) y en los cálculos realizados en el ejemplo.

En el proceso de intercambio de calor entre dos cuerpos en contacto y aislados térmicamente del medio, el calor cedido por el cuerpo más caliente es igual al absorbido por el más frió, así:

( ) ( )perdido por un cuerpo ganado por el otro cuerpoQ Q

Ejemplo 5.8: En una mezcla de 200 ml de agua a 70 ºC con 150 ml de alcohol (densidad del alcohol 0.79 g/ml), a 20 ºC. Calcular su temperatura T final suponiendo que no hay perdida de calor con el medio ambiente ni con el recipiente que contiene el agua.

Solución La temperatura T de la mezcla no puede ser el promedio de las temperaturas de las dos sustancias. Puesto que sus masas y los calores específicos son diferentes. Como la energía se conserva:

( ) ( )calor cedido por el agua absorbido por el alcoholQ Q

2 2 2H O H O alc alcH O alc

m c T m c T

2

(70º )H O

T C T , ( 20º )alc

T T C , 2

1 , 0.6º º

H O alc

cal calc c

g C g C

Remplazando en la primera ecuación

200 (1 )(70º ) 150 (0.6 )( 20º )º º

cal calg C T g T C

g C g C

1400º 20 9 180ºC T T C

1580º54.6º

29

CT C

En la práctica, T es inferior debido a las perdidas de calor hacia el ambiente.

5.7 DILATACION

La experiencia muestra que los sólidos se dilatan cuando se calientan y se contraen cuando se enfrían. La dilatación y la contracción ocurren en tres (3) dimensiones: largo, ancho y alto.

A la variación en las dimensiones de un sólido causada por calentamiento (se dilata) o enfriamiento (se contrae) se denomina Dilatación térmica.

La dilatación de los sólidos con el aumento de la temperatura ocurre porque aumenta la energía térmica y esto hace que aumente las vibraciones de los átomos y moléculas que forman el cuerpo, haciendo que pase a posiciones de equilibrio más alejadas que las originales. Este alejamiento mayor de los átomos y de las moléculas del sólido produce su dilatación en todas las direcciones.

98

5.7.1 DILATACIÓN LINEAL

La dilatación o contracción se producirá en las tres direcciones del espacio, pero para simplificar el problema en el caso de sólidos y suponiendo que una de las dimensiones es mucho mayor que las otras dos, en muchas ocasiones se habla de dilatación únicamente en una dirección. En este caso se denomina dilatación lineal

0

0 0( )

L L

L T T

Dónde: se denomina coeficiente de dilatación lineal,

0L Longitud inicial, L longitud final,

0T Temperatura inicial, T temperatura final.

Si L es pequeño comparado con 0L 0 0, L L T T T T

Donde se denomina coeficiente de dilatación lineal, ¡depende del material¡

Unidades S.I. de α: 1/K o bien 1/ºC

Tabla 5.4: Coeficientes de dilatación lineal a 20°C

Material Coeficiente de dilatación lineal,

1(º )C

Coeficiente de dilatación cúbica, 1 (º )C

Sólidos

Aluminio 625 10 -675 10

Cuarzo 60.4 10 -61 10

Hierro o acero 612 10 -635 10

Hormigón y Ladrillo

612 10 -636 10

Latón 619 10 -656 10

Mármol 61.4 3.5 10 -64 10 10

Plomo 629 10 -687 10

Vidrio (ordinario 69 10 -627 10

Vidrio (pirex) 63 10 -69 10

Liquido

Agua -6950 10

Alcohol etílico -6180 10

Gasolina -61100 10

Glicerina -6500 10

Mercurio -6210 10

Gases

Aire -63400 10

Ejemplo 5.10: Consideremos una viga de acero con una longitud de 200m a 20 °C. Si las temperaturas extremas a que puede

estar expuesta son -30 °C y +40 °C. ¿Cuánto se contraerá o se dilatará en cada caso? El coeficiente de dilatación

lineal del acero es 6 112 10 (º )C .

99

A 40 °C 6 1 2

0 12 10 º (200 )(40º 20º ) 4.8 10L L T C m C C m

Un alargamiento de 4,8 cm

A -30 °C 6 1 2

0 12 10 º (200 )( 30º 20º ) 12 10L L T C m C C m

Un acortamiento de 12 cm

5.7.2 ESFUERZOS TERMICOS En algunos casos, los extremos de una barra o de un bloque de

material están ligados rígidamente, con lo que se impide o dificulta

la dilatación o la contracción. Por tanto, cuando varíe la temperatura,

aparecerán esfuerzos de compresión o de tracción, llamados

esfuerzos térmicos, por su origen térmico, que pueden no ser

despreciables.

