temario matematicas

Bloque I: Instrumentos basicos

Este primer bloque tematico esta dedicado al repaso de conocimientos matematicos basicos:Manejo de numeros y formulas, algebra lineal y funciones polinomicas, racionales y trigonometricas.Orientaremos estos contenidos a las aplicaciones en Bioquımica.

Ser un cientıfico requiere el conocimiento cualitativo de los procesos estudiados, pero tambien,y especialmente, cuantitativo. Esto ultimo requiere la escritura mediante expresiones matematicasde las leyes que gobiernan estos procesos, y la manipulacion subsiguiente de estas leyes para extraerinformacion sobre el funcionamiento de estos procesos. Por ello, el conocimiento del algebra y de lasfunciones basicas es fundamental para ser un buen cientıfico, y en particular un buen bioquımico.

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Matematicas Generales Aplicadas a la Bioquımica. Curso 2011/12.T. Chacon Rebollo, F. Maestre Caballero.

Capıtulo 1

Tema 1: Funciones elementales

1.1. El lenguaje basico de las matematicas

Las matematicas se expresan mediante un lenguaje propio, que es una extension del lenguajecomun, en nuestro caso el espanol. La sintaxis es la misma, con la diferencia de que aparecen nuevossımbolos, ademas de las letras del abecedario. Tales sımbolos pueden ser totalmente diferentes delas letras del abecedario: +, ×, ≥, →, etc., pero tambien las propias letras: x, t, m, que tomansignificados diferentes (normalmente, se trata de “variables ”o “incognitas ”). Los sımbolos puedenrepresentar numeros o cantidades fısicas, pueden formular operaciones o relaciones del tipo “iguala ”o “mayor que ”.

Sımbolos y algebra pueden ser usados para expresar magnitudes fısicas, quımicas, etc.. Porejemplo, E puede representar la energıa total de un trozo de materia, m su masa y c la velocidadde la luz. Combinando estos junto con el sımbolo matematico para “igual a ”, Einstein escribio sufamosa formula,

E = mc2.

En lenguaje comun, esta ecuacion se expresarıa como “La masa total de un cuerpo es igual alproducto de su masa por el cuadrado de la velocidad de la luz”, lo que resulta ademas de maslargo mucho mas difıcil de manejar conceptualmente. De aquı el gran interes en usar el lenguajematematico cuando se trata de analizar de forma cuantitativa el comportamiento del mundo real.

Habitualmente, el camino se recorre en sentido contrario: Es necesario expresar en terminosmatematicos una relacion cuantitativa. Por ejemplo, podemos expresar “Juan es treinta centımetrosmas alto que Roberto”como

J = R + 30 cm,

siendo J la altura de Juan, y R la altura de Roberto. Observemos que al leer esta ecuacion, elverbo esta representado por el signo =. De forma mas sofisticada, podemos usar una notacion consubındices:

HJ = HR + 30 cm,

donde ahora HJ y HR denotan, respectivamente, las alturas de Juan y Roberto. Obviamente, es unesfuerzo excesivo el expresar una frase tan sencilla en terminos matematicos. Sin embargo, cuandolas relaciones se vuelven mas y mas complejas, la expresion de relaciones cuantitativas mediante

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1.2. CANTIDADES FISICAS, VALORES NUMERICOS Y UNIDADES 4

el lenguaje comun es enormemente complicada. Esto condujo de forma natural a introducir lanotacion matematica, mucho mas simplificada y compacta. A cambio, es necesario efectuar unesfuerzo de conceptualizacion para entender correctamente el significado de los diferentes sımbolosy relaciones.

1.2. Cantidades fısicas, valores numericos y unidades

Cuando se usan en ciencias aplicadas, los sımbolos matematicos no representan numeros, sinomagnitudes fısicas. Cada sımbolo representa la combinacion de un valor numerico y de una unidadfısica. No tiene sentido decir que una lınea mide 75, sino que mide 75 cm o 75 m. Este hecho tienevarias consecuencias:

Las ecuaciones que relacionan magnitudes fısicas expresan identidades de tanto los valoresnumericos como de las unidades fısicas de los dos terminos de la igualdad. Por ejemplo, enla ecuacion de Einstein

E = mc2,

E es una energıa, cuya magnitud es ML2T−2 (o sea, masa × longitud al cuadrado ÷ tiempoal cuadrado), m es una masa, cuya magnitud es M , y c es una velocidad, cuya magnitudes L2T−2. Esto se expresa por [E] = ML2T−2, [m] = M , [c] = L2T−2. Observamos comoefectivamente las unidades de los dos terminos de la ecuacion (izquierda y derecha) son igualesa ML2T−2:

[E] = [mc2] = ML2T−2.

Este principio de que los dos terminos de la ecuacion deben tener las mismas unidades seextiende a la suma y resta: Solo se pueden restar o sumar magnitudes fısicas con las mismasunidades.

Un ejemplo de relevancia en Bioquımica es la ecuacion que describe el numero de receptoresocupados en una reaccion quımica en la que unas moleculas de una determinada sustanciadisuelta en el medio celular se enlazan con grandes moleculas (proteınas, por ejemplo), los“receptores ”. Si denotamos por Nb el numero de receptores ocupados por unidad de masade tejido circundante, este varıa en funcion de la concentracion de la sustancia, c, el numerototal de receptores por unidad de masa de tejido, NT y la constante de afinidad quımica parael enlace, Ka:

Nb =KacNT

1 + Kac.

La magnitud mas clara aquı es la de la concentracion, [c] = ML−3 (o sea, masa/volumen).Para que la suma 1+Kac tenga sentido, las unidades de 1 y de Kac deben ser iguales, segunhemos comentado mas arriba. Por tanto, las unidades de Ka deben ser las inversas de las dec: [Ka] = M−1L3. Las unidades de Nb y NT son [Nb] = [NT ] = MM−1 = 1 (Masa/Masa, yaque se trata de la masa de los receptores por unidad de masa del tejido circundante).

El cambio de unidades implica el cambio de los valores numericos asociados. Para cambiarlas unidades, se usa el principio de que si se multiplican los dos terminos de una ecuacion


5 1.3. NUMEROS, ARITMETICA Y RESOLUCION DE ECUACIONES

por un mismo numero la identidad sigue siendo cierta. Esto se aplica a realizar el cambio deunidades, si multiplicamos habilmente por 1. Por ejemplo,

108Kmh

= 1081000m1Km

1h3600s

Kmh

= 10810003600

ms

= 30ms

.

Suponiendo un tiempo de respuesta de 2 s, esto significa que un vehıculo circulando a 108Km/h recorre 60 m antes de empezar a frenar ante un obstaculo repentino.

La representacion grafica de una funcion donde las variables dependiente e independiente sonmagnitudes fısicas requiere incluir las unidades en que estas variables se expresan. De otromodo serıa imposible interpretar la grafica.

1.3. Numeros, aritmetica y resolucion de ecuaciones

Repasamos aquı algunas reglas basicas de las operaciones aritmeticas con numeros, y los tiposde estos.

Numeros enteros, suma y resta. Los numeros naturales (0, 1, 2, ...) son los que empleamospara contar, y con ellos podemos sumar sin salirnos de los propios numeros naturales. Sipretendemos restar, es necesario pasar a los numeros enteros (..., −2, −1, 0, 1, 2, ...): Ladiferencia de dos numeros enteros es siempre un numero entero, y no siempre es ası con losnumeros naturales.

La solucion ecuaciones de la formaa + x = b,

siendo a y b numeros enteros, siempre es un numero entero x = b− a.

Numeros racionales, producto y division. Podemos multiplicar numeros enteros y elresultado sera siempre un numero entero. Sin embargo, no siempre el cociente de dos numerosenteros es un numero entero. Esta propiedad sı es cierta, sin embargo, en los numerosracionales o fraccionarios: El cociente de dos numeros racionales siempre es un numeroracional. Para un cientıfico es de enorme importancia realizar con soltura las cuatro ope-ra-ciones basicas con numeros racionales: Suma, resta, producto y cociente.

La solucion ecuaciones de la formaa + cx = b,

siendo a, b y c 6= 0 numeros racionales, siempre es un numero racional, x = b − a

c. Estas

ecuaciones se llaman lineales, porque su grafica es una lınea recta.

Esta propiedad tambien es cierta cuando se trata de varias ecuaciones lineales simultaneascon coeficientes racionales: Por ejemplo, la solucion x, y, z del sistema lineal (si existe)

2x + 3y − 4z = 9−3x + 2y + 3z = 8

7x− 3y + 8z = −4

pertenece a los numeros racionales, segun la regla de Cramer.


1.3. NUMEROS, ARITMETICA Y RESOLUCION DE ECUACIONES 6

Numeros reales, completitud. Podemos representar los numeros racionales sobre unarecta como segmentos (a cada numero le asignamos un segmento de origen el cero, cuya lon-gitud es el numero). A pesar de existir una infinidad de numeros racionales entre dos numerosracionales cualesquiera (por ejemplo, calculando el promedio, repetido sucesivamente), la rec-ta ası construıda esta trufada de “agujeros”. O sea, que hay “muchos”segmentos cuya longitudno es un numero racional. Uno de tales agujeros es

√2, un numero del que ya en la Gre-

cia clasica se demostro que no es racional. La demostracion de la irracionalidad de la raızcuadrada de 2 esta atribuida a Hipaso de Metaponto, un discıpulo de Pitagoras que nacio entorno al ano 500 a. C.

Una forma intuitiva de construir los numeros reales es mediante una representacion decimalinfinita:

√2 = 1, 4142135623730950488..... Este numero se puede construir de forma apro-

ximada mediante la sucesion de numeros r1 = 1, 4, r2 = 1, 41, r3 = 1, 414, r4 = 1, 4142,...Se demuestra que esta sucesion converge a

√2, o que

√2 es el lımite de esta sucesion. Esto

significa que todos los terminos de la sucesion a partir de uno dado estan tan cerca de√

2como queramos. Se demuestra que la recta ası construıda es completa en el sentido de queno tiene agujeros, o, dicho de otro modo, en el sentido de que el lımite de una sucesion denumeros reales siempre es un numero real.

Los numeros reales se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, obteniendose siempre unnumero real. Por ello, al igual que con los numeros racionales, la solucion ecuaciones de laforma

a + cx = b,

siendo a, b y c 6= 0 numeros reales, siempre es un numero real, x = b− a

c.

El calculo diferencial e integral, que son dos de los instrumentos fundamentales de la matematicaaplicada, se basan de forma extensiva en el concepto de lımite, por lo que el conjunto denumeros adecuado para construir estos dos tipos de calculo es el de los reales.

Numeros complejos, solucion de ecuaciones polinomicas. Dentro de los numeros realesno siempre tienen solucion ecuaciones de la forma a+ cx2 = b, siendo a, b y c numeros reales.Por ejemplo, la ecuacion

1 + x2 = 0

no tiene solucion, ya que 1 + x2 ≥ 1 cualquiera que sea x ∈ R. Podemos, sin embargo,definir la unidad imaginaria i como la solucion de esta ecuacion 1 + x2 = 0. A partir deaquı construimos los numeros complejos en la forma a + ib, siendo a y b numeros realescualesquiera. Los numeros complejos se representan en el plano como el par de numerosreales (a, b). Es una extension de la representacion de los numeros reales como segmentos enla recta.

Los numeros complejos se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Para ello basta consi-derar que i2 = −1, y que por tanto i−1 = i. Usando estas propiedades, podemos multiplicarpor ejemplo 2 + 3i y 5− 4i como sigue:

(2 + 3i)(5− 4i) = 10− 12i2 + 15i− 8i = 22 + 7i,

y tambien podemos dividir 2 + 3i entre 5− 4i racionalizando como sigue:

2 + 3i

5− 4i=

(2 + 3i)(5 + 4i)(5− 4i)(5 + 4i)

=−2 + 23i

36= − 2

36+

2336

i.


7 1.3. NUMEROS, ARITMETICA Y RESOLUCION DE ECUACIONES

La representacion de un numero complejo como z = a + ib, siendo a y b numeros reales,es llamada forma binomica del numero. Existe una forma alternativa, llamada forma polar.Para construirla, escribimod

z = a + ib = r(a

r+ i

b

r) = r(senα + i cosα),

donder =

√a2 + b2

es el modulo de z, tambien denotado |z| y

α = arctan(b/a)

es el argumento de z, tambien denotado arg(z). El argumento es el angulo entre la parte posi-tiva del eje OX y el eje Oz que une el origen con el numero z. El argumento no esta definidode forma unica, ya que todos los angulos de la forma

arg(z) + 2kπ, k ∈ Z

poseen el mismo seno y el mismo coseno.

Es acostumbrado representar z como z = rα (forma polar del numero z). Por ejemplo, laforma polar del numero 1 es 1 = 10 = 12π, y la de la unidad imaginaria es i = 1π/2.

El producto y cociente de numeros complejos en forma polar es muy simple: Si la formapolar de los numeros complejos z y z′ es z = rα, z′ = r′α′ , entonces las formas polares de suproducto y cociente son:

zz′ = (rr′)α+α′ ,z

z′= (

r

r′)α−α′ .

O sea,

|zz′| = |z||z′|, arg(zz′) = arg(z) + arg(z′),∣∣∣ z

z′

∣∣∣ =|z||z′| , arg(

z

z′) = arg(z)− arg(z′).

De aquı se puede calcular con comodidad la potencia n-sima de un numero complejo:

zn = rnnα.

Tambien se pueden calcular las n raıces n-simas de un numero complejo:

n√

z = ( n√

r)(α+2kπ)/n, k = 0, 1, · · · , n− 1.

Por ejemplo, las raıces cuartas de −1 = 1π son

4√−1 = 1π/4+kπ/2, k = 0, 1, 2, 3.

Un relevante numero complejo asociado a z = a + ib es su conjugado: z = a − ib. Cumplealgunas propiedades interesantes:

z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2, zz = |z|2.


1.4. ERRORES. TRUNCAMIENTO Y REDONDEO. SISTEMAS DE NUMERACION 8

Ademas, la forma polar del conjugado viene dada por

z = r−α.

Un gran interes de los numeros complejos es que toda ecuacion polinomica (de la formaa0 + a1x + a2x

2 + ... + anxn = 0) tiene exactamente n raıces (contando la multiplicidad) enlos numeros complejos.

Hay, sin embargo, una propiedad de los demas tipos de numeros (sean naturales, enteros,racionales o reales) que no poseen los numeros complejos: La ordenacion. No se puede decidirde forma coherente cual es el mayor de dos numeros complejos distintos.

En general, si estamos interesados en resolver ecuaciones de la forma f(x) = 0 (algo queocurre con cierta frecuencia en las ciencias aplicadas y tambien en bioquımica) sera necesarioutilizar numeros complejos, aunque en muchas situaciones podemos usar solamente numerosreales.

1.4. Errores. Truncamiento y redondeo. Sistemas de nu-meracion

Podemos efectuar calculos teoricos con numeros reales y complejos, pero en los calculos efectivosunicamente se usan numeros racionales. De este modo se introducen errores, que es necesarioreconocer y limitar en la medida de lo posible.

Un error habitual es el de “truncamiento”: Los dos numeros a = 3,3456 y b = 3,3412 resultanser c = 3,34 si los truncamos a la segunda cifra decimal. Los errores cometidos son a−c = 0,0056 yb− c = 0,0012. Sin embargo, si aproximamos a por d = 3,35, el error cometido es a− d = −0,0044,que es menor (en valor absoluto) que a − c. Por tanto, aproximar a por d resulta una mejoraproximacion que aproximarlo por c. Esto sugiere la tecnica de aproximacion llamada “redondeo”:La ultima cifra decimal retenida se deja igual si la primera cifra despreciada es menor o igual que5, y por la siguiente si la primera cifra despreciada es mayor que 5.

La necesidad de redondeo ocurre en particular con el manejo de numeros por los ordenadores,que debido a su capacidad limitada trabajan solamente con un numero finito de cifras decimales.

Los ordenadores, sin embargo, almacenan la informacion en sistema binario. Recordemos que ensistema decimal la expresion 123 representa al numero 3×100 +2×101 +1×102, donde utilizamoslas sucesivas potencias de 10. En sistema binario unicamente se usan las sucesivas potencias de 2para representar un numero. Por ejemplo, el numero 123 en base 2 se representara por 1111011,ya que

123 = 1× 20 + 1× 21 + 0× 22 + 1× 23 + 1× 24 + 1× 25 + 1× 26 = 1 + 2 + 8 + 16 + 32 + 64.

El ordenador almacena solamente ceros y unos.Las cifras de la representacion binaria (resp., decimal) de un numero se obtienen dividiendo suce-

sivamente por 2 (resp., por 10) y reteniendo los restos, que se escriben en orden inverso para cons-truir la representacion. Por ello, solo aparecen ceros y unos (resp., los 10 dıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8y 9). El valor de cada cifra en la representacion depende de la posicion que ocupa, ya que la ultimacifra se multiplica por 1, la penultima por 2 (resp., por 10), la antepenultima por 22 = 4 (resp.,por 102 = 100), etc.


9 1.5. RESOLUCION DE ECUACIONES

Analogamente, para representar un numero menor que 1 en sistema binario, es necesario mul-tiplicarlo sucesivamente por 2 y retener las cifras a a izquierda de la coma (que seran solamenteceros o unos). Si una de estas cifras es un 1, se resta y retiene el resto para continuar el proceso.Por ejemplo, para escribir 0,8125 en sistema binario, consideramos que

0,8125× 2 = 1,625 : restamos 1 y lo retenemos;

0,625× 2 = 1,25 : restamos 1 y lo retenemos;

0,25× 2 = 0,5 : retenemos el cero;

0,5× 2 = 1 : retenemos el 1 y terminamos.

De este modo, en sistema binario 0,8125 se representa por 0,1101, lo que significa que

0,8125 =12

+122

+023

+124

=12

+14

+116

.

