capÍtulo 3: el tensor de deformaciÓn

CAPÍTULO 3: EL TENSOR DE DEFORMACIÓN

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2008/2009

CAPÍTULO 3:EL TENSOR DE DEFORMACIÓNCAPÍTULO 3:CAPÍTULO 3:EL TENSOR DE DEFORMACIÓNEL TENSOR DE DEFORMACIÓN

1. Concepto de desplazamiento y deformación.

2. Deformación en el entorno de un punto.

3. Significado físico del tensor deformación y de la matriz de giro.

4. El vector deformación. Componentes intrínsecas.

5. Correlación entre el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones.

6. Tensor esférico y tensor desviador.

7. Ecuaciones de compatibilidad.

8. Obtención del vector desplazamiento a partir del tensor de deformación

9. Tensión plana




Q’

P(x,y,z)

P’

rd

dz

dy

dx

=

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

δ

δδ d+

δ

δd

rd

'dr

Desplazamientos en el entorno de un punto: Deformación

2DYa es sabido que los puntos de un sólido sometidos a unas solicitaciones sufren una variación de posición en el espacio.

El vector que una las posiciones inicial y final de un punto es el vector desplazamiento.

Sus componentes son los desplazamientos o recorridos.

wvup ,,=δr

La deformación puede ser de dos tipos:

LINEAL que representa el alargamiento lineal unitario y

ANGULAR que representa la variación angular.

La deformación lineal es propiedad del punto y de la dirección respecto de la que se está calculando el alargamiento.

La deformación angular es propiedad del punto y de las dos direcciones que forman el ángulo considerado.




P(x,y,z)P’(x+u,y+v,z+w)w

v

u

=dz

dy

dx

dr

Q(x+dx,y+dy,z+dz)

rd'dr

P’

P(x,y,z)

Q’

w

v

u

v+dv

u+du

w+dw

δ

δδ d+

3D


Si dos puntos P y Q de un sólido elástico están infinitamente próximos los

desplazamientos de ambos serán similares.

Luego pueden desarrollarse en serie de Taylor las componentes del vector

desplazamiento del punto Q en torno a P.

(esto es similar a lo que se hizo con el tensor de tensiones)




P(x,y,z)P’(x+u,y+v,z+w)w

v

u


3D

QQ’

Por tanto, el desplazamiento de Q será:

Que puede representarse matricialmente así:

donde esta matriz puede notarse como M:

que, por ser una matriz cuadrada, puede descomponerse en una matriz

simétrica y otra antisimétrica:

El primer sumando es el tensor de deformaciones y el segundo la matriz de

giro

Los vectores desplazamiento de P y Q son:kwjviukwjviu QQQQpppp

rrrrrr++=++= δδ ;




x

y

dx

dy

Significado físico del TENSOR DE DEFORMACION y de la MATRIZ DE GIRO

TENSOR DE DEFORMACION

secuencia de deformación de un cuadrilátero elemental

Análogamente se define la matriz de giro, cuya diagonal es cero




dx

dy

x

y

dxxu

u∂∂+u

x

y

significado físicoLa secuencia anterior puede analizarse

descomponiéndola en tres fases:

1.- Desplazamiento según OX de todo el sólido (+deformación)

2.- Desplazamiento según OY de todo el sólido (+deformación)

3.- Giro

DESPLAZAMIENTO SEGÚN OX:

Si el desplazamiento de A y B es u, el de C y D puede obtenerse desarrollando en serie en torno al origen, y considerando

sólo la variación según X

A

B

C

D

En la dirección del eje OX la deformación que se obtiene es:

que es el término εxx del tensor de deformaciones.

l

l∆=ε

( )x

u

dx

udxx

uu

dx

dx

δδδ

δ

=−+

=∆

Recordando la definición de deformación lineal:




dx

dy

x

y

dyyv

v∂∂+

v

x

y

significado físico

DESPLAZAMIENTO SEGÚN OY:

Si el desplazamiento de B y D es v, el de A y C puede obtenerse desarrollando en serie en torno al origen, y considerando

sólo la variación según Y.