La ley de Hooke nos relaciona esta deformación con la fuerza que la

provoca

0

F LE

A L

E: Módulo de Young. Coeficiente que depende de la naturaleza del material

00, otro

FLL por lado L L T

AE

De donde, el esfuerzo interno F/A será: F

E TA

Cuando el sólido se deforma por contracción o por dilatación debida a un cambio de temperatura, aparecerán esfuerzos térmicos (fuerzas por unidad de superficie)

Unidades S.I.: Esfuerzo: 2/N m , Módulo de Young (E):

2/N m

Tabla 5.5: Módulo de Young de algunos materiales

Sustancia 11(10 )E Pa

Madera, en la dirección transversal a las fibras Madera, en dirección paralelas a las fibras Hielo Hormigón Plomo Vidrio Aluminio Cobre Hierro Acero Niquel Wolframio

0.005 – 0.01 0.1 – 0.17 0.1 0.14 – 0.22 0.16 0.55 0.17 1.1 1.9 2 2.1 3.6

Ejemplo 5.11: Se tienen bloques de hormigón de 10 m de longitud, dispuestos uno a continuación del otro, sin dejar separación entre ellos. Si la temperatura a la que fueron colocados fue de 10 °C ¿cuál será la fuerza de compresión generada

cuando la temperatura sea de 40 °C?. El área de la superficie de contacto entre cada dos bloques es de 20.20 m

y su módulo de Young 9 220 10 /E N m . ¿Se producirá fractura?

Solución

100

9 2 6 6 220 10 / (12 10 /º )(30º ) 7.0 10 /F

E T N m C C N mA

Este valor no está muy alejado del esfuerzo de rotura por compresión y es superior a los de rotura por tracción y por cizalladura. Por tanto, si los bloques no están perfectamente alineados, parte de la fuerza será cortante y es probable la fractura.

5.7.3 DILATACION SUPERFICIAL

Es la variación de la superficie o área de un cuerpo cuando varía su temperatura.

Para superficie uniforme

0

0

a a T

b b T

0 0(1 ) (1 )a a T y b b T

Luego: 2

0 0(1 )ab a b T

2 2

0 A=A (1 2 )T T

Pero como: 2 6 12(10 10 ), entonces podemos despreciar

2 , luego:

Pero como: 2 6 12(10 10 ), entonces podemos despreciar

2 , luego:

0 0(1 2 ) ; 2A A T A A T donde

5.7.4 DILATACION CUBICA

La variación de volumen, 0V V V de un

material cuando experimenta un cambio de temperatura ΔT, viene dada por la expresión:

0V V T

La variación de volumen,

Dónde: 0V es el volumen original, es el coeficiente

de dilatación cúbica

En los sólidos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones) β≈3 α

Carece de significado en líquidos y gases por no tener formas fijas. Sin embargo, para un líquido contenido en

un recipiente de modo que pueda dilatarse o contraerse principalmente en una dirección, podemos tomar α=β/3 (por ejemplo, Hg o alcohol en un termómetro).

Ejemplo 5.12:

Se llena el depósito de gasolina de un coche, con capacidad para 70 litros, cuando la temperatura era de 20 °C. Se deja al sol y el depósito alcanza una temperatura de 50 °C. ¿Cuánta gasolina rebosaría si se dejara destapado?. Prescinde de la dilatación del depósito (su β es mucho menor que el de la gasolina). Coeficiente de dilatación cúbica

de la gasolina 6950 10 /ºC

Solución: 6

0 (950 10 /º )(70 )(30º ) 2.0 V V T C litros C litros

Dónde: 0V es el volumen original, es el coeficiente de dilatación cúbica

En los sólidos isótropos (tienen las mismas propiedades en todas las direcciones) β≈3 α

Carece de significado en líquidos y gases por no tener formas fijas. Sin embargo, para un líquido contenido en

un recipiente de modo que pueda dilatarse o contraerse principalmente en una dirección, podemos tomar α=β/3 (por ejemplo, Hg o alcohol en un termómetro).

