tesis empastado

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE INGENIERÍA, CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICA

CARRERA DE INGENIERÍA CIVIL

“ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN EN LA RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS DE

HORMIGÓN ARMADO”

TRABAJO DE GRADUACIÓN PREVIO LA OBTENCIÓN DEL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

AUTORES:

AMAGUAÑA AMAGUA DANIEL ERNESTO

YUMBAY AGUALONGO EDWIN PATRICIO

TUTOR :

MSc. PAOLA XIMENA VILLALBA NIETO

QUITO, 28 DE JULIO

2016

ii

DEDICATORIA

A mis padres, Beatriz y Ernesto, por sus bendiciones y por ser el apoyo

incondicional durante todo el trayecto de mi vida.

A Gabriela Manosalvas, aquella compañera de estudios, amiga y novia que siempre

incentivó en mí las ganas de salir adelante a pesar de todas las adversidades.

Daniel Ernesto Amaguaña Amagua

iii

DEDICATORIA

A mis padres, Carlos y Dora, quienes me han formado para saber cómo luchar y

salir victorioso ante las adversidades de la vida.

A mi familia y amigas/os que con su entusiasmo y cariño me dieron el valor para

caminar durante este proceso.

“Y a todos aquellos que son movidos por un gran amor a la vida y la madre tierra,

quienes están convencidos que un mundo mejor es posible si se tienen los

conocimientos para ayudar y el corazón para vencer”.

Edwin Patricio Yumbay Agualongo

iv

AGRADECIMIENTOS

A todas las personas que supieron atender las inquietudes sobre nuestro tema de

investigación, pero en especial a mi tutor de tesis, la Ingeniera Paola Villalba MSc,

por haber compartido su tiempo y sus conocimientos para con nosotros, teniendo la

mayor de las paciencias para guiar nuestro trabajo, inculcando seriedad,

responsabilidad y rigor académico durante todo el proceso investigativo. Persona

por quien siento mucho respeto y admiración a más de significar para mí, un

ejemplo a seguir.

A mi amigo y compañero de tesis “Edwin” Yumbay, quien ha dedicado todo su

esfuerzo, tiempo y perseverancia en este proyecto. Gracias a sus ideas y aportes fue

posible la culminación de un proyecto intelectual y de jerarquía.

A Dios. El ser omnipotente que ilumina mi camino y que cuida de mí.


v

AGRADECIMIENTOS

A Dios, por estar conmigo en cada paso que doy, por haber puesto en mi camino a

aquellas personas que han sido mi soporte y compañía durante todo el período de

estudio.

A la Carrera de Ingeniería Civil de la Universidad Central del Ecuador y a sus

catedráticos que me impartieron todos sus conocimientos y mostraron sus valores

permitiendo así una formación integral en mí.

A mi Tutor de tesis, Ing. Paola Villalba, por su empeño y constancia, quien

gracias a su experiencia, conocimientos, paciencia y motivación continua, me ha

ayudado para culminar de manera exitosa mi tesis.

A mi amigo y compañero de tesis, Daniel Amaguaña por su confianza, apoyo y

por haber formado un equipo de trabajo para lograr esta meta.

A mis amigas y amigos, especialmente a “Los Chamos” ya que con todos ellos

compartí momentos únicos y me enseñaron lo importante que es la amistad.

Y desde luego, llego al final de este proyecto, gracias a mis padres y en general a

toda mi familia que siempre me brindan el apoyo, alegría y fortaleza necesaria

para seguir adelante.


vi

AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL

Nosotros, DANIEL ERNESTO AMAGUAÑA AMAGUA y EDWIN

PATRICIO YUMBAY AGUALONGO , en calidad de autores del Trabajo de

Investigación o Proyecto de Titulación, que versa sobre el tema: “ANÁLISIS DE

LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN EN L A

RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO” ,

por la presente autorizamos a la UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR,

hacer uso de todos los contenidos que nos pertenecen o parte de los que contiene

esta obra, con fines estrictamente académicos o de investigación.

Los derechos que como autores nos corresponden, con excepción de la presente

autorización, seguirán vigentes a nuestro favor, de conformidad con lo establecido

en los artículos 5, 6, 8; 19 y demás pertinentes de la Ley de Propiedad Intelectual y

su Reglamento.

También, autorizamos a la Universidad Central del Ecuador a realizar la

digitalización y publicación de este trabajo de investigación en el repositorio

virtual, de conformidad a lo dispuesto en el Art. 144 de la Ley Orgánica de

Educación Superior.

Quito, 15 de julio del 2016


C.C. Nº 172103847-7


C.C. Nº 020213192-6

Telf: 0998763511 Telf: 0988337691

E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]

vii

CERTIFICACIÓN DEL TUTOR

Yo, Ing. Paola Ximena Villalba Nieto MSc, en calidad de tutor del trabajo de

titulación: “ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS

DE VIBRACIÓN EN LA RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS D E

HORMIGÓN ARMADO”, elaborado por los estudiantes Daniel Ernesto

Amaguaña Amagua y Edwin Patricio Yumbay Agualongo, estudiantes de la

Carrera de Ingeniería Civil, Facultad de Ingeniería, Ciencias Físicas y Matemática

de la Universidad Central del Ecuador, considero que el mismo reúne los requisitos

y méritos necesarios en el campo metodológico y en el campo epistemológico, para

ser sometido a la evaluación por parte del jurado examinador que se designe, por lo

que lo APRUEBO, a fin de que el trabajo investigativo sea habilitado para

continuar con el proceso de titulación determinado por la Universidad Central del

Ecuador.

En la ciudad de Quito a los 30 días del mes de mayo del año 2016.

Ing. Paola Ximena Villalba Nieto MSc.

CC. Nº 171637461-4

viii

CERTIFICACIÓN DE CALIFICACIÓN

ix

RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN

x

CERTIFICACIÓN DE CALIFICACIÓN

xi

RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN

xii

CONTENIDO

pág.

DEDICATORIA ................................................................................................. ii

AGRADECIMIENTOS ..................................................................................... iv

AUTORIZACIÓN DE LA AUTORÍA INTELECTUAL ................................. vi

CERTIFICACIÓN DEL TUTOR ..................................................................... vii

CERTIFICACIÓN DE CALIFICACIÓN ........................................................ viii

RESULTADO DEL TRABAJO DE GRADUACIÓN ...................................... ix

CONTENIDO ................................................................................................... xii

LISTA DE GRÁFICOS .................................................................................. xvii

LISTA DE TABLAS ......................................................................................... xx

RESUMEN ..................................................................................................... xxiii

ABSTRACT ................................................................................................... xxiv

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN ................................................................................................. 1

1.1 PROBLEMA ............................................................................................. 1

1.2 OBJETIVOS .............................................................................................. 2

1.2.1 Objetivo General ................................................................................ 2

1.2.2 Objetivos Específicos ......................................................................... 3

1.3 JUSTIFICACIÓN ...................................................................................... 3

1.4 HIPÓTESIS O IDEA A DEFENDER ....................................................... 3

1.5 MARCO LEGAL ...................................................................................... 4

1.6 METODOLOGÍA ..................................................................................... 4

1.6.1 Delimitación Espacial ........................................................................ 5

1.6.2 Temporización.................................................................................... 5

1.6.3 Diagnostico o Análisis Situacional (FODA) ...................................... 5

1.6.4 Tipo de Investigación ......................................................................... 5

1.6.5 Métodos de Investigación .................................................................. 5

1.6.6 Técnica e instrumentos de Investigación ........................................... 5

xiii

CAPÍTULO II

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ....................................................................... 6

2.1 GRADOS DE LIBERTAD ....................................................................... 6

2.1.1 Grados de libertad en Pórticos Planos ................................................ 6

2.1.2 Grados de libertad en pórticos espaciales .......................................... 8

2.2 MODOS DE VIBRACIÓN ....................................................................... 9

2.2.1 Modos de Vibración en edificaciones ................................................ 9

2.2.2 Número de Modos de Vibración ...................................................... 11

2.2.3 Ecuación de Movimiento ................................................................. 11

2.2.4 Cálculo de los modos de vibración .................................................. 13

2.2.5 Período de Vibración en edificaciones ............................................. 16

2.3 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO ................................................. 19

2.3.1 Análisis Estático Lineal.................................................................... 20

2.3.2 Análisis Dinámico Lineal. ................................................................ 20

2.3.3 Análisis Modal Espectral ................................................................. 21

2.3.4 Espectro de Respuesta ...................................................................... 21

2.3.5 Espectro Elástico de Respuesta ........................................................ 24

2.3.6 Espectro Inelástico de Respuesta ..................................................... 24

2.3.7 Espectro de Diseño ........................................................................... 25

2.3.8 Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC ....... 25

2.3.9 Espectro elástico de Diseño en aceleraciones según la NEC ........... 27

2.3.10 Cortante Basal de diseño “V” .......................................................... 33

2.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL ......................................... 41

2.4.1 Criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC) ............... 41

2.4.2 Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS) .................................. 42

2.4.3 Criterio de la Suma absoluta (Absolute) .......................................... 42

2.4.4 Criterio Combinación Modal General (GMC) ................................. 43

2.4.5 Criterio del NRC 10 % ..................................................................... 43

2.4.6 Criterio de la Doble suma ................................................................ 43

2.4.7 Criterio propuesto de Alejandro Gómez .......................................... 44

2.4.8 Combinación propuesta por el Laboratorio de Investigación Naval

(NRL) 45

xiv

2.4.9 Combinación de la Norma Técnica de Guatemala ........................... 45

2.4.10 Combinación Grouping Method (GRP) ........................................... 45

2.5 NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN Y COMBINACIONES

MODALES ........................................................................................................ 47

2.5.1 Número de modos de vibración según la NEC-15 ........................... 47

2.5.2 Número de modos de vibración según el CEC-2000 ....................... 47

2.6 NORMAS INTERNACIONALES, REFERENTES A LOS MODOS DE

VIBRACIÓN Y COMBINACIONES MODALES. .......................................... 49

2.6.1 Norma Colombiana. (Norma Sismo-Resistente NSR-10) ............... 49

2.6.2 Norma Peruana (Norma E.030 Diseño Sismo-Resistente) .............. 50

2.6.3 Norma Chilena (Nch433) ................................................................. 51

2.6.4 Norma Mexicana (Norma Técnicas Complementarias para Diseño

por Sismo) ....................................................................................................... 53

2.6.5 Norma Venezolana (Comisión Venezolana de Normas Industriales -

Edificaciones Sismo resistentes) ..................................................................... 54

2.6.6 Norma Brasileña (Asociación Brasileña de Normas Técnicas) ....... 55

CAPÍTULO III

ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS .......................................... 58

3.1 PREDISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS ............................................... 58

3.1.1 Geometría y Uso .............................................................................. 58

3.1.2 Materiales ......................................................................................... 59

3.1.3 Espesor de Losa................................................................................ 60

3.1.4 Columnas ......................................................................................... 61

3.1.5 Vigas ................................................................................................ 62

3.2 CARGAS ................................................................................................. 64

3.2.1 Carga Muerta .................................................................................... 64

3.2.2 Carga Permanente ............................................................................ 64

3.2.3 Carga Viva ....................................................................................... 65

3.2.4 Carga Sísmica................................................................................... 65

3.2.5 Combinaciones de carga .................................................................. 66

3.3 MODELACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS .......................................... 67

xv

3.4 CORTANTE BASAL .............................................................................. 77

3.4.1 Tipo de Suelo ................................................................................... 77

3.4.2 Factor de Zona “Z”........................................................................... 78

3.4.3 Relación de Amplificación Espectral ............................................... 78

3.4.4 Factor Exponencial........................................................................... 78

3.4.5 Factores de Sitio ............................................................................... 79

3.4.6 Coeficiente de Reducción Estructural “R” ....................................... 79

3.4.7 Categoría del edificio y Factor de importancia ................................ 79

3.4.8 Coeficiente de Irregularidad en planta “ɸp” .................................... 80

3.4.9 Coeficiente de Irregularidad en elevación “ɸe” ............................... 80

3.4.10 Período de vibración “T” de la estructura ........................................ 81

3.4.11 Aceleración de la Gravedad “Sa” ..................................................... 82

3.4.12 Carga Sísmica Reactiva (W) ............................................................ 82

3.4.13 Cálculo del Cortante Basal Estático y Dinámico ............................. 83

3.4.14 Corrección del cortante basal estático .............................................. 84

3.4.15 Corrección del cortante basal dinámico ........................................... 84

3.5 ESPECTRO DE DISEÑO EN ACELERACIONES ............................... 89

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS DE RESULTADOS .......................................................................... 91

4.1 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL ........................................................ 92

4.1.1 Período de vibración (T) .................................................................. 92

4.1.2 Participación modal de masas .......................................................... 97

4.2 COMBINACIONES MODALES ......................................................... 108

4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 3 Pisos ...................................... 109

4.2.2 Derivas de piso en Estructuras de 6 Pisos ...................................... 115

4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 12 Pisos .................................... 120

4.3 ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE

VIBRACIÓN ................................................................................................... 126

4.3.1 Derivas de piso ............................................................................... 126

xvi

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ............................................... 137

5.1 CONCLUSIONES ................................................................................. 137

5.1.1 Conclusiones Generales ................................................................. 137

5.1.2 Conclusiones Específicas ............................................................... 138

5.2 RECOMENDACIONES ....................................................................... 141

BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................ 142

xvii

LISTA DE GRÁFICOS

Pág.

Gráfico 1. Grados de libertad en Pórticos .............................................................. 7

Gráfico 2. Grados de libertad estáticos y dinámicos .............................................. 7

Gráfico 3. Grados de libertad en estructuras .......................................................... 8

Gráfico 4. Modos de vibración en pórticos planos .............................................. 10

Gráfico 5. Número de modos de vibración de una estructura .............................. 11

Gráfico 6. Sistema de un grado de libertad .......................................................... 11

Gráfico 7. (a) Fuerza aplicada p (t); (b) movimiento del terreno inducido por un

sismo ..................................................................................................................... 12

Gráfico 8. Obtención de la ecuación de movimiento ........................................... 12

Gráfico 9. Período de vibración largo y corto ...................................................... 17

Gráfico 10. Resonancia de ondas ......................................................................... 18

Gráfico 11. Esquema del Análisis Estático Lineal ............................................... 20

Gráfico 12. Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta .......................... 22

Gráfico 13. Espectro de respuesta, en términos de aceleración. .......................... 23

Gráfico 14. Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC ........ 26

Gráfico 15. Espectro elástico de aceleraciones que representa el sismo de diseño

............................................................................................................................... 27

Gráfico 16. Mapa de zonificación sísmica de Ecuador. ....................................... 30

Gráfico 17. Criterios de combinación modal y combinación direccional ............ 46

Gráfico 18. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 1 ............. 68









Gráfico 27. Espectro de Diseño en aceleraciones – Estructuras regulares ........... 89

xviii

Gráfico 28. Espectro Inelástico de Diseño (Autores vs. Etabs) ........................... 90

Gráfico 29. Período de vibración (3 Pisos) .......................................................... 94

Gráfico 30. Período de vibración (6 Pisos) .......................................................... 95

Gráfico 31. Período de vibración (12 Pisos) ........................................................ 97

Gráfico 32. Cambio del número de modos de vibración en ETABS ................... 98

Gráfico 33. Participación de masas – Estructura de 3 Pisos .............................. 100

Gráfico 34. Participación de masas – Estructura de 6 Pisos .............................. 103

Gráfico 35. Participación de masas – Estructura de 12 Pisos ............................ 107

Gráfico 36. Participación de masas – (12 Pisos con subsuelo) .......................... 107

Gráfico 37. Combinaciones Modales ................................................................. 108

Gráfico 38. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1 .............................. 109






















xix






Gráfico 65. Influencia del Nº modos de vibración – E2 .................................... 127








xx

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Valores de la relación de amplificación espectral, η ............................. 29

Tabla 2. Valores del factor de zona sísmica Z. ..................................................... 30

Tabla 3. Tipo de Perfil del suelo ........................................................................... 31

Tabla 4. Factores de sitio Fa. ............................................................................... 31

Tabla 5. Factores de sitio Fd. ............................................................................... 32

Tabla 6. Factores de sitio Fs. ............................................................................... 32

Tabla 7. Tipo de uso, destino e importancia de la estructura .............................. 34

Tabla 8. Coeficiente R para sistemas estructurales.............................................. 34

Tabla 9. Coeficientes de irregularidad en planta ................................................. 36

Tabla 10. Coeficientes de irregularidad en elevación .......................................... 36

Tabla 11. Valores para Ct y α............................................................................... 38

Tabla 12. Deriva máxima inelástica ..................................................................... 40

Tabla 13. Deriva máxima inelástica ..................................................................... 40

Tabla 14. Características de los elementos estructurales .................................... 58

Tabla 15. Materiales de las estructuras ............................................................... 59

Tabla 15. Espesores de losa maciza equivalente .................................................. 60

Tabla 16. Espesores de losa de modelos estructurales ........................................ 60

Tabla 17. Dimensiones columnas de la estructura de 3 pisos .............................. 61

Tabla 18. Dimensiones columnas de la estructura de 6 pisos .............................. 61

Tabla 19. Dimensiones columnas de la estructura de 12 pisos ............................ 62

Tabla 20. Dimensiones de vigas estructura de 3 Pisos ........................................ 63

Tabla 21. Dimensiones de vigas estructura de 6 Pisos ........................................ 63

Tabla 22. Dimensiones de vigas estructura de 12 Pisos ...................................... 63

Tabla 23. Carga Permanente ................................................................................ 64

Tabla 24. Carga Viva ............................................................................................ 65

Tabla 25. Cargas consideradas en el análisis ...................................................... 65

Tabla 26. Identificación de estructuras consideradas en el análisis .................... 67

Tabla 27. Tipo de Suelo ........................................................................................ 77

Tabla 28. Factor de Zona “Z” .............................................................................. 78

xxi

Tabla 29. Relación de Amplificación Espectral “ŋ” ............................................ 78

Tabla 30. Factor exponencial “r” ........................................................................ 78

Tabla 31. Factores de Sitio ................................................................................... 79

Tabla 32. Coeficiente de Reducción Estructural “R” .......................................... 79

Tabla 33. Categoría del edificio y Factor de importancia ................................... 79

Tabla 34. Irregularidad en planta ........................................................................ 80

Tabla 35. Irregularidad en elevación ................................................................... 81

Tabla 36. Coeficientes “Ct” y “ɑ” para el Período de vibración ....................... 81

Tabla 37. Período de vibración “T” .................................................................... 82

Tabla 38. Aceleración de la Gravedad “Sa”........................................................ 82

Tabla 39. Cortante Basal de las Estructuras ........................................................ 82

Tabla 40. Cortante Basal de las Estructuras ........................................................ 83

Tabla 41. Corrección del VEST. – Estructura Nº 3, Nº 4, Nº 7 .............................. 84

Tabla 42. Corrección del VDIN – Estructura Nº 3 ................................................. 85



Tabla 45. Período de Vibración – Estructura de 3 Pisos ..................................... 92

Tabla 46. Período de Vibración – Estructura de 6 Pisos ..................................... 95

Tabla 47. Período de Vibración – Estructura de 12 Pisos ................................... 96

Tabla 48. Participación Modal - Estructura Nº 1 ................................................ 99



Tabla 51. Participación Modal - Estructura Nº 4 .............................................. 100






Tabla 57. Deriva Máxima de piso....................................................................... 108

Tabla 58. Derivas con diferentes combinaciones modales – 3 Pisos ................. 114

Tabla 59. Derivas con diferentes combinaciones modales - 6 Pisos .................. 120

Tabla 60. Derivas con diferentes combinaciones modales – 12 Pisos ............... 125

xxii

Tabla 61. Influencia del Nº modos de vibración – E2 ........................................ 126








xxiii

RESUMEN

“ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE

VIBRACIÓN EN LA RESPUESTA TOTAL DE ESTRUCTURAS DE

HORMIGÓN ARMADO”

Autores: Daniel Ernesto Amaguaña Amagua Edwin Patricio Yumbay Agualongo

Tutor : Ing. Paola Ximena Villalba Nieto

El presente proyecto de investigación trata del análisis de la influencia del número de modos de vibración en la respuesta total de estructuras de hormigón armado, Como caso de estudio se consideran estructuras regulares e irregulares de 3, 6 y 12 pisos, en el que son básicos un prediseño y definición de cargas; para dichas edificaciones se corre un Análisis Modal Espectral ejecutado mediante el programa ETABS V15. Posteriormente, se analizan las respuestas máximas de cada estructura considerando tres grados de libertad por piso, determinándose el número de modos de vibración a fin de que cumpla con lo estipulado en la NEC; asimismo se verifica el cumplimiento de exigencias como: período de vibración, participación modal de masas, número de modos, torsión y derivas. Se demuestra que el número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde al número de plantas por los grados de libertad considerados; además de que el número de modos de vibración si influye en las respuestas máximas de estructuras de hormigón armado. En lo concerniente a derivas de piso generadas por aceleraciones espectrales se aplican diferentes combinaciones modales, destacando que el método de combinación doble suma presenta resultados más críticos, mientras que el método absoluto alcanza resultados más conservadores. Además de enfatizar en el análisis modal de una estructura, éste trabajo de titulación es un aporte a la actualización y conocimiento de la normativa vigente hacia los profesionales de la construcción.

PALABRAS CLAVES: MODOS DE VIBRACIÓN / ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO / ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL / COMBINACIÓN MODAL / PELIGRO SÍSMICO / DISEÑO SISMO-RESISTENTE.

xxiv

ABSTRACT

"ANALYSIS OF THE INFLUENCE FROM THE NUMBER OF VIBRATION

MODES IN THE TOTAL RESPONSE OF REINFORCED CONCRETE

STRUCTURES."

Author : Daniel Ernesto Amaguaña Amagua Edwin Patricio Yumbay Agualongo

Tutor : Ing. Paola Ximena Villalba Nieto

This research project deals with the analysis of the influence of the number of vibration modes in the overall response of reinforced concrete structures, as a case of study are considered regular and irregular structures 3, 6 and 12 floors, in which are basic a predesign and definition of loads; for such buildings a spectral Modal Analysis executed by V15 ETABS program is run. Subsequently, the maximum responses of each structure are analyzed considering three degrees of freedom per floor, determining the number of modes of vibration to comply with the provisions of the NEC; vibration period, modal participation mass, number of modes, torsional and drifts: compliance requirements also as verified. It is shown that the number of vibration modes of a structure does not always correspond to the number of floors considered degrees of freedom; also the number of vibrational modes if it influences the maximal responses of reinforced concrete structures. Regarding floor drifts generated by spectral accelerations different modal combinations are applied, noting that the double sum method combination presents more critical results, while the absolute method reaches more conservative results. In addition to emphasizing the modal analysis of a structure, this research of qualification degree is a contribution to updating and knowledge of current legislation towards construction professionals.

KEY WORDS : VIBRATION MODES / REINFORCED CONCRETE STRUCTURES / SPECTRAL MODAL ANALYSIS / MODAL COMBINATION/ SEISMIC RISK / SEISMIC RESISTANT DESIGN.

1

CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN

1. jklkñlk

1.1 PROBLEMA

Como es de conocimiento general, el Ecuador se encuentra situado en un territorio

sísmicamente activo, pues esto se evidencia en la cantidad de terremotos que se han

dado en los últimos años. En Esmeraldas (1906), considerado como el de mayor

magnitud, con una escala de 8.8; Ambato (1949) con una escala de 6.8, dejando

alrededor de 5050 fallecidos; Bahía de Caráquez (1998) con una escala de 7.2 y el

último acontecido el 16 de abril de 2016 en la costa ecuatoriana, con epicentro en

el cantón Pedernales con una magnitud de 7.8 en la escala de Richter, registrándose

múltiples daños en viviendas, edificaciones, infraestructura vial y centros

comerciales, así como la pérdida de 661 vidas humanas, 12 desaparecidos y un sin

número de réplicas.

Además de tener en cuenta que el país presenta una gran cantidad de volcanes,

varios de ellos activos; como también la presencia de fallas geológicas que pueden

producir grandes desplazamientos de masas de tierra, lo que significaría mayor

vulnerabilidad sísmica del país.

Por lo mencionado anteriormente y a causa del acontecimiento sísmico en la ciudad

de Quito registrado el 12 de agosto del 2014 con una magnitud de 5.1 en la escala

de Richter, el Municipio del Distrito Metropolitano de Quito (DMQ), a través de la

Entidad Colaboradora del Colegio de Arquitectos del Ecuador (CAE) ha

incrementado su rigurosidad durante la revisión y aprobación de proyectos,

rigiéndose a lo establecido en la Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC).

La NEC, en el capítulo de Peligro Sísmico y Diseño Sismo Resistente (NEC-SE-

DS), dentro del análisis dinámico espectral, establece que el número de modos de

vibración y en la manera de combinarlos se debe considerar:

2

• “Todos los modos de vibración que contribuyan significativamente a la

respuesta total de la estructura, mediante los varios períodos de vibración”.

• “Todos los modos que involucren la participación de una masa modal

acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura, en cada una

de las direcciones horizontales principales consideradas”.

• “Cuando se utilicen modelos tri-dimensionales, los efectos de interacción

modal deben ser considerados cuando se combinen los valores modales

máximos”.

Partiendo del análisis de fuerzas externas actuantes y generadoras de

desplazamientos y deformaciones en una edificación, es decir, del estudio dinámico

estructural, se indica que hay que definir tantos grados de libertad como sean

necesarios. Aguiar R. (2012), señala que durante el estudio sísmico en coordenadas

de piso se deben considerar tres grados de libertad por planta (dos componentes de

desplazamiento horizontal y un componente de rotación).

Ahora bien, uno de los problemas reales que se presenta en el cálculo y diseño de

edificaciones es que los profesionales a menudo pasan por alto el número mínimo

de modos de vibración, lo que se traduce en un efecto adverso en la respuesta total

del edificio, resultando edificaciones con mayor tendencia a sufrir daños

estructurales e inclusive un colapso.

1.2 OBJETIVOS

1.2.1 Objetivo General

Realizar el análisis de la influencia del número de modos de vibración en la

respuesta total de estructuras de hormigón armado, utilizando el espectro de

aceleraciones de la NEC en un análisis modal espectral.

3

1.2.2 Objetivos Específicos

• Analizar y comparar las respuestas máximas de estructuras de 3, 6 y 12 pisos

regulares e irregulares considerando varios grados de libertad.

