COMPORTAMIENTO DE METALES

Aproximación de la mecánica del contínuo:Los materiales son entes

contínuos, homogéneos e isótropos

Aproximación atomística:Los materiales son agregados de átomos, cuyas

propiedades son el resultado de su comportamiento estadístico

Aproximación de la mecánica del contínuo

Continuidad

El volumen del cuerpo está completamente ocupado de material, sin vacío

alguno, y los valores de las propiedades del material a través de todo el

volumen varían de manera uniforme y continua.

Homogeneidad

Cada punto del material exhibe las mismas propiedades, estructuras y otras

características del cuerpo.

Isotropía

Los valores de las propiedades en cualquier punto del cuerpo son

independientes de la dirección en que se midan. Caso contrario el material es

anisótropo.

Ortotropía : característica de un material según la cual exhibe simetría en tres planos perpendiculares entre sí.

Fuerzas

En un material de masa m que ocupa un volumen V limitado por una superficie S

existen fuerzas corporales y fuerzas superficiales

La fuerza corporal b, como la fuerza gravitatoria, la magnética, la eléctrica, el

potencial químico, etc., actúa en cada partícula del cuerpo y se expresa en

unidades de fuerza por unidad de masa. Entonces para un volumen V la fuerza

corporal R viene dada por

La fuerza superficial t, como la presión hidrostática, la presión atmosférica, la

tensión superficial, etc., actúa sobre cualquier superficie real o virtual del cuerpo.

Su valor viene definido como un límite. Si sobre un elemento de superficie S con

un vector unitario normal n, actúa una fuerza F, entonces la fuerza por unidad

de superficie es F/S. Si S 0, dicho cociente, según Cauchy, tiende hacia

un límite conocido como el vector esfuerzo t(n) dado por:

El signo de t(n)depende de n

t(– n) = – t(n) (3)

)1(dV.V

b.R

(2)SSΔ

Δlímite )(0ΔS

FFnt

Estado de tensiones en un punto

La fuerza en un punto cualquiera de un sólido es una fuerza superficial. La

dirección y el sentido en que actúa dicha fuerza superficial depende del plano

donde actúa. Puesto que es un plano de área unitaria su dirección podemos

defininirla por su vector ortonormal representado por n. Según Gauss para definir

la fuerza sobre cualquier plano de dirección n se requiere conocer las fuerzas de

tres planos no coplanares que pasan por dicho punto. Para nuestra definición

serán los planos cartesianos. El conjunto de fuerzas sobre dichos planos

cartesianos se conoce como estado de tensiones en un punto.

Luego si designamos por i es el esfuerzo que actúa en el plano perpendicular al

eje cartesiano Xi, el estado de tensiones viene dado por

Estado de tensiones = {1,2,3} (1)

Si descomponemos cada uno de los esfuerzos i a lo largo de los ejex Xi

Esfuerzo Componente según X1 Componente según X2 Componente según X3

1 11 12 13

2 21 22 23

3 31 23 33

Entonces {1} puede representarse por

Estado de tensiones =

332313

322212

312111

(1.1)

Si un plano de área unitaria que pasa por el punto en cuestión tiene como vector

ortonormal n = {n1,n2,n3], entonces el vector esfuerzo {fuerza por unidad de

superficie} t = {t1,t2,t3} es igual a

(2)

ti = ijnj

donde

ij =

332313

322212

312111

(3)

es una aplicación lineal de n en t

Propiedades del tensor esfuerzo

Resumiendo el tensor esfuerzo cumple todas las propiedades de una matriz y

además cumple con las propiedades de equilibrio

Equilibrio cinemático

Simetría, es decir ij = ji

ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE EQUILIBRIO CINEMÁTICO

Coordenadas Cartesianas

0

0

0

3

2

xρbρxσ

xσ

xσ

xρbρxσ

xσ

xσ

xρbρxσ

xσ

xσ

33

33

2

32

1

31

23

23

2

22

1

21

113

13

2

12

1

11

Coordenadas Cilíndricas (ver figura)

Coordenadas Esféricas (ver figura)

0bσr

1

zσ

φσ

r

1

rσ

0bσr

2

zσ

φσ

r

1

rσ

0brσσ

zσ

φσ

r

1

rσ

zrzzzφzrz

φrφφzφφrφ

rφφrrrzrφrr

0br

θ)cotσσ(σ3

θσ

r1

φσ

θrsen1

rσ

0br

cotσ2σ3

θσ

r1

φσ

θrsen1

rσ

0br

θcotσσσσ2

θσ

r1

rsen1

r

θφφθθrθθθφθrθ

φφθrφφθφφrφ

rrθθθφφrrrθrrr

UNIDADES DE ESFUERZO

Unidad bar kilobar dinas/cm2 atmósfera kg/cm2

bar 1.0 103 106 0.9869 1.0197

kilobar 103 1.0 109 0.9869x103 1.0197x103

dinas/cm2 106 104 1.0 0.9869x106 1.0197x106

atmósfera 1.0133 1.0133x103 1.0133x106 1.0 1.033

kg/cm2 0.9807 0.9807x103 0.9807x106 0.9807 1.0

lbs/pulg2 6.895x102 6.895x105 6.895x104 6.895x102 7.031x102

Pascal 105 108 10 0.9869x105 1.0197x105

MegaPascal 10 102 107 9.869 10.197

GigaPascal 104 10 1010 0.9869x104 1.0197x104

SISTEMA IS

Magnitud Unidad

Fuerza

Presión

Energía

Potencia

Newton(N) = kg m s2

Pascal(Pa)= N m2

Joule(J) = N m

Watt(w) = J s1

Esfuerzos Principales

Conocido el estado de tensiones o ij en un punto podemos calcular el esfuerzo

t={t1,t2,t3} para cualquier plano que pase por el punto.

nσ jijti (2)

.