Este proceso puede no tener fin, en el sentido de que la representacion binaria (o decimal) de unnumero puede tener infinitas cifras no nulas. Mas aun, puede ocurrir que la representacion decimalcontenga un numero finito de cifras y la binaria un numero infinito (pero no al reves, ya que 10 es di-visible por 2). Por ejemplo, la representacion binaria de 1/5 = 0,2 es 0,000101000101000101000101....(formada por la concatenacion indefinida del grupo “000101”).

Otros sistemas de numeracion de cierta relevancia por sus conexiones con el codigo geneticoson el cuaternario (con base 4, utiliza los dıgitos 0, 1, 2, 3), el octodecimal (con base 8, utiliza losdıgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y el hexadecimal (con base 16, utiliza 16 dıgitos, para lo que son necesariossımbolos especiales a partir del 9). Recordemos que que el valor de cada dıgito en la representacionde un numero depende de la posicion que ocupa. Es una situacion analoga a la descripcion delADN mediante las letras A, T,C y G, que corresponden a las bases nitrogenadas Adenina, Timina,Citosina y Guanina, respectivamente. La disposicion secuencial de estas cuatro bases a lo largo dela cadena es la que codifica la informacion genetica: por ejemplo, una secuencia de ADN puede serATGCTAGATCGC. En este sentido, cada cadena de ADN se corresponde con un unico numeroen sistema cuaternario.

1.5. Resolucion de ecuaciones

Una ecuacion es una igualdad entre dos expresiones matematicas, en que alguna de las can-tidades no es conocida. Las cantidades desconocidas se llaman incognitas. Cada una de las dosexpresiones que se igualan se llama miembro. Una ecuacion proporciona informacion sobre la olas incognitas. Resolver la ecuacion es calcular la incognita en funcion de cantidades conocidas, deforma que se satisfaga la ecuacion si la incognita se reemplaza por el valor calculado. Si se tratade varias ecuaciones que deben satisfacerse al mismo tiempo, el conjunto de todas ellas se llamasistema de ecuaciones . Resolver el sistema de ecuaciones es calcular las incognitas en funcionde cantidades conocidas, de forma que se satisfaga cada ecuacion del sistema si las incognitas sereemplazan por los valores calculados. La solucion de una ecuacion (o sistema de ecuaciones) puedeno existir, puede existir solo una, o varias, o una infinidad. Por ejemplo,

3x− 2 = 7


1.5. RESOLUCION DE ECUACIONES 10

es una ecuacion lineal, siendo x la incognita. Su solucion es x = 3, ya que 3× 3− 2 = 7. Tambien

x2 − x− 6 = 0

es una ecuacion cuadratica o de segundo orden, que admite dos soluciones, x1 = −2 y x2 = 3. Laecuacion x − y = 1 admite una infinidad de soluciones, en la forma x ∈ R cualquiera, y = x − 1.Por ejemplo, x = 0, y = −1 son soluciones, pero tambien x = 1, y = 0 o x = 1000, y = 999, etc.

El sistema {2x− 3y = 3,−x + 2y = −2,

es un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incognitas (x e y) que admite solucion unica,x = 0, y = −1.

En una ecuacion intervienen expresiones, que son combinaciones de sımbolos, por ejemplo 1+4,2x−3az o (x+2)(x−3). Cada una de las partes de una expresion es una sub-expresion. Por ejemplo,2x y 3az son subexpresiones de la expresion 2x− 3az. Si dos o mas subexpresiones se suman, cadauna de ellas se denomina termino o sumando. Si dos o mas subexpresiones se multiplican, cadauna de ellas se llama factor. Por ejemplo, en la expresion (x+2)(x− 3), x+2 y x− 3 son factores.

Las reglas de la aritmetica se usan para expandir o simplificar expresiones que aparecen en lasecuaciones. Por ejemplo,

La propiedad distributiva del producto respecto de la suma permite expandir el producto(x + 2)(x− 3) como

(x + 2)(x− 3) = x2 + 2x− 3x− 6 = x2 − x− 6.

Reduciendo a factor comun, podemos simplifica la expresion1

x + 1− 1

x− 1como sigue:

1x + 1

− 1x− 1

=x− 1

(x + 1)(x− 1)− x + 1

(x− 1)(x + 1)=

(x− 1)− (x + 1)(x + 1)(x− 1)

=−2

x2 − 1.

Calculando las raıces de los polinomios, podemos simplificar la expresionx2 + 5x + 6

x3 + 3x2 + 2x:

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3);

x3 + 3x2 + 2x = x(x + 1)(x + 2);

de donde si x 6= 0,−1, 2,

x2 + 5x + 6x3 + 3x2 + 2x

=(x + 2)(x + 3)x(x + 1)(x + 2)

=(x + 3)x(x + 1)

=x + 3x2 + x

,

Observemos que si x = −2 la expresion inicial no esta definida, pero sı la final. Puesto queambas coinciden en un entorno de −2 (excepto x = −2), podemos asignar el ultimo valor ala expresion inicial cuando x = −2.



1.5.1. Manipulaciones basicas con ecuaciones

Para resolver una ecuacion o sistema de ecuaciones usualmente se efectuan una serie de mani-pulaciones que transforman los terminos de la ecuacion, pero mantienen la identidad. El objetivo esaislar la incognita (o las incognitas), igualandola a una expresion conocida. Estas manipulacionesdeben respetar las leyes de la aritmetica. Las mas basicas son las siguientes:

Sumar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuacion. Para resolver

3x− 1 = 5, (1.1)

sumamos 1 a los dos miembros de la ecuacion, obteniendo

3x = 6.

Multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuacion por el mismo numero, si este no esnulo. Para resolver la ecuacion anterior, dividimos los dos miembros de la ecuacion por 3,obteniendo

3x/3 = 6/3 ⇒ x = 2.

Elevar los dos miembros de la ecuacion a un mismo numero. Esta manipulacion puede in-troducir soluciones falsas cuando se eleva a potencias mayores que 1, si no se consideran lossignos. Por ejemplo, si elevamos los dos miembros de la “ecuacion”

x = 1

al cuadrado, obtenemosx2 = 1,

que admite la solucion x = 1, pero tambien la solucion x = −1. Hay, pues, que eliminarlas soluciones falsas. Por otra parte, se pueden eliminar soluciones verdaderas si se eleva apotencias menores que uno, si no se considera la multiplicidad de los radicales. Por ejemplo,podemos sacar la raız cuadrada de los dos miembros de la ecuacion

(x− 1)2 = 4,

obteniendox− 1 =

√4.

Si consideramos que√

4 = 2, obtenemos la solucion x = 3. Pero tambien puede ser√

4 = −2lo que proporciona la solucion x = −1.

Usando estas tres reglas, podemos por ejemplo resolver la clasica ecuacion de segundo grado.Consideremos el ejemplo

4x2 − 2x + 8 = 9. (1.2)

En primer lugar, por reducirnos a un problema canonico, restamos 9 a los dos miembros de laecuacion, obteniendo

4x2 − 2x− 1 = 0. (1.3)


1.5. RESOLUCION DE ECUACIONES 12

A continuacion, buscamos un cuadrado perfecto de la forma (ax + b)2 que englobe los teminos enx2 y en x. Para ello, consideramos que

(ax + b)2 = a2x2 + 2abx + b2,

e igualamos a2x2 = 4x2, 2abx = −2x. La primera igualdad se cumple si a =√

4 = 2, y la segunda

si b =−1a

=−12

. Para obtener el cuadrado perfecto en la ecuacion (1.3) sumamos b2 =14

a losdos miembros:

4x2 − 2x +14− 1 =

14, o sea, (2x− 1

2)2 − 1 =

14.

En segundo lugar dejamos el cuadrado perfecto en el miembro de la izquierda, sumando 1 a losdos miembros:

(2x− 12)2 =

14

+ 1 =54.

En tercer lugar sacamos la raız cuadrada de los dos terminos de la ecuacion:

2x− 12

= ±√

5/4.

Por ultimo, despejamos x sumando 12 y dividiendo por 2 los dos miembros de la ecuacion:

x = x± =

12±

√5/4

2=

1±√54

. (1.4)

1.5.2. Sistemas lineales

La resolucion de sistemas lineales es de especial utilidad en ciencias aplicadas, ya que por unaparte se dan con mucha frecuencia en la practica para determinar el funcionamiento de diversosprocesos y sistemas, y por otra se saben resolver bien. Esto hace que la resolucion de sistemasde ecuaciones mas complejos se reduzcan por diversos procedimientos a la resolucion de sistemaslineales.

Existen diversas tecnicas de resolucion de sistemas lineales. Si son de talla pequena se puedeabordar su resolucion a mano. Sin embargo, para sistemas de mediana y gran talla (el numero deecuaciones) es preferible el uso del ordenador. Es posible la resolucion simbolica de sistemas detalla mediana en ordenador (hasta una decena de ecuaciones), que sin embargo resulta inabordableen cuanto la talla supera la decena. Por ello, en estos casos se usa la resolucion numerica, quepermite resolver sistemas de talla muy grande (varios millones de ecuaciones), aunque es necesarioresolver cada sistema con valores numericos concretos de forma aislada.

Como hemos comentado mas arriba, un sistema lineal puede o no tener solucion (si la tiene, sedice que es compatible, y si no, incompatible). De tener solucion, esta puede ser unica (se dice queel sistema es determinado), o puede haber infinitas soluciones (se dice que el sistema es indetermi-nado).

Habitualmente, se escriben los sistemas lineales en notacion compacta, en la forma

AX = B, (1.5)

donde A es la matriz del sistema, X es un vector columna (la incognita) y B es otro vector columna(el dato). Por ejemplo, para el sistema



x + 2y + 3z = 14,x− y + z = 2,

3x + 2y + z = 10.(1.6)

la matriz A y los vectores X y B vienen dados por

A =

1 2 31 −1 13 2 1

, X =

xyz

, B =

14210

. (1.7)

Resumimos a continuacion la Teorıa de Rouche-Frobenius (data de 1875) sobre la existencia y uni-cidad de soluciones de sistemas lineales. Se llama menor de orden r de la matriz A al determinantede cualquier sub-matriz cuadrada de orden r (con numero de filas y de columnas igual a r). Sedefine el rango de la matriz A como el orden del mayor menor de A no nulo.

El sistema lineal (1.5) es compatible (o sea, admite solucion) si el rango de la matriz A coincidecon el rango de la matriz ampliada, M = [A|B]. Esto garantiza que todas las ecuaciones se puedensatisfacer a la vez, o dicho de otro modo, que no son incompatibles entre sı. Ademas, la solucionsera unica (o sea, el sistema sera determinado) si este rango coincide con el numero de incognitas.Esto garantiza que todas las incognitas se pueden despejar de forma unica en funcion de los datos.En caso contrario, existira una infinidad de soluciones, que se obtienen despejando las incognitascorrespondientes a la mayor sub-matriz con determinante no nulo, en funcion de las demas.

En el caso del sistema lineal cuadrado (1.7) hay solucion unica si la matriz A tiene determinanteno nulo, ya que entonces el rango de A y de la matriz ampliada son iguales a 3, y ademas estenumero coincide con el numero de incognitas.

Para efectuar la resolucion a mano de un sistema lineal existen diversas tecnicas. Segun el Teo-rema de Rouche-Frobenius, si el sistema es compatible lo que es necesario resolver de forma efectivapara calcular la solucion (o las soluciones) es un sistema cuadrado. Existen formulas cerradas pararesolver sistemas cuadrados. Sin embargo, son difıciles de recordar, por lo que es preferible el usode otras tecnicas mas sencillas e intuitivas. Recordemos aquı la tecnica de Gauss o de eliminacion.La idea es reducir por etapas el sistema a otro en que cada incognita se exprese en funcion delas anteriores, hasta que solo quede una ecuacion con una incognita. Calculada esta incognita, secalculan sucesivamente las demas. Por ejemplo, en el sistema (1.6),

Comenzamos eliminando la incognita x en la segunda y tercera ecuaciones. Para ello a lasegunda ecuacion le restamos la primera, y a la tercera le restamos la primera multiplicadapor 3. Esto reduce el sistema a

x + 2y + 3z = 14,−3y − 2z = −12,−4y − 8z = −32.

(1.8)

Nos centramos ahora en la resolucion del sub-sistema{ −3y − 2z = −12,−4y − 8z = −32,

(1.9)

que tiene solo dos ecuaciones con dos incognitas. Eliminamos la variable y en la terceraecuacion restando a esta ecuacion la segunda multiplicada por −4/3. Esto reduce la ultima


1.6. RESOLUCION DE INECUACIONES 14

ecuacion del sub-sistema (1.9) a

−163

z = −16. (1.10)

El sistema de partida ha quedado reducido al sistema triangular

x + 2y + 3z = 14,−3y − 2z = −12,

−163

z = −16.

(1.11)

Resolvemos este sistema como sigue: La ultima ecuacion proporciona z = 3. Sustituımos estevalor en la segunda ecuacion y obtenemos y = 2, y por ultimo sustituımos estos dos valoresen la primera ecuacion para obtener x = 1.

Observemos que la matriz C del sistema reducido (1.9) es triangular superior,

C =

1 2 30 −3 −20 0 −16/3

,

con lo que su determinante es trivialmente el producto de los elementos diagonales. Si alguno deestos elementos diagonales fuera cero, el sistema serıa bien incompatible, bien compatible indeter-minado, ya que la matriz serıa singular. Esta informacion se obtiene de forma automatica aplicandoel metodo de Gauss.

1.6. Resolucion de inecuaciones

Otro de los problemas que se presentan con frecuencia en las ciencias aplicadas es el obtenervalores de ciertas variables que satisfacen no ya una igualdad, sino una desigualdad. Esto ocurre,por ejemplo, cuando se pretende mantener las variables dentro de rangos admisibles (estos valorespueden ser concentraciones, temperaturas, precios,...). Podemos pedir, por ejemplo, en lugar de laecuacion (1.1), la inecuacion

3x− 1 ≤ 5 (1.12)

O, en lugar de (1.2),4x2 − 2x + 8 > 9. (1.13)

Es frecuente encontrar inecuaciones en que aparezca el valor absoluto de alguna expresion. Recorde-mos que el valor absoluto de un numero se define por

|x| = max{−x, x}.

La solucion de una inecuacion, en general, no es uno o varios valores aislados de la incognita,sino un conjunto completo, frecuentemente determinado por una o varias desigualdades. Puedeser, sin embargo, que una inecuacion (o un sistema de inecuaciones) no posea solucion. Pararesolver inecuaciones, es necesario seguir estrategias que transformen la inecuacion en inecuacionesequivalentes, con el proposito de dejar aislada la (o las) incognitas. Para ello, usamos una extensionde las reglas que hemos introducido para resolver ecuaciones:


15 1.6. RESOLUCION DE INECUACIONES

Sumar la misma cantidad a los dos miembros de la ecuacion mantiene la desigualdad. Pararesolver (1.12) sumamos 1 a los dos miembros de la ecuacion, obteniendo

3x ≤ 6. (1.14)

Multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuacion por el mismo numero, si este es positivomantiene la desigualdad. Para resolver la ecuacion anterior, dividimos los dos miembros dela ecuacion por 3, obteniendo la solucion de (1.12):

x ≤ 2.

En cambio, multiplicar o dividir los dos miembros de la ecuacion por el mismo numero, sieste es negativo cambia el sentido de la desigualdad. Por ejemplo, si queremos resolver

−3x ≤ 6,

dividimos los dos miembros de la inecuacion por −3, obteniendo

x ≥ −2.

Elevar los dos miembros de la ecuacion a un mismo numero mantiene la desigualdad. Estamanipulacion puede introducir soluciones falsas o eliminar soluciones verdaderas, al igual queen el caso de las ecuaciones. Para evitar estas dificultades, el uso del valor absoluto puederesultar de utilidad. Por ejemplo, podemos sacar la raız cuadrada de los dos miembros de lainecuacion

(x− 1)2 ≤ 4, (1.15)

obteniendo|x− 1| ≤

√4,

lo cual se reescribe como−2 ≤ x− 1 ≤ 2.

Sumando 1 ahora a cada termino de la cadena de desigualdades, obtenemos la solucion de lainecuacion (1.15):

−1 ≤ x ≤ 3.

Para ejercitar estas reglas, podemos resolver la inecuacion (1.13). En primer lugar, transformamosla inecuacion a forma homogenea restando 9 a cada miembro:

4x2 − 2x− 1 > 0. (1.16)

Como hemos obtenido las raıces x− y x+ del polinomio 4x2−2x−1 en (1.4), tenemos el polinomiofactorizado como

4x2 − 2x− 1 = 4(x− x−)(x− x+).

Por tanto, dividiendo por 4, la inecuacion (1.16) se transforma en

(x− x−)(x− x+) > 0.


1.7. FUNCIONES POLINOMICAS 16

Para que el producto de dos numeros sea positivo, ambos numeros deben ser bien positivos, biennegativos a la vez. Por tanto, la solucion de nuestra inecuacion es el conjunto de los numeros x ∈ Rque satisface

O bien x− x− > 0, y x− x+ > 0, o bien x− x− < 0, y x− x+ < 0.

O sea,O bien x > x−, y x > x+, o bien x < x−, y x < x+.

Pero como x− < x+, las desigualdades anteriores proporcionan la solucion de la inecuacion (1.16):

O bien x > x+, o bien x < x−.

1.7. Funciones polinomicas

Pasamos a continuacion al repaso de las funciones mas sencillas, que aparecen frecuentemente enaplicaciones de las matematicas y, especialmente, en Bioquımica. Nuestro objetivo sera conocer ladefinicion y las propiedades basicas de las funciones consideradas. Estudiaremos especialmente losceros, el crecimiento y decrecimiento, las posibles sigularidades y el comportamiento en el infinito.Estudiaremos tambien algunos aspectos de la representacion grafica de funciones: Su interpretacion,y como usarla para resolver ecuaciones e inecuaciones.

Recordemos en primer lugar que una funcion es una regla que transforma numeros reales ennumeros reales (tambien se habla de funciones de variable compleja, que no consideraremos aquı).Puede estar definida en todo o en parte de R. Por ejemplo, la funcion

f(x) =x + 2x2 + 1

esta definida en todo R, mientras que la funcion

g(x) =x + 2x2 − 1

esta definida en todo R, excepto en x = −1 y en x = 1, que son los puntos donde se anulael denominador. Se llama dominio de la funcion al conjunto de puntos en que esta definida. Eldominio de f es todo R, mientras que el dominio de g es R \ {−1, 1}.