• Evaluar el comportamiento de las estructuras mediante el método espectral,

aplicando varios métodos de combinación modal para encontrar la

combinación más crítica.

• Analizar los valores de períodos fundamentales de vibración, participación

modal de masas, derivas y desplazamientos de las estructuras.

1.3 JUSTIFICACIÓN

Hoy en día, la mayoría de los profesionales de arquitectura e ingeniería estructural

no están al tanto de las actualizaciones que se han realizado en la Norma

Ecuatoriana de la Construcción o dan por ignoradas las recomendaciones y

exigencias que ésta impone, especialmente en el método de análisis más utilizado

el Método Modal Espectral, en la determinación del período fundamental,

porcentaje de participación de masas (número mínimo de modos de vibración),

cortante basal, criterio de combinación modal, entre otros; por lo que, es importante

analizar estos requerimientos y su influencia en las respuestas estructurales.

Además de enfatizar en el análisis modal de una estructura, éste trabajo de titulación

será un aporte a la actualización y conocimiento de la normativa vigente hacia los

profesionales de la construcción.

1.4 HIPÓTESIS O IDEA A DEFENDER

• El número de modos de vibración influye en las respuestas máximas de

estructuras de hormigón armado.

• El número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde

al número de plantas por los grados de libertad considerados, a fin de que

cumpla con lo dispuesto en las normativas de diseño sismo-resistente.

4

• La manera de combinar los modos de vibración influye en la respuesta total

de una estructura.

1.5 MARCO LEGAL

La presente Investigación se sujeta a los siguientes códigos:

• NORMA ECUATORIANA DE LA CONSTRUCCIÓN (NEC-15)

- Capítulo NEC-SE-HM. Estructuras de Hormigón Armado

- Capítulo NEC-SE-DS Peligro Sísmico y Diseño Sismo-resistente

- Capítulo NEC-SE-CG Cargas No Sísmicas

• A.C.I. 318 -2014 (AMERICAN CONCRETE INSTITUTE)

Building Code Requirements for Structural Concrete.

1.6 METODOLOGÍA

El presente trabajo de graduación será de carácter teórico:

La investigación sobre el “Análisis de la Influencia del número de Modos de

Vibración en la Respuesta Total de Estructuras de Hormigón Armado”, se realiza a

través de informes, libros, modelaciones, trabajos, tesis, e internet.

Se usan programas de Microsoft Office (Word, Excel, PowerPoint) y AutoCAD

para las distintas presentaciones que se necesitan a lo largo del desarrollo del trabajo

de Grado.

Para el presente análisis se toma, como punto de partida, el pre diseño de estructuras

de 3, 6 y 12 pisos de hormigón armado, utilizando como software de análisis el

programa ETABS versión 2015; en el cual se analizan las respuestas máximas de

las estructuras considerando varios números de modos de vibración, a fin de que

cumplan con la normativa vigente y posteriormente para la evaluación del

comportamiento de éstas mediante el método espectral, aplicando varios métodos

de combinación modal.

5

Para la modelación y análisis se aplica la norma NEC-15 Capítulo NEC-SE-HM.

Estructuras de Hormigón Armado, Capítulo NEC-SE-DS Peligro Sísmico y Diseño

Sismo-resistente y el Capítulo NEC-SE-CG Cargas No Sísmicas.

1.6.1 Delimitación Espacial

El proyecto de estudio hace referencia a edificios de Hormigón Armado de 3, 6 y

12 pisos ubicados en la ciudad de Quito, Provincia de Pichincha.

1.6.2 Temporización

El presente estudio tiene una duración aproximada de 20 semanas, para el

cumplimiento de los objetivos propuestos.

1.6.3 Diagnostico o Análisis Situacional (FODA)

Fortalezas. Procura conocimientos para investigar y afianza habilidades sobre el

uso de técnicas de investigación.

Oportunidades. Permite aplicación de conocimientos para futuras investigaciones.

Debilidades. Limitación de recursos para construcción de modelos físicos.

Amenazas. El tiempo es breve para profundizar el tema.

1.6.4 Tipo de Investigación

Bibliográfica - Documental. Para el sustento del presente proyecto se toman como

referencia libros, investigaciones, documentos técnicos y tesis realizadas, que

puedan servir como apoyo para el tema a desarrollar.

1.6.5 Métodos de Investigación

Método cuantitativo. Por la aplicación de leyes y principios ya establecidos y

porque el proyecto está direccionado al análisis y comparación de resultados.

1.6.6 Técnica e instrumentos de Investigación

Técnicas: Entrevista, Observación directa.

Instrumentos: Microsoft Office (Word, Excel, PowerPoint), Software (Etabs,

AutoCAD), NEC.

6

CAPÍTULO II

FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

2. xxxxx

2.1 GRADOS DE LIBERTAD

Se define a los grados de libertad (G.D.L.) como los desplazamientos (rotaciones y

traslaciones) que se dan lugar en todos y cada uno de los nudos o juntas que

conforman un sistema, cuando a la misma, se le aplica cualquier sistema de cargas.

En otras palabras son las coordenadas partícipes en la definición de la posición de

los nudos cuando son sometidas a fuerzas externas.

Paz M. (1992) expresa que un grado de libertad es la capacidad que tiene un punto

en trasladarse o rotar. Las estructuras tienen infinito número de grados de libertad,

por lo tanto, para simplificar los cálculos se reduce el número de grados de libertad

según lo que se desea analizar, ya sea posición o giros.

El número de grados de libertad varía de acuerdo al tipo de estructura analizada,

pudiendo ser esta un mecanismo plano o espacial, en la que se considera el tipo de

apoyo o restricciones que existen entre uno y otro elemento que están conformando

el sistema estructural. Además, es necesario considerar la flexibilidad o rigidez que

presentan estos elementos, ya que un cuerpo rígido minimiza el número de grados

de libertad.

2.1.1 Grados de libertad en Pórticos Planos

Para obtener el número de grados de libertad de un pórtico se debe dibujar una

deformada lo más general posible. Si se asume que la base de la estructura es fija,

que la losa es indeformable y que la losa sólo puede desplazarse horizontalmente,

se dice que el sistema tiene un grado de libertad (Gráfico 1.a). Si se asume que la

base de la estructura es fija y que la losa es deformable, se dice que el sistema tiene

tres grados de libertad (Gráfico 1.b).

7

Gráfico 1. Grados de libertad en Pórticos Fuente. Elaborado por Autores

El gráfico 2.a, muestra una vista en elevación de un pórtico de 3 niveles con 15

GDL estáticos, pero cuando el pórtico recibe un movimiento en su base, éste oscila

lateralmente y las masas m1, m2 y m3 de cada nivel se aceleran, produciendo tres

fuerzas de inercia horizontales importantes; por tanto el pórtico sólo tiene tres

grados de libertad dinámicos que son los desplazamientos 1, 2 y 3, mostrados en el

gráfico 2.b.

Gráfico 2. Grados de libertad estáticos y dinámicos

Fuente. Elaboración por Autores

Cuando se trate de sistemas rígidos, en los cuales no puede haber desplazamiento

relativo entre las partículas de masa, las propiedades de la masa se pueden describir

referidas a su centro de masa; en el sistema dinámico de un marco su masa se

simplifica a un punto (Gráfico 2.b). Esto conduce a lo que se conoce como sistemas

de masa concentrada.

3 GDL1 GDL

1

23

1

a) b)

3 GDL15 GDL

1

3

1

45

2

89

67

1011

m1

3

1213

1415

2m2

a) b)

m3

8

2.1.2 Grados de libertad en pórticos espaciales

“Las bases conceptuales del análisis dinámico para estructuras tridimensionales,

son las mismas que las empleadas en el análisis de estructuras planas. De esta

forma, las masas se concentran a nivel de cada piso, el cual se considera

infinitamente rígido en su plano. Así, los grados de libertad por piso son tres,

siendo éstos, dos traslaciones ortogonales y una rotación en torno al eje vertical.

Por lo tanto, un edificio tridimensional de N pisos presentará 3N grados de

libertad”. (Ríos H., 2006).

Gráfico 3. Grados de libertad en estructuras

Fuente. Perfil Bío-Sísmico de Edificios (Ríos H., 2006)

Aguiar R. (2012), menciona además que los grados de libertad, conjuntamente con

el número de niveles de una estructura, definen el número mínimo de modos de

vibración que deberán ser partícipes del sistema.

9

2.2 MODOS DE VIBRACIÓN

Es necesario tener muy claro el significado de ciertos términos que se relacionan

con los modos de vibración. A continuación, definimos los más relevantes:

• Vibración: Es el movimiento repetido de un punto que se desplaza de forma

variada en un sentido y en otro, atravesando siempre la posición de

equilibrio.

• Período: Es el tiempo que demora una oscilación completa.

• Frecuencia: Número de oscilaciones por unidad de tiempo. La frecuencia

es inversamente proporcional al período.

• Amplitud : Máximo valor que alcanza un punto durante una oscilación, el

cual puede corresponder a un desplazamiento, una velocidad o una

aceleración.

Para entender el concepto de modos de vibración, se puede partir de lo expuesto

por Aguiar R. (2012) en el libro Dinámica de Estructuras, en el que manifiesta que:

“los modos de vibración indican la forma como va a responder la estructura durante

un sismo... el primer modo de vibración nos puede estar indicando que la estructura

va a tener un buen o mal comportamiento sísmico”. Entonces, si se dice que los

modos de vibración son los indicadores de la respuesta estructural, sería de mucha

importancia conocer sus valores, y posteriormente establecer una diferencia

numérica entre todos los modos para comprobar que el primero puede ser el más

influyente al momento de puntualizarse un adecuado comportamiento estructural

bajo la acción de un sismo.

Un modo representa la forma natural de vibración de la estructura, a cada uno le

corresponderá una frecuencia o un período diferente. Los modos son

adimensionales.

2.2.1 Modos de Vibración en edificaciones

Ante la eventualidad de un sismo, una edificación, al igual que todos los cuerpos

materiales, responderá vibrando u oscilando de varios modos o formas; estas

10

formas de vibrar se conocen como modos de vibración. Los modos de vibración se

producen a diferentes períodos, por lo que durante un acontecimiento sísmico,

pueden afectar en mayor o menor porcentaje a la edificación, dependiendo de la

frecuencia del sismo.

Gráfico 4. Modos de vibración en pórticos planos Fuente. Elaborado por Autores

En el modo 1, la edificación oscila de un lado hacia otro, teniendo todos los

desplazamientos de un mismo lado (gráfico 4), denominándose por esa razón Modo

Fundamental. El modo fundamental de vibración coincide con la frecuencia natural

o propia del edificio, es decir, aquella a la que se supone que responderá de forma

prioritaria e influyente, que junto con el segundo modo de vibración generalmente

son los predominantes en el análisis dinámico de la estructura.

La vibración de una estructura es siempre una combinación de todos los modos de

vibración, la mayoría de los sistemas tienen muchos modos de vibración y es la

tarea del análisis modal determinar la forma de estos modos.

“Para encontrar los modos de vibración, con sus correspondientes períodos o

frecuencias, hay que resolver el problema de análisis modal de las ecuaciones

dinámicas de movimiento para un sistema de múltiples grados de libertad en el caso

de oscilación libre. El análisis modal se reduce a un problema de autovalores

(también conocidos como valores propios o eigenvalues) y autovectores (también

conocidos como vectores propios o eigenvectors). La interpretación física de los

autovalores y autovectores representan las frecuencias y modos de vibración,

respectivamente.” (Montserrat, 2013)

11

2.2.2 Número de Modos de Vibración

“El número de modos de vibrar que posee una estructura corresponde al mismo

número de grados de libertad de ésta.” (Ríos H., 2006). Así, un edificio de 4 pisos

le corresponderán 12 modos de vibrar: cuatro modos de vibración al movimiento

traslacional en dirección “X” (gráfico 5), cuatro modos al movimiento traslacional

en dirección “Y” y cuatro modos al movimiento rotacional.

Primer Modo Segundo Modo Tercer Modo Cuarto Modo

Gráfico 5. Número de modos de vibración de una estructura Fuente. ETABS. Elaborado por autores

2.2.3 Ecuación de Movimiento

El sistema considerado en el Gráfico 6, para la obtención de la ecuación de

movimiento de una estructura, se compone de una masa m concentrada en el nivel

del techo, un pórtico sin masa que proporciona rigidez k al sistema, y un

amortiguador viscoso que disipa la energía de vibración del sistema; la viga y las

columnas son axialmente indeformables.

Gráfico 6. Sistema de un grado de libertad Fuente. Elaborado por autores

Masa

Pórticosin masa

Amortiguadorviscoso

12

El sistema puede ser perturbado por dos tipos de excitación dinámica: una carga

lateral p(t) o por un movimiento del terreno inducido por un sismo.

Gráfico 7. (a) Fuerza aplicada p (t); (b) movimiento del terreno inducido por un sismo Fuente. Elaborado por autores

Al ser sometido el pórtico a una fuerza dinámica p (t) aplicada de manera externa

en la dirección X, se generan fuerzas internas iguales y opuestas a la carga p (t); así

la fuerza interna fs es la que se opone al desplazamiento u y fD es la fuerza interna

en el amortiguador que se opone a la velocidad �� . Así se tiene:

�� = �. � (1) � = �� (2)

Donde: ��, �: Fuerzas internas �: Rigidez lateral del sistema : Coeficiente de amortiguamiento viscoso �: Desplazamiento �� : Velocidad

Se considera que la fuerza externa es positiva en la dirección del eje x y las fuerzas

elástica y de amortiguamiento negativas en la dirección del eje x.

Gráfico 8. Obtención de la ecuación de movimiento Fuente. Elaborado por autores

Masa

Pórticosin masa

Amortiguadorviscoso

(a)

u

p(t)

(b)

u

u'

ug

mu

p(t) p(t)m

fDf S

p(t)m

fDf S

f I

13

La fuerza resultante a lo largo del eje x es: � − �� − � y a partir de la segunda ley

del movimiento de Newton se tiene:

� − �� − � = �� ó �� + � + �� = �(�)

Sustituyendo las ecuaciones 1 y 2, esta ecuación se convierte en:

�� + �� + �� = �(�) (3)

Ésta es la ecuación de movimiento que controla el desplazamiento u (t) de la

estructura idealizada en el gráfico 6, correspondiente a 1GDL, que se supone

elástica lineal y sometida a una fuerza externa dinámica p(t).

Para el caso de pórticos espaciales, es decir, para sistemas de varios grados de

libertad las propiedades m, c, k se colocan en forma de matrices:

�� + �� + �� = � (4)

Donde:

M, C, K: Matrices de masa, amortiguamiento y rigidez.

u, u� , u� : Vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración.

P: Vector de Cargas

2.2.4 Cálculo de los modos de vibración

Los modos de vibración se obtienen considerando a la estructura en vibración libre

no amortiguada, ya que la influencia del amortiguamiento en dicha determinación

es mínima.

Así, para encontrar los modos de vibrar, de la ecuación (4) se elimina el efecto del

amortiguamiento y carga externa, transformándose en:

�� + �� = 0 (5)

Se plantea la solución de (5) de la siguiente manera:

�(�) = � �(�) (6)

14

Donde el vector �, no depende del tiempo y contiene los amplitudes de la estructura

en sus grados de libertad y �(�) es una función del tiempo.

La primera y segunda derivada con respecto al tiempo de u, son:

�� (�) = � ��(�) �� (�) = � ��(�)

Remplazando �(�), �� (�), �� (�) en la ecuación (6) se tiene:

� � ��(�) + � � �(�) = 0 De donde:

�� + ��(�)�(�) �� = 0 Se denomina:

��(�)�(�) = −� ⇒ � (!) + � (!) = " (7)

Luego se tiene: (# − � $)� = " (8)

La ecuación (8), representa un problema de valores y vectores propios, donde � es

el valor propio y � es el vector propio. Una vez calculado � se obtiene de la

ecuación (7) el valor de f (t).

Para que existan soluciones no triviales, es decir, para que los valores de � sean

distintos de cero, es necesario que el determinante de la matriz de coeficientes sea

nulo.

%&�|# − � $| = 0 (9)

Al resolver la ecuación (9) se obtiene un polinomio característico; si se tiene una

matriz de rigidez y de masas de orden n x n, este polinomio será de orden n.

15

De la solución de este polinomio se encuentran “n” raíces de � . Si las matrices K

y M son reales, simétricas y definidas positivas; los valores de � son reales y

positivos.

Una vez que se ha resuelto el problema de valores propios, y se ha obtenido las

raíces del polinomio característico, se pasa a calcular las frecuencias de vibración.

El subíndice i representa el modo i.

()* = √� = , �� (10)

Con cada una de las frecuencias de vibración, se obtienen los períodos de vibración

(Ti).

-* = 2/()* (11)

Los períodos de vibración de la estructura son ordenados en forma descendente. Se

designa como T* al período del modo con mayor masa equivalente traslacional en

cada dirección de análisis X e Y.

Al resolver la ecuación (8) para cada valor Wn se obtiene su vector asociado �0.

Este vector representa la forma adoptada por la estructura, al encontrarse vibrando

libremente con una frecuencia Wn.

Cada elemento del vector �0 se encuentra en función de los demás. Por lo tanto,

dando un valor arbitrario, generalmente 1 al primer elemento, se obtienen los

restantes. El vector �0 queda representado de la siguiente forma:

(1 ⇒ 2341 =56768 39,1...3:;,1<6=

6>

Agrupando los vectores � de todos los modos se ensambla finalmente la matriz

modal ?�@.

16

?�@ =ABBBBBBBBC

566676668 39,9∙3;,93;E9 ,9∙3F; ,93F;E9 ,9∙3:;,9 <66

6=666>

… . . …566676668 39,1∙3;,13;E9 ,1∙3F; ,13F;E9 ,1∙3:;,1 <66

6=666>

… . . …566676668 39,:;∙3;,:;3;E9 ,:;∙3F;,:;3F;E9 ,:;∙3:;,:; <66

6=666>

HIIIIIIIIJ

→ �LMN 1 %LP Q∙�LMN R %LP Q�LMN 1 %LP S∙�LMN R %LP S�LMN 1 %LP T∙�LMN R %LP T

↓ ↓ ↓ 2349 2341 234:;

2.2.5 Período de Vibración en edificaciones

Ante la eventualidad de un sismo, todos los edificios tienen un período natural o

fundamental de vibración, el mismo que depende de las características geométricas

y físicas de los elementos estructurales, es decir, se pueden modificar y variar

secciones para obtener períodos de vibración deseados. El período de vibración es

independiente de la intensidad del sismo.

Entre las características físicas más importantes de las cuales depende el período de

vibración de una edificación tenemos:

• La altura del edificio, pues a mayor altura, mayor período de vibración.

• La densidad de muros, pues a mayor densidad, menor período de vibración.

• La longitud del edificio en la dirección considerada, pues a mayor longitud,

menor período de vibración.

• La rigidez del edificio, pues a mayor rigidez, menor período de vibración.

2.2.5.1 Período de vibración largo y corto

La liberación de energía originada, ya sea por el choque entre las placas tectónicas,

por eventualidades volcánicas, o por el desplazamiento de las fallas geológicas,

genera ondas de vibración por debajo de la superficie terrestre. Estas ondas

atraviesan las diferentes capas de suelo hasta llegar a la estructura, y dependiendo

de la cantidad de energía liberada se genera inestabilidad en las construcciones e

inclusive su colapso.

17

Ahora bien, si períodos cortos son producto de estructuras rígidas o estructuras de

menor altura, y períodos largos son producto de estructuras flexibles o estructuras

de gran altura (Gráfico 9), una y otra presentan problemas ante una acción sísmica,

ya que al tratarse de períodos cortos existe la probabilidad de amplificaciones muy

grandes en aceleración (resonancia), y por otro lado, deformaciones muy grandes

en el caso de períodos largos.

Gráfico 9. Período de vibración largo y corto Fuente. Elaborado por autores.

2.2.5.2 Efecto de resonancia

La resonancia en un edificio sucede cuando las fuerzas externas que actúan sobre

él, derivadas de la acción sísmica, tienen un período de vibración similar al período

fundamental de la estructura, traduciéndose en desplazamientos cada vez mayores.

Este efecto puede resultar ser muy destructivo en los edificios, y la opción más

acertada para contrarrestar este fenómeno es la consideración de un

amortiguamiento, el cual se encargará de disminuir la amplitud de la vibración.

SISMO CONPERIODO CORTO

SISMO CONPERIODO LARGO

Desplazamiento Desplazamiento

Periodo Corto Periodo Largo

18

Gráfico 10. Resonancia de ondas Fuente. Elaborado por autores.

Onda 1

Onda 2

Resultante Onda 1

Onda 2 Resultante

19

2.3 ANÁLISIS ESTÁTICO Y DINÁMICO

El diseño sismo-resistente constituye un componente indispensable para el análisis,

diseño y construcción de cualquier estructura, por lo que, en el país la Norma

Ecuatoriana de la Construcción establece dos métodos de análisis y diseño sísmico:

el Diseño Basado en Fuerzas (DBF), y el Diseño Directo Basado en

Desplazamientos (DDBD).

“Tanto el Diseño Basado en Fuerzas y el Diseño Directo Basado en

Desplazamientos analizan aspectos importantes que se deben considerar para un

buen diseño sismo-resistente. Mientras que el DBF se enfoca en satisfacer

condiciones de desempeño establecidas para diferentes niveles de excitación

sísmica, el DDBD se enfoca en restringir deformaciones, desplazamientos,

ductilidad e índices de daño”. (Rubinstein, Giuliano, & Moller, 2006).

De esta forma el DBF de la NEC presenta tres métodos de análisis: el Análisis

Estático, Análisis Dinámico Espectral y el Análisis Dinámico paso a paso en el

tiempo; el primero se realiza a través de un modelo con cargas estáticas equivalentes

que no varían en el tiempo y la estructura no excede el rango elástico, el segundo

es el método a utilizar en el presente trabajo de titulación, por lo que se detallará

más adelante y el análisis dinámico paso a paso en el tiempo constituye un cálculo

de la respuesta dinámica de la estructura en cada incremento de tiempo y es

realizado mediante dos formas:

• Utilizando las dos componentes horizontales de registros de acelerogramas

apropiadamente seleccionados y escalados a partir de los registros de no

menos de 3 eventos sísmicos. Y,

• Cuando no se disponga de al menos 3 eventos sísmicos, se utilizaran

acelerogramas artificiales apropiadamente simulados para generar el

número de registros y de componentes requeridos.

Por otra parte, el DBF obedece a procedimientos lineales diseñados para producir

una estimación conservadora de la respuesta y desempeño sísmico, los mismos que

resultan no siempre exactos.

20

2.3.1 Análisis Estático Lineal.

El análisis estático lineal consiste en esquematizar la acción del sismo mediante

cargas laterales estáticas equivalentes que se aplican en cada piso de la edificación

(Gráfico 11), para lo cual se calcula el cortante basal tomando en consideración un

comportamiento lineal de los materiales constituyentes. La NEC indica que el

método de análisis estático lineal se aplicará como mínimo para todo tipo de

estructuras, resultando suficiente para estructuras de configuración regular.

V = Σ Fi

Gráfico 11. Esquema del Análisis Estático Lineal

Fuente: Elaborado por autores

2.3.2 Análisis Dinámico Lineal.

“Al aplicar un análisis dinámico lineal, la estructura se modela como un sistema de

Múltiples Grados de Libertad (MGDL) con una matriz de rigidez elástica lineal. La

acción sísmica se modela utilizando un análisis espectral modal o un análisis

temporal. El análisis espectral modal supone que la respuesta dinámica de una

estructura se puede determinar considerando de forma independiente, la respuesta

de cada modo natural de vibración utilizando un espectro de respuesta elástico. Sólo

se consideran los modos que contribuyen considerablemente a la respuesta de la

estructura.”. (Bonett Díaz, 2003).

Dicho de otra manera, el análisis dinámico lineal considera múltiples grados de

libertad. Adicionalmente al cortante basal se utiliza un espectro de diseño en

aceleraciones encontrando la respuesta estructural y la información de los modos

Cortante Basal

F1

F2

F3

F4

21

de vibración; además de considerar a los materiales con un comportamiento lineal

(dentro del rango elástico).

2.3.3 Análisis Modal Espectral

En la mayoría de las normas de construcción, uno de los métodos más utilizado en

el análisis dinámico es el Análisis Modal Espectral, esto dado a su simplicidad de

aplicación y buenos resultados que proporciona.

El análisis modal espectral obtiene la respuesta máxima de la estructura por medio

de la separación del sistema en sus formas o modos de vibrar, combinando las

respuestas máximas de cada uno de sus modos mediante la aplicación de un

espectro de respuesta; es decir, obtiene las respuestas máximas mediante una

superposición de todos los modos. Las respuestas máximas de cada modo se

encuentran afectadas por un coeficiente de participación modal, factor que indica

el porcentaje en que cada modo contribuye a la respuesta total de la estructura.

El análisis modal espectral al ser un procedimiento de análisis dinámico

aproximado presenta ciertas limitaciones, mostrándose las principales:

• El Análisis Modal Espectral es aplicable a sistemas lineales, es decir, los

materiales se comportan dentro del rango elástico.

• El Análisis Modal Espectral da como resultado el valor máximo de

respuesta sin señalar en que instante de tiempo se produce dicho máximo,

es por ello que surge la necesidad de establecer suposiciones sobre la suma

de los máximos de los distintos modos obtenidos.

2.3.4 Espectro de Respuesta

La variación de la respuesta de un sistema en el tiempo bajo varios tipos de

excitaciones es un tema de interés para propósito de análisis y diseño estructural,

los valores máximos de la respuesta estructural contienen información

determinante, dado que dichos valores están relacionados con las fuerzas y

desplazamientos máximos que la estructura debe resistir. En consecuencia, es de

22

gran interés la obtención de estos valores de respuesta máxima, los cuales se

encuentran condensados en gráficos llamados espectros de respuesta.

El espectro de respuesta se define como una gráfica que proporciona información

de las respuestas máximas (aceleraciones, desplazamientos, velocidades) que

sucede en una determinada estructura a causa de una acción dinámica.

En el gráfico 12 se muestra el esquema de cálculo de un espectro de respuesta; a la

izquierda aparece un conjunto de osciladores de 1 GDL, que representan a

estructuras de un piso, que van a ser sometidos a un sismo X cuyo acelerograma se

indica en la parte inferior izquierda.

