tema1.tensor de esfuerzos y esfuerzos principales

8/13/2019 Tema1.Tensor de Esfuerzos y Esfuerzos Principales

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El Tensor de los Esfuerzos

ylos esfuerzos principales


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Existen dos tipos principales de fuerzas en un contnuo:

1. Fuerzas de cuerpo. Actan en cualquier parte del cuerpo y son

proporcionales al volmen o a la masa.

2. Fuerzas de superficie. Si imaginamos que quitamos el material que est

afuera del volmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son

proporcionales a cada elemento de superficie


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El concepto de

Traccin

F = fuerza ejercida por el

material que se encuentra

afuera de V

n = normal al elemento de

superficie dS


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La traccin sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por u. derea) con la que las partculas de un lado de una superficie actan enlas partculas del otro lado. Ojo: En un slido, T no necesariamente

es paralela a n

La traccin se define entonces como:

Notar que la traccin tiene la misma

orientacin que la Fuerza y es funcin de

la normal que define la superficie


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O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto

dependiendo del plano de interaccin.

En general tenemos un nmero infinitode tracciones una para cadaposibilidad de plano. Entonces qu hacemos?

Ahora consideremos estos

casos


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es el vector traccin actuando en la superficie cuya normal es positiva en la direccin j

El tensor de esfuerzos !ji

Las filas del tensor son los tres vectores de traccin.

El esfuerzo entonces es la fuerza por unidad de rea que el material afuera (hacia adonde apunta!

) de la superficieejerce en el material adentro.

Tj(i) ;

i = normal al plano donde acta T; j = componente de T

Tracciones en las caras de un paraleleppedo orientado con los ejes coordenados.


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La traccin no necesariamentees perpendicular (ortogonal) alplano en que acta.

Por medio del balance de tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con tres caras ortogonales en las

direcciones de los ejes coordenados podemos encontrar la traccin en un plano con una inclinacin arbitraria.Notar que las tracciones en las caras ortogonales, compensan a la traccin en la cara inclinada.

Tracciones en las caras de un tetrahedro orientado con los ejes coordenados.


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El Tensor de esfuerzos est definido como:

Tener cuidado con la notacin en los textos,T(1)!T1

El tensor de esfuerzos es simtrico:

!ij = !ji


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El Tensor de esfuerzos nos da la Traccin que acta en cualquier superficie dentro del medio

que nos interesa.

Por ejemplo, los componentes de la Traccin en un elemento arbitrario de superficie dScuya

normal nno es paralela a ningn eje, se encuentra multiplicando los elementoscorrespondientes del tensor de esfuerzos por los cosenos directores de la normal al rea dondeacta y sumando el resultado.

Esto nos da cada componente de T , i = 13

Notar que es la transpuesta de !ij,pero como es simtrico, noimporta


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Esfuerzos normales:

!11, !22, !33

Esfuerzos de corte o cizalla:

!12, !21, !13 , !31, !23, !32 o tambin "12, "21, "13 , "31, "23, "32


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Sobre la convencin de signos en loscomponentes del tensor de esfuerzos

Esfuerzos normales:

Los que producen tensinson positivos.Esfuerzos de corte:Si pensamos en unelemento cbico, ladireccin positiva de losesfuerzos de cortecorresponde a la direccinpositiva del eje si elesfuerzo de tensin queacta en la cara est en ladireccin positiva del ejecoordenado (cara

positiva). Si el esfuerzo detensin tiene unadireccin opuesta a ladireccin positiva del ejecoordenado entonces ladireccin positiva delesfuerzo de corte es

opuesta.


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Sobre la convencin de signos en loscomponentes del tensor de esfuerzos

NOTA:En el caso del crculo deMohr la convencin puedeser diferente.La direccin positiva delos esfuerzos de cortecorresponde a aquellos

esfuerzos que tienden acrear una rotacin en elsentido de las manecillasdel reloj.


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El torque de este par

Queda contrarrestado por el torque

de este par

Pero todas estas tracciones

son positivas !

Simetras por las cuales podemos no tomar en cuenta todos los componentes.


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Siguiendo la convencinde signos los esfuerzos decorte positivos en las carasvisibles del cubo de lafigura coinciden con ladireccin de los ejescoordenados. Pero en lascaras ocultas estaran alrevs.

El equilibrio de momentos(torques) se usa parareducir el nmero decomponentesindependientes delesfuerzo, de manera que

slo nos quedan 6.


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Trataremos ahora de ver cmo podemos manipular estas ecuaciones.

En algunos casos lo que vamos a requerir es el esfuerzo normal y el de cizalla en un plano

dado, conociendo el tensor de esfuerzos.