La funciones mas sencillas de calcular son las que se construyen usando sumas y productos. Estasson las funciones polinomicas, que por esta simplicidad aparecen con frecuencia en aplicaciones delas matematicas, y ademas se usan para aproximar funciones mas complejas. La estructura de unafuncion polinomica es

f(x) = anxn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x + a0,

donde los coeficientes an, an−1, · · · , a1 y a0 son numeros reales dados. Es importante conocer elcomportamiento de las funciones polinomicas de grado bajo, ası como sus graficas. Esto ayuda autilizarlas de forma practica con soltura. El caso mas sencillo (aparte de las funciones constantes)son las funciones polinomicas de grado 1, o lineales. Se llaman ası porque su grafica es una lınearecta. Su estructura es

f(x) = a1x + a0.


17 1.7. FUNCIONES POLINOMICAS

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

Recta y=2x+1Recta y=3/2-x

Figura 1.1: Graficas de rectas

Los coeficientes a1 y a0 pueden ser interpretados geometricamente en la grafica de la funcion: a0

es la altura del corte con el eje OY (O sea, f(0)), y a1 es la pendiente de la recta. La pendiente sepuede calcular conociendo dos puntos de la recta:

a1 =f(b)− f(a)

b− a.

Un par de puntos notables para ello son los cortes con los ejes coordenados (correspondientes aa = 0, f(b) = 0): (0, f(0)) y (b, 0). En este caso,

a1 =−f(0)

b,

con lo que la ecuacion de la recta es

f(x) = −f(0)b

x + f(0).

En la Figura 1.1 se representa una recta con pendiente positiva y otra con pendiente negativa. Unarecta corta al eje OX en un unico punto x = −a0

a1si su pendiente es no nula. Se dice que tiene un

unico cero.La funcion polinomica de segundo grado

f(x) = a2x2 + a1x + a0, con a2 6= 0

se representa graficamente como una parabola. Buscando un cuadrado perfecto, escribimos

f(x) = a2(x− α)2 + β, con α =a1

2a2, β = a0 − a2a

21

4a22

.


1.7. FUNCIONES POLINOMICAS 18

-5

0

5

10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

y

x

Parabola y=(x-1)2+1Parabola y=-2(x+1)2+7

Figura 1.2: Graficas de parabolas

De aquı deducimos que la grafica de la curva es simetrica respecto al punto x = α (O sea, quef(α− t) = f(α + t), para cualquier numero real t).

Deducimos ademas que si a2 > 0 la curva alcanza su mınimo en x = α:

f(α) ≤ f(x), ∀x ∈ R.

Ademas, en este caso los valores de f aumentan indefinidamente si x aumenta indefinidamente. Sedice que

lımx→+∞

f(x) = +∞.

Tambien tenemos, debido a la simetrıa de la funcion,

lımx→−∞

f(x) = +∞.

Si a2 < 0, el punto x = α es un maximo:

f(α) ≥ f(x), ∀x ∈ R.

Por otra parte, si a2 < 0, los valores de f disminuyen indefinidamente si x aumenta indefinidamente:

lımx→+∞

f(x) = −∞, lımx→−∞

f(x) = −∞.

Podemos ver estas propiedades en la Figura 1.2 en que hemos representado los dos tipos de parabo-las.

Una funcion polinomica de grado dos puede no anularse nunca (es el caso de la curva azul en laFigura 1.2). Sin embargo, si se anula necesariamente tiene dos ceros (caso de la curva roja). Ello


19 1.7. FUNCIONES POLINOMICAS

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4

y

x

Curva y=x(x2+2)Curva y=-x(x2-1)

Figura 1.3: Graficas de parabolas

ocurre porque si un polinomio tiene un cero complejo, entonces el conjugado de este tambien escero del polinomio. En efecto, supongamos factorizado el polinomio como

f(x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn),

donde an ∈ R y x1, x2, · · · , xn ∈ C son las raıces de f . Entonces, tomando conjugados,

f(x) = f(x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn).

Por tanto las raıces de f son x1, x2, · · · , xn.Esta propiedad puede usarse tambien para clasificar las funciones polinomicas de grado 3,

o cubicas: Deben tener al menos un cero real, ya que de tener todos los ceros complejos, estosserıan al menos 4 (cada cero y su conjugado). Entonces, o bien tienen exactamente un cero real, obien tienen 3. En el primer caso admiten la factorizacion

f(x) = a3(x− x1)P2(x);

donde x1 es el cero real, y P2 es un polinomio de grado 2 con dos ceros complejos conjugados, yen el segundo, admiten la factorizacion

f(x) = a3(x− x1)(x− x2)(x− x3),

donde x1, x2 y x3 son los ceros reales de f . En la Figura 1.3 hemos representado una curva decada una de estas clases. Podemos ver como ambas tienden a infinito (con el signo dado por a3 ypor x) cuando x tiende a infinito.

En general, el comportamiento de una funcion polinomica viene determinado conociendo susceros. Si conocemos todos los ceros x1, x2, · · · , xn de f(x), esta se factoriza por

f(x) = an(x− x1)(x− x2) · · · (x− xn).


1.8. FUNCIONES RACIONALES 20

Esto permite determinar el signo de f(x) y su comportamiento en el infinito. Si, por ejemplo,an > 0, entonces f(x) > 0 si x > xn, f(x) < 0 si xn−1 < x < xn, etc: f mantiene signo constanteentre dos raıces, y el signo va cambiando alternativamente al incrementarse (o decrementars) x.Por otra parte, si an > 0,

lımx→+∞

f(x) = +∞

si n es par, ylım

x→+∞f(x) = −∞

si n es impar. Si an < 0, entonces todos los signos se cambian por los opuestos.

1.8. Funciones racionales

Las funciones racionales son cocientes de funciones polinomicas. Se construyen, pues, anadiendola division a la suma y el producto como operaciones para construir funciones. La estructura generalde una funcion polinomica es

f(x) =p(x)q(x)

,

donde p(x) y q(x) son polinomios. El comportamiento de una funcion polinomica viene marcadopor los ceros de p y q, y por los grados de estos:

Dominio: En general, el dominio de una funcion polinomica no es todo R, ya que noesta definida en los puntos en que se anula el denominador. Sin embargo, puede ser quenumerador y denominador se anulen en un mismo punto. Para evitar esta ambiguedad, hayque factorizar p y q eliminando los factores correspondientes a ceros comunes. Por ejemplo,si

p(x) = x3 − 6x2 + 11x− 6, q(x) = x4 − 5x3 + 8x2 − 4x,

factorizamosp(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3), q(x) = x(x− 1)(x− 2)2,

y eliminamos los factores comunes (x− 1)(x− 2), de modo que

f(x) =x− 3

x(x− 2).

El dominio de f es entonces Dom(f) = R \ {1, 2, 3}. La Figura 1.4 representa esta funcion,donde podemos observar su comportamiento general.

Ceros: En principio, los ceros de f son los de su numerador p, aunque hay que considerar laposibilidad de que el denominador q se anule a su vez en algun cero de p. Una vez factorizadosp y q, los ceros de f son los de p. En el ejemplo anterior, el unico cero de f es x = 3.

Asıntotas verticales. En los ceros del denominador, f no esta definida. Sin embargo, sı loesta en puntos arbitrariamente cercanos. Una vez simplificada f , en el entorno de un cero deq, el numerador p toma valores no nulos, por lo que f(x) va a hacerse cada vez mayor (envalor absoluto) cuando x se acerque al cero. El signo de f dependera de los signos de p y q,


21 1.8. FUNCIONES RACIONALES

-10

-5

0

5

10

-4 -2 0 2 4

y

x

Funcion Racional f(x)=(x-3)/(x*(x-2))

Figura 1.4: Funcion racional

pero sera constante entre dos ceros consecutivos de p y q. En definitiva, si a es un cero de q,y nos acercamos por la derecha a a, tenemos

lımx→a+

f(x) = +∞ o lımx→a+

f(x) = −∞,

donde el signo + o − dependera de los signos de p y q a la derecha de a. Igualmente, si nosacercamos por la izquierda a a, tenemos

lımx→a−

f(x) = −∞ o lımx→a−

f(x) = +∞,

donde ahora el signo de ∞ es el opuesto al lımite anterior, ya que f a la izquierda de a tieneel signo opuesto que a la derecha.

En el ejemplo anterior, los ceros del denominador (una vez simplificada f) son x = 0 y x = 2.Vemos que f(x) < 0 si 2 < x < 3. Por tanto,

lımx→2+

f(x) = −∞,

y entonceslım

x→2−f(x) = +∞.

Comportamiento en el infinito. En el infinito, tanto p como q crecen indefinidamente,pero el comportamiento preponderante es del que tenga mayor crecimiento, que viene dadopor su grado. Para determinar el lımite, la tecnica adecuada es dividir por x elevado al gradodel denominador. Aquı no importa que la fraccion no este simplificada, ya que al crecer xnos alejamos de los ceros de ambos. En el ejemplo anterior, el grado de q es 4, por lo quedividimos por x4. Escribimos

lımx→+∞

f(x) = lımx→+∞

x3 − 6x2 + 11x− 6x4 − 5x3 + 8x2 − 4x

= lımx→+∞

x−1 − 6x−2 + 11x−3 − 6x−4

1− 5x−1 + 8x−2 − 4x−3= 0.


1.9. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 22

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZ

ZZa

α

b c

β

Figura 1.5: Triangulo rectangulo

Si tenemos la fraccion inversa, dividimos por x3:

lımx→+∞

x4 − 5x3 + 8x2 − 4x

x3 − 6x2 + 11x− 6= lım

x→+∞x− 5 + 8x−1 − 4x−2

1− 6x−1 + 11x−2 − 6x−3= +∞.

Si numerador y denominador tienen el mismo grado, obtenemos un lımite finito,

lımx→+∞

f(x) = lımx→+∞

3x4 + x3 − 6x2 + 11x− 6x4 − 5x3 + 8x2 − 4x

= lımx→+∞

3 + x−1 − 6x−2 + 11x−3 − 6x−4

1− 5x−1 + 8x−2 − 4x−3= 3.

1.9. Funciones trigonometricas

Una gran cantidad de procesos naturales tienen naturaleza ondulatoria. Esto ocurre, por ejem-plo, con las mareas oceanicas, la rotacion de la Tierra o la oscilacion de un pendulo. Pero es tambienel caso de ciertos fenomenos especıficos de la Bioquımica, como es por ejemplo la transmision dela senal electrica a traves del axon de la neurona.

Las funciones mas utilizadas para representar matematicamente los procesos ondulatorios sonlas funciones trigonometricas. Esto se debe a dos razones: Son relativamente faciles de calcular, ytienen caracter periodico. Podemos usar el seno, por ejemplo, para representar una oscilacion deun pendulo, de perıodo T . Ponemos

f(t) = A sen(2πt/T ),

donde A es la amplitud de la oscilacion. Esta ecuacion corresponde a uun oscilador armonico simple.Como la funcion seno es periodica de perıodo 2π, la funcion f(t) es periodica de perıodo T :

f(t + T ) = f(t), ∀t ∈ R.

El nombre de amplitud se debe a que f varıa entre −A y A, dado que el seno varıa entre −1 y 1.Recordemos la definicion y las propiedades mas importantes de las funciones seno y coseno.

Ambas se construyen a partir de triangulos rectangulos (Figura 1.5):

sen α =Longitud cateto opuesto

Longitud hipotenusa=

b

c, cosα =

Longitud cateto adyacenteLongitud hipotenusa

=a

c.


23 1.9. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

-1

-0.5

0

0.5

1

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

Funcion senoFuncion coseno

((a)) Seno y coseno

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1as

in(x

)x

Funcion arcoseno

((b)) Arcoseno

Figura 1.6: Graficas de funciones seno, coseno y arcoseno

Entoncessenβ =

a

c, cos β =

b

c.

De modo que, como α + β = π/2, deducimos

sen(π/2− α) = cos(α), cos(π/2− α) = sen(α). (1.17)

Por el Teorema de Pitagoras, a2 + b2 = c2, y de aquı la relacion fundamental

sen2 α + cos2 α = 1.

Ambas funciones se definen de forma natural para angulos menores o iguales que π/2. Paraα ∈ [−π/2, 0], se orientan los ejes horizontal y vertical, de modo que

sen(α) = − sen(−α), cos(α) = cos(−α), si α ∈ [−π/2, 0]. (1.18)

Tenemos ası definidas seno y coseno en [−π/2, π/2]. Usando ahora la relacion (1.17), las definimosen [0, π]. Por ultimo, usando (1.18) las definimos en [−π, 0].

De su definicion, el seno se anula si α = 0 o si α = π, y el coseno se anula si α = −π/2o α = π/2. Ambas funciones se extienden de forma natural para angulos mayores que π, o menoresque −π, de forma periodica,

sen(2kπ + α) = sen(α), cos(2kπ + α) = cos(α), ∀k ∈ Z, si α ∈ [−π, π].

De este modo, seno y coseno se definen sobre todo R como funciones periodicas de perıodo 2π.Basta conocerlas en cualquier intervalo de longitud 2π para tenerlas determinadas en todo R.

Las funciones seno y coseno satisfacen una serie de relaciones que resultan de utilidad, quemencionamos sin demostracion:

sen(α + β) = sen α cos β + sen β cosα;


1.9. FUNCIONES TRIGONOMETRICAS 24

-10

-5

0

5

10

-6 -4 -2 0 2 4 6

y

x

Funcion tangente

((a)) Tangente

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-60 -40 -20 0 20 40 60at

an(x

)x

Funcion arcotangente

((b)) Arcotangente

Figura 1.7: Graficas de funciones tangente y arcotangente

cos(α + β) = cos α cos β − sen α sen β;

sen(α) sen(β) =12

[cos(α− β)− cos(α + β)] ;

cos(α) cos(β) =12

[cos(α + β) + cos(α− β)] ;

La funcion seno es biyectiva y creciente de [−π/2, π/2] en [−1, 1]. Se puede definir su funcioninversa, llamada arcoseno, de [−1, 1] en [−π/2, π/2], como sigue:

arc sen(x) = y si sen(y) = x.

Notemos que la funcion arcoseno no esta bien definida de [−1, 1] en [−π, π], ya que a cada valorde x le corresponderıan dos valores de y. Podemos observar la grafica de la funcion arcoseno enla Figura 1.6(b). Vemos que, al igual que el seno es creciente en [−π/2, π/2], el arcoseno es unafuncion creciente en [−1, 1].

En realidad, si una funcion es creciente y admite inversa, esta es creciente. En efecto, supon-gamos que f es creciente:

Si x1 < x2, con x1, x2 ∈ Dom(f), entonces f(x1) < f(x2).

Para probar que su inversa (que denotamos por f−1) es creciente, supongamos que y1 < y2, cony1, y2 ∈ Dom(f−1). Esto significa que existen x1, x2 ∈ Dom(f) tales que y1 = f(x1), y2 = f(x2).De ser x2 < x1, al ser f creciente deberıamos tener y2 = f(x2) < y1 = f(x1), lo cual es falso. Portanto, o bien x1 = x2, o bien x1 < x2. Pero en el primer caso, serıa y1 = f(x1) = y2 = f(x2), locual tambien es falso. Concluımos que f−1(y1) = x1 < f−1(y2) = x2. O sea, que f−1 es creciente.

Igualmente, si la funcion es decreciente, su inversa es decreciente.De forma analoga se define la funcion inversa del coseno, el arcocoseno, que es decreciente de

[−1, 1] en [0, π].


25 1.10. FUNCION EXPONENCIAL

Son tambien de relevancia varias funciones construidas a partir del seno y del coseno. Porejemplo, la funcion tangente,

tanα =sen α

cos α, definida si α 6= (2k + 1)

π

2, k ∈ Z,

donde los puntos (2k + 1)π2 , k ∈ Z son los ceros del coseno. La funcion tangente es periodica de

perıodo π, y tiene asıntotas verticales en las rectas x = (2k +1)π2 (Ver Figura 1.7(a)). Es biyectiva

de (−π/2, π/2) en R, por lo que su funcion inversa, llamada arcotangente, es biyectiva de R en(−π/2, π/2). Al igual que la tangente, el arcotangente es una funcion estrictamente creciente (VerFigura 1.7(b)). Ademas, tiende a la asıntota y = π/2 cuando x → +∞, y a la asıntota y = −π/2cuando x → −∞: Las asıntotas verticales de la tangente se transforman en asıntotas horizontalesdel arcotangente.

1.10. Funcion exponencial

Es posible elevar un numero racional positivo a un numero racional cualquiera:

pn/m = ( m√

p)n, con p > 0 racional y n, m enteros.

Para ello es necesario saber calcular la raız m-sima de un numero racional, lo cual es posible conun procedimiento iterativo especialmente disenado, o con algoritmos especıficos como el habitualpara calcular la raız cuadrada.

Este procedimiento puede ser extendido para elevar un numero real positivo a a un numero realx. Para ello, aproximamos a y x por numeros racionales a1, a2, a3 · · · , x1, x2, x3 · · · (por ejemplo,sus desarrollos decimales), y aproximamos ax por ax1

1 , ax22 , ax3

3 , · · · . Esto proporciona una sucesionconvergente cuyo lımite es ax.