Gráfico 12. Esquema de cálculo de los Espectros de Respuesta

Fuente. Análisis Sísmico de Edificios, Aguiar (2008)

En la parte central del gráfico 12, se tiene la respuesta en el tiempo de

desplazamiento de dos osciladores, con períodos de 1s y 2s respectivamente. Se ha

identificado las respuestas máximas en cada uno de ellos, como Sd1 para el sistema

con T = 1s, y Sd2 para el sistema con T = 2s; para hallar el espectro Sd1 y Sd2 se

consideran en valor absoluto.

En la parte derecha se han colocado los valores de Sd1 y Sd2 asociados a períodos

de 1 y 2 s, se han colocado además los desplazamientos máximos correspondientes

a los restantes períodos del conjunto de osciladores de un grado de libertad, la

gráfica que resulta de unir las respuestas máximas es el Espectro de Respuesta de

desplazamientos.

23

0 1.5 3

2

4

Sa ξ=0%

g

Sa ξ=2%

g

Sa ξ=5%

g

Sa ξ=10%

g

Sa ξ=20%

g

Tn

Se pudo haber colocado las respuestas máximas de velocidades o de aceleraciones

(en valor absoluto), obteniéndose los espectros de respuesta de velocidad y

aceleración, respectivamente.

En general la construcción de un espectro de respuesta consiste en la graficación de

los valores máximos de la respuesta de un sistema sometido a un acelerograma

versus el período natural. Cada período corresponde a un sistema con frecuencia y

rigidez particular, es decir, representa a una estructura en específico (una

edificación, una cubierta, un puente peatonal, un puente vehicular, etc.). Se pueden

considerar varios valores de amortiguamiento.

En el gráfico 13, se muestra un espectro de respuesta en aceleraciones, en el cual el

eje de las abscisas corresponde al período natural, mientras que en el eje de las

ordenadas se muestran las respuestas máximas de aceleración calculadas para

distintos factores de amortiguamiento.

Gráfico 13. Espectro de respuesta, en términos de aceleración.

Fuente. Math Cad – Elaborado por autores

___ ξ = 0,5 %

___ ξ = 2 %

___ ξ = 5 %

___ ξ = 10 %

___ ξ = 20 %

Periodo T (s)

A

cele

raci

ón (

g)

24

2.3.5 Espectro Elástico de Respuesta

Los espectros elásticos de respuesta proporcionan las bases para calcular la fuerza

de diseño y deformación de una estructura para permanecer dentro del rango

elástico.

Crisafulli F. & Villafañe E. (2002), establecen que los espectros elásticos de

respuesta representan parámetros de respuesta máxima para un terremoto

determinado que usualmente incluyen varias curvas considerando distintos factores

de amortiguamiento. Se utilizan fundamentalmente para estudiar las características

del terremoto y su efecto sobre las estructuras. Las curvas de los espectros de

respuesta presentan variaciones bruscas, con numerosos picos y valles, que resultan

de la complejidad del registro de aceleraciones del terremoto.

2.3.6 Espectro Inelástico de Respuesta

El cálculo de estructuras para que presenten un comportamiento elástico lineal,

suelen ser caras y muchas veces solo están destinadas a estructuras muy

importantes. Normalmente se diseñan estructuras que no tienen un comportamiento

elástico, es decir, la deformación que pueda presentar la estructura durante una

ocurrencia sísmica estará dentro del rango plástico. El campo plástico es el intervalo

en donde los elementos además de alargarse notablemente sin que la carga varíe,

conservan un alargamiento remanente al retirarse la carga.

Los espectros inelásticos se obtienen dividiendo los espectros elásticos para el

producto V ∅X∅Y. Donde R es el factor de reducción de las fuerzas sísmicas debido

al comportamiento inelástico de las estructuras y ∅X , ∅Y son factores con los cuales

se penaliza las irregularidades en planta y elevación.

Este tipo de espectros son muy utilizados en el diseño sismo-resistente, puesto que,

por cuestiones económicas y prácticas, muchas de las construcciones se calculan

considerando la hipótesis del campo plástico.

25

2.3.7 Espectro de Diseño

Una estructura no puede diseñarse para el espectro de un sismo en particular, ya

que en el siguiente sismo, el espectro será diferente. Es por ello que para el cálculo

de las estructuras se utilizan los espectros de diseño.

El espectro de diseño se basa en el análisis estadístico y probabilístico de los

espectros de respuesta de un conjunto de registros sísmicos de una región,

previamente los acelerogramas se normalizan a un valor determinado, obteniéndose

una sola respuesta típica de la zona (espectro de diseño). “El espectro de diseño

debe satisfacer ciertos requisitos, ya que está pensado para diseñar nuevas

estructuras o para evaluar la seguridad sísmica de las estructuras existentes, a fin de

que puedan resistir a sismos futuros”. (Chopra, 2014)

Si no se dispone de una suficiente cantidad de registros sísmicos, se pueden generar

registros sísmicos artificiales que sean compatibles con la sismicidad local de la

región.

2.3.8 Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC

En los últimos años se ha venido desarrollando un nuevo concepto de diseño para

construcciones sismo-resistentes basado en desplazamientos, es decir, que en lugar

de evaluar la demanda sísmica de la estructura en términos de fuerzas laterales, se

realiza el diseño a partir de la demanda de desplazamiento lateral provocada por la

acción sísmica. El método basado en desplazamientos requiere, de un espectro de

diseño de desplazamientos.

El diseño basado en desplazamientos desarrollado por la NEC presenta el siguiente

espectro elástico de diseño de desplazamientos Sd, definido a partir del espectro de

aceleraciones, mediante las siguientes fórmulas:

Z[ = Z\(]). ^ -2/_F �`P` 0 ≤ - ≤ -b (12)

Z[ = Z\(]). ^ -b2/_F �`P` - > -b (13)

26

-b = 2.4 e[ (14) Donde:

Sd: Es el espectro elástico de diseño de desplazamientos (definido para

una fracción del amortiguamiento respecto al crítico igual a 5%).

Depende del período o modo de vibración de la estructura.

Sa: Espectro de respuesta elástico de aceleraciones (expresado como

fracción de la aceleración de la gravedad g). Depende del período o

modo de vibración de la estructura.

g: Aceleración de la gravedad.

T: Período fundamental de vibración de la estructura.

TL: Límite de período de vibración.

Fd: Coeficiente de amplificación de suelo. Amplifica las ordenadas del

espectro elástico de respuesta de desplazamientos para diseño en

roca, considerando los efectos de sitio.

Gráfico 14. Espectro elástico de diseño en desplazamientos según la NEC

Fuente. Norma Ecuatoriana de la Construcción (2015).

27

2.3.9 Espectro elástico de Diseño en aceleraciones según la NEC

Actualmente la Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-15), pone al alcance

de los profesionales de la construcción un espectro elástico de diseño, el cual

depende básicamente de la zona sísmica y del tipo de suelo del emplazamiento de

la estructura.

A continuación se muestra el espectro elástico que representa el sismo de diseño,

sismo que obedece a una fracción de amortiguamiento respecto al crítico de 5%.

Este sismo de diseño se construye a partir de las ordenadas normalizadas de los

espectros de peligro sísmico en roca, considerando un 10% de probabilidad de

excedencia en 50 años o un período de retorno de 475 años. Además se considera

el factor de amplificación máxima η (Sa/Z, en roca), que cambia según la región

del Ecuador que se esté analizando.

Gráfico 15. Espectro elástico de aceleraciones que representa el sismo de diseño

Fuente: Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-15).

Dicho espectro se obtiene mediante las siguientes ecuaciones:

fg = h. i. jg kglg " ≤ m ≤ mn (15)

fg = h. i. jg ^mnm _l kglg m > mn (16)

Donde el período límite de vibración en el espectro sísmico elástico de

aceleraciones que representa el sismo de diseño (Tc) se calcula por medio de la

siguiente expresión:

28

mn = ". oojp jqjg (17)

Donde:

η: Razón entre la aceleración espectral Sa (T = 0.1 s) y el PGA (Peak

Ground Acceleration) para el período de retorno seleccionado.

Fa: Coeficiente de amplificación de suelo en la zona de período corto.

Amplifica las ordenadas del espectro elástico de respuesta de

aceleraciones para diseño en roca, considerando los efectos de sitio.

Fd: Coeficiente de amplificación de suelo. Amplifica las ordenadas del

espectro elástico de respuesta de desplazamientos para diseño en

roca, considerando los efectos de sitio.

Fs: Coeficiente de amplificación de suelo. Considera el comportamiento

no lineal de los suelos, la degradación del período del sitio que

depende de la intensidad y contenido de frecuencia de la excitación

sísmica y los desplazamientos relativos del suelo, para los espectros

de aceleraciones y desplazamientos.

Sa: Espectro de respuesta elástico de aceleraciones (expresado como

fracción de la aceleración de la gravedad g). Depende del período o

modo de vibración de la estructura.

T: Período fundamental de vibración de la estructura.

To: Período límite de vibración en el espectro sísmico elástico de

aceleraciones que representa el sismo de diseño.

Tc: Período límite de vibración en el espectro sísmico elástico de

aceleraciones que representa el sismo de diseño.

Z: Aceleración máxima en roca esperada para el sismo de diseño,

expresada como fracción de la aceleración de la gravedad g.

r: Factor usado en el espectro de diseño elástico, cuyos valores

dependen de la ubicación geográfica del proyecto.

r = 1 para todos los suelos, con excepción del suelo tipo E

r = 1.5 para tipo de suelo E.

29

La normativa NEC-SE-DS-(Peligro sísmico), indica los valores de la relación de

amplificación espectral, η (S/Z, en roca), que varían en función de la región,

adoptando los siguientes valores:

Tabla 1. Valores de la relación de amplificación espectral, η

Región Valor η

Provincias de la Costa (excepto Esmeraldas) 1.80

Provincias de la Sierra, Esmeraldas y Galápagos 2.48

Provincias del Oriente 2.60

Fuente: Norma NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).

En el capítulo de Componentes horizontales de la carga sísmica de la NEC-SE-DS,

se menciona que: “El espectro de respuesta elástico de aceleraciones (Sa),

expresado como fracción de la aceleración de la gravedad, para el nivel del sismo

de diseño” está emparentado con los siguientes coeficientes:

a. Factor de zona sísmica.

b. Tipo de perfil del suelo de la zona.

c. Coeficientes de amplificación del suelo.

d. Factor de amortiguamiento.

a. Factor de zona sísmica (Z)

Los estudios realizados de microzonificación sísmica han hecho posible la

elaboración de mapas, en donde se pueden visualizar las zonas con mayor peligro

sísmico en todo el territorio ecuatoriano. Estas investigaciones han catalogado

al país como un lugar con alta amenaza sísmica.

Un estudio de microzonificación sísmica consiste en la identificación de zonas

geográficas, que muestren una respuesta semejante frente a un suceso sísmico,

valorando su peligrosidad para realizar recomendaciones de diseño sismo

resistente durante una planificación urbana.

30

Gráfico 16. Mapa de zonificación sísmica de Ecuador.

Fuente: NEC-SE-DS-Peligro Sísmico (2015).

Tabla 2. Valores del factor de zona sísmica Z.

Zona Sísmica I II III IV V VI

Valor Factor Z 0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50

Caracterización del Peligro Sísmico Intermedia Alta Alta Alta Alta Muy alta

Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico.

El gráfico muestra las zonas del territorio ecuatoriano que están sujetas a una igual

aceleración sísmica (% g) mientras que, el cuadro detalla la caracterización del

peligro sísmico de cada zona. Cabe mencionar que, para la realización del mapa,

los investigadores consideran un período de retorno de 475 años.

b. Tipo de perfil del suelo de la zona

El perfil del suelo muestra un conjunto de cualidades físicas, químicas y mecánicas

propias de un suelo, que se clasifican en función de la estabilidad del depósito, de

su cohesión, de la velocidad media de la onda de cortante, entre otros parámetros.

La NEC ha clasificado a los suelos en función de las velocidades de ondas de corte,

en la tabla siguiente se indican los valores:

31

Tabla 3. Tipo de Perfil del suelo

Tipo de Perfil Descripción Definición

A Perfil de roca competente Vs ≥ 1500 [m/s]

B Perfil de roca de rigidez media 1500 > Vs ≥ 760 [m/s]

C Perfiles de suelos muy densos o roca blanda 760 > Vs ≥ 360 [m/s]

D Perfiles de suelos rígidos 360 > Vs ≥ 180 [m/s]

E Perfil que contiene un espesor total H mayor de 3m de

arcillas blandas Vs < 180 [m/s]

F Suelos licuables, arcillas sensitivas, suelos dispersivos,

Turbas y arcillas orgánicas, Arcillas de muy alta plasticidad. IP > 75

Fuente: NEC-SE-DE-Peligro Sísmico (2015).

c. Coeficientes de amplificación del suelo

Las ondas sísmicas que emergen del hipocentro de un terremoto se propagan por

todos los estratos de suelo, y en su recorrido sufren modificaciones en su amplitud,

duración y frecuencia. A este fenómeno se le da el nombre de Efecto de sitio o

Efecto local del suelo y tiende a amplificarse cuando la capa de suelo es blanda, lo

que involucra un mayor daño en las construcciones.

Para minimizar los perjuicios que ocasionare el fenómeno, se tomar en cuenta a los

coeficientes de amplificación del suelo:

• Coeficiente de amplificación del suelo en la zona de período corto (Fa).

- Incrementa las ordenadas del espectro de respuesta elástico de

aceleraciones, considerando los efectos de sitio.

Tabla 4. Factores de sitio Fa.

Tipo de Perfil del Subsuelo

Zona Sísmica Y Factor Z

I II III IV V VI

0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50 A 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 C 1.4 1.3 1.25 1.23 1.2 1.18 D 1.6 1.4 1.3 1.25 1.2 1.12 E 1.8 1.4 1.25 1.1 1.0 0.85

F Revisar norma NEC-SE-DS- Clasificación de los perfiles de suelo


32

• Coeficiente de amplificación del suelo (Fd). - Incrementa las ordenadas

del espectro de respuesta elástico de desplazamiento, considerando los

efectos de sitio.

Tabla 5. Factores de sitio Fd.


Zona Sísmica y Factor Z

I II III IV V VI

0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50 A 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 B 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 1.0 C 1.36 1.28 1.19 1.15 1.11 1.06 D 1.62 1.45 1.36 1.28 1.19 1.11 E 2.1 1.75 1.7 1.65 1.6 1.5



• Comportamiento no lineal del suelo (Fs). – El valor del coeficiente es

dependiente de la velocidad de propagación de ondas en el suelo y que

consideran el comportamiento no lineal de los suelos.

Tabla 6. Factores de sitio Fs.


Zona Sísmica y Factor Z

I II III IV V VI

0.15 0.25 0.30 0.35 0.40 > 0.50

A 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 B 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 0.75 C 0.85 0.94 1.02 1.06 1.11 1.23 D 1.02 1.06 1.11 1.19 1.28 1.40 E 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2



d. Factor de amortiguamiento

Se entiende al amortiguamiento como una fuerza contraria al movimiento para que

un cuerpo no vibre indefinidamente, reduciendo la intensidad de vibración de forma

progresiva hasta llegar a un estado estático.

33

En el caso de las edificaciones, las fuerzas de amortiguamiento se oponen a las

fuerzas laterales externas que causan los sismos o vientos fuertes, produciéndose

una reducción de su vibración. Las formas de disipación de energía son:

• Generación de calor: debido a cargas y descargas cíclicas de los elementos

estructurales o a causa de la fricción interna por deformación.

• Fricción entre las conexiones de los elementos.

• Apertura y cierre de micro grietas en el concreto.

• Fricción entre los elementos no estructurales.

Es un hecho que en el estado actual de conocimientos resulta muy complejo

modelar matemáticamente todos los mecanismos de disipación de energía de

vibración actuantes en un sistema, razón por la cual se recomienda adoptar un valor

de amortiguamiento del 5 % respecto al crítico.

2.3.10 Cortante Basal de diseño “V”

La NEC lo define como la “fuerza total de diseño por cargas laterales, aplicada en

la base de la estructura, resultado de la acción del sismo de diseño con o sin

reducción, de acuerdo con las especificaciones de la presente norma”. El cortante

basal es igual al producto del coeficiente de diseño sísmico por el peso reactivo de

la estructura. La expresión utilizada en la determinación del cortante basal es:

r = s ∗ fg(mg)u ∗ vw ∗ vx ∗ y (18)

Donde:

I = Coeficiente de Importancia

Sa (Ta) = Espectro de diseño en aceleración

R = Factor de Reducción de resistencia sísmica

Øp = Coeficiente de Configuración Estructural en planta

Øe = Coeficiente de Configuración Estructural en elevación

W = Carga Sísmica Reactiva

V = Cortante Basal Total de Diseño

Ta = Período de Vibración

34

2.3.10.1 Coeficiente de Importancia “I”

Aumenta la solicitud sísmica en el diseño de estructuras, con el objeto de que

permanezcan resguardadas o que sufran daños menores durante y después de la

ocurrencia del sismo de diseño. Se clasifican en categorías correspondiéndoles

diferentes factores de importancia.

Tabla 7. Tipo de uso, destino e importancia de la estructura

Categoría Tipo de uso, destino e importancia “I”

Edificaciones esenciales

Hospitales, clínicas, Centros de salud o de emergencia sanitaria. Instalaciones militares, de

policía, bomberos, defensa civil. 1.5

Estructuras de ocupación especial

Museos, iglesias, escuelas y centros de educación o deportivos que

albergan más de trescientas personas 1.3

Otras estructuras Todas las estructuras de edificación y otras que no clasifican dentro de las categorías anteriores

1.0


2.3.10.2 Factor de Reducción de resistencia sísmica “R”

Reduce la ordenada elástica espectral, disponiendo un buen comportamiento

inelástico durante el sismo de diseño. De esta manera, se logra una ductilidad y

disipación de energía adecuada que impidan el colapso de la estructura.

Tabla 8. Coeficiente R para sistemas estructurales

Sistemas Estructurales Dúctiles “R”

Sistemas Duales

- Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas descolgadas y con muros estructurales de hormigón armado o con diagonales rigidizadoras (sistemas duales).

8

- Pórticos especiales sismo resistentes de acero laminado en caliente, sea con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas) o con muros estructurales de hormigón armado.

8

- Pórticos con columnas de hormigón armado y vigas de acero laminado en caliente con diagonales rigidizadoras (excéntricas o concéntricas).

8

35

- Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas banda, con muros estructurales de hormigón armado o con diagonales rigidizadoras.

7

Pórticos Resistentes a Momentos

- Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas descolgadas.

8

- Pórticos especiales sismo resistentes, de acero laminado en caliente o con elementos armados de placas.

8

- Pórticos con columnas de hormigón armado y vigas de acero laminado en caliente.

8

Otros Sistemas Estructurales para Edificaciones

- Sistemas de muros estructurales dúctiles de hormigón armado. 5

- Pórticos especiales sismo resistentes de hormigón armado con vigas banda. 5


Sistemas Estructurales de Ductilidad Limitada “R”

Pórticos Resistentes a Momentos

- Hormigón Armado con secciones de dimensión menor a la especificada en la NEC-SE-HM, limitados a viviendas de hasta 2 pisos con luces de hasta 5metros.

3

- Hormigón Armado con secciones de dimensión menor a la especificada en la NEC-SE-HM con armadura electro soldada de alta resistencia

2,5

- Estructuras de acero conformado en frío, aluminio, madera, limitados a 2 pisos.

2,5

Muros Estructurales Portantes

- Mampostería no reforzada, limitada a un piso. 1

- Mampostería reforzada, limitada a 2 pisos. 3

- Mampostería confinada, limitada a 2 pisos. 3

- Muros de hormigón armado, limitados a 4 pisos. 3


36

2.3.10.3 Coeficiente de configuración estructural en planta “ Øp” y en elevación “Øe”

El valor de los coeficientes se adopta en función de los tipos de irregularidades que

presente la edificación tanto en planta como en elevación. Cuando una estructura

no contempla ninguno de los tipos de irregularidades descritos, se toma el valor de

1.

Tabla 9. Coeficientes de irregularidad en planta

Tipo Configuración Estructural en planta “Øp”

1 Irregularidad Torsional 0.9

2 Retrocesos excesivos en las esquinas 0.9

3 Discontinuidades en el sistema de piso 0.9

4 Ejes estructurales no paralelos 0.9


Tabla 10. Coeficientes de irregularidad en elevación

Tipo Configuración Estructural en elevación “Øe”

1 Piso flexible 0.9

2 Distribución de masa 0.9

3 Irregularidad Geométrica 0.9


2.3.10.4 Carga sísmica reactiva “W”

La sumatoria del peso propio y peso permanente de una estructura da como

resultado la carga muerta total, que se la puede definir como la carga sísmica

reactiva. Así se tiene:

• Para el caso general se utiliza:

W = D (19)

37

• En casos especiales como son las bodegas y almacenajes se utiliza:

W = D + 0.25 Li (20)

Donde:

W: Carga Sísmica Reactiva

D: Carga muerta total de la estructura.

Li: Carga viva del piso i.

2.3.10.5 Ajuste del corte basal de los resultados obtenidos por el análisis dinámico

Se restringe el valor del cortante dinámico total en la base, definida mediante

cualquier método de análisis dinámico, con las siguientes disposiciones:

• Para estructuras regulares: El valor del cortante basal dinámico total no será

menor que el 80 % del cortante basal estático.

• Para estructuras irregulares: El valor del cortante basal dinámico total no

será menor que el 85 % del cortante basal estático.

2.3.10.6 Determinación del período de vibración “T”

Siguiendo el procedimiento de cálculo de fuerzas sísmicas estáticas de la sección

6.3.3 del Capítulo Peligro Sísmico de la NEC, el cálculo del período de vibración

de la estructura, puede realizarse mediante 2 métodos:

a. Método 1

Utilizando la siguiente expresión: m = z!{0| (21)

Donde:

T = Período de vibración aproximado

Ct = Coeficiente dependiente del tipo de edificio

38

hn = Altura máxima de la edificación de n pisos, medida desde la base de la

estructura, en metros

ɑ = Impedancia del semi espacio α = ρsVs / ρ0V0

Los coeficientes “Ct” y “α”, dispuestos en el cálculo del cortante basal de diseño se

indican a continuación:

Tabla 11. Valores para Ct y α.

Tipo de Estructura C α

Estructuras de Acero

• Sin arriostramientos 0.072 0.80

• Con arriostramientos 0.073 0.75

Pórticos Especiales de Hormigón Armado

• Sin muros estructurales ni diagonales rigidizadoras. 0.055 0.90

• Con muros estructurales o diagonales rigidizadoras y para otras estructuras basadas en muros estructurales y mampostería estructural.

0.055 0.75


b. Método 2

Se puede calcular el período de vibración teniendo en cuenta las propiedades

estructurales y las características de deformación de los elementos resistentes,

llevando a cabo un análisis apropiado y sustentado. Se plantea la siguiente

expresión:

mg = }~, ∑ ��}0�� ∑ ��0�� (22)

Donde: �*: Representa cualquier distribución aproximada de las fuerzas

laterales en el piso i, de acuerdo con los principios descritos en el

presente capítulo, o cualquiera otra distribución racional. �*: Deflexión elástica del piso i, calculada utilizando las fuerzas

laterales fi

39

�*: Peso aginado al piso o nivel i de la estructura, siendo una fracción de

la carga reactiva W (incluye la fracción de la carga viva

correspondiente) peso: w / cargas: W

En este punto se debe aclarar que el valor de T obtenido mediante el método 2, no

debe superar en un 30% al valor de T calculado con el método 1.

2.3.10.7 Control de la deriva de piso

Reyes (1999), establece que “la deriva de piso se define como el cociente entre el

desplazamiento relativo del piso en cuestión con respecto al piso inferior

consecutivo y la altura de entrepiso”. En otras palabras, la deriva de piso se calcula

mediante la resta del desplazamiento del extremo superior de un piso con el

desplazamiento del extremo inferior.

La deriva es un indicador muy utilizado en el diseño y control de edificios, tal es el

caso que la NEC establece cumplir con un control de deformaciones, llevando a

cabo el cálculo de derivas inelásticas máximas de piso, proponiendo la siguiente

expresión:

∆$= ". �o u ∆x (23)

Donde: ∆�: Deriva máxima inelástica. ∆�: Desplazamiento obtenido en aplicación de las fuerzas laterales de

diseño reducidas.

R: Factor de reducción de resistencia.

El valor que se obtenga del cálculo de ∆�, no debe superar a los valores que se

indican en la siguiente tabla, los mismos que deben satisfacerse para cada nivel del

edificio.

40

Tabla 12. Deriva máxima inelástica

Estructura ∆M (adimensional)

Hormigón armado, estructuras metálicas y de madera. 0.02

De mampostería 0.01


En caso de no cumplir con el requisito establecido, el diseñador debe modificar la

modelación, aumentando o disminuyendo las secciones de los elementos

estructurales, utilizando el criterio más acertado para satisfacer todas las

condiciones establecidas en la norma.

La tabla 13 actualizada de Aguiar (2008), detalla las ecuaciones utilizadas en países

vecinos, donde se muestran además los valores del factor R para el caso específico

de pórticos resistentes a momentos conformado por columnas y vigas descolgadas

de hormigón armado. Se considera que si el tipo de espectro es último, no requiere

la mayoración de la acción sísmica en las combinaciones de carga.

Tabla 13. Deriva máxima inelástica

País Norma Factor “R”

Tipo de Espectro

Deriva de piso

máxima

Tipo de análisis

Deriva Máxima

Inelástica

Ecuador NEC-15 6 Servicio 0,020 Inelástico 0.75 V ∆�

Perú E.030 8 Servicio 0,007 Inelástico 0.75 V ∆�

Colombia NSR-10 5 Último 0,010 Inelástico V ∆�

Venezuela COVENIN 6 Último 0,018 Inelástico 0.8 V ∆�

Chile NCh 433-96 11 Servicio 0,001 Elástico -

Fuente: Aguiar (2008) - Actualizado.

Si se compara la exigencia de derivas inelásticas máximas de normativas de países

vecinos, se puede evidenciar que la NEC es más tolerante durante el cumplimiento

del control de deformaciones.