Veamos el caso particular en que t = {t1,t2,t3} y n = {n1,n2,n3} resulten paralelos.

Entonces tenemos

t = n (4)

Pero (2) = (4)

ijnj = ni (5)

pero como ni = ijnj sustituyendo en (5)

nj(ij - ij) = 0 (6)

Desarrollando (6)

n1(11 - ) + n212 + n313 = 0 (6.1)

n121 + n2(22 - ) + n323 = 0 (6.2)

n131 + n232 + n3(33 - ) = 0 (6.3)

Tenemos un sistema de ecuaciones homogéneas con incógnitas nj y parámetro

que tendrá soluciones no triviales nj 0 si el determinante de los coeficientes es

cero

= ij - ij = 0 (7)

σσσσ

σσσσ

σσσσ

3231

232221

131211

33

= 0 (7.1)

cuyo desarrollo conduce a una ecuación de tercer grado

3 – I12 + I2 - I3 = 0 (8)

donde

I1 = 11 +22 +33 = traza = ii (8.1)

I2 = σσ

σσ

σσ

σσ

σσ

σσ

2221

1211

3331

1311

3332

2322 = 21

(iijj - ijij) (8.2)

I3 =

σσσ

σσσ

σσσ

333231

232221

131211

(8.3)

Los coeficientes Ij se conocen como invariantes de estado por ser magnitudes

tensoriales independientes del sistema de referencia que se emplee. Esta

ecuación admite tres raíces reales para que designaremos como 1, 2 y 3 y

que se conocen como esfuerzos principales. Estos esfuerzos son por

consiguientes colineales con los vectores n que se les conoce como direcciones

principales y cuyos planos perpendiculares son los denominados planos

principales.

Para determinar las direcciones principales n

se van sustituyendo sucesivamente

las raíces i en la ecuación (4) y se resuelve son la condición adicional de la ley

de los cosenos directores

nini = n12 + n2

2 + n32 = 1 (9)

Se demuestra que las direcciones principales y por consiguiente los esfuerzos

principales son perpendiculares entre sí. Esta propiedad nos permite utilizar las

direcciones principales como otro sistema de referencia con la ventaja que la

representación del tensor esfuerzo se simplifica.

En efecto si en un punto P de un material continuo el estado de tensiones

referido a un sistema de referencia xi es ij dada por

ij =

σσσ

σσσ

σσσ

333231

232221

131211

(3)

el mismo tensor ij referido a un sistema formado por las direcciones principales

123 es

ij =

σ00

0σ0

00σ

3

2

1

(10)

Tensor Esfuerzo esférico o Hidrostático y Tensor Esfuerzo Desviador o de

Corte

M

M

M

M

M

M

00

00

00

333231

232221

131211

333231

232221

131211

donde

33

332211 kkM

=

M

M

M

00

00

00

; M =3kk

=

M

M

M

333231

232221

131211

Componente de Corte o Desviador

Componente esférico o Hidrostático

= 3

kk

ijij

Tensor Efectivo o Equivalente E o

Referido a un sistema OX1X2X3

2

31223

2121133

2

3322

2

2211

23

21

E

Referido a un sistema de direcciones principales

23

22

21

21

E

Para un estado hidrostático puro

= 0

Para un estado corte puro

=

Componente de Corte o Desviador

Estado plano de tensiones

Existen ciertas formas geométricas que simplifican su tratamiento matemático.

Tenemos dos casos particulares

Cuerpos de espesores muy delgado (una de las dimensiones es muy pequeña

en relación a las otras dos) en donde se presenta los denominados estados

plano de tensiones

Cuerpos de gran longitud como los hilos (una dimensión muy grande en

relación a las otras dos) en donde se presenta los denominados estados plano

de deformaciones.

Un estado plano de tensiones se caracteriza porque los esfuerzos existentes son

todos paralelos a un plano dado. Por ejemplo si se tiene una lámina delgada

cargada y orientada perpendicularmente al eje xi, se desarrolla un estado de

tensiones en donde todos los componentes del tensor esfuerzo con subíndice “i”

se anulan. Esto puede comprenderse en las ilustraciones siguientes

Esfuerzos de corte:Valores extremos

Conocidas las direcciones principales se obtienen los correspondientes esfuerzos

de corte de valores extremos siguientes

Esfuerzos de corte mínimo

s n1 n2 n3

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Esfuerzos de corte máximo

s n1 n2 n3

1 22

1

√2

1

√2

0

2 32

0 1

√2

1

√2

3 12

1

√2

0 1

√2

En el espacio de esfuerzos principales los planos de corte mínimo corresponden a

las caras de un paralelepípedo mientras que los planos de corte máximo

corresponden a los planos diagonales o bisectrices a los ejes principales que

definen un rombododecaedro.