Introducción a la noción de esfuerzo.

El tensor de esfuerzos.

¿Porqué pueden efectuar el rescate los rescatistas sin romper el hielo?

Existen dos tipos principales de fuerzas en un contínuo: 1.  Fuerzas de cuerpo. Actúan en cualquier parte del cuerpo y son

proporcionales al volúmen o a la masa.

2.  Fuerzas de superficie. Si imaginamos que quitamos el material que está afuera del volúmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son proporcionales a cada elemento de superficie

El concepto de Tracción

F = fuerza ejercida por el material que se encuentra afuera de V n = normal al elemento de superficie dS

La tracción sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por u. de área) con la que las partículas de un lado de una superficie actúan en las partículas del otro lado. Ojo: En un sólido, T no necesariamente es paralela a n

La tracción se define entonces como:

Notar que la tracción tiene la misma orientación que la Fuerza y es función de la normal que define la superficie

O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto dependiendo del plano de interacción. En general tenemos un número infinito de tracciones una para cada posibilidad de plano. Entonces ¿qué hacemos?

Ahora consideremos estos casos

es el vector tracción actuando en la superficie cuya normal es positiva en la dirección êj

El tensor de esfuerzos σji

Las filas del tensor son los tres vectores de tracción. El esfuerzo entonces es la fuerza por unidad de área que el material afuera (hacia adonde apunta ň) de la superficie ejerce en el material adentro.

Tj(i) ;

i = normal al plano donde actúa T j = componente de T

Tracciones en las caras de un paralelepípedo orientado con los ejes coordenados.

La tracción no necesariamente es perpendicular (ortogonal) al plano en que actúa.

Por medio del balance de tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con tres caras ortogonales en las direcciones de los ejes coordenados podemos encontrar la tracción en un plano con una inclinación arbitraria. Notar que las tracciones en las caras ortogonales, compensan a la tracción en la cara inclinada.

Tracciones    en  las  caras  de  un  tetrahedro  orientado  con  los  ejes  coordenados.  

Consideremos  la  geometría  del  siguiente  tetrahedro  orientado  con  los  ejes  coordenados  para  hacer  un  balance  de  fuerzas.  

Las  cantidades  relevantes  son  las  siguientes:      ρ  =  densidad    F  i  =  fuerza  de  cuerpo  por  unidad  de  masa  en  la  dirección  i    a  i=  aceleración  en  la  dirección  i    h  =  altura  del  tetrahedro  (perpendicular  al  triángulo  ABC),  o  sea  distancia  oN.    ΔS  =  área  de  la  superDicie  oblicua  ABC    T  I  =  la  componente  del  vector  tracción  en  la  superDicie  oblícua  en  dirección  i  

Balance  de  Fuerzas    Consideremos  el  balance  en  la  dirección  1  Las  barras  sobre  la  variable  indican  promedio  sobre  la  superDicie  o  el  volumen.    Las  caras  ortogonales  son  las  proyecciones  de  la  cara  oblicua  sobre  cada  uno  de  los  planos  coordenados  (multiplicando  por  los  componentes  de  la  normal).      

Dividimos  sobre  ΔS      

Permitimos  que  h  tienda  a  cero  en  tal  manera  que  las  superDicies  y  volumen  del  tetrahedro  tiendan  a  cero  manteniendo  su  orientación.  Las  fuerzas  de  cuerpo  y  la  masa  tienden  a  cero,  quedando:        

Haciendo  el  mismo  procediemiento  en  las  otras  dos  direcciones  obtenemos  la  ecuación  de  Cauchy      

Esta  ecuación  se  puede  escribir  con  diferentes  notaciones:      

Pero  en  todos  los  casos  lo  importante  es  notar  que  podemos  encontrar  la  tracción  (sus  componentes)  en  cualquier  superDicie  multiplicando  un  operador  de  valores  de  esfuerzo  para  los  planos  coordenados  (el  tensor  de  esfuerzos)  con  la  normal  a  la  superDicie  (que  nos  da  la  orientación).      

El Tensor de esfuerzos está definido como:

Tener cuidado con la notación en los textos, T(1) ≠ T1

El tensor de esfuerzos es simétrico:

σij = σji

El Tensor de esfuerzos nos da la Tracción que actúa en cualquier superficie dentro del medio que nos interesa. Por ejemplo, los componentes de la Tracción en un elemento arbitrario de superficie dS cuya normal n no es paralela a ningún eje, se encuentra multiplicando los elementos correspondientes del tensor de esfuerzos por los cosenos directores de la normal al área donde actúa y sumando el resultado.

Esto nos da cada componente de T , i = 1…3

Notar que es la transpuesta de σij, pero como es simétrico, no importa

Esfuerzos normales: σ11, σ22, σ33 Esfuerzos de corte o cizalla: σ12, σ21, σ13 , σ31, σ23, σ32 o también τ12, τ21, τ13 , τ31, τ23, τ32

Sobre la convención de signos en los componentes del tensor de esfuerzos

Esfuerzos normales: Los que producen tensión son positivos. Esfuerzos de corte: Si pensamos en un elemento cúbico, la dirección positiva de los esfuerzos de corte corresponde a la dirección positiva del eje si el esfuerzo de tensión que actúa en la cara está en la dirección positiva del eje coordenado (cara positiva). Si el esfuerzo de tensión tiene una dirección opuesta a la dirección positiva del eje coordenado entonces la dirección positiva del esfuerzo de corte es opuesta.

Sobre la convención de signos en los componentes del tensor de esfuerzos

NOTA: En el caso del círculo de Mohr la convención puede ser diferente. La dirección positiva de los esfuerzos de corte corresponde a aquellos esfuerzos que tienden a crear una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.