101

5.8 FUNDAMENTOS BASICOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

Transferencia de calor, es un proceso por el que se intercambia energía en forma de calor entre distintos cuerpos, o entre diferentes partes de un mismo cuerpo que están a distinta temperatura. El calor se transfiere mediante conducción, convección, radiación. Aunque estos tres procesos pueden tener lugar simultáneamente, puede ocurrir que uno de los mecanismos predomine sobre los otros dos. Por ejemplo, el calor se transmite a través de la pared de una casa fundamentalmente por conducción, el agua de una cacerola situada sobre un quemador de gas se calienta en gran medida por convección, y la Tierra recibe calor del Sol casi exclusivamente por radiación.

La conducción es la transferencia de calor a través de un objeto sólido: es lo que hace que la olla se calienta debido

al calor de la estufa eléctrica. La convección transfiere calor por el intercambio de moléculas frías y calientes: es la

causa de que el agua de una tetera se caliente uniformemente aunque sólo su parte inferior esté en contacto con la

llama. La radiación es la transferencia de calor por radiación electromagnética (generalmente infrarroja): es el

principal mecanismo por el que un fuego calienta la habitación.

5.8.1 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONDUCCION

En la conducción el calor se transmite a través de un medio material y no hay transporte de materia. La velocidad a

la que se transfiere el calor a través del material ( / )dQ dt se representa por la letra H, y se denomina flujo de

calor.

Pared adiabática para evitar las pérdidas de calor laterales

Por choques entre moléculas en la barra, el calor se va transfiriendo desde la base (foco caliente) al extremo superior (foco frió). Así, la temperatura en la barra va variando en posición y tiempo. Transcurrido cierto tiempo, la temperatura en cada sección de la barra no variará (estado térmico estacionario).

102

En estado estacionario, la cantidad de calor dQ que fluye por unidad de tiempo, a través de cualquier sección de la

barra es constante.

Intensidad de corriente térmica o flujo de calor: Cantidad de calor que fluye a través de una sección transversal,

por unidad de tiempo: dQ

Hdt

Unidades (SI): J/s=watts; otras: cal/h, Kcal/h.

Ley de Fourier: o A T A T

H k H kL x

Donde: k, que es la llamada conductividad térmica. La conductividad térmica expresa la capacidad de un material dado en conducir el calor, y es propia e inherente de cada material.

1 2 dT o o

dx

T T T

L x

la pendiente de la recta, llamado gradiente de la temperatura.

La transferencia de calor por conducción es afectada por la geometría del cuerpo. Un caso interesante es el de un cilindro hueco:

2 12

1

2

ln( )

kL TH siendo r r

r

r

; Unidad en S.I.: w/(m K), Otras: kcal/(m h ºC)

Ejemplo 5.13:

Determinar el flujo de calor a través de una ventana de vidrio de área A= 2m x 1,5m, grosor L = 3,2 mm, si la temperatura de la superficie interna, T1, es de 15 °C y la de la superficie externa, T2, es de 14 °C. El coeficiente de conductividad térmica del vidrio es de 0,84 w/m K (2·10-4kcal/m s K).

Solución

1 2

3

288 2870.84 (2 1.5 )( ) 790 680 /

3.2 10

T TdQ A T w K KH k kA m m w Kcal h

dt L L mK m

Quizás

sorprendan los valores de las temperaturas dadas, pero debe tenerse en cuenta que en la habitación la temperatura no tiene por qué ser de 15 °C, probablemente será superior y en el exterior la temperatura será probablemente inferior a los 14 °C.

Ejemplo 5.14: Determinar la corriente térmica a través del aislante de poliestireno expandido de las paredes de un frigorífico.

Datos, área 24A m , temperatura exterior, 25 °C, temperatura interior, 5 °C, grosor, L = 30 mm, k= 0,01 w/m K

21 2

3

(298) (278)0.01 (4 )( ) 30

30 10

T TdQ A T w K KH k kA m w

dt L L mK m

Conductores y Aislantes Térmicos

En la tabla, se observa que los metales normalmente son mejores conductores del calor que los líquidos y que el aire. La conductividad térmica es el parámetro fundamental que hay que considerar en la elección de materiales para la construcción de hornos, termos, quemadores, calderas, etc; o en la fabricación de elementos que de alguna manera estén en contacto directo con calor tales como soldadores, utensilios de cocina, disipadores de calor, entre otros.