41

2.4 CRITERIOS DE COMBINACIÓN MODAL

Debido a una de las limitaciones del Análisis Modal Espectral señaladas en la

sección 2.3.3, que indica que el método espectral únicamente obtiene el valor

máximo de respuesta sin considerar en qué instante de tiempo se produce, se da la

necesidad de plantear ciertas hipótesis sobre la suma de los máximos de los distintos

modos obtenidos. A continuación se presentan las metodologías más empleadas en

la actualidad:

2.4.1 Criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC)

El método C.Q.C. por sus siglas en ingles Complete Quadratic Combination fue

desarrollado por Wilson, Der Kioreghian y Bayo (1981). Este método toma en

cuenta la posibilidad de acoplamiento entre los modos de vibración utilizando

coeficientes de correlación �*�, que son funciones de la duración y del contenido de

la frecuencia, así como del amortiguamiento modal de la estructura.

PF = � � �*� ∗ P* ∗ P�;

��9;

*�9 (24)

�*� = 8 �F(1 + `)`9.�(1 − `F)F + 4 �F`(1 + `)F

` = (1�(1* �*� = 8��*��* + `��`9.�(1 − `F)F + 4 �*�� ` (1 + `)F + 4 �*F + ��F�`F

Donde: �*�: Coeficientes de acoplamiento modal PL, P�: Respuestas máximas para los modos i y j `: Relación entre las frecuencias de vibración de los modos i, j.

ξ: Coeficiente de amortiguamiento de los modos i y j

Cuando las frecuencias de los n modos de vibración están bastante separados, el

criterio de la combinación cuadrática completa, proporciona valores similares al

criterio del máximo valor probable.

42

2.4.2 Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)

La segunda regla de combinación modal (SRSS - Square Root Sum of Squares),

por su simplicidad de cálculo es uno de los más utilizados; obteniendo la respuesta

total del sistema al calcular la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las

respuestas máximas de cada modo.

El criterio del valor máximo probable fue desarrollado por E. Rosenblueth en su

tesis doctoral (Rosenblueth, 1951) y se obtiene a través de:

l = ��(l�)}�� (25)

Donde:

r = Respuesta total del sistema

ri = Máxima respuesta del modo i

N = Número de modos que se consideran en la respuesta.

El SSRS proporciona resultados confiables siempre y cuando los períodos de los n

modos de vibración considerados difieran entre si más de un 10%. Utilizar este

criterio cuando no se cumple esta condición, puede llevar a subestimar la respuesta.

2.4.3 Criterio de la Suma absoluta (Absolute)

El método de combinación modal conocida como Valor Absoluto (ABS), realiza la

suma directa de las respuestas máximas de cada modo de vibrar entregando un valor

muy alto y conservador.

l = �|l�|�� (26)

Donde:

r = Respuesta total del sistema.

ri = Máxima respuesta del modo i.

43

2.4.4 Criterio Combinación Modal General (GMC)

El método de combinación modal general (GMC) fue desarrollado por Gupta

(1990). Este método toma en cuenta el acoplamiento estadístico entre modos

espaciados-cercanos similar al método CQC, pero también incluye la correlación

entre modos con contenido respuesta-rígida. El método GMC, requiere que se

especifiquen dos frecuencias f1 y f2 las cuales definen la respuesta rígida contenida

en el movimiento del suelo.

Estos deben satisfacer 0 < f1 < f2. Las partes de la respuesta-rígida de todos los

modos son asumidos siendo perfectamente correlativos. El método GMC asume

una respuesta no rígida debajo de la frecuencia f1, completamente rígido encima la

frecuencia f2, y una interpolación de porcentaje de respuesta rígida para frecuencias

f1 y f2.

2.4.5 Criterio del NRC 10 %

El método fue presentado por la Comisión de Regulación Nuclear estadounidense

(Nuclear Regulation Commission), el cual toma un acoplamiento positivo entre

todos los modos de cuyas frecuencias difieren entre sí, en un 10% o menos de la

más pequeña de las dos frecuencias.

2.4.6 Criterio de la Doble suma

Este criterio considera las frecuencias de vibración en los modos i, j y el porcentaje

de amortiguamiento ξ:

PF = �(P*)F;*�9 + � � P* P�1 + �*�F

;��9

;*�9 (27)

�*� = �1 − �� ∗ (1* − (1�(1* + (1�

Donde:

Wni, Wnj: Frecuencias de vibración de los modos i, j.

ξ : P Porcentaje de amortiguamiento para cada modo de vibración.

44

El criterio de la doble suma también presenta una ecuación en función del tiempo

de duración del sismo que se ha denominado s. En este caso, se tiene:

�*� = (\* − (\��*́(\* + ��́(\�

(\* = (1*�1 − �*F

�*́ = 2M ∗ ()L (28)

Este criterio considera la proximidad entre los valores de las frecuencias de los

modos que contribuyen a la respuesta, la fracción del amortiguamiento y la duración

del sismo. Este criterio es adecuado para el análisis sísmico de Presas.

Las seis combinaciones modales antes descritas son las que aparecen definidas en

el software ETABS V 15.0.0, que es el programa a utilizar para el desarrollo de éste

análisis; sin embargo, existen otras formas de combinación modal propuestas por

varios autores. A continuación se presentan algunas de ellas:

2.4.7 Criterio propuesto de Alejandro Gómez

La combinación propuesta por Alejandro Gómez en 2002 integra los criterios de la

combinación del máximo probable y de la suma de absolutos, con la siguiente

ecuación:

P = �� P*F + ��(P*);*�9 �F;

*�9 (29)

Donde:



45

2.4.8 Combinación propuesta por el Laboratorio de Investigación Naval

(NRL)

El NRL (Naval Research Laboratory) igualmente combina el criterio del máximo

absoluto con el del máximo probable, pero solamente toma en consideración el

valor absoluto del primer modo, en vista de ser el más crítico:

P = |P*| + �� P*F;

*�F − P9F (30)

Donde:



2.4.9 Combinación de la Norma Técnica de Guatemala

La Norma Técnica del Guatemala (1996) combina un 50% del criterio de la suma

directa y 50% del criterio del valor máximo probable.

P = 0.50 �|P*|;*�9 + 0.50�� P*F

;*�9 (31)

Donde:



2.4.10 Combinación Grouping Method (GRP)

Fue presentado en 1976 por la U.S. Nuclear Regulatory Comission en USNRC

Regulatory Guide dentro del estudio “Combining Modal Responses and Spatial

Components in Seismic Response Analysis”:

P = �� *� P*P� ;��9

;*�9

(32)

46

�*� = ¡1.0 ML ¢(1� − (1*(1* ¢ ≤ 1 0.0 ML ¢(1� − (1*(1* ¢ > 1 £

Ahora bien, el software Etabs en su versión 15.0.0 facilita seis criterios de

combinación modal sin poner limitación alguna para emplear cualquiera de ellas.

Las combinaciones modales que contiene el programa son:

• Criterio de la Combinación Cuadrática Completa (CQC)

• Criterio del Máximo Valor Probable (SRSS)

• Criterio de la Suma absoluta (ABSOLUTE)

• Criterio Combinación Modal General (GMC)

• Criterio del NRC 10 %

• Criterio de la Doble suma

Gráfico 17. Criterios de combinación modal y combinación direccional Fuente: Etabs V 15.0.0

47

2.5 NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓN Y COMBINACIONES

MODALES

2.5.1 Número de modos de vibración según la NEC-15

Según la NEC-SE-DS-(Peligro Sísmico), sección 6.2.2 Procedimientos dinámicos

de cálculos de las fuerzas sísmicas, en el literal e) Procedimiento 1. Análisis

Espectral, con referencia al número de modos expresa:

Número de Modos

Se deben considerar en el análisis:

• Todos los modos de vibración que contribuyan significativamente a la

respuesta total de la estructura, mediante los varios períodos de vibración,

• Todos los modos que involucren la participación de una masa modal

acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura, en cada

una de las direcciones horizontales principales consideradas.

Combinación de modos

Cuando se utilicen modelos tri-dimensionales, los efectos de interacción modal

deben ser considerados cuando se combinen los valores modales máximos.

2.5.2 Número de modos de vibración según el CEC-2000

Según el Código Ecuatoriano de la Construcción (CEC-2000), sección 6.11.5

Análisis Dinámico Espectral, en el numeral 6.11.5.2 y 6.115.3 con referencia al

número de modos de vibración expresaba:

Número de modos:

El requerimiento de que se utilicen en el análisis todos los modos de vibración que

contribuyan significativamente a la respuesta total de la estructura, puede

satisfacerse al utilizar todos los modos que involucren la participación de una masa

modal acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura, en cada

una de las direcciones horizontales principales consideradas.

48

Combinación de modos:

Las fuerzas máximas en elementos, los desplazamientos, cortantes de piso, fuerzas

cortantes y reacciones máximas para cada modo, se combinarán utilizando

métodos reconocidos por la dinámica estructural. Cuando se utilicen modelos tri-

dimensionales, los efectos de interacción modal deben ser considerados cuando se

combinen los valores modales máximos.

Dicho esto, en referencia al número de modos de vibración se observa que tanto la

NEC-15 como el CEC-2000 expresan exactamente lo mismo, es decir, que en el

análisis se debe considerar todos los modos de vibración que contribuyan

significativamente a la respuesta total de la estructura hasta que involucren la

participación de una masa modal acumulada de al menos el 90% de la masa total

de la estructura, en cada una de las direcciones horizontales principales

consideradas.

Esto da a conocer que desde años anteriores (año 2000 aproximadamente) ya se

disponía de una normativa que indicaba las especificaciones básicas para el

cálculo y diseño sismo-resistente de edificaciones, pero que no era aplicada en su

totalidad por los profesionales de la construcción, debido a la inexistencia de un

control en la revisión y aprobación de proyectos por parte de entidades

correspondientes.

A partir del sismo ocurrido en la ciudad de Quito, el 12 de agosto de 2014 con una

magnitud de 5.1 grados en la escala de Richter, el Municipio del DMQ a través de

la Entidad Colaboradora del Colegio de Arquitectos del Ecuador (CAE) ha

incrementado la rigurosidad en la revisión y aprobación de proyectos, rigiéndose a

lo establecido en la normativa vigente NEC-15.

Con respecto a los criterios de combinación modal, la CEC-2000 establecía que se

utilicen métodos reconocidos por la dinámica estructural y la NEC-15 indica que

cuando se utilicen modelos tridimensionales se combinen los valores máximos

modales; en ambos casos, no se define el criterio de combinación a utilizar,

dejando a libre elección del diseñador el criterio que crea más conveniente.

49

2.6 NORMAS INTERNACIONALES, REFERENTES A LOS MODOS DE

VIBRACIÓN Y COMBINACIONES MODALES.

2.6.1 Norma Colombiana. (Norma Sismo-Resistente NSR-10)

A.5.4.2 Número de Modos de Vibración.

Deben incluirse en el análisis dinámico todos los modos de vibración que

contribuyan de

una manera significativa a la respuesta dinámica de la estructura. Se considera

que se ha cumplido este requisito cuando se demuestra que, con el número de

modos empleados, p, se ha incluido en el cálculo de la respuesta, de cada una de

las direcciones horizontales de análisis, j, por lo menos el 90% de la masa

participante de la estructura. La masa participante, $¤¥¥¥¥ en cada una de las

direcciones de análisis, j, para el número de modos empleados, p, se determina por

medio de las siguientes ecuaciones:

$¦ § = � $¦ ¨§ ≥ ". ª" $k¨��

$¦ ¨§ = �∑ ¨��§̈0�� }∑ ¨��§̈ �}0�� (33)

Donde:

p = Número total de modos utilizado en el análisis modal de la estructura.

j = Índice de una de las direcciones ortogonales principales en planta, (x o

y). �¦�= Masa actuante total de la edificación en la dirección j. �¦«�= Masa efectiva modal del modo m en la dirección j. 3*�« = Amplitud de desplazamiento del nivel i de la edificación, en la

dirección j, cuando está vibrando en el modo m.

50

A.5.4.4 Combinación de los modos.

Las respuestas máximas obtenidas para cada modo, m, de las deflexiones, derivas,

fuerzas en los pisos, cortantes de piso, cortante en la base y fuerzas en los

elementos, deben combinarse utilizando métodos apropiados y debidamente

sustentados, tales como el de la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados u otros.

Debe tenerse especial cuidado cuando se calculen las combinaciones de las

derivas, calculando la respuesta máxima de la deriva causada por cada modo

independientemente y combinándolas posteriormente. No es permitido obtener las

derivas totales a partir de deflexiones horizontales que ya han sido combinadas.

Cuando se utilicen modelos matemáticos de análisis tridimensional deben tenerse

en cuenta los efectos de interacción modal, tales como la combinación cuadrática

total.

2.6.2 Norma Peruana (Norma E.030 Diseño Sismo-Resistente)

18.2. Análisis por combinación modal espectral.

Modos de Vibración

Los períodos naturales y modos de vibración podrán determinarse por un

procedimiento de análisis que considere apropiadamente las características de

rigidez y la distribución de las masas de la estructura.

Criterios de Combinación

Mediante los criterios de combinación que se indican, se podrá obtener la

respuesta máxima esperada r tanto para las fuerzas internas en los elementos

componentes de la estructura, corno para los parámetros globales del edificio

como fuerza cortante en la base, cortantes de entrepiso, momentos de volteo,

desplazamientos totales y relativos de entrepiso.

La respuesta máxima elástica esperada r correspondiente al efecto conjunto de los

diferentes modos de vibración empleados (ri ) podrá determinarse usando la


51

l = ". }o ∗ �|l�| + ". �o�� l�}¨

��¨

�� (34)

Alternativamente, la respuesta máxima podrá estimarse mediante la combinación

cuadrática completa de los valores calculados para cada modo.

En cada dirección se considerarán aquellos modos de vibración cuya suma de

masas efectivas sea por lo menos el 90% de la masa de la estructura, pero deberá

tornarse en cuenta por lo menos los tres primeros modos predominantes en la

dirección de análisis.

2.6.3 Norma Chilena (Nch433)

6.3 Análisis modal espectral

6.3.1 Este método se puede aplicar a las estructuras que presenten modos

normales de vibración clásicos, con amortiguamientos modales del orden de 5%

del amortiguamiento crítico.

6.3.2 Una vez determinados los períodos naturales y modos de vibrar, las masas

equivalentes para cada modo n están dadas por las siguientes expresiones:

�1¬ = 1¬F�1

�1® = 1®F�1

�1¯ = 1¯F�1

(35)

En que: 1¬ = 2∅14°?�@2P¬4 1® = 2∅14°?�@±P®² 1¯ = 2∅14°?�@2P̄ 4

(36)

52

�1 = 2∅14°?�@2∅14

6.3.3 Se debe incluir en el análisis todos los modos normales ordenados según

valores crecientes de las frecuencias propias, que sean necesarios para que la suma

de las masas equivalentes para cada una de las dos acciones sísmicas sea mayor o

igual a un 90% de la masa total.

• Criterios de Combinación Modal

6.3.6.2 La superposición de los valores máximos modales se debe hacer mediante

la expresión:

³ = �� § ´�§³� ³§ (37)

En que las sumas µ* S µ� son sobre todos los modos considerados; los coeficientes

de acoplamiento modal �*� se deben determinar por uno de los métodos

alternativos siguientes:

a) El Método CQC

�*� = 8�FP:/F(1 + P)(1 − P)F + 4�FP(1 + P) (38)

En que:

P = -*-�

� = Razón de amortiguamiento, uniforme para todos los modos de

vibrar, que se debe tomar igual a 0.05.

53

b) El Método CQC con ruido blanco filtrado por un suelo con característica

To.

�· = �∗ ML °¸°¹ ≥ 1,35

�· = 1 − 0,22(1 − �∗) »¼N] ^-*-·_ + 2½F ML -*-· < 1,35 (39)

En que ́ ∗ está dado por:

�∗ = 0 ML °¸°¿ ≥ 1,25

�· = 1 + 4 �1 − -*-�� ML -*-� < 1,25 (40)

En las expresiones (40) y (41) se debe tomar m� > m§.

2.6.4 Norma Mexicana (Norma Técnicas Complementarias para Diseño

por Sismo)

9.1 Análisis modal

Cuando en el análisis modal se desprecie el acoplamiento entre los grados de

libertad de traslación horizontal y de rotación con respecto a un eje vertical, deberá

incluirse el efecto de todos los modos naturales de vibración con período mayor o

igual a 0.4 segundos (T ≥ 0.4s), pero en ningún caso podrán considerarse menos

de los tres primeros modos de vibrar en cada dirección de análisis, excepto para

estructuras de uno o dos niveles.

Si en el análisis modal se reconoce explícitamente el acoplamiento mencionado,

deberá incluirse el efecto de los modos naturales que, ordenados según valores

decrecientes de sus períodos de vibración, sean necesarios para que la suma de los

pesos efectivos en cada dirección de análisis sea mayor o igual a 90 % del peso

total de la estructura. Los pesos modales efectivos, Wei, se determinarán como:

yÀ� = (2∅�4m?y@2Á4)}2∅�4m?y@2∅�4 (41)

54

Donde:

{ϕi} es el vector de amplitudes del i–ésimo modo natural de vibrar de la

estructura,

[W] la matriz de pesos de las masas de la estructura

{J} un vector formado con “unos” en las posiciones correspondientes a los

grados de libertad de traslación en la dirección de análisis y “ceros” en las

otras posiciones.

• Criterios de Combinación Modal

Las respuestas modales Si (donde Si puede ser fuerza cortante, desplazamiento

lateral, momento de volteo, u otras), se combinarán para calcular las respuestas

totales S de acuerdo con la expresión:

f = �� f�} (42)

Siempre que los períodos de los modos naturales en cuestión difieran al menos 10%

entre sí. Para las respuestas en modos naturales que no cumplen esta condición se

tendrá en cuenta el acoplamiento entre ellos.

2.6.5 Norma Venezolana (Comisión Venezolana de Normas Industriales

- Edificaciones Sismo resistentes)

9.4.4 Número de Modos de Vibración

En cada dirección, el análisis debe por lo menos incorporar el número de modos

N1 que se indica a continuación:

a. para edificios con menos de 20 pisos:

R9 = 12 ^ -9- ∗ − 1.5_ + 3 ≥ 3 (43)

b. para edificios con 20 pisos o más:

R9 = 23 ^ -9- ∗ − 1.5_ + 4 ≥ 4 (44)

55

Donde:

T1 = Período del modo fundamental.

T* = Valor máximo del período en el intervalo donde los espectros

normalizados tienen un valor constante, en segundos.

Los valores N1 deben redondearse al entero inmediato superior. Para estructuras

de menos de 3 pisos, el número de modos a incorporar es igual al número de pisos.

9.4.5 Criterios de Combinación Modal

El corte basal y la fuerza cortante en cada nivel se determinarán por combinación

de los respectivos valores modales. La combinación se llevará a cabo tomando la

raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor modal o por la

combinación cuadrática completa. A partir de las fuerzas cortantes se obtendrán

las fuerzas concentradas en cada nivel, las cuales se aplicarán en los respectivos

centros de masa.

2.6.6 Norma Brasileña (Asociación Brasileña de Normas Técnicas)

10 Análisis sísmico por el método espectral

10.1 Número de modos a ser considerado

El número de modos para ser consideradas en el análisis espectral debe ser

suficiente para capturar al menos 90 % de la masa total en cada una de las

direcciones ortogonales consideradas en el análisis.

10.3 Combinación de respuestas modales

Las respuestas elásticas finales se pueden combinar por la regla de la raíz

cuadrada de la suma de los cuadrados de respuestas obtenidas en cada modo de

vibración. En el caso de la proximidad entre las frecuencias de los modos Vibración

(aparte propias frecuencias de menos de 10 % del mismo valor), debe aplicarse la

regla de combinación más precisa, para considerar los efectos de la proximidad

entre los modos.

56

En cuanto a las respuestas elásticas debido a terremotos aplicadas en diferentes

direcciones ortogonales, las respuestas finales también deben ser obtenidas de la

raíz cuadrada de la regla de la suma de los cuadrados de respuestas obtenidas en

cada dirección.

Resumen

Con excepción de la normativa venezolana, se evidencia que el requerimiento en

cuanto al número de modos de vibración planteado por las normas de países vecinos

es similar a la NEC; todas ellas concuerdan que el número de modos de vibración

se define cuando la masa participativa en cada uno de las direcciones analizadas

“X” e “Y” alcanza el 90% del total de la masa estructural, inclusive la norma de

Brasil que es considerada como un territorio de bajo riesgo sísmico. Donde la

actividad sísmica es menor.

En lo que respecta al criterio de combinación modal, haciendo un balance entre

todas las implicadas en la investigación, la combinación modal más empleada es la

que sugiere el método del máximo valor probable “SRSS” tomando la raíz cuadrada

de la suma de los cuadrados de cada valor modal.

La NEC no especifica ningún tipo de combinación modal, la más sugerida por los

profesionales ha sido la que viene definida por defecto en el software de modelación

Etabs y que hace referencia al método CQC. Otros han mencionado que durante

una modelación, en la que se incluya mampostería, se recomienda utilizar el método

de Doble Suma ya que este arroja resultados más acertados de cada valor modal, lo

cual es influyente en la determinación y aceptación de las derivas inelásticas.

En los foros de ingeniería se aconseja utilizar el método CQC para estructuras con

irregularidades en planta y en elevación, mientras que el método SRSS se utilice en

edificaciones simétricas.

Dicho esto, queda abierto el debate entre profesionales para establecer la

combinación modal que se tiene que utilizar en el país, recordando que Chile, Perú,

Colombia, Venezuela, México y Brasil son naciones que tienen definido su método

de combinación modal, motivo suficiente para establecer una propia.

57

Más adelante en la investigación emplearemos en los mismos modelos, diferentes

combinaciones modales para determinar cuáles de ellos desarrolla valores más

críticos y proponer la utilización de alguno de ellos, pero nuevamente se deja a

criterio del profesional el elegir la combinación más eficiente.

58

CAPÍTULO III

ANÁLISIS Y DISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS

3. Xxxxx

3.1 PREDISEÑO DE LAS ESTRUCTURAS

Se analizan estructuras regulares e irregulares de hormigón armado de tres, seis y

doce pisos (tres de cada una, nueve en total), todas ellas destinadas a viviendas y

tomando como referencia de emplazamiento el Distrito Metropolitano de Quito.

Para el estudio se emplea el método modal espectral.

3.1.1 Geometría y Uso

Se detallan las características geométricas de los elementos estructurales y el uso

de cada edificación.

Tabla 14. Características de los elementos estructurales

Elemento estructural Estructura

3 Pisos 6 Pisos 12 Pisos

Hormigón

Columnas Rectangulares Rectangulares Rectangulares

Vigas Descolgadas Descolgadas Descolgadas

Losas Alivianadas Alivianadas Alivianadas

Uso estructural Vivienda Vivienda Vivienda


En este punto, es muy importante señalar la finalidad o uso de las estructuras, con

el objeto de definir apropiadamente las cargas actuantes (carga viva y carga

permanente). Los valores de cargas se pueden verificar en la norma NEC-SE-CG

(2015), cargas no sísmicas.

59

3.1.2 Materiales

En cuanto al valor del módulo de elasticidad del hormigón “Ec”, en el capítulo

Propiedades Mecánicas del Hormigón Armado de la NEC se establece que “En los

modelos elásticos de estructuras que se diseñan para acciones sísmicas de acuerdo

a los métodos de la NEC-SE-DS, el módulo de elasticidad del hormigón Ec (GPa),

será calculado para hormigones de densidad normal tal como sigue”:

Â = 4.7 ��´ (45)

Donde:

Ec = Módulo de Elasticidad para el hormigón [GPa]

fć = Resistencia a la compresión del hormigón [MPa]

Sin embargo, para la ciudad de Quito estudios realizados con agregados de la ciudad

y sus alrededores recomiendan utilizar la ecuación:

xn = �}��o � ń (46)

Donde:

Ec = Módulo de Elasticidad para el hormigón [kg/cm2]

fć = Resistencia a la compresión del hormigón [kg/cm2]

Para la modelación de las estructuras se utilizará la ecuación (46), ya que el análisis

está direccionado a edificaciones ubicadas en el Distrito Metropolitano de Quito

(DMQ). En la siguiente tabla, se muestra las propiedades del hormigón y del acero:

Tabla 15. Materiales de las estructuras

Material Propiedad Unidad Estructura


Hormigón Resistencia a la

compresión [kg/cm2] 210 240 280

Acero

Límite de Fluencia [kg/cm2] 4218 4218 4218

Módulo de elasticidad [kg/cm2] 2038902 2038902 2038902


60

3.1.3 Espesor de Losa

Refiriéndonos a la norma ACI, se muestra la fórmula reducida, derivada de la

ecuación genérica, para la determinación de la altura mínima “t mín.” de la losa

alivianada:

� �í). = ) (800 + 0,0712�S)36000 ?m@ (47)

Donde:

Ln = Luz máxima entre columnas consecutivas [m]

Fy = Esfuerzo de fluencia del acero [kg/cm²]

Al valor de t mín. calculado, se le sumará la altura de la loseta de compresión, valor

que generalmente es de 5 cm.

La tabla 15 especifica distintas alturas de losas alivianadas y su equivalente a losas

macizas, con una modulación de nervios de 10 cm y bloques de 40 cm de longitud.

La tabla 16 muestra la luz máxima de los modelos estructurales y el valor

equivalente de losa maciza.

Tabla 16. Espesores de losa maciza equivalente

Altura losa alivianada [cm]

Equivalente losa maciza [cm]

15 10,88 20 14,50 25 18,06 30 21,54 35 24,96

Fuente: Análisis y Diseño de estructuras con ETABS – CAMICON (2009)

Tabla 17. Espesores de losa de modelos estructurales

Estructura 3 pisos 6 pisos 12 pisos

Luz máxima [m] 5,50 5,50 6,00

T mín. + 0.05 [cm] 22,00 22,00 23,00

Losa alivianada asumida [cm] 25,00 25,00 25,00

Equivalente losa maciza [cm] 18,06 18,06 18,06

Fuente: Elaborado por autores.

61

3.1.4 Columnas

Para el pre dimensionamiento de columnas se considerará lo siguiente:

• La sección de las columnas se puede estimar de acuerdo al número de pisos,

en otras palabras, en una estructura de 4 pisos se asume una sección de

40x40 [cm], en una de 7 pisos se asume una sección de 70x70 [cm]; teniendo

en consideración que el área de una columna no debe ser menor a 900 cm2

(30x30 cm).

• Las dimensiones de las columnas cuadradas (ancho y espesor) pueden

reducirse en máximo 10 cm por piso a medida que asciende de piso, es decir,

un edificio con 5 niveles tendrá en su primera planta columnas de 50x50

[cm]; en su segunda planta la sección no será menor de 40x40 cm.