El torque de este par

Queda contrarrestado por el torque de este par

¡ Pero todas estas tracciones son positivas !

Simetrías por las cuales podemos no tomar en cuenta todos los componentes.

Siguiendo la convención de signos los esfuerzos de corte positivos en las caras visibles del cubo de la figura coinciden con la dirección de los ejes coordenados. Pero en las caras ocultas estarían al revés. El equilibrio de momentos (torques) se usa para reducir el número de componentes independientes del esfuerzo, de manera que sólo nos quedan 6.

Trataremos ahora de ver cómo podemos manipular estas ecuaciones. En algunos casos lo que vamos a requerir es el esfuerzo normal y el de cizalla en un plano dado, conociendo el tensor de esfuerzos.

Lo que teníamos se conoce como la Ecuación de Cauchy, nos da los componentes del vector tracción:

Si escribimos el vector tracción como

La tracción (pensemos: esfuerzo) normal al plano de interés está dada por la proyección del vector tracción a la normal al plano (es decir el producto punto):

Lo que nos resulta en:

Componente Normal de la Tracción

Expandiendo y considerando la simetría del tensor de esfuerzos:

El esfuerzo de corte sobre el plano se puede encontrar simplemente por trigonometría :

Lo que resulta en:

Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema coordenado en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser expresados en otro sistema coordenado por medio de la transformación:

De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la transformación matricial:

Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x1 y x2 sometido a sólo esfuerzos normales σ1 y σ2, de forma que el tensor es diagonal:

Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos de forma que

Por ejemplo, si σ1 = 1 y σ2 = -1 y θ = 45°:

Es decir, el estado de esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo esfuerzos normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos de corte:

Notar que lo que hicimos fue únicamente rotar el sistema de ejes coordenados, 45˚ en este caso.

Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar un sistema de ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales (¡eliminamos los esfuerzos de corte!). A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama ejes de esfuerzos principales. Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del álgebra vectorial (búsqueda de valores y vectores principales). Para este caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las normales de las caras definidas por los ejes coordenados del sistema que buscamos, esto lo podemos expresar como:

(Fijarse que sólo varían por un factor de escala):

Para que esta ecuación se pueda satisfacer para el caso no-trivial (de que los valores sean cero) se requiere que el siguiente determinante sea igualado a cero (esto nos va a dar la ecuación normal que define los valores característicos):

Esta ecuación se puede re-escribir como:

Las componentes de son los vectores principales del tensor de esfuerzos (ejes de esfuerzos principales) y los valores λ , asociados a cada eje, nos dan las magnitudes de los esfuerzos principales. La ecuación (determinante igualado a cero) para encontrar estos valores puede escribirse como: donde las I´s son los llamados “invariantes” del tensor de esfuerzos. Se llaman así porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema de referencia.

Los Invariantes están definidos por:

Los esfuerzos principales tienen una magnitud dada por los valores principales y se pueden encontrar las tres superficies perpendiculares en las cuales NO HAY ESFUERZOS DE CORTE.

En el nuevo sistema el estado de esfuerzos queda definido como

= 0

Ejercicio: Si los invariantes están dados por: ¿Cuáles serían los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?

Se pueden encontrar las direcciones de un plano para el cual existe el máximo esfuerzo de corte (problema de máximos y mínimos entre el esfuerzo de corte contra el ángulo del plano). Para dicho plano el valor del esfuerzo máximo de corte (notar que no depende de σ2) es:

Es decir, los cosenos directores de un plano a 45º de i y j, siendo i y j las direcciones de los esfuerzos principales.

Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45º de las direcciones (ejes) de los esfuerzos principales máximo y mínimo. Si las direcciones de los ejes del máximo y mínimo esfuerzo principal son (1,0,0) y (0,0,1), los planos del máximo esfuerzo de corte serían:

Sin embargo, debido a la cohesión de los materiales geológicos, la ruptura ocurre generalmente a planos más cercanos a las dirección del eje σ1 . Aproximadamente a 25º

La fractura ocurriría aquí

Falla normal

Vista de lado Vista de planta

El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el plano de máximo esfuerzo de corte es a 45º de los esf principales.

Falla inversa

Falla de rumbo

Definimos el Esfuerzo Promedio como:

Y el Esfuerzo desviador o deviatórico:

Condición Litostática:

Para una prueba triaxial de laboratorio tendríamos

Por lo que el esfuerzo desviador nos queda:

Lo cual explica porqué se usa la diferencia σ1 – σ3 como parámetro de esfuerzo

O sea que a 3 km llegamos prácticamente a un kbar de presión

•  Al esfuerzo deviatórico (o desviador) también se le pueden obtener sus valores y vectores característicos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma orientación que los del tensor original

•  Si tenemos esfuerzos litostáticos (igual al peso de la columna de roca) recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kPa = 1 bar (por ejemplo una llanta se infla a ~ 200 kPa que son 2 bar).

Entonces a una profundidad de 3 km en la corteza tenemos: P = - ρ g z = -(3 x 103 kg m-3 )(9.80 m seg-2)(3 x 103 m) ≈ -90 x 106 Pa = -90 MPa ( o sea 0.9 kbar)

Tarea. Correr las rutinas de matlab tomadas del libro de Pollard y Fletcher (cap.6). : • stresshole.m (cálculo de esfuerzos alrededor de un agujero circular) y • stressdisk.m (cálculo de esfuerzos en un disco de cierto grosor cargado en las orillas por tracciones compresivas puntuales) y analizar las ecuaciones utilizadas.