Dada la importancia que tiene hoy en día el manejo y el control de la temperatura, se han desarrollado materiales aislantes de conductividad térmica similar a la del aire como conglomerados de fibra de vidrio, poliuretanos de densidades diferentes y ladrillos refractados, utilizados para aislar tuberías , paredes laterales de invernaderos, hornos, refrigeradores, etc.

El único “aislante perfecto” es el vació ya que carece de medio material para el transporte de calor por conducción.

103

Tabla 5.6: Conductividad térmica de algunos materiales. Material k (w/mK) Material k (w/mK)

Ladrillo 0.6 Hierro (fundido) 72.0

Hormigón 0.1 Plata 418.0

Cobre 365.0 Madera 0.15

Corcho 0.05 Mercurio 8.0

Vidrio 1.0 Aire (a 0ºC) 0.024

Hielo 2.1 Poliuretano 0.026

Agua 0.59 Fibra de vidrio 0.034

5.8.2 TRANSFERENCIA DE CALOR POR CONVECCIÓN

La convección es el proceso por el cuál se transmite calor gracias al movimiento masivo de moléculas de un lugar

a otro, provocado por cambios de densidad del fluido (gas o líquido) originado a su vez por cambios de temperatura.

Los líquidos y los gases no suelen ser muy buenos conductores del calor, pero pueden transportarlo con relativa facilidad por convección. Cuando se calienta el agua del fondo, disminuye su densidad y sube (principio de Arquímedes), siendo reemplazada por agua más fría (más densa) que había encima y así sucesivamente.

En la transferencia de calor libre o natural en la cual un fluido es más caliente o más frío y en contacto con una superficie sólida, causa una circulación debido a las diferencias de densidades que resultan del gradiente de temperaturas en el fluido. La transferencia de calor por convección se modela con la Ley del Enfriamiento de Newton:

inf 2 1( ) ( )s s

dQ dQH hA T T o H hA T T

dt dt

Donde h es el coeficiente de convección (ó coeficiente de película), As es el área del cuerpo en contacto con el

fluido, Ts es la temperatura en la superficie del cuerpo y es la temperatura del fluido lejos del cuerpo.

Unidades S.I.: 2 2

, J w

m sK m K

Para el cuerpo humano, en aire en reposo, 26 /h J m sK ; si la velocidad del aire es de 1 m/s el valor anterior se

duplica y si es de 5 m/s, dicho valor se multiplica por cinco. Empíricamente, se ha establecido que la constante

convectiva del aire en reposo en contacto con una superficie lisa o bien pulida, es de 24.5 /w m K , mientras que si

el aire se mueve paralelamente a la superficie esta dada por la siguiente relación: 2

(4.5 2.9 )w

H vm K

; v,

velocidad del aire en m/s.

Para superficies rugosas como una pared de ladrillo o una carretera pavimentada, el valor de la constante convectiva se incrementa hasta en un 50%.

Ejemplo 5.16:

Calcular las pérdidas convectivas de calor por unidad de tiempo, de una persona desnuda que esté de pié en aire a

23 °C. Suponer que la temperatura de la piel es de 34 °C y que el área de la superficie del cuerpo es de 21.5 m .

2

inf 2( ) (6 )(1.5 )(11 ) 100 / 100 90 /s s

dQ jH hA T T m K J s w Kcal h

dt m sK

104

Una persona que efectúe un trabajo moderado o pesado desarrolla unos 400 w; así pues, teniendo en cuenta lo anterior vemos que la refrigeración del cuerpo cuando se efectúe un trabajo moderado o pesado no podrá deberse solamente a la convección; la evaporación del sudor también es importante, así como la debida a la radiación.

5.8.3 TRANSFERENCIA DE CALOR POR RADIACION

En la transmisión del calor por radiación un cuerpo cede parte de su energía interna a través de la emisión de ondas electromagnéticas (que viajan a la velocidad de la luz y no necesita de un medio material para su propagación). Al absorberse estas ondas electromagnéticas por otros sólidos, su energía pasa de nuevo a un movimiento térmico de las moléculas y, por tanto, a un aumento de temperatura.

Así, el proceso de intercambio de energía por radiación es un proceso de absorción y emisión posterior de energía en forma de fotones por parte de los átomos y moléculas de una sustancia. También se puede decir, que la radiación térmica es la radiación emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura y depende además de una propiedad superficial denominada emitancia. Todo cuerpo emite radiación hacia su entorno y absorbe radiación de éste. A mayor temperatura del cuerpo, mayor radiación de éste. Todos los objetos emiten energía desde su superficie en forma de radiación electromagnética. También todo objeto absorbe energía de sus alrededores.