Tabla 18. Dimensiones columnas de la estructura de 3 pisos

Nivel [m] Estructura de 3 pisos

Perimetrales [cm]

Centrales [cm]

Esquineras [cm]

N+2,70 45 * 45

N+5,40 45 * 45

N+8,10 45 * 45




Perimetrales [cm]

Centrales [cm]

Esquineras [cm]

N+2,70 50 * 50

N+5,40 50 * 50

N+8,10 40 * 40

N+10,80 40 * 40

N+13,50 35 * 35

N+16,20 35 * 35


62



Perimetrales [cm]

Centrales [cm]

Esquineras [cm]

N+3,00 65 * 65 80 * 80 65 * 65

N+6,00 65 * 65 75 * 75 65 * 65

N+9,00 65 * 65 70 * 75 65 * 65

N+12,00 60 * 60 70 * 70 60 * 60

N+15,00 60 * 60 65 * 65 60 * 60

N+18,00 60 * 60 60 * 60 60 * 60

N+21,00 50 * 50 50 * 60 50 * 50

N+24,00 50 * 50 50 * 60 50 * 50

N+27,00 50 * 50 50 * 50 50 * 50

N+30,00 40 * 40 50 * 50 40 * 40

N+33,00 40 * 40 4 0 *45 40 * 40

N+36,00 40 * 40 40 * 40 40 * 40


3.1.5 Vigas

Durante el pre-dimensionamiento de vigas, se determina previamente el peso de la

estructura, para ello se utiliza la siguiente ecuación:

( = 1,2 Æ + 1,6 ?Ton/m²@ (48)

Con el valor del peso de la estructura, se puede aplicar la fórmula empírica sugerida

por el Ing. Edison Chávez (calculista, consultor e instructor de la CAMICON) para

la determinación del momento máximo de la viga.

� = 0,07 ∗ ( ∗ 1F ∗ 2 ?Ton − m@ (49)

Para elegir los valores de L1 y L2, se analiza cuál es la losa de mayor área

delimitada por columnas consecutivas. Así, L1 será el lado mayor del área y L2 será

el lado menor. Posteriormente, se determina la altura de viga aplicando la siguiente

fórmula:

% = , �0,145 ∗ �Ë ∗ Ì ?cm@ (50)

El valor de la base de viga “b” se considera por lo general de 30 cm.

63

En los siguientes cuadros se particulariza las vigas utilizadas en los modelos

estructurales.

Tabla 21. Dimensiones de vigas estructura de 3 Pisos


Base * Altura [cm]

N+2,70 30 * 40

N+5,40 30 * 40

N+8,10 30 * 40




Base * Altura [cm]

N+2,70 30 * 45

N+5,40 30 * 45

N+8,10 30 * 45

N+10,80 30 * 40

N+13,50 30 * 40

N+16,20 30 * 40




Base * Altura [cm]

N+3,00 40 * 60

N+6,00 40 * 60

N+9,00 35 * 60

N+12,00 35 * 60

N+15,00 35 * 55

N+18,00 35 * 55

N+21,00 35 * 50

N+24,00 35 * 50

N+27,00 35 * 40

N+30,00 35 * 40

N+33,00 30 * 40

N+36,00 30 * 40


64

3.2 CARGAS

La NEC en su capítulo Cargas No Sísmicas, exhibe varios valores de carga muerta

y viva, en función del material y uso respectivamente. Por otra parte, la estimación

de cargas queda a criterio y experiencia del profesional.

3.2.1 Carga Muerta

La carga muerta (D) se debe al peso propio de la estructura (PP) y al peso de los

elementos secundarios de la edificación (Permanente).

Peso propio (PP).- Corresponde únicamente al peso de los elementos estructurales.

Para la modelación de las estructuras no se considerará el peso propio, dado a que

el programa a utilizar ETABS lo calcula automáticamente.

3.2.2 Carga Permanente

Se hace relación a la carga permanente con el peso de los elementos secundarios de

la edificación, tales como: instalaciones eléctricas, mampostería, contrapisos,

recubrimientos, cielos y cubiertas. Para la modelación considerará un valor de 300

kg/m2.

Tabla 24. Carga Permanente

Carga Permanente

Material Valor Unidad

Masillado 30 [kg/m²]

Baldosa 20 [kg/m²]

Mampostería 200 [kg/m²]

Cielo raso 20 [kg/m²]

Instalaciones 30 [kg/m²]

Total 300 [kg/m²]


65

3.2.3 Carga Viva

La Norma Ecuatoriana de la Construcción en su capítulo Cargas No Sísmicas,

establece que para residencias el valor de carga viva es de 200 [kg/m²].

Tabla 25. Carga Viva

Carga Viva

Estructura Uso Carga Viva [kg/m²]

3 Pisos Vivienda 200




La carga viva y la carga permanente colocadas en la última planta son de 50 kg/m²,

por considerarse como losa inaccesible.

3.2.4 Carga Sísmica

Las cargas sísmicas están definidas por medio del cortante basal, el mismo que se

lo determinará más adelante, en el literal 3.4.12.

Resumen de cargas estáticas consideradas:

A continuación, se muestra las cargas consideradas en la investigación:

Tabla 26. Cargas consideradas en el análisis

Cargas Estructura


Peso Propio (PP) Calculado por el Software ETABS

Carga Permanente [kg/m²] 300 300 300

Carga Viva [kg/m²] 200 200 200


66

3.2.5 Combinaciones de carga

Se detallan las combinaciones de cargas ingresadas en el programa para el análisis,

que son combinaciones para el diseño por última resistencia descritas en NEC-SE-

CG (NEC-15).

Carga Muerta (D): PP + Permanente

Combinación 1: 1.4 D

Combinación 2: 1.2 D + 1.0 E + L

Combinación 3: 0.9 D + 1.0 E

Donde:

D: Carga muerta total de la estructura.

PP: Peso Propio (elementos estructurales)

E: Efectos de las fuerzas sísmicas.

L: Sobrecarga (carga viva).

67

3.3 MODELACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS

Para la modelación de las estructuras se empleó el programa automatizado de

análisis y diseño estructural ETABS V.15.0.0 elaborado por la empresa Computers

and Structures, Inc. Berkeley, California, Estados Unidos, el cual es ampliamente

usado en el país.

Conocidas las longitudes entre ejes de columnas y alturas de entrepiso, la geometría

de los miembros estructurales y las cargas actuantes, se procede a realizar los

modelos tridimensionales de cada estructura (3, 6 y 12 pisos).

A fin de obtener una variación en los resultados y consecuentemente efectuar un

análisis más amplio, se proponen tres modelos para cada estructura

correspondiendo a edificaciones regulares, irregulares y con presencia de subsuelos.

A continuación se muestran los diferentes modelos considerados en el análisis:

Tabla 27. Identificación de estructuras consideradas en el análisis

Edificación Nº Estructura Característica

3 Pisos

Estructura Nº 1 Regular


Estructura Nº 3 Irregular

6 Pisos


Estructura Nº 5 Irregular

Estructura Nº 6 Irregular con 1 subsuelo

12 Pisos


Estructura Nº 8 Regular con 2 subsuelos

Estructura Nº 9 Regular con 4 subsuelos


Durante la modelación, se considera una geometría estructural idéntica en las dos

primeras edificaciones (Estructuras N° 1 y N° 2), difiriendo una de otra solamente

en las dimensiones de columnas, esto con el objeto de estudiar la influencia de la

sección del elemento en las respuestas de períodos, modos de vibración, y derivas.

68

• Estructura Nº 1: Regular - 3 Pisos (Columnas de 40x40)

Vista en planta Vista en elevación

Vista en 3D

Gráfico 18. Vista en planta, en elevación y en 3D de la Estructura Nº 1

Fuente: Etabs - Elaborado por autores

69

• Estructura Nº 2: Regular - 3 Pisos (Columnas de 45x45)


Vista en 3D



70

• Estructura Nº 3: Irregular - 3 Pisos


Vista en 3D



71

• Estructura Nº 4: Regular - 6 Pisos


Vista en 3D



72

• Estructura Nº 5: Irregular - 6 Pisos


Vista en 3D



73

• Estructura Nº 6: Irregular - 6 Pisos – Con subsuelo


Vista en 3D



74

• Estructura Nº 7: Regular - 12 Pisos


Vista en 3D



75

• Estructura Nº 8: Regular - 12 Pisos – Con 2 subsuelos


Vista en 3D



76

• Estructura Nº 9: Regular - 12 Pisos – Con 4 subsuelos


Vista en 3D



77

3.4 CORTANTE BASAL

El cortante basal de diseño es la fuerza de reacción aplicada en la base del edificio

que por medio de la inercia participará durante un evento sísmico, el mismo que

representa un porcentaje del peso reactivo. El cortante basal se obtiene con la


Î = Ï ∗ Z\V ∗ ÐÑ ∗ Ð� ∗ ( = % ∗ ( (51)

Para efectos de modelación y acogiéndonos a lo estipulado en la norma NEC-SE-

DS, la descripción, ubicación y valores para cada parámetro considerado para el

cálculo del cortante basal, se indican a continuación:

3.4.1 Tipo de Suelo

En el marco de estudios para el metro de Quito, se determinó que más del 99% de

la línea de metro atravesará suelos entre compactos y sueltos, teniendo la

posibilidad de encontrar roca del 1%. En el sector norte, a partir del Panecillo en el

perfil de la línea del metro predomina la presencia de la formación Cangahua. Desde

El Ejido hacia el norte, sobre la cangahua se presentan depósitos de origen fluvio –

lacustre. En el sector sur, se encontraron depósitos fluvio – lacustres desde

Chillogallo hasta el sector de El Calzado. (Villalba, 2015).

Además, se verifica que la mayoría de los suelos de acuerdo a la NEC-15 son tipo

“D” (180 y 360 m/s), mientras que algunos suelos comprendidos entre las

estaciones de El Recreo y La Alameda son suelos tipo “C”.

Tabla 28. Tipo de Suelo

Tipo de Suelo Descripción Definición

D Perfiles de suelos rígidos que cumplan con el criterio de velocidad de la onda de cortante

360 m/s > Vs ≥ 180 m/s


78

3.4.2 Factor de Zona “Z”

De acuerdo al mapa de zonificación sísmica del Ecuador, la provincia de Pichincha

estará ubicado en la zona V.

Tabla 29. Factor de Zona “Z”

Zona Sísmica Característica del peligro Factor de Zona “Z”

Zona V Alto peligro Sísmico 0.40


3.4.3 Relación de Amplificación Espectral

Es el factor que relaciona a la aceleración espectral “Sa” con la aceleración máxima

en roca esperada para el sismo de diseño “Z”, adoptando diferentes valores en

función del lugar en el que se vaya a emplazar la construcción.

Tabla 30. Relación de Amplificación Espectral “ŋ”

Provincia Factor “ŋ”

Provincias de la Sierra, Esmeraldas, Galápagos 2.48


3.4.4 Factor Exponencial

Es el valor que participa en el espectro de respuesta y depende del espacio

geográfico.

Tabla 31. Factor exponencial “r”

Tipo de Suelo Factor “r”

Suelo A, B, C y D 1.00


79

3.4.5 Factores de Sitio

Definido el factor de zona y tipo de suelo, se elige los coeficientes de sitio

correspondientes:

Tabla 32. Factores de Sitio

Factor de zona

Tipo de perfil del suelo

Factores de Sitio

Fa Fd Fs

0,40 D 1,20 1,19 1,28


3.4.6 Coeficiente de Reducción Estructural “R”

Es el coeficiente que disminuye de manera significativa la fuerza sísmica de diseño

o cortante basal, por lo que se recomienda ser reservados al momento de adoptar su

valor, sin embargo, el problema para asumir su valor radica en el incumplimiento

de las especificaciones técnicas cuando se lleva a cabo la construcción.

Tabla 33. Coeficiente de Reducción Estructural “R”

Sistema Estructural Coeficiente de Reducción “R”

Pórticos especiales sismo resistentes, de hormigón armado con vigas descolgadas

8


3.4.7 Categoría del edificio y Factor de importancia

Este coeficiente tiene como finalidad, incrementar la fuerza sísmica de diseño en

función del uso o destino de la estructura, considerándose el nivel de operación del

edificio después de suscitarse un evento sísmico.

Tabla 34. Categoría del edificio y Factor de importancia

Categoría Tipo de Uso Coeficiente “I”

Otras estructuras

Todas las estructuras de edificación y otras que no clasifican dentro de las categorías anteriores

1


80

3.4.8 Coeficiente de Irregularidad en planta “ɸp”

La no continuidad o irregularidad de una construcción afecta de manera notoria a

su estabilidad, razón por la cual se debe mayorar la fuerza de cortante basal,

procurando que ante un acontecimiento sísmico el comportamiento estructural sea

eficiente. En este sentido, es recomendable que los profesionales estructurales

eviten al máximo la presencia de irregularidades durante su diseño.

La norma NEC-SE-DS, en el capítulo de Regularidad/Configuración Estructural,

muestra ciertas condiciones que debe cumplir la edificación para considerarse como

irregular, y el valor de los coeficientes a adoptar si cumple con esta característica.

Tabla 35. Irregularidad en planta

Nº de Pisos

Nº de estructura Tipo Descripción de las Irregularidades ɸp

3 pisos

Estructura Nº 1 - Estructura Regular 1


Estructura Nº 3 3 Discontinuidades en el sistema de piso 0,9

6 pisos




12 pisos





3.4.9 Coeficiente de Irregularidad en elevación “ɸe”

De igual forma el detalle de los coeficientes por irregularidad en elevación es más

explícito en la norma ya mencionada.

No está por demás mencionar que, si se detecta más de una irregularidad en

elevación, los coeficientes deberán multiplicarse para generar un solo valor “ɸe”;

este concepto también se aplica para el coeficiente de irregularidad en planta.

81

Tabla 36. Irregularidad en elevación

Nº de Pisos

Nº de estructura Tipo Descripción de las

Irregularidades ɸe

3 pisos



Estructura Nº 3 3 Irregularidad geométrica 0,9

6 pisos




12 pisos





3.4.10 Período de vibración “T” de la estructura

Previo al cálculo aproximado del período de vibración (T1), deben elegirse los

coeficientes que participan en su determinación y que depende del tipo de

estructura. -1 = �� ∗ ℎɑ (52)

El valor de h es la altura máxima de la edificación medida desde su base, y T es el

período de vibración aproximado de la estructura.

Tabla 37. Coeficientes “Ct” y “ɑ” para el Período de vibración


Al período “T1” calculado se le debe sumar el 30% de su propio valor, y compararlo

con el período de vibración “T2” obtenido con el programa Etabs (por medio de un

Tipo de estructura Ct ɑ h [m]

Pórticos especiales de hormigón armado:

Sin muros estructurales ni diagonales rigidizadoras

0,055 0,9 Máxima altura

del edificio

82

análisis modal) estableciéndose una condición: que el valor de T2 no sea mayor en

un 30% al valor de T1, entonces:

�. Õm� < m} (53)

Tabla 38. Período de vibración “T”

Estructura Altura total T1 T2 = 1,3 T1

3 pisos 8,1 0,3614 0.46983

6 pisos 16,2 0,6744 0,8767

12 pisos 36,0 1,3837 1,7988


3.4.11 Aceleración de la Gravedad “Sa”

Se muestran los valores de la aceleración espectral Sa correspondiente al espectro

de respuesta elástico para el diseño y T que es el período fundamental de la

estructura.

Tabla 39. Aceleración de la Gravedad “Sa”

Estructura T Tc Sa [g]

3 pisos 0,3614

0,6981

1,1904

6 pisos 0,6744 1,16760

12 pisos 1,3837 0,58885


3.4.12 Carga Sísmica Reactiva (W)

La carga sísmica reactiva corresponde a la carga muerta total de la estructura, es

decir, al peso propio de los elementos estructurales (PP) y al peso de los elementos

secundarios (Peso Permanente).

Tabla 40. Cortante Basal de las Estructuras

Pisos Nº de estructura Carga Sísmica W (Ton)

3 pisos Estructura Nº 1 605,9473

Estructura Nº 2 619,6251

83


6 pisos




12 pisos




Fuente: Modelación ETABS - Elaborado por autores

3.4.13 Cálculo del Cortante Basal Estático y Dinámico

Con los coeficientes y parámetros ya señalados, se obtiene el cortante basal de cada

estructura:

Tabla 41. Cortante Basal de las Estructuras

Pisos Estructura Cortante Basal Estático “V EST.” (Ton)

Cortante Basal Estático “V DIN.” (Ton)

3 pisos

Estructura Nº 1 90,16496 72,13197

Estructura Nº 2 92,20021 73,76017

Estructura Nº 3 89,20463 755,82393

6 pisos

Estructura Nº 4 430,39519 344,31615

Estructura Nº 5 437,28193 371,68964

Estructura Nº 6 501,36187 426,15759

12 pisos

Estructura Nº 7 582,14029 465,71223

Estructura Nº 8 582,14029 465,71223

Estructura Nº 9 582,14029 465,71223

Fuente: Modelación ETABS - Elaborado por autores

Es importante observar que el cortante basal es diferente para cada edificio ya que

el mismo está en función de la importancia de la estructura, configuración y del

coeficiente de aceleración espectral.

84

3.4.14 Corrección del cortante basal estático

Las fuerzas de corte obtenidas en primera instancia por el programa en el nivel base,

deben ser corregidas ya que éste tiende a obtener valores menores. La corrección se

realiza modificando el valor del coeficiente basal para que las cargas laterales

actuantes sean más acertadas en el momento de expresar su resultado.

El proceso de corrección no implica mayor dificultad, por lo que se detalla

únicamente el cálculo de tres estructuras, la tabla 41 muestra los valores de cortante

basal en “X” e “Y” que arroja el programa antes y después de la corrección.

Tabla 42. Corrección del VEST. – Estructura Nº 3, Nº 4, Nº 7

Parámetro 3 Pisos Irregular

6 Pisos Regular

12 Pisos Regular

V EST. [Ton] 89,20463 430,39519 582,14029

SX - VX [Ton] 87,03080 425,20170 577,11260

SY - VY [Ton] 87,03080 425,20170 577,11260

Fc1 (V EST./ SX) 1,02498 1,01221 1,00871

Fc2 (VEST./ SY) 1,02498 1,01221 1,00871

%X corregido (%*Fc1) 0,18829 0,15062 0,07573

%Y corregido (%*Fc2) 0,18829 0,15062 0,07573

SX - VX corregido [Ton] 89,20540 430,40240 582,10890

SY - VY corregido [Ton] 89,20540 430,40240 582,10890


3.4.15 Corrección del cortante basal dinámico

En las tablas siguientes, se observa que inicialmente los valores del cortante basal

dinámico difieren notoriamente del 80% del cortante basal estático, razón por la

cual también deben ser corregidos, modificando el factor de escala inicial (9806,65)

en cada caso de carga.

El programa Etabs para el análisis dinámico propone seis combinaciones modales

para ser utilizados en el espectro de respuestas. La corrección es realizada

aprovechando todos los casos, con el objeto de idealizar en qué cantidad difiere los

factores de corrección respecto al factor de escala inicial adoptado. El proceso es

85

llevado a cabo solamente en tres estructuras (las mismas analizadas en la corrección

de cortante basal estático).

Estructura Nº 3: Irregular de 3 pisos

Tabla 43. Corrección del VDIN – Estructura Nº 3

DO

BLE

SU

MA

-

SR

SS

75

,823

93

73

,709

2

72

,201

1

1,0

286

9

1,0

501

8

10

088

10

298,

72

75

,823

9

75

,823

9

NR

C 1

0% -

S

RS

S

75

,823

93

73

,700

5

71

,285

4

1,0

288

1

1,0

636

7

10

089,

2

10

431,

01

75

,823

9

75

,823

9

GM

C -

SR

SS

75

,823

93

73

,708

9

72

,156

9

1,0

286

9

1,0

508

2

10

088,

05

10

305,

03

75

,823

9

75

,824

AB

SO

LUT

O -

S

RS

S

75

,823

93

74

,481

82

,032

6

1,0

180

3

0,9

243

1

99

83,4

7

90

64,4

3

75

,823

9

75

,823

9

SR

SS

- S

RS

S

75

,823

93

73

,700

5

70

,975

3

1,0

288

1

1,0

683

1

10

089,

2

10

476,

59

75

,823

9

75

,824

CQ

C -

SR

SS

75

,823

93

73

,706

1

72

,121

2

1,0

287

3

1,0

513

4

10

088,

43

10

310,

13

75

,824

75

,823

9

Par

ámet

ro

V D

IN. →

80%

V ES

T. [

Ton

]

ES

PE

CT

RO

X -

VX

[Ton

]

ES

PE

CT

RO

Y -

VY

[Ton

]

Fc3

(V

DIN

./ E

SP

EC

TR

OX

)

Fc4

(V

DIN

./ E

SP

EC

TR

OY

)

U1

CO

RR

. (9

806

,65

* F

c3)

U2

CO

RR

. (9

806

,65

* F

c4)

ES

PE

CT

RO

X -

VX

COR

R. [

Ton

]

ES

PE

CT

RO

Y -

VY

COR

R. [

Ton

]


86

Estructura Nº 4: Regular de 6 pisos


DO

BLE

SU

MA

-

SR

SS

34

4,31

615

29

3,21

18

31

3,15

91

1,1

742

9

1,0

994

9

11

515,

8667

10

782,

3404

34

4,31

62

34

4,31

62

NR

C 1

0% -

S

RS

S

34

4,31

615

29

2,11

98

31

2,06

3

1,1

786

8

1,1

033

5

11

558,

9152

10

820,

2126

34

4,31

61

34

4,31

61

GM

C -

SR

SS

34

4,31

615

29

3,14

24

31

3,09

15

1,1

745

7

1,0

997

3

11

518,

593

10

784,

6684

34

4,31

62

34

4,31

62

AB

SO

LUT

O -

S

RS

S

34

4,31

615

38

3,76

22

40

3,27

87

0,8

972

1

0,8

537

9

87

98,6

467

83

72,8

399

34

4,31

62

34

4,31

62

SR

SS

- S

RS

S

34

4,31

615

29

2,11

98

31

2,06

3

1,1

786

8

1,1

033

5

11

558,

9152

10

820,

2126

34

4,31

63

34

4,31

63

CQ

C -

SR

SS

34

4,31

615

29

2,79

12

31

2,74

4

1,1

759

8

1,1

009

5

11

532,

4094

10

796,

6516

34

4,31

62

34

4,31

62

Par

ámet

ro

V D

IN. →

80%

V ES

T. [

Ton

]

ES

PE

CT

RO

X -

VX

[Ton

]

ES

PE

CT

RO

Y -

VY

[Ton

]

Fc3

(V

DIN

./ E

SP

EC

TR

OX

)

Fc4

(V

DIN

./ E

SP

EC

TR

OY

)

U1

CO

RR

. (9

806

,65

* F

c3)

U2

CO

RR

. (9

806

,65

* F

c4)

ES

PE

CT

RO

X -

VX

COR

R. [

Ton

]

ES

PE

CT

RO

Y -

VY

COR

R. [

Ton

]


87

Estructura Nº 7: Regular de 12 pisos


DO

BLE

SU

MA

-

SR

SS

46

5,71

223

40

6,18

33

40

2,92

56

1,1

465

6

1,1

558

3

11

243,

88

11

334,

79

46

5,71

21

46

5,71

22

NR

C 1

0% -

S

RS

S

46

5,71

223

40

0,93

83

39

7,53

2

1,1

615

6

1,1

715

1

11

390,

97

11

488,

58

46

5,71

21

46

5,71

24

GM

C -

SR

SS

46

5,71

223

40

5,67

1

40

2,39

53

1,1

48

1,1

573

5

11

258,

08

11

349,

73

46

5,71

22

46

5,71

24

AB

SO

LUT

O -

S

RS

S

46

5,71

223

68

8,69

37

68

8,05

0,6

762

3

0,6

768

6

66

31,5

1

66

37,7

1

46

5,71

24

46

5,71

22

SR

SS

- S

RS

S

46

5,71

223

40

0,93

83

39

7,53

2

1,1

615

6

1,1

715

1

11

390,

97

11

488,

58

46

5,71

21

46

5,71

24

CQ

C -

SR

SS

46

5,71

223

40

4,39

79

40

1,10

4

1,1

516

2

1,1

610

8

11

293,

52

11

386,

27

46

5,71

21

46

5,71

23

Par

ámet

ro

V D

IN. →

80%

V ES

T. [

Ton

]

ES

PE

CT

RO

X -

VX

[Ton

]

ES

PE

CT

RO

Y -

VY

[Ton

]

Fc3

(V

DIN

./ E

SP

EC

TR

OX

)

Fc4

(V

DIN

./ E

SP

EC

TR

OY

)

U1

CO

RR

. (9

806

,65

* F

c3)

U2

CO

RR

. (9

806

,65

* F

c4)

ES

PE

CT

RO

X -

VX

COR

R. [

Ton

]

ES

PE

CT

RO

Y -

VY

COR

R. [

Ton

]


Es notoria la importancia de la corrección del cortante basal, ya que al no realizarse

se limita al diseño a resistir menores o mayores fuerzas producidas por la actividad

sísmica.

88

En el caso del cortante basal dinámico, la combinación modal Absoluto es la que

obtiene valores mayores al establecido (80% del Vs), resultando factores de

corrección por debajo de 1,00; es decir, sin la corrección se obtendría un diseño

sobrevalorado. Para el resto de combinaciones modales se obtienen cortantes

dinámicos menores al establecido, marcando factores de corrección superiores a

1,00.

89

3.5 ESPECTRO DE DISEÑO EN ACELERACIONES

La incorporación del Espectro de Diseño obedece estrictamente a la aplicación de

las siguientes fórmulas:

fg = h. i. jg kglg " ≤ m ≤ mn (54) fg = h. i. jg ^mnm _l kglg m > mn (55)

mn = ". oo jp jqjg (56)

El espectro de diseño de aceleraciones para las estructuras regulares en análisis, se

muestra en el gráfico 27, con intervalos de período de 0,1 s.

Gráfico 27. Espectro de Diseño en aceleraciones – Estructuras regulares


Por otra parte, el programa ETABS (Versión 15.0.0) para la definición del espectro

de respuesta posee una opción que permite elegir la Norma de Construcción a la

cual se rige cada país, en este caso se selecciona la “NEC-11 Capítulo 2” .

