El Tensor de los Esfuerzos

Ejemplos de Estudios sobre Esfuerzos Tectónicos

Existen dos tipos principales de fuerzas en un contínuo:

1. Fuerzas de cuerpo. Actúan en cualquier parte del cuerpo y son proporcionales al volúmen o a la masa.

2. Fuerzas de superficie. Si imaginamos que quitamos el material que está afuera del volúmen V, encontramos que hay otras fuerzas que son proporcionales a cada elemento de superficie

El concepto de El concepto de TracciTraccióónn

F = fuerza ejercida por el material que se encuentra afuera de Vn = normal al elemento de superficie dS

La tracción sirve para cuantificar la fuerza de contacto (por u. de área) con la que las partículas de un lado de una superficie actúan en las partículas del otro lado. Ojo: En un sólido, T no necesariamente es paralela a n

La tracción se define entonces como:

Notar que la tracción tiene la misma orientación que la Fuerza y es función de la normal que define la superficie

O sea que se tienen diferentes tracciones para el mismo punto dependiendo del plano de interacción.En general tenemos un número infinito de tracciones una para cada posibilidad de plano. Entonces ¿quéhacemos?

Necesitamos un mecanismo que nos permita obtener la tracción para cualquier orientación de plano

Ahora consideremos estos casos

Tj(i) ;

i = normal al plano donde actúa T; j = componente de T

Sobre la convención de signos en los componentes del tensor de esfuerzos

Esfuerzos normales:Los que producen tensión son positivos.Esfuerzos de corte:Si pensamos en un elemento cúbico, la direccidireccióón positivan positiva de los esfuerzos de corte corresponde a la corresponde a la direccidireccióón positiva del ejen positiva del ejesi el esfuerzo de tensión que actúa en la cara estáen la dirección positiva del eje coordenado (cara positiva). Si el esfuerzo de tensión tiene una direccidireccióón opuesta an opuesta a la la direccidireccióón positivan positiva del eje coordenado entonces la direccidireccióón positiva del n positiva del esfuerzo de corte es esfuerzo de corte es opuestaopuesta.

¡Esto está al revés de lo anterior!. Parece que está incorrecto.

Esfuerzos de corte negativos

Esfuerzos de corte positivos

Sobre la convención de signos en los componentes del tensor de esfuerzos

NOTA:En el caso del círculo de Mohr la convención es diferente. La dirección positiva de los esfuerzos de corte corresponde a aquellos esfuerzos que tienden a crear una rotación en el sentido de las manecillas del reloj.

Componentes del esfuerzo sobre tres caras de un tetrahedro cuyas caras son normales a los ejes coordenados

El Tensor de esfuerzos nos da la Tracción que actúa en cualquier superficie dentro del medio.

Por ejemplo, la Tracción en un elemento arbitrario de superficie dS cuya normal n no es paralela a ningún eje, se encuentra multiplicando cada componente del tensor de esfuerzos por la normal al área donde actúa y sumando el resultado de todas las caras

Esto es para cada componente de T

Notar que es la transpuesta de σij, Pero como es simétrico, no importa

¿Cuántos valores de σ son en total?

σji¡es el famoso Tensor de Esfuerzos!

El torque de este par

Queda contrarrestado por el torque de este par

¡ Pero todas estas tracciones son positivas !

El tensor de esfuerzos

σji es simétrico

σij = σji

Tengan cuidado con la notación en los textos,T(1) ≠ T1

Siguiendo la convención de signos los esfuerzos de corte en las caras visibles del cubo de la figura coinciden con la dirección de los ejes coordenados. Pero en las caras ocultas estarían al revés.

Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema coordenado en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser expresados en otro sistema coordenado por medio de la transformación:

De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la transformación matricial:

Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x1 y x2 sometido a sólo esfuerzos normales σ1 y σ2, de forma que el tensor es diagonal:

Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos de forma que :

Por ejemplo, si σ1 = 1 y σ2 = -1 y θ = 45°:

Es decir, el estado de esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo esfuerzos normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos de corte:

Notar que lo que hicimos cambiar fue el sistema de ejes coordenados.

Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar un sistema de ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales (¡eliminamos los esfuerzos de corte!).

A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama ejes de esfuerzos principales.

Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del álgebra vectorial (búsqueda de valores y vectores principales).

Para este caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las normales de las caras definidas por los ejes coordenados, esto lo podemos expresar como:

(Notar que sólo varían por un factor de escala):

La ecuación normal que define los valores característicos estádada por el determinante igualado a cero:

Las componentes de n serían los vectores principales del tensor de esfuerzos (ejes de esfuerzos principales) y los valores, λ , asociados a cada eje, nos dan los esfuerzos principales. La ecuación (determinante igualado a cero) para encontrar estos valores es:

donde las I´s son los llamados “invariantes” del tensor de esfuerzos. Se llaman así porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema de referencia.

Invariantes:

Los esfuerzos principales están dados por los valores principales y definen entonces tres superficies perpendiculares en las cuales NO HAY ESFUERZOS DE CORTE.

En el nuevo sistema nos queda el estado de esfuerzos definido como

Si los invariantes están dados por:

Ejercicio:

¿Cuáles serían los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?

Se puede encontrar la dirección de un plano para la cual existe el máximo esfuerzo de corte, ocurriendo este a 45º de las direcciones del máximo y mínimo esfuerzo principal, y dando un valor de:

Si las direcciones de los ejes del máximo y mínimo esfuerzo principal son (1,0,0) y (0,0,1), los planos del máximo esfuerzo de corte son:

Sin embargo, debido a la cohesión de los materiales geológicos, la ruptura ocurre generalmente a planos más cercanos a las dirección del eje .

Aproximadamente a 25º

Falla normal

Vista de lado Vista de planta

El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que este ocurre en un plano de máximo esfuerzo de corte a 45º.

Falla inversa

Falla de rumbo

Esfuerzo promedio

Esfuerzo desviador o deviatórico

Condición Litostática

Para una prueba triaxial de laboratorio tendríamos

Por lo que el esfuerzo desviador nos queda como

1

3

3

0 00 00 0

σσ

σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 31

1 33 1 3

1 33

2 20 0 0 03 3

2 10 0 0 03 3

2 10 00 033

( )

σ σσ

σ σσ σ σ

σ σσ

+⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

+⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢ ⎥ ⎢ ⎥−−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Lo cual explica porqué se usa la diferencia σ1 – σ3 como parámetro de esfuerzo

Ejercicio. Correr las rutinas de matlab tomadas del libro de Pollard y Fletcher (cap.6). :

• stresshole.m (cálculo de esfuerzos alrededor de un agujero circular) y

• stressdisk.m (cálculo de esfuerzos en un disco de cierto grosor cargado en las orillas por tracciones compresivas puntuales)

y analizar las ecuaciones utilizadas.

MedicionesMediciones de de EsfuerzoEsfuerzo In SituIn Situ

1. Sobre-nucleo (Overcoring)

Typically hydraulic fracturing is conducted in vertical boreholes. A short segment of the hole is sealed off using an straddle packer. This is followed by the pressurization of the fracture-free segment of the hole by pumping in water. The pressure is raised until the rock surrounding the hole fails in tension at a critical pressure. Following breakdown, the shut-in pressure, thelowest test-interval pressure at which the hydrofrac closes completely underthe action of the stress acting normal to the hydrofrac. In a vertical test holethe hydrofrac is expected to be vertical and perpendicular to the minimumhorizontal stress. An impression impression packer or borehole loggingdevices can be used to obtain the orientation of the hydrofrac which yieldsthe direction of the maximum horizontal stress.

2. Hidrofractura (Hydrofrac)

Ver ejemplo y teoría básica de Hidrofractura en:

hfc_theory.html

http://www-gpi.physik.uni-karlsruhe.de/pub/workgroup7/StressInvest_b.html

2. Fracturamiento circundanteen pozos (borehole breakouts)