La energía que un cuerpo radia por unidad de tiempo (potencia) viene dada por la Ley de Stefan-Boltzmann: 4

rP AT

rP : Potencia radiada

: Emisividad del cuerpo: Valor entre 0 y 1, que depende de la naturaleza del

cuerpo 8 2 45.67 10 /w m K Constante de Stefan-Boltzmann

A: área de la superficie del cuerpo T: temperatura absoluta de la superficie del cuerpo

Cuerpo negro. Ley de Kirchhoff Respecto de la emisividad del cuerpo Las superficies muy negras tienen una emisividad próxima a 1. Las superficies brillantes tienen una emisividad próxima a 0

La piel clara tiene 0.6 y la piel oscura 0.8 , que son valores

bastante elevados. Todo cuerpo además de emitir radiación, absorbe la energía irradiada por otros cuerpos.

4

0aP AT

Pa: Potencia absorbida T0: Temperatura del entorno

La potencia neta radiada será

4 4

0( )neta r aP P P A T T

Se emplea la misma emisividad ( ), tanto para la emisión como para la absorción.

Esto debe ser así para dar cuenta del hecho experimental de que se alcanza el equilibrio entre el cuerpo y su

entorno cuando alcanzan la misma temperatura, es decir 0netaP , cuando T = To, y para ello, las dos

emisividades de las expresiones de r aP y P deben ser iguales.

Las superficies negras o muy oscuras son las mejores absorbentes (parecen negras porque absorben casi toda la luz que les llega) y también son las mejores emisoras de radiación térmica. Los cuerpos negros o muy oscuros absorben casi toda la radiación que sobre ellos incide (por ello en verano es preferible la ropa clara a la oscura) y reflejan muy poca de la radiación que les llega.

105

Las superficies brillantes son poco absorbentes, reflejan la mayor parte de la radiación que les llega y también son malas emisoras.

Las superficies brillantes no sólo emiten menos radiación sino que también absorben una pequeña parte de la radiación que sobre ellas incide (la mayor parte se refleja).

Si 0r a netaP P P → El cuerpo se enfría, el entorno se calienta

Si 0r a netaP P P → El cuerpo se calienta, el entorno se enfría

Si 0 (r aP P T T , equilibrio térmico) → Ni se enfría, ni se calienta

Cuerpo negro (modelo ideal): Aquel que absorbe toda la radiación que incide sobre él, e = 1.

Ejemplo 5.17:

Una persona desnuda está sentada en una habitación cuyas paredes están a la temperatura de 15 °C. Calcular la

pérdida de calor por radiación suponiendo que la piel tiene una temperatura de 34 °C y que 0.7 . Considerar

que la superficie del cuerpo que no está en contacto con la silla es de21.5m .

4 4 8 2 4 2 4 4 4

0( ) 0.7(5.67 10 / )(1.5 ) (307) (288)neta r aP P P A T T w m K m K

120 100 /netaP w Kcal h

Se estima que la radiación constituye, aproximadamente, un 50% de las pérdidas de calor de una persona sedentaria en una habitación normal.

Si las paredes o el suelo están fríos, tendrá lugar la emisión de radiación hacia ellos, independientemente de lo cálido que esté el aire. Las habitaciones tienen el mayor confort cuando las paredes y el suelo estén cálidos y el aire no lo esté tanto. Las ventanas contribuyen en gran medida a las pérdidas de calor, no sólo por lo que se pierde por conducción, sino

que también, por la noche, cuando la temperatura exterior es baja, tiene lugar la emisión de una considerable

cantidad de radiación, desde nuestro cuerpo hacia el exterior. Corriendo las cortinas, por la noche, se reducen

ambos tipos de pérdidas.

Ejemplo 5.18: La temperatura de la Tierra

Podemos calcular la temperatura de la Tierra eT igualando la energía recibida del Sol y la energía emitida por la

Tierra. El Sol emite una energía por unidad de tiempo y área que es proporcional a la cuarta potencia de su

temperatura sT . A la distancia de la Tierra oa (unidad astronómica), esa potencia ha disminuido en la relación entre

la superficie del Sol y la superficie de una esfera de radio oa . Además el disco de la Tierra intercepta esa radiación

pero debido a la rápida rotación de la Tierra es toda la superficie de la Tierra la que emite la radiación a una

temperatura eT con lo que dicha potencia queda disminuida en un factor 4.