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00

Sa (

g)

T (s)

ESPECTRO DE DISEÑO EN ACELERACIONESEstructuras Regulares

Espectro Inelástico

Espectro Elástico

3 pisos T1

6 pisos T2

12 pisos T3

T2 T3T1

90

Gráfico 28. Espectro Inelástico de Diseño (Autores vs. Etabs)


En el gráfico 28 se observa que los valores de la aceleración de la gravedad Sa (g)

calculados por el software son menores a los calculados por los autores,

específicamente cuando los valores del período T superan al período límite de

vibración Tc; esto debido a que el software Etabs se rige a la Norma Ecuatoriana de

la Construcción del año 2011 “NEC-11 Capítulo 2” , la cual establece diferentes

valores en los coeficientes de perfil de suelo (Fa, Fd, Fs).

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00

Sa (

g)

T (s)

ESPECTRO INELÁSTICO DE DISEÑO EN ACELERACIONESAutores vs. ETABS

Estructuras Regulares

Espectro Inelástico AUTORES

Espectro Inelástico ETABS

Tc

91

CAPÍTULO IV

ANÁLISIS DE RESULTADOS

4. xxxxx

El análisis de las estructuras tridimensionales (3, 6 y 12 pisos) se llevó a cabo en el

software de modelación estructural Etabs V 15.0.0, modificando el número de

modos de vibración que por defecto señala el programa, rigiéndose a las siguientes

condiciones:

• Un grado de libertad por planta.

• Tres grados de libertad por planta (recomendado).

• 12 modos de vibración (valor sugerido por defecto del programa Etabs).

• Hasta alcanzar por lo menos el 90 % de masas participativas (NEC-15).

Las modelaciones estructurales fueron desarrolladas, aplicando los seis criterios de

combinación modal que Etabs presenta (CQC, SRSS, ABSOLUTO, GMC, NRC

10 %, DOBLE SUMA). Adicionalmente, el espectro de diseño empleado es el que

se muestra en el gráfico 28 de este informe (Espectro Inelástico AUTORES).

Para el análisis de los literales de PERÍODO DE VIBRACIÓN y

PARTICIPACIÓN MODAL DE MASAS, se tendrá en cuenta solo la

recomendación citada por la NEC-15 (cumplimiento del 90 % de participación de

masas). En el literal de INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE

VIBRACIÓN se analiza las derivas elásticas de cada estructura con las cuatro

condiciones sugeridas.

92

4.1 ANÁLISIS MODAL ESPECTRAL

El método modal espectral se centra en la obtención de las respuestas máximas de

la estructura (fuerzas y desplazamientos) mediante la superposición de efectos, sin

adentrarse en el tiempo en que suscita el fenómeno.

A continuación se tabulan las respuestas máximas en lo que corresponde al período

de vibración, modos de vibración y derivas de las edificaciones, los cuales son entre

otras exigencias, las más priorizadas durante la revisión y aprobación de planos

estructurales.

4.1.1 Período de vibración (T)

Se tiene claro que el período de vibración está en función de la altura total de la

estructura y de los elementos que la constituyen (masa estructural), es por esto que

en las tablas siguientes se observa diferentes valores de T para una misma altura de

edificio.

Estructuras de 3 pisos

Tabla 46. Período de Vibración – Estructura de 3 Pisos

Altura [m] T1 [s] T2 = 1,3 T1 [s]

8,1 0,36141 0.46983

Modos de Vibración

Período de vibración T [s]

Estructura Nº 1 Estructura Nº 2 Estructura Nº 3

Regular Regular Irregular

Modo 1 0,52 0,469 0,416

Modo 2 0,491 0,44 0,382

Modo 3 0,441 0,398 0,369

Modo 4 0,165 0,143 0,162

Modo 5 0,159 0,137 0,150

Modo 6 0,141 0,122 0,145

Modo 7 0,099 0,081 0,134

Modo 8 0,097 0,08 0,133

Modo 9 0,084 0,069 0,131

Fuente: Modelación ETABS, elaborado por autores.

En la tabla 45 se observa que el valor del período natural de la estructura Nº 1

sobrepasa al valor T2 (0,52 > 0,4698) y pese a tener un adecuado dimensionamiento

93

de sus elementos estructurales no cumple con lo estipulado por la NEC, obligando

a un incremento de los mismos para la rigidización del edificio y consecuentemente

la reducción de T. Y, aunque suene ilógico un aumento “innecesario” de secciones,

muchos de los profesionales dan constancia que esto sucede frecuentemente en

estructuras pequeñas. (Ej. Viviendas de tres pisos con columnas de 45x45).

Para rigidizar a la edificación se recomienda incrementar las secciones de vigas y

columnas, dado que a más de reducir T, se lograría también minimizar el efecto de

derivas de piso. Este incremento debe ser tal que no incumpla con el concepto de

columna fuerte – viga débil, es decir que en la metodología de diseño se procure

tener resultados de columnas con mayor capacidad resistente y disipación de

energía, a comparación de las vigas.

Con el incumplimiento de la condición de período (Tn < T2) de la estructura N° 1,

se propone el redimensionamiento de la misma aumentando solamente las

secciones de columnas de 40*40 [cm] a 45*45 [cm], generando así la estructura Nº

2. Esta estructura alcanza un valor de período menor que el límite [0,469 ≈ 0,46983]

y con este resultado se afirma lo siguiente:

• Una mayor rigidez, obedece a un menor período de vibración.

No obstante, al incrementar las cargas en la losa inaccesible (carga viva y

permanente: 200 y 300 kg/m²), el nuevo período fue de [0,512 > 0,46983] dejando

claro que, cuando se recomienda el incremento de masa estructural, nos referimos

al aumento de los elementos viga, columna, más no al incremento de cargas que

actúan en la losa; afirmándose que:

• Una mayor carga, obedece a un mayor período de vibración.

La estructura Nº 3, cuya modelación fue basada en la estructura Nº 2 pero con cierta

irregularidad en planta y en elevación, alcanza un valor similar al “T” esperado,

evidenciando que al existir irregularidad el valor del período estructural disminuye.

94

El gráfico 29 indica una excedencia del período de la estructura Nº 1 (Modo 1 y

Modo 2) con respecto al valor permitido T2 (período determinado por el método 2

establecido en la NEC); además se observa que en las tres estructuras, los tres

primeros modos de vibración alcanzan mayores valores de T.

Gráfico 29. Período de vibración (3 Pisos)



Las estructuras Nº 4 y Nº 5 presentan un período dentro de los valores de T

permisibles [T1 < 0,799; 0,727 < T2], considerándose como estructuras

medianamente rígidas.

Se acepta los valores de T obtenidos por el software en función de que, durante el

análisis de una edificación alta, no es conveniente diseñar una estructura demasiado

flexible por las exigencias de derivas.

La estructura Nº 6 ostenta un valor de T muy por debajo al recomendado [0,646 <<

T2], número esperado por la presencia del subsuelo, ya que éste rigidiza a la

estructura.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6 Modo 7 Modo 8 Modo 9

Pe

rio

do

T [

s]

PERIODO DE VIBRACIÓNEstructura de 3 Pisos

T2 = 1.3 T1

___ Estructura N° 1



95


Altura [m] T1 [s] T2 = 1,3 T1 [s]

16,20 0,67441 0,87674

Modos de Vibración

Período de vibración [s]


Regular Irregular Irregular con

muros

Modo 1 0,799 0,727 0,646

Modo 2 0,751 0,683 0,593

Modo 3 0,711 0,679 0,581

Modo 4 0,286 0,314 0,314

Modo 5 0,273 0,314 0,314

Modo 6 0,255 0,309 0,309

Modo 7 0,157 0,301 0,301

Modo 8 0,151 0,301 0,300

Modo 9 0,142 0,278 0,258

Modo 10 0,108 0,268 0,252

Modo 11 0,106 0,264 0,246

Modo 12 0,098 0,246 0,245

Modo 13 0,08 0,245 0,245

Modo 14 0,079 0,245 0,234

Modo 15 0,074 0,239 0,215

Modo 16 0,056 0,154 0,136

Modo 17 0,056 0,148 0,127

Modo 18 0,054 0,142 0,119


En el gráfico 30, se aprecia nuevamente la predominación del período de los tres

primeros modos en las tres estructuras.

Gráfico 30. Período de vibración (6 Pisos) Fuente: Elaborado por autores

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18

Pe

rio

do

T [

s]

Modos de vibración


T2 = 1.3 T1




96



Altura [m] T1 [s] T2 = 1,3 T1 [s]

36,00 1,38368 1,79878

Modos de Vibración

Período de vibración [s]

Estructura 7 Estructura 8 Estructura 9

Regular Regular con 2 subsuelo Regular con 4 subsuelo

Modo 1 1,582 1,619 1,631

Modo 2 1,570 1,607 1,619

Modo 3 1,464 1,475 1,477

Modo 4 0,596 0,611 0,615

Modo 5 0,590 0,605 0,608

Modo 6 0,565 0,569 0,570

Modo 7 0,357 0,366 0,368

Modo 8 0,350 0,359 0,361

Modo 9 0,337 0,340 0,341

Modo 10 0,244 0,251 0,253

Modo 11 0,241 0,247 0,249

Modo 12 0,230 0,232 0,233

Modo 13 0,183 0,188 0,190

Modo 14 0,180 0,186 0,188

Modo 15 0,174 0,176 0,176

Modo 16 0,143 0,147 0,149

Modo 17 0,140 0,144 0,147

Modo 18 0,134 0,136 0,136

Modo 19 0,119 0,122 0,125

Modo 20 0,115 0,118 0,122

Modo 21 0,111 0,112 0,113

Modo 22 0,100 0,103 0,108

Modo 23 0,097 0,100 0,105

Modo 24 0,095 0,096 0,097

Modo 25 0,082 0,086 0,095

Modo 26 0,080 0,084 0,094

Modo 27 0,078 0,079 0,082

Modo 28 0,070 0,075 0,080

Modo 29 0,068 0,072 0,080

Modo 30 0,066 0,067 0,071

Modo 31 0,056 0,063 0,069

Modo 32 0,055 0,061 0,069

Modo 33 0,054 0,055 0,060

Modo 34 0,045 0,054 0,059

Modo 35 0,044 0,053 0,058

Modo 36 0,044 0,045 0,053


97

Se expresó anteriormente que el período de vibración está en función de la altura

del edificio medida desde la base (N+0,00) y de la masa estructural, motivo por el

cual las tres estructuras de 12 pisos tienen valores similares de T,

independientemente del número de subsuelos presentes en dos de ellas.

Gráfico 31. Período de vibración (12 Pisos)


Los valores de los períodos de las estructuras están por debajo del valor máximo

recomendado T2 (Ti < 1,79878). Se ratifica que los valores más significativos de T

se producen en los tres primeros modos de vibración.

4.1.2 Participación modal de masas

Para el análisis de la participación modal de masas se contemplan tres modos de

vibración por piso (los dos primeros traslacionales y el tercero rotacional) o de darse

el caso, tantos modos necesarios a fin de incorporar una masa participativa superior

al 90% de la masa total de la estructura en cada una de las direcciones horizontales

principales.

En la actualidad muchos profesionales de diseño estructural que utilizan el software

Etabs, pasan por alto la corrección del número de modos de vibración, adoptando

como valor referente el sugerido por el programa (12 MODOS DE VIBRACIÓN),

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

1,4

1,6

1,8

2,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35

Pe

rio

do

T [

s]

Modos de vibración





T2 = 1.3 T1

98

resultando respuestas erradas y consecuentemente un posible rechazo del proyecto

por parte de la entidad encargada de la revisión y aprobación de planos

estructurales.

A continuación se muestran los pasos a seguir para el cambio del número de modos

vibración en el Etabs: Define – Modal Cases – Modify/Show Case

Gráfico 32. Cambio del número de modos de vibración en ETABS

Fuente: ETABS V15.0.0


Empleando 3 GDL por planta, la estructura de tres pisos cuenta con 9 modos de

vibración, predominando los tres primeros modos en cada dirección de análisis

(UY, UX, RZ) respectivamente, por la contribución mayoritaria del porcentaje de

masas. A continuación se detalla en tablas, la participación modal de masas para las

estructuras:

Nº de modos de vibración a considerar en el análisis.

99

Tabla 49. Participación Modal - Estructura Nº 1

Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX Sum UY RX RY RZ Sum RX Sum RY Sum RZ

Modo 1 0,520 0,000 0,853 0,000 0,853 0,165 0,000 0,005 0,165 0,000 0,005

Modo 2 0,491 0,865 0,000 0,865 0,853 0,000 0,158 0,000 0,165 0,158 0,005

Modo 3 0,441 0,000 0,005 0,865 0,857 0,001 0,000 0,854 0,166 0,158 0,860

Modo 4 0,165 0,000 0,111 0,865 0,968 0,748 0,000 0,001 0,914 0,158 0,861

Modo 5 0,159 0,108 0,000 0,973 0,968 0,000 0,776 0,000 0,914 0,933 0,861

Modo 6 0,141 0,000 0,002 0,973 0,970 0,010 0,000 0,110 0,924 0,933 0,971

Modo 7 0,099 0,000 0,029 0,973 0,999 0,073 0,000 0,001 0,997 0,933 0,971

Modo 8 0,097 0,027 0,000 1,000 0,999 0,000 0,067 0,000 0,997 1,000 0,971

Modo 9 0,084 0,000 0,001 1,000 1,000 0,003 0,000 0,029 1,000 1,000 1,000



Modo de Vibración

Período (s)


Modo 1 0,469 0,000 0,838 0,000 0,838 0,190 0,000 0,004 0,190 0,000 0,004

Modo 2 0,440 0,850 0,000 0,850 0,838 0,000 0,181 0,000 0,190 0,181 0,004

Modo 3 0,398 0,000 0,003 0,850 0,841 0,001 0,000 0,840 0,191 0,181 0,844

Modo 4 0,143 0,000 0,121 0,850 0,963 0,707 0,000 0,001 0,897 0,181 0,845

Modo 5 0,137 0,118 0,000 0,967 0,963 0,000 0,735 0,000 0,897 0,916 0,845

Modo 6 0,122 0,000 0,002 0,967 0,964 0,008 0,000 0,120 0,906 0,916 0,965

Modo 7 0,081 0,000 0,034 0,967 0,999 0,091 0,000 0,001 0,996 0,916 0,966

Modo 8 0,080 0,033 0,000 1,000 0,999 0,000 0,084 0,000 0,996 1,000 0,966

Modo 9 0,069 0,000 0,001 1,000 1,000 0,004 0,000 0,034 1,000 1,000 1,000



Modo de Vibración

Período (s)


Modo 1 0,416 0 0,812 0,000 0,812 0,199 0 0,026 0,199 0 0,026

Modo 2 0,382 0,847 0 0,847 0,812 0 0,194 0 0,199 0,194 0,026

Modo 3 0,369 0 0,022 0,847 0,834 0,011 0 0,811 0,209 0,194 0,836

Modo 4 0,162 0 0 0,847 0,834 0 0 0 0,209 0,194 0,836

Modo 5 0,150 0 0 0,847 0,834 0 0 0 0,209 0,194 0,836

Modo 6 0,145 0 0,008 0,847 0,843 0,046 0 0,003 0,255 0,194 0,839

Modo 7 0,134 0 0,058 0,847 0,900 0,324 0 0,013 0,579 0,194 0,851

Modo 8 0,133 0,009 0 0,856 0,900 0 0,058 0 0,579 0,253 0,851

Modo 9 0,131 0 0,042 0,856 0,943 0,225 0 0 0,804 0,253 0,852

Modo 10 0,123 0,103 0 0,959 0,943 0 0,616 0 0,804 0,869 0,852


100

Las estructuras Nº 1 y Nº 2 únicamente necesitan de 5 modos de vibración para

satisfacer los requerimientos de la NEC (participación modal superior al 90% de la

masa total de la estructura); sin embargo, la estructura Nº 3 necesita de 10 modos;

demostrándose que:

El número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde al

número de plantas por los grados de libertad considerados, a fin de cumplir con

lo dispuesto en la NEC-15.

En lo que refiere al comportamiento rotacional, ninguna de ellas presenta problema

alguno ya que el porcentaje predominante se da en el tercer modo.

Gráfico 33. Participación de masas – Estructura de 3 Pisos



Al considerar tres grados de libertad por planta, las estructuras de seis pisos

contarán con 18 modos de vibración y en forma similar que las estructuras

anteriores, los tres primeros modos resultan ser los de mayor contribución modal.

A continuación se detalla en tablas, la participación modal de masas para las

estructuras:


Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX

Sum UY

RX RY RZ Sum UX

Sum UY

Sum UZ

Modo 1 0,799 0,7715 0 0,7715 0 0 0,2474 0 0 0,2474 0

Modo 2 0,751 0 0,7733 0,7715 0,7733 0,2457 0 0 0,2457 0,2474 0

5 5

9

1

0

2

4

6

8

10

N° 1 (Regular) N° 2 (Regular) N° 3 (Irregular)

Nú

me

ro d

e m

od

os

Cumplimiento de participación ModalEstructura de 3 pisos

101

Modo 3 0,711 0 0 0,7715 0,7733 0 0 0,779 0,2457 0,2474 0,779

Modo 4 0,286 0,1171 0 0,8886 0,7733 0 0,4441 0 0,2457 0,6915 0,779

Modo 5 0,273 0 0,1186 0,8886 0,8918 0,4479 0 0 0,6937 0,6915 0,779

Modo 6 0,255 0 0 0,8886 0,8918 0 0 0,1148 0,6937 0,6915 0,8937

Modo 7 0,157 0,0515 0 0,9402 0,8918 0 0,1181 0 0,6937 0,8096 0,8937

Modo 8 0,151 0 0,0503 0,9402 0,9422 0,1186 0 0 0,8123 0,8096 0,8937

Modo 9 0,143 0 0 0,9402 0,9422 0 0 0,0518 0,8123 0,8096 0,9455

Modo 10 0,108 0,0228 0 0,963 0,9422 0 0,0835 0 0,8123 0,8931 0,9455

Modo 11 0,106 0 0,0215 0,963 0,9637 0,082 0 0 0,8942 0,8931 0,9455

Modo 12 0,098 0 0 0,963 0,9637 0 0 0,022 0,8942 0,8931 0,9676

Modo 13 0,08 0,0225 0 0,9855 0,9637 0 0,0616 0 0,8942 0,9547 0,9676

Modo 14 0,079 0 0,0223 0,9855 0,986 0,0617 0 0 0,956 0,9547 0,9676

Modo 15 0,074 0 0 0,9855 0,986 0 0 0,0182 0,956 0,9547 0,9857

Modo 16 0,056 0,0145 0 1 0,986 0 0,0453 0 0,956 1 0,9857

Modo 17 0,056 0 0,014 1 1 0,044 0 0 1 1 0,9857

Modo 18 0,054 0 0 1 1 0 0 0,0143 1 1 1



Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX

Sum UY

RX RY RZ Sum UX

Sum UY

Sum UZ

Modo 1 0,727 0,7674 0 0,7674 0 0 0,2532 0 0 0,2532 0

Modo 2 0,683 0 0,7702 0,7674 0,7702 0,2503 0 0 0,2503 0,2532 0

Modo 3 0,679 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0,7728 0,2503 0,2532 0,7728

Modo 4 0,314 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0 0,2503 0,2532 0,7728

Modo 5 0,314 0 5,09E-06 0,7674 0,7702 1,02E-05 0 0 0,2503 0,2532 0,7728

Modo 6 0,309 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0,0017 0,2503 0,2532 0,7745

Modo 7 0,301 0 0 0,7674 0,7702 0 0 0 0,2503 0,2532 0,7745

Modo 8 0,301 1,08E-05 0 0,7674 0,7702 0 2,87E-05 0 0,2503 0,2532 0,7745

Modo 9 0,278 0,1112 0 0,8786 0,7702 0 0,424 0 0,2503 0,6772 0,7745

Modo 10 0,268 0 0 0,8786 0,7702 0 0 0,0609 0,2503 0,6772 0,8354

Modo 11 0,264 0 0,1118 0,8786 0,8821 0,4289 0 0 0,6792 0,6772 0,8354

Modo 12 0,246 0 0,0002 0,8786 0,8823 0,0009 0 0 0,6801 0,6772 0,8354

Modo 13 0,245 0 0 0,8786 0,8823 0 0 0 0,6801 0,6772 0,8354

Modo 14 0,245 3,39E-05 0 0,8786 0,8823 0 0,0002 0 0,6801 0,6774 0,8354

Modo 15 0,239 0 0 0,8786 0,8823 0 0 0,0529 0,6801 0,6774 0,8883

Modo 16 0,154 0,0617 0 0,9403 0,8823 0 0,1476 0 0,6801 0,825 0,8883

Modo 17 0,148 0 0,0603 0,9403 0,9426 0,1486 0 0 0,8287 0,825 0,8883

Modo 18 0,142 0 0 0,9403 0,9426 0 0 0,0563 0,8287 0,825 0,9446


102


Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX

Sum UY

RX RY RZ Sum UX

Sum UY

Sum UZ

Modo 1 0,646 0,643 0,000 0,643 0,000 0,000 0,384 0,019 0,000 0,384 0,019

Modo 2 0,593 0,000 0,634 0,643 0,634 0,418 0,000 0,000 0,418 0,384 0,019

Modo 3 0,581 0,013 0,000 0,656 0,634 0,000 0,012 0,590 0,418 0,395 0,609

Modo 4 0,314 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,609

Modo 5 0,314 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,609

Modo 6 0,309 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,001 0,418 0,395 0,610

Modo 7 0,301 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,610

Modo 8 0,300 0,000 0,000 0,656 0,634 0,000 0,000 0,000 0,418 0,395 0,610

Modo 9 0,258 0,006 0,000 0,662 0,634 0,000 0,013 0,019 0,418 0,409 0,629

Modo 10 0,252 0,107 0,000 0,769 0,634 0,000 0,200 0,000 0,418 0,609 0,629

Modo 11 0,246 0,000 0,001 0,769 0,635 0,001 0,000 0,000 0,419 0,609 0,629

Modo 12 0,245 0,000 0,000 0,769 0,635 0,000 0,000 0,000 0,419 0,609 0,629

Modo 13 0,245 0,001 0,000 0,770 0,635 0,000 0,002 0,000 0,419 0,610 0,629

Modo 14 0,234 0,000 0,111 0,770 0,745 0,179 0,000 0,000 0,598 0,610 0,629

Modo 15 0,215 0,001 0,000 0,770 0,745 0,000 0,000 0,086 0,598 0,610 0,714

Modo 16 0,136 0,068 0,000 0,839 0,745 0,000 0,089 0,002 0,598 0,700 0,716

Modo 17 0,127 0,000 0,062 0,839 0,807 0,068 0,000 0,000 0,665 0,700 0,716

Modo 18 0,119 0,001 0 0,839 0,807 0,000 0,000 0,046 0,665 0,700 0,762

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Modo 31 0,071 0,044 0 0,912 0,829 0,000 0,074 0,002 0,707 0,834 0,788

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

Modo 35 0,044 0,000 0,089 0,968 0,958 0,166 0,000 0,000 0,932 0,947 0,816


Para las edificaciones de 6 pisos, en referencia al cumplimiento del porcentaje de

participación de masas según la NEC, la estructura Nº 4 necesita de 8 modos de

vibración, la estructura Nº 5 debido a su irregularidad en planta y elevación necesita

de 17 modos y la estructura Nº 6 correspondiente a un edificio irregular con

subsuelo necesita 35 modos.

Nótese que en la estructura Nº 6 los tres modos de vibración por planta resultan

insuficientes para el cumplimiento del porcentaje de participación de masas; esto

da a entender que la presencia del subsuelo incrementa en gran medida el número

de modos de vibración.

103

Referente al comportamiento rotacional, ninguna de las edificaciones presenta

inconveniente alguno, ya que el porcentaje predominante se da en el tercer modo.