La funcion exponencial siempre es positiva. Sin embargo, sus caracterısticas dependen de si labase a es mayor o menor que 1. Obviamente, si a = 1 obtenemos la funcion constante igual a 1. Enla Figura 1.8 podemos observar las graficas en las dos situaciones: Si a > 1, la funcion es creciente,tiende a +∞ cuando x → +∞, y tiende a la asıntota horizontal y = 0 cuando x → −∞. Cuandoa < 1, los comportamientos en +∞ y −∞ son los opuestos respecto al caso anterior. En realidadeste segundo caso es una consecuencia del primero, ya que

ax = (a−1)−x =1

(a−1)x,

y si a < 1, entonces a−1 > 1.La funcion exponencial tiene la notable propiedad de transformar suma en producto:

ax+y = ax ay. (1.19)

Existe una base natural, que es el numero e. Para definirlo, denotemos fa(x) = ax. Entonces,el numero e esta caracterizado por

f ′e(x) = fe(x),

donde f ′e denota la funcion derivada de fe (que estudiaremos en el Tema 3). Se demuestra queexiste un unico numero e > 0 que cumple esta propiedad. Se trata de un numero irracional, que se


1.11. FUNCION LOGARITMICA 26

0

1

2

3

4

5

6

7

8

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

Funcion exponencial y=2x

Funcion exponencial y=(1/2)x

Figura 1.8: Funcion exponencial

aproxima por e ' 2, 7182818284590452354. Fue introducido por el matematico escoces John Napier(Neper) en 1614. Por convenio, el logaritmo con base e (tambien llamado neperiano o natural) sedenota por ln.

El logaritmo con base 10, por abreviar, se suele denotar log, omitiendo la base. Sin embargo esnecesario prestar atencion, ya que en ciertos libros y programas de calculo cientıfico, la notacionlog se usa para el logaritmo neperiano.

1.11. Funcion logarıtmica

La funcion logarıtmica es la funcion inversa de la funcion exponencial:

loga(x) = y si ay = x, ∀x > 0.

La exponencial es biyectiva de R en (0, +∞), por lo que su inversa es biyectiva de (0, +∞) en R.Para representar la grafica de la funcion logarıtmica, observemos que si un punto (x, y) esta en

la grafica de una funcion, entonces el punto (y, x) esta en la grafica de su funcion inversa (si estaexiste). En efecto, si (x, y) esta en la grafica de f , entonces y = f(x). De aquı x = f−1(y), y portanto (y, x) esta en la grafica de f−1. O sea, que las graficas de f y f−1 son simetricas respecto dela recta y = x. Podemos observar la aplicacion de este hecho a la grafica de la funcion logaritmoen la Figura 1.9.

Una propiedad notable de la funcion logarıtmica es

loga bc = c loga b.

Esta propiedad se demuestra como sigue:

aloga b = b ⇒ ac loga b = bc, lo que significa que loga bc = c loga b.


27 1.11. FUNCION LOGARITMICA

-10

-5

0

5

10

-15 -10 -5 0 5 10 15

y

x

Funcion exponencial con base 2Funcion logaritmica con base 2

y=x

Figura 1.9: Funcion logarıtmica como funcion inversa de la exponencial

De aquı, se puede calcular el logaritmo en cualquier base a partir del logaritmo neperiano. Enefecto, si

y = loga x, entonces ay = x, de donde y ln a = ln x, y por tanto y = loga x =ln x

ln a.

Otra interesante propiedad de la funcion logarıtmica es que transforma producto en suma:

loga(xy) = loga(x) + loga(y). (1.20)

Esta propiedad se deriva de la propiedad (1.19) de la funcion exponencial.Los logaritmos y la funcion logarıtmica se usan con frecuencia en Biologıa y Bioquımica. Por

ejemplo, el pH de una solucion es el logaritmo decimal de la concentracion molar de iones H+, consigno opuesto.

Una aplicacion en Bioquımica de las funciones exponencial y logarıtmica corresponde a ladesintegracion de isotopos radiactivos. Los isotopos radiactivos son usados por ejemplo para datarmuestras de vida fosil, y son de utilidad en investigacion biomedica como trazadores de ciertostipos de tejidos. El decaimiento del numero de atomos radiactivos presentes en un instante dadoN(t) viene dado por la ley

N(t) = N0 e−λt,

donde N0 es el numero inicial de atomos, y λ es la tasa de desintegracion del isotopo (fraccion delnumero de isotopos que se desintegran por unidad de tiempo, que es constante para cada elemento).

Un tiempo caracterıstico de la desintegracion de isotopos es la llamada vida media, que es eltiempo que tarda una determinada cantidad de atomos en reducirse a la mitad. Para calcularla,escribimos

N(t1/2) =12

N0. O sea, N0 e−λt1/2 =12

N0.

De aquı, tomando logaritmo neperiano,

t1/2 =ln 2λ

.


1.11. FUNCION LOGARITMICA 28

0

20

40

60

80

100

0 1 2 3 4 5

Por

cent

aje

de r

adia

ctiv

idad

orig

inal

Numero de vidas medias

Decaimiento del Carbono 14

((a)) Escala normal

0.1

1

10

100

0 1 2 3 4 5P

orce

ntaj

e de

rad

iact

ivid

ad o

rigin

alNumero de vidas medias

Decaimiento del Carbono 14

((b)) Escala logarıtmica en y

Figura 1.10: Decaimiento del Carbono 14

Por ejemplo, el Carbono 14 C14 tiene una tasa de desintegracion λ = 1,216 × 10−4/ano. Su vidamedia es entonces

t1/2 =ln 2

1,216× 10−4anos ' 5,700 anos.

1.11.1. Graficas en escala logarıtmica

La propiedad (1.20) permite transformar funciones potenciales en funciones lineales. En efecto,si

f(x) = b ax con b, a > 0,

entoncesln f(x) = ln b + x ln a,

por lo que la funcion ln f(x) es lineal en x.Esto sugiere utilizar escalas logarıtmicas para representar graficamente funciones que tienen un

crecimiento exponencial. Observemos que el decaimiento de isotopos radiactivos obedece la ley

N(t) = e− ln 2t/t1/2 ,

por lo que

log N(t) = − ln 2t1/2

t.

En la Figura 1.10 podemos observar las graficas de N(t) en escala normal, y logarıtmica en y(llamada semilogarıtmica). Observamos en el primer lugar una exponencial decreciente, y en elsegundo una recta decreciente. El segundo caso permite distinguir mejor la evolucion de la cantidadde isotopo cuando esta es pequena.

Se puede usar una escala totalmente logarıtmica (en x y en y) para representar funcionespotenciales. Consideremos, por ejemplo, la funcion

y = 100 x−2/3 para x > 0


29 1.12. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 1 2 3 4 5 6

y

x

y=100 x-2/3

((a)) Escala normal

0.1

1

10

100

1000

0.1 1 10 100 1000 10000

y

x

y=100 x-2/3, escala logarítmicaEje x=1Eje y=1

((b)) Escala logarıtmica

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 0 1 2 3 4

Y=

log

y

X=log x

Y=log(100)-2/3 XEje X=0Eje Y=0

((c)) Funcion lineal equivalente

Figura 1.11: Funcion potencial decreciente

Tomando logaritmos la funcion se transforma en

Y = log 100− 23X, siendo Y = log y, X = log x,

que es una funcion lineal. De nuevo, podemos observar mejor la variacion de la funcion cuando susvalores son pequenos (Figura 1.11). Las divisiones de los ejes en la escala logarıtmica se corres-ponden de forma directa con la escala lineal, pero no deben confundirse (comparar la segunda ytercera figuras en la Figura 1.11).

La escala logarıtmica permite determinar el comportamiento de ciertos procesos. Por ejemplo,en la Figura 1.12 se representa el crecimiento del numero de celulas en un plato de Petri. Cuandolas bacteras son cultivadas en un nutriente de agar en un plato de Petri, el numero de celulas ini-cialmente crece exponencialmente, doblandose a intervalos regulares. Sin embargo, eventualmenteeste numero se acerca a un lımite debido a la limitada disponibilidad de nutrientes. A partir dela grafica con escala lineal estandar, es difıcil determinar cuanto dura el crecimiento exponencial,e incluso si este crecimiento es exponencial en los primeros momentos. Si la grafica se representaen escala logarıtmica, el crecimiento exponencial puede ser observado como crecimiento lineal. Esposible determinar con cierta precision el tiempo que tarda el numero de celulas en multiplicarsepor 10, ya que la escala es logarıtmica con base 10. Determinamos que este crecimiento tiene lugardesde el primer momento, y dura aproximadamente hasta el instante t = 15h, en que el numerode celulas se estabiliza.

1.12. Representacion grafica de funciones

La grafica de una funcion proporciona mucha informacion cualitativa sobre el proceso que re-presenta. Es por ello muy importante saber por una parte representar correctamente la grafica deuna funcion cuyos valores numericos son conocidos, para transmitir esta informacion a otras per-sonas. Por otra parte, es tambien muy importante saber interpretar el comportamiento del procesoa partir de la grafica que lo representa. Por ejemplo, la Figura 1.13 representa la diversidad deespecies (es decir, el numero de especies) en funcion de la productividad primaria (la velocidad conque los autotrofos convierten la luz o la energıa quımica inorganica en energıa quımica organica).Vemos como para pequenas productividades la diversidad es pequena, pero va aumentando hasta


1.12. REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONES 30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20

Cel

ulas

en

el p

lato

/100

0

Tiempo (h)

Nro. de celulas en un plato de Petri

((a)) Escala normal

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0 5 10 15 20lo

g(C

elul

as e

n el

pla

to/1

000)

Tiempo (h)

Nro. de celulas en un plato de Petri

((b)) Escala logarıtmica

Figura 1.12: Crecimiento del numero de celulas en un plato de Petri

un valor maximo, a partir del cual de nuevo decrece. Existe, pues, un valor optimo de productivi-dad primaria al que esta asociado un maximo de diversidad de especies. Vemos tambien como ladiversidad decrece progresivamente al aumentar la productividad. La correcta interpretacion de larepresentacion grafica de curvas requiere conocer los siguientes elementos:

Dominio. Es el conjunto de puntos x donde la funcion esta definida. En el caso de la Figura1.13, el dominio es D = [0, +∞). En efecto, solo tiene sentido considerar productividadespositivas (o nulas).

Recorrido. Es el conjunto de valores y que alcanza la funcion. Esto nos da una idea de lamagnitud de la funcion que estamos considerando. En el caso de la Figura 1.13, el recorridoes, aproximadamente, [0, 600]. O sea, que en la zona de estudio el optimo de la productividadprimaria genera unas 600 especies.

Zonas de crecimiento y decrecimiento. Maximos y mınimos. Proporcionan infor-macion sobre como varıa la funcion considerada al aumentar o disminuir la variable inde-pendiente, y de cuales son sus maximos o mınimos. La identificacion de estos es importanteen muchos procesos. En el caso de la Figura 1.13, ya hemos comentado que la diversidadaumenta para pequenos valores de la productividad, y disminuye para grandes valores de lamisma, existiendo un unico valor maximo.

Asıntotas verticales. Algunos procesos tienen comportamientos “explosivos”. Por ejemplo,magnitudes que crecen de forma incontrolada en tiempo finito (imaginemos la presion gen-erada por una explosion). Es el caso del comportamiento cuando x → 0+ o x → 0− en laFigura 1.4.

Asıntotas horizontales. Determinan el comportamiento de la funcion considerada cuandola variable independiente tiende a +∞ o −∞. En el caso de la Figura 1.13, la diversidadtiende a cero si la productividad tiende a +∞.


31 1.13. RESOLUCION GRAFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES

0

100

200

300

400

500

600

700

0 2 4 6 8 10 12

Div

ersi

dad

Productividad Primaria

Figura 1.13: Diversidad de especies en funcion de la productividad primaria

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30

y

x

ProductividadAsintota

Figura 1.14: Curva con asıntota oblicua cuando x → +∞

Asıntotas oblicuas. Tambien determinan el comportamiento de la funcion en el infinito. Eneste caso, la funcion se acerca progresivamente a una recta que no es horizontal. Se caracterizapor

lımx→+∞

[f(x)− (ax + b)] = 0,

siendo y = ax + b la ecuacion de la asıntota. De aquı, a y b se obtienen por

lımx→+∞

f(x)x

= a, y lımx→+∞

[f(x)− ax] = b.

1.13. Resolucion grafica de ecuaciones e inecuaciones

Podemos usar las facilidades que nos proporcionan los programas de dibujo de graficas pararesolver ecuaciones e inecuaciones. Estos procedimientos son relativamente rudimentarios frente


1.13. RESOLUCION GRAFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES 32

a tecnicas analıticas y numericas, pero los usaremos aquı dada la escasez de tiempo de curso deque disponemos. Basicamente, se trata de hacer un zoom en el entorno de los ceros de la funcionconsiderada.

Supongamos que queremos resolver la ecuacion f(x) = 0, siendo f una funcion conocida.Representando su grafica, o usando informacion sobre la funcion de la que disponemos previamente,podemos identificar un intervalo en el que se encuentra un cero x0. Denotamos por [a1, b1] esteintervalo. Si denotamos por c1 al centro de este intervalo, entonces la distancia entre c1 y el ceroqueda acotada por

|x0 − c1| ≤ b1 − a1

2.

Observando la grafica de la funcion en este intervalo, podemos determinar un intervalo mas pequenoen el que se encuentre el cero: [a2, b2]. Podemos suponer sin dificultad que la longitud de esteintervalo es, como mucho, la mitad de la del primero. Si denotamos por c2 el centro de esteintervalo, tendremos

|x0 − c2| ≤ b2 − a2

2≤ b1 − a1

4.

A su vez, representando la grafica en este intervalo, podemos determinar un intervalo [a3, b3] quecontiene al cero, y cuya longitud es, como mucho, la mitad de la longitud de [a2, b2]. Tendremosentonces

|x0 − c3| ≤ b3 − a3

2≤ b2 − a2

4≤ b1 − a1

8.

Consideramos los centros de los intervalos como aproximaciones al cero de la funcion que pretende-mos obtener. Determinamos ası una sucesion de numeros {c1, c2, c3, · · · } cada vez mas proximosal cero, ya que de hecho satisfacen

|x0 − cn| ≤ b1 − a1

2n.

En la practica podemos mejorar la precision, si conseguimos por ejemplo dividir por diez la longitudde los intervalos en cada etapa. Esto proporciona la estimacion

|x0 − cn| ≤ b1 − a1

10n,

lo que significa que conseguimos una cifra decimal exacta mas en cada iteracion. En el caso anterior,conseguimos una cifra binaria exacta mas en cada iteracion. Detendremos el procedimiento cuandocalculemos el cero con la precision requerida por la aplicacion concreta con la que trabajemos.

Este procedimiento esta ilustrado en la Figura 3.1. La funcion representada es

f(x) = 5√

x

x3 + 1− 1.

Esta funcion posee dos ceros, que denotamos por x0 y x1. En la cuarta iteracion, el segundo ceroes aproximadamente x1 ' 1,785.

Por otra parte, para resolver inecuaciones en la forma

f(x) ≤ 0,


33 1.13. RESOLUCION GRAFICA DE ECUACIONES E INECUACIONES

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-1 0 1 2 3 4

y

x

Determinacion del cero de una funcion. Paso 1

((a)) Iteracion 1

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

1.6 1.8 2 2.2 2.4

y

x


((b)) Iteracion 2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

1.7 1.72 1.74 1.76 1.78 1.8 1.82 1.84 1.86 1.88 1.9

y

x


((c)) Iteracion 3

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

1.78 1.785 1.79 1.795 1.8

y

x


((d)) Iteracion 4

Figura 1.15: Aproximacion grafica del cero de una funcion

nos apoyamos en el procedimiento anterior para calcular los ceros: A la vista de la grafica podemosdeterminar cualitativamente los intervalos en que la funcion es positiva y negativa. Entonces,basta determinar los extremos de estos intervalos para localizar los conjuntos de puntos x en quef(x) ≤ 0. Por ejemplo, la funcion de la Figura 3.1 es menor o igual que cero si, o bien x ≥ x1, o bien0 < x < x0 (la funcion solo esta definida para x > 0). Ya que tenemos aproximado x1 ' 1,785,nos basta aproximar x0. Usando el mismo procedimiento, obtenemos x0 ' 0,04, por lo que lainecuacion f(x) ≤ 0 se resuelve aproximadamente por

O bien 0 < x ≤ 0,04, o bien x ≥ 1,785.

Estos procedimientos pueden tambien aplicarse a resolver ecuaciones de la forma

h(x) = g(x),

o inecuaciones de la formah(x) ≤ g(x),

utilizando la funcion diferencia f(x) = h(x) − g(x). Tambien se puede utilizar directamente larepresentacion grafica de las dos funciones, aproximando los puntos de corte mediante zoomsprogresivos, en lugar de los ceros de f .


Bloque II: Calculo

En este bloque estudiaremos dos instrumentos fundamentales de la matematica moderna parael manejo de funciones: Derivacion e integracion. Esto nos permitira obtener informacion asoci-ada a estas funciones de diversos tipos: Comportamiento cualitativo y cuantitativo (crecimiento-decrecimiento, maximos y mınimos), aproximaciones de funciones por funciones mas sencillas,calculo de areas, volumenes y longitudes, entre otras.

Muchos procesos bioquımicos se modelan matematicamente mediante funciones. Estas funcionescodifican el comportamiento de los procesos. Usando el calculo diferencial e integral podremosası extraer informacion de utilidad sobre estos procesos.

35

Capıtulo 2

Tema 2: Diferenciacion

La vida como la conocemos serıa imposible sin cambios. Cambios en la concentracion de sustan-cias en pequenas distancias son muy importantes en Bioquımica. Por ejemplo, dos tercios del ATPproducido en las neuronas es consumido por proteinas que envıan cationes a traves de la membranacelular al medio extracelular, disminuyendo la concentracion de potasio y aumentando la de sodio.El gradiente de concentracion a traves de la membrana celular proporciona la fuerza conductorapara la entrada en la celula de agua, glucosa y otros nutrientes. Otro ejemplo es la diferencia detemperatura entre los animales de sangre caliente y su entorno, que limita las caracterısticas desus cuerpos. Por ejemplo, las focas suavizan las transferencias de calor entre su cuerpo y el entornoenvolviendose en capas de grasa y pelo.

Este tema esta dedicado a la diferenciacion o derivacion, que es la rama de las matematicas quepredice como cambios en una cantidad determinaran cambios en otra. Estudiaremos como analizary esbozar los grafos de diferentes curvas, como hacer aproximaciones polinomicas y como manejarpequenos errores en medidas experimentales.