Por ello: 4 2

0

1

4

e s

s

T r

T a

Donde es el radio del Sol. Por ello

6

9

0

696 105780 278

2 2 149 59787066 10

se s

r mT T K K

a m

Resulta una temperatura de 5°C. La temperatura real es de 15 °C.

106

PROBLEMAS RESUELTOS

1. En un termómetro “A” las lecturas 160º y 0º equivalente a 140º y (-10º) del termómetro “B”. Determinar cuanto indicará “B” para 40º de “A”.

Solución

10º, Pr : 40º ?

160º 160º

A BA B

T Tegunta T T

1040 600 = 10

16 15 16

BB

TT

27.5ºBT

2. Se vierten 4 litros de agua a 60 ºC en una vasija de 3Kg de masa la cual se encuentra a 10 ºC. si la temperatura final del conjunto agua y vasija es 53 ºC, halle el calor específico de la vasija. Además determinar la Energía para llevar el agua desde 53 ºC hasta 85 ºC.

Solución

Datos: 2 2

4 4000 , 3 3000 , 60º , 10º , 53º .H O vas iH O ivas fm kg g m kg g T C T C T C

Por definición: calor perdido por el agua calor ganado por el recipienteQ Q

2 2 2H O H O vas vasH O vas

m c T m c T

4000 4.186 60º 53º 3000 53º 10ºº

vas

Jg C C g c C C

g C

0.91 910 º kg º

vas

J Jc

g C C

b) La energía para llevar el agua desde 53 ºC hasta 85 ºC , la formula a utilizar será:

Q Calor absorbido por la vasija + Calor absorbido por el agua

2 2 2vas vas H O H Ovas H O

Q m c T m c T

3 33 10 0.91 85º 53º 4 10 4.186 85º 53º º º

J JQ g C C g C C

g C g C

623186 623.186Q J KJ

3. Dentro de un calorímetro de capacidad térmica despreciable se encuentra 300g de hielo. Al calorímetro se hace llenar de vapor de agua a 100 ºC hasta que la temperatura del sistema sea 50 ºC. ¿Cuál es la cantidad de agua existente en ese momento?

Solución

Datos: 300 , 100º , 50º , 80 / , 540 / .h vapor E f vm g T C T C L Kcal kg L Kcal kg

1 1300 (80 / ) 24000fFusióndehielo Q mL g cal g Q cal

2 2: 1 / (300 )(50º 0º ) 15000Calentamientodeagua Q cm T cal g g C C Q cal

Condensación de vapor: 3 3(540 / ) 540 v v v vQ m L m cal g Q m cal

Enfriamiento de agua: 4 4(1) (50-100) 50 x x xQ cm T m Q m cal

Equilibrio: 1 2 3 4 0 66.1 xQ Q Q Q m g

: 300 66.1 366.1 .masa total del agua m g g

4. Tres kilogramos de hielo 20 ºC se vierten sobre un depósito de capacidad calorífica

despreciable que contiene 12 kg. de agua a 86 ºC. ¿Cuál será la energía intercambiada entre el hielo y el agua?

Solución

Datos: 22

20 º , 12 , 86 º , ?H Oh H OT C m kg T C Q

107

Por definición: ( ) ( )ganado perdido g hielo p aguaQ Q Q Q

2 2 2

' ''

fh eh h h L h eH O H O eH Om c t m Q m c T m c T

3(0.5)(20) 3(80) 3(1) 12 1 (86 )T T

30 240 3 1032 12 50.8 ºT T T C

2 2

'' 12(86 50.8)

422.4

H O eH OQ m c T Q

Q Kcal

5. ¿Desde que altura debe caer un bloque de hielo de 1 kg. para fundirse completamente si se encuentra a 0 ºC?

Solución

Datos: m 1 , 0, 80 /h fusión Lfkg T Q cal g

Como: P PE Q y E mgh

1000 80 / 80000 .LfQ mQ g cal g cal

80000 4.180 / 334880 .PE cal J cal J (*)

21 (9.76 / ) 9.76 mgh kg m s h h (*)

Igualando las dos (*) y (**), se tiene: 34.3 h Km

6. Un estudiante emocionado por haber aprobado curso de Física, cayó desde la parte superior de su pabellón de 100 metros de altura. Cuando fueron a recoger, en su cuerpo encontraron pequeñas quemaduras. ¿Cuál es el incremento de temperatura que sufrió el estudiante?, su masa es de 40 Kg y su calor especifico 0.09 cal/g ºC.