(lo mismo que en el caso anterior)

A

B

C

D

En la dirección del eje OY la deformación que se obtiene es:

que es el término εyy del tensor de deformaciones.

l

l∆=ε

( )y

v

dy

vdyy

vv

dy

dy

δδδ

δ

=−+

=∆

Recordando la definición de deformación lineal:




dx

dy

x

y

v=∂∂+

∂∂+ )dx

xu

dx(xv

v

=

∂∂+

∂∂+= dx

xu

1xv

v

dxxv

v∂∂+=

desp.

=

∂∂+

∂∂+=

∂∂+

∂∂+ dy

yv

1yu

udyyv

dyyu

u

u

dyyu

u∂∂+= desp.

x

y

significado físico

GIRO:

Aquí se puede apreciar la variación del ángulo; de modo que el ángulo inicial BAC de 90º se transforma a 90º+α-β

(ahora ya no hay cambio de tamaño)

A

B

C

D




dx

dy

x

y

vdxxv

v∂∂+

u

dyyu

u∂∂+

α

β

x

y

significado físico

Puede apreciarse que α=δv////δx; como entre A y B hay una variación de la coordenada x, si se desarrolla en serie el desplazamiento en torno al punto A, para hallar el desplazamiento de C

sólo influirá la variación con el eje x.

El desplazamiento, según el eje y, de C será v+δv////δx, pues v es el desplazamiento de A, por

tanto:

αδδδ

δ

α ≅=−+

=x

v

dx

vdxx

vv

tanesto es así porque, como las deformaciones son pequeñas, los ángulos serán pequeños, con lo que la tangente se asimila al ángulo.

A C

BD

el mismo razonamiento sirve pata determinar que β=δu////δy




α

β

x

y

ωδ

δπ/4

π/4

4π=ω−δ+α

4π=ω+δ+β

De modo que la variación del ángulo de deformación es α+β=δv////δx+δu////δy = γ

expresión que es el doble del término εxy o εyx (recuérdese que en el tensor de deformación se ha definido la deformación tangencial εxy como la mitad del ángulo girado en la

deformación del sólido), de modo que se verifica esta identidad.

Por este motivo, en ocasiones el tensor de deformación se escribe así:

zyzxz

yzyxy

xzxyx

εγγ

γεγ

γγε

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

SIGNIFICADO FISICO DE LAS COMPONENTES DE LA MATRIZ DE GIRO

Para determinar el giro de una sección se considerará el giro de la bisectriz del ángulo que,

antes de la deformación, era de 45º con la horizontal.

La bisectriz, debido al efecto del ángulo α, girará α/2, y debido a β, girará β/2, con lo que el giro total de la sección será de ½�(δu/δy-δv/δx), expresión

que coincide con el término hyx de la matriz de giro.

Por tanto las componentes de la MATRIZ DE GIRO representan el giro del prisma elemental en cada

plano coordenado. Este hecho justifica su denominación.

[ ]

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

hhh

hhh

hhh

H




SIGNIFICADO FISICO. COMPONENTES INTRINSECAS

Recordando la relación entre el desplazamiento relativo de dos puntos infinitamente cercanos con el tensor de

deformación y la matriz de giro,

el segundo término término, que consituyela matriz de giro, representa el giro como sólido rígido de un punto respecto a otro y el término que depende de la deformación

será:

donde dr es el vector de posición.

Dividiendo por el módulo del vector de posición se obtiene la expresión inicial del

vector deformación. De modo que el vector deformación expresa la variación

de una dirección en el proceso de deformación.

Esa variación puede descomponerse en una variación de longitud (componente normal) y en una variación angular

(componente angular).

[ ] rddrrr

⋅= εδ

( ) angular

normaln

nt

n

→−=⋅=

→⋅=

22

2

1 εεγε

εεr

rr

P

P’

Q

rd

Q’

δ

δd

'dr

Del mismo modo que se definió un vector tensión puede definirse un vector deformación, asociado a un punto y a una dirección.