Ecuacin de Cauchy, componentes del vector traccin


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De manera que

La traccin (esfuerzo) normal al plano de inters est dada por la proyeccin del

vector traccin a la normal al plano (es decir el producto punto):

Lo que nos resulta en:


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Expandiendo y considerando la simetra del tensor de esfuerzos:

El esfuerzo de corte sobre el plano se puede encontrar simplemente por trigonometra :

Lo que resulta en:


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Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema coordenado

en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser expresados en otro

sistema coordenado por medio de la transformacin:

De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la

transformacin matricial:


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Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x1yx2sometido a

slo esfuerzos normales !1y !2, de forma que el tensor es diagonal:

Ahora supongamos que quiseramos ver qu pasa con otro bloque al cual rotamos de forma que

Por ejemplo, si !1 = 1y !2 = -1y #= 45:


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Es decir, el estado de esfuerzos no cambi, pero en el primer bloque tenamos slo esfuerzos

normales en las caras y en el segundo slo esfuerzos de corte:

Notar que lo que hicimos fue nicamente rotar el sistema de ejes coordenados,

45 en este caso.


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Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar un sistema

de ejes en el cual slo existan esfuerzos normales (eliminamos los esfuerzos de corte!).

A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama

ejes de esfuerzos principales.

Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del lgebra vectorial

(bsqueda de valores y vectores principales).

Para este caso, lo que buscamos es que las Traccionessean paralelas a las normalesde las caras

definidas por los ejes coordenados del sistema que buscamos, esto lo podemos expresar como:

(Fijarse que slo varan por un factor de escala):


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Para que esta ecuacin se pueda satisfacer para el caso no-trivial (de que los

valores sean cero) se requiere que el siguiente determinante sea igualado a cero

(esto nos va a dar la ecuacin normal que define los valores caractersticos):

Esta ecuacin se puede re-escribir como:

0ij j i n n

! "# =


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Las componentes de son los vectores principales del tensor de esfuerzos

(ejes de esfuerzos principales) y los valores $, asociados a cada eje, nos dan

las magnitudes de los esfuerzos principales. La ecuacin (determinante

igualado a cero) para encontrar estos valores puede escribirse como:

donde lasIs son los llamados invariantes del tensor de esfuerzos. Se llamanas porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema de referencia.

n


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Los Invariantes estn definidos por:


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Los esfuerzos principalestienen una magnitud dadapor los valoresprincipales y se puedenencontrar las tressuperficiesperpendiculares en lascuales NO HAYESFUERZOS DE CORTE.

En el nuevo sistema elestado de esfuerzos quedadefinido como

= 0


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Ejercicio:

Si los invariantes estn dados por:

Cules seran los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?


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Se pueden encontrar las direcciones de un plano para el cual existe elmximo esfuerzo de corte (problema de mximos y mnimos entre elesfuerzo de corte contra el ngulo del plano). Para dicho plano el valordel esfuerzo mximo de corte (notar que no depende de !2) es:

Es decir, los cosenos directores de un plano a 45 de i yj, siendo i yj las

direcciones de los esfuerzos principales.

Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45de las direcciones (ejes) de los esfuerzos principales mximo y mnimo. Si lasdirecciones de los ejes del mximo y mnimo esfuerzo principal son(1,0,0) y (0,0,1), los planos del mximo esfuerzo de corte seran:


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Sin embargo, debido a la cohesin delos materiales geolgicos, la rupturaocurre generalmente a planos mscercanos a las direccin del eje !1.

Aproximadamente a 25

La fractura ocurrira aqu

El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el plano


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Falla normal

Vista de lado Vista de planta

El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el planode mximo esfuerzo de corte es a 45 de los esf principales.

Falla inversa

Falla de rumbo


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Definimos el Esfuerzo Promedio como:

Y el Esfuerzo desviador o deviatrico:

Condicin Litosttica:


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Para una prueba triaxial de

laboratorio tendramos

Por lo que el esfuerzo desviador nos queda:

1

3

3

0 0

0 0

0 0

!

!

!

" #$ %$ %

$ %& '

1 3

1

1 3

3 1 3

1 3

3

2 20 0 0 0

3 3

2 10 0 0 0

3 3

2 10 00 0

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( )

! !!

! !! ! !

! !!

+" # " #$ $% & % &

% & % &+% & % &$ = $ $% & % &

% & % &+% & % &$$

% & % &' (' (

Lo cual explica porqu se usa la diferencia !1

!3

como parmetro de esfuerzo


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O sea que a 3 km llegamos prcticamente a un kbar de presin

Al esfuerzo deviatrico (o desviador) tambin se le pueden obtener sus

valores y vectores caractersticos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma

orientacin que los del tensor original Si tenemos esfuerzos litostticos (igual al peso de la columna de roca)

recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kPa = 1 bar (por ejemplo

una llanta se infla a ~ 200 kPa que son 2 bar).

Entonces a una profundidad de 3 km en la corteza tenemos:P = - %g z = -(3 x 103kg m-3)(9.80 m seg-2)(3 x 103 m) "-90 x 106 Pa

= -90 MPa ( o sea 0.9 kbar)


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Ejercicio. Correr las rutinas de matlab tomadas del libro de

Pollard y Fletcher (cap.6). :

stresshole.m (clculo de esfuerzos alrededor de un agujerocircular) y

stressdisk.m (clculo de esfuerzos en un disco de cierto

grosor cargado en las orillas por tracciones compresivaspuntuales)

y analizar las ecuaciones utilizadas.

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