Solución

Datos: 100 , 40 , 0.09 / º , ?eh m m kg c cal g C t

Por definición: PE Q

240 (9.8 / )(100 ) 39200 ( ) 9364.5484,186

P P P

calE mgh kg m s m E J E cal

J

40000 (0.09 / º ) (3600 )eQ mc T g cal g C T Q cal T

Igualando los dos resultados: 3600 9364.548 2.6 ºcal T cal T C

7. El aire en el interior de un invernadero se encuentra a 35 ºC cuando la temperatura externa

es de 15 ºC. Si el área efectiva de la cubierta de vidrio es de 2100m y su espesor es de 3

mm, determine el ritmo con el cual se pierde calor por conducción.

Solución

Datos: 235 º , 15 º , 100 , 3 , =1.0w/mK, ?i a cT C T C A m x L mm K H

Por Definición: 2

3

(100 )(35º 15º )(1.0 / )

3 10c

A T m C CH K H w mK

L m

666.66H Kw

8. La superficie del Sol tiene una temperatura de aproximadamente 6000 ºK. si se toma el

radio del sol como 86.96 10 m , calcule la energía total radiada por el sol diariamente.

(suponga 1 ).

Solución

Datos: 8 8 2 46000 , 6.96 10 , 5.67 10 / , 1, ?, ?.T K R m w m K P I

Por definición: 4 2, , 4

PI además P AT A r

A

8 2 2 16 2 4 (6.96 10 ) 193.766 10A m m

108

8 2 4 16 2 3 41 (5.67 10 / )(193.766 10 )(6 10 )P w m K m K 8 2 4 16 2 3 4 201 (5.67 10 / )(193.766 10 )(6 10 ) 1423854.57 10 .P w m K m K w

4 8 2 4 3 4 4 21 (5.67 10 / )(6 10 ) 7348.32 10 /I T w m K K w m

9. Sobre la cubierta plástica del invernadero circula aire paralelamente con una velocidad de 2 m/s y a la temperatura ambiente de 16 ºC, el plástico de la cubierta tiene una temperatura de 26 ºC. Calcularr la pérdida conectiva de calor en la cubierta.

Solución

Datos: 2 / , 16º , 26º , ?a iv m s T C T C H

Por definición: 2

(4.5 2.9 )w

h vm K

2 2

(4.5 2.9(2)) 10.3w w

hm K m K

La perdida convectiva de calor en la cubierta por 2m es:

2

2( ) 10.3 1 (299 289 ) 100.3 .S a

wH hA T T m K K H w

m K

10. Los estudiantes de Física, realizan un experimento en la superficie del Lago Titicaca para saber cuánto tiempo tardara en formarse una capa de hielo de 2 cm de espesor; cuando la temperatura del aire en el mes de Junio es -4 ºC, sobre el lago. Para lo cual se sabe el

coeficiente de conductividad térmica del hielo es 34 10 / . .ºK cal s cm C y la densidad del

hielo 30.9 /g cm . Temperatura del Lago Titicaca en dicho mes es 0 ºC. ¿Cuál es su

resultado?

Solución

Datos: 2

3 3 2 , 4º , 4 10 / . .º , 0.9 / , 0º .a h H OCapa x cm T C K cal s cm C g cm T C

Por definición: 2H O aT TdQ A TH k kA

dt x x

(*)

Espesor de hielo x dx , dm su masa dm Adx , A área de la superficie de la

capa, el calor de transformación de esta capa pasa de agua a 0 ºC a hielo a 0 ºC será:

( )(80 / )dQ dmL Adx cal g , remplazando en (*) se tiene.

80 0º ( 4º ) 80 4 80

0 4

Adx C C Adx xdxkA kA dt

dt x dt x K

32

30 0

80 80 80 / (0.9 / )(2) (2)

4 4 4º (4 10 / º )

t cal g g cmdt xdx t t

K K C cal scm C

3 3 min9 10 9 10 ( ) 150 min 2 30min.

60t s s T h con

s

3.9 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

3.9.1 DEFINICIONES:

Sistema: cualquier grupo de átomos, moléculas, partículas u objetos en estudio termodinámico. Por ejemplo el agua

dentro de un envase, el cuerpo de un ser vivo o la atmósfera. Un esquema se muestra en la figura 5.1.