2.1. Lımites y continuidad de funciones

En la base del concepto de derivada esta un concepto abstracto, que nos sera absolutamentenecesario: El concepto de lımite de una funcion en un punto. La idea es que los valores de lafuncion se acercan al valor lımite cuando la variable independiente se acerca al punto. Para definirloformalmente, consideremos una funcion f(x) definida en un intervalo (a, b), y consideremos unpunto c ∈ (a, b). Diremos que el lımite de f(x) en el punto x = c es l ∈ R si:

Dado un intervalo arbitrariamente pequeno (l − ε, l + ε), podemos encontrar un intervalo entorno a c, (c − δ, c + δ), tal que toda la imagen del intervalo (c − δ, c + δ) (salvo el punto c)esta incluida en el intervalo (l − ε, l + ε). O sea,

si 0 < |x− c| < δ, entonces |f(x)− l| < ε.

En este caso, se escribelımx→c

f(x) = l.

37

2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 38

-1

-0.5

0

0.5

1

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

y

x

sen(1/x)

((a)) sen(1/x)

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6y

x

xsen(1/x)

((b)) x sen(1/x)

Figura 2.1: Lımites de sen(1/x) y de x sen(1/x) en x = 0.

Por ejemplo, la funcion sen(1/x) no tiene lımite en x = 0: Podemos encontrar valores de xarbitrariamente cercanos a cero tales que sen(1/x) toma cualquier valor a entre 0 y 1. En efecto,

sen(1/x) = a si 1/x = arc sen(a) + 2kπ, ∀k ∈ Z.

Entonces, si xk =1

arc sen(a) + 2kπ, tenemos sen(1/xk) = a.

Por tanto, los valores de sen(1/x) no pueden acercarse a ningun lımite l concreto cuando x → 0.En cambio,

lımx→0

x sen(1/x) = 0.

En efecto, denotemos f(x) = x sen(1/x), c = 0, l = 0. Entonces,

|f(x)− l| = |x sen(1/x)| ≤ |x|.

Si queremos que |f(x)− l| < ε cuando |x− c| < δ, basta elegir δ = ε: La imagen por f del intervalo(c− ε, c + ε) (excepto x = 0) esta contenida en el intervalo (l − ε, l + ε).

El concepto anterior de lımite se extiende de forma natural a lımites por la derecha (cuandox > c) y por la izquierda (cuando x < c): Basta pedir que la imagen de (c, c + δ) (en el primercaso) o de (c− δ, c) (en el segundo caso) este incluida en el intervalo (l − ε, l + ε). Se denota

lımx→c+

f(x) = l o lımx→c−

f(x) = l.

Los lımites verifican un algebra que permite calcular nuevos lımites a partir de los ya conocidos.Por ejemplo, si existen los lımites de f y g en x = c, entonces

lımx→c

(f(x) + g(x)) = lımx→c

f(x) + lımx→c

g(x),


39 2.1. LIMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

lımx→c

(f(x)g(x)) = lımx→c

f(x) lımx→c

g(x),

lımx→c

f(x)g(x)

=lımx→c

f(x)

lımx→c

g(x)si lım

x→cg(x) 6= 0,

lımx→c

ef(x) = elımx→c f(x),

lımx→c

loga(f(x)) = loga( lımx→c

f(x)) si lımx→c

f(x) > 0.

La continuidad de una funcion intuitivamente significa que la funcion “se puede dibujar sin levantarel lapiz del papel ”. Matematicamente esto se formaliza pidiendo que el lımite de la funcion encada punto x del dominio de la funcion coincida con el valor de la funcion f(x). De hecho, esteconcepto se puede particularizar a cada punto: Supongamos que una funcion f esta definida en unintervalo (a, b) y sea c un punto del intervalo. Diremos que f es continua en c si

lımx→c

f(x) = f(c).

Por ejemplo, aunque la funcion f(x) = x sen(1/x) no esta definida en x = 0, como lımx→0

f(x) = 0,

podemos definir f(0) = 0, con lo que la funcion ası definida es continua en x = 0.Las funciones que ya hemos estudiado son continuas en sus dominios de definicion, salvo alguna

excepcion: polinomicas, racionales (cuando el denominador no se anula), potencial, exponencial,logaritmo. Podemos probar, por ejemplo, que la funcion logarıtmica f(x) = ln(x) es continua entodo punto c > 0: Para ello estudiamos si la diferencia |f(x)− f(c)| es menor que ε cuando x y cestan suficientemente cerca:

|f(x)− f(c)| = | ln(x

c)| < ε ⇔ −ε < ln(

x

c) < ε ⇔ e−ε <

x

c< eε

Ponemosx

c=

x− c

c+ 1, y entonces

|f(x)− f(c)| = | ln(x

c)| < ε ⇔ e−ε − 1 <

x− c

c< eε − 1 ⇔ c(e−ε − 1) < x− c < c(eε − 1).

Basta tomar entonces δ = mın{|c(e−ε − 1)|, c(eε − 1)} para tener |f(x)− f(c)| < ε si |x− c| < δ.De forma analoga a los conceptos de lımite por la derecha y por la izquierda, se definen los

conceptos de continuidad por la derecha y por la izquierda. Por ejemplo, la funcion f es continuapor la derecha en x = c si

lımx→c+

f(x) = f(c).

Se denota f(x+) = f(c).El algebra de funciones continuas es consecuencia del algebra de lımites: La suma y el pro-

ducto de funciones continuas en un punto son continuos en ese punto, el cociente tambien si eldenominador no se anula en el punto.

Ademas, la composicion de funciones continuas es continua: Supongamos que f esta definidaen (a, b) y que g esta definida en f((a, b)).

Definimos la funcion compuesta g ◦ f en (a, b) por

g ◦ f(x) = g(f(x)), ∀x ∈ (a, b).


2.2. CONCEPTO DE DERIVADA 40

Supongamos que f es continua en c ∈ (a, b) y g es continua en g(c). Entonces g ◦ f es continua enc.

En la practica, esta propiedad significa que la composicion de las funciones que ya hemosestudiado es continua, ya que cada una de ellas lo es, siempre y cuando permanezcamos en eldominio de definicion de cada funcion. Por ejemplo, si pk es un polinomio de grado k, la funcion

f(x) = ln(pk(x))

es continua en los puntos en que pk > 0, ya que de otro modo f no esta definida. A su vez, lafuncion

g(x) =√

pk(x)

es tambien continua en los puntos en que pk > 0. En los puntos en que pk(x) = 0 sera continuabien por la derecha, bien por la izquierda, o incluso por los dos lados, dependiendo del signo de pk

a la derecha y a la izquierda de x.

2.2. Concepto de derivada

El concepto de derivada es uno de los mas importantes de la matematica actual. En su formamoderna fue introducido por Newton y Leibnitz a finales del siglo XVII. Newton lo uso, por ejemplo,para calcular la orbita de la Luna y de los planetas a partir de su famosa Ley de GravitacionUniversal.

La derivada expresa basicamente la rapidez con la que una funcion varıa en cada punto. Con-sideremos una funcion f definida en un intervalo (a, b), y un punto c ∈ (a, b). La variacion de f

entre c y otro punto x de (a, b) es f(x)− f(c), y su variacion promedio,f(x)− f(c)

x− c.

La derivada de f en x = c se define como el lımite de la variacion promedio:

f ′(c) = lımx→c

f(x)− f(c)x− c

. (2.1)

Si la funcion es continua en x = c, el numerador de este cociente se anula en x = c, por lo quecabe esperar que este lımite exista. Obviamente, no existira si f no es continua en x = c. De hecho,se demuestra facilmente que si f es derivable en c, entonces es continua en c.

Podemos caracterizar la derivada como sigue: La recta secante a la curva y = f(x) en dospuntos (c, f(c)) y (d, f(d)) es

y = p(x− c) + f(c), con p =f(d)− f(c)

d− c,

de modo que la pendiente a esta recta secante es justamente la variacion promedio de f entre cy d. Si acercamos d a c, la recta secante se acercara progresivamente a una ideal “recta tangente”cuya pendiente sera logicamente f ′(c). La ecuacion de esta recta sera, pues,

y = f ′(c)(x− c) + f(c).

Esto ocurrira solamente si existe esta derivada, y entenderemos que la curva y = f(x) admite unarecta tangente en el punto (c, f(c)) si f es derivable en x = c.


412.3. INFORMACION PROPORCIONADA POR LA DERIVADA:CRECIMIENTO Y

DECRECIMIENTO DE LA FUNCION.

Figura 2.2: Derivada de la funcion seno

Si una funcion es derivable en un conjunto D, se puede definir la funcion derivada: f ′ : D → Rque transforma cada punto x ∈ D en la derivada de f en ese punto, f ′(x). Es un concepto practico,que permite denotar las derivadas de funciones habituales con comodidad. En la Figura 2.2 serepresenta la funcion seno (trazo fino), su funcion derivada (trazo grueso) y la pendiente en unpunto, asociada a la altura de un triangulo de base unidad.

La notacion f ′ que estamos usando se debe a Lagrange. Existen otras notaciones para las

derivadas. Por ejemplo,df

dx(debida a Leibnitz) o f (debida a Newton). Esta ultima es mas utilizada

en Fısica.

2.3. Informacion proporcionada por la derivada:Crecimientoy decrecimiento de la funcion.

Supongamo que f ′(c) > 0. De (2.1) deducimos que

f(x)− f(c)x− c

> 0

si x esta suficientemente cercano a c. Por tanto, si x < c tendremos f(x) < f(c), y si c < xtendremos f(c) < f(x). Por tanto, la funcion es creciente en x = c. Igualmente, si f ′(c) < 0, lafuncion f sera decreciente en x = c.


2.4. CALCULO DE DERIVADAS 42

f(x) f’(x)xn nxn−1

xa axa−1, x ≥ 0ax ln a ax

loga(x)ln a

x, x > 0

sen x cos xcosx − sen x

Cuadro 2.1: Derivadas de algunas funciones elementales

Si f ′(c) = 0, no podemos decidir si la funcion crece o decrece. Sin embargo, si f tiene un maximo(por ejemplo) en x = c, entonces es creciente a la izquierda de c, por lo que de (2.1) deducimosf ′(x) ≥ 0. Tambien sera decreciente a la derecha de x = c, por lo que f ′(x) ≤ 0. Por tanto, sif admite un maximo en x = c, debe ser f ′(c) = 0. Igualmente ocurre si f admite un mınimo enx = c. En cualquiera de los dos casos, la recta tangente a y = f(x) en x = c es horizontal.

Sin embargo, puede ser que f ′(c) = 0 pero c no sea un maximo ni un mınimo de f . En estecaso, se dice que c es un punto de inflexion. Es el caso de c = 0 para la funcion f(x) = x3.

2.4. Calculo de derivadas

Existe un calculo de derivadas que permite calcularlas de forma automatica para estas funcioneshabituales. Por ejemplo, si f(x) = xn, entonces f ′(x) = nxn−1. La tabla 2.4 presenta las derivadasde las funciones elementales mas frecuentes. Las funciones habituales son derivables en “casi todos”los puntos de sus dominios de definicion. Afortunadamente la aparicion de programas informaticosque efectuan estos calculos nos libera del aprendizaje de tecnicas de derivacion complejas. Nos serannecesarios, sin embargo, algunas tecnicas de derivacion que permiten calcular derivadas de nuevasfunciones a partir de derivadas conocidas:

Derivada de la suma. Si dos funciones f y h son derivables en un punto c, entonces f + h esderivable en c, y

(f + h)′ = f ′(c) + h′(c).

Para justificar esta igualdad, observamos que

(f + h)(c + δ)− (f + h)(c)δ

=f(c + δ)− f(c)

δ+

h(c + δ)− h(c)δ

.

Derivada del producto. Si dos funciones f y h son derivables en un punto c, entonces fh esderivable en c, y

(fh)′ = f ′(c)h(c) + f(c)h′(c).

Para justificar esta identidad, observamos que (sumamos y restamos f(c + δ)h(c))

(fh)(c + δ)− (fh)(c)δ

= f(c + δ)h(c + δ)− h(c)

δ+

f(c + δ)− f(c)δ

h(c).


43 2.4. CALCULO DE DERIVADAS

Derivada del cociente. Derivamos en primer lugar 1/f en puntos x tales que f(x) 6= 0.Usamos que si f(x) 6= 0, entonces f(z) 6= 0 para z cercano a x (f es continua en x al ser derivable).

Entonces f1f

= 1 en puntos cercanos a x. Usamos la derivada del producto:

f ′(x)1

f(x)+ f(x)

d

dx

(1f

)(x) = 0 ⇒ d

dx

(1f

)(x) = − f ′(x)

f2(x).

De aquı derivamos el cociente g/f = g · 1/f usando la derivada del producto:

d

dx

(g

f

)(x) = g′(x)

1f(x)

+ g(x)d

dx

(1f

)(x) =

g′(x)f(x)− g(x)f ′(x)f2(x)

.

Regla de la cadena. Esta regla permite derivar funciones compuestas. Se enuncia como sigue:Supongamos que f esta definida en (a, b) y es derivable en un punto c ∈ (a, b). Supongamos que

g esta definida en f((a, b)) y es derivable en f(c). Entonces g ◦ f es derivable en c, y

(g ◦ f)′(c) = g′(f(c))f ′(c).

Podemos justificar esta expresion considerando que si una funcion es derivable en un punto,entonces su comportamiento cerca del punto es similar al de su recta tangente. Aproximamosentonces

f(c + δ) ' f(c) + δf ′(c), g(f(c) + ε) ' g(f(c)) + εg′(f(c)).

Entoncesg(f(c + δ)) ' g(f(c) + δf ′(c)) ' g(f(c)) + δg′(f(c))f ′(c).

Por tanto,

g(f(c + δ))− g(f(c))δ

' g(f(c)) + δg′(f(c))f ′(c)− g(f(c))δ

= g′(f(c))f ′(c).

Derivada de la funcion inversa. Para calcular la derivada de la funcion inversa, usamos laregla de la cadena: Observamos que

(f−1 ◦ f)(x) = x.

De aquı,(f−1)′(f(x)) f ′(x) = 1,

y por tanto

(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x)⇒ (f−1)′(y) =

1f ′((f−1)(y))

.

Podemos aplicar esta regla a calcular la derivada del logaritmo:

eln x = x ⇒ d

dxln x eln x = 1 ⇒ d

dxln x =

1eln x

=1x

.

Derivada logarıtmica. En ciertas ocasiones, resulta comodo derivar el logaritmo de unafuncion para calcular su derivada. Observemos que segun la regla de la cadena, si f es derivableen x y f(x) > 0,

d

dxln(f(x)) =

f ′(x)f(x)

.


2.5. POLINOMIO DE TAYLOR 44

Podemos usar esta tecnica para calcular, por ejemplo, la derivada de f(x) = ax:

ln(f(x)) = x ln a ⇒ f ′(x)f(x)

= ln a ⇒ f ′(x) = ln a ax.

Es tambien interesante como se puede deducir la formula para la derivada del producto: Pongamosh = fg. Entonces

ln(h(x)) = ln(f(x)) + ln(g(x)) ⇒ h′(x)h(x)

=f ′(x)f(x)

+g′(x)g(x)

⇒ h′(x) =(

f ′(x)f(x)

+g′(x)g(x)

)h(x),

y de aquıh′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

2.5. Polinomio de Taylor

La derivada tiene una utilidad fundamental, que es el aproximar la funcion cerca de un puntopor la tangente en ese punto. Frecuentemente el calculo de la funcion es complejo (pensemos, porejemplo, en la exponencial, el logaritmo, etc.), mientras que calcular el valor de una recta requiereunicamente sumas y productos.

Consideremos una funcion f(x) definida en un intervalo (a, b), derivable en un punto c delintervalo. Tenemos, pues,

f(x) ' t(x) = f ′(c)(x− c) + f(c),

donde hemos denotado por t(x) a la recta tangente a y = f(x) en el punto (c, f(c)). Podemospensar que obtendremos una mejor aproximacion si aproximamos f no ya por un polinomio degrado 1, sino por un polinomio de grado 2. Nos planteamos ahora construir el polinomio de grado2 cuya primera y segunda derivadas en c coincidan con las de f . Denotemos este polinomio por

t2(x) = a2(x− c)2 + a1(x− c) + a0.

Entonces t′2(x) = 2a2(x− c) + a1 y t′′2(x) = 2a2. De aquı,

t2(c) = a0, t′2(c) = a1, t′′2(c) = 2a2.

Si queremos que t2(c) = f(c), t′2(c) = f ′(c) y t′′2(c) = f ′′(c), basta tomar

a0 = f(c), a1 = f ′(c), a2 =12f ′′(c),

con lo que

t2(x) =12f ′′(c)(x− c)2 + f ′(c)(x− c) + f(c).

En general, podemos construir un polinomio de grado n,

tn(x) = an(x− c)n + · · ·+ a2(x− c)2 + a1(x− c) + a0


45 2.5. POLINOMIO DE TAYLOR

cuyas derivadas sucesivas en x = c hasta el orden n coincidan con las de f . Observamos que

tk)2 (c) = k!ak para k = 0, 1, · · · , n. Basta tomar ak =

fk)(c)k!

para que tk)2 (c) = fk)(c). Tendremos

entoncestn(x) = f(c) + f ′(c)(x− c) +

12f ′′(c)(x− c)2 + · · ·+ 1

n!fn)(c)(x− c)n.

A tn se le llama polinomio de Taylor de orden n de la funcion f en el punto x = c. En particular,la recta tangente en x = c es el polinomio de Taylor de orden 1 en x = c.

Para muchas funciones los sucesivos polinomios de Taylor proporcionan aproximaciones a fque mejoran al aumentar el grado n. Obviamente deben ser funciones que sean derivables hastacualquier orden en x = c (se dice que son indefinidamente derivables).

Es importante poder determinar el error que se comete al aproximar una funcion por su poli-nomio de Taylor, en otro caso, la aproximacion quedarıa en buena medida indeterminada. Esteerror viene dado por la siguiente expresion:

f(x)− tn(x) =1

(n + 1)!fn+1)(ξ)(x− c)n, para cierto punto ξ ∈ (mın{x, c}, max{x, c}). (2.2)

La expresion del error es parecida a la expresion del termino correspondiente a n+1 en la expresionde tn+1. Esto ayuda a recordarla.