Gráfico 34. Participación de masas – Estructura de 6 Pisos


Estructura de 12 pisos

Tomando la referencia de los 3 GDL por piso, las estructuras con doce niveles

cuentan con 36 modos de vibración. Los tres primeros modos de vibración resultan

ser los de mayor aporte en la participación modal. Las siguientes tablas puntualiza

la participación modal de masas para las estructuras de doce pisos:


Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX

Sum UY

RX RY RZ Sum RX

Sum RY

Sum RZ

Modo 1 1,582 0 0,714 0,000 0,714 0,300 0 0 0,300 0 0

Modo 2 1,570 0,717 0 0,717 0,714 0 0,296 0 0,300 0,296 0

Modo 3 1,464 0 0 0,717 0,714 0 0 0,717 0,300 0,296 0,717

Modo 4 0,596 0 0,132 0,717 0,845 0,339 0 0 0,638 0,296 0,717

Modo 5 0,590 0,130 0 0,847 0,845 0 0,345 0 0,638 0,640 0,717

Modo 6 0,565 0 0 0,847 0,845 0 0 0,131 0,638 0,640 0,848

Modo 7 0,357 0 0,050 0,847 0,895 0,083 0 0 0,721 0,640 0,848

Modo 8 0,350 0,050 0 0,897 0,895 0 0,086 0 0,721 0,726 0,848

Modo 9 0,337 0 0 0,897 0,895 0 0 0,051 0,721 0,726 0,900

Modo 10 0,244 0 0,029 0,897 0,924 0,080 0 0 0,801 0,726 0,900

Modo 11 0,241 0,028 0 0,925 0,924 0 0,078 0 0,801 0,805 0,900

Modo 12 0,230 0 0 0,925 0,924 0 0 0,029 0,801 0,805 0,928

8

17 18

17

0

9

18

27

36

N° 4 (Regular) N° 5 (Irregular) N° 6 (Irregular con

muros)

Nú

me

ro d

e m

od

os

Cumplimiento de Participación ModalEstructura de 6 pisos

104

Modo 13 0,183 0 0,019 0,925 0,943 0,045 0 0 0,847 0,805 0,928

Modo 14 0,180 0,019 0 0,944 0,943 0 0,043 0 0,847 0,848 0,928

Modo 15 0,174 0 0 0,944 0,943 0 0 0,019 0,847 0,848 0,947

Modo 16 0,143 0 0,012 0,944 0,955 0,035 0 0 0,881 0,848 0,947

Modo 17 0,140 0,013 0 0,957 0,955 0 0,036 0 0,881 0,884 0,947

Modo 18 0,134 0 0 0,957 0,955 0 0 0,013 0,881 0,884 0,960

Modo 19 0,119 0 0,010 0,957 0,965 0,023 0 0 0,904 0,884 0,960

Modo 20 0,115 0,010 0 0,967 0,965 0 0,025 0 0,904 0,909 0,960

Modo 21 0,111 0 0 0,967 0,965 0 0 0,008 0,904 0,909 0,968

Modo 22 0,100 0 0,008 0,967 0,973 0,021 0 0 0,925 0,909 0,968

Modo 23 0,097 0,007 0 0,973 0,973 0 0,018 0 0,925 0,927 0,968

Modo 24 0,095 0 0 0,973 0,973 0 0 0,007 0,925 0,927 0,976

Modo 25 0,082 0 0,006 0,973 0,979 0,017 0 0 0,942 0,927 0,976

Modo 26 0,080 0,007 0 0,981 0,979 0 0,020 0 0,942 0,947 0,976

Modo 27 0,078 0 0 0,981 0,979 0 0 0,007 0,942 0,947 0,983

Modo 28 0,070 0 0,008 0,981 0,987 0,021 0 0 0,963 0,947 0,983

Modo 29 0,068 0,007 0 0,988 0,987 0 0,019 0 0,963 0,966 0,983

Modo 30 0,066 0 0 0,988 0,987 0 0 0,007 0,963 0,966 0,990

Modo 31 0,056 0 0,007 0,988 0,994 0,020 0 0 0,983 0,966 0,990

Modo 32 0,055 0,007 0 0,994 0,994 0 0,019 0 0,983 0,984 0,990

Modo 33 0,054 0 0 0,994 0,994 0 0 0,006 0,983 0,984 0,995

Modo 34 0,045 0 0,006 0,994 1,000 0,017 0 0 1,000 0,984 0,995

Modo 35 0,044 0,006 0 1,000 1,000 0 0,016 0 1,000 1,000 0,995

Modo 36 0,044 0 0 1,000 1,000 0 0 0,005 1,000 1,000 1,000



Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX

Sum UY

RX RY RZ Sum RX

Sum RY

Sum RZ

Modo 1 1,619 0,0003 0,6066 0,0003 0,6066 0,4193 0,0002 1,412E-06 0,4193 0,0002 1,412E-06

Modo 2 1,607 0,6092 0,0003 0,6095 0,607 0,0002 0,417 8,895E-07 0,4196 0,4173 2,302E-06

Modo 3 1,475 8,353E-07 5,307E-06 0,6095 0,607 5,57E-06 5,691E-07 0,581 0,4196 0,4173 0,581

Modo 4 0,611 2,54E-05 0,1143 0,6095 0,7212 0,1448 3,61E-05 1,194E-06 0,5644 0,4173 0,581

Modo 5 0,605 0,1123 2,394E-05 0,7218 0,7213 2,77E-05 0,1478 0 0,5644 0,5651 0,581

Modo 6 0,569 5,19E-07 2,329E-06 0,7218 0,7213 1,76E-06 5,06E-07 0,1071 0,5644 0,5651 0,6881

Modo 7 0,366 2,85E-06 0,044 0,7218 0,7653 0,0337 2,30E-06 0 0,5981 0,5651 0,6881

Modo 8 0,359 0,0444 2,003E-06 0,7663 0,7653 7,57E-07 0,0348 0 0,5981 0,5999 0,6881

Modo 9 0,34 0 7,465E-07 0,7663 0,7653 0 0 0,0422 0,5981 0,5999 0,7303

Modo 10 0,251 2,90E-06 0,0276 0,7663 0,7928 0,0391 4,57E-06 0 0,6373 0,5999 0,7303

Modo 11 0,247 0,0261 1,901E-06 0,7924 0,7928 2,06E-06 0,0376 0 0,6373 0,6376 0,7303

Modo 12 0,232 0 0 0,7924 0,7928 0 5,144E-07 0,0243 0,6373 0,6376 0,7547

Modo 13 0,188 3,00E-06 0,0191 0,7924 0,8119 0,0232 3,39E-06 0 0,6605 0,6376 0,7547

Modo 14 0,186 0,0186 1,464E-06 0,811 0,8119 9,7E-07 0,0219 0 0,6605 0,6594 0,7547

105

Modo 15 0,176 5,531E-07 0 0,811 0,8119 0 7,475E-07 0,0158 0,6605 0,6594 0,7704

Modo 16 0,147 1,50E-06 0,0146 0,811 0,8266 0,0217 2,20E-06 0 0,6822 0,6594 0,7704

Modo 17 0,144 0,0151 0 0,8261 0,8266 0 0,022 0 0,6822 0,6814 0,7704

Modo 18 0,136 8,721E-07 0 0,8261 0,8266 0 1,32E-06 0,012 0,6822 0,6814 0,7824

Modo 19 0,122 0 0,0125 0,8261 0,839 0,0162 0 0 0,6984 0,6814 0,7824

Modo 20 0,118 0,0125 1,656E-06 0,8386 0,839 4,06E-06 0,0171 0 0,6984 0,6985 0,7824

Modo 21 0,112 1,10E-06 0 0,8386 0,839 0 1,76E-06 0,0078 0,6984 0,6985 0,7903

Modo 22 0,103 0 0,0121 0,8386 0,8512 0,0182 0 0 0,7166 0,6985 0,7903

Modo 23 0,1 0,0107 3,927E-06 0,8494 0,8512 8,4E-06 0,016 0 0,7166 0,7145 0,7903

Modo 24 0,096 1,61E-06 0 0,8494 0,8512 0 2,71E-06 0,0072 0,7166 0,7145 0,7975

Modo 25 0,086 1,07E-05 0,0183 0,8494 0,8695 0,029 1,63E-05 0 0,7456 0,7145 0,7975

Modo 26 0,084 0,018 0 0,8674 0,8695 8,54E-07 0,0282 0 0,7456 0,7427 0,7975

Modo 27 0,079 5,60E-06 1,055E-06 0,8675 0,8695 2,85E-06 9,91E-06 0,0085 0,7456 0,7427 0,806

Modo 28 0,075 0 0,0209 0,8675 0,8905 0,0352 0 6,132E-06 0,7808 0,7427 0,806

Modo 29 0,072 0,0216 1,784E-05 0,8891 0,8905 3,95E-05 0,0362 0 0,7808 0,779 0,806

Modo 30 0,067 9,46E-06 0 0,8891 0,8905 6,27E-07 1,77E-05 0,0086 0,7808 0,779 0,8146

Modo 31 0,063 0,0001 0,0408 0,8892 0,9313 0,0733 0,0002 0,00001773 0,8542 0,7792 0,8146

Modo 32 0,061 0,0394 0,0001 0,9286 0,9313 0,0001 0,0704 5,179E-07 0,8542 0,8496 0,8146

Modo 33 0,055 0,0001 5,461E-06 0,9287 0,9313 6,29E-06 0,0001 0,0104 0,8543 0,8497 0,825

Modo 34 0,054 0,0007 0,0306 0,9294 0,9619 0,0611 0,0015 0,00003615 0,9153 0,8512 0,8251

Modo 35 0,053 0,0384 0,0009 0,9678 0,9628 0,0017 0,0751 6,399E-06 0,917 0,9262 0,8251

Modo 36 0,045 0,0001 0,0007 0,9679 0,9635 0,0015 0,0002 0,0134 0,9186 0,9264 0,8384



Modo de Vibración

Período (s)

UX UY Sum UX

Sum UY

RX RY RZ Sum RX

Sum RY

Sum RZ

Modo 1 1,631 0,0003 0,5168 0,0003 0,5168 0,4888 0,0003 0 0,4888 0,0003 0

Modo 2 1,619 0,5191 0,0003 0,5194 0,5171 0,0003 0,4871 6,27E-07 0,4891 0,4874 6,37E-07

Modo 3 1,477 5,848E-07 3,87E-06 0,5194 0,5171 4,65E-06 0 0,479 0,4891 0,4874 0,479

Modo 4 0,615 1,94E-05 0,1007 0,5195 0,6178 0,0566 1,23E-05 0 0,5457 0,4874 0,479

Modo 5 0,608 0,0993 1,736E-05 0,6187 0,6178 7,8E-06 0,0587 0 0,5457 0,5462 0,479

Modo 6 0,57 0 1,973E-06 0,6187 0,6178 6,13E-07 0 0,0898 0,5457 0,5462 0,5688

Modo 7 0,368 1,75E-06 0,042 0,6188 0,6598 0,0131 0 0 0,5589 0,5462 0,5688

Modo 8 0,361 0,0429 6,858E-07 0,6616 0,6598 0 0,0139 0 0,5589 0,5601 0,5688

Modo 9 0,341 0 9,346E-07 0,6616 0,6598 0 0 0,0367 0,5589 0,5601 0,6055

Modo 10 0,253 1,74E-06 0,0305 0,6616 0,6903 0,0216 1,09E-06 0 0,5804 0,5601 0,6055

Modo 11 0,249 0,0295 0 0,6911 0,6903 0 0,0213 0 0,5804 0,5814 0,6055

Modo 12 0,233 7,11E-07 9,378E-07 0,6911 0,6903 5,35E-07 5,512E-07 0,0226 0,5804 0,5814 0,6281

Modo 13 0,19 3,05E-06 0,0266 0,6911 0,7169 0,0175 1,12E-06 7,65E-07 0,598 0,5814 0,6281

Modo 14 0,188 0,0269 0 0,7181 0,7169 5,11E-07 0,0175 0 0,598 0,5989 0,6281

Modo 15 0,176 1,35E-06 1,655E-06 0,7181 0,7169 1,13E-06 1,24E-06 0,016 0,598 0,5989 0,6441

106

Modo 16 0,149 7,11E-06 0,0305 0,7181 0,7474 0,0265 4,63E-06 3,37E-06 0,6245 0,5989 0,6441

Modo 17 0,147 0,0336 0 0,7517 0,7474 3,44E-06 0,0294 0 0,6245 0,6283 0,6441

Modo 18 0,136 4,30E-06 2,715E-06 0,7517 0,7474 2,73E-06 4,53E-06 0,0143 0,6245 0,6283 0,6584

Modo 19 0,125 0 0,0401 0,7517 0,7875 0,0362 0 0,00001 0,6607 0,6283 0,6584

Modo 20 0,122 0,0482 2,978E-05 0,7999 0,7875 0,0001 0,0463 0 0,6608 0,6746 0,6584

Modo 21 0,113 1,12E-05 9,653E-06 0,7999 0,7875 1,1E-05 1,37E-05 0,0114 0,6608 0,6746 0,6698

Modo 22 0,108 6,32E-06 0,0642 0,7999 0,8517 0,0715 5,62E-06 0,00003

604 0,7323 0,6746 0,6699

Modo 23 0,105 0,0737 1,376E-05 0,8736 0,8517 4,23E-05 0,0847 0 0,7324 0,7593 0,6699

Modo 24 0,097 2,24E-05 0,0002 0,8737 0,8519 0,0002 3,19E-05 0,0134 0,7326 0,7594 0,6832

Modo 25 0,095 0 0,067 0,8737 0,9189 0,0855 0 9,64E-06 0,8181 0,7594 0,6832

Modo 26 0,094 0,0534 0,0001 0,9271 0,919 0,0001 0,0701 0,0000 0,8182 0,8294 0,6832

Modo 27 0,082 0,0001 0,0203 0,9272 0,9393 0,0316 0,0001 0,0002 0,8498 0,8296 0,6835

Modo 28 0,08 0,0185 2,674E-05 0,9457 0,9393 0,0001 0,0299 0,001 0,8498 0,8595 0,6844

Modo 29 0,08 0,0006 0,0001 0,9462 0,9393 0,0001 0,0009 0,0278 0,8499 0,8604 0,7122

Modo 30 0,071 0,0002 0,0116 0,9464 0,951 0,0219 0,0003 0,0002 0,8718 0,8607 0,7124

Modo 31 0,069 0,0032 0 0,9496 0,951 1,23E-06 0,0065 0,0332 0,8718 0,8672 0,7456

Modo 32 0,069 0,0048 0,0002 0,9544 0,9512 0,0003 0,0096 0,0202 0,8721 0,8768 0,7658

Modo 33 0,06 0,0001 3,742E-05 0,9545 0,9512 0,0001 0,0003 0,1377 0,8722 0,877 0,9036

Modo 34 0,059 0,0003 0,0086 0,9548 0,9598 0,0218 0,0005 0,0019 0,894 0,8776 0,9055

Modo 35 0,058 0,0058 0,0002 0,9606 0,96 0,0004 0,0154 0,0015 0,8944 0,8929 0,907

Modo 36 0,053 0,0001 4,256E-06 0,9608 0,96 7,93E-06 0,0003 0,0428 0,8944 0,8933 0,9499


Para las edificaciones de 12 pisos con respecto a la participación de masas

estipulado en la NEC, la estructura Nº 7 requiere de 11 modos de vibración, la

estructura Nº 8 debido a la presencia de dos subsuelos demanda de 32 modos y la

estructura Nº 9 correspondiente a un edificio regular con cuatro subsuelos necesita

35 modos. Gráfico 35.

Al tratarse de estructuras regulares y simétricas, ninguna de ellas presenta

inconvenientes con el requisito torsional, ya que el porcentaje mayoritario se da en

el tercer modo de vibración.

107

Gráfico 35. Participación de masas – Estructura de 12 Pisos Fuente: Elaborado por autores

Evidenciando la influencia de subsuelos en el incremento del número de modos de

vibración, se presenta un breve análisis del mismo.

Gráfico 36. Participación de masas – (12 Pisos con subsuelo) Fuente: Elaborado por autores

El Gráfico 36 muestra el número de modos requerido para una misma estructura

pero con diferente número de subsuelos.; pues se creía que un edificio con más

subsuelos requiere de un número mayor de modos de vibración para el

cumplimiento modal, pero se observa que esta condición no siempre se cumple.

11

3226

0

5

10

15

20

25

30

35

N° 7 (Regular) N° 8 (Regular con 2 sub.) N° 9 (Regular con 4 sub.)

Nú

me

ro d

e m

od

os

Cumplimiento de Participación ModalEstructura de 12 pisos

11

20

3229

2623 22

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6

Nº

de

Mo

do

s

Nº de Subsuelos

Cumplimiento de Participación ModalEstructura de 12 Pisos

108

4.2 COMBINACIONES MODALES

• Para todas las estructuras se emplea las seis combinaciones modales que

presenta el software Etabs. Se tabulan los resultados de derivas inelásticas

para posteriormente graficarlas y especificar con cuál de las combinaciones

modales se logran valores más críticos. El siguiente gráfico idealiza la

aplicación de las combinaciones.

Gráfico 37. Combinaciones Modales


• Los resultados de derivas obtenidos por el software Etabs en manera de

tablas se presentan en el Anexo Nº 1.

• Para la aprobación de la deriva inelástica se debe cumplir con lo siguiente:

Deriva inelástica (ΔM) < Deriva máxima permitida (ΔM máx)

Donde: Deriva inelástica (ΔM) = 0,75*R*ΔE

Deriva elástica (ΔE) → Valor obtenido del software

Etabs.

Tabla 58. Deriva Máxima de piso

Estructura ΔM máx. [sin unidad]

Hormigón armado, estructuras metálicas y de madera 0,02

Fuente: Norma Ecuatoriana de la Construcción (NEC-15)

DER

IVA

S IN

ELÁ

STIC

AS

SISMO EN "X"

SISMO EN "Y"

ESPECTRO EN "X"

ESPECTRO EN "Y"

CO

MB

INA

CIO

NES

M

OD

ALE

S

Absoluto

Doble Suma

CQC

GMC

NRC 10%

SRSS

109

4.2.1 Derivas de piso en Estructuras de 3 Pisos

Las derivas inelásticas máximas para las estructuras de tres pisos, se ilustran en los

siguientes gráficos:

Estructura Nº 1: Regular - 3 pisos

Gráfico 38. Derivas Inelásticas Máximas – Estructura Nº 1




2,7

5,4

8,1

0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combos Estáticos

SX+ SX- SY+ SY-

2,7

5,4

8,1

0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,01

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combinaciones Modales - Espectro en "X"

CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC 10% DOBLE SUMA

110



Como se aprecia en los gráficos 38-40, las derivas máximas ocurren en el 2º piso,

con valores menores al límite máximo establecido por la NEC (0,02); siendo

mínimos en el último piso. Las derivas generadas por las cargas SX y SY son

mayores a las generadas por las aceleraciones espectrales aplicadas con diferente

combinación modal.

Hay que señalar también que, la estructura Nº 1 cumple sin inconvenientes la

demanda de derivas; no obstante, su período natural excede al valor T2 establecido

por la NEC (0,52 > T2); demostrándose que un adecuado dimensionamiento

estructural no siempre satisface los requerimientos de la normativa vigente.

2,7

5,4

8,1

0,007 0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combinaciones Modales - Espectro en "Y"


111






2,7

5,4

8,1

0,0065 0,0075 0,0085 0,0095 0,0105 0,0115 0,0125

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombos Estáticos

SX+ SX- SY+ SY-

2,7

5,4

8,1

0,005 0,0055 0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "X")


112



Estructura Nº 3: Irregular - 3 pisos



2,7

5,4

8,1

0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085 0,009 0,0095 0,01 0,0105

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales (Espectro en "Y")


2,7

5,4

8,1

0,0065 0,0075 0,0085 0,0095 0,0105 0,0115 0,0125

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combos Estáticos

SX+ SX- SY+ SY-

113





En las estructuras Nº 2 y Nº 3 las derivas máximas ocurren en el 2º piso (gráficos

41-46), con valores muy por debajo al límite máximo establecido por la NEC (0,02);

las derivas máximas generadas por las cargas SX y SY son mayores a las generadas

por aceleraciones espectrales aplicadas con diferentes combinaciones modales.

La estructura con irregularidad en planta y elevación (Nº3), resulta ser más flexible

que la estructura de configuración regular(Nº2), pero logra satisfacer los límites

máximos de la NEC.

2,7

5,4

8,1

0,0055 0,006 0,0065 0,007 0,0075 0,008 0,0085 0,009

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMAS Combinaciones modales (Espectro en "X")


2,7

5,4

8,1

0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones modales (Espectro en "Y")

CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC10% DOBLE SUMA

114

En los gráficos anteriores, se aprecia la variación de derivas producidas por

aceleraciones espectrales utilizando diferentes combinaciones modales. En la

siguiente tabla se muestra dicha variación definida en porcentajes, tomando como

referencia aquella que genera mayores derivas, para este caso la combinación modal

Doble Suma.

Tabla 59. Derivas con diferentes combinaciones modales – 3 Pisos

Nº Combinación

Modal

Derivas Espectro 3 Pisos


1 Doble Suma 100,00% 100,00% 100,00%

2 NRC 10% 99,29% 99,41% 98,72%

3 SRSS 99,29% 99,41% 98,72%

4 CQC 98,36% 98,64% 98,27%

5 GMC 98,30% 98,59% 96,26%

6 Absoluto 95,57% 96,91% 96,23%


Claramente se identifica que los criterios de combinación modal Doble Suma, NRC

10% y SRSS alcanzan respuestas más críticas de derivas; mientras que el Absoluto

logra valores más conservadores, estableciendo una diferencia aproximada de un

4% entre una y otra.

115


Las derivas inelásticas máximas para las estructuras de seis pisos se ilustran en los







0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0 0,005 0,01 0,015 0,02

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA


SX+ SX- SY+ SY-

0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones Modales Espectro en "X"


116






0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0 0,005 0,01 0,015 0,02

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA


SX+ SY+ SX- SY-

117





Las derivas máximas por cargas SX y SY son mayores a las generadas por

aceleraciones espectrales aplicadas con diferentes combinaciones modales;

obteniéndose valores máximos en el 3º piso y mínimos en el 1º y 6º piso. (Gráficos

47 al 52).

La estructura Nº 5 con irregularidad en elevación, resulta ser más flexible que la de

configuración regular, pero logra satisfacer los límites máximos de la NEC.

0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA

DERIVAS INELÁSTICAS MÁXIMASCombinaciones modales (Espectro en "X")

CQC SRSS ABSOLUTO GMC NRC10% DOBLE SUMA

0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0,008 0,009 0,01 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015 0,016 0,017

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



118

Estructura Nº 6: Irregular - 6 pisos – Con subsuelo





0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA


SX+ SY+ SX- SY-

0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0 0,005 0,01 0,015 0,02 0,025

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



119



En la estructura Nº 6 correspondiente a una edificación irregular de seis pisos con

presencia de un subsuelo, las derivas máximas producidas por las aceleraciones

espectrales son mayores a las generadas por el sismo estático (SX y SY).

En el gráfico 54 se observa que las derivas generadas por las aceleraciones

espectrales con combinaciones modales ABS, CQC y GMC son las únicas que

satisfacen lo dispuesto en la NEC, a diferencia de las restantes (Doble Suma, NRC

10% y SRSS) que superan el límite permisible (0,02).

La Norma Ecuatoriana de la Construcción no especifica el criterio de combinación

modal a utilizarse, dejando a criterio y experiencia de cada profesional la elección

de la combinación modal que crea más conveniente.

La siguiente tabla muestra la variación de derivas producidas por aceleraciones

espectrales utilizando diferentes combinaciones modales, tomando como referencia

aquella que genera mayor deriva, para este caso la combinación modal Doble Suma.

0

2,7

5,4

8,1

10,8

13,5

16,2

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016 0,018

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



120

Tabla 60. Derivas con diferentes combinaciones modales - 6 Pisos

Nº Combinación

Modal



1 Doble Suma 99,92% 100,00% 100,00%

2 NRC 10% 100,00% 100,00% 98,94%

3 SRSS 99,94% 99,92% 98,77%

4 CQC 99,71% 99,60% 96,09%

5 GMC 99,57% 99,50% 95,92%

6 Absoluto 94,12% 92,46% 88,56%


Se ratifica que los criterios de combinación modal Doble Suma, NRC 10% y SRSS

logran respuestas más críticas de derivas; mientras que el Absoluto alcanza valores

más reservados, estableciendo una diferencia aproximada de un 8% entre la primera

y última.


Las derivas inelásticas máximas para las estructuras de doce pisos se ilustran en los





0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0,005 0,007 0,009 0,011 0,013 0,015 0,017 0,019 0,021

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA


SX+ SY+ SX- SY-

121





0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



122

Estructura Nº 8: Regular - 12 pisos – Con 2 Subsuelos





-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018 0,021

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA


SX+ SY+ SX- SY-

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



123






-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 0,003 0,006 0,009 0,012 0,015 0,018 0,021

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA


SX+ SY+ SX- SY-

124





-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



-12

-9

-6

-3

0

3

6

9

12

15

18

21

24

27

30

33

36

0 0,002 0,004 0,006 0,008 0,01 0,012 0,014 0,016

ALT

UR

A D

EL E

DIF

ICIO

(m

)

DERIVA



125

Los gráficos 56-64 muestran que las derivas máximas ocurren en el 6º piso, siendo

mayores las derivas generadas por las cargas SX y SY que por las aceleraciones

espectrales (Espectro X, Espectro Y).

Las tres estructuras de doce pisos presentan valores similares de derivas,

independientemente del número de subsuelos presentado en dos de ellas. Esto tiene

trascendencia por la aplicación del cortante basal a nivel de calzada (N+0,00 m),

es decir, no se considera el peso de los subsuelos en la determinación de la fuerza

lateral de diseño, manteniéndose constante en todas ellas.

La siguiente tabla muestra la variación de derivas generadas por las aceleraciones

espectrales utilizando diferentes combinaciones modales; se toma como referencia

aquella que genera mayor deriva, para este caso la combinación modal NRC 10%.

Tabla 61. Derivas con diferentes combinaciones modales – 12 Pisos

Nº Combinación

Modal



1 NRC 10% 100,00% 100,00% 100,00%

2 SRSS 100,00% 99,80% 99,90%

3 Doble Suma 99,68% 99,64% 99,76%

4 CQC 98,94% 98,59% 98,53%

5 GMC 98,60% 98,28% 98,24%

6 Absoluto 87,91% 89,19% 90,53%


En este caso, la combinación modal NRC 10% es la que predomina, seguida por las

combinaciones SRSS y Doble Suma. El criterio de combinación modal Absoluto

sigue respondiendo con valores reservados, estableciéndose una diferencia

aproximada de un 12% entre el ABS y la NRC 10%.

De forma general, los métodos de combinación modal empleados en el análisis han

involucrado una variación en los resultados de derivas, logrando respuestas más

críticas con las combinaciones modales “SRSS”, “NRC 10%” y “Doble Suma”, no

así con las combinaciones CQC, GMC y ABS que arrojan derivas menores. El

criterio de combinación menos crítico es el ABSOLUTO.

126

4.3 ANÁLISIS DE LA INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE

VIBRACIÓN

Para el proceso de estudio, se emplea en todos los casos el criterio de combinación

modal Doble Suma, por ser considerada como una de las más críticas.

Se toma en cuenta únicamente los resultados obtenidos por las condiciones

dinámicas, es decir, los datos derivados de los espectros en cada dirección

horizontal principal para posteriormente realizar una comparación entre las mismas.

Para la comparación de resultados, se toma como referencia las derivas elásticas

que consideran el 90 % de masas participativas (NEC-15), es decir, estos valores

serán el 100% y con relación a ellos se obtendrá los porcentajes de afectación de

los demás criterios.

4.3.1 Derivas de piso


Tabla 62. Influencia del Nº modos de vibración – E2

1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso Default 1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso Default

3 Modos 5 Modos 9 Modos 12 Modos 3 Modos 5 Modos 9 Modos 12 Modos

Piso Combo/

Dirección Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,000861 0,000867 0,000867 0,000867 99,31% 100,00% 100,00% 100,00%

P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,001104 0,001112 0,001112 0,001112 99,28% 100,00% 100,00% 100,00%

P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,001399 0,001385 0,001384 0,001384 101,01% 100,00% 99,93% 99,93%

P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,001754 0,001734 0,001733 0,001733 101,15% 100,00% 99,94% 99,94%

P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001061 0,001055 0,001054 0,001054 100,57% 100,00% 99,91% 99,91%

P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001292 0,001283 0,001282 0,001282 100,70% 100,00% 99,92% 99,92%

Fuente: Etabs - Elaborado por autores.