Ambiente: todo lo que no pertenece al sistema, es lo que rodea al sistema, sus alrededores. Por ejemplo el exterior

al envase donde está el agua, o el espacio que rodea a la atmósfera (puede ser todo el Universo). Entre el sistema y

el ambiente puede haber intercambio de calor y de energía y se puede realizar trabajo (figura 5.1).

Sistema cerrado: sistema en el cual no entra ni sale masa, pero que puede intercambiar calor y energía con el

ambiente.

109

Sistema abierto: sistema que puede tener variación de masa, como por ejemplo intercambio de gases o líquidos, o

de alimentos en los seres vivos.

Sistema cerrado aislado: sistema en el cual no se produce ningún intercambio de calor o energía con el ambiente

a través de sus fronteras.

3.9.2 TRABAJO EN LOS PROCESOS TERMODINÁMICOS

Para un gas contenido en un envase cilíndrico ajustado con un émbolo móvil, como se muestra en la figura 13.4, si

el gas está en equilibrio térmico ocupa un volumen V y produce una presión constante P sobre las paredes del

cilindro y sobre el émbolo, de área A. La fuerza ejercida por la presión del gas sobre el émbolo es F = PA. Si el gas

se expande desde el volumen V hasta el volumen V+dV lo suficientemente lento, el sistema permanecerá en

equilibrio termodinámico. Por efecto de la expansión, el émbolo de desplazará verticalmente hacia arriba una

distancia dy, y el trabajo realizado por el gas sobre el émbolo, será:

dW Fdy PAdy

Como Ady es el aumento de volumen dV del gas, se puede escribir el trabajo realizado como: dW = PdV. Si el gas

se expande, entonces dV es positivo y el trabajo realizado por el gas es positivo, por el contrario, si el gas se

comprime, dV es negativo y el trabajo realizado por el gas es negativo, en este caso se interpreta como el trabajo

realizado sobre el sistema. Si no cambia el volumen, no se realiza trabajo. Para obtener el trabajo total realizado por

el gas cuando la variación de presión hace cambiar el volumen desde un valor Vi hasta un valor Vf, se debe integrar

la ecuación anterior, de la forma:

110

f

i

V

VW PdV

Para evaluar esta integral, se debe saber cómo varía la presión durante el proceso. En general la presión no es

constante, depende del volumen y de la temperatura. Si se conoce la presión y el volumen durante el proceso, los

estados del gas se pueden representar por una curva en un diagrama PV, como la que se muestra en la figura 13.5.

De este gráfico, se obtiene que el trabajo realizado por un gas al expandirse o comprimirse desde un estado

inicial Vi hasta un estado final Vf es igual al área bajo la curva de un diagrama PV.

Este trabajo depende de la trayectoria seguida para realizar el proceso entre los estados iniciales y final, como se

ilustra con la figura 3.16. Si el proceso que se realiza es a volumen constante Vi disminuyendo la presión desde Pi

hasta Pf, seguida de un proceso a presión constante Pf aumentando el volumen desde Vi hasta Vf (figura 3.16a), el

valor del trabajo es diferente al que se obtiene en un proceso donde primero se produce una expansión desde Vi

hasta Vf a presión constante Pi y después se disminuye la presión desde Pi hasta Pf, manteniendo caso, tienen un

valor diferente, es mayor en la figura 3.16b. Por lo tanto, el trabajo realizado por un sistema depende del

proceso por el cual el sistema cambia desde un estado inicial a otro final.

De manera similar se encuentra que el calor transferido hacia adentro o hacia fuera del sistema, depende del

proceso. Tanto el calor como el trabajo dependen de los estados inicial, final e intermedios del sistema.

Como estas dos cantidades dependen de la trayectoria, ninguna de las dos se conserva en los procesos

termodinámicos.

111

Ejemplo 3.16 Un gas se expande desde i hasta f por tres trayectorias posibles, como se indica en la figura 3.17.

Calcular el trabajo realizado por el gas a lo largo de las trayectorias iAf, if y iBf. Considerar los valores dados en la

figura.

Solución: se calcula el área bajo la curva en cada proceso. De la figura 3.17, se tienen los datos: 54 4.05 10 i aP atm P ,

51 1.013 10f aP atm P , 32 0.002i BV L m V ,

34 0.004A fV L m V .