Consideremos, como ejemplo, la funcion exponencial: f(x) = ex. Determinemos su polinomiode Taylor de orden n en c = 0. Su derivada coincide con ella misma: f ′(x) = ex, y por tantofn)(x) = ex, ∀n = 0, 1, 2, · · · . Por tanto,

fn)(0) = 1, ∀n = 0, 1, 2, · · · ,

y su polinomio de Taylor en c = 0 de orden n es

tn(x) = 1 + x + x2 + · · ·+ 1(n− 1)!

xn−1 +1n!

xn.

El error que cometemos es

ex − tn(x) =1

(n + 1)!eξxn+1.

El punto ξ no es conocido, pero sı sabemos que esta en el intervalo (mın{x, 0}, max{x, 0}). Porello, podemos estimar (o sea, acotar) el error cometido por

|ex − tn(x)| ≤ 1(n + 1)!

e|x||x|n+1.

Podemos usar esta expresion para aproximar la exponencial con un error predeterminado mediantesu polinomio de Taylor. Si, por ejemplo, queremos aproximar el valor e2 con 6 cifras decimalesexactas, nuestro objetivo sera determinar n de modo que |e2 − tn(x)| ≤ 10−6. Segun la estimacionanterior, bastara que

1(n + 1)!

e22(n+1) ≤ 10−6.

Como en principio no conocemos e2, lo acotamos por 32 = 9: Pedimos

91

(n + 1)!2(n+1) ≤ 10−6.


2.6. APLICACIONES 46

Un calculo muestra que si n = 13, el error es 2,25 × 10−7 y si n = 12, el error es 1,18 × 10−5.tomamos, pues, n = 13, con lo que t13(2) = 7,389055882389215 proporciona una aproximaciona e2 = 7,38905609893065 con 6 cifras decimales exactas (hay que redondear el valor t13(2) en lasexta cifra, esto proporciona la aproximacion e2 ' 7,389056).

Construir los polinomios de Taylor para una funcion dada es una tarea en general complicada,afortunadamente los programas de calculo cientıfico nos permiten hacerlo con comodidad.

2.6. Aplicaciones

Vemos en esta seccion varias aplicaciones de utilidad en Bioquımica del calculo con derivadas:Determinacion de maximos y mınimos, estimacion de errores experimentales y representacion grafi-ca de curvas.

2.6.1. Maximos y mınimos

Buscaremos los maximos y los mınimos de una funcion diferenciable entre los puntos que anulana la derivada. Podemos usar la informacion proporcionada por el signo de f ′ para determinar siun punto c tal que f ′(c) = 0 es un maximo o un mınimo, o un punto de inflexion:

Si f ′(x) ≥ 0 en un intervalo (c−δ, c), y f ′(x) ≤ 0 en un intervalo (c, c+δ), entonces f admiteun maximo en x = c.

En este caso, la pendiente en puntos a la izquierda de c es mayor que en puntos a la derechade c. Se dice que la curva y = f(x) es concava en x = c (Ver Figura 3.1).

Si f ′(x) ≤ 0 en un intervalo (c−δ, c), y f ′(x) ≥ 0 en un intervalo (c, c+δ), entonces f admiteun mınimo en x = c (Ver Figura 3.1).

En este caso, la pendiente en puntos a la izquierda de c es menor que en puntos a la derechade c. Se dice que la curva y = f(x) es convexa en x = c.

Si o bien f ′(x) ≥ 0 en un intervalo (c − δ, c), y f ′(x) ≥ 0 en un intervalo (c, c + δ), o bienf ′(x) ≤ 0 en un intervalo (c− δ, c), y f ′(x) ≤ 0 en un intervalo (c, c + δ), entonces f admiteun punto de inflexion.

Se puede usar la informacion proporcionada por la segunda derivada para determinar maximos ymınimos, pero usar solo la primera esta menos sujeto a errores.

Podemos aplicar esta tecnica por ejemplo a determinar curvas cerradas que encierran un areamaxima. Esto permite a la celula encerrar un maximo de material vital con un mınimo costeen la construccion de la membrana. Supongamos que la forma de la celula va a ser rectangular.Denotemos por a y b las longitudes de los lados. El area y la longitud del rectangulo vienen dadaspor

A = ab, l = 2(a + b).

Nos planteamos minimizar la longitud de modo que el area este fijada. Entonces, la longitud vienedada por

l = f(b) = 2(A/b + b).


47 2.6. APLICACIONES

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

y

x

-(x-3)22*(x-2)-1

0-2*(x-4)-1

((a)) Curva concava

-1

0

1

2

3

4

5

6

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

y

x

x2+12-2*(x+1)

12*(x-1)+2

((b)) Curva convexa

Figura 2.3: Curvas concava y convexa: Maximo, mınimo, decrecimiento y crecimiento de la derivada.

El optimo satisfara f ′(b) = 0: 2(−A

b2+ 1) = 0, de donde

b2 = A y entonces b = bopt =√

A. De aquı, aopt =√

A,

por lo que la figura optima es un cuadrado. Comprobamos que es un maximo: f ′ solo se anula sib = bopt, es negativa si b < bopt y positiva si b > bopt (basta calcular el signo de f ′ en un puntode cada uno de estos intervalos). Por tanto, f es decreciente si b < bopt y creciente si b > bopt. Setrata efectivamente de un mınimo, que ademas es global: Es el mınimo de f en todo el dominio dedefinicion de f , que es (0, +∞).

Obviamente la forma real de las celulas no es cuadrada, sin embargo si partimos de un polıgonode n lados un procedimiento de calculo de maximos analogo (que excede la complejidad tecnica deeste curso) nos determina que el area maxima se consigue si el polıgono es regular: todos los ladosson iguales. Nos vamos, pues, acercando a la forma esferica.

2.6.2. Estimacion de errores generados por errores de medidas experi-mentales

A partir de la informacion proporcionada por medidas experimentales con frecuencia se obtieneinformacion post-procesada. Supongamos que tenemos una medicion experimental rm del valor realr de una magnitud, que viene afectada por un error maximo de medida conocido e. Pretendemoscalcular el valor de cierta funcion conocida f en r, para lo que aproximamos f(r) ' f(rm).

Podemos usar la derivada para estimar el error cometido:

E = f(rm)− f(r) ' f ′(rm)(rm − r).

Por tanto,|E| . |f ′(rm)|e. (2.3)



Supongamos, por ejemplo, que hemos medido aproximadamente el radio r de un huevo de erizo demar, resultando ser rm = 80 µm con un error entre −5 µm y 5 µm. Si queremos calcular el volumendel huevo, suponiendo que este sea esferico, debemos calcular

V (r) =43πr3.

Aproximamos este volumen por V (rm) = f(rm) = 2144660,6 µm3. Para estimar el error, usamos(2.3), teniendo en cuenta que V ′(r) = 4πr2:

|E| . 4πr2m × 5 µm3 = 402123,9 µm3.

El error relativo esta, pues, acotado por

|E|/V (rm) . 0,19

Hemos cometido un error inferior al 19%.

2.6.3. Aproximacion de valores experimentales

Las mediciones experimentales proporcionan valores de una determinada funcion para ciertosvalores de la variable independiente. El numero de mediciones necesariamente deben ser limitado,por lo que no es posible conocer la funcion en todos los puntos. Es posible proporcionar unaestimacion de los errores cometidos usando una aproximacion lineal: Aproximamos la funcion quequeremos medir por su tangente.

Supongamos que queremos medir los valores de una funcion f en un valor x = c de la variable in-dependiente. Cada medicion experimental nos proporciona un valor aproximado fi, i = 1, 2, · · · , N ,que en realidad corresponden a valores f(ci) y no a f(c), ya que resulta de gran dificultad conseguirque la variable independiente tome exactamente el valor deseado c.

Para aproximar el valor f(c), encontramos un intervalo [ci, ci+1] que contenga a c. Supondremospor fijar ideas que i = 1. Aproximamos f en el intervalo [c1, c2] por su recta tangente en c1:

f(x) ' t(x) = f ′(c1)(x− c1) + f(c1).

A su vez, aproximamos la derivada de f en c1 por

f ′(c1) ' p =f(c2)− f(c1)

c2 − c1,

con lo que f(c) queda aproximado por

f(c) ' p(c− c1) + f(c1). (2.4)

Podemos estimar el error cometido usando la estimacion de error del polinomio de Taylor

|f(c)− f(c1)| ≤ |f ′′(ξ)|2

(c− c1)2, (2.5)

siendo ξ un punto situado entre c y c1. Sera necesario conocer o al menos estimar f ′′, lo cual sepuede hacer conociendo dos valores de f ′ de la misma forma que hemos aproximado f ′ conociendodos valores de f .


49 2.6. APLICACIONES

Consideremos por ejemplo la variacion de la temperatura corporal de un animal de sangre frıaa lo largo del dıa. Hemos medido las temperaturas a las t = 8h, t = 10h, t = 14h, t = 17h, t = 20hresultando ser T = 15o, T = 23o, T = 29o, T = 33o y T = 25o. Pretendemos determinar sutemperatura a las 12h y a las 19h.

Observamos en primer lugar que 12 ∈ [10, 14], por lo que usamos (2.4) para aproximar T (12):

T (12) ' 2p + T (10) = 26o,

siendo

p =T (14)− T (10)

14− 10=

64

= 1,5

Para estimar el error, usamos (2.5). Aproximamos

T ′′(ξ) ' T ′(14)− T ′(10)/14− 10

.

Ya tenemos una aproximacion de T ′(10) ' 1,5. Igualmente, aproximamos T ′(10) por

T ′(14) ' T (17)− T (14)17− 14

=43.

De aquı, T ′′(ξ) ' 4/3− 6/414− 10

= − 124

, y el error se estima por

|E| . |T′′(ξ)2

(12− 10)2| = 112

grados.

Esto supone un error relativo |E/T (12)| aproximadamente menor que 0,003: un 0,3%.

2.6.4. Representacion grafica de curvas

En el Tema 1 describimos algunos elementos basicos para representar graficamente una funcion:Determinacion del dominio, de sus ceros, y de sus asıntotas.

La informacion proporcionada por el signo de derivada permite determinar los intervalos decrecimiento y decrecimiento de una funcion, ası como sus maximos y mınimos. Estos elementosconjuntamente permiten esbozar con mucho detalle la grafica de una curva.

El uso de la derivada ademas permite encuadrar correctamente el marco del dibujo si se usa unprograma informatico para dibujar la curva. Es fudamental saber utilizar estos elementos teoricos,de otro la representacion puede quedar incompleta y dar lugar a interpretaciones erroneas.

Para conseguir un correcto encuadre de la grafica, determinamos en primer lugar el intervalo deleje de abscisas. Este debe contener todos los ceros y las asıntotas verticales, y ser suficientementeamplio para que quede claro el comportamiento en +∞ y −∞, tanto si hay alguna asıntota como sila curva oscila o tiende a infinito. En segundo lugar se determina el intervalo del eje de ordenadas.Este debe englobar los maximos y los mınimos de la funcion, y ser lo suficientemente amplio paraque quede clara la existencia de asıntotas verticales.


Capıtulo 3

Tema 3: Integracion

El calculo integral constituye la segunda herramienta fundamental, junto al calculo diferencial,en el modelado matematico y el analisis cuantitativo de procesos de las ciencias aplicadas, en par-ticular en Bioquımica. Mientras el calculo diferencial es mas util en el modelado, en la formulacionmatematica de los procesos, el calculo diferencial lo es mas bien en la resolucion de los problemas.

Veremos en este tema por una parte la descripcion de los elementos teoricos basicos del calcu-lo integral de funciones de una variable. Por otra, varias aplicaciones de interes en Bioquımica:Calculo de areas, de longitudes y de volumenes de revolucion. Esto permitira en la practica extraerinformacion util de la descripcion mediante funciones de procesos en Bioquımica. Pensemos endeterminar areas ocupadas por cultivos, volumenes de celulas, longitudes de cadenas de proteınasu otras moleculas organicas, entre otras aplicaciones. Aprenderemos ademas a aproximar estasintegrales cuando estas funciones sean conocidas solo en algunos puntos.

3.1. Area encerrada por una funcion

El calculo integral responde en primer lugar a la siguiente pregunta: Dada una funcion f(x) :[a, b] → R, ¿Como determinar el area encerrada entre la grafica de la curva y = f(x) y el eje OXen el intervalo [a, b]? Observemos que si se resuelve esta cuestion mediante un procedimiento, ellopermitira determinar el area encerrada entre dos curvas distintas, y = f(x) y y = g(x) usandoconvenientemente el procedimiento anterior.

La idea de base es aproximar el calculo del area por una suma de areas de rectangulos. Paraello, consideramos una particion de [a, b] Ph = {a = x0 < x1 < x2 < · · ·xn = b} con puntosuniformemente espaciados: xi = a + ih, h = (b − a)/n. Aproximamos el area encerrada entre lacurva y = f(x) y el eje OX en el intervalo [xi−1, xi] por el area del rectangulo de base xi − xi−1

y altura f(xi): f(xi)(xi − xi−1). Entonces, el area encerrada entre la curva y el eje OX en todo elintervalo [a, b] viene aproximada por la suma de todas estas aproximaciones,

S(f,Ph) =n∑

i=1

f(xi)(xi − xi−1).

Podemos entonces argumentar que el area encerrada entre la curva y el eje OX en el intervalo [a, b]

51

3.1. AREA ENCERRADA POR UNA FUNCION 52

Figura 3.1: Sumas de Riemann para calcular el area de un semicırculo.

muy posiblemente sera el lımitelımh→0

S(f,Ph), (3.1)

si este lımite existe.Queda, sin embargo, la cuestion de si este lımite existe si tomamos otras particiones, con puntos

no uniformemente espaciados. Para resolverla, se aproxima el area por exceso y por defecto. Si losdos lımites (por exceso y por defecto) coinciden, entonces se dice que la funcion es integrable (masen concreto, integrable-Riemann), y que el area coincide con el lımite. De hecho de esta forma sedefine rigurosamente el area encerrada por la curva.

La aproximacion por exceso se realiza como sigue: Se considera el maximo Mi de la funcion fen el intervalo [xi−1, xi]. Entonces el area bajo la curva en este intervalo sera menor que el areade base xi − xi−1 y altura Mi: Mi(xi − xi−1). Igualmente, si mi es el mınimo de f en el intervalo[xi−1, xi], el area bajo la curva en este intervalo sera mayor que el area de base xi − xi−1 y alturami:mi(xi − xi−1). Entonces, el area encerrada en todo el intervalo [a, b] estara comprendida entre

Sinf (f,Ph) =n∑

i=1

mi(xi − xi−1) y Ssup(f,Ph)n∑

i=1

Mi(xi − xi−1).

En la Figura ?? se pueden ver estas sumas para calcular el area de un semicırculo. Los rectangulosverde oscuro corresponden a la suma inferior, y los verde claro, a la superior.

Se dice que la funcion f es integrable-Riemann si

lımdiam(P)→0

Sinf (f,Ph) = lımdiam(P)→0

Ssup(f,Ph),


53 3.2. CALCULO DE INTEGRALES

siendo diam(P) = maxi=1,··· ,n

xi − xi−1 el diametro de la particion P. A este lımite se le denota por

∫ b

a

f(x) dx, (3.2)

donde el sımbolo∫

es una ”S”estilizada, y la expresion f(x) dx es una adaptacion de la expresionf(xi)(xi − xi−1).

Se demuestra que en este caso existe el lımite (3.1) y coincide con el area. De hecho, tambienexiste el mismo lımite si en la expresion de S(f,Ph) cambiamos f(xi) por el valor f(ξi), siendo ξi

un punto cualquiera del intervalo [xi−1, xi]. A la suma S(f,Ph) se le llama suma de Riemann dela funcion f respecto de la particion P.

A la expresion (3.2) se la llama integral de la funcion f en el intervalo [a, b]. Como veremos, sepuede usar para calcular no solo areas, sino longitudes, volumenes y otras cantidades.

Se demuestra que si la funcion f es continua en [a, b], entonces es integrable-Riemann. Sinembargo, existe una amplia clase de funciones no continuas que son integrables-Riemann (porejemplo, las que son continuas a trozos en varios subintervalos).

Observemos una diferencia esencial entre los conceptos de derivada e integral: La derivadaestudia como se comporta la funcion en un punto en concreto, mientras que la integral proporcionainformacion sobre el comportamiento de la funcion en todo un intervalo.

3.2. Calculo de integrales

El desarrollo anterior tendrıa poca utilidad practica si no existieran procedimientos automaticospara determinar las integrales de, al menos, las funciones elementales mas usadas. Afortunadamenteeste procedimiento existe, y viene dado por el Teorema Fundamental del Calculo Integral:

Dada una funcion f continua en [a, b], supongamos que existe una funcion F diferenciable en[a, b] tal que F ′ = f en [a, b]. Entonces

∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a). (3.3)

De este modo, puesto que sabemos derivar una amplia gama de funciones, tambien sabremosintegrar las derivadas de estas funciones. Surge ası el llamado calculo de primitivas, que consisteen determinar una funcion F tal que F ′ = f .

Conviene, en todo caso, comprender el origen de la expresion (3.3):∫ b

a

f(x) dx 'n∑

i=1


Como F es derivable, F (xi)− F (xi−1) ' F ′(xi)(xi − xi−1). Entonces,

∫ b

a

f(x) dx 'n∑

i=1

[F (xi)− F (xi−1)] = F (b)− F (a).

En la Tabla 3.2 presentamos las primitivas inmediatas, asociadas a las derivadas dadas en la Tabla??.

Por otra parte, la integral calculada en (3.3) se llama integral definida.


3.3. CALCULO DE PRIMITIVAS 54

f(x)∫

f(x)xn xn+1/(n + 1)xa xa+1/(a + 1), x ≥ 0ax ax/lnaln a

xloga(x), x > 0

cos x senxsen x − cosx

Cuadro 3.1: Primitivas de algunas funciones elementales

3.3. Calculo de primitivas

Existen algunas tecnicas que permiten calcular primitivas de una amplia gama de funciones.Estudiamos aquı dos de ellas: Integracion por partes y cambio de viariable.