Este vector deformación puede obtenerse a partir del tensor de deformación, asociado a un punto, y de la normal al plano a partir de

esta expresión:

[ ] nrrr

⋅= εε

rd

δd

'dr

rd21γξ

rdn

rε+1




•Tensor simétrico

n,σ τ

I II III, ,σ σ σI II III, ,η η η

2 2 2

2 2 2I II III

x y z1+ + =

σ σ σ

oct1I 3σ =

oct 22 21 29 3I Iτ = −

O octIσ = σ%% D octIσ = σ − σ

%% %

1 x y z I II IIII = σ + σ + σ = σ + σ + σ

2 I II I III II III2 2 2

x y x z y z xy xz yz

I = σ σ + σ σ + σ σ == σ σ + σ σ + σ σ − τ − τ − τ

3I det( )= σ%

•Componentes intrínsecas

•Elipsoide de Lamé

•Circulos de Möhr

•Tensiones y direcciones principales

TENSIÓ

N

•Invariantes

•Tensiones octaédricas

•Tensión plana

•Tensor esférico y desviador

•Tensor simétrico

ε γ1n 2,

ε ε εI II III, ,η η ηI II III, , ,, ,

+ + =ε ε ε

2 2 2

2 2 2I II III

x y z1

ε =oct1J 3

τ = −oct 21 2 21 22 9 3J J

O octIε = ε%%D octIε = ε − ε

%% %

= ε + ε + ε = ε + ε + ε1 x y z I II IIIJ

= ε ε + ε ε + ε ε == ε ε + ε ε + ε ε − ε − ε − ε

2 I II I III II III2 2 2

x y x z y z xy xz yz

J

= ε%

3J det( )

•Componentes intrínsecas

•Elipsoide de Lamé

•Circulos de Möhr

•Deformaciones y direcciones principales

DEFORM

ACIÓN

•Invariantes

•Deformaciones octaédricas

•Deformación plana

•Tensor esférico y desviador













9. Tensión plana




x

y

z

dx

dz

dy

Incremento unitario de volumen

( )x1dx ε+

( )z1dz ε+

( )y1dy ε+

Un invariante de un tensor es un valor del mismo que permanece inalterable si cambia el sistema de referencia.

Supóngase que el prisma de la figura se ha deformado alargándose o acortándose en cada dirección del espacio.

El alargamiento que sufren las tres direcciones en el espacio será:

( ) ( ) ( ) dzdzdydydxdx zyx ⋅=∆⋅=∆⋅=∆ εεε ;;

Consecuentemente, el incremento de volumen del sólido será:

( )

dzdydx

VVV

xyxzy

zxyxzyx

inicialfinal

⋅⋅⋅⋅+⋅+

+⋅+⋅+++=

==−=∆

)

(

...

εεεεεεεεεεεε

Pero los dobles y triples productos de infinitésimos son despreciables, por lo que

la expresión queda reducida a:

( ) dzdydxV zyx ⋅⋅++=∆ εεεEn el caso de que el incremento de volumen

fuese unitario el producto dx�dy�dz=1, por lo que su valor sería igual al primer invariante del tensor

de deformaciones.

Por otra parte se ha enunciado que el tensor esférico dependía únicamente del primer invariante; y se acaba de ver que el primer invariante del tensor de deformaciones representa un cambio

unitario de volumen, luego se demuestra que el tensor esférico se relaciona, únicamente, con un cambio de volumen del sólido.




Matemáticamente, todo campo de deformaciones debe mantener la continuidad del sólido. Y para que un sólido deformado sea continuo, ha de verificar una serie de condiciones derivadas de las expresiones

escritas arriba a la derecha.

Hasta ahora se ha demostrado la existencia de un tensor de

deformaciones que, a partir del campo de desplazamientos, permite conocer un campo de deformaciones mediante la aplicación de las expresiones del

mismo (a la derecha del todo)

zyzxz

yzyxy

xzxyx

εγγ

γεγ

γγε

2

1

2

12

1

2

12

1

2

1

x

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

xzyzxy

zyx

δδ

δδγ

δδ

δδγ

δδ

δδγ

δδε

δδε

δδε

+=+=+=

===

Por tanto, el conocimiento de un campo de desplazamientos que en cada punto tome un sólo valor y continuo conduce a la determinación de un campo de

deformaciones, mediante la aplicación de las expresiones anteriores; pero,… ¿cualquier tensor de

deformaciones lleva asociado un campo de desplazamientos, o es necesario que se verifiquen

algunas condiciones adicionales?

Puede enfocarse esta cuestión suponiendo que cada punto del sólido es un paralelepípedo elemental al que se asocia un

tensor de deformaciones.

