El  Tensor  de  Deformación,    con3nuación  

Habíamos escrito El Tensor de Deformación de forma general como:!

Sin embargo, en nuestro caso (y en muchos otros) estaremos tratando con deformaciones muy pequeñas, por lo que podemos despreciar el tercer miembro de la ecuación (son términos de segundo orden, o multiplicaciones de diferenciales) de manera que:!

Ahora bien, los subíndices son “mudos” y no importa cómo los denominemos (i, j, k, l, pedro o lupe), mientras seamos congruentes en lo que significan.!!Además, para no confundir los desplazamientos con los elementos del tensor (la notación anterior es la del libro de Landau y Lifshitz) , cambiemos el nombre, así que podemos re-escribir el tensor de deformación :!

Veamos nuevamente alguna propiedades de las diferenciales involucradas en este tensor.!Recordemos que una diferencial parcial, no es otra cosa que la variación de una función con respecto a una de las coordenadas (o variable dependiente).!

Para poder describir la deformación usamos vectores de desplazamiento:!

La diferencial δui la podemos descomponer en dos partes, si sumamos y restamos :!

Al hacer esto estamos en efecto desacoplando la parte de deformación rígida (ωij) de la de distorsión (eij). ¿reconoces alguna parte de la ecuación?!

Cambio en el desplazamiento con respecto al eje xj !

Desplazamiento del punto x !

La parte que llamamos ωij corresponde a una rotación rígida.!!La parte que produce distorsión es lo que habíamos llamado tensor de deformación:!!! cuyos elementos son (escríbelos):!

Fijarse que los elementos son variaciones (tasas) de cada componente del vector de desplazamiento con respecto a los ejes coordenados.!

Ejemplos de posibles deformaciones para un elemento de dos dimensiones!

La traza o suma de la diagonal del tensor de deformación nos da lo que se llama la dilatancia:!

Para un volumen inicial dx1 dx2 dx3 el volumen que resulta después de la deformación es:!

Si el volumen inicial es V=dx1 dx2 dx3 ,el volumen final es V+dV=(1+q)V, por lo que: !

Supongamos una deformación uniaxial, en dirección al eje 1.!!¿Cuál sería la forma del tensor de deformación?!