Integracion por partes. Se basa en la formula para la derivada de un producto: Si f y g sonderivables en el intervalo [a, b], entonces

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x), ∀x ∈ [a, b].

De aquı deducimos ∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x) dx.

Esta formula se suele simplificar como sigue:∫

fdg = fg −∫

gdf,

donde se denota dg = f ′dx y df = f ′dx.Si pretendemos calcular una integral definida usando esta formula, usamos el Teorema Funda-

mental del Calculo Integral para obtener (suponiendo f ′ y g′ continuas)∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b

a

f ′(x)g(x) dx.

Esta tecnica puede usarse para calcular integrales de productos de funciones, el calculo de laprimitiva se puede simplificar aunque no siempre ocurre ası. Podemos usarla, por ejemplo, paraintegrar productos de polinomios por exponenciales o logaritmos. Por ejemplo,

∫xexdx = xex −

∫exdx = xex − ex = (x− 1)ex,

donde hemos puesto f = x, dg = exdx, de donde df = dx y g = ex.Cambio de variable. Supongamos que queremos integrar la funcion f(x) en un intervalo

[a, b], y que hacemos el cambio de variable x = g(z), donde g es una funcion biyectiva derivable,de [c, d] en [a, b]. Podemos escribir una suma de Riemann de f como

S(f,Ph) =n∑

i=1

f(xi)(xi − xi−1) =n∑

i=1

f(g(zi))(g(zi)− g(zi−1)) 'n∑

i=1

(f ◦ g)(zi))g′(zi)(zi − zi−1),


55 3.3. CALCULO DE PRIMITIVAS

donde zi es el unico punto de [c, d] tal que g(zi) = xi. Observemos que podemos identificar elultimo termino de la expresion anterior con una suma de Riemann para la funcion f ◦ g g′:

n∑

i=1

(f ◦ g)(zi))g′(zi)(zi − zi−1) = S(f ◦ g g′,Qh),

siendo Q la particion de [c, d] formada por los puntos z0 = c < z1 < · · · < zn = d si, por ejemplo,g es creciente. Si la funcion f ◦ g g′ es integrable, entonces estas sumas convergen a la integral deesta funcion en [c, d]. Por tanto,

∫ b

a

f(x)dx =∫ d

c

(f ◦ g)(z)g′(z) dz.

Si g es decreciente, los incrementos zi − zi−1 son negativos, por lo que las sumas de Riemannconvergen a − ∫ d

c(f ◦ g)(z)g′(z) dz, que se suele denotar por

∫ c

d(f ◦ g)(z)g′(z) dz. Observemos que

basta que f sea continua y g derivable con derivada continua para que f ◦ g g′ sea integrable.La expresion anterior se extiende a integrales indefinidas:

∫f(x)dx =

∫(f ◦ g)(z)g′(z) dz. (3.4)

Observemos que si G(z) es una primitiva de f ◦ g g′, entonces una primitiva de f se obtienedeshaciendo el cambio de variables,

F (x) = (G ◦ g)(x).

En la practica es comodo el siguiente formalismo: Se escribe x = g(z) y se deriva formalmente,obteniendo dx = g′(z)dz. De aquı, de forma natural, se tiene la expresion (3.4).

Podemos usar este procedimiento para simplificar el calculo de primitivas, aunque existe unaamplia gama de cambios de variable para muchas primitivas, siendo necesario un gran esfuerzomemorıstico.

Podemos utilizar este procedimiento para calcular el area de un cırculo. La ecuacion delsemicırculo superior es y = f(x) =

√r2 − x2 para x ∈ [−r, r], siendo r el radio del cırculo. El

area del cırculo sera entoncesA = 2

∫ r

−r

√r2 − x2 dx.

Hacemos el cambio de variable x = g(z) = r sen(z) para z ∈ [−π/2, π/2]. Entonces dx = r cos(z) dz,y

∫ r

−r

√r2 − x2 dx =

∫ π/2

−π/2

√r2 − r2 sen(z)2 r cos(z) dz = r2

∫ π/2

−π/2

cos2(z) dz =

= r2

∫ π/2

−π/2

12(1 + cos(2z)) dz = r2 z

2

(1 +

sin(2z)2

)|z=π/2z=−π/2 =

π

2r2.

El area del cırculo es, pues, A = πr2.Es interesante hacer el mismo ejercicio con el cambio de variable x = g(z) = r cos(z). Es muy

parecido, pero hay que tener cuidado con que en este caso la funcion g(z) es decreciente.



3.4. Aplicaciones

Vamos a considerar dos aplicaciones del calculo integral de interes practico en Bioquımica:Calculo de longitudes y calculo de volumenes de revolucion.

Calculo de longitudes. Consideremos una curva en coordenadas parametricas: x = X(t),y = Y (t), para t ∈ [a, b]. Pretendemos determinar un procedimiento para calcular su longitud.Para ello, consideramos una particion Ph = {a = t0 < t1 < t2 < · · · tn = b} de [a, b]. Aproximamosla curva entre cada dos puntos consecutivos ti−1 y ti por una recta. La longitud del segmento derecta es la distancia di entre los puntos Pi−1 = (X(ti−1), Y (ti−1)) y Pi = (X(ti), Y (ti)):

di =√

(X(ti)−X(ti−1))2 + (Y (ti)− Y (ti−1))

2.

Ahora bien, si X(t) y Y (t) son derivables, tenemos las aproximaciones

X(ti)−X(ti−1) ' X ′(ti)(ti − ti−1), Y (ti)− Y (ti−1) ' Y ′(ti)(ti − ti−1).

De aquı,

di '√

[X ′(ti)]2 + [Y ′(ti)]

2(ti − ti−1).

Aproximamos entonces la longitud de la curva por la suma de estas longitudes:

n∑

i=1

di =n∑

i=1

√[X ′(ti)]

2 + [Y ′(ti)]2(ti − ti−1),

que identificamos como una suma de Riemann para la funcion φ(t) =√

[x′(t)]2 + [Y ′(t)]2. Podemosentonces pasar al lımite cuando el diametro de la particion tiende a cero, y definir la longitud dela curva como la integral en [a, b] de esta funcion:

L =∫ b

a

√[X ′(t)]2 + [Y ′(t)]2 dt.

Esta integral existira si la funcion φ es integrable.Observemos que si tenemos una curva de forma explıcita, y = f(x) para x ∈ [a, b], la podemos

escribir en forma parametrica de forma simple haciendo

x = t, y = f(t), t ∈ [a, b].

Entonces la longitud de la curva viene dada por

L =∫ b

a

√1 + [f ′(t)]2 dt.

Podemos aplicar este procedimiento a calcular la longitud de la circunferencia. Parametrizamos lacircunferencia como

x = X(t) = r cos(t), y = Y (t) = r sen(t), t ∈ [0, 2π].

Tenemos[X ′(t)]2 + [Y ′(t)]2 = r2(cos(t)2 + sen(t)2) = r2.


57 3.5. CALCULO APROXIMADO DE AREAS

Por tanto, la longitud es

L =∫ 2π

0

rdt = 2πr.

Calculo de volumenes de revolucion. Supongamos que queremos calcular el volumen del solidoengendrado por la curva y = f(x) > 0 al girar en torno al eje OX con x ∈ [a, b]. Para aproximar estevolumen, consideramos una particion Ph = {a = t0 < t1 < t2 < · · · tn = b} de [a, b]. Aproximamosel volumen engendrado entre cada dos puntos xi−1 y xi por el volumen del cilindro cuya base esel cırculo de radio f(r) y altura xi− xi−1. Este volumen es Vi = π[f(xi)]2(xi− xi−1). Entonces, elvolumen total se aproxima por

V 'n∑

i=1

Vi =n∑

i=1

π[f(xi)]2(xi − xi−1).

Podemos identificar esta expresion como la suma de Riemann para la funcion g(x) = π[f(x)]2

respecto de la particion P:

n∑

i=1

π[f(xi)]2(xi − xi−1) = S(π[f(x)]2,P).

Si f2 es integrable en [a, b], podemos pasar al lımite cuando diam(P) tiende a cero, e calcular elvolumen del cuerpo de revolucion como

V = π

∫ b

a

[f(x)]2 dx.

Podemos aplicar esta formula a calcular el volumen de una esfera de radio r. Esta esfera esta engen-drada por una circunferencia de radio r al girar en torno al eje OX. La ecuacion de la circunferenciaes y = f(x) =

√r2 − x2 para x ∈ [−r, r]. El volumen de la esfera vendra dado por

V = π

∫ r

−r

(r2 − x2) dx = π(r2x− x3

3)|x=r

x=−r =43πr3.

3.5. Calculo aproximado de areas

Con frecuencia la funcion que se desea integrar no es conocida de forma analıtica, sino quese conocen ciertos valores f(x1), f(x2), · · · , f(xn), por ejemplo obtenidos mediante medicionesexperimentales. En estos casos no se puede calcular la integral de forma exacta, pero se puedeaproximar, en principio tanto como se desee, tomando un numero suficiente de mediciones. Estosprocedimientos de aproximacion de integrales se llaman integracion numerica.

La tecnica mas simple es aproximar la integral por la suma de Riemann asociada a la particionP formada por los xi:

∫ b

a

f(x) dx ' S(f,P) =n∑

i=1


Esta formula de integracion numerica se llama de los rectangulos.


3.5. CALCULO APROXIMADO DE AREAS 58

Se demuestra que si f es diferenciable, el error cometido esta acotado por

|∫ b

a

f(x) dx− S(f,P)| ≤ b− a

2max

x∈[a,b]|f ′(x)|h,

siendo h el diametro de la particion.Una formula mas precisa (la de los trapecios) se obtiene como sigue: En cada subintervalo

[xi−1, xi] aproximamos f por la recta que pasa por los puntos (xi−1, f(xi−1)) y (xi, f(xi)). El areabajo la curva en el intervalo [xi−1, xi] se aproxima por el area bajo la recta,

Ai =12(f(xi−1) + f(xi))(xi − xi−1).

Aproximamos el area total por

∫ b

a

f(x) dx 'n∑

i=1

Ai =n∑

i=1

12(f(xi−1 + f(xi))(xi − xi−1) =

= T (f,P) =f(a)(x1 − a) + f(b)(b− xn−1)

2+

n−1∑

i=1

f(xi)xi+1 − xi−1

2.

Si la particion es uniforme (o sea, si xi − xi−1 = h para todo i = 1, · · · , n), entonces esta formulase simplifica mucho:

T (f,P) = [f(a) + f(b)

2+

n−1∑

i=1

f(xi)]h.

En este caso, si f es derivable dos veces, el error viene acotado por

|∫ b

a

f(x) dx− T (f,P)| ≤ b− a

12max

x∈[a,b]|f ′′(x)|h2.

Esto supone una mejora frente a la formula de los rectangulos: Si, por ejemplo, h = 1/10, el errorpara la formula de los rectangulos va a ser aproximadamente como h = 0,1, mientras que el errorpara la formula de los trapecios va a ser aproximadamente como h2 = 0,01.

Podemos aplicar este procedimiento a calcular de forma aproximada el area encerrada bajo lacurva y = f(x) = sen(x) en el intervalo [0, π], con un error menor que 10−3. Tenemos f ′(x) =− cos(x), con lo que |f ′(x)| ≤ 1. De aquı, el error ER =

∫ b

af(x) dx − S(f,P) para la formula de

los rectangulos viene acotado por|ER| ≤ π

2diam(P.

Si suponemos que la particion es uniforme, h = π/n. Por tanto, si queremos que el error sea menorque 10−3 bastara que

π

2h =

π2

2n< 10−3,

O sea, que n ≥ π2/2 × 103 ' 4,935. Esto requiere obviamente muchos calculos, si bien es verdadque estos calculos son perfectamente abordables con los ordenadores modernos.


59 3.5. CALCULO APROXIMADO DE AREAS

Es sin embargo mas preciso usar la formula de los trapecios, que requiere muchos menos calculos.Para estimar el error, calculamos f ′′,

f ′′(x) = − sen(x).

De aquı,max

x∈[0,π]|f ′′(x)| = 1.

Por tanto el error para la formula de los trapecios ET =∫ b

af(x) dx− T (f,P) viene acotado por

|ET | ≤ π

12h2.

Para tener |E| < 10−3 bastara π12 h2 = π3

12n2 < 10−3. O sea

n ≥( π

12× 102

)1/2

' 37.

La diferencia con el metodo de los rectangulos es notable.


3.5. CALCULO APROXIMADO DE AREAS 60


Capıtulo 4

Tema 4: Calculo diferencial envarias variables

En este tema introducimos algunos elementos basicos del calculo diferencial en varias variables.Muchos procesos se pueden describir mediante funciones de variables, habitualmente espacio ytiempo. Podemos pensar, por ejemplo, en la temperatura de un ser vivo, que puede variar entiempo (segun las horas del dıa), pero tambien en espacio (el punto del cuerpo que se considere).Tambien en la concentracion de nutrientes en el interior y en torno a una celula, la concentracion deuna determinada droga en el cuerpo, la velocidad y la presion del viento en el aire, o la intensidad deun campo electrico o magnetico generado por una corriente electrica, entre otros muchos ejemplos.

Al igual que ocurre con las funciones de una variable, las derivadas de una funcion de variasvariables permiten obtener informacion valiosa sobre esta: Permiten conocer y estimar como varıay permiten obtener aproximaciones mediante polinomios, por ejemplo. Aprender a obtener estetipo de informacion van a ser el objetivos basico de este capıtulo.

4.1. Derivadas parciales y plano tangente

Consideremos una funcion de dos variables definida en un dominio D contenido en R2, f(x, y) :D ⊂ R2 7→ R. Podemos pensar por ejemplo en una funcion polinomica, con

f(x, y) = 2− 4x + 3y − 3xy + 2x2 − 3y3,

cuyo dominio de definicion es todo R2. Se llama grado de un polinomio en varias variables a lamayor de las potencias a que esta elevada alguna de las variables independientes. En este caso, elgrado es 3. Se suele representar una funcion de dos variables como z = f(x, y), del mismo modoque se representa una funcion de una variable como y = f(x).

Se llama grafica de una funcion de dos variables al conjunto de puntos del espacio

G = {(x, y, z) ∈ R3 con (x, y) ∈ D, z = f(x, y) }.Podemos pensar tambien en una funcion de onda, que tiene la forma

f(x, t) = 10 sen

(3

(x

5− t

20

))− 5, (4.1)

61

4.1. DERIVADAS PARCIALES Y PLANO TANGENTE 62

cuyo dominio de definicion es tambien todo R2. Aquı x es la variable espacial (distancia al origen)y t es la variable temporal.

Podemos tambien considerar una funcion racional

f(x, y) =2− 4x + 3y − 3xy + 2x2 − 3y3

x2 − 2xy + y2,

cuyo dominio de definicion son todos los puntos (x, y) de R2 en que no se anule el denominador.Como x2 − 2xy + y2 = (x− y)2, el dominio es:

D = {(x, y) ∈ R2 tales que x 6= y}.Las funciones polinomicas son las mas sencillas de calcular, y por ello se utilizan para aproximarfunciones mas complejas, al igual que con funciones de varias variables. La funcion polinomica massencilla (aparte de las constantes) es la de grado 1, cuya expresion general es

z = f(x, y) = α + βx + γy, con α, β, γ ∈ R.

Podemos escribir esta ecuacion como z − βx − γy = α, que reconocemos como la ecuacion de unplano.

Nuestro proposito ahora es el aproximar una funcion dada z = f(x, y) mediante un plano en elentorno de un punto (x, y) = (a, b), del mismo modo que aproximamos una funcion de una variabley = f(x) en el entorno de un punto x = a mediante su recta tangente en x = a. El plano que mejoraproxime a la funcion es llamado plano tangente a la grafica z = f(x, y) en el punto (a, b).

Para determinar el plano tangente, lo buscamos con la estructura

z = t(x, y) = α + β(x− a) + γ(y − b)

El plano que buscamos necesariamente pasa por el punto (a, b, c) con c = f(a, b). Como t(a, b) = α,debe ser α = f(a, b).

Por otra parte, si fijamos y = b la ecuacion del plano se reduce a una recta, r(x) = t(x, b) =α + β(x − a), que debe aproximar a la funcion g(x) = f(x, b) lo mejor posible en un entorno dex = a. Para ello, pedimos que r(x) sea la recta tangente a la curva g(x) en x = a. Para ello, debeser r′(a) = g′(a). Ahora bien, r′(a) = β. Por tanto, debe ser β = g′(a).

Del mismo modo, si fijamos x = a, la ecuacion del plano se reduce a la recta s(y) = α+γ(y−a),que debe ser la que mejor aproxime a la funcion h(y) = f(a, y) en un entorno de y = b. Por tanto,como s′(b) = γ, debe ser γ = h′(b). Obtenemos entonces el plano tangente

t(x, y) = f(a, b) + g′(a)(x− a) + h′(b)(y − b),

que esta bien definido si existen las derivadas g′(a) y h′(b). Habitualmente a g′(a) y h′(b), se lesllama derivada parcial de f respecto de x, y de f respecto de y, respectivamente, en el punto (a, b).Se suele usar la notacion

g′(a) =∂f

∂x(a, b), h′(b) =

∂f

∂y(a, b).

De este modo, la ecuacion del plano tangente a la curva z = f(x, y) en el punto (a, b) es

t(x, y) = f(a, b) +∂f

∂x(a, b) (x− a) +

∂f

∂y(a, b) (y − b),


63 4.2. GRADIENTE DE UNA FUNCION DE VARIAS VARIABLES

Si, por ejemplo, consideramos la funcion de onda definida en (4.1), tenemos

∂f

∂x(x, y) = 6 cos

(3

(x

5− t

20

)),

∂f

∂y(x, y) = −3

2cos

(3

(x

5− t

20

)).

Entonces, el plano tangente a z = f(x, y) en el punto (0, 0) es

t(x, y) = −5 + 6 x− 32y.