Si el sólido se deforma se deformarán cada uno de esos infinitosparalelepípedos; las deformaciones serán compatibles si,

después de haberse efectuado, esos infinitos paralelepípedos se pueden montar como un inmenso rompecabezas, y no lo

serán si tras la deformación no pueden montarse.

De modo que, haciendo las derivadas parciales

segundas de las deformaciones:

Se observa que:

Que es la ECUACION DE COMPATIBILIDAD en el plano XY

Considerando los tres ejes se obtienen otras dos ecuaciones




El proceso de determinación del resto de ecuaciones continúa del siguiente modo: De estas tres expresiones se

suma la primera con la segunda, se le resta la tercera y se divide el resultado entre dos. El segundo término de la expresión obtenida se obtiene derivando εx respecto de y y de z, con lo que se obtiene la CUARTA ECUACION DE

COMPATIBILIDAD:Y de modo similar se obtienen la QUINTA Y LA XEXTA:

RESUMIENDO:

Por tanto se ha demostrado, no sin cierta pericia matemática, que si las deformaciones llevan asociados unos desplazamientos univaluados (que en cada punto toman un solo valor) y continuos, existen unas condiciones adicionales (estas seis ecuaciones de compatibilidad) que han de verificarse

necesariamente.

Del mismo modo puede demostrarse que si las deformaciones cumplen las ecuaciones de compatibilidad, éstas

son suficientes para obtener un campo de desplazamientos univaluado y

continuo.




El procedimiento deductivo es similar a los anteriores; deducir lo

que ocurre en un punto infinitamente próximo a otro considerado, desarrollando en serie las expresiones de partida.

En concreto, para este caso, se supondrá que se conoce el tensor de deformaciones compatible y se desean conocer las componentes del

desplazamiento de un punto; se sabe que las componentes del desplazamiento de un punto infinitamente cercano, separado de éste un

vector (dx,dy,dz), al punto (x0,y0,z0) son (se escribe sólo la primera):

( ) ( ) ( ) ( )dzhdyhdxzyxuzyxu xzxzxyxyx +++++= εεε000 ,,,,

( ) ( )

( ) ( ) ( )∫∫∫

∫∫∫

+++++=

=+++=

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

000

000111

,,

,,,,

P

P

xzxz

P

P

xyxy

P

P

x

P

P

P

P

P

P

dzhdyhdxzyxu

dzz

udy

y

udx

x

uzyxuzyxu

εεε

δδ

δδ

δδPara conocer las componentes

del vector desplazamiento de un punto cualquiera, de coordenadas

(x1,y1,z1), hay que integrar la expresión anterior:

El desarrollo de la expresión exige la integración por partes de las

componentes de la matriz de giro; se desprecian los infinitésimos de segundo orden, se agrupan términos, se simplifica y, finalmente, resulta la componente des desplazamiento según la coordenada x a

partir del tensor de deformaciones:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )dzzzxz

dyzzxz

dxzzxz

dzyyxy

dyyyyx

dxyyxy

zzhdzdydxuu

P

P

zxz

P

P

yzxy

P

P

xzx

P

P

xyxz

P

P

xyyP

P

xyx

P

P

P

xyxz

P

P

xy

P

P

x

11

11

11

100

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

]

−⋅

−+−⋅

−+

+−⋅

−+−⋅

++

+−⋅

+−+−⋅

−+

++⋅++++=

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫∫

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

δδε

εεε

Análogo procedimiento permite obtener el resultado para las otras dos componentes en el espacio (v y w)

De modo que se habrán determinado tres expresiones que permiten conocer el desplazamiento dededede un punto cualquiera conocidos el desplazamiento enenenen otro punto cualquiera, la matriz de giro y el tensor de deformaciones en todo el dominio.













9. Deformación plana




Existen determinados problemas que se pueden representar por un tensor de deformaciones de

segundo orden; son los problemas de DEFORMACION PLANA.

En este tipo de situaciones la deformación según la dimensión mayor es nula: suponiendo que en esa dirección se establezca el eje OZ serían nulos los

términos εx, γxz y γyz, luego el tensor de deformación se puede reducir a:

[ ]

=yxy

xyx

εγ

γεε

2

12

1r

Físicamente estos problemas responden a sólidos en los que una dimensión es mucho mayor que las otras dos y las fuerzas se encuentran aplicadas

según esas dos dimensiones menores.

capÍtulo 3: el tensor de deformaciÓn

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