1. LOGICA PROSICIONAL

2. Conjuntos Numricos

Pendiente Los conjuntos numricos son agrupaciones de nmeros que guardan una serie de

propiedades estructurales. Existe el conjunto numrico Q: Este conjunto surgi de la necesidad de

reunir a ciertos nmeros que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar

a las races inexactas, el nmero Pi, etc. A l pertenecen todos los nmeros decimales infinitos

puros, es decir aquellos nmeros que no pueden transformarse en una fraccin. No deben

confundirse con los nmeros racionales, porque stos son nmeros decimales finitos, infinitos

peridicos e infinitos semiperidicos que s pueden transformarse en una fraccin.

Ejemplos: 1,4142135....

2.2 Suma, Resta, Multiplicacin y divisin con nmeros naturales y enteros

Nmeros Naturales

SUMA: La adicin de nmeros naturales cumple con las propiedades asociativa, conmutativa y elemento

neutro.

Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c) Por ejemplo:

(7+4)+5 = 11+5 =16

7+ (4+5) = 7+9 = 16

(7+4)+5 = 7+ (4+5) los datos coinciden

Conmutativa: a+b = b+a Por ejemplo:

2+2 = 2+2

2+3 = 3+2 En particular, para los nmeros 7 y 4 se verifica que 7+4 = 4+7

Elemento neutro: El cero (0) es el elemento neutro de la suma, porque sea cual sea el nmero a

se cumple que:

A+0 = a por ejemplo: 9+0 = 9

RESTA: Los trminos de la resta se llaman minuendo y sustraendo. Por ejemplo: Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas Cuntas ovejas tenemos?

6-2 = 4 ovejas

El minuendo serian las ovejas que tenemos y el sustraendo son las ovejas que se comieron los lobos.

MULTIPLICACION: Esta cumple las propiedades asociativa, conmutativa, elemento neutro y distributivo.

Asociativa: Si a, b, c son nmeros naturales cuales quiera se cumple que: (a*b)*c = a*(b*c) (3*8) *2= 15*2 = 30 3*(5*2) = 3*10= 30 Los resultados coinciden (3*5)*2 = 3*(5.2)

Conmutativa: Si a, b son nmeros naturales cuales quiera se cumple que: A*b = b*a 5*8 = 8*5 = 40

Elemento neutro: EL uno (1) es el elemento neutro de la multiplicacin porque, cuales quiera que sea el nmero natural a, se cumple que: a*1 = a 3*1 = 3

Distributiva: Del producto respecto de la suma : Si a, b, c son nmeros naturales cuales quiera se cumple que: A*(b*c*) = a *b+a*c 5*(3+8)*8 = 15+40 = 55 Los resultados coinciden 5*(3+8) = 5*3+5*8

DIVISION: Los trminos de la divisin se llaman dividendo (el nmero de cosas) divisor (el nmero de personas) cociente (el nmero que toca a cada uno) y resto (lo que sobra).

Si el resto es 0 la divisin se llama exacta y si no, inexacta.

No aplica la propiedad conmutativa:

a/b = c 2/4 =2

a/b = c * a 2/4 = 2*2 = 4

a/b = c*a= b 2/4 = 2*2 = 4

NUMEROS ENTEROS

SUMA: Si tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenan los sumandos:

7+11 = 18

-7-11= -18

Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se le pone el signo del mayor.

7+ (-5) = 7 -5 =2

-7+5 = -(7-5) = -2

14+ (-14) = 0

La suma de nmeros enteros tiene las propiedades siguientes:

Asociativa: (a+b)+c = a+(b+c)

Conmutativa: a+b = b+a

Elemento neutro: el cero (0) es el elemento neutro de la suma a+0= a

Elemento Opuesto: todo nmero a, tiene un opuesto -a A+ (-a) = 0

RESTA: Para restar dos nmeros enteros se le suma al minuendo el opuesto del sustraendo:

a-b= a+ (-b)

por ejemplo:

5-(-3) = 5+3 =8

-2-5= (-2)+ (-5) = -7

MULTIPLICACION: Se multiplican sus valores absolutos y el resultado se deja con signo positivo si ambos factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son del mismo signo o se le pone el signo menos si los factores son de signos distintos. Este procedimiento para obtener el signo de un producto a partir del signo de los factores se denomina regla de los signos y se realiza del siguiente modo:

1. +*+ = + 2. +*- = - 3. -*+ = - 4. -*- = +

Asociativa: (a*b) *c = a*(b*c)

Conmutativa: a*b = b*a

Elemento Neutro: el uno es el elemento neutro. A*1 = a

Distributiva: de la multiplicacin respecto de la suma: A*(b+c) = a*b+a*c

2.3 Nmeros racionales, Nmeros irracionales y Nmeros complejos

NUMEROS RACIONALES

Se le llama nmero racional a todo nmero que pueda representarse como el cociente de dos nmeros enteros a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El trmino racional alude a Fracciones o Parte de un todo.