Se puede estimar el error entre la funcion y el plano tangente. Si la funcion es regular, este errorviene estimado en la forma

|f(x, y)− t(x, y)| ≤ C((x− a)2 + (y − b)2

)si

√(x− a)2 + (y − b)2 ≤ r,

siendo C una constante. De este modo el error decrece como la distancia al cuadrado entre (x, y)y (a, b), de modo analogo al caso 1d.

4.2. Gradiente de una funcion de varias variables

El concepto de gradiente es habitual en ciencias. Se refiere de un modo general a variacionesapreciables de una determinada magnitud fısica que pueden generar un flujo de esta de unas zonasa otras. Es frecuente, por ejemplo, hablar de un gradiente de temperatura, que generara unatransmision de calor de zonas de temperatura mas alta a zonas de temperatura mas baja. Enbioquımica, por ejemplo, se suele hablar del gradiente de la concentracion nutrientes (o toxinas)entre el interior y el exterior de una celula. En este caso el paso de nutrientes esta regulado por lamembrana de la celula, por lo que la mera existencia de un gradiente favorable no implica que losnutrientes (o las toxinas) entren en la celula.

En terminos matematicos, el gradiente de una funcion z = f(x, y) se define como el vector

∇f(x, y) =(

∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

),

si ambas derivadas parciales existen. El gradiente de f en un punto p = (a, b) tiene la propiedadde ser la direccion en la que mas rapido aumenta la funcion en torno a p. En efecto, consideremosla recta que pasa por p con un vector director cualquiera d = (η, σ) y definamos la restriccion dela funcion f a esta recta:

r(t) = f(p + td).

Observemos que r(0) = f(p), de modo que la diferencia r(t) − r(0) nos mide cuanto aumenta (odisminuye) f al alejarnos de p en la direccion d. Ahora bien, por el Teorema de Rolle,

r(t)− r(0) = r′(ξ) t, para cierto ξ ∈ (0, t).

Segun la regla de la cadena,

r′(t) =∂f

∂x(p + td) η +

∂f

∂y(p + td)σ = ∇f(p + td) · d.


4.3. TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS 64

Por tanto,r(t)− r(0) = ∇f(p + ξ d) · d t ' ∇f(p) · d t.

Pongamos por simplificar la notacion g = ∇f(p), de modo que r(t) − r(0) = g · d t con t > 0.Sabemos que g ·d = |g| |p| cosα, siendo α el angulo entre g y d. Entonces, el producto g ·d sera elmayor posible si α = 0, o sea, si d es paralelo a g = ∇f(p).

4.3. Teorema de los incrementos finitos

El gradiente nos sirve tambien para estimar variaciones de una funcion f . Consideremos lospuntos p = (a, b) yq = (c, d). Consideremos la funcion

ϕ(t) = f(tp + (1− t)q) parat ∈ [0, 1].

Observemos que el conjunto de puntos

S = {r = tp + (1− t)qparat ∈ [0, 1] }

es el segmento del plano que une los puntos p y q. Supongamos que f es continua en el segmentocerrado (incluyendo los extremos p y q), y admite derivadas parciales primera y segunda en todoslos puntos del segumento abierto. Entonces ϕ es continua y derivable, y

ϕ′(t) = ∇f(rt) · (p− q), con rt = tp + (1− t)q.

Por el Teorema de Rolle, existe ξ ∈ (0, 1) tal que

ϕ(1)− ϕ(0) = ϕ′(ξ).

Observemos que . En terminos de la funcion f , esta identidad se escribe

f(p)− f(q) = ∇f(rξ) · (p− q).

Por tanto, la variacion de f entre los puntos p y q viene acotada por

|f(p)− f(q)| ≤ M1 ‖p− q‖,

donde M1 = maxt∈[0,1]

‖∇f(rt)‖, y

‖p‖ =√

p21 + p2

2.


Bloque III: Modelizacion.

Estudiamos en este tercer bloque tematico algunos sistemas de interes en Bioquımica que puedenser modelados como “Sistemas Dinamicos”. Son sistemas en los que el balance instantaneo de lasmagnitudes fısicas involucradas puede ser descrito sin utilizar variables espaciales. Por ello, se tratade sistemas formulables como Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Una gran cantidad de sistemaspueden ser modelables como sistemas dinamicos.

Estamos interesados sobre todo en estudiar la tendencia del sistema a alcanzar estados deequilibrio (invariantes en tiempo), ası como la posible sensibilidad de estos a cambios ambientales(analisis de estabilidad).

La formulacion de tipo “Sistema Dinamico”permite realizar un estudio detallado de la evoluciontemporal del sistema, y en particular de su comportamiento asintotico en tiempo. El comportamien-to de los sistemas dinamicos puede llegar a ser de una gran complejidad, que refleja la complejidaddel mundo real.

Como sistemas concretos de interes, estudiaremos el modelado de la evolucion de poblacionesy de reacciones quımicas.

65

4.3. TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS 66


Capıtulo 5

Ecuaciones diferenciales ordinarias

En este capıtulo estudiamos algunos aspectos basicos de la teorıa matematica de ecuacionesdiferenciales ordinarias. Se trata de ecuaciones cuya incognita es una funcion, y en cuya formulacionaparece la derivada de la funcion incognita. El interes de este estudio radica en que los modelos deinteres en Bioquımica que estudiaremos en el siguiente Tema son ecuaciones diferenciales ordinarias.

Nos ocuparemos de formular la ecuacion diferencial ordinaria, determinar cuando tiene solucionunica (fijando su valor en un instante, de hecho), y analizar sus equilibrios y la estabilidad de estos,de gran interes practico.

5.1. Concepto de solucion

Consideremos la ecuacion diferencial ordinaria (EDO)

y = f(t, y). (5.1)

Una solucion de esta ecuacion (5.1) es una aplicacion derivable

t ∈ [a, b] 7→ Φ(t) ∈ R,

que satisface la ecuacion diferencial original,

Φ′(t) = f(t, Φ(t)), ∀t ∈ I.

Logicamente, la solucion de la EDO (5.1) depende del valor inicial de la incognita y. Planteamosentonces el problema de valores iniciales, o problema de Cauchy

{y = f(t, y), en [a, b]

y(c) = ξ;(5.2)

donde c ∈ [a, b] y ξ ∈ R (es el dato inicial) estan dados.Determinar las soluciones de (5.2) consistira en encontrar funciones Φ(t) definidas en el intervalo[a, b] que satisfagan la ecuacion diferencial y tales que Φ(t0) = ξ.

La existencia y unicidad de soluciones del problema de Cauchy viene dada por el siguienteresultado:

67

5.2. PUNTOS DE EQUILIBRIO 68

Teorema 5.1.1 Se cumple lo siguiente:

El problema de Cauchy (5.2) admite solucion unica en un entorno (c− δ, c + δ) ∩ [a, b] si elsegundo miembro f es derivable respecto de t y respecto de y.

La solucion esta definida en todo [a, b] si ∂yf esta acotada en [a, b].

Si la solucion esta acotada en [c, c+δ), entonces se puede prolongar a un intervalo [c, c+δ+δ′).

La unicidad de solucion se entiende en el sentido de que si dos soluciones coinciden en a,entonces coinciden en su dominio comun de definicion.

El tercer item anterior significa que si una solucion definida en [c, c + δ) no se puede prolongar,entonces no puede estar acotada cuando t → δ.

Por ejemplo, consideremos el modelo de von Bertalaffny que gobierna la longitud L(t) de unpez:

L′(t) = k(L∞ − L(t)),

donde L∞ es la longitud maxima que puede alcanzar la especie y k es su capacidad de crecimiento.En este caso f(L) = k(L∞ − L), por lo que ∂Lf(L) = f ′(L) = k, que esta acotada en cualquierintervalo [a, b] ⊂ R. Por tanto la solucion del problema de Cauchy existe en todo R, y es unica.

5.2. Puntos de equilibrio

Estamos interesados en EDOS de un tipo especial, en que la funcion f no depende del tiempo:f = f(y). Se dice en este caso que el sistema que modela es un “Sistema dinamico ”.

Llamaremos “punto de equilibrio”del sistema dinamico

y′ = f(y)

a toda solucion constante: y(t) = y0, ∀t ∈ R. Observemos que los puntos de equilibrio del sistemadinamico son soluciones del sistema de ecuaciones algebraico

f(y) = 0.

Los equilibrios de los sistemas son importantes justamente porque representan situaciones en quelas diferentes acciones que intervienen en el funcionamiento del sistema se equilibran. Por ejemplo,en el modelo de reacciones quımicas, los puntos de equilibrio corresponden a concentraciones deequilibrio quımico. En los modelos de poblaciones (en particular, en modelos de crecimiento detumores), corresponden a situaciones de estabilidad, la poblacion no crece ni decrece.

En ocasiones, las soluciones que parten de estados iniciales cercanos a un estado de equilibriotienden a acercarse progresivamente a este cuando t → +∞. En este caso, se dice que el equilibrio es“estable”. Este tipo de equilibrios resultan deseables, en general, desde un punto de vista practico.En otro caso, se dice que un equilibrio es inestable.

Para determinar cuando un equilibrio es estable, podemos utilizar aproximaciones lineales.Consideremos un punto de equilibrio y0, y una aproximacion lineal de f , en el entorno de y0:

f(y) ' f(y0) + f ′(y0)(y − y0) = f ′(y0)(y − y0).


69 5.2. PUNTOS DE EQUILIBRIO

Entonces, la desviacion respecto del equilibrio y(t) = x(t) − y0 satisface de forma aproximada laEDO

y′(t) = f ′(y0)y(t),

cuya solucion, como sabemos, esy(t) = y(0)ef ′(y0)t.

Entonces, parece razonable lo siguiente:

y(t) → 0 si f ′(y0) < 0. En este caso el equilibrio sera estable.

y(t) → +∞ si f ′(y0) > 0. En este caso el equilibrio sera inestable.

De hecho, esta conjetura es cierta:

Corolario 5.2.1 Sea n = 1. Supongamos f ∈ C1(I × R) y que y0 un punto de equilibrio de laecuacion diferencial x = f(x), esto es, f(y0) = 0. Supongamos, tambien, que f ′(y0) 6= 0. Entonces,el punto de equilibrio y0 es asintoticamente estable si f ′(y0) < 0, y es inestable si f ′(y0) > 0.

Consideremos por ejempo el modelo logıstico, que corresponde a f(x) = r(1 − x

K)x. Hay dos

equilibrios: y0 = 0 y x1 = K. Supongamos r > 0, K > 0. Entonces f ′(x) = r

(1− 2x

K

)es positiva

en y0 y negativa en x1, por lo que y0 es un equilibrio inestable, y x1 es un equilibrio estable.Por otra parte, en el caso del modelo de reacciones quımicas, tenemos

f(x) = k(a0 + ξ − x(t))(b0 + ξ − x(t)),

con lo que los equilibrios matematicos coinciden con los quımicos:

x0 = x1 = a0 + ξ o bien x0 = x2 = b0 + ξ.

Para estudiar la estabilidad de estos equilibrios, calculamos f ′(x) = 2kx− k(a0 + b0 + 2ξ), por loque

f ′(x1) = 2ka0 − b0

2,

f ′(x2) = 2kb0 − a0

2.

Entonces si, por ejemplo, a0 < b0, el equilibrio x1 es estable, y el x2 es inestable. Esto concuerdabien con las propiedades del problema, ya que al ser a0 < b0, la especie A se agotara antes, con loque se alcanzara un equilibrio quımico asociado a este agotamiento.

La estabilidad del equilibrio x1 significa que si la reaccion parte de valores iniciales de x(t)(concentracion de la especie X) cercanos a x1, entonces al incrementarse el tiempo, la concentracionse acercara progresivamente al valor x1, al que tendera cuando t → ∞. En cambio, al ser x2 unequilibrio inestable, aunque x parta en t = 0 de valores de x cercanos a x2, los valores x(t) semantendran alejados de x2.

Sin embargo, si f ′(y0) = 0, no podemos determinar la estabilidad del equilibrio por este pro-cedimiento.


5.2. PUNTOS DE EQUILIBRIO 70


Capıtulo 6

Modelos de poblaciones

Consideremos una especie animal (o el ser humano) que habita una determinada zona geografica.Pretendemos elaborar modelos matematicos de la evolucion del numero de individuos (poblacion),en funcion de las condiciones ambientales.

Denotemos por φ(t) la poblacion en el instante t. Mediremos el tiempo en anos.Definimos la velocidad media de crecimiento de la poblacion en el intervalo [t, t + s] por

v([t, t + s]) =φ(t + s)− φ(t)

s.

De aquı, la velocidad instantanea de crecimiento de la poblacion en el instante t es

v(t) = φ′(t)

De este modo, la velocidad relativa de crecimiento de la poblacion viene dada por

r(t) =φ′(t)φ(t)

. (6.1)

La cantidad r(t) se conoce habitualmente como tasa de crecimiento vegetativo de la poblacion.Esta tasa viene determinada por la natalidad, la mortalidad y el flujo migratorio de la poblacionconsiderada. La identidad (6.1) puede ser entendida como una Ecuacion Diferencial Ordinaria,satisfecha por φ(t):

φ′(t) = r(t)φ(t). (6.2)

Conociendo r(t), podremos resolver esta ecuacion y predecir la evolucion futura de la poblacion.El modelo de poblacion mas sencillo es el llamado ”Malthusiano”, corresponde a r(t) ≡ r = cte:

φ′(t) = r φ(t). (6.3)

Fue planteado por el economista ingles Thomas Malthus, conocido principalmente por su Ensayosobre el principio de la poblacion (1798), en el que se expone el principio segun el cual la poblacionhumana crece en progresion geometrica, mientras que los medios de subsistencia lo hacen en pro-gresion aritmetica. Ası, llegara un punto en el que la poblacion no encontrara recursos suficientespara su subsistencia (catastrofe maltusiana).

71

6.1. MODELOS DE REACCIONES QUIMICAS 72

Otra aplicacion del modelo de poblaciones es el crecimiento de tumores cancerosos. En estecaso φ(t) denota el numero de celulas cancerosas en el instante t. Suponiendo que este numero seduplica a intervalos de tiempo regulares, φ(t) tambien satisface la ecuacion (6.3), cuya solucion es

φ(t) = φ(0)ert,

de modo que el tiempo que tarda el numero de celulas cancerosas en duplicarse es t2 = ln 2r .

El modelo anterior se puede modificar para que tome en consideracion una capacidad limitadade soporte del medio. Para ello, hacemos que la tasa de crecimiento este limitada por el numerode individuos o celulas:

φ′(t) = r

(1− φ(t)

K

)φ(t), (6.4)

donde K es la mayor poblacion que el medio puede soportar. Este modelo es llamado logıstico,introducido en 1838 por Pierre Francoise Verhulst, profesor de matematicas de la Escuela Militar deBruselas. Hoy en dıa es muy utilizado para simular el crecimiento de diversos tipo de poblaciones.

Otro modelo de crecimiento limitado es el de von Bertalaffny para crecimiento de peces. Lospeces crecen de forma permanente toda su vida acercandose progresivamente a un tamano maximoL∞. Si L(t) denota la longitud del pez, su crecimiento obedece a la ley

L′(t) = k(L∞ − L(t)), (6.5)

donde k > 0 es una constante que representa la capacidad de crecimiento del pez. Este modelorefleja que el crecimiento es mas lento cuanto mas cerca este el pez de alcanzar su tamano maximo.

Por otra parte, algunos procesos consisten en la disminucion de magnitudes caracterısticas atasas fijas. Es el caso, por ejemplo, de la desintegracion de materiales radiactivos. Denotemospor N(t) el numero de nucleos radiactivos de una determinada sustancia en el instante t. Latasa de desintegracion radiactiva es constante, por lo que N(t) obedece a una ley (6.3), pero conr = −λ < 0. En este caso, la cantidad de nucleos radiactivos en el instante t sera

N(t) = N(0) e−λt.

El tiempo que tarda N(t) en dividirse por 2 es, entonces, t1/2 =ln(2)

λ.

6.1. Modelos de reacciones quımicas

Consideremos una reaccion quımica simple, en la que una molecula de reactante A se combinacon una molecula de reactante B para producir una molecula del producto X y otra del productoY :

A + B 7→ X + Y

La ley de accion de masas nos dice que la velocidad a la que se forma cada producto (bien X, bienY ) es proporcional al producto de las concentraciones de los reactantes:

[X] = k[A][B],

donde k > 0 es una constante caracterıstica de la reaccion. Si denotamos por m(t) la concentracionde la especie M en el instante t, esta ley se escribe

x′(t) = kab.


73 6.1. MODELOS DE REACCIONES QUIMICAS

Por otra parte, la ley de conservacion de masa implica en este caso que la tasa a la que cadaproducto se forma es igual a la tasa a la que se destruye cada reactante:

X ′(t) = Y ′(t) = −A′(t) = −B′(t),

siendo X(t), Y (t), A(t) y B(t) el numero de moleculas de las especies X, Y , A y B en el instantet: De aquı,

X(t)−X0 = Y (t)− Y0 = −A(t) + A0 = −B(t) + B0,

donde X0, Y0, A0 y B0 son las cantidades iniciales de cada especie. Supongamos que todas lasespecies estan disueltas en un mismo volumen de disolvente. En este caso, las concentraciones sonproporcionales al numero de moleculas:

x = X/V, y = y/V, , a = A/V, b = B/V.

Por tanto,a(t) = a0 + ξ − x(t), b(t) = b0 + ξ − x(t),

donde ξ = X0/V . Entonces, la ley de accion de masas obedece a la ecuacion diferencial ordinaria

x′(t) = k(a0 + ξ − x(t))(b0 + ξ − x(t)). (6.6)

Observemos que en el equilibrio quımico x′(t) = 0, por lo cual o bien x = a0 +ξ, o bien x0 = b0 +ξ.En el primer caso se habra agotado todo el reactante A para producir x, y en el segundo, todo elreactante B.


6.1. MODELOS DE REACCIONES QUIMICAS 74


Bibliografıa

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75

temario matematicas

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