127

Gráfico 65. Influencia del Nº modos de vibración – E2


Estructura Nº 3: Irregular – 3 pisos


1gdl/piso 3gdl/piso 90% NEC Default 1gdl/piso 3gdl/piso 90% NEC Default


Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,000937 0,000941 0,000952 0,000955 98,42% 98,84% 100,00% 100,32%

P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,001462 0,001482 0,001482 0,001481 98,65% 100,00% 100,00% 99,93%

P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,001458 0,001458 0,001445 0,001445 100,90% 100,90% 100,00% 100,00%

P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,002125 0,002107 0,002107 0,002105 100,85% 100,00% 100,00% 99,91%

P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001117 0,001117 0,001111 0,001111 100,54% 100,54% 100,00% 100,00%

P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001592 0,001584 0,001584 0,001583 100,51% 100,00% 100,00% 99,94%


1

2

3

99,00% 99,50% 100,00% 100,50% 101,00% 101,50%

Nº

de

Pis

os

Variación Deriva Elástica (%)

INFLUENCIA DEL NÚMERO DE MODOS DE VIBRACIÓNEstructura de 3 pisos "E2"

3 Modos (1gdl/piso)

5 Modos (90% NEC)

9 Modos (3gdl/piso)

12 Modos (Default)

128



Los gráficos 65 y 66 ponen en manifiesto la variación porcentual de derivas

elásticas, cuando se consideran diferentes números de modos de vibración,

alcanzando valores más significativos con 3 modos de vibración (1gdl/piso).

En la estructura regular de tres pisos “E2”, la consideración de los 9 modos de

vibración (3gdl/piso) y los 12 modos de vibración (default) no representan mayor

afectación en la respuesta de derivas, pero estas mismas consideraciones aplicadas

en la estructura “E3” que se caracteriza por tener una geometría irregular, revelan

valores más notorios de derivas, dejando muy en claro que el número de modos de

vibración si influye en las respuestas estructurales y más aún, cuando la

estructura está sujeta a características de irregularidad.

1

2

3

98,50% 99,00% 99,50% 100,00% 100,50% 101,00%

Nº

de

Pis

os



3 Modos (1gdl/piso)

9 Modos (3gdl/piso)

10 Modos (90% NEC)

12 Modos (Default)

129



1gdl/piso 90% NEC Default 3gdl/piso 1gdl/piso 90% NEC Default 3gdl/piso


Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P6 (16,2 m) ESPECTRO X 0,001398 0,001411 0,001413 0,001411 99,08% 100,00% 100,14% 100,00%

P6 (16,2 m) ESPECTRO Y 0,001239 0,00125 0,001252 0,001251 99,12% 100,00% 100,16% 100,08%

P5 (13,5 m) ESPECTRO X 0,002365 0,002357 0,002357 0,002354 100,34% 100,00% 100,00% 99,87%

P5 (13,5 m) ESPECTRO Y 0,002124 0,002118 0,002118 0,002116 100,28% 100,00% 100,00% 99,91%

P4 (10,8 m) ESPECTRO X 0,002416 0,002413 0,00241 0,002408 100,12% 100,00% 99,88% 99,79%

P4 (10,8 m) ESPECTRO Y 0,002117 0,002115 0,002113 0,002112 100,09% 100,00% 99,91% 99,86%

P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,002581 0,002574 0,002572 0,002569 100,27% 100,00% 99,92% 99,81%

P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,002251 0,002245 0,002244 0,002242 100,27% 100,00% 99,96% 99,87%

P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,002489 0,002481 0,002479 0,002476 100,32% 100,00% 99,92% 99,80%

P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,00219 0,002184 0,002182 0,00218 100,27% 100,00% 99,91% 99,82%

P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001446 0,001444 0,001443 0,001441 100,14% 100,00% 99,93% 99,79%

P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001317 0,001315 0,001315 0,001313 100,15% 100,00% 100,00% 99,85%




1

2

3

4

5

6

99,00% 99,20% 99,40% 99,60% 99,80% 100,00% 100,20% 100,40%

Nº

de

Pis

os



6 Modos (1gdl/piso)

8 Modos (90% NEC)

12 Modos (Default)

18 Modos (3gdl/piso)

130



1gdl/piso Default 90% NEC 3gdl/piso 1gdl/piso Default 90% NEC 3gdl/piso


Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P6 (16,2 m) ESPECTRO X 0,001445 0,001543 0,001556 0,001556 92,87% 99,16% 100,00% 100,00%

P6 (16,2 m) ESPECTRO Y 0,001273 0,001367 0,001377 0,001377 92,45% 99,27% 100,00% 100,00%

P5 (13,5 m) ESPECTRO X 0,002283 0,002351 0,002344 0,002344 97,40% 100,30% 100,00% 100,00%

P5 (13,5 m) ESPECTRO Y 0,002035 0,002105 0,002099 0,002099 96,95% 100,29% 100,00% 100,00%

P4 (10,8 m) ESPECTRO X 0,00244 0,002422 0,002418 0,002418 100,91% 100,17% 100,00% 100,00%

P4 (10,8 m) ESPECTRO Y 0,002128 0,002114 0,002112 0,002112 100,76% 100,09% 100,00% 100,00%

P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,002729 0,002695 0,002686 0,002686 101,60% 100,34% 100,00% 100,00%

P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,002374 0,002346 0,00234 0,00234 101,45% 100,26% 100,00% 100,00%

P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,002672 0,002652 0,002641 0,002641 101,17% 100,42% 100,00% 100,00%

P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,002349 0,002333 0,002324 0,002324 101,08% 100,39% 100,00% 100,00%

P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,001559 0,001553 0,00155 0,00155 100,58% 100,19% 100,00% 100,00%

P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,001419 0,001415 0,001412 0,001412 100,50% 100,21% 100,00% 100,00%




1

2

3

4

5

6

92,00% 94,00% 96,00% 98,00% 100,00% 102,00%

Nº

de

Pis

os



6 Modos (1gdl/piso)

12 Modos (Default)

17 Modos (90% NEC)


131

Estructura Nº 6: Irregular - 6 pisos – Con Subsuelo


1gdl/piso Default 3gdl/piso 90% NEC 1gdl/piso Default 3gdl/piso 90% NEC


Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P6 (16,2 m) ESPECTRO X 0,002208 0,002325 0,002353 0,002338 94,44% 99,44% 100,64% 100,00%

P6 (16,2 m) ESPECTRO Y 0,001735 0,001737 0,001865 0,001842 94,19% 94,30% 101,25% 100,00%

P5 (13,5 m) ESPECTRO X 0,003439 0,003496 0,003488 0,00346 99,39% 101,04% 100,81% 100,00%

P5 (13,5 m) ESPECTRO Y 0,002726 0,002727 0,00275 0,002713 100,48% 100,52% 101,36% 100,00%

P4 (10,8 m) ESPECTRO X 0,00354 0,003487 0,003473 0,003443 102,82% 101,28% 100,87% 100,00%

P4 (10,8 m) ESPECTRO Y 0,00271 0,00271 0,002659 0,002623 103,32% 103,32% 101,37% 100,00%

P3 (8,1 m) ESPECTRO X 0,003689 0,003635 0,003613 0,003582 102,99% 101,48% 100,87% 100,00%

P3 (8,1 m) ESPECTRO Y 0,002796 0,002796 0,002745 0,002708 103,25% 103,25% 101,37% 100,00%

P2 (5,4 m) ESPECTRO X 0,002795 0,002771 0,002756 0,002733 102,27% 101,39% 100,84% 100,00%

P2 (5,4 m) ESPECTRO Y 0,002077 0,002077 0,002057 0,002029 102,37% 102,37% 101,38% 100,00%

P1 (2,7 m) ESPECTRO X 0,000699 0,000697 0,000696 0,000692 101,01% 100,72% 100,58% 100,00%

P1 (2,7 m) ESPECTRO Y 0,000309 0,000309 0,000309 0,000308 100,32% 100,32% 100,32% 100,00%




Nuevamente la mayor diferencia porcentual de derivas elásticas suscita cuando se

considera 1gdl/piso (6 modos), corroborando que en una estructura con geometría

1

2

3

4

5

6

94,00% 96,00% 98,00% 100,00% 102,00% 104,00%

Nº

de

Pis

os



6 Modos (1gdl/piso)

12 Modos (Default)


35 Modos (90% NEC)

132

irregular “E5” y “E6” tiene mayor influencia en las respuestas totales de estructuras

a comparación de una estructura regular “E4”



90% NEC 1gdl/piso 3gdl/piso 90% NEC 1gdl/piso 3gdl/piso

11 Modos 12 Modos 36 Modos 11 Modos 12 Modos 36 Modos

Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P12 [36,0 m] ESPECTRO X 0,001387 0,001387 0,001405 100,00% 100,00% 101,30%

P12 [36,0 m] ESPECTRO Y 0,001405 0,001405 0,001423 100,00% 100,00% 101,28%

P11 [33,0 m] ESPECTRO X 0,001974 0,001974 0,001965 100,00% 100,00% 99,54%

P11 [33,0 m] ESPECTRO Y 0,00218 0,00218 0,00217 100,00% 100,00% 99,54%

P10 [30,0 m] ESPECTRO X 0,002342 0,002342 0,002334 100,00% 100,00% 99,66%

P10 [30,0 m] ESPECTRO Y 0,002357 0,002357 0,002349 100,00% 100,00% 99,66%

P9 [27,0 m] ESPECTRO X 0,002422 0,002422 0,002409 100,00% 100,00% 99,46%

P9 [27,0 m] ESPECTRO Y 0,002428 0,002428 0,002415 100,00% 100,00% 99,46%

P8 [24,0 m] ESPECTRO X 0,00243 0,00243 0,002417 100,00% 100,00% 99,47%

P8 [24,0 m] ESPECTRO Y 0,002562 0,002562 0,002548 100,00% 100,00% 99,45%

P7 [21,0 m] ESPECTRO X 0,002508 0,002508 0,002494 100,00% 100,00% 99,44%

P7 [21,0 m] ESPECTRO Y 0,002646 0,002646 0,002631 100,00% 100,00% 99,43%

P6 [18,0 m] ESPECTRO X 0,002333 0,002333 0,002319 100,00% 100,00% 99,40%

P6 [18,0 m] ESPECTRO Y 0,00233 0,00233 0,002315 100,00% 100,00% 99,36%

P5 [15,0 m] ESPECTRO X 0,002265 0,002265 0,002252 100,00% 100,00% 99,43%

P5 [15,0 m] ESPECTRO Y 0,002262 0,002262 0,002249 100,00% 100,00% 99,43%

P4 [12,0 m] ESPECTRO X 0,002181 0,002181 0,002169 100,00% 100,00% 99,45%

P4 [12,0 m] ESPECTRO Y 0,002183 0,002183 0,00217 100,00% 100,00% 99,40%

P3 [9,0 m] ESPECTRO X 0,00204 0,00204 0,002028 100,00% 100,00% 99,41%

P3 [9,0 m] ESPECTRO Y 0,002065 0,002065 0,002052 100,00% 100,00% 99,37%

P2 [6,0 m] ESPECTRO X 0,001767 0,001767 0,001757 100,00% 100,00% 99,43%

P2 [6,0 m] ESPECTRO Y 0,001765 0,001765 0,001754 100,00% 100,00% 99,38%

P1 [3,0 m] ESPECTRO X 0,000912 0,000912 0,000908 100,00% 100,00% 99,56%

P1 [3,0 m] ESPECTRO Y 0,000911 0,000911 0,000907 100,00% 100,00% 99,56%


133





1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso 1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso


Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P12 [36,0 m] ESPECTRO X 0,001385 0,001413 0,001411 98,02% 100,00% 99,86%

P12 [36,0 m] ESPECTRO Y 0,001412 0,001441 0,001439 97,99% 100,00% 99,86%

P11 [33,0 m] ESPECTRO X 0,00197 0,001964 0,001962 100,31% 100,00% 99,90%

P11 [33,0 m] ESPECTRO Y 0,002175 0,002168 0,002166 100,32% 100,00% 99,91%

P10 [30,0 m] ESPECTRO X 0,002331 0,002327 0,002324 100,17% 100,00% 99,87%

P10 [30,0 m] ESPECTRO Y 0,002356 0,002352 0,002349 100,17% 100,00% 99,87%

P9 [27,0 m] ESPECTRO X 0,0024 0,00239 0,002387 100,42% 100,00% 99,87%

P9 [27,0 m] ESPECTRO Y 0,002407 0,002398 0,002395 100,38% 100,00% 99,87%

P8 [24,0 m] ESPECTRO X 0,002407 0,002397 0,002394 100,42% 100,00% 99,87%

P8 [24,0 m] ESPECTRO Y 0,002546 0,002535 0,002532 100,43% 100,00% 99,88%

P7 [21,0 m] ESPECTRO X 0,002477 0,002467 0,002464 100,41% 100,00% 99,88%

P7 [21,0 m] ESPECTRO Y 0,00262 0,002609 0,002606 100,42% 100,00% 99,89%

P6 [18,0 m] ESPECTRO X 0,002297 0,002286 0,002283 100,48% 100,00% 99,87%

P6 [18,0 m] ESPECTRO Y 0,002299 0,002287 0,002285 100,52% 100,00% 99,91%

P5 [15,0 m] ESPECTRO X 0,002234 0,002223 0,00222 100,49% 100,00% 99,87%

P5 [15,0 m] ESPECTRO Y 0,002237 0,002225 0,002223 100,54% 100,00% 99,91%

P4 [12,0 m] ESPECTRO X 0,00216 0,00215 0,002148 100,47% 100,00% 99,91%

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

99,00% 99,50% 100,00% 100,50% 101,00% 101,50%

Nº

de

Pis

os



11 Modos (90% NEC)

12 Modos (1gdl/piso)-(Default)


134

P4 [12,0 m] ESPECTRO Y 0,002167 0,002157 0,002155 100,46% 100,00% 99,91%

P3 [9,0 m] ESPECTRO X 0,002047 0,002036 0,002033 100,54% 100,00% 99,85%

P3 [9,0 m] ESPECTRO Y 0,002071 0,00206 0,002058 100,53% 100,00% 99,90%

P2 [6,0 m] ESPECTRO X 0,001895 0,001885 0,001882 100,53% 100,00% 99,84%

P2 [6,0 m] ESPECTRO Y 0,001909 0,001898 0,001896 100,58% 100,00% 99,89%

P1 [3,0 m] ESPECTRO X 0,00133 0,001325 0,001324 100,38% 100,00% 99,92%

P1 [3,0 m] ESPECTRO Y 0,001385 0,001379 0,001378 100,44% 100,00% 99,93%

BASE [0,0 m] ESPECTRO X 0,000358 0,000358 0,000358 100,00% 100,00% 100,00%

BASE [0,0 m] ESPECTRO Y 0,0003 0,000301 0,0003 99,67% 100,00% 99,67%

Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO X 6,20E-05 6,50E-05 6,70E-05 95,38% 100,00% 103,08%

Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO Y 5,90E-05 6,00E-05 6,00E-05 98,33% 100,00% 100,00%






1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso 1gdl/piso 90% NEC 3gdl/piso


Piso Combo/


Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

Deriva Elástica

P12 [36,0 m] ESPECTRO X 0,001417 0,001483 0,00148 95,55% 100,00% 99,80%

P12 [36,0 m] ESPECTRO Y 0,00144 0,001507 0,001503 95,55% 100,00% 99,73%

P11 [33,0 m] ESPECTRO X 0,001994 0,002001 0,001998 99,65% 100,00% 99,85%

P11 [33,0 m] ESPECTRO Y 0,002198 0,002204 0,002199 99,73% 100,00% 99,77%

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

97,00% 98,00% 99,00% 100,00% 101,00%

Nº

de

Pis

os




32 Modos (90% NEC)


135

P10 [30,0 m] ESPECTRO X 0,002341 0,002342 0,002338 99,96% 100,00% 99,83%

P10 [30,0 m] ESPECTRO Y 0,002364 0,002367 0,002363 99,87% 100,00% 99,83%

P9 [27,0 m] ESPECTRO X 0,002404 0,002392 0,002388 100,50% 100,00% 99,83%

P9 [27,0 m] ESPECTRO Y 0,002411 0,0024 0,002396 100,46% 100,00% 99,83%

P8 [24,0 m] ESPECTRO X 0,002406 0,002392 0,002388 100,59% 100,00% 99,83%

P8 [24,0 m] ESPECTRO Y 0,002544 0,002529 0,002524 100,59% 100,00% 99,80%

P7 [21,0 m] ESPECTRO X 0,002471 0,002457 0,002453 100,57% 100,00% 99,84%

P7 [21,0 m] ESPECTRO Y 0,002612 0,002599 0,002594 100,50% 100,00% 99,81%

P6 [18,0 m] ESPECTRO X 0,002291 0,002275 0,002271 100,70% 100,00% 99,82%

P6 [18,0 m] ESPECTRO Y 0,002292 0,002276 0,002272 100,70% 100,00% 99,82%

P5 [15,0 m] ESPECTRO X 0,002227 0,002211 0,002207 100,72% 100,00% 99,82%

P5 [15,0 m] ESPECTRO Y 0,00223 0,002214 0,00221 100,72% 100,00% 99,82%

P4 [12,0 m] ESPECTRO X 0,002154 0,00214 0,002136 100,65% 100,00% 99,81%

P4 [12,0 m] ESPECTRO Y 0,002161 0,002147 0,002142 100,65% 100,00% 99,77%

P3 [9,0 m] ESPECTRO X 0,002043 0,002029 0,002025 100,69% 100,00% 99,80%

P3 [9,0 m] ESPECTRO Y 0,002068 0,002054 0,00205 100,68% 100,00% 99,81%

P2 [6,0 m] ESPECTRO X 0,001899 0,001884 0,00188 100,80% 100,00% 99,79%

P2 [6,0 m] ESPECTRO Y 0,001914 0,001899 0,001895 100,79% 100,00% 99,79%

P1 [3,0 m] ESPECTRO X 0,001347 0,001339 0,001337 100,60% 100,00% 99,85%

P1 [3,0 m] ESPECTRO Y 0,001408 0,0014 0,001398 100,57% 100,00% 99,86%

BASE [0,0 m] ESPECTRO X 0,00037 0,00037 0,00037 100,00% 100,00% 100,00%

BASE [0,0 m] ESPECTRO Y 0,000321 0,000321 0,000321 100,00% 100,00% 100,00%

Sub1 [-3,0 m] ESPECTRO X 0,000103 0,000109 0,000109 94,50% 100,00% 100,00%







136



Para el caso de estructuras de doce pisos, se identifica una mayor variación

porcentual de derivas cuando se considera 12 modos de vibración (1gdl/piso –

Default) siendo más notorio en la última planta.

En las estructuras con subsuelos, la consideración de los 36 modos de vibración

(3gdl/piso) y el número de modos que indica la NEC, no representan mayor

afectación en la respuesta de derivas.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

95,00% 96,00% 97,00% 98,00% 99,00% 100,00% 101,00%

Nº

de

Pis

os




22 Modos (90% NEC)


137

CAPÍTULO V

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5. xxxx

5.1 CONCLUSIONES

5.1.1 Conclusiones Generales

• El número de modos de vibración influye en las respuestas máximas de

derivas en estructuras de hormigón armado, desarrollando una mayor

afectación al considerar un menor número de modos.

• El número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde

al número de plantas por los grados de libertad considerados, a fin de que

cumpla lo dispuesto en la normativa de diseño sismo-resistente.

• La influencia del número de modos de vibración, está en función del número

de pisos y configuración de la estructura, resultando un mayor porcentaje de

influencia en una edificación con configuración irregular.

• Los métodos de combinación modal involucran una variación en los

resultados de derivas, logrando respuestas más críticas con las

combinaciones modales “SRSS”, “NRC 10%” y “Doble Suma” y menos

críticas con el criterio de combinación modal “Absoluto”.

138

5.1.2 Conclusiones Específicas

Período de Vibración

• En el análisis del período de vibración, se observó que la estructura regular

de 3 pisos cumple sin inconvenientes la demanda de derivas, participación

modal de masas y torsión; no obstante, su período natural sobrepasa al valor

máximo de período establecido por la NEC (T > T2); con ello se demuestra

que un adecuado dimensionamiento no siempre satisface las exigencias de

diseño sismo resistente, induciendo a un sobredimensionamiento

estructural.

Modos de Vibración

• Respecto al número de modos de vibración, entre la Norma Ecuatoriana de

la Construcción (NEC-15) y el Código Ecuatoriano de la Construcción

(CEC-2000) no se observa ninguna diferencia, ya que ambas indican que

deben considerarse todos los modos que involucren la participación de una

masa modal acumulada de al menos el 90% de la masa total de la estructura.

Por otro lado, a excepción de la normativa venezolana, las normas de países

vecinos concuerdan con lo dispuesto en la NEC.

• En el análisis de la estructura irregular de tres pisos, fue necesario agregar

un modo más de vibración, para cumplir con la demanda del 90 % de

participación de masas en las direcciones principales; concluyendo que el

número de modos de vibración de una estructura no siempre corresponde

al número de pisos por los grados de libertad considerados.

• La estructura de 6 pisos con un subsuelo necesitó de 35 modos de vibración

(17 modos más que los correspondientes) para cumplir con la participación

modal. El mismo edificio modelado sin el subsuelo demandó de 17 modos

de vibración, siendo evidente la influencia del subsuelo en la definición del

número de modos de vibración que conciernen a una edificación.

Nuevamente se demuestra que el número de modos de vibración no siempre

está sujeto a la condición de estimar tres grados de libertad por cada planta

estructural.

139

• Se obtuvo el número de modos de vibración requerido para una estructura

de 12 pisos con diferente número de subsuelos (de 0 a 6 subsuelos), con la

aplicación del cortante basal en el mismo nivel para todos los edificios

(N+0,00 m), con el objeto de comprobar si un edificio con más subsuelos

requiere de un número mayor de modos de vibración, lo cual resultó ser una

suposición errada; ya que el edificio con dos subsuelos alcanza un mayor

número de modos (32), reduciéndose este conforme aumenta el número de

subsuelos.

Criterios de Combinación Modal

• El CEC-2000 establece que se utilizarán métodos de combinación modal

reconocidos por la dinámica estructural y la NEC indica que cuando se

utilicen modelos tridimensionales se combinarán los valores máximos

modales; en ambos casos, no se define el criterio de combinación a utilizar,

dejando a libre elección del diseñador el criterio que crea más conveniente.

• Haciendo un balance entre las normativas de países vecinos, la combinación

modal más empleada es la que sugiere el método del máximo valor probable

“SRSS” tomando la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada valor

modal.

• Los métodos de combinación modal empleados en el análisis involucran una

variación en los resultados de derivas, logrando respuestas más críticas con

las combinaciones modales “SRSS”, “NRC 10%” y “Doble Suma” y menos

críticas con el criterio de combinación modal “Absoluto”.

La NEC no especifica restricción alguna en el uso de combinaciones

modales, es decir, no existe ninguna objeción si se emplea el método

“Absoluto” a fin de obtener valores más bajos de derivas máximas para

satisfacer la exigencia del 2 %, pero si se desea optar por un diseño más

conservador, definitivamente el método “SRSS” o “Doble Suma” serían los

recomendados. Dicho esto, queda abierto el debate entre profesionales para

establecer la combinación modal que se tiene que utilizar en el país.

140

En cuanto a la utilización de los espectros de aceleración conforme a la NEC,

en el caso de estudio se puede manifestar lo siguiente:

• El programa ETABS (Versión 15.0.0) para la definición del espectro de

respuesta tiene una opción que permite elegir la Norma de Construcción a

la cual se rige cada país; no obstante, al seleccionar la opción “Ecuador

NEC-15”, los valores de la aceleración de la gravedad Sa (g) obtenidos por

el programa difieren a los obtenidos por los autores, específicamente cuando

los valores del período natural T superan al período límite de vibración Tc.

Cortante Basal

• Un punto de discusión fue el lugar de actuación de la fuerza de cortante

basal, pues la norma hace mención que será aplicada en la base de la

estructura, pero no especifica si se refiere a base de calzada (Nivel+0,00 m)

o a nivel de cimentación, es decir, tomando en cuenta los subsuelos en caso

de existir. Esta mención es trascendental, pues el lugar en donde esté

ubicada la fuerza de corte será el punto de partida para estimar el peso

reactivo (W), ya que a mayor peso reactivo, mayor cortante basal y mayor

número de modos de vibración para cumplir con la cuantificación de masas;

además, de garantizar la estabilidad estructural a grandes fuerzas externas,

disminuyendo el período fundamental por el sobredimensionamiento

estructural. Por otra parte, si el cortante basal es colocado a nivel 0,00 m. el

peso reactivo es menor, lo que conlleva a tener estructuras más flexibles,

más económicas pero menos resistentes a eventos sísmicos de gran

magnitud.

Influencia del número de modos de vibración

• Se ratifica que el número de modos de vibración influye en la respuesta total

de derivas; resultando un mayor valor de deriva y desplazamiento al emplear

un número menor de modos de vibración.

• La variación entre derivas empleando diferentes modos de vibración, varía

según el número de pisos y la configuración de la edificación, resultando un

mayor porcentaje de variación en una edificación con mayor número de

plantas.

141

5.2 RECOMENDACIONES

• Ante un redimensionamiento estructural para el cumplimiento de las

exigencias de período de vibración, se recomienda realizar el incremento en

vigas dado que a más de lograr la reducción de T ayuda también a minimizar

el efecto de derivas de piso; el incremento de secciones debe ir a la par con

el concepto de columna fuerte – viga débil.

• Al usar el software Etabs para un análisis dinámico de estructuras, en lo

referente al espectro de diseño, se recomienda usar un espectro calculado

por el propio diseñador, ya que el programa arroja un espectro con menores

ordenadas que el indicado por la normativa vigente, esto debido a que

EtabsV15 se rige a la “NEC-11 Capítulo 2”, la cual establece diferentes

valores en los coeficientes de perfil de suelo (Fa, Fd, Fs).

• En base al análisis modal espectral realizado se recomienda el uso de los

criterios de combinación modal Doble Suma, NRC 10% y SRSS, dado a que

alcanzan respuestas más críticas de derivas; no así resultando la menos

recomendable la combinación Absoluto.

• Previo a la entrega de un informe técnico estructural en la Entidad

Colaboradora (CAE), cerciorarse del cumplimiento del período, número de

modos de vibración, torsiones y derivas máximas, pues estos parámetros

son de mayor relevancia en la aprobación del proyecto.

142

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de Investigaciones Científicas. Escuela Politécnica del Ejército, Quito. 9 –

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tesis empastado

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