En sentido estricto, nmero racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada de todas ellas, se toma como representante cannico de dicho numero racional a la fraccin irreducible.

NUMEROS IRRACIONALES

Es un nmero que no puede ser expresado como una fraccin m/n donde m y n son enteros y n es diferente de cero, es cualquier nmero real que no es racional.

Tras distinguir los nmeros componentes de la recta real que no pueden expresarse mediante el cociente de dos enteros y se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales aperidicas infinitas en general toda expresin y expresin en nmeros decimales es solo una aproximacin en nmeros racionales al nmero irracional referido, por ejemplo el numero racional 1,4142135 es solo una aproximacin a 7 cifras decimales del numero irracional raz cuadrada de 2 el cual posee infinitas de cifras decimales no peridicas.

Debido a ello, los nmeros irracionales ms conocidos son identificados mediante smbolos especiales, los tres principios son los siguientes

numero pi 3,14519); razn entre la longitud de una circunferencia y su dimetro.

Numero e e7182)

Numero cured 1.6780)

Lo nmeros irracionales se clasifican en dos tipos:

Nmeros algebraicos: Son la solucin de alguna ecuacin algebraica y se representan por un numero finito de radicales libres o anidados.

Nmeros Transcendentes: No pueden representarse mediante un nmero finito de races libres o anidadas, provienen de las llamadas funciones trascendentes.

NUMEROS COMPLEJOS:

Son una extensin de los nmeros reales y forman el mnimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los nmeros complejos se designa como, C siendo R el conjunto de los reales se cumple que: RcC los nmeros complejos incluyen todas las races de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo nmero complejo puede representarse como la suma de un nmero real y un nmero imaginario o en forma polar.

Cada complejo 2 como un par ordenado de nmeros reales.

SUMAS:

(a, b)*(c, d) = (a+c, b+d)

PRODUCTO POR ESCALAR MULTIPLICACION

R(a, b) * (Ra, Rb) = (ac-bc, ad+bc)

PRODUCTO POR ESCALAR

R(a, b) = (Ra, Rb)

IGUALDAD

(a, b)-(c, d)a=c1b = d

RESTA

(a, b)-(c, d) = (a-c, b-d)

DIVISION

=

3. MATEMATICA COMERCIAL

3.1 Interes Simple

El interes simple o benfico que se obtienen de una inversin financiero o de capital cuando los

intereses producidos durante cada periodo de tiempo que dura la inversin no deben nicamente al

capital inicial, ya que los beneficios o intereses se retiran al vencimiento de cada uno de los periodos.

Su formula est dada por:

Is = Crt

Donde:

IS = es el inters obtenido del capital

C = Capital invertido

R = es la tasa de inters asociada a cada periodo temporal expresada en tanto por uno

T = es el numero temporal de periodos.

Ejemplo:

Un comerciante pagara Q.18, 450.00 cancelara crdito de 15 meses al 15% anual de inters ordinario Cul

es el importe de iteres?

Datos Formula P = s/(1+ni) S = 18,450.00 P =18450.00/(1+1.25*0.15) N = 15/121 => 1.25 P = 15450.00/1.1875 I = 0.15 P = 15536.84 Luego S-P = I entonces 18450.00-1553684 = 2913.16 Respuesta : El importe de inters es de Q.2913.16

INTERES PROPORCIONAL

En general se denomina tasa de inters al porcentaje de capital a principal, expresado en centsimos, que

se pago por la utilizacin de este en una determinada unidad de tiempo (normalmente aos).

La tasa de inters corriente o del mercado se calcula fundamentalmente atendiendo a la relacin entre la

oferta de dinero y la demanda de lso prestatarios. Cuando la oferta de dinero disponible para la inversin

aumenta ms rpido que las necesidades de los prestatios, los tiempos de inters tienden a caer.

Anlogamente los tipos de inters tienden a aumentar cuando la demandada de fondos para invertir crece

ms rpido que la oferta de fondos disponibles a lo que se enfrenta esas demandas.

Realmente el tema que nos concierne, la existencia de tres clases distintas de capitalizacin requiere el

empleo de diversas tasas de inters que se adecuen a cada clase en particular, definiendo los mismos a

partir de supuestos establecidos previamente. As encontramos:

La misma aparece en la formula de monto a inters compuesto.

M1= c (1+i)n

Tasas efectivo (;): Es el tanto por uno que, aplicando o un capital C en n periodos, produce un

monto M2 igual al que se obtienen utilizando la tasa proporcional m veces en cada uno de lso n

periodos con capitalizacin su peridica.

Aparcase en la formula de monto M2 = C (1+i) de modo que M2-M3. Partiendo de esta ultima

igualdad, podremos expresar la tasa efectiva en funcin de la tasa proporcional:

M2 = M3

C (a1+i) n= C1+i) nm

1+: = 1+i/m) m (simplificaos C Y n)

I = (1+i/m) m-1 despejamos i/

3.2 Regla de Tres Simple y compuesta

Es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre tres o ms valores conocidos y una

incgnita. En ella se relaciona de linealidad. Entre los valores involucrados. La regla de tres ms conocida es

la regla de tres simple o directa.

Ejemplo:

La forma de escribir la regla de tres es la siguiente: Se seala con una flecha la relacin entre las entidades:

25 14:21

Ahora tenemos los trminos ordenados en relacin a los dos puntos. El primer y ltimo trmino los

llamamos extremos y los que estn pegados a los dos untos son los centros.

Es importante observar el orden de los trminos ya que al cambiar, tambin cambia la relacin.

25 14: X21 o es igual que 2314:21X

Por lo que es importante saber que corresponde cada una de las cantidades para usar el mismo orden en

los dos miembros de la relacin.

En la regla de tres cuando la incgnita est en el centro, se despeja multiplicando los extremos y

dividindolos en el termino conocido del centro cuando al incgnita esta en los extremos, se despeja

multiplicando los centros y dividindolos entre el extremo conocido.

Con los ejemplos que citamos, seria as:

2514: X21 = (23X21)/14=525/14=37.5

2514:21X = (14X21)/23=294/25= 11.76

1) Si 2 de gasolina cuestan 18.20 Cuntos litros se pueden comprar con 50.00?

218.20

X50

X = (50x2)/18.20 = 43 litros

REGLA DE TRES COMPUESTA

Es una forma de resolucin de problemas cuyos anunciados estn formados por varias reglas de tres

simples aplicadas varias veces.

Una regla de tres compuesta es utilizada cuando se relacionan tres o ms magnitudes conocidas para

obtener el valor de una desconocida.

La forma de resolver una regla de tres compuesta es por medio de la aplicacin sucesiva de la regla de tres

simple.

Ejemplo:

Una estufa de 4 quemadores ha consumido 30.00 de gas al estar encendidos los 4 quemadores durante el

mismo tiempo?

23 horas30

3 quemadores3 horas X

x (4x3x50)/(2*3) = 100.00

Suma o adicin de polinomios y monomios. Se muestra con ejemplos resueltos como proceder a

sumar expresiones algebraicas, sean monomios o polinomios. Para ambos casos el proceso es igual,

al final se debern reducir los trminos semejantes.

En el caso de los polinomios se muestra que existen dos posibilidades (desde la forma) de como

realizar la suma y se pone de manifiesto cual debe considerarse la ms simple a la hora de efectuar la

suma.

veremos la suma de expresiones algebraicas, se har nfasis en la suma de monomios y polinomios.

Hasta el momento, hemos visto dos tipos de operaciones que se pueden efectuar cuando se tienen

expresiones algebraicas, una de ellas es la reduccin de trminos semejantes y la segunda es la

evaluacin que consiste en encontrar el valor numrico de una expresin algebraica.

Para comenzar con este nuevo tipo de operacin algebraica expliquemos en que consiste la suma de

monomios. se tienen los siguientes monomios: ab, 3ab, 2x^2 y se pide efectuar la suma entre estos

tres monomios, entonces lo que debemos hacer es escribir los monomios de manera que se indique

que estos se estn sumando, es decir: ab+3ab+ 2x^2; una vez hecho esto se procede a determinar si

hay trminos semejantes en la expresin algebraica y as reducir trminos; como vemos en este caso

se puede efectuar la suma entre los trminos semejantes ab y 3ab; teniendo en cuenta esto la suma

queda de la siguiente manera: ab+3ab+ 2x^2= 4ab+ 2x^2; en caso de que no haya trminos

semejantes se debe dejar la suma expresada tal cual como se da al principio.

Para el caso de suma de polinomios existen dos maneras de sumar, una consiste en poner los

trminos de cada polinomio en forma ordenada y a manera de columna. Cuando decimos que se

ponga el polinomio de manera ordenada nos referimos a que se pongan las partes literales iguales una

debajo de la otra para el caso de que se est sumando en columna, la otra forma es simplemente

expresar la suma de la manera habitual, es decir, poner la suma como una fila de polinomios que se

estn sumando entre s; una vez hecho esto se procede a sumar las partes literales iguales y as

reducir el polinomio final. Para ver esto miremos el siguiente ejemplo: Sumar los siguientes polinomios:

a-b, 2a+2b+2c, -4a+3b, entonces la suma es: a-b+ (2a+2b+2c)+( -4a+3b) = -a+4b+c.

CONCEPTOS DE RESTA ALGEBRAICA

"La resta (algebraica) es la operacin binaria que tiene por objetivo hallar el sumando desconocido (DIFERENCIA, RESTA O SUSTRACCION), cuando se conocen la SUMA O ADICION (el MINUENDO) y uno de los sumandos (el SUSTRAENDO)."

Otra definicin dice que LA RESTA ES LA OPERACIN INVERSA DE LA SUMA. Y hay quienes van a afirmar que LA RESTA ES EL RESULTADO DE SUMAR A UN POLINOMIO DADO llamado MINUENDO, el inverso aditivo de otro POLINOMIO que en tal caso se llamar SUSTRAENDO.

Las tres explicaciones son vlidas, y tendrn que coincidir en un hecho fundamental: LA RESTA, ADICIN O SUSTRACCION ES UNA OPERACION DE COMPARACION, EN LA QUE SE ESTABLECE LA DIFERENCIA ENTRE DOS POLINOMIOS, O BIEN LO QUE LE FALTA A UN POLINOMIO PARA LLEGAR A SER IGUAL AL OTRO.

CARACTERISTICAS DEL MINUENDO

El minuendo es el polinomio que va a DISMINUIR.

CARACTERISTICAS DEL SUSTRAENDO

El sustraendo es el polinomio que representa CUANTO VA A DISMINUIR el minuendo.

CARACTERISTICA DE LA SUSTRACCION O DIFERENCIA FINAL

En una resta algebraica, la operacin se dice FINALIZADA o completa si todos los trminos semejantes entre MINUENDO Y SUSTRAENDO, han sido simplificados totalmente.

Algunos pueden considerar un requisito la ordenacin de los trminos finales en forma alfabtica, o por las potencias descendentes de una letra llamada LETRA PRINCIPAL. Esta ser lgicamente la escritura final preferida por los algebristas ms hbiles, pero no es un requisito en las etapas de aprendizaje inicial.

PROPIEDADES DE LA RESTA ALGEBRAICA

1. PROPIEDAD DE CERRADURA: la RESTA O DIFERENCIA de dos polinomios dar como resultado otro polinomio.

2. NO HAY PROPIEDAD CONMUTATIVA: el orden de MINUENDO Y SUSTRAENDO si altera el resultado de la RESTA.

Sean A y B dos polinomios, entonces se cumple que A-BB-A

NO HAY PROPIEDAD ASOCIATIVA: la resta solo puede hacerse entre dos POLINOMIOS

BINOMIO

El cuadrado de un binomio como su nombre lo indica es elevar al cuadrado una expresin de dos trminos (binomio)

ejemplo: (5x-2) elevado al cuadrado ---> eso sera un binomio

Diferencia de cuadrados es la resta (diferencia) de dos nmeros elevados al cuadrado.

Ejemplo: (25x al cuadrado -36) = y se resuelve encontrando el numero que elevado al cuadrado me da 25 o sea 5 y as

con los otros nmeros y resuelto te quedara

(5x+6).(5x-6) ---> si aplicas distributiva vuelves a la primera expresin, en uno va el signo + y en el otro el - porque si haces + x - = - (o sea la diferencia)

Puede expresarse as: (25x al cuadrado -36)

o as:

(5x-6)al cuadrado

Factor Comn Monomio Es el monomio que est contenido en todos los trminos del polinomio considerado, est formado parel M.C.D.

De los coeficientes y letras comunes elevadas a su menor exponente :

Ejemplo N 1: Cul es el factor comn monomio en12x + 18y 24z?Ejemplo N 2: Cul es el factor comn monomio en5a 2 - 15ab 10ac? 2 . Factor Comn Polinomio

En caso de que el polinomiotenga un factor comn polinomio de dos o ms trminos para factorizarlose procede en la misma forma como en el caso anterior, o sea se aplica la propiedad distributiva Ab+ac=a(b+c)

:Ejemplo N 1: Factorizar, xa + xb + ya + yb Ejemplo N 2: Factorizar, 2a(m - 2n) b(m - 2n)

Este tipo de trinomio se diferencia del anterior debido a que el termino al cuadrado ( ) se encuentra

precedido por un coeficiente diferente de uno (debe ser positivo). Este se trabaja de una manera un poco

diferente, la cual detallamos a continuacin:

1. Multiplicamos el coeficiente a del factor a por cada trmino del trinomio, dejando esta

multiplicacin indicada en el trmino bx de la manera b(ax), y en el trmino a de la manera .

2. Se descompone el trinomio en dos factores binomios cuyo primer trmino ser la raz cuadrada del

trmino la que sera ax.

3. al producto resultante lo dividimos entre el factor a, con el fin de no variar el valor del polinomio.

4. El signo del primer binomio ser el mismo signo que tenga el trmino bx, el signo del segundo

binomio ser igual a la multiplicacin de los signos de bx y de c.

5. Se buscaran los segundos trminos de los binomios segn los pasos tres y cuatro del caso del

trinomio anterior.

Ejemplo explicativo:

ECUACIONES CON 2 INCOGNITAS

Podemos definir a las ecuaciones como una igualdad entre expresiones Algebraicas (encadenamiento de nmeros y letras ligados por operaciones

Matemticas diversas),en la que intervienen una o ms letras, llamadas incgnita

(Cuyo valor hay que averiguar). Las expresiones que estn a ambos lados del signo Igual son los miembros de la ecuacin: primer miembro el de la izquierda, segundo

Miembro el de la derecha. Se denomina solucin de una ecuacin a un valor o

Conjunto de valores de la incgnita (x), para los cuales se verifica la igualdad.

Una ecuacin puede tener ninguna, una o varias soluciones. Por ejemplo: 5x 9 = 1 es una ecuacin con una incgnita con una solucin, x = 2 X

2 + y 2 + 5 = 0 es una ecuacin con dos incgnitas sin solucin, pues la suma de

Dos cuadrados es un nmero positivo, a partir del cual no se puede obtener 0

Sumndole 5. 2x + 3y = 15 es una ecuacin con dos incgnitas que tiene infinitas soluciones,

Algunas de las cuales son x = 0, y = 5; x = 3, y = 3; x = 30, y = -15.

Dos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismas soluciones o ambas

Carecen de solucin. As, la ecuacin 3x 7 = x + 1 es equivalente a 2x 8 = 0 Porque ambas tienen como solucin nica x = 4.

FUNCIN LINEAL

Una funcin lineal es una funcin cuyo dominio son todos los nmeros reales, cuyo condominio

tambin todos los nmeros reales, y cuya expresin analtica es un polinomio de primer grado.

La funcin lineal se define por la ecuacin f(x) = mx + b y = mx + b llamada ecuacin cannica, en donde m es la pendiente de la recta y b es el intercepto con el eje Y.

Por ejemplo, son funciones lineales f(x) = 3x + 2 g(x) = - x + 7 h(x) = 4 (en esta m = 0 por lo que 0x

no se pone en la ecuacin).

Esta es la grfica de la funcin lineal y = 3x + 2

Vemos que m = 3 y b = 2 (de la forma y = mx + b)

Este nmero m se llama pendiente de la recta y es la relacin entre la altura y la base, aqu vemos

que por cada unidad recorrida en x la recta sube 3 unidades en y por lo que la pendiente es m =

3. & b es el intercepto de la recta con el eje Y (donde la recta se cruza con el eje Y)

Volvamos al ejemplo de las funciones lineales

F(x) = 3x+2 Si x es 3, entonces f (3) = 3*3+2 = 11

Si x es 4, entonces f (4) = 3*4+2 = 14

Si x es 5, entonces f (5) = 3*5+2 = 17

Una funcin cbica es una funcin polinmica de grado 3. Las funciones cbicas tienen expresiones del tipo: Estamos interesados en estudiar la derivada de funciones simples con un punto de vista intuitivo y visual. Para estudiar la derivada de una funcin cbica vamos a seguir la m isma aproximacin que hemos usado para el caso de las funciones cuadrticas.

EL CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIN La derivada de una funcin en un punto puede defini rse como la tasa de variacin instantnea o como la pendiente de la recta tangente a la grf ica de la funcin en ese punto. Podemos definir la pendiente de la funcin en un punto como la pendiente de la recta tangente. La pendiente de la tangente depende, en general, de x. Entonces, a partir de una funcin podemos definir una nueva funcin, la funcin derivada de la funcin original. El proceso de encontrar la funcin derivada de una funcin se llama diferenciacin. El valor de la funcin delicada para cada valor de x es la pendiente de la funcin original en x.

Funcin cuadrtica

Son funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su grf ica una parbola.

F(x) = ax + bx + c

Representacin grfica de la parbola

Podemos construir una parbola a partir de estos puntos:

1. Vrtice

Por el vrtice pasa el eje de simetra de la parbola.

La ecuacin del eje de simetra es:

2. Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:

ax + bx + c = 0

Resolviendo la ecuacin podemos obtener:

Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b 4ac > 0

Un punto de corte: (x1, 0) si b 4ac = 0

Ningn punto de corte si b 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje OY

En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos:

F(0) = a 0 + b 0 + c = c (0,c)

Ejemplo

Representar la funcin f(x) = x 4x + 3.

1. Vrtice

Xv = (4) / 2 = 2 yv= 2 4 2 + 3 = 1

V(2, 1)

2. Puntos de corte con el eje OX

X 4x + 3 = 0

(3, 0) (1, 0)

3. Punto de corte con el eje OY

(0, 3)

Seno, coseno y tangente

Las tres funciones ms importantes en trigonometra son el seno, el coseno y la tangente. Cada una es la

longitud de un lado dividida entre la longitud de otro... slo tienes que aprenderte qu lados son!

Para el ngulo :

Funcin seno: sin() = Opuesto / Hipotenusa

Funcin coseno: cos() = Adyacente / Hipotenusa

Funcin tangente: tan() = Opuesto / Adyacente

Nota: el seno se suele denotar sin() (por la palabra inglesa "sine") o sen(). Aqu utilizaremos sin() pero puedes

encontrarte la otra notacin en otros libros o sitios web.

Sohcahtoa

Sohca...qu? Slo es una manera de recordar qu lados se dividen! As:

Soh... Seno = Opuesto / Hipotenusa

...cah... Coseno = Adyacente / Hipotenusa

...toa Tangente = Opuesto / Adyacente

Aprndete "sohcahtoa" - te puede ayudar en un examen!

Ejemplos

Ejemplo 1: cules son el seno, coseno y tangente de 30 ?

El tringulo clsico de 30 tiene hipotenusa de longitud 2, lado opuesto de longitud 1 y lado adyacente de

longitud 3:

Seno sin(30) = 1 / 2 = 0.5

Coseno cos(30) = 1.732 / 2 = 0.866

Tangente tan(30) = 1 / 1.732 = 0.577

(Saca la calculadora y comprubalo!)

Ejemplo 2: cules son el seno, coseno y tangente de 45?

El tringulo clsico de 45 tiene dos lados de 1 e hipotenusa 2:

Seno sin(45) = 1 / 1.414 = 0.707

Coseno cos(45) = 1 / 1.414 = 0.707

Tangente tan(45) = 1 / 1 = 1

E.E.M.M. FE Y ALEGRIA No. 40

CURSO: MATEMATICA

CATEDRATICO: ERWIN OMAR ALCOR

TEMARIO

Kevin ivan Perez Hernandez 32

Glenda Sarahi C Porras 11

Diana Elizabeth Mejia 0

Susan Daniela Najera 28

Alexander obvido 0

Katherine Esmailyn